Séries, intégrales et probabilités

Séries, intégrles et probbilités Thierry MEYRE Préprtion à l grégtion interne. Année 2014-2015. Université Pris Diderot. IREM. http://www.prob.jussieu.fr/pgeperso/meyre

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BIBLIOGRAPHIE. Les ouvrges de référence CMP Anlyse MP. Cours (vec exercices-types, méthodes, exercices et problèmes corrigés). Monier. Editions Dunod. 5ème édition. 2007 CMPSI Anlyse MPSI. Cours, méthodes et exercices corrigés. Monier. Éditions Dunod. 5ème édition. 2006 DAN Mthémtiques pour l grégtion interne. Anlyse et Probbilités. Cours et exercices corrigés. Dntzer. Éditions Vuibert. 2007. EMP Anlyse MP. 200 exercices développés. 800 exercices d entrînement. Rppels de cours. Monier. Éditions Dunod. 2ème édition. 2004 EMPSI Les méthodes et exercices de Mthémtiques MPSI. Monier. Éditions Dunod. 2008. ESC Probbilités et Sttistiques pour le CAPES et l Agrégtion interne. Escoffier. Éditions Ellipses. 2006 RUD Principes d nlyse mthémtique. Rudin. Éditions Dunod. 2006 Ouvrges plus difficiles BAR Probbilité. Brbe, Ledoux. EDP Sciences. 2007. BP Théorie de l intégrtion. Brine, Pgès. Éditions Vuibert. 4ème édition. 2006 COT Exercices de Probbilités. Cottrell et l. Éditions Cssini. 2005. FOA Clcul des Probbilités. Fot, Fuchs. Éditions Dunod. 2ème édition. 1998 GRA Intégrtion. Grmin. Éditions Hermnn. 1998 3

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Chpitre 1 Intégrle de Riemnn. Il existe différentes théories de l intégrtion qui s ppliquent à des clsses de fonctions plus ou moins vstes. L théorie que nous llons exminer dns ce cours été formulée pr Bernhrd Riemnn, professeur à l université de Göttingen (Allemgne), en 1854. Elle le mérite de reposer sur une construction reltivement simple et s pplique bien ux fonctions continues pr morceux, qui sont les seules u progrmme officiel. Dns ce chpitre, nous considérons des pplictions définies sur un intervlle [, b] et à vleurs dns un espce de Bnch E sur le corps K = R ou C. Dns l prtique, nous intégrerons très souvent des pplictions à vleurs dns R ou C mis l construction de l intégrle de Riemnn pour des pplictions à vleurs dns un espce de Bnch générl n pporte ucune difficulté supplémentire. De même, nous llons définir l intégrle de Riemnn sur une clsse plus lrge que celle des pplictions continues pr morceux, à svoir l clsse des pplictions réglées, cr cel ne nous demnder ucun effort de construction supplémentire. 1.1 Applictions réglées. Définition 1.1.1 On ppelle subdivision d un intervlle réel [, b] toute fmille finie σ = ( i ) 0 i n d éléments du segment [, b] telle que : = 0 < 1 < < n = b On ppelle ps de l subdivision σ le réel positif σ = mx 0 i n ( i i 1 ) 5

6 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. On dit qu une subdivision σ est plus fine qu une subdivision σ si tous les éléments de σ pprtiennent à σ. Nous llons mintennt définir deux clsses de fonctions de [, b] dns E qui nous seront utiles dns l construction de l intégrle de Riemnn. Définition 1.1.2 On dit qu une ppliction f : [, b] E est en esclier s il existe une subdivision σ = ( i ) 0 i n de [, b] et des constntes (c i ) 0 i n 1 E n telles que, pour tout 0 i n 1, f ]i, i+1 [ c i. On dit que f : [, b] E est une ppliction continue pr morceux s il existe une subdivision σ = ( i ) 0 i n de [, b] et des pplictions f 0,, f n 1 telles que, pour tout 0 i n 1, f i est définie et continue sur [ i, i+1 ] vec x ] i, i+1 [ f(x) = f i (x) Dns les deux cs, on dit que l subdivision σ est dptée à l ppliction en esclier (resp. continue pr morceux) f. Remrques 1. Cette dernière condition équivut u fit que, pour tout 0 i n 1, l ppliction f ]i, i+1 [ est continue et prolongeble pr continuité ux extrémités de l intervlle. Ainsi, l ppliction suivnte f : [ 1, 1] R est continue sur ] 1, 0[ et ]0, 1[ mis n est ps continue pr morceux : f(x) = 1 si x 0 et f(0) = 0. x 2. Si σ est dptée à f, lors toute subdivision σ plus fine que σ est encore dptée à f. 3. On en déduit que si f et g sont deux pplictions en esclier (resp. continues pr morceux), vec des subdivisions dptées respectives σ et σ, lors σ σ est une subdivision dptée ux deux pplictions f et g à l fois. 4. Dns le cs prticulier où E = R ou C, le lecteur pourr montrer à titre d exercice que le produit de deux pplictions en esclier (resp. continues pr morceux) est encore une ppliction en esclier (resp. continue pr morceux). 5. Pour tout k N {+ }, on définit de fçon nlogue l notion d ppliction de clsse C k pr morceux.

1.1. APPLICATIONS RÉGLÉES. 7 Nottions et rppels : Nous noterons C([, b], E), resp. C M ([, b], E), E([, b], E), B([, b], E) l ensemble des pplictions f : [, b] E continues, resp. continues pr morceux, en esclier, bornées. Nous rppelons que (B([, b], E), +, ) est un espce vectoriel que nous munirons de l norme suivnte : f = sup f(x) E x [,b] Cette norme est encore ppelée norme de l convergence uniforme pour une rison que nous llons rppeler mintennt. Définitions 1.1.3 Soit (f n ) n N et f des pplictions définies sur l intervlle [, b] et à vleurs dns l espce de Bnch E. On dit que l suite d pplictions (f n ) n N converge simplement vers l ppliction f sur l intervlle [, b] si x [, b] ɛ > 0 N N n N f n (x) f(x) ɛ. On dit que l suite d pplictions (f n ) n N converge uniformément vers l ppliction f sur l intervlle [, b] si ɛ > 0 N N n N x [, b] f n (x) f(x) ɛ. Remrques 1. L convergence simple de (f n ) vers f sur [, b] équivut donc à dire que pour tout x [, b], l suite (f n (x)) n N converge vers f(x) dns E. 2. L convergence uniforme est plus forte que l convergence simple, l différence vennt de ce que N ne dépend ps de x dns le cs de l convergence uniforme, contrirement à ce qui se psse pour l convergence simple. Ainsi, si l on prend f n = 1 ]0,1/n[ et f 0, l suite (f n ) n N converge simplement vers f sur R mis ne converge ps uniformément vers f sur R. Proposition 1.1.4 Soit (f n ) une suite d pplictions bornées de [, b] dns E qui converge uniformément vers une ppliction f : [, b] E. Alors f est une ppliction bornée et f n f 0. L preuve de cette proposition est lissée u lecteur à titre d exercice.

8 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: L espce vectoriel normé (B([, b], E), ) est un espce de Bnch cr il hérite de l complétude de E. Preuve : [DAN 43]. Il est fcile de vérifier qu une ppliction continue pr morceux est bornée, en utilisnt le fit que chcune des pplictions f 0,, f n 1 de l définition est continue sur un intervlle compct donc bornée. Nous consttons lors que E([, b], E) est un sous-espce vectoriel de C M ([, b], E), qui est lui-même un sous-espce vectoriel de B([, b], E). Nous llons mintennt prouver l églité suivnte : C M ([, b], E) = C([, b], E) + E([, b], E) Commençons en introduisnt une définition simple mis bien utile dns l prtique. Définition 1.1.5 Soit F un ensemble quelconque et A une prtie de F. On ppelle fonction indictrice de A l ppliction notée 1 A : F {0, 1} définie pr 1 A (x) = 1 si x A et 1 A (x) = 0 si x / A. Remrque: Cette ppliction est ppelée dns certins ouvrges d nlyse fonction crctéristique de A mis nous n utiliserons ps ce vocble dns ce cours cr l notion de fonction crctéristique en clcul des probbilités est tout utre. Proposition 1.1.6 Pour toute ppliction f C M ([, b], E), il existe une ppliction f c C([, b], E) et une ppliction f e E([, b], E) telles que : f = f c + f e Démonstrtion: Nous llons prouver pr récurrence sur n N l proposition suivnte : P n : Toute ppliction f C M ([, b], E) dmettnt u plus n points de discontinuité peut s écrire sous l forme nnoncée L proposition P 0 est trivilement vrie. Montrons mintennt que P n 1 implique P n. Soit f dmettnt u plus n points de discontinuités et x 0 l un de ces points. Nous définissons l ppliction g E([, b], E) pr : x [, b], g(x) = f(x 0 )1 [,x0 [(x) + f(x 0 )1 {x0 }(x) + f(x 0 +)1 ]x0,b](x) On vérifie fcilement que l ppliction h = f g dmet u plus n 1 points de discontinuité donc pr hypothèse de récurrence, on peut écrire h = h c +h e. Nous vons donc f = h c + h e + g et nous concluons en posnt : f c = h c, f e = h e + g

1.1. APPLICATIONS RÉGLÉES. 9 À titre d exercice, le lecteur pourr montrer que les pplictions f c et f e sont uniques à constnte dditive près. Définition 1.1.7 On dit qu une ppliction f : [, b] E est réglée si elle est limite uniforme d une suite d pplictions en esclier. Autrement dit, l ensemble R([, b], E) des pplictions réglées est le sousespce vectoriel de B([, b], E) défini comme l dhérence de E([, b], E) pour l norme de l convergence uniforme : R([, b], E) = E([, b], E) Proposition 1.1.8 Toute ppliction f : [, b] E continue pr morceux est réglée. Autrement dit, on l inclusion : C M ([, b], E) R([, b], E). Démonstrtion: Nous vons évidemment E([, b], E) R([, b], E) donc, d près l proposition précédente, il suffit de prouver l inclusion : C([, b], E) R([, b], E) Considérons donc f : [, b] E continue et, pour tout n N, définissons l fonction en esclier f n : [, b] E pr n 1 ( x [, b], f n (x) = f + k b ) 1 n [+k b n,+(k+1) b [(x)+f(b)1 {b}(x) n k=0 Puisque f est continue sur l intervlle compct [, b], elle est uniformément continue d près le théorème de Heine. Ainsi, pour ɛ > 0 rbitrire, on peut trouver α > 0 tel que Posons N = [ b α (x, y) [, b] 2 x y α = f(x) f(y) ɛ ] + 1 de sorte que n N b n n N, f f n ɛ α. Nous vons lors : Comme ɛ > 0 étit rbitrire, ceci prouve que f est limite uniforme de l suite (f n ). On peut crctériser les fonctions réglées pr l propriété suivnte. Nous dmettrons ce résultt, dont le lecteur pourr trouver l preuve dns les nciens livres de clsses préprtoires. Proposition 1.1.9 Une ppliction f : [, b] E est réglée si et seulement si elle dmet une limite à droite en tout point de [, b[ et une limite à guche en tout point de ], b].

10 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: Nous déduisons de cette crctéristion des pplictions réglées que toute ppliction monotone f : [, b] R est réglée et qu un produit de deux pplictions réglées de [, b] dns R (ou C) est encore une ppliction réglée. Exemple: L ppliction f : [0, 1] R définie pr f(x) = (E[x 1 ]) 1 pour 0 < x 1 et f(0) = 0 est réglée : on peut le prouver directement d près l définition ou bien constter qu elle est croissnte. En revnche, elle n est ps continue pr morceux. En effet, l ensemble de ses discontinuités est infini dénombrble : c est { 1, n 2}. n Nous consttons donc que l inclusion énoncée dns l proposition 1.1.8 est stricte : C M ([, b], E) R([, b], E). 1.2 Construction de l intégrle de Riemnn 1.2.1 Intégrle d une ppliction en esclier Proposition et définition 1.2.1 Soit f : [, b] E une ppliction en esclier et σ = ( i ) 0 i n une subdivision dptée à f : 0 i n 1, f ]i, i+1 [ c i. Alors l somme n 1 i=0 ( i+1 i )c i est un élément de E indépendnt de l subdivision σ choisie. On l ppelle intégrle sur [, b] de l ppliction f et l on note : b n 1 f(x)dx = ( i+1 i )c i i=0 Démonstrtion: Pour prouver que les sommes ssociées à deux subdivisions dptées σ et σ sont identiques, on compre chcune d entre elles à l somme ssociée à l subdivision plus fine σ σ, ce qui permet de conclure fcilement. Proposition 1.2.2 Pour toute ppliction f E([, b], E), on f E([, b], R) et b b f(x)dx f(x) dx

1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 11 Démonstrtion: Si σ = ( i ) 0 i n est une subdivision dptée à f, nous consttons imméditement qu elle est ussi dptée à l ppliction f qui est encore en esclier. L inéglité que nous cherchons à prouver s écrit donc n 1 n 1 ( i+1 i )c i ( i+1 i ) c i i=0 i=0 et résulte de l inéglité tringulire. Proposition 1.2.3 L ppliction I : E([, b], E) E définie pr f E([, b], E) I(f) = b f(x)dx est une ppliction linéire continue de norme I L = b. Démonstrtion: On vérifie imméditement que (λ, µ) R 2 (ou C 2 ) (f, g) E([, b], E) 2 I(λf + µg) = λi(f) + µi(g) en effectunt le clcul vec une subdivision σ dptée à l fois à f et g. L proposition précédente nous donne b n 1 f(x)dx n 1 ( i+1 i ) c i ( i+1 i ) f = (b ) f i=0 donc I est une ppliction linéire continue de norme u plus égle à (b ). Il nous reste à remrquer que l églité est obtenue pour une fonction constnte non nulle, ce qui nous permet de conclure. i=0 1.2.2 Intégrle d une ppliction réglée Pour prolonger l ppliction linéire continue I de E([, b], E) à R([, b], E), nous llons utiliser un procédé générl énoncé dns l proposition suivnte. Proposition 1.2.4 Soient F un espce vectoriel normé, F 1 un sous-espce dense de F et E un espce de Bnch. Alors toute ppliction linéire continue u : F 1 E se prolonge de mnière unique en une ppliction linéire continue û : F E de même norme : û L = u L.

12 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Soit x F ; il existe une suite (x n ) F N 1 qui converge vers x. L suite (x n ) étnt convergente dns F, elle est de Cuchy et l inéglité u(x n ) u(x m ) u L x n x m prouve que l suite (u(x n )) est de Cuchy dns l espce de Bnch E donc convergente. Nous pouvons poser û(x) = lim u(x n ) sns mbiguïté cr l vleur de cette limite ne dépend ps du choix de l suite (x n ) qui converge vers x ; en effet, si (x n ) et (y n ) convergent toutes deux vers x, lors x n y n 0 et l inéglité u(x n ) u(y n ) u L x n y n implique lim u(x n ) = lim u(y n ). L ppliction û : F E insi définie est linéire puisque, si (x n ) converge vers x et (y n ) converge vers y, lors l suite (λx n +µy n ) converge vers λx+µy d où : û(λx + µy) = lim u(λx n + µy n ) = lim(λu(x n ) + µu(y n )) = λû(x) + µû(y) Si (x n ) converge vers x, en pssnt à l limite dns l inéglité u(x n ) u L x n, nous obtenons û(x) u L x donc û L u L. Pr illeurs, si nous notons S (resp. S 1 ) l sphère unité de F (resp. F 1 ), nous vons : û L = sup û(x) sup û(x) = sup u(x) = u L x S x S 1 x S 1 d où finlement û L = u L. Il nous reste à démontrer l unicité de ce prolongement. Soit donc v : F E une ppliction linéire continue telle que x F 1, v(x) = u(x). Soit x F quelconque ; lors il existe (x n ) F N 1 qui converge vers x. A fortiori, (x n ) est une suite d éléments de F qui converge vers x et donc, pr continuité de v sur F, v(x) = lim v(x n ). D utre prt, pour tout n N, x n F 1 et donc v(x n ) = u(x n ). En définitive, nous obtenons pour x F quelconque : v(x) = lim v(x n ) = lim u(x n ) = û(x) Nous en déduisons imméditement l proposition suivnte, qui nous permet de définir l intégrle de Riemnn d une ppliction réglée.

