C - Trignmétrie Résultats d apprentissage généraux C COMMUNICATION RP RÉSOLUTION DE PROBLÈMES L LIENS R RAISONNEMENT E ESTIMATION ET CALCUL MENTAL T TECHNOLOGIE V VISUALISATION utiliser des triangles, incluant ceux que l n retruve dans l espace tridimensinnel et ceux que l n retruve dans un plan à deux dimensins pur résudre des prblèmes La présente unité apprfndit les ntins de la trignmétrie au myen des triangles rectangles et de la slutin des triangles bliques. Les ntins traitées cmprennent les angles d élévatin et de dépressin : { des prblèmes tuchant deux triangles rectangles; { l extensin des ntins de sinus et de csinus dans l intervalle 0 180 ; { les applicatins des lis des sinus et des csinus à l exclusin des cas ambigus; Pratiques d enseignement En dévelppant les ntins de la trignmétrie, les enseignants purraient truver utiles le matériel et les pratiques d enseignement qui suivent pur aider les élèves dans leur apprentissage : revir les fnctins trignmétriques de base au myen d une activité u d une expérience; { étendre les définitins des fnctins trignmétriques aux angles btus; { utiliser des applicatins infrmatiques pur intrduire la li des sinus et la li des csinus; { dnner aux élèves des preuves des lis de sinus et des csinus (les élèves ne snt pas tenus de mémriser les preuves). Matériel Lgiciel infrmatique { calculatrices graphiques { instruments de mesure pur les expériences, p. ex., règle, ruban à mesurer, rue à lanterne Durée : 11 heures DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 109
L'élève sera en mesure de/d' : 1. Résudre des prblèmes cmprenant des angles d élévatin et de dépressin dans un triangle rectangle. [L,RP,V] Curs autdidacte, Mdule 4, Leçn 1 Pré-calcul 20S, exercices cumulatifs Cabri-Gémètre II Cybergémètre CALCUL MENTAL Résudre des prblèmes impliquant des angles d élévatin et de dépressin. Les élèves divent cnnaître les tris principales fnctins trignmétriques définies à l aide des divers côtés d un triangle rectangle. 1. Exprime sus frme de rapprt : i) sin ii) cs iii) tan 12 θ 5 13 Seln les diagrammes 2. Est-ce là l angle de dépressin u d élévatin? sin = cs = tan = côté ppsé hypténuse côté adjacent hypténuse côté ppsé côté adjacent DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 110
TRAVAIL PRATIQUE 1. Dessine un angle de dépressin de 30. 2. Dessine un angle d élévatin de 40. On emplie suvent les expressins «angle d élévatin» et «angle de dépressin». Il faut mntrer que chaque angle est frmé par l hrizntale et la ligne de visée. ligne de visée ligne de visée 3. Une échelle en aluminium de 10 m est appuyée cntre un mur de l écle. Le pied de l échelle se truve à 2 m du mur. Quel angle l échelle frmet-elle avec le sl? 4. À quelle hauteur un cerf-vlant est-il si la ficelle mesure 180 m et qu elle frme un angle de 26 avec l hrizntale? Angle d élévatin Angle de dépressin 5. Un arpenteur utilise un thédlite pur mesurer hrizntale l angle d élévatin frmé par l hrizntale et la drite reliant le smmet de l instrument au smmet d un immeuble. La distance entre l appareil et l immeuble est de 34 m, l angle mesure 34 et le thédlite mesure 1,9 m de haut. Quelle est la hauteur de l immeuble? hrizntale 6. Truve l aire d un trapézïde au centième près. Tute fractin de degré devrait-être exprimée sus frme décimale. Expliquer que les unités de mesure d angles peuvent se subdiviser en minutes et en secndes mais que les subdivisins ne snt pas requises. La plupart du temps les angles snt exprimés en degrés avec ntatin décimale. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 111
