ELECRICIE Analyse des signaux e des circuis élecriques Michel Piou Chapire 9 Valeur moyenne des signaux périodiques. Ediion //24
able des maières POURQUOI E COMMEN?... 2 INERE DE LA NOION DE VALEUR MOYENNE....2 2. Exemple N : variaion de viesse d'un moeur élecrique alimené par un hacheur....2 2.2 Exemple N 2 : comporemen d une alimenaion à découpage.... VALEUR MOYENNE D'UNE FONCION PERIODIQUE....4. Valeur moyenne: première définiion...4.2 Noaions normalisées de la valeur moyenne....4. Valeur moyenne: deuxième définiion...5.4 Valeur moyenne: roisième définiion....5.5 La valeur moyenne ne dépend pas de la graduaion linéaire choisie sur l axe des abscisses :..6.6 Résumé de la méhode de calcul de la valeur moyenne :...7.7 Exemples de calculs de valeurs moyennes :...8.8 Mesure d'une valeur moyenne:...8.9 Composane coninue e composane alernaive. DC/AC....9. Inducance, condensaeur e valeur moyenne..... Valeur moyenne d une somme de foncions de même période... 4 EXERCICES SUR LES VALEURS MOYENNES DES SIGNAUX PERIODIQUES... Chap 9. Exercice : Valeur moyenne d une somme... Chap 9. Exercice 2 : Valeur moyenne de morceaux de sinusoïde.... Chap 9. Exercice : Charge inducive d un hacheur série en régime périodique.... Chap 9. Exercice 4 : Charge capaciive d une alimenaion à découpage....2 5 CE QUE J AI REENU DE CE CHAPIRE....2 6 REPONSES AUX QUESIONS DU COURS...4 emps de ravail esimé pour un apprenissage de ce chapire en auonomie : 7 heures Exrai de la ressource en ligne sur le sie Inerne Copyrigh : drois e obligaions des uilisaeurs L aueur ne renonce pas à sa qualié d'aueur e aux drois moraux qui s'y rapporen du fai de la publicaion de son documen. Les uilisaeurs son auorisés à faire un usage non commercial, personnel ou collecif, de ce documen e de la ressource Baselecpro noammen dans les aciviés d'enseignemen, de formaion ou de loisirs. oue ou parie de cee ressource ne doi pas faire l'obje d'une vene - en ou éa de cause, une copie ne peu pas êre facurée à un monan supérieur à celui de son suppor. Pour ou exrai de ce documen, l'uilisaeur doi mainenir de façon lisible le nom de l aueur Michel Piou, la référence à Baselecpro e au sie Inerne IU en ligne. La diffusion de oue ou parie de la ressource Baselecpro sur un sie inerne aure que le sie IU en ligne es inerdie. Une version livre es disponible aux édiions Ellipses dans la collecion echnosup sous le ire ÉLECRICIÉ GÉNÉRALE Les lois de l élecricié Michel PIOU - Agrégé de génie élecrique IU de Nanes France Du même aueur : MagnElecPro (élecromagnéisme/ransformaeur) e PowerElecPro (élecronique de puissance)
POURQUOI E COMMEN? Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - VALEUR MOYENNE DES SIGNAUX PERIODIQUES. Lorsqu on veu décrire un signal variable sans uiliser une descripion rop déaillée, on peu se conener d indiquer la moyenne de ses valeurs sur un inervalle donné. Lorsque ce signal es périodique, on s inéresse plus pariculièremen à la moyenne de ses valeurs sur un inervalle d une période. Cee informaion peu s avérer suffisane lorsque ce signal es appliqué à un disposiif len uniquemen sensible à la moyenne des solliciaions qu il reçoi. Prérequis : Inégrale simple d une foncion. Objecifs : Déerminaion de la valeur moyenne d un signal périodique. Méhode de ravail : Les signaux périodiques que nous allons renconrer seron souven décris par un graphe. Aussi, pluô que de nous précipier sur les calculs mahémaiques, nous privilégierons, auan que possible, une approche plus inuiive e graphique. L objecif éan d arriver au résula juse le plus rapidemen possible, peu êre faudra--il luer conre le célèbre proverbe : «Plus c es maheux, plus c es sérieux!». ravail en auonomie : Pour permere une éude du cours de façon auonome, les réponses aux quesions du cours son données en fin de documen. Corrigés en ligne : Pour permere une vérificaion auonome des exercices, consuler «Baselecpro» (chercher «baselecpro accueil» sur Inerne avec un moeur de recherche) IU en ligne - Baselecpro