1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 13 Proposition 1.2.5 L ppliction I : E([, b], E) E définie pr f E([, b], E) I(f) = b f(x)dx se prolonge de fçon unique en une ppliction linéire continue Î : R([, b], E) E de norme Î L = b. Pour toute ppliction f : [, b] E réglée, nous ppellerons intégrle de Riemnn de f sur [, b] l vleur Î(f) et nous noterons Î(f) = b f(x)dx Corollire 1.2.6 (Inéglité de l moyenne) f R([, b], E) b f(x)dx (b ) f Remrques 1. On ppelle moyenne de l ppliction f sur l intervlle [, b] l élément de E suivnt : 1 b f(x)dx b S norme (dns E) est donc mjorée pr f. 2. Pr convention, nous poserons b f(x)dx = b f(x)dx 1.2.3 Propriétés élémentires Proposition 1.2.7 (Reltion de Chsles) Soit f R([, b], E) et c ], b[ ; lors, on l églité b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx

14 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Si f E([, b], E), il suffit de choisir une subdivision σ dptée à f et contennt le point c (ce qui est toujours possible quitte à rjouter ce point à l subdivision) pour obtenir l églité. Dns le cs générl, il existe une suite (f n ) d éléments de E([, b], E) qui converge uniformément vers f et nous concluons en pssnt à l limite dns l églité b Proposition 1.2.8 f n (x)dx = f R([, b], E) c b f n (x)dx + b c f n (x)dx b f(x)dx f(x) dx Démonstrtion: Nous prenons une suite (f n ) d éléments de E([, b], E) qui converge uniformément vers f et nous écrivons l inéglité donnée pr l proposition 1.2.2 : b b f n (x)dx f n (x) dx (1.1) Remrquons mintennt que ( f n ) est une suite d éléments de E([, b], R) qui converge uniformément vers f R([, b], R) puisque l inéglité tringulire nous donne n N x [, b] f n (x) f(x) f n (x) f(x) f n f Nous en déduisons que f R([, b], R) et que, pr définition même de l intégrle de Riemnn, nous vons l églité : b f(x) dx = lim b f n (x) dx Il nous reste lors à psser à l limite dns l églité (1.1) pour conclure. Exercice: Soit f R([, b], C). Nous svons qu il existe une suite (f n ) d éléments de E([, b], C) qui converge uniformément vers f. Montrer que (Rf n ) est une suite d éléments de E([, b], R) qui converge uniformément vers Rf. Procéder à un risonnement similire vec (If n ). En déduire l églité : b g(t) dt = b Rg(t) dt + i b Ig(t) dt

1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 15 1.2.4 Intégrle d une ppliction à vleurs réelles Nous llons mintennt énoncer des propriétés de l intégrle de Riemnn spécifiques u cs où f est une ppliction à vleurs dns E = R. Proposition 1.2.9 0 (Croissnce) (f, g) R([, b], R) 2 Démonstrtion: nous vons : b (Positivité) f R([, b], R) f 0 b f(x)dx f g b f(x)dx b g(x)dx L première propriété résulte de l proposition 1.2.8 puisque f(x)dx = b f(x) dx b f(x)dx 0 L seconde propriété est une conséquence de l première pr linérité. Proposition 1.2.10 Soit f C([, b], R) telle que f 0. Alors, on l impliction suivnte : b f(x)dx = 0 f 0. Démonstrtion: Nous risonnons pr l bsurde en supposnt l existence de x 0 [, b] tel que f(x 0 ) > 0. Nous remrquons lors que, pr continuité de f en x 0, il existe un segment non réduit à un point [c, d] inclus dns [, b] et tel que x [c, d] f(x) f(x 0). 2 En utilisnt l reltion de Chsles et l proposition précédente, nous en déduisons : b d où une contrdiction. f(x)dx d c f(x)dx (d c)f(x 0) 2 > 0, Remrque: L proposition précédente ne se générlise ps u cs d une ppliction f continue pr morceux. Il suffit de considérer f = 1 {} pour le constter. Proposition 1.2.11 (Inéglité de Cuchy-Schwrz) Soient f, g R([, b], R) ; lors nous vons l inéglité suivnte : b ( b ) 1 ( f(x)g(x)dx f 2 2 b ) 1 (x)dx g 2 2 (x)dx. Si nous supposons en outre f et g continues sur [, b], lors il y églité si et seulement si f et g sont linéirement liées.

16 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Considérons l ppliction P : R R définie pr λ R P (λ) = b (λf + g) 2 (x)dx. D près l positivité de l intégrle de Riemnn étblie dns l proposition 1.2.9, nous vons P (λ) 0 pour tout λ R. En outre, nous consttons que P est un polynôme de degré u plus 2 puisque λ R b P (λ) = λ 2 f 2 (x)dx + 2λ b f(x)g(x)dx + b g 2 (x)dx. Si b f 2 (x)dx = 0, l inéglité P (λ) 0, λ R implique b f(x)g(x)dx = 0 (fire tendre λ vers ou + ) et donc l inéglité de Cuchy-Schwrz est imméditement vérifiée. Sinon, le polynôme P est de degré 2 et ne prend jmis de vleur strictement négtive donc son discriminnt est négtif ou nul, ce qui nous donne l inéglité voulue. Pssons mintennt u cs d églité en supposnt que ( b 2 ( b f(x)g(x)dx) = ) ( b ) f 2 (x)dx g 2 (x)dx. Si f = 0, il y évidemment une liison linéire entre f et g. Sinon, d près l proposition 1.2.10, nous vons b f 2 (x)dx > 0 et P est un polynôme de degré 2 dont le discriminnt est nul. Il dmet lors une unique rcine double que nous notons λ 0. Nous vons donc b (λ 0 f + g) 2 (x)dx = 0 et l proposition 1.2.10 nous permet d en déduire, puisque (λ 0 f + g) 2 C([, b], R), que λ 0 f + g = 0. Il est fcile de vérifier réciproquement que s il existe (α, β) R 2 {(0, 0)} tel que αf + βg = 0, lors nous nous trouvons dns le cs d églité de Cuchy- Schwrz. Remrques 1. On démontre pr une preuve très similire l inéglité de Cuchy- Schwrz dns le cdre beucoup plus générl des espces préhilbertiens réels. Le lecteur pourr trouver cette preuve dns [DAN 9-10].

1.2. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 17 2. Dns le cs où f, g R([, b], C), l inéglité de Cuchy-Schwrz s écrit : b ( b f(x)ḡ(x)dx ) 1 ( f(x) 2 2 b ) 1 dx g(x) 2 2 dx et le cs d églité pour des pplictions continues reste celui où f et g sont linéirement liées. Le lecteur pourr dpter l démonstrtion précédente à titre d exercice en choisissnt, pour (f, g) fixé, un couple (ρ, θ) R + R tel que b f(x)ḡ(x)dx = ρeiθ puis en considérnt : P (λ) := b Exercices Référence :EMPSI pges 81-83 f(x) + λe iθ g(x) 2 dx. 1. Soit f C([, b], R) telle qu il existe x 1 [, b] tel que f(x 1 ) > 0, et b f = 0. Montrer qu il existe x 2 [, b] tel que f(x 2 ) < 0. 2. Déterminer les limites respectives des suites : n = 1 0 x n 1 + x dx ; b n = π 0 sin x x + n dx ; c n = π 0 n sin x x + n dx ; d n = 3. Soient f, g C([0, 1], R) telles que f 0, g 0, fg 1. Prouver l inéglité 1 0 f(x)dx 4. Soit f C([0, 1], R) telle que 1 0 f 2 = Montrer que f 0 ou f 1. 1 0 1 0 ****** g(x)dx 1. f 3 = Nous terminons ce prgrphe en énonçnt deux résultts clssiques (mis hors progrmme) fisnt intervenir l notion de moyenne qui été définie dns l remrque suivnt l proposition 1.2.6. 1 0 f 4. 1 0 1 + xn dx. Proposition 1.2.12 (Première formule de l moyenne) Soient f C 0 ([, b], R) et g R([, b], R) telle que g 0. Alors : c [, b] b f(x)g(x)dx = f(c) b g(x)dx

18 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Démonstrtion: Considérons l ppliction h : [, b] R définie pr : x [, b] h(x) = f(x) b g(x)dx L ppliction f étnt continue sur le compct, connexe [, b] et l intégrle de g sur [, b] étnt positive, nous vons : [ ] h([, b]) = inf f [,b] b Puisque g 0, nous vons les inéglités : g(x)dx, sup f [,b] b g(x)dx x [, b] inf [,b] f g(x) f(x)g(x) sup f g(x) [,b] Pr intégrtion sur l intervlle [, b], nous en déduisons : inf f [,b] b g(x)dx b f(x)g(x)dx sup f [,b] b g(x)dx Autrement dit, le réel b f(x)g(x)dx pprtient à h([, b]), d où l existence de c [, b] tel que b f(x)g(x)dx = h(c) = f(c) b g(x)dx Proposition 1.2.13 (Seconde formule de l moyenne) Soient f : [, b] R, supposée positive et décroissnte et g R([, b], R). Alors, c [, b] b f(x)g(x)dx = f(+) c g(x)dx Démonstrtion: Voir [DAN 201-202] qui prouve ce résultt dns le cs où f et g sont continues pr morceux. Dns le cs générl, remrquons que b f(x)g(x)dx est bien définie à cuse de l remrque fite à l suite de l proposition 1.1.9 : f est réglée cr décroissnte et fg est réglée en tnt que produit d pplictions réglées. Le reste de l démonstrtion s dpte sns difficulté.

1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE 19 1.3 Outils prtiques de clcul d une intégrle Tous les outils que nous présenterons dns ce prgrphe reposent en fit sur le lien entre intégrle et primitive, que nous llons donc triter en premier. Pour cette prtie très clssique, le lecteur pourr se reporter de préférence à [DAN 190-195] ou encore à [CMPSI 230-234]. Dns tout ce prgrphe, I désigne un intervlle réel d intérieur non vide (i.e. I ni vide ni réduit à un point). Nous rppelons ici l inéglité des ccroissements finis : Proposition 1.3.1 Soit E un espce vectoriel normé et f : [, b] E une ppliction continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. S il existe M R + tel que f (x) M pour tout x ], b[, lors nous vons l inéglité : f(b) f() M(b ) 1.3.1 Utilistion d une primitive Définition 1.3.2 Soient f et F deux pplictions de I dns E. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivble sur I et telle que F = f. Proposition 1.3.3 Soient F une primitive de f sur I et G : I E. Alors G est une primitive de f sur I si et seulement si : C E x I G(x) = F (x) + C. Démonstrtion: Il est immédit de vérifier qu une ppliction G de l forme précédente est bien une primitive de f sur I. Réciproquement, si nous supposons que G est une primitive de f sur I, nous consttons que l ppliction G F est dérivble sur I, de dérivée nulle. L inéglité des ccroissements finis entrîne lors (en mjornt l norme de l dérivée pr l constnte nulle!) que l ppliction G F est constnte sur I, d où l conclusion. Remrque: Dns l définition et les deux propositions précédentes, nous vons simplement supposé que E est un espce vectoriel normé quelconque. Désormis, nous urons besoin de supposer que E est un espce de Bnch fin de pouvoir introduire des intégrles d pplictions à vleurs dns E.

20 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Théorème 1.3.4 (fondmentl de l nlyse) Soit f : I E une ppliction continue et I. Alors l ppliction F : I E définie pr est une primitive de f sur I. x I F (x) = x f(t) dt Démonstrtion: Soit x 0 I ; nous llons prouver que F est dérivble en x 0 et que F (x 0 ) = f(x 0 ). Soit ɛ > 0 rbitrire. Puisque l ppliction f est continue u point x 0, nous pouvons choisir α > 0 tel que t I t x 0 α = f(t) f(x 0 ) ɛ. Pour tout réel h non nul tel que x 0 + h I et h α, nous vons 1 ( F (x0 + h) F (x 0 ) ) f(x 0 ) h = 1 h = 1 h f(t) dt f(x 0 ) x 0 ( f(t) f(x0 ) ) dt x0 +h x0 +h d où les inéglités 1 ( F (x0 + h) F (x 0 ) ) f(x 0 ) h 1 h x 0 x0 +h x 0 ɛ dt ɛ. Nous en déduisons que F est dérivble en x 0 et que F (x 0 ) = f(x 0 ). Remrques 1. Dns le cs où I = [, b], si nous supposons seulement f R([, b], E), l ppliction F n est ps forcément dérivble mis est toujours continue sur [, b] : le lecteur le prouver fcilement en utilisnt le fit que l ppliction f est bornée. 2. L importnce de l hypothèse de continuité est mnifeste dns cette preuve. Si l on suppose seulement que f est continue (resp. continue à droite, continue à guche) u point x 0 I, l même démonstrtion montre que F est dérivble (resp. dérivble à droite, dérivble à guche) u point x 0 et que l dérivée F (x 0 ) (resp. dérivée à droite F d (x 0), dérivée à guche F g(x 0 )) est égle à f(x 0 ). Ainsi, si f C M (I, E), nous vons F (x) = f(x) en tout point x où f est continue ; le lecteur vérifier lors que F C 0 CM 1 (I, E).

1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE 21 Corollire 1.3.5 Toute ppliction continue f : I E dmet u moins une primitive sur I. En choisissnt f : R + R définie pr f(x) = 1/x, nous pouvons définir le logrithme népérien comme l unique primitive de f s nnulnt u point 1. Grâce u théorème fondmentl de l nlyse, nous obtenons une méthode qui est à l bse du clcul prtique des intégrles : l utilistion d une primitive. C est de cette méthode de clcul que découlent l intégrtion pr prties et le chngement de vrible que nous énoncerons ci-dessous. Proposition 1.3.6 Soit f : I E une ppliction continue, [, b] un segment inclus dns I et F une primitive de f sur [, b]. Nous vons lors l églité Démonstrtion: b f(x) dx = F (b) F (). Nous définissons l ppliction G : I E pr x I G(x) = x f(t) dt. En ppliqunt l proposition 1.3.3, nous consttons que l ppliction G F est constnte sur [, b]. En prticulier, G(b) F (b) = G() F (), ce qui s écrit encore G(b) G() = F (b) F (), d où l conclusion. Remrque: Nous utiliserons l nottion suivnte : [F (x)] b = F (b) F (). 1.3.2 Intégrtion pr prties Proposition 1.3.7 Soient f, g C 1 ([, b], K). Alors on l églité : b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b b f (x)g(x)dx. Démonstrtion: Nous utilisons l églité (fg) = f g + fg et, puisque toutes les pplictions en jeu sont continues sur [, b], nous l intégrons entre et b : b (fg) (x)dx = b f (x)g(x)dx + b f(x)g (x)dx. D près l proposition 1.3.6, le membre de guche est égl à [f(x)g(x)] b, d où l conclusion.