1. Une mntglfière de la sciété immbilière Relax est à 250 m audessus du sl. L angle de dépressin entre l hrizntale et la drite reliant la mntglfière au pint d atterrissage mesure 30. Quelle est la distance au sl entre le pint situé juste sus la mntglfière et le pint d atterrissage? Slutin : 3. Dans le triangle rectangle ABC ù C est un angle drit, quelle est la valeur de sin 2 B? pint d attérissage 250 tan30 = x 250 x = tan30 x = 43,3m INSCRIPTION AU JOURNAL 2. Truver la hauteur à laquelle le Glden By se truve au smmet du Palais législatif du Manitba. Si vus êtes à 133 m de l immeuble et que l angle d élévatin jusqu à la main drite tenant la trche mesure 30, à quelle hauteur la statue se truve-t-elle? Slutin : Explique la différence entre l angle d élévatin et l angle de dépressin. x tan 30 = 133 x = 77 m apprx. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 112
L élève sera en mesure de/d : Curs autdidacte, Mdule 4, leçn 1 2. Résudre des prblèmes cmprenant deux triangles rectangles. [L,RP,V] Pré-calcul 20S : exercices cumulatifs 1. Les triangles ABC et BCD cmprtent chacun un angle drit en B et C, respectivement. Truver la lngueur de CD et de BD, et calculer le rapprt entre BD et AC. CALCUL MENTAL 1. Quel est l angle cmplémentaire de 45? De 35? de 46? 2. Quel est l angle supplémentaire de 120? De 140? De 60? 3. Si deux côtés d un triangle rectangle mesure 3 et 4 unités, quelle est la valeur de l hypténuse? Slutin : Dans ABC : BC tan 60 = 2 BC = 2tan 60 = 3, 46 2 cs 60 = AC 2 arrndi à deux AC = = 4,00 cs 60 décimales près Dans BCD : Dans BCD : DC tan 60 = 3,46 3, 46 cs 60 = BD DC = 5,99 3,46 BD 6,92 3,46 BD = = 6,92 = = cs 60 AC 4,00 2,00 4. Si l hypténuse d un triangle rectangle est 10, quelles snt les lngueurs pssibles des deux autres côtés? TRAVAIL PRATIQUE 1. Du haut d une tur de vigie de 100 m, un garde frestier repère deux feux, l un situé à un angle de dépressin de 5 et l autre à un angle de dépressin de 2. En suppsant que les incendies et la tur se truvent sur une même drite, calcule la distance entre les feux dans les cas suivants : a) les deux feux snt du même côté de la tur; b) il y a un feu de chaque côté de la tur. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 113
2. Si l hypténuse d un triangle rectangle est 25 et que la base mesure 20, quelle est la hauteur du triangle? 3. Truve la valeur de TZ. 2. Les plus hautes chutes d eau au Canada s appellent Della Falls et snt situées sur l île Vancuver. Une persnne se tenant au même niveau que celui de la base des chutes aperçit le smmet des chutes à un angle d élévatin de 58. Si elle se rapprche de 31 m de la base, l angle d élévatin devient 61. Quelle est la hauteur des chutes Della? Slutin : tan x x 61 = tan 58 = y y + 31 x x 31 tan 58 y = y = tan 61 tan 58 chutes 4. Tris rchers H, R et P srtent de l eau à l entrée du prt. Pierre peut-il faire passer en tute sécurité sn vilier mesurant 7 m de large entre les rchers P et R? Justifie ta répnse avec des calculs. x x 31 tan 58 = tan 61 tan 58 x tan 58 = x tan 61 31 tan 58 tan 61 31 tan 58 tan 61 x = tan 61 tan 58 x = 439 m DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 114
. Truver la lngueur de x : 10 10 cs C = cs C = x x 10 x = x 25 2 x = 250 x = 250 = 5 10 répnse exacte u 15,81 répnse apprx. Les élèves peuvent examiner diverses façns de résudre ce prblème. On peut alrs en prfiter pur passer en revue les ntins suivantes : angles cmplémentaires, angles supplémentaires, triangles semblables et thérème de Pythagre. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 115