2 INERE DE LA NOION DE VALEUR MOYENNE. Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 2 Avan de donner une définiion précise de la valeur moyenne, nous allons préciser son inérê au moyen de deux exemples. (Ces exemples n'on qu'une valeur d'illusraion, ils ne son pas à reenir). 2. Exemple N : variaion de viesse d'un moeur élecrique alimené par un hacheur. E k u c M «k» es un commuaeur réalisé avec des composans élecroniques. Il agi de façon à ne pas inerrompre le couran dans le moeur (de naure inducive). E es une ension coninue. Les basculemens périodiques de «k» génèren une ension u c () en créneaux qui enraîne la roaion du moeur élecrique à une viesse n(). a) Comporemen du moeur en régime périodique lorsque la fréquence de basculemen de «k» es faible : n E u c Lorsque u c () = E : le moeur accélère. Lorsque u c () = : le moeur raleni. b) Comporemen du moeur en régime périodique lorsque la fréquence de basculemen de «k» es élevée : n E u c Conclusion : Plus la fréquence de basculemen de «k» es élevée, plus la viesse du moeur end vers une consane déerminée par la moyenne des valeurs de u c () IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 2.2 Exemple N 2 : comporemen d une alimenaion à découpage. k E = consane posiive v L C Charge V charge «k» es un commuaeur réalisé avec des composans élecroniques E es une ension coninue. Les basculemens périodiques de «k» génèren une ension v () en créneaux. L inducance freine les variaions du couran dans C e dans la charge. Le condensaeur C freine les variaions de la ension aux bornes de la charge. Si la fréquence de foncionnemen de k es assez élevée, le condensaeur n a pas le emps de se charger e de se décharger de façon imporane. La ension V charge es quasimen consane. Sa valeur dépend de la moyenne des valeurs de v(). E v v charge E v v charge En conclusion : Si on associe un disposiif rapide avec un disposiif beaucoup plus len, le disposiif le plus len es généralemen sensible à la moyenne des solliciaions qu il reçoi du disposiif rapide. Le disposiif len es sensible à la «valeur moyenne» des signaux que lui applique le disposiif rapide. IU en ligne - Baselecpro
VALEUR MOYENNE D'UNE FONCION PERIODIQUE. Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 4. Valeur moyenne: première définiion. Avan d'exprimer la définiion de la valeur moyenne de façon mahémaique, il es bon de reenir cee définiion simple: "La valeur moyenne d'une grandeur périodique es la moyenne des valeurs de cee grandeur". () Exemple: Déerminer inuiivemen e représener la valeur moyenne des rois foncions périodiques v 2, v e v 4 suivanes en hachuran des aires convenablemen choisies (en s'inspiran du modèle v ) (Réponse :) v v 2 /2 v v 4 Nous pouvons consaer que nous disposons d une connaissance inuiive de la noion de valeur moyenne. Nous nous en servirons.2 Noaions normalisées de la valeur moyenne. La valeur moyenne d une foncion périodique f ( ) es noée de façon normalisée : F ou < F > (On renconre égalemen Fmoy, mais ce n es pas une norme inernaionale) () Dans ce cours, nous réserverons la noion de "valeur moyenne" à des grandeurs périodiques. IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 5. Valeur moyenne: deuxième définiion. Reprenons l'un des exemples précédens: < V > v v v Fig Période o Fig 2 Période Période Fig Sur la figure : Sur un inervalle d une période, nous avons hachuré les aires enre la foncion e la droie représenan la valeur moyenne. Nous avons consaé inuiivemen que, sur une période, l aire hachurée «au-dessus» de la valeur moyenne es égale à l aire hachurée au-dessous. Nous en déduisons que l aire hachurée sur la figure 2 es égale à l aire hachurée sur la figure. En conséquence : «Aire sous la courbe sur un inervalle d une période» = Valeur moyenne x Période D où la seconde définiion de la valeur moyenne : aire sous la courbe sur un inervalle d'une période Valeur moyenne = Période.4 Valeur moyenne: roisième définiion. L aire sous la courbe sur un inervalle d une période peu êre calculée au moyen d une inégrale. D où la roisième définiion de la valeur moyenne : Valeur moyenne = Période. o + Période o foncion(). d L inégrale peu êre calculée sur un inervalle d une période à parir d un poin o quelconque. La période es souven désignée par la lere. IU en ligne - Baselecpro
) Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 6.5 La valeur moyenne ne dépend pas de la graduaion linéaire choisie sur l axe des abscisses : De la démonsraion suivane, on ne reiendra que la conclusion. Rappel mahémaique : Soi une foncion u(x) coninue sur [a, b]. ( Soi une foncion Fux ( ) coninue sur [u(a), u(b)]. Soi f ( u( x) ) F' ( u( x) ) ( ( )) dfu x = =. du( x) ( ( )) dfu ( ( x) ) dfu x du( x) =. = dx du( x) dx ( ) f u( x). u'( x) (dérivée d une foncion composée). b ub ( ) f ( u( x) ). u'( x) dx = F( u( b) ) F( u( a) ) = f ( u( x) ). d( u( x) a u( a) b f u( x). u'( x) dx f u( x). d u( x) ( ) = ( ) ( a ub ( ) u( a) ) ) Applicaion: changemen de variable dans le calcul des valeurs moyennes. Soi une foncion f ( ω. ) (avec ω consane) coninue par morceaux (disconinuié en ), périodique de période. f o + < F > = f ( )d ω.. o < F > = o f ( ω. ).d + f ( ω. ) o + +.d o o + ωo ω ωo + ω ω < F > = ω o f ( ω. ) ω d + f ( ω. ) o + + ω d < F > = ω ω. ω.o f ( ω. ) d( ω. ) + f ( ω. ) d( ω. ) ω.o + ω. ω. + En conclusion : La valeur moyenne es indépendane de l échelle linéaire uilisée en abscisse ( ou ω.). o + 4 o 44 2444 ω.o + ω.. d( ω. ) 4 ω. ω.o 4444 244444 graduaion en «ω.» F = f ( ω. ).d = f ( ω. ) graduaion en IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 7 Lorsque la foncion don on veu calculer la valeur moyenne es consiuée de morceaux de sinusoïdes de π pulsaion ω = 2, il es généralemen plus facile d uiliser la variable θ = ω.. < F > = o + o f ω. ω.o + 2π ω.o 2π θo + 2π θo ().d = f ( ω. ). d( ω. ) = f ( θ ).d θ.6 Résumé de la méhode de calcul de la valeur moyenne : Si on dispose du graphe de la foncion, il es vivemen conseillé de représener une esimaion de la valeur moyenne en hachuran, sur un inervalle d une période, les aires «au-dessus» e «au-dessous». Si la méhode précédene (a)) ne donne pas un résula suffisammen précis, on peu, dans les cas simples, calculer l aire sous la courbe en uilisan la géomérie e uiliser : Valeur moyenne = aire sous la courbe sur un inervalle d' une Période période Si la méhode précédene (b)) ne donne pas un résula saisfaisan, on se résignera à uiliser un calcul inégral. Mais dans ce dernier cas, il convien d adoper une démarche rès méhodique : Choisir une origine des abscisses de façon que la descripion de la foncion soi simple. (2) Choisir une graduaion linéaire pour l axe des abscisses (x, ou θ où ) e représener cee graduaion sur la courbe. () Idenifier la période. Idenifier les bornes d inégraion sur un inervalle d une période (On peu commencer en un poin différen de zéro). Idenifier l expression de la foncion (évenuellemen morceau par morceau) Poser l inégrale en veillan à n uiliser que le paramère reenu pour l axe des abscisses. (2) Le résula du calcul ne dépend pas de l origine choisie () Le résula du calcul ne dépend pas de la graduaion linéaire choisie IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 8.7 Exemples de calculs de valeurs moyennes : Déerminer la valeur moyenne des quare foncions suivanes (Réponse 2:).5 F.5 F2 Figure Figure 2 F F4.5.5 -.5 Figure 4 N oubliez pas la méhode du paragraphe.6! - Figure.8 Mesure d'une valeur moyenne: La mesure des courans e des ensions moyens se fai avec des appareils magnéoélecriques (on di aussi "à cadre mobile"), ou des appareils numériques sur des calibres (4) «coninu» ou «DC» (pour «Direc Curen») ou «AV» (pour «Average») ou «=». (5) Symbole d un appareil magnéoélecrique : Les appareils magnéoélecriques son de plus en plus remplacés par les appareils numériques. (4) «calibre» : Posiion d un bouon de réglage. (Le bouon qui posiionne l appareil de mesure en «valeur moyenne» varie suivan les ypes d appareils). (5 ) Le erme anglais «Average» se radui en français par «moyenne». IU en ligne - Baselecpro