22 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: On peut fcilement générliser l proposition précédente u cs où f C 1 ([, b], R) et g C 1 ([, b], E). Voir [DAN 192]. Un exemple clssique d utilistion de l intégrtion pr prties est le clcul des intégrles de Wllis ([CMPSI 234] ou [DAN 206-208] qui est plus détillé) : I n := π/2 0 sin n x dx, n N On peut en déduire l formule de Wllis [CMP 261] qui nous donne l équivlent suivnt lorsque n tend vers l infini : π I n 2n Cet équivlent est utile notmment pour déterminer l constnte intervennt dns l formule de Stirling : n! 2π n n+1/2 e n. L formule de Tylor vec reste intégrl se démontre pr récurrence grâce à une intégrtion pr prties : Proposition 1.3.8 Soient I un intervlle non réduit à un point, n N et f C n+1 (I, K). Pour tout (, b) I 2 vec b, nous vons l églité : n f (k) () b f(b) = (b ) k f (n+1) (t) + (b t) n dt k! n! Exercices k=0 1. (EMPSI 83) Soit f C 2 ([0, 2π], R) une ppliction convexe. Prouver l inéglité 2π 0 f(x) cos x dx 0. 2. (CMPSI 235) Prouver l convergence suivnte lorsque x + : x 1 et log t dt 1. e x log x 1.3.3 Chngement de vrible Proposition 1.3.9 Soient f C 0 (I, E) et u C 1 ([, b], I). Alors on l églité : b f(u(t)) u (t)dt = u(b) u() f(x) dx.

1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE 23 Démonstrtion: Considérons l ppliction G : I E définie pr x I G(x) = x u() f(t)dt et l ppliction F : [, b] E définie pr F = G u. D près l proposition 1.3.4, l ppliction G est une primitive de f sur I ; en prticulier, G C 1 (I, E). Comme en outre u C 1 ([, b], I), nous en déduisons pr composition que F C 1 ([, b], E) et t [, b] F (t) = f(u(t))u (t). Ainsi, F est une primitive de l ppliction continue t f(u(t))u (t) sur [, b] et nous concluons pr l proposition 1.3.6. Remrques 1. On dit courmment que l on posé le chngement de vrible x = u(t) et donc que (formellement) dx = u (t)dt. 2. On peut générliser l proposition précédente u cs où f est simplement continue pr morceux mis u prix d une condition supplémentire : u strictement monotone de [, b] sur I = [α, β]. Voir [DAN 194] Voici une ppliction de l proposition 1.3.9 u cs d une fonction périodique. Proposition 1.3.10 Soit f C(R, E) une ppliction T -périodique (T > 0). Alors nous vons l églité : (t 1, t 2 ) R 2 t1 +T t 1 f(x) dx = t2 +T t 2 f(x) dx. Démonstrtion: t1 +T D près l reltion de Chsles, t2 t2 +T f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + t 1 t 1 t 2 Il nous suffit donc pour conclure de prouver l églité : t2 t 1 f(x)dx = t2 +T t 1 +T f(x)dx, t1 +T t 2 +T qui s écrit encore, en vertu de l T -périodicité de l ppliction f, t2 t 1 f(x + T )dx = t2 +T t 1 +T f(y)dy f(x)dx. et cette dernière églité résulte du chngement de vrible y = x + T.

24 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: En vertu de l remrque précédente, cette proposition se générlise u cs où f est continue pr morceux. En effet, le chngement de vrible que nous vons utilisé dns l démonstrtion est strictement croissnt puisqu il s git simplement d une trnsltion. 1.3.4 Exercices suggérés. Référence :EMPSI pges 81-83 1. Soit f C([0, 1], R). Prouver l inéglité 1 (f(x) + xf(1 x))dx 3 2 f. 0 2. Clculer l vleur de l intégrle 2π 1 + cos x dx. 2 3. Clculer l vleur de l intégrle 0 π/4 0 log(1 + tn x) dx. 4. En utilisnt une comprison vec une intégrle, prouver l mjortion et en déduire : n N n N n k=1 1 k 1 + log n d n(1 + log n). d n 5. Déterminer les limites suivntes : lim u 0+ π/2 0 e u sin x dx ; lim u 0+ 3u u cos x x dx. 6. Déterminer l ensemble des pplictions f C(R +, R) telles que f 0 et x R + f(x) x 0 f(t) dt. Indiction : Introduire g(x) = exp( x) x f(t) dt. 0

1.3. OUTILS PRATIQUES DE CALCUL D UNE INTÉGRALE 25 7. Etudier et représenter grphiquement l ppliction f : R R définie pr l intégrle dépendnt d un prmètre ux bornes suivnte : x R f(x) = 2x x e t2 dt. Indiction : Utiliser les vleurs numériques qui vous sont données cidessous : log 2 α = 0, 481 ; f(α) 0, 286. 3 8. Soit f : R + R une ppliction k-lipschitzienne (k 0). On définit l ppliction F : R + R pr F (0) = f(0) et x R + F (x) = 1 x x 0 f(t)dt. Montrer que l ppliction F est k/2-lipchitzienne. Indiction : Effectuer un chngement de vrible pour fixer les bornes de l intégrle. 9. Soit f C([0, 1), R) telle que Prouver l inéglité : (x, y) [0, 1] 2 xf(y) + yf(x) 1. 1 0 f(x) dx π 4. Indiction : Ecrire de deux fçons différentes cette intégrle en utilisnt les chngements de vrible x = sin u et x = cos v. Référence :CMP 143 1. Clculer les intégrles suivntes : I = π/2 0 cos x 1 + sin x cos x dx ; J = 2. Soit θ [0, π/2[ fixé. Clculer l intégrle 2θ 3. Clculer l intégrle suivnte : 1 1 0 π/2 0 x cos(x θ) dx. 1 1 x + 1 + x + 2 dx. sin x 1 + sin x cos x dx. Indiction : Effectuer les chngements de vribles successifs x = cos θ puis θ = 2(ϕ + π/4).

26 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. 4. Soient > 0 fixé et f C([0, ], R +). Clculer l intégrle 0 f(t) f(t) + f( t) dt. En déduire l vleur de l intégrle suivnte : π/2 1.3.5 Applictions suggérées. 0 (cos t) sin t dt. (cos t) sin t + (sin t) cos t Pour un exposé systémtique sur le clcul de primitives, le lecteur pourr pr exemple consulter le chpitre 9 de [CMPSI 309]. Le lemme de (Riemnn-)Lebesgue, qui concerne les séries de Fourier, est trité dns le cs C 1 pr intégrtion pr prties dns [CMPSI 234-235] et dns le cs plus générl d une ppliction continue pr morceux dns [DAN 209-211]. Les pplictions de R dns R qui sont dditives et continues sont exctement les pplictions linéires : une démonstrtion à l ide d intégrles de ce résultt clssique est donnée dns [EMPSI 83]. Le lecteur trouver dns [CMPSI 232] l démonstrtion du lemme clssique suivnt en utilisnt le lien entre primitive et intégrle : Lemme 1.3.11 (Gronwll) Soient T R + et f, g : [0, T [ R continues, f 0, g 0, telles que C > 0 x [0, T [ f(x) C + x 0 fg. Alors on l inéglité suivnte : x [0, T [ ( x ) f(x) C exp g. 0 Le lemme de Gronwll est très utile en théorie des équtions différentielles. Prouvons pr exemple que l éqution dy dt = b(y) ; y(0) =

1.4. SOMMES DE RIEMANN 27 vec R fixé et b : R R supposée k-lipschitzienne, dmet u plus une solution. Supposons donc que x et y soient deux solutions de cette éqution différentielle si bien que, pour T > 0 rbitrire, t [0, T [ x t = + t 0 b(x s ) ds et y t = + t 0 b(y s ) ds. Nous en déduisons, en utilisnt l inéglité de Cuchy-Schwrz, que pour tout t [0, T [ ( t 2 (x t y t ) 2 = [b(x s ) b(y s )] ds) t 0 t 0 [b(x s ) b(y s )] 2 ds. Puisque l ppliction b est supposée k-lipschitzienne, nous en déduisons : t [0, T [ t (x t y t ) 2 T k 2 (x s y s ) 2 ds. 0 En ppliqunt le lemme de Gronwll vec g T k 2 et C > 0 rbitrire, nous en déduisons : t [0, T [ (x t y t ) 2 C exp(t k 2 t). Nous pouvons lors conclure en fisnt tendre C vers 0 puis en utilisnt T > 0 rbitrire. 1.4 Sommes de Riemnn L notion de sommes de Riemnn est introduite dns [CMPSI 222-226] et illustrée pr plusieurs exercices. Elle ne figure ps u progrmme officiel mis ser nénmoins bien utile dns plusieurs leçons pour fournir des illustrtions ou des exercices. Le résultt essentiel, que nous llons énoncer imméditement près une première définition, est ssez intuitif (fire un dessin). Définition 1.4.1 On ppelle subdivision pointée d un segment [, b] un couple (σ, Θ) où σ = ( i ) 0 i n est une subdivision de [, b] et Θ = (θ i ) 1 i n est une fmille de points de [, b] telle que : 1 i n θ i [ i 1, i ].

28 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Définition et proposition 1.4.2 Soit f R([, b], E) et (σ, Θ) une subdivision pointée de [, b]. On ppelle somme de Riemnn ssociée à l ppliction f et à l subdivision pointée (σ, Θ) l quntité : n S(f, σ, Θ) = ( i i 1 ) f(θ i ). i=1 Considérons mintennt une suite (σ N, Θ N ) N N de subdivisions pointées de [, b] telle que l suite des ps ( σ N ) n N tende vers 0. Alors nous vons l convergence suivnte lorsque N tend vers l infini : S(f, σ N, Θ N ) b f(x) dx. Démonstrtion: Le lecteur trouver l preuve dns [DAN 196-197] qui se restreint u cs f continue pr morceux mis l démonstrtion est exctement l même pour f réglée. L idée est d exminer d bord le cs où f est de l forme c1 [α,β], c E, puis de psser u cs d une ppliction en esclier pr linérité pour terminer l démonstrtion pr densité de E([, b], E) dns (R([, b], E), ). Remrque: Dns le cs où f C([, b], E), l énoncé précédent résulte de l construction de l intégrle de Riemnn. En effet, en consttnt d une prt qu une somme de Riemnn peut s écrire comme intégrle d une fonction en esclier bien choisie et d utre prt que le théorème de Heine nous donne l uniforme continuité de f, nous pouvons écrire le résultt précédent sous l forme b f = lim N + où (f N ) est une suite de fonctions en esclier qui converge uniformément vers f sur [, b]. Un cs prticulier souvent utilisé dns l prtique est obtenu en prennt des subdivisions régulières de [, b]. Plus précisément, pour tout N N, nous définissons l subdivision σ N comme l fmille ( i ) 0 i N telle que : 0 i N b f N, i = + i b N. En outre, nous définissons l subdivision pointée (σ N, Θ N ) en choisissnt simplement θ i = i 1 pour tout 1 i N. L proposition précédente nous donne lors :

1.4. SOMMES DE RIEMANN 29 Corollire 1.4.3 Pour toute ppliction f C M ([, b]), nous vons l convergence suivnte lorsque N tend vers l infini : b N N 1 i=0 f ( + i b ) N b f(x) dx. Ce résultt nous fournit une méthode pour clculer une pproximtion d une intégrle dite méthode des rectngles. Dns le cs où f est suffismment régulière, on peut utiliser l inéglité de Tylor-Lgrnge pour mesurer l qulité de cette pproximtion, ce qui est essentiel dns l prtique. Nous écrivons l proposition suivnte dns le cs = 0 et b = 1, ce qui ne fit ps perdre de générlité puisqu on peut toujours se rmener à ce cs pr un simple chngement de vrible (trnsformtion ffine). Proposition 1.4.4 Supposons f C 3 ([0, 1], R). Alors on le développement symptotique : N 1 1 f N i=0 ( ) i = N 1 0 f(x) dx f(1) f(0) 2N + f (1) f (0) 12N 2 ( ) 1 + O N 3 Démonstrtion: Voir [DAN 198-199]. Nous reviendrons beucoup plus précisément sur les différentes méthodes de clcul de l vleur pprochée d une intégrle dns un chpitre ultérieur. Exercices Référence :EMPSI pges 82-83 1. Montrer que l suite de terme générl u n = n k=1 1 n2 + 2kn est convergente et clculer s limite. 2. Montrer que l suite de terme générl u n = n (1 + k2 n 2 k=1 est convergente et clculer s limite. ) 1/n

30 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. 3. Montrer que l suite de terme générl u n = n (n + k) α (n + k + 1) β, k=0 où α > 0, β > 0 et α + β = 1, est convergente et clculer s limite. Indiction :Introduire v n = n k=0 (n + k) 1 et prouver que v n 1 n + 1 2n + 1 u n v n. 4. Montrer que l suite de terme générl u n = n sin k n sin k 2 n k=1 est convergente et clculer s limite. Indiction :Introduire v n = n k k=1 sin k n 2 n x R + x x3 6 et montrer l inéglité sin x x. 5. Soit f C([0, 1], R) et ϕ : R R convexe. Montrer l inéglité de Jensen : ( 1 ) 1 ϕ f ϕ(f). 0 0 1.5 Convergences de suites d pplictions Les définitions des convergences simple et uniforme ont été données pge 7. Rppelons simplement ici que l continuité en un point x 0 (ou sur l intervlle [, b]) est conservée pr pssge à une limite uniforme [DAN 271], ce qui n est ps le cs pour une limite simple. On peut en déduire que (C([, b], E), ) est un espce de Bnch en tnt que sous-espce fermé de (B([, b], E), ) qui est lui-même un espce de Bnch. Proposition 1.5.1 Soit (f n ) n N une suite d pplictions réglées de [, b] dns E qui converge uniformément sur [, b] vers une ppliction f. Alors f R([, b], E) et nous vons l églité : b f(x) dx = b lim n + f n (x) dx.

1.5. CONVERGENCES DE SUITES D APPLICATIONS 31 Démonstrtion: Dns l espce vectoriel normé (B([, b], E), ), nous vons f = lim f n vec (f n ) (R([, b], E)) N. Or R([, b], E) est un sousespce fermé de (B([, b], E), ) puisque, pr définition, R([, b], E) = E([, b], E) Nous en déduisons que f R([, b], E) et donc que l intégrle du membre de guche est bien définie. Pr construction, l intégrle de Riemnn est une ppliction linéire continue Î : (R([, b], E), ) E de norme (b ), comme nous l vons étbli dns l proposition 1.2.5. Nous déduisons de cette propriété de continuité que Î(f) = lim Î(f n), d où l conclusion. Une utre fçon d boutir à cette conclusion est d écrire les inéglités : b f(x) dx b b f n (x) dx f(x) f n (x) dx (b ) f f n Remrque: Cette interversion entre limite et intégrle n est ps vlble lorsqu il y seulement convergence simple, même si toutes les pplictions en jeu sont continues. Un contre-exemple est obtenu en prennt = 0, b = 1 et en définissnt comme suit f n, n N : f n (x) = n 2 x si 0 x 1/n, f n (x) = 2n n 2 x si 1/n x 2/n et f n (x) = 0 sinon. Dns toute l suite de ce prgrphe, nous llons considérer des pplictions numériques définies sur [, b] et nous llons définir de nouveux types de convergences pour des suites de telles pplictions. Proposition et définition 1.5.2 L ppliction 1 définie sur C([, b], R) pr f C([, b], R) f 1 = b f(x) dx est une norme sur C([, b], R) ppelée norme 1. Soient (f n ) n N et f des pplictions numériques continues sur [, b]. Si l suite (f n ) converge vers f dns (C([, b], R), 1 ), on dit que (f n ) converge en moyenne vers f. Démonstrtion: L seule vérifiction qui ne soit ps immédite est celle de l impliction suivnte : f 1 = 0 f = 0. Elle résulte de l proposition 1.2.10.