L élève sera en mesure de/d : 3. Apprfndir les cncepts de sinus et de csinus des angles de 0 à 180. [R, T, V] Curs autdidacte, Mdule 4, leçn 3 Pré-calcul 20S : exercices cumulatifs Résudre des prblèmes impliquant des sinus et csinus d angles de 0 à 180. Cmme nus allns résudre des triangles autres que rectangles, les définitins des fnctins trignmétriques divent s appliquer aux angles mesurant entre 90 et 180. En guise de préface, l enseignant peut mener une discussin sur la catégrisatin des triangles, d après la lngueur des côtés (triangles scalènes, iscèles et équilatéraux) et la mesure des angles (angles aigus, btus, drits). Les fnctins trignmétriques d un angle aigu peuvent être définies d après les crdnnées (x, y) d un pint P dans un système cartésien rectangulaire, ù est un angle frmé par l axe psitif des x et le segment de drite OP. La lngueur de OP est r. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 116
D après les fnctins trignmétriques fndamentales : sin y r cs x r tan y x Si P(x, y) est dans le premier quadrant ù < 90 et x et y snt psitifs, tutes les fnctins trignmétriques des angles aigus sernt psitives. CALCUL MENTAL a) Dans le deuxième quadrant, la fnctin sin serat-elle psitive u négative? b) Dans le deuxième quadrant, la fnctin tan serat-elle psitive u négative? Si P(x, y) est situé dans le deuxième quadrant, alrs sera un angle btus (90 < < 180 ), et la valeur x de P(x, y) sera négative. Tute fnctin trignmétrique d un angle btus qui sera définie par x sera dnc négative. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 117
Pur tut angle btus tel que 90 < < 180. On a : sin y r cs x r > 0 car y > 0 < 0 car x < 0 y tan < 0 car x < 0 et y > 0. x 1. Utiliser la calculatrice pur remplir le tableau suivant (se servir de signes + et ) : sin cs tan 30 150 65 115 89 91 Truver deux autres paires d angles qui suivent le même patrn. sin cs tan DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 118
Les élèves devraient décuvrir les relatins entre les rapprts trignmétriques des angles supplémentaires. TRAVAIL PRATIQUE r 180-1. Truve la(les) valeur(s) de (0 180 ), si : a) sin = b) cs = c) tan = 1 2. Truve 1 2 1 2 2. Truver la (les) valeur(s) de A (0 A 180 ), quand sin A =. 1 2 Slutin : 30, 150 Truver la (les) valeur(s) de A (0 A 180 ), quand cs A =. Slutin : 60 1 2 Truver la (les) valeur(s) de A (0 A 180 ), quand cs A =. Slutin : 120 1 2 3. Truve : A (-6, 8) a) sin b) cs c) tan y x DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 119
4. Truver y P( 3, y) DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 120
L élève sera en mesure de/d : Curs autdidacte; Mdule 4, leçn 2, 4 Pré-calcul 20S : exercices cumulatifs 4. Appliquer les lis des sinus et des csinus pur résudre des prblèmes, en excluant les cas ambigus. [L,RP,V] Cabri-gémètre II Cybergémètre Dévelpper les lis du sinus et csinus. Il y a plusieurs façns de présenter les lis des sinus et cnsinus. On peut utiliser les lgiciels Cabri-gémètre II u Cybergémètre pur examiner les relatins prpres aux triangles nn rectangles. Par ces lgiciels, l enseignant peut intrduire aux élèves la li des sinus : et la li des csinus : a sin A b sin B c sin C a 2 = b 2 + c 2 2bc cs A b 2 = a 2 + c 2 2ac cs B c 2 = a 2 + b 2 2ab cs C N.B. : On dit étiqueter les angles de triangle avec des lettres majuscules et les côtés ppsés avec des lettres miniscules crrespndantes. CALCUL MENTAL 1. Les côtés d un triangle mesurent 6 cm, 8 cm et 11 cm. Utiliserais-tu la li des sinus u la li des csinus pur truver la valeur d un de ses angles? 2. Sit un ŒABC, ù AB = 6, SA = 40 et BC = 8. Utiliserais-tu la li des sinus u la li des csinus pur truver la valeur de AC? DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 121