.9 Composane coninue e composane alernaive. DC/AC. Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 9 Pour désigner la «valeur moyenne», on emploie aussi l expression «composane coninue». Les deux expressions son équivalenes. La «composane alernaive» d une foncion périodique f() es l expression f ( ) F moy. Un oscilloscope es un appareil capable de visualiser le graphe des ensions qu on lui applique en foncion du emps. Chaque enrée de mesure es équipée d une possibilié de choix enre rois opions : AC «DC» ou «CC» qui dans ce cas signifie «enrée direce» : Le signal à mesurer es ransmis direcemen à l éage préamplificaeur. «AC» ou «CA» qui dans ce cas signifie DC «composane alernaive» : Le signal à mesurer es Préamplificaeur GND ransmis à l éage préamplificaeur au ravers d un de l oscilloscope condensaeur qui bloque la composane coninue e ransme uniquemen la composane alernaive. «GND» qui signifie «ground», c es à dire la référence (ou «masse») : Dans cee posiion l enrée de l oscilloscope es mise à zéro, ce qui perme de régler le zéro de l écran. (6) Voici un exemple de signal observé à l oscilloscope : DC Valeur moyenne AC Observé en DC Observé en AC Mesure de la valeur moyenne Voici deux ensions observées à l oscilloscope en «DC». Représener ce qu on observerai en «AC». (Réponse :).5.5 -.5 - (6)Aenion : la significaion de DC e AC diffère pour un oscilloscope e pour un volmère ou un ampèremère. IU en ligne - Baselecpro
. Inducance, condensaeur e valeur moyenne. ( ) L d i( ) i Pour une inducance : v( ) = L.. d v Le calcul de < V > donne le résula suivan : Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - < V > = o + o d L. ( i( )) L o + L d =.[ ] =.[ i( o + ) i( o )] d i( ) o En régime périodique : i ( o + ) = i( o ) < V > = La valeur moyenne de la ension aux bornes d une inducance es nulle ( ) C d v( ) i Pour un condensaeur : i( ) = C.. d v Le calcul de < I > donne le résula suivan : < I > = o + o d C. ( v( )) C o + C d =.[ ] =.[ v( o + ) v( o )] d v( ) o En régime périodique : v ( o + ) = v( o ) < I > = La valeur moyenne du couran dans un condensaeur es nulle. Valeur moyenne d une somme de foncions de même période. Lors de l uilisaion de la loi des mailles ou de la loi des nœuds, on fai appel à des sommes ou des différences. La valeur moyenne d une somme es-elle la somme des valeurs moyennes? v v2 v v( ) = v ( ) + v2( ) < V < V > = > = o + v( ).d = o o + o ( v ( ) + v ( )) o + o + v + = < > + < o ( ).d v o 2( ).d V V2 2.d > Donc: La valeur moyenne d'une somme de foncions de même période es la somme des valeurs moyennes. Les rois résulas éablis sur cee page son à connaîre par cœur. IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 4 EXERCICES SUR LES VALEURS MOYENNES DES SIGNAUX PERIODIQUES Chap 9. Exercice : Valeur moyenne d une somme. Esimer puis déerminer exacemen la valeur moyenne des rois foncions périodiques suivanes. I I 2 I 2 2 2 fig 8ms fig 2 8ms fig 8ms Chap 9. Exercice 2 : Valeur moyenne de morceaux de sinusoïde. Les ensions périodiques suivanes peuven êre observées dans cerains monages en élecronique de puissance : les pons redresseurs à hyrisors. Esimer (en hachuran des aires) puis calculer leur valeur moyenne. Vˆ v Vˆ v 2 Chap 9. Exercice : Charge inducive d un hacheur série en régime périodique. uc ic L E u c Un hacheur série applique à une résisance R en série avec une inducance L, la ension carrée uc( ) d ampliude «E» e de rappor cyclique «a». R a. Le rappor cyclique es défini par : emps de niveau hau a = période La ension périodique u c( ) engendre un couran ic( ) de même période. Exprimer < U c > en foncion de E e a. En déduire < I c > en foncion des élémens du monage. IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 2 Chap 9. Exercice 4 : Charge capaciive d une alimenaion à découpage. Une alimenaion à découpage applique le couran «i( )» ci-dessous à une résisance R en parallèle avec un condensaeur C. En régime périodique, les courans i ( ), i C ( ) e i R ( ) on une même période.. i i i C i R I max C R v R I min a. Exprimer < I >, < I C > e < I R > en foncion de Imin, Imax e a. En déduire < V R > en foncion des élémens du monage. 