32 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Remrque: L énoncé précédent se générlise sns difficulté à C([, b], E), vec E espce de Bnch quelconque. En revnche, le produit sclire que nous llons introduire mintennt pourrit être générlisé à C([, b], C) mis ps u-delà. Proposition et définition 1.5.3 L ppliction, définie sur (C([, b], R)) 2 pr (f, g) (C([, b], R)) 2 f, g = b f(x)g(x) dx est un produit sclire sur C([, b], R). L norme induite pr ce produit sclire est ppelée norme 2 et donc définie pr : ( b f C([, b], R) f 2 = ) 1 f 2 2 (x) dx. Soient (f n ) n N et f des pplictions numériques continues sur [, b]. Si l suite (f n ) converge vers f dns (C([, b], R), 2 ), on dit que (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f. Démonstrtion: Le lecteur vérifier sns difficulté que l ppliction, est bilinéire symétrique positive. Le fit qu elle soit définie résulte de l proposition 1.2.10. Remrque: L inéglité de Cuchy-Schwrz, énoncée dns l proposition 1.2.11, se réécrit donc dns notre cdre (f, g) (C([, b], R)) 2 f, g f 2 g 2. Sous cette forme, elle est d illeurs vrie dns le cdre beucoup plus générl des espces préhilbertiens, insi que son cs d églité. Le lecteur pourr se reporter à [DAN 9-10]. C est précisément l inéglité de Cuchy-Schwrz que nous llons utiliser pour comprer les trois normes que nous vons précédemment définies sur C([, b], R). Proposition 1.5.4 Pour toute ppliction f C([, b], R), nous vons les inéglités f 1 b f 2 (b ) f.

1.5. CONVERGENCES DE SUITES D APPLICATIONS 33 Démonstrtion: Grâce à l inéglité de Cuchy-Schwrz, nous pouvons écrire (en notnt 1 l ppliction constnte et égle à 1 sur [, b]) f 1 = b f(x) dx = f, 1 f 2 1 2 = b f 2, d où l première inéglité. Nous obtenons lors l seconde inéglité en écrivnt ( b f 2 = ) 1 f 2 2 (x) dx ( b ) 1 f 2 2 dx = b f. Corollire 1.5.5 Soient (f n ) n N et f des pplictions numériques continues sur [, b]. Si (f n ) converge uniformément vers f sur [, b], lors (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f sur [, b]. Si (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f sur [, b], lors (f n ) converge en moyenne vers f sur [, b] Dns les deux cs, l réciproque est fusse comme nous llons le voir mintennt. Contre-exemples : 1. Prenons = 0, b = 1,f 0 et définissons f n, n N pr : f n (x) = n 4 x si 0 x 1/n 3, f n (x) = 2n n 4 x si 1/n 3 x 2/n 3 et f n (x) = 0 sinon. Alors l suite (f n ) converge en moyenne qudrtique vers f mis ne converge ps uniformément vers f. 2. Prenons = 0, b = 1,f 0 et définissons f n, n N pr : f n (x) = n 3 x si 0 x 1/n 2, f n (x) = 2n n 3 x si 1/n 2 x 2/n 2 et f n (x) = 0 sinon. Alors l suite (f n ) converge en moyenne vers f mis ne converge ps en moyenne qudrtique vers f : on pourr remrquer que f n (x) n/2 dès que 1/(2n 2 ) x 3/(2n 2 ). Remrque et exercice suggéré : On peut montrer que pour tout p N, l ppliction p définie sur C([, b], R) pr ( b f C([, b], R) f p = ) 1 f(x) p p dx

34 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. est une norme sur C([, b], R) : on l ppelle norme p. Ce résultt qui repose en fit sur une inéglité de convexité n est ps trivil. Le lecteur intéressé pr l démonstrtion pourr se reporter ux inéglités dites de Hölder et Minkowski dns tout livre de théorie de l mesure et de l intégrtion. L nottion que nous vons utilisée pour l norme de l convergence uniforme est lors justifiée pr le résultt suivnt : f C([, b], R) lim f p = f. p + Le lecteur trouver ce résultt sous l forme d un exercice corrigé dns [DAN 205-206]. 1.6 Intégrle d une fonction dépendnt d un prmètre Nous considérons une ppliction f : E [, b] F, où (E, d) est un espce métrique et F un espce de Bnch. Rppelons ici que E [, b] est lors lui-même un espce métrique en tnt que produit de deux espces métriques. Théorème 1.6.1 (Continuité) Si f : E [, b] F est continue, lors nous pouvons définir l ppliction Φ : E F pr : x E Φ(x) = et cette ppliction Φ est continue b f(x, t) dt Nous supposons désormis que E = I, intervlle réel. Soit (x 0, t 0 ) I [, b]. Rppelons que l dérivée prtielle f x(x 0, t 0 ) désigne, sous réserve de son existence, l dérivée u point x 0 I de l ppliction x f(x, t 0 ) de I dns F. Théorème 1.6.2 (Dérivbilité) Si f : I [, b] F est continue, telle que l dérivée prtielle f x existe et soit continue sur I [, b], lors l ppliction Φ : I F définie pr : x I Φ(x) = est de clsse C 1 et nous vons l églité : x I Φ (x) = b b f(x, t) dt f x(x, t) dt

1.7. ARCS PARAMÉTRÉS 35 Le lecteur trouver l preuve de ces deux théorèmes dns les nciens livres de clsses préprtoires, pr exemple dns le chpitre 8 de Rmis-Deschmps- Odoux, tome 3. Ces résultts seront considérblement générlisés dns l section 3.3 grâce u théorème de convergence dominée. 1.7 Arcs prmétrés 1.7.1 Rectifiction d un rc prmétré. Le lecteur pourr se reporter à [DAN 203-205] à propos de l rectifiction des rcs prmétrés, que nous présentons très succinctement ici. Définition 1.7.1 Soit d N fixé et f C([, b], R d ).On dit que le couple Γ = ([, b], f) est un rc prmétré continu de R d. Cet rc est dit rectifible si { n 1 sup } f( i+1 ) f( i ) < +, i=0 cette borne supérieure portnt sur toutes les subdivisions ( i ) 0 i n (n N ) de l intervlle [, b] et désignnt l norme euclidienne dns R d. Dns ce cs, cette borne supérieure est ppelée longueur de l rc prmétré continu Γ et notée L(Γ). Un exemple d rc continu non rectifible nous est donné pr l ppliction f : [0, 1] R 2 définie pr f(0) = (0, 0) et t ]0, 1] f(t) = (t, t sin 1 t ). Le lecteur pourr démontrer que l borne supérieure ci-dessus est infinie en choisissnt judicieusement des subdivisions et en utilisnt l divergence de l série hrmonique (i.e. 1 n = + ). n Proposition 1.7.2 Soit f C 1 ([, b], R d ) et Γ = ([, b], f) l rc prmétré ssocié. Alors cet rc est rectifible, de longueur L(Γ) = b f (x) dx.

36 CHAPITRE 1. INTÉGRALE DE RIEMANN. Exercice suggéré : Référence : Topologie, Anlyse pr G. FLORY, exercices vec solutions, tome 3, éditions Vuibert. Clculer l longueur totle de l stroïde (voir figure ci-dessous) définie sous forme prmétrée pr : f(t) = ( cos 3 t, sin 3 t), 0 t 2π. 1.7.2 Intégrle curviligne d une forme différentielle. Une utre ppliction ux rcs prmétrés concerne l notion d intégrle curviligne d une forme différentielle le long d une courbe orientée. Cette notion permet en prticulier de clculer le trvil d une force le long d une courbe en Physique. Référence : [CMPSI 396-403].

Chpitre 2 Intégrles impropres. Dns tout ce chpitre, nous considérons des pplictions à vleurs dns le corps K = R ou C. Nous pourrions en fit définir les intégrles impropres dns le cdre plus générl des pplictions à vleurs dns un espce de Bnch E mis dns l prtique ce sont surtout des intégrles impropres réelles ou complexes qui pprissent. Le lecteur intéressé pr les énoncés générux dns E pourr les trouver dns les nciens livres de clsses préprtoires (Rmis-Deschmps- Odoux pr exemple). 2.1 Définition des intégrles impropres. Définition 2.1.1 Soit I un intervlle réel et f : I K. Nous dirons que l ppliction f est continue pr morceux sur I si l restriction de f à tout segment inclus dns I est continue pr morceux. Dns ce cs, nous noterons f C M (I, K). Exemple: Soit I = [, b[ vec < < b +. Alors f C M ([, b[, K) si et seulement si, pour tout x [, b[, l restriction de f à l intervlle compct [, x] est continue pr morceux. Remrque: Si nous définissons une ppliction en esclier sur [, b[ pr : σ : = 0 < < n = b, (c i ) 0 i n 1 K n, i = 0,, n 1, f ]i, i+1 [ c i remrquons qu une ppliction continue pr morceux sur [, b[ n est ps forcément limite uniforme sur [, b[ de fonctions en esclier cr cel impliquerit qu elle soit bornée. L ppliction f : [0, 1[ R définie pr f(x) = (1 x) 1 fournit lors un contre-exemple. 37

38 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. Définition 2.1.2 Soit f C M ([, b[, K) vec < < b +. Nous définissons l ppliction F : [, b[ K pr : x [, b[ F (x) = x f(t)dt Si l ppliction F dmet une limite l K lorsque x tend vers b, nous dirons que l intégrle impropre b f(t)dt est convergente et que s vleur est : b f(t)dt = l Dns le cs contrire (F n dmet ps de limite ou bien tend vers l infini), nous dirons que l intégrle impropre est divergente. Remrque: Si c [, b[, l reltion de Chsles implique imméditement que les intégrles impropres b f(t)dt et b f(t)dt ont même nture, convergentes ou divergentes. Dns le cs où elles convergent, nous vons l églité c : b f(t)dt = c f(t)dt + b c f(t)dt L notion d intégrle impropre générlise l intégrle de Riemnn dns deux directions : intervlle non borné (cs b = + ) ou bien ppliction non bornée (pr exemple, f(x) tend vers + lorsque x b ). Nous llons rencontrer ces deux situtions dns l exemple très clssique suivnt. converge si et seule- Exemple de Riemnn L intégrle impropre + 1 ment si α > 1. L intégrle impropre b dt t α dt converge si et seulement si α < 1. (b t) α Mlgré l simplicité de l preuve (prendre une primitive), cet exemple est importnt cr il sert souvent de référence lorsqu on emploie des reltions de comprison pour étudier l convergence d une intégrle impropre (nous y reviendrons ci-dessous). Même si, pour fixer les idées, nous vons trvillé jusqu à présent vec des intégrles impropres sur un intervlle de l forme [, b[, il est évident que tout ce qui précède s dpte imméditement pour définir des intégrles impropres sur un intervlle de l forme ], b]. Ainsi, l exemple de Riemnn se réécrit comme suit sur ], b] :

2.2. ÉTUDE DE LA CONVERGENCE : CAS POSITIF 39 Exemple: L intégrle impropre b dt converge si et seulement si α < 1. (t ) α Nous pouvons lors combiner les deux cs précédents pour définir comme suit une intégrle impropre sur un intervlle ouvert. Proposition et définition 2.1.3 Soit I =], b[ vec < b + et f C M ( ], b[, K). Supposons qu il existe c 0 ], b[ tel que les intégrles c0 f(t)dt et b c 0 f(t)dt soient convergentes. Alors, pour tout c ], b[, les intégrles c f(t)dt et b f(t)dt convergent et leur somme est indépendnte c du choix de c. On dit que l intégrle impropre b f(t)dt est convergente et que s vleur est : b f(t)dt = c f(t)dt + b c f(t)dt Dns le cs contrire, on dit que l intégrle impropre b f(t)dt est divergente. Nous pourrions même considérer le cs d une ppliction f : [, b] K, vec < < b < +, qui n est ps bornée u voisinge d un certin nombre de points d un ensemble fini F [, b]. On découpe lors le segment [, b] en segments dont l intérieur ne contient ucun point de F et l on étudie l convergence de l intégrle de f, à guche et à droite, ux points de F comme ci-dessus. Notons nénmoins que, dns ce cs, l ppliction f n est ps forcément continue pr morceux sur [, b]. Dns l suite de ce cours, nous llons mettre en évidence diverses méthodes d étude de l convergence d une intégrle impropre ; nous écrirons les propositions dns le cs d une intégrle impropre définie sur un intervlle de l forme I = [, b[, lissnt u lecteur le soin de les dpter ux utres cs. 2.2 Étude de l convergence : cs positif Avnt d exminer plusieurs critères de convergence ou divergence, nous commençons pr une remrque générle propre u cs positif. Si f C M ([, b[, R + ) et si nous définissons l ppliction F : [, b[ R pr x [, b[ F (x) = x f(t)dt l hypothèse f 0 implique l croissnce de F (pr l reltion de Chsles). Nous en déduisons, en utilisnt l définition d une borne supérieure : lim x b F (x) = sup F + [,b[

40 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. Preuve : Si sup [,b[ F = +, lors A > 0, c [, b[, F (c) > A. Grâce à l croissnce de l ppliction F, nous pouvons donc écrire : A > 0 c [, b[ x [c, b[ F (x) > A si bien que lim x b F (x) = +. Si sup [,b[ F = M R + lors, l borne supérieure étnt le plus petit des mjornts, ɛ > 0, c [, b[, F (c) > M ɛ. En utilisnt l croissnce de F, nous obtenons donc : ɛ > 0 c [, b[ x [c, b[ M ɛ < F (x) M d où lim x b F (x) = M. Autrement dit, si sup [,b[ F < +, l intégrle impropre b f(t) converge et l on : b f(t)dt = sup F [,b[ Si u contrire sup [,b[ F = +, l intégrle impropre b f(t) est divergente et nous conviendrons de noter : b f(t)dt = + Insistons sur le fit que cette nottion n est utorisée que si l intégrnde f est une ppliction positive. Nous llons mintennt décrire plusieurs méthodes permettnt de déterminer l nture d une intégrle impropre (convergente ou divergente) dns ce cs. 2.2.1 Comprison vec une intégrle de référence. Proposition 2.2.1 Soient f, g C M ([, b[, R) telles que 0 f g. Alors, on les implictions suivntes : 1. Si b g(t)dt converge, lors b f(t)dt converge. 2. Si b f(t)dt diverge, lors b g(t)dt diverge. Démonstrtion: Définissons l ppliction F : [, b[ R comme précédemment et l ppliction G de fçon similire. Puisque 0 f g, nous vons x [, b[ F (x) G(x).