L enseignant peut faire la preuve de la li des sinus en utilisant la frmule de calcul de l aire d un triangle, quand n cnnaît la lngueur de deux côtés et la valeur de l angle inclu. Preuve : Cmme l aire d un triangle est égale à la mitié du prduit de la base par la hauteur, l aire du triangle ABC est : 1 Aire = bh 2 h Tutefis, sin A = c h = c sin A 1 Aire = bc sin A 2 1 L aire est aussi égale à 2 ac sin B u 1 ab sin C 2 étant dnné que l aire est cnstante, quels que sient les angles u les côtés utilisés pur la mesurer. Si l n établit l égalité entre ces expressins, n btient : 1 2 bcsin A 1 2 acsin B 1 2 absin C DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 122
En simplifiant, n btient : sin A a sin B b sin C c u 1. TRAVAIL PRATIQUE a sin A b sin B c sin C Truve SA en utilisant la li des csinus. Dévelpper la preuve de la li des csinus en utilisant Pythagre : Dresse la hauteur de A jignant BC à M. Explique purqui M est le pint milieu de BC. Truve sin SBAM. Utilise ce résultat pur truver la mesure de SBAM en degrés. Utilise le résultat de c) pur truver SBAC. Cmpare tn résultat à a) ci-haut. Preuve : 2 2 2 h = a x 2 2 2 h = b ( c x) 2 2 2 2 a x = b ( c x) 2 2 2 2 2 a x = b c + 2cx x 2 2 2 b = a + c 2cx x Mais cs B=, alrs x= acs B a 2 2 2 b = a + c 2accsB De même a 2 = b 2 + c 2 2bc cs A c 2 = b 2 + a 2 2ab cs C 2. Une ligne de transprt d électricité dit passer directement au-dessus d un étang. La ligne sera sutenue par des pteaux installés aux pints A et B. Un arpenteur calcule que la distance entre B et C est égale à 580 m, et qu il y a 337 m entre A et C; l angle BCA mesure 105,34. Quelle est la distance entre le pteau A et le pteau B? DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 123
Il cnvient d expliquer aux élèves que les relatins existantes dans un triangle rectangle snt en fait des cas spéciaux de ces lis. Le fait que l ensemble des cnditins gémétriques CCC, CAC, ACA déterminent des triangles uniques est une cnséquence directe du thérème crrespndant de la cngruence. Il y a lieu d intégrer ces éléments à la discussin en classe. Cela ffre aussi une autre ccasin d examiner la relatin entre la mesure des divers angles et la lngueur des divers côtés d un triangle. Faire remarquer la relatin entre les dnnées et la li utilisée. Exemple, CAC et CCC snt des prblèmes utilisant la li des csinus. 3. Une jardinière pssède un terrain triangulaire mesurant 100 m sur 50 m sur 60 m. Elle veut répandre un engrais pur fleurs et légumes au taux de 1 kg par aire de 10 m 2. Chaque sac d engrais cntient 9 kg. Cmbien de sacs ditelle cmmander? 1. Résus ŒMNP 4. Truve le périmètre d un terrain triangulaire si deux de ses côtés snt 50 m et 80 m et que l angle inclus mesure 100. Arrndis ta répnse au mètre près. 5. Un arpenteur veut calculer la largeur d une falaise qu il ne peut traverser. Une drite AB de 200 m est dressée sur un côté de la falaise. Il répère un arbre C sur le côté ppsé de la falaise. Si SCAB = 56,5 et SABC = 37,4, truve la largeur de la falaise au pint C. Arrndis ta répnse au mètre près. 6. Sit ŒGHM ù g = 24 cm, h = 9 cm et m = 17 cm. Truve la mesure de l angle le plus grand du triangle. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 124
Slutin : m n p n = = sin M sin N sin P sin N 5,1 6,8 p 6,8 = = sin M sin 49 sin 96,5 sin 49 5,1 x sin 49 6,8 x sin 96,5 sin M = p = 6,8 sin 49 sin M = 0,566 032 1 p = 8,95 cm 1 M = sin 0,566 032 1 u 9,0 cm arrndi M = 34,5 à 1 décimale près P = 180 (49 + 34,5) = 96,5 7. Truve la valeur de h. Quelles hypthèses divent être psées afin de truver h? 8. D une fenêtre située au 12 e plancher, Jean bserve une buche d incendie à un angle de dépressin de 20. Descendant au 10 e plancher et d un pint 18 m sus le premier pint d bservatin, il bserve que l angle de dépressin à la même buche d incendie est de 12. Quelle est la distance entre la buche d incendie et la base de l édifice. (Arrndis ta répnse au mètre près.) 9. David aperçit un iseau sur le tit d une écle à un angle d élévatin de 35. Il se rapprche de 15 m de l écle et la mesure de l angle d élévatin devient 40. A quelle hauteur du sl se situe l iseau? (Assume que le sl est au niveau et que David s apprche directement vers l écle.) DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 125