5 CE QUE J AI REENU DE CE CHAPIRE. L objecif de ce quesionnaire es d aider l éudian à évaluer lui-même sa connaissance du cours. Il es conseillé de répondre sur une feuille de papier e de ne pas se conener du senimen d avoir «enendu parler». a) i max i min i Esimer graphiquemen la valeur moyenne de i( ) en hachuran les surfaces appropriées. (Sans calcul) () a. IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - b) i max i 2 Calculer la valeur moyenne de uiliser la noion d inégrale. () i2 ( ) sans i min a. c) Soi une foncion i () périodique de période, 2π elle que i ( ) = Imax.cos. sur l inervalle, + e nulle sur l inervalle 6 6 5 +, +. 6 6 Représener ci-conre, le graphe de i (). Calculer la valeur moyenne de i (). (Réponse 6:) i i max - /6 +/6 5/6 d) A i v v v2 B Soi le monage ci-conre associan en série deux dipôles quelconques, avec v( ), v2 ( ) e i( ) de même période. Es-ce que, dans ous les cas, < V > = < V > + < V2 >? e) En régime périodique, que peu-on dire de la ension moyenne ou du couran moyen dans une inducance ou un condensaeur? Des ess ineracifs son disponibles sur le sie. Dans l ongle «ressources», indiquer «4» ou sur le sie GEII/Elecricié/ Circuis e composans linéaires en alernaif IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 4 6 REPONSES AUX QUESIONS DU COURS Réponse : v v 2 /2 < V > = 2 < V 2 > = v v 4 < V > = 2 < V 4 > = 2 Sur la figure : Sur un inervalle d une période, nous avons hachuré les aires enre la foncion e la droie représenan la valeur moyenne. Nous avons consaé inuiivemen que l aire hachurée «au-dessus» de la valeur moyenne es égale à l aire hachurée au-dessous. Reour Réponse 2: F Sin(θ).5 F2.5 π 2π Graphiquemen, par la première méhode («aire 2 au-dessus» = «aire au-dessous») : < F > Par la roisième méhode (calcul inégral) : π θ θ [ θ ] π 2 < F > = sin( ).d. cos( ) π = π = π π 2π Par la seconde méhode («aire sous la courbe sur un inervalle d une période»), si on compare F e F2, on voi que pour une même période «2π», l aire sous la courbe F2 es deux fois plus faible que l aire sous la courbe F. < F Donc F > < 2 > = = 2 π IU en ligne - Baselecpro
F4 Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 5.5 F.5 -.5 Par la première méhode («aire au-dessus» = «aire au-dessous»), il es éviden que < F 4 > =, 75. - Il es éviden que < F > = En effe, les aires des riangles «au-dessus» e «au-dessous» ne peuven êre égales que si la valeur moyenne es siuée à égale disance de «,5» e de. Reour Réponse :.5.5 -.5 En «AC», l oscilloscope visualise la composane alernaive - La valeur moyenne (ou composane coninue) d une sinusoïde es nulle. Le graphe es le même en «DC» ou en «AC» Reour Réponse 4: i max i min i Par la première méhode («aire au-dessus» = «aire au-dessous») : imax + imin I moy = 2 Reour a. Pour que les deux riangles soien égaux, la valeur moyenne doi êre à égale disance de i min e i max. Il n es donc pas nécessaire de faire le moindre calcul! IU en ligne - Baselecpro
Chapire 9 - Valeur moyenne des signaux périodiques - 6 Réponse 5: i max i 2 Par la seconde méhode («aire sous la courbe sur un inervalle d une période») : i min a. imax + imin.a. 2 i i I max + min < 2 > = =.a 2 Un raisonnemen sur l aire d un rapèze ou sur l aire du recangle hachuré suffi. Reour Réponse 6: i I max Par la roisième méhode (calcul de l aire sous la courbe sur un inervalle d une période au moyen d une inégral) : - /6 +/6 5/6 Avec une graduaion en emps : + 6 2π < I > = Imax.cos.. d 6 Graduaion en rad - π/ +π/ 5π/ 2π θ ou: Avec une graduaion en radian : + π I < I > = I.cos.d = max π max θ θ.2.sin 2π 2π π ( ) < I > = Imax. 2π Reour IU en ligne - Baselecpro