2.2. ÉTUDE DE LA CONVERGENCE : CAS POSITIF 41 1. Les hypothèses impliquent que sup [,b[ F sup G = [,b[ b g(t)dt < + d où l convergence de F (x) vers sup [,b[ F lorsque x tend vers b pr vleurs inférieures. 2. C est l contrposée de l première impliction. En utilisnt l exemple de Riemnn, nous en déduisons les critères suivnts, souvent utiles dns l prtique. Corollire 2.2.2 Soient < < b < + et f C M ([, b[, R + ). 1. S il existe α < 1 tel que lim x b (b x) α f(x) = 0, lors l intégrle impropre b f(x) dx est convergente. 2. S il existe α 1 tel que lim x b (b x) α f(x) = +, lors l intégrle impropre b f(x) dx est divergente. Démonstrtion: Nous tritons le premier cs, lissnt le second à titre d exercice u lecteur. L hypothèse implique l existence de c [, b[ tel que : x [c, b[ (b x) α f(x) 1 Nous concluons en ppliqunt l proposition précédente ux intégrles b c f(t)dt et b c dt (b t) α, cette dernière intégrle étnt convergente d près l exemple de Riemnn. Corollire 2.2.3 Soient R et f C M ([, + [, R + ). 1. S il existe α > 1 tel que lim x + x α f(x) = 0, lors l intégrle impropre + f(x) dx est convergente. 2. S il existe α 1 tel que lim x + x α f(x) = +, lors l intégrle impropre + f(x) dx est divergente.

42 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. 2.2.2 Intégrtion des reltions de comprison Dns toute cette sous-section, nous considérons deux pplictions f, g C M ([, b[, R + ) vec < < b +. Le lecteur pourr réviser les notions de comprison locle ou symptotique de fonctions (domintion, prépondérnce et équivlence) dns [DAN 119ss]. Proposition 2.2.4 (Intégrtion de l domintion) Supposons qu u voisinge de b, l ppliction f est dominée pr g, ce que nous notons f = O(g). Alors, nous vons les implictions suivntes : 1. Si b g(t)dt converge, lors b f(t)dt converge et, u voisinge de b, nous vons l reltion de domintion b ( b ) f(t)dt = O g(t)dt x 2. Si b f(t)dt diverge, lors b g(t)dt diverge et, u voisinge de b, nous vons l reltion de domintion x ( x ) f(t)dt = O g(t)dt Remrque: Lorsque x b, les intégrles qui pprissent dns les reltions de domintion étblies pr ce théorème ont pour limite 0 dns le premier cs (on prle de reste intégrl d une intégrle impropre convergente) et pour limite + dns le second cs. x Démonstrtion: Voir [DAN 220]. Nous détillons plutôt l preuve de l proposition suivnte qui est légèrement plus difficile. Proposition 2.2.5 (Intégrtion de l prépondérnce) Supposons qu u voisinge de b, l ppliction f est négligeble devnt g (on dit encore que g est prépondérnte devnt f), ce que nous notons f = o(g). Alors, nous vons les implictions suivntes : 1. Si b g(t)dt converge, lors b f(t)dt converge et, u voisinge de b, nous vons l reltion de prépondérnce b x ( b ) f(t)dt = o g(t)dt x

2.2. ÉTUDE DE LA CONVERGENCE : CAS POSITIF 43 2. Si b f(t)dt diverge, lors b g(t)dt diverge et, u voisinge de b, nous vons l reltion de prépondérnce x ( x ) f(t)dt = o g(t)dt Démonstrtion: Soit ɛ > 0 rbitrire ; notre hypothèse nous donne : c [, b[ t [c, b[ 0 f(t) ɛg(t) (2.1) 1. Puisque b g(t) dt converge, il en est de même de b g(t) dt. L inéglité c précédente implique lors l convergence de b f(t) dt, d où celle de c f(t) dt. En outre, si c x y < b, nous vons : b y x f(t) dt ɛ y x g(t) dt En pssnt à l limite lorsque y b, nous obtenons : x [c, b[ b x f(t) dt ɛ b x g(t) dt d où l reltion de prépondérnce nnoncée lorsque x b entre les restes intégrux. 2. Puisque b f(t) dt diverge, il en est de même de b f(t) dt. L inéglité c (2.1) implique lors l divergence de b g(t) dt, d où celle de b g(t) dt. c Cette divergence (vers + ) implique l existence de c [c, b[ tel que : x [c, b[ x g(t) dt 1 ɛ Nous en déduisons, pour tout x [c, b[ : x f(t) dt = c f(t) dt + x c f(t) dt ɛ En mjornt cette dernière intégrle pr x x [c, b[ x f(t) dt 2ɛ c x f(t) dt g(t) dt + ɛ x c g(t) dt g(t) dt, nous en déduisons : x g(t) dt, ce qui nous permet de conclure puisque ɛ étit rbitrire. Des deux propositions précédentes, nous pouvons déduire :

44 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. Corollire 2.2.6 (Intégrtion de l équivlence) Nous supposons qu u voisinge de b, les pplictions f et g sont équivlentes, ce que nous notons f g. Alors, nous vons les implictions suivntes : 1. Les intégrles b f(t)dt et b g(t)dt sont de même nture. 2. () Si ces intégrles convergent, lors, u voisinge de b, nous vons l reltion d équivlence suivnte : b x f(t)dt b x g(t)dt (b) Si ces intégrles divergent, lors, u voisinge de b, nous vons l reltion d équivlence suivnte : x f(t)dt x g(t)dt Démonstrtion: Voir [DAN 221-222]. On utilise f g = o(g) u voisinge de b, insi que l inéglité tringulire pour les intégrles. Exercices suggérés L exercice 14.4 de [DAN 222-223], l exercice 3.1.1 de [CMP 164], les exercices 3.3.1 à 3.3.3 de [CMP 184], l exercice 3.1 de [EMP 195] permettent de mettre en oeuvre les méthodes précédentes sur des exemples ssez simples. Remrque: Les résultts précédents tombent en défut lorsque nous considérons des fonctions de signe quelconque. Ainsi, il est fcile de constter que nous vons l équivlence suivnte : sin t sin t + t t sin t t lorsque t +. En effet, nous vons bien sûr : sin t t = sin t t 1 t = o ( ) sin t t lorsque t +. Nénmoins, à l ide de méthodes que nous verrons ci-dessous, nous pourrons étblir que : + 1 ( sin t t + ) sin t dt diverge et t + 1 sin t t dt converge.

2.2. ÉTUDE DE LA CONVERGENCE : CAS POSITIF 45 2.2.3 Comprison vec une série Il est prfois possible d étudier l convergence d une intégrle impropre pr un rgument direct de comprison vec une série. C est ce que nous llons voir sur un exemple. Exemple: L fonction sin t définie sur R et prolongée pr 1 pour t = 0 est t continue sur R. Nous llons prouver l divergence suivnte : + 0 sin t dt = + t Pour cel, nous introduisons l suite (u n ) n N définie pr : n N u n = (n+1)π nπ sin t dt t Pr décroissnce de l ppliction t 1 t sur R +, nous vons l minortion : n N u n 1 (n + 1)π (n+1)π nπ sin t dt, ce qui s écrit encore, en clculnt l intégrle pr π-périodicité et à l ide d une primitive : 2 n N u n (n + 1)π. Nous en déduisons, grâce à l reltion de Chsles, (n+1)π sin t n n N dt = u k 2 n 1 t π k + 1 0 En fisnt tendre n vers l infini, l divergence de cette dernière série permet de conclure cr elle implique, vec nos nottions hbituelles : k=0 sup F = +. [0,+ [ k=0

46 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. Remrque: Contrirement à ce qui se psse pour les séries positives, l convergence d une intégrle impropre positive sur [, + [ n implique ps que son intégrnde tende vers 0 : on trouver un contre-exemple vec un intégrnde continu et non borné u voisinge de l infini dns [DAN 234]. En revnche, si l intégrnde est uniformément continu, il est nécessire qu il tende vers 0 en + pour que l intégrle impropre converge : voir pr exemple «Orux X-ENS, Anlyse 3» pr Frncinou, Ginell et Nicols pge 183. 2.3 Cs générl : critère de Cuchy et utres méthodes. Dns toute cette section, suf indiction explicite, nous considérons une ppliction f C M ([, b[, K) vec < < b +. 2.3.1 Critère de Cuchy et conséquences. Puisque K = R ou C est complet, nous vons l condition nécessire et suffisnte de convergence suivnte : Proposition 2.3.1 (Critère de Cuchy pour les intégrles) L intégrle impropre b f(t)dt converge si et seulement si : y ɛ > 0, c [, b[, (x, y) [c, b[ 2 f(t)dt < ɛ. x Démonstrtion: Soit F : [, b[ R définie pr x [, b[ F (x) = x f(t)dt. Il s git de démontrer l équivlence entre les deux propositions suivntes : 1. L ppliction F dmet une limite dns K lorsque x b. 2. Le critère de Cuchy suivnt est stisfit : ɛ > 0, c [, b[, (x, y) [c, b[ 2 F (y) F (x) < ɛ L impliction (1 2) résulte fcilement de l inéglité tringulire. Pour prouver l impliction réciproque, on utilise une crctéristion séquentielle et le fit que si (x n ) [, b[ N tend vers b, lors (F (x n )) est une suite de Cuchy dns K qui est complet. Le lecteur trouver les détils dns [DAN 223-224].

2.3. CAS GÉNÉRAL : CRITÈRE DE CAUCHY ET AUTRES MÉTHODES.47 Nous llons mintennt énoncer trois conséquences de cette proposition, en commençnt pr un corollire presque immédit. Corollire 2.3.2 Si < < b < + et si f C M ([, b[, K) est bornée sur [, b[, lors l intégrle impropre b f(t)dt converge. Démonstrtion: En notnt M = sup [,b[ f < + et en prennt ɛ > 0 rbitrire, nous consttons que le critère précédent est stisfit en prennt ( c = mx, b ɛ ) M puisque nous vons les inéglités y y f(t)dt f(t) dt M(y x). x x Pr exemple, l intégrle impropre 1 sin(1/t) dt est convergente. 0 Une importnte conséquence du critère de Cuchy pour les intégrles concerne l notion d bsolue convergence. Proposition et définition 2.3.3 Soit f C M ([, b[, K). Alors nous vons l impliction : b f(t) dt converge = b f(t)dt converge. On dit dns ce cs que l intégrle impropre de f est bsolument convergente sur [, b[. Si l intégrle impropre de f sur [, b[ est convergente mis non bsolument convergente, on dit qu elle est semi-convergente. Démonstrtion: Puisque l intégrle impropre b f(t) dt est convergente, le critère de Cuchy suivnt est stisfit : ɛ > 0, c [, b[, (x, y) [c, b[ 2 y x f(t) dt < ɛ. Il suffit lors d ppliquer l inéglité, vlble si c x y < b, y y f(t)dt f(t) dt x pour conclure en utilisnt de nouveu le critère de Cuchy pour les intégrles. x

48 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. sin tdt est semi- t Exemples Nous montrerons ci-dessous que l intégrle + 0 convergente. Pour α > 1, l intégrle impropre + 1 sin tdt est bsolument convergente. t α En utilisnt l seconde formule de l moyenne, nous pouvons énoncer une utre conséquence du critère de Cuchy pour les intégrles. Proposition 2.3.4 (Règle d Abel) Considérons deux pplictions f C M ([, b[, R + ) et g C M ([, b[, K). Supposons que les deux conditions suivntes sont stisfites : 1. f est décroissnte vec lim x b f(x) = 0, 2. il existe M > 0 tel que x [, b[ x Alors l intégrle impropre b f(t)g(t)dt converge. g(t)dt M. Démonstrtion: Tritons dns un premier temps le cs K = R. Puisque f 0 et lim x b f(x) = 0, pour ɛ > 0 rbitrire, nous pouvons trouver c [, b[ tel que x [c, b[ 0 f(x) ɛ. Soit (x, y) [c, b[ 2 tel que x < y. L seconde formule de l moyenne (Proposition 1.2.13 pge 18) implique l existence de z [x, y] tel que Nous en déduisons y x f(t)g(t)dt = f(x+) z y f(t)g(t)dt 2Mɛ, x x g(t)dt ce qui permet de conclure puisque le critère de Cuchy pour les intégrles est insi stisfit. Pssons mintennt u cs K = C en écrivnt g = Rg + iig. Les hypothèses sur g impliquent lors que, pour tout x [, b[, x ( x Rg(t)dt = x R g(t)dt) g(t)dt M (on utilisé l inéglité, vlble pour tout z C, Rz z ). Nous consttons que les pplictions f et Rg stisfont les hypothèses de

2.3. CAS GÉNÉRAL : CRITÈRE DE CAUCHY ET AUTRES MÉTHODES.49 l énoncé dns le cs K = R. Nous en déduisons l convergence de l intégrle impropre b f(t)rg(t)dt. Pr un risonnement similire, nous obtenons l convergence de l intégrle impropre b f(t)ig(t)dt, d où finlement celle de l intégrle impropre complexe b f(t)g(t)dt. Exemple: Pour tout α > 0, l intégrle impropre suivnte est convergente : + 1 sin t t α Il suffit en effet d ppliquer l règle d Abel vec f(x) = x α et g(x) = sin x sur [1, + [, en consttnt que x x [1, + [ sin tdt = cos x cos 1 2. 1 On peut obtenir ce résultt sns l règle d Abel, en procédnt pr intégrtion pr prties, mis c est un peu plus long : voir [EMP 216-217]. dt 2.3.2 Méthodes directes Référence : Intégrtion pr A. GRAMAIN, collection Méthodes, éditions Hermnn. On peut étudier directement l convergence d une intégrle impropre en ppliqunt les outils clssiques de clcul d une intégrle, comme l intégrtion pr prties ou le chngement de vrible. Une ppliction clssique de ce dernier est l exemple de Bertrnd, qui générlise l exemple de Riemnn. Exemple de Bertrnd impropre Pour (α, β) R 2, nous considérons l intégrle + 2 1 x α (log x) β dx. Cette intégrle converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1). Le lecteur pourr consulter l démonstrtion dns [CMP 162]. On peut églement voir recours à un développement symptotique pour ppliquer ensuite l intégrtion des reltions de domintion, prépondérnce ou équivlence. On trouver des exemples d ppliction de ces méthodes dns les exercices 3.4.1 et 3.4.3 de [CMP 189] et dns [GRA 35]. On peut églement fire une comprison d hoc vec une série : [GRA 34] prouve insi l semi-convergence de l intégrle impropre + 0 sin t t.

50 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. 2.4 Clcul des intégrles impropres Puisqu une intégrle impropre est pr définition l limite d une intégrle de Riemnn (fonction de l borne d en hut pr exemple), nous llons retrouver dns cette section les méthodes clssiques de clcul d une intégrle de Riemnn : utilistion d une primitive, intégrtion pr prties, chngement de vribles. Ces deux dernières méthodes dmettent des générlistions qui nous fournissent des formules directement pplicbles ux intégrles impropres comme nous llons le voir mintennt. Proposition 2.4.1 (Intégrtion pr prties générlisée) Considérons deux pplictions f, g C 1 ([, b[, K). Alors nous vons les propriétés suivntes : 1. Si lim x b f(x)g(x) existe, lors les deux intégrles impropres suivntes sont de même nture : b f(t)g (t) dt et b f (t)g(t) dt. 2. Dns le cs où ces deux intégrles sont convergentes, nous vons l églité b f(t)g (t) dt = lim x b f(x)g(x) f()g() b f (t)g(t) dt. Démonstrtion: Pour tout x [, b[, l formule d intégrtion pr prties clssique nous donne : x f(t)g (t) dt = f(x)g(x) f()g() x f (t)g(t) dt. Si lim x b f(x)g(x) existe, l convergence d une des intégrles impropres équivut donc à celle de l utre, d où le premier point. Nous obtenons lors le second point pr simple pssge à l limite lorsque x b dns l églité précédente. Remrque: Dns le cs où les deux intégrles impropres convergent, nous emploierons encore l nottion b f(t)g (t) dt = [f(x)g(x)] b b f (t)g(t) dt.