2. Truver les valeurs manquantes dans le ŒTWV (Réslutin du triangle). 10.Pruve que l aire de ce triangle est A 1 ab sin. 2 B a h C θ b A w 2 = t 2 + v 2 2tv cs W w 2 = 9 2 + (7,8) 2 2 (9) (7,8) cs 112 w 2 = 141,84 + 52,59 w 2 = 194,434 77 w = 13,9 cm t w = sin T sinw 9 139, = sin T sin112 sin T = 06, 1 T = sin 06, T = 36, 9 (Indice: Démntre d abrd que h = a sin.) Cette frmule peut être utilisée pur truver l aire d un triangle si le pstulat CAC est furni. 11.Un vilier quitte le prt de Gibsn s Landing dans la directin 57 à l uest du sud. Après avir parcuru 8 km, le navire vire de brd et file dans la directin 31 à l est du sud pur 5 km. a) À quelle distance le vilier se truve-t-il alrs de Gibsn s Landing? b) Quel cap devrait-il suivre pur returner au quai à Gibsn s Landing? DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 126
3. Deux cabanes snt situées sur la même rive d un curs d eau, à 500 m l une de l autre. Un abri pur bateaux se truve de l autre côté de la rivière, entre les deux cabanes. C est ce qu illustre le diagramme figurant ci-après. Truver la distance entre l abri et la cabane B. 12.Le quadrilatère ABCD est un carré de 8 cm de côté. Le pint E est situé à l intérieur du carré, de srte que SEAB = SEBA = 10. Truve la lngueur de DE. Slutin : BC AB = sin A sin C BC 500 m = sin15 sin 90 500 sin 15 BC = sin 95 = 129,903 m La distance est apprximativement 130 mètres. 13.Un agriculteur a un champ de frme triangulaire. Il y a respectivement 530 m et 750 m du premier cin au secnd et du premier au trisième. L angle entre l hrizntale et la ligne de visée depuis le premier jusqu au secnd et depuis le premier jusqu au trisième mesure 53. Truve le périmètre et l aire du champ. DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 127
4. On dit cnstruire un tunnel dans la mntagne pur relier les villes X et Y. On ne peut vir la ville X ni depuis la ville Y ni depuis la ville Z. Cette dernière est située à 11,6 km de la ville Y. Le pint H est à 9,3 km de Z et à 5,7 km de X. L angle XHZ = 120 et l angle HZY = 140. Truver la lngueur XY et la valeur de l angle XYZ. Slutin : Utilisant la li des csinus : (XZ) 2 (5,7) 2 (9,3) 2 2(5,7)(9,3) cs 120 32,49 86,49 53,01 171,99 XZ 13,1 km INSCRIPTION AU JOURNAL 1. Recherche la frmule d Hern dans des livres de mathématiques. Cette frmule purrait être utilisée pur truver l aire d un triangle lrsque le pstulat CCC est dnné. 2. Tu te truves à une extrémité (A) d une caverne, et tn amie à l autre extrémité (B). Une distance de 50 m vus sépare. Chacun de vus repère un pint (C) au plafnd de la caverne; l angle que frme l hrizntale et la drite AC est de 71 et celui que frme l hrizntale et la drite BC est de 62. Le pint C se truve directement audessus de la drite hrizntale reliant A et B. Dessine un diagramme et truve la hauteur au pint C. Utilisant la li des sinus : 5,7 sin XZH 13,1 sin 120 5,7 x sin 120 sin XZH 13,1 sin SXZH 0,376 820 2 SXZH 22,14 (arrndi à 2 décimales près) SXZH 140 22,14 117,86 DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 128
Utilisant la lis des csinus : (XY) 2 (13,1) 2 (11,6) 2 2(13,1)(11,6) cs 117,86 171,61 134,56 142,03 448,2 XY 21,17 km DOCUMENT DE MISE EN OEUVRE - MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 20S - page 129
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