2.5. APPLICATION À L ÉTUDE DE SÉRIES. 51 Proposition 2.4.2 (Chngement de vrible générlisé) Soit u une ppliction de clsse C 1 bijective strictement croissnte de l intervlle [, b[ sur l intervlle [α, β[ et f C M ([α, β[, K). Alors les deux intégrles impropres b f(u(t))u (t) dt et β α f(x) dx sont de même nture et égles en cs de convergence. Démonstrtion: Voir [DAN 230-231]. Remrque: Lorsqu il y convergence des deux intégrles impropres, l formule du chngement de vribles peut s écrire sous l forme : b f(u(t))u (t) dt = u(b ) u() f(x) dx. Cette églité se générlise lors u cs où u est un C 1 -difféomorphisme : voir [CMP 177]. Exercices suggérés Qund il s git de clculer une intégrle impropre, on commence toujours pr étudier l convergence de celle-ci. Le lecteur pourr procéder insi pour l exercice 3.2.6 de [CMP 180] et pour les exercices 3.2, 3.5, 3.6 de [EMP 195-205]. L exercice 1.3 de [EMP 201] utilise l formule de Wllis (qui nous fournit un équivlent de l intégrle de Wllis) pour clculer l intégrle impropre suivnte, utile pr exemple en clcul des probbilités pour définir l densité gussienne : + π e x2 dx = 2. 2.5 Appliction à l étude de séries. 0 Proposition 2.5.1 Soit f C M ([1, + [, R + ) une ppliction décroissnte. Alors l série n 1 f(n) et l intégrle impropre + f(t) dt sont de même 1 nture. En outre, nous vons : 1. Si + f(t) dt diverge, lors S 1 n := n k=1 f(k) n f(t) dt. 1 2. Si + f(t) dt converge et si l condition suivnte est stisfite 1 lim n + + n+1 f(t) dt + f(t) dt = 1 n

52 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. lors R n := + k=n+1 f(k) + f(t) dt. n Remrque: Si ( + ) + f(t) dt converge, nous svons que l suite f(t) dt 1 n converge vers 0 en décroissnt. L condition énoncée dns le deuxième point exprime que cette convergence est lente (le lecteur pourr se reporter ux définitions générles dns [DAN 147]). Si cette condition n est ps respectée, l conclusion tombe en défut comme le montre le contre-exemple suivnt : Si f(t) = e t pour tout t [1, + [, lors on trouve + n N R n = e n e 1 et f(t) dt = e n n ( ) + donc les suites (R n ) et f(t) dt ne sont ps équivlentes. n L démonstrtion de l proposition précédente psse pr un lemme que nous llons mintennt prouver, lissnt le lecteur se reporter à [DAN 242-244] pour le reste de l démonstrtion. Lemme 2.5.2 Soit f C M ([1, + [, R + ) une ppliction décroissnte. Nous définissons l suite (u n ) n N pr n N u n = n f(k) n k=1 1 f(t) dt. Alors l suite (u n ) n N est positive et décroissnte donc convergente. Démonstrtion: Pr décroissnce de l ppliction f, nous vons, pour tout k N, t [k, k + 1] f(k + 1) f(t) f(k). Pr croissnce de l intégrle de Riemnn, nous en déduisons k N f(k + 1) k+1 k f(t) dt f(k). (2.2) Nous remrquons mintennt que, pour tout n N, u n+1 u n = f(n + 1) n+1 n f(t) dt 0, cette dernière inéglité résultnt de (2.2). Ceci prouve l décroissnce de l suite (u n ) n N.

2.5. APPLICATION À L ÉTUDE DE SÉRIES. 53 En outre, il est évident que u 1 0 et, en utilisnt encore (2.2), nous obtenons n 1 ( n 2 u n = f(k) k=1 ce qui nous permet de conclure. k+1 Corollire 2.5.3 L suite (u n ) n N définie pr n n N 1 u n = k log n k k=1 ) f(t) dt + f(n) 0, est convergente. S limite est notée γ et ppelée constnte d Euler. Il suffit d ppliquer l proposition précédente vec f dé- Démonstrtion: finie pr x [1, + [ f(x) = 1 x qui est une ppliction continue décroissnte et positive, dmettnt pour primitive le logrithme népérien. Remrque: Une vleur pprochée de l constnte d Euler est γ 0, 577. On ne sit ps à l heure ctuelle si γ est rtionnel ou non. Une ppliction clssique de l proposition 2.5.1 est donnée dns l exemple suivnt. Le lecteur pourr démontrer les résultts à titre d exercice ou se référer à [DAN 244-245]. Exemple : Séries de Riemnn Soit α R. L série de Riemnn + n=1 1 n α converge si et seulement si α > 1 et, dns ce cs, R n := + k=n+1 1 k 1 α (α 1)n. α 1 Pour α ]0, 1[ (cs de divergence) on n 1 S n := k n1 α α 1 α k=1

54 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES. Enfin, le cs α = 1 (cs de divergence) déj été trité dns le corollire 2.5.3 qui nous donne un résultt plus précis que l simple équivlence S n log n. En utilisnt l intégrle de Bertrnd, le lecteur pourr démontrer le résultt suivnt, qui est trité dns [CMP 229]. Exemple : Séries de Bertrnd Pour tout (α, β) R 2 fixé, l série + n=2 1 n α (log n) β converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1). En utilisnt le même genre de technique que pour prouver le lemme 2.5.2, on obtient [GOU 155] : Proposition 2.5.4 Soit f C M (R, R) une ppliction décroissnte telle que l intégrle + f converge et est non nulle. Alors, pour tout t > 0, l série 0 n N f(nt) converge et nous vons l équivlent suivnt lorsque t 0+ : + n=1 f(nt) 1 t + En ppliqunt cette proposition vec f(t) = exp( t 2 ), on peut étblir l équivlent suivnt lorsque x 1 : + π x n2 2 1 x n=1 En utilisnt l formule de Tylor vec reste intégrl, on peut démontrer l proposition suivnte [GOU 217] : Proposition 2.5.5 Soit f C 1 (R +, C) telle que : + 1 0 f f (t) dt < + Alors l série n N f(n) l même nture que l suite ( n 1 f) n N. On peut ppliquer ce résultt à l étude de l série suivnte [GOU 217-218] en fonction du prmètre α > 0 : n ei n α n N

2.5. APPLICATION À L ÉTUDE DE SÉRIES. 55 En utilisnt une comprison série-intégrle, on peut étblir l existence d une constnte C > 0 telle que n! Cn n e n n. L formule de Wllis permet lors d identifier cette constnte C pour en déduire [CMP 260-261] : Proposition 2.5.6 (Formule de Stirling) Nous vons l équivlent suivnt lorsque n tend vers l infini : ( n ) n n! 2πn e

56 CHAPITRE 2. INTÉGRALES IMPROPRES.

Chpitre 3 Intégrtion sur un intervlle quelconque Dns tout ce chpitre, I désigne un intervlle réel non vide et nous notons encore K = R ou C. Rppelons qu une ppliction f : I K est dite continue pr morceux sur l intervlle I, ce que l on note f C M (I, K), si f est continue pr morceux sur tout segment inclus dns I. 3.1 Fonctions intégrbles Nous ne ferons qu énoncer ici les définitions et résultts essentiels sur le sujet. Le lecteur est donc encourgé à étudier l intégrbilité d une fonction sur un intervlle quelconque dns [DAN 465-472] ou encore dns [CMP 154-177] qui l trite en détil, prfois d une fçon redondnte vec ce que nous vons vu dns le chpitre sur les intégrles impropres. 3.1.1 Le cs positif Définition 3.1.1 Soit f C M (I, R + ) ; on ppelle intégrle de l ppliction positive f sur l intervlle I l élément de R + suivnt : b f = sup f(t) dt [,b] I I On dit que l ppliction f est intégrble sur I si I f < +. L proposition suivnte fit le lien entre l notion d intégrbilité sur un intervlle quelconque I que nous venons d introduire et celle de convergence d une intégrle impropre que nous vons étudiée dns le chpitre précédent. 57

58CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Proposition 3.1.2 Soit f C M (I, R + ). Alors f est intégrble sur I si et seulement si l intégrle impropre de f sur I est convergente. Dns ce cs, les deux intégrles sont égles. Pour fixer les idées, prenons pr exemple le cs où I =]c, + [. D près cette proposition, nous vons l équivlence : b sup [,b] ]c,+ [ f(t) dt < + L intégrle impropre + c f(t) dt converge et dns ce cs, nous vons l églité : b sup [,b] ]c,+ [ f(t) dt = + c f(t) dt, ce que nous notons : f = ]c,+ [ c + f(t) dt 3.1.2 Le cs réel Rppelons ici que, pour tout nombre réel x, nous définissons s prtie positive x + = sup(x, 0) et s prtie négtive x = sup( x, 0), d où les églités : x R x = x + x et x = x + + x Pr composition, nous définirons donc pour f C M (I, R) les deux pplictions f + C M (I, R + ) et f C M (I, R + ) pr f + (x) := sup(f(x), 0) et f (x) := sup( f(x), 0). Définition et proposition 3.1.3 Une ppliction f C M (I, R) est dite intégrble si l ppliction positive f est intégrble sur I. Ceci équivut à l intégrbilité des deux pplictions positives f + et f sur I. Dns ce cs, nous ppellerons intégrle de l ppliction f sur l intervlle I le réel suivnt : f = f + f I I Comme précédemment, nous llons fire le lien entre cette notion et celle de convergence d une intégrle impropre. Proposition 3.1.4 Soit f C M (I, R). Alors f est intégrble sur I si et seulement si l intégrle impropre de f sur I est bsolument convergente. Dns ce cs, f et l intégrle impropre de f sur I sont égles. I I

3.2. THÉORÈMES DE CONVERGENCE 59 Si nous considérons pr exemple l ppliction f : R + R définie pr f(0) := 1 et f(t) := sin t si t R t +, nous svons que l intégrle impropre + f(t) dt est semi-convergente. L ppliction f n est donc ps intégrble 0 sur I = R + et l écriture R + f n ps de sens! 3.1.3 Le cs complexe Pour tout nombre complexe z, nous noterons Rz s prtie réelle et Iz s prtie imginire. Définition et proposition 3.1.5 Une ppliction f C M (I, C) est dite intégrble si l ppliction positive f est intégrble sur I. Ceci équivut à l intégrbilité des deux pplictions réelles Rf et If sur I. Dns ce cs, nous ppellerons intégrle de l ppliction f sur l intervlle I le nombre complexe suivnt : I f = I Rf + i If I Le lecteur pourr vérifier fcilement l équivlence qui vient d être énoncée en utilisnt les trois inéglités suivntes, vlbles pour tout z C : Rz z, Iz z, z Rz + Iz. Proposition 3.1.6 Soit f C M (I, C). Alors f est intégrble sur I si et seulement si l intégrle impropre de f sur I est bsolument convergente. Dns ce cs, f et l intégrle impropre de f sur I sont égles. I 3.2 Théorèmes de convergence Les deux théorèmes suivnts, dont l démonstrtion relève de l théorie de l mesure et de l intégrtion bstrite de Lebesgue, sont dmis. Théorème 3.2.1 (de convergence monotone) Soit (f n ) (C M (I, R + )) N une suite croissnte d pplictions positives intégrbles sur I qui converge simplement vers f C M (I, R + ). Alors, nous vons l églité I f(t) dt = lim f n (t) dt R + n + I

60CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Remrques 1. En prticulier, l ppliction f est intégrble sur I si et seulement si l suite ( f I n(t) dt ) est mjorée. n N 2. On note prfois cette églité sous l forme I lim f n = lim f n I Appliction 3.2.2 Soit (u n ) (C M (I, R + )) N une suite d pplictions positives intégrbles sur I telle que l série u n converge simplement vers S = + n=0 u n C M (I, R + ). Alors, on l églité : I + n=0 u n = + n=0 u n I Démonstrtion: On pplique le théorème précédent vec : n N f n := n u k et f := S k=0 Remrque: En prticulier, S est intégrble sur I si et seulement si l série u I n converge. Exemple: fcilement : En fisnt deux intégrtions pr prties successives, on démontre n N I n := + 0 e nx x 2 dx = 2 n 3 Nous en déduisons que n I n converge. Comme d utre prt l série d pplictions e nx x 2 converge simplement sur ]0, + [ vers S C 0 (]0, + [, R + ) définie pr S(x) = x 2 /(e x 1), nous déduisons de l ppliction 3.2.2 : + 0 x 2 + e x 1 dx = 2 n = 2 ζ(3) 3 n=1

3.2. THÉORÈMES DE CONVERGENCE 61 Exercice : Référence : Théorie de l intégrtion pr Mrc BRIANE et Gilles PAGÈS chez Vuibert, pges 126-127. 1. Pour tout n N, nous définissons l ppliction g n : [0, n[ R pr ( g n (x) := (n + 1) log 1 x ) ( n log 1 x ), n + 1 n Montrer que g n 0, puis que g n 0 et en déduire l inéglité ( x [0, n[ 1 x ) ( n 1 x ) n+1. n n + 1 2. Pour tout n N, nous définissons l ppliction f n : R + R + pr ( f n (x) := 1 [0,n] (x) 1 n) x n. Montrer que l suite (f n ) n N converge simplement vers l ppliction f : R + R + définie pr f(x) = exp( x). 3. Pour tout α R et tout n N, nous définissons l intégrle n ( In α := 1 n) x n exp(αx) dx. 0 Montrer que l suite (In α ) n N converge si et seulement si α < 1 et que, dns ce cs, lim n + Iα n = 1 1 α. Théorème 3.2.3 (de convergence dominée) Soit (f n ) (C M (I, C)) N une suite d pplictions qui converge simplement vers f C M (I, C). On suppose qu il existe une ppliction g C M (I, R + ) intégrble sur I telle que : n N t I f n (t) g(t). Alors l ppliction f est intégrble sur I et nous vons l églité f(t) dt = f n (t) dt. I lim n + Remrques 1. C est l existence d une telle ppliction g qui est l hypothèse essentielle : on l ppelle «mjornt intégrble» ou prfois «chpeu intégrble». 2. Les intégrles du membre de droite sont bien définies cr l existence du mjornt intégrble implique l intégrbilité des pplictions f n, n N. I

62CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Exercice proposé : Intégrle de Guss Le lecteur pourr triter à titre d exercice cette ppliction du théorème de convergence dominée, développée en détil dns [DAN 475-476]. Le chngement de vrible t = n cos x permet de démontrer l églité suivnte pour tout n N : π/2 n sin 2n+1 x dx = 0 n 0 ( 1 t2 n ) n dt. Un risonnement de concvité permet de prouver l mjortion log(1+u) u pour tout u > 1, d où : t [0, ( ) n n[ 1 t2 e t2 n qui nous fournit un mjornt intégrble nous permettnt de prouver, grâce u théorème de convergence dominée, lim n + n En utilisnt l formule de Wllis 0 ( 1 t2 n ) n dt = π/2 nous en déduisons l églité suivnte 0 sin p x dx + 0 π 2p, e t2 dt. + 0 e t2 dt = π 2, qui est utile pr exemple en clcul des probbilités pour définir l loi de Guss. Corollire 3.2.4 (Intégrtion terme à terme) Soit (u n ) (C M (I, C)) N une suite d pplictions intégrbles sur I telle que l série u n converge simplement vers S = + n=0 u n C M (I, C) et telle que l série u I n converge. Alors S est intégrble sur I et l on : I + n=0 u n = + n=0 u n I

3.2. THÉORÈMES DE CONVERGENCE 63 Démonstrtion: L idée est d ppliquer le théorème précédent en posnt, pour tout n N, f n := n k=0 u k et en utilisnt le mjornt g := u n. Notons que nos hypothèses ne grntissent ps que g soit continue pr morceux sur I. Nous dmettrons (cel relève de l théorie de l mesure) que l on peut donner nénmoins un sens à g et que ceci nous permet de conclure. I Exemple: En procédnt comme dns l exemple qui suit l ppliction 3.2.2, on démontre l églité : + 0 + sin x e x 1 dx = 1 n 2 + 1 On est mené à prouver l convergence de l série + n 1 sin x e nx dx 0 en utilisnt l mjortion sin x x. On termine le clcul grâce à deux intégrtions pr prties successives. En fit, le théorème de convergence dominée reste vlble sous l hypothèse plus fible que toute les pplictions en jeu sont réglées u lieu d être continues pr morceux. Ceci justifie l ppliction suivnte [BP 136] : Appliction 3.2.5 (Intégrtion d une dérivée bornée) Soit f une fonction prtout dérivble sur [, b], à vleurs dns K et de dérivée f R([, b], K). Alors, nous vons l églité : b n=1 f (x) dx = f(b) f() Démonstrtion: Nous notons d bord que, quitte à introduire l ppliction g : [0, 1] K définie pr x [0, 1] g(x) = f( + (b )x), et à fire un simple chngement de vrible, nous pouvons supposer = 0 et b = 1 sns perte de générlité. Nous introduisons lors l suite (f n ) n N d pplictions de [0, 1] dns K définies pr : [ x 0, 1 1 ] ( ( f n (x) = n f x + 1 ) ) f(x) et x ]1 1n ] n n, 1 f n (x) = 0 Pour tout n N, nous vérifions fcilement que f n C M ([0, 1], K) puisque f est dérivble donc fortiori continue sur [0, 1].

64CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE En outre, nous consttons imméditement que l suite (f n ) n N converge simplement sur [0, 1[ vers f. Comme M := sup [0,1] f est fini pr hypothèse, le théorème des ccroissements finis nous donne : n N x [0, 1] f n (x) M Puisque l ppliction constnte égle à M est intégrble sur [0, 1], le théorème de convergence dominée nous donne 1 0 f (x) dx = lim 1 0 f n (x) dx Pour conclure, nous llons préciser l vleur du membre de droite. Nous clculons d bord, à l ide d un simple chngement de vrible : 1 0 1 1 n f n (x) dx = n = n 0 1 1 n f ( x + 1 ) 1 1 n dx n n 1 1 n f(x) dx n f(x) dx 0 Introduisons mintennt l ppliction F : [0, 1] K définie pr 0 x [0, 1] F (x) = x 0 f(t) dt 0 f(x) dx qui est une primitive de l ppliction continue f. Nous vons lors : 1 ( ( f n (x) dx = n F (1) F 1 1 )) ( ( ) ) 1 n F F (0), n n d où l églité suivnte, qui nous permet de conclure : lim 1 0 f n (x) dx = F (1) F (0) = f(1) f(0) Remrque: On déduit de cette ppliction que, si f R([, b], K) dmet une primitive F sur [, b], lors celle-ci est nécessirement de l forme : x [, b] F (x) = x f(t) dt + C, où C est une constnte

3.3. INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 65 En effet, notons pour l instnt G : [, b] K l ppliction définie pr x [, b] G(x) = x f(t) dt Puisque F est une primitive de f sur [, b], nous vons F = f R([, b], K) si bien que, d près l ppliction précédente, pour tout x [, b] G(x) = x f(t) dt = x F (t) dt = F (x) F () d où l conclusion. Les deux théorèmes qui vont pprître dns le prgrphe suivnt sont des exemples importnts d ppliction du théorème de convergence dominée. 3.3 Intégrle dépendnt d un prmètre Dns toute cette section, I et J désignent des intervlles réels d intérieurs non vides (i.e. ces intervlles ne sont ni vides ni réduits à un point). 3.3.1 Étude de l continuité Cette étude repose sur le théorème suivnt : Théorème 3.3.1 (de continuité) Considérons f : I J C telle que, pour tout t J fixé, l ppliction x f(x, t) est continue sur I et, pour tout x I fixé, l ppliction t f(x, t) est continue pr morceux sur J. Supposons que l hypothèse suivnte, dite de domintion, est stisfite : Il existe g C M (J, R + ) intégrble sur J telle que (x, t) I J f(x, t) g(t) Nous pouvons lors définir l ppliction F : I C pr : x I F (x) = f(x, t) dt et cette ppliction F est continue sur l intervlle I. J

66CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Démonstrtion: Notons d bord que l hypothèse de domintion implique l intégrbilité de t f(x, t) sur J, ce qui nous permet de définir F. Soit x I rbitrire fixé. Nous llons montrer que F est continue u point x en utilisnt l crctéristion séquentielle de l continuité. Considérons donc une suite (x n ) I N qui converge vers x et définissons, pour tout n N, une ppliction f n : J C pr f n (t) = f(x n, t). Nos hypothèses impliquent que f n C M (J, C) pour tout entier n. De même, définissons f x C M (J, C) pr f x (t) = f(x, t). Nos hypothèses entrînent que l suite d pplictions (f n ) n N converge simplement sur J vers l ppliction f x. En outre, l ppliction g nous fournit un mjornt intégrble puisque : n N t J f n (t) g(t). Les conditions sont donc réunies pour ppliquer le théorème de convergence dominée, qui nous donne : f n (t) dt = f x (t) dt, ce qui s écrit encore : lim n + J lim F (x n) = F (x). n + Nous en déduisons l continuité de l ppliction F u point x. Finlement, comme x vit été fixé rbitrirement dns I, nous concluons : F C(I, C). Exercice: Pb 5.2 de [CMP 346] prgrphe I. Pour toute ppliction f C M (R, C) intégrble sur ], + [, nous définissons s trnsformée de Fourier Ff : R C pr : x R Ff(x) := 1 + f(t) e ixt dt 2π J Montrer que Ff est continue et bornée sur R. Remrque: L continuité étnt une propriété locle, nous obtenons l même conclusion sous une hypothèse plus fible, dite de domintion locle : Pour tout segment K inclus dns I, il existe une ppliction g K C M (J, R + ) intégrble sur J et telle que (x, t) K J f(x, t) g K (t).

3.3. INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 67 En effet, ceci entrîne l continuité de l ppliction F sur tout segment K inclus dns I et nous en déduisons s continuité en tout point de I. Le lecteur trouver l preuve formelle dns [CMP 191] mis nous pourrons ussi simplement en ppliquer l idée u cs pr cs, comme nous llons le voir dns l exemple suivnt. Appliction à l fonction Γ d Euler de l fonction Γ : R + R pr Nous llons justifier l définition x R + Γ(x) = + 0 t x 1 e t dt et montrer que cette fonction est continue sur R +. Soit x > 0 fixé ; montrons que Γ(x) est bien définie. Puisque l ppliction t t x 1 e t est continue sur ]0, + [, il reste à étudier l convergence de l intégrle impropre en 0 et +. Comme nous vons l équivlence suivnte lorsque t 0+ : t x 1 e t t x 1, vec x 1 > 1, nous obtenons pr comprison vec l exemple de Riemnn l convergence de notre intégrle impropre en 0. Pour étudier l convergence de l intégrle impropre en +, nous utilisons lim t + tx+1 e t = 0, pour en déduire T > 0 t T t x 1 e t 1 t 2, ce qui nous donne l convergence de notre intégrle impropre en + pr comprison vec l exemple de Riemnn. Considérons mintennt un segment [, b] R +. L ppliction (x, t) t x 1 e t est clirement continue sur [, b] R +. En outre, nous vons l mjortion suivnte : (x, t) [, b] R + t x 1 e t (t 1 + t b 1 )e t, cette dernière ppliction étnt intégrble sur ]0, + [ d près ce qui précède. Le théorème 3.3.1 nous donne lors l continuité de l ppliction Γ sur [, b]. Enfin, ce segment [, b] R + ynt été choisi de fçon rbitrire, nous en déduisons l continuité de l fonction Gmm d Euler sur R +.

68CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Le lecteur montrer fcilement à l ide d une intégrtion pr prties générlisée l églité suivnte : x R + Γ(x + 1) = x Γ(x) et il en déduir, pr une simple récurrence, les vleurs prticulières prises pr l fonction Gmm d Euler sur les entiers : Résumons-nous : n N Γ(n) = (n 1)! Proposition 3.3.2 On définit bien une ppliction Γ : R + R en posnt : x R + Γ(x) = + 0 t x 1 e t dt En outre, Γ C 0 (R +, R), Γ(1) = 1 et on l églité : x R + Γ(x + 1) = x Γ(x) Exercice: [CMP 306] Grâce u thm de convergence monotone, étblir : x R + n En déduire l proposition suivnte. 0 ( 1 n) t n t x 1 dt Γ(x) n + Proposition 3.3.3 (Formule d Euler-Guss) x R + Γ(x) = lim n + n x n! x(x + 1) (x + n) L formule d Euler-Guss permet d étblir le lien suivnt entre l constnte γ d Euler et l fonction Γ d Euler [CMP 306] : Corollire 3.3.4 (Formule de Weierstrss) Pour tout x R +, nous vons : + 1 Γ(x) = x exp(γx) n=1 [( 1 + x ) ( exp x )] n n

3.3. INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 69 3.3.2 Étude de l dérivbilité Théorème 3.3.5 (de dérivtion) Considérons f : I J C telle que, pour tout x I fixé, l ppliction t f(x, t) est continue pr morceux et intégrble sur J. Nous pouvons lors définir l ppliction F : I C pr : x I F (x) = f(x, t) dt Supposons en outre que, pour tout t J fixé, l ppliction x f(x, t) est dérivble (resp. de clsse C 1 ) sur I et que, pour tout x I fixé, l ppliction t f (x, t) est continue pr morceux sur J. x Si l hypothèse (de domintion) suivnte est stisfite : Il existe g C M (J, R + ) intégrble sur J telle que (x, t) I J f (x, t) x g(t) lors l ppliction F est dérivble (resp. de clsse C 1 ) sur I, de dérivée : x I F f (x) = (x, t) dt (3.1) x Démonstrtion: Soit x I fixé. Comme dns le théorème précédent, c est pr une crctéristion séquentielle que nous llons démontrer l dérivbilité de l ppliction F u point x et exprimer s dérivée. Nous considérons donc une suite (x n ) (I {x}) N qui converge vers x et, pour tout n N, nous définissons une ppliction h n : J C pr de sorte que t J h n (t) = f(x n, t) f(x, t) x n x F (x n ) F (x) x n x J J = J h n (t) dt. (3.2) Nous imerions ppliquer le théorème de convergence dominée à l intégrle du membre de droite fin de prouver que le membre de guche dmet une limite. L suite (x n ) étnt rbitrire, ceci entrîner l dérivbilité de l ppliction F u point x pr crctéristion séquentielle d une limite. Pour cel, nous remrquons d bord que les hypothèses sur f impliquent : t J lim h n(t) = f (x, t). n + x

70CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Nous cherchons mintennt un mjornt intégrble. L hypothèse de domintion et l inéglité des ccroissements finis nous donnent : t J n N h n (t) g(t). Nous pouvons donc ppliquer le théorème de convergence dominée pour psser à l limite lorsque n tend vers l infini dns l églité (3.2) et obtenir F (x n ) F (x) f lim = lim h n (t) dt = (x, t) dt n + x n x n + x ce qui prouve l dérivbilité de l ppliction F u point x et nous donne l églité (3.1). Si, en outre, l ppliction x f (x, t) est continue sur I, notre hypothèse de x domintion permet de démontrer l continuité de F grâce à l églité (3.1) et u théorème 3.3.1. Appliction : Trnsformée de Fourier Pb 5.2 de [CMP 346] V 1)3). Soit n N et f C M (R, C) telle que les pplictions f, f 1 : t tf(t),, f n : t t n f(t) soient toutes intégrbles sur ], + [. Alors Ff C n (R, C) et : k {1,, n} x R (Ff) (k) (x) = ( i) k Ff k (x) Remrque: L dérivbilité étnt une propriété locle, nous obtenons l même conclusion sous une hypothèse plus fible, dite de domintion locle : Pour tout segment K inclus dns I, il existe une ppliction g K C M (J, R + ) intégrble sur J et telle que (x, t) K J f (x, t) x g K(t). En effet, ceci entrîne l dérivbilité de l ppliction F sur tout segment K inclus dns I et l églité : x K F f (x) = (x, t) dt. x Nous en déduisons l dérivbilité de F en tout point de I et l églité x I F f (x) = (x, t) dt. x J J J J

3.4. LA FONCTION Γ D EULER 71 Appliction : Intégrle de Guss [DAN 479-480] clcule l intégrle de Guss en étblissnt l églité F + G = 0 pour les pplictions F, G : R R définies pr : x R F (x) = 1 0 3.4 L fonction Γ d Euler ( exp[ x 2 (1 + t 2 )] x ) 2 dt et G(x) = exp( t 2 ) dt 1 + t 2 0 Nous vons introduit l fonction Γ d Euler dns l proposition 3.3.2. En ppliqunt le théorème de dérivtion 3.3.5 sous une hypothèse de domintion locle, nous obtenons : Proposition 3.4.1 L fonction Γ d Euler est de clsse C sur R + et k N x R + Γ (k) (x) = + 0 (log t) k t x 1 e t dt. Le lecteur trouver l démonstrtion détillée dns [CMP 200-202], qui étblit des propriétés supplémentires et trce l llure de l courbe représenttive de l fonction Γ. En prticulier, nous consttons imméditement que Γ 0 ce qui implique l convexité de Γ. En fit, nous vons même mieux : Définition et proposition 3.4.2 Soient I un intervlle réel non trivil et f : I R +. On dit que l ppliction f est logrithmiquement convexe si l ppliction log f est convexe. Toute ppliction logrithmiquement convexe est convexe. Démonstrtion: Soient (x, y) I 2 et λ [0, 1]. Pr hypothèse, on : log f[λx + (1 λ)y] λ log f(x) + (1 λ) log f(y) Le logrithme étnt une fonction concve, on en déduit : log f(λx + (1 λ)y) log[λf(x) + (1 λ)f(y)] On obtient lors le résultt voulu en pssnt à l exponentielle dns cette dernière inéglité.

72CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE Remrque: f(x) = x 2. Le lecteur constter que l réciproque est fusse en prennt Proposition 3.4.3 L fonction Γ d Euler est logrithmiquement convexe. Démonstrtion: Comme nous vons les églités ( ) Γ (log Γ) = = ΓΓ (Γ ) 2, Γ Γ 2 il suffit de prouver que (Γ (x)) 2 Γ(x)Γ (x) pour tout x > 0. Or ceci résulte imméditement de l inéglité de Cuchy-Schwrz ppliquée à f(t) = t x 1 2 e t 2 et g(t) = log t t x 1 2 e t 2 : ( + 0 log t t x 1 e t dt) 2 + 0 t x 1 e t dt + 0 (log t) 2 t x 1 e t dt L notion de convexité logrithmique nous donne une crctéristion intéressnte de l fonction Γ d Euler : Théorème 3.4.4 (Bohr-Mollerup) Soit f : R + R + une ppliction logrithmiquement convexe telle que f(1) = 1 et f(x + 1) = xf(x) pour tout x R +. Alors f = Γ. Le lecteur trouver l démonstrtion de ce théorème dns [RUD 179-180] qui retrouve u pssge l formule d Euler-Guss (cf. Proposition 3.3.3). Corollire 3.4.5 (Fonction Bêt) Nous pouvons bien définir une fonction B : (R +) 2 R + en posnt : (x, y) (R +) 2 B(x, y) = Nous vons lors l églité : (x, y) (R +) 2 + 0 t x 1 (1 t) y 1 dt (3.3) B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) (3.4) Le lecteur vérifier fcilement l première phrse pr comprison vec l exemple de Riemnn. Nous le renvoyons à [RUD 180-181] pour déduire l églité (3.4) du théorème précédent. L formule de Stirling qui nous donne un équivlent de n! lorsque n + dmet l générlistion suivnte :

3.4. LA FONCTION Γ D EULER 73 Proposition 3.4.6 (Formule de Stirling) Nous vons l équivlence suivnte lorsque x + : ( x ) x Γ(x + 1) 2πx e Démonstrtion: [RUD 181-182]

74CHAPITRE 3. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE

Chpitre 4 Intégrles multiples Nous ne donnerons dns ce chpitre que les définitions et résultts essentiels. Pour lléger les écritures, nous ne triterons que le cs de l intégrle double : tous les énoncés se générlisent sns difficulté ux intégrles multiples. Le progrmme officiel précise que tous les théorèmes reltifs ux intégrles multiples (notmment Fubini et chngement de vrible) seront dmis. Le lecteur trouver dns le chpitre 12 de [CMPSI 395-419] les énoncés qui se rmènent à des intégrles simples sur des segments, à svoir ceux qui concernent des intégrles multiples définies sur un sous-ensemble borné (et géométriquement simple) de R 2 ou R 3 ; des exercices sur ce thème se trouvent dns le chpitre 12 de [EMPSI 183-194]. Les énoncés qui font pprître des fonctions intégrbles sur des intervlles quelconques pourront être étudiés dns le chpitre 3 de [CMP 206-216] : ils permettent d intégrer une ppliction continue sur certins sous-ensembles non bornés de R 2 ou R 3. 4.1 Intégrle double sur un domine simple borné Proposition et définition 4.1.1 Soit f : [, b] [c, d] K continue. Alors nous vons l églité : b ( d c ) f(x, y) dy dx = d c ( b ) f(x, y) dx dy L vleur commune de ces deux intégrles est ppelée intégrle double de f sur le pvé [, b] [c, d] et notée : f(x, y) dx dy [,b] [c,d] 75

76 CHAPITRE 4. INTÉGRALES MULTIPLES Définition 4.1.2 On ppelle domine simple du pln toute prtie D de R 2 qui vérifie l une des deux propriétés suivntes : 1. Il existe φ 1, φ 2 C M ([, b], R) telles que : D = {(x, y) R 2 ; x b, φ 1 (x) y φ 2 (x)} (4.1) 2. Il existe ψ 1, ψ 2 C M ([c, d], R) telles que : D = {(x, y) R 2 ; c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} (4.2) Proposition et définition 4.1.3 Considérons un domine simple D du pln et une ppliction continue f : D K continue. Nous définissons l intégrle double de l ppliction f sur le domine D comme suit : 1. Si D est de l forme (4.1), D f(x, y) dx dy = 2. Si D est de l forme (4.2), D f(x, y) dx dy = b d c ( ) φ2 (x) f(x, y) dy dx φ 1 (x) ( ) ψ2 (y) f(x, y) dx dy ψ 1 (y) Cette définition est cohérente en ce sens que si un domine D peut s écrire à l fois sous les formes (4.1) et (4.2), lors nous vons l églité : b ( ) φ2 (x) f(x, y) dy dx = φ 1 (x) d c ( ) ψ2 (y) f(x, y) dx dy ψ 1 (y) L intégrle double insi définie possède les propriétés de linérité, positivité, croissnce et stisfit les inéglités tringulire et de Cuchy-Schwrz. 4.2 Intégrle double sur un produit d intervlles quelconques Dns toute l suite, I et I désignent des intervlles réels non vides ni réduits à un point.

4.2. INTÉGRALE DOUBLE SUR UN PRODUIT D INTERVALLES QUELCONQUES77 4.2.1 Le cs positif Définition 4.2.1 Soit f C(I I, R + ). On ppelle intégrle double de f sur I I l élément de R + : { } f = sup f(x, y) dx dy; [, b] I, [c, d] I + I I [,b] [c,d] On dit que f est intégrble sur I I si I I < +. Remrque: Une ppliction f C(I I, R + ) est donc intégrble s il existe M > 0 tel que pour tous segments [, b] I et [c, d] I, f(x, y) dx dy M [,b] [c,d] Théorème 4.2.2 Soit f C(I I, R + ). On suppose que, pour tout y I, l ppliction x f(x, y) est intégrble sur I, ce qui nous permet de définir l ppliction y f(x, y) dx, que l on suppose intégrble sur I I. Alors f est intégrble sur I I et on l églité : ( ) f = f(x, y) dx dy I I I I Symétriquement, nous vons ussi le résultt suivnt : Soit f C(I I, R + ). On suppose que, pour tout x I, l ppliction y f(x, y) est intégrble sur I, ce qui nous permet de définir l ppliction x f(x, y) dy, que l on suppose intégrble sur I. I Alors f est intégrble sur I I et on l églité : ( ) f = f(x, y) dy dx I I I I Voici ce qu il est importnt de retenir en substnce : Si toutes les conditions précédentes sont stisfites, c est-à-dire si l on peut légitimement définir les deux intégrles suivntes : ( ) ( ) f(x, y) dx dy et f(x, y) dy dx I I I I lors elles sont égles. L intégrle double correspondnte est encore égle à leur vleur commune. C est le plus souvent sous cette forme que l on utiliser ce théorème, dit de Fubini-Tonelli.

78 CHAPITRE 4. INTÉGRALES MULTIPLES 4.2.2 Le cs réel ou complexe On dopte exctement l même démrche que celle utilisée dns le chpitre précédent pour définir l intégrle d une ppliction sur un intervlle quelconque en prtnt du cs positif. Définition et proposition 4.2.3 Une ppliction f C(I I, R) est dite intégrble si l ppliction positive f est intégrble sur I I. Ceci équivut à l intégrbilité des deux pplictions positives f + et f sur I I. Dns ce cs, nous ppellerons intégrle de l ppliction f sur I I le réel : f = I I f + I I f I I Définition et proposition 4.2.4 Une ppliction f C(I I, C) est dite intégrble si l ppliction positive f est intégrble sur I I. Ceci équivut à l intégrbilité des deux pplictions réelles Rf et If sur I I. Dns ce cs, nous ppellerons intégrle de l ppliction f sur I I le nombre complexe suivnt : f = Rf + i If I I I I I I L intégrle double insi définie est linéire et stisfit l inéglité tringulire. Dns le cs K = R, elle possède les propriétés de positivité et croissnce et stisfit l inéglité de Cuchy-Schwrz. Théorème 4.2.5 Soit f C(I I, K). Supposons que, pour tout y I, l ppliction x f(x, y) est intégrble sur I, ce qui nous permet de définir l ppliction positive y f(x, y) dx, que nous supposons intégrble sur I I. Alors f est intégrble sur I I. Si nous supposons en outre que l ppliction y f(x, y) dx est continue I pr morceux sur I, lors elle est intégrble sur I et nous vons l églité : ( ) f = f(x, y) dx dy I I I I Symétriquement, nous vons ussi le résultt suivnt : Soit f C(I I, K). On suppose que, pour tout x I, l ppliction y f(x, y) est intégrble sur I, ce qui nous permet de définir l ppliction positive x I f(x, y) dy, que l on suppose intégrble sur I. Alors f est intégrble sur I I.

4.2. INTÉGRALE DOUBLE SUR UN PRODUIT D INTERVALLES QUELCONQUES79 Si, en outre, l ppliction x f(x, y) dy est continue pr morceux sur I I, lors elle est intégrble sur I et on l églité : ( ) f = f(x, y) dy dx I I I I Voici ce qu il est importnt de retenir en substnce : Si l une des deux intégrles positives suivntes est finie ( ) ( ) f(x, y) dx dy ou f(x, y) dy dx I I I I lors il y églité entre les deux intégrles suivntes ( ) ( ) f(x, y) dx dy et f(x, y) dy dx I I I I sous réserve des conditions de continuité pr morceux ssurnt que ces intégrles sont bien définies. L intégrle double correspondnte est lors égle à cette vleur commune. C est le théorème de Fubini(-Lebesgue). Remrque: Il est importnt de vérifier d bord l condition d intégrbilité sur f, sns quoi l dernière églité peut tomber en défut. Pr exemple, nous vons l églité : + ( + ) x y (x + y) dx dy = 1 (4.3) 3 2 1 1 En effet, + x + y 2y + dx = 1 (x + y) 3 1 ce qui s écrit encore, en pssnt ux primitives : [ 1 x + y ] x + x=1 [ y 1 (x + y) 2 ] x + x=1 L intégrle qui nous intéresse vut donc : + 1 dy (1 + y) 2 = dx + (x + y) y 2 1 2 (x + y) 3 dx, = 1 1 + y y (1 + y) 2 = 1 (1 + y) 2 [ 1 1 + y ] y + L églité (4.3) étnt mintennt prouvée, nous pouvons y intervertir les vribles (muettes) x et y pour obtenir : + ( + ) x y (x + y) dy dx = 1 + ( + ) 3 2 x y (x + y) dx dy 3 1 1 1 y=1 = 1 2 Nous en concluons que l ppliction f définie pr f(x, y) := intégrble sur [1, + [ 2. 1 x y (x+y) 3 n est ps

80 CHAPITRE 4. INTÉGRALES MULTIPLES 4.3 Chngement de vrible Nous dmettons le théorème suivnt : Théorème 4.3.1 Soient U et V deux ouverts de R 2, Φ : U V un C 1 - difféomorphisme et f : V R une ppliction positive et continue. Alors nous vons l églité suivnte dns R + : f(x, y) dx dy = f(φ(s, t)) J Φ (s, t) ds dt, V où J Φ est le déterminnt jcobien du C 1 -difféomorphisme Φ. U Ce théorème se démontre grâce à l théorie de l mesure et c est dns le cdre de celle-ci que l on peut définir les deux intégrles ci-dessus pour des ouverts quelconques U et V de R 2. Dns le cdre de notre progrmme, nous ne pourrons l ppliquer que lorsque ces ouverts seront de l une des deux formes suivntes : un produit de deux intervlles ouverts, l intérieur d un domine simple du pln. Dns ce dernier cs, pr exemple si V = D vec D domine simple du pln, nous dmettrons l églité : f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy, V correspondnt à l idée intuitive que l frontière D étnt de «surfce nulle», elle n pporte ucune contribution à cette dernière intégrle double. Nous dmettons encore le théorème suivnt : Théorème 4.3.2 Soient U et V deux ouverts de R 2, Φ : U V un C 1 - difféomorphisme et f : V R une ppliction continue telle que : f(x, y) dx dy < + (4.4) V Alors nous vons l églité suivnte dns R : f(x, y) dx dy = f(φ(s, t)) J Φ (s, t) ds dt V U Remrquons que l condition d intégrbilité (4.4) ssure que l intégrle du membre de droite est bien définie. En effet, en ppliqunt le théorème 4.3.1 vec f, nous obtenons : f(φ(s, t)) J Φ (s, t) ds dt = f(x, y) dx dy < + U D V

Chpitre 5 Méthodes de clcul pproché d une intégrle. Mjortion de l erreur. Bibliogrphie : Chpitre 24 du livre de DANTZER. Chpitre 3 de l ouvrge Anlyse numérique et équtions différentielles pr Jen-Pierre DEMAILLY, collection Grenoble Sciences, Presses Universitires de Grenoble. Dns toute l suite, nous considérerons un intervlle réel d intérieur non vide I et une ppliction f C(I, R). Étnt donnés un segment [, b] I et x 0, x 1,, x p des points distincts de [, b], vec p N, nous cherchons une formule d pproximtion de l forme : b p f(t) dt (b ) ω j f(x j ), (5.1) où les ω j, 0 j p sont des réels tels que p j=0 ω j = 1, si bien que l formule précédente est une églité dns le cs où f est constnte sur [, b]. Une telle formule ser ppelée méthode de qudrture et nous dirons que l entier p est le rng de cette méthode. Ce chpitre ser orgnisé en suivnt trois idées simples. Idée 1 Soit p un entier fixé. Dns le cs prticulier où f = P R p [X], nous disposons de formules simples de clcul exct de b P. Idée 2 Nous pouvons pprocher une fonction suffismment régulière f pr un polynôme P et utiliser lors l pproximtion b f b P. Il ser bien sûr essentiel de contrôler l erreur commise lors de cette pproximtion. 81 j=0

82CHAPITRE 5. MÉTHODES DE CALCUL APPROCHÉ D UNE INTÉGRALE Idée 3 Pr reltion de Chsles, nous pouvons découper l intervlle [, b] en petits sous-intervlles et ppliquer l méthode élémentire décrite ci-dessus sur chcun d eux puis dditionner les résultts : nous obtenons lors une méthode composée donnnt une pproximtion plus précise de l intégrle sur [, b]. 5.1 Intégrle d une fonction polynomile. 5.1.1 Ordre d une méthode de qudrture Soit p N et x 0, x 1,, x p des réels distincts fixés dns l intervlle [, b]. Pour tout 0 j p, nous considérons l forme linéire δ xj définie sur R p [X] pr δ xj (P ) = P (x j ). Nous vons lors l proposition suivnte [DAN 488] : Proposition 5.1.1 Le (p+1)-uplet (δ x0,, δ xp ) forme une bse de l espce dul (R p [X]). L ppliction P 1 b P (t)dt étnt une forme linéire sur R b p[x], nous en déduisons imméditement : Corollire 5.1.2 Soit p N et x 0, x 1,, x p des réels distincts fixés dns l intervlle [, b]. Il existe un unique (ω 0,, ω p ) R p+1 tel que : P R p [X] b P (t) dt = (b ) j=0 p ω j P (x j ). Nous dirons que (ω 0,, ω p ) est le (p + 1)-uplet de coefficients ssocié u système interpolteur (x 0, x 1,, x p ). Remrques 1. Il suffit de prendre P 1 pour constter que l condition p j=0 ω j = 1 est lors bien vérifiée. 2. En fit, pour l instnt, l hypothèse {x 0, x 1,, x p } [, b] est inutile. Il suffit de supposer que x 0, x 1,, x p sont des réels distincts pour obtenir les résultts précédents. Nénmoins, notre but étnt d obtenir une méthode de qudrture de l forme (5.1) pour n importe quelle ppliction f suffismment régulière (ps nécessirement polynomile!), il est très nturel de fire cette hypothèse supplémentire. 3. Nous employons dès mintennt l terminologie système interpolteur, qui prîtr plus nturelle u vu des sections suivntes.

5.1. INTÉGRALE D UNE FONCTION POLYNOMIALE. 83 Définition 5.1.3 Une méthode de qudrture de l forme (5.1) est dite d ordre q N si l formule pprochée est excte pour toute ppliction polynomile f R q [X] et inexcte pour u moins une ppliction f R q+1 [X]. Si nous considérons le (p + 1)-uplet de coefficients (ω 0,, ω p ) ssocié u système interpolteur (x 0, x 1,, x p ), nous obtenons donc une méthode de qudrture d ordre q p. Nous verrons plus loin sur des exemples que les cs q = p ou q > p se présentent tous deux effectivement. Une question essentielle dns l prtique est bien sûr de déterminer explicitement les coefficients ω 0,, ω p. Dns ce but, nous définissons les polynômes élémentires de Lgrnge l j, 0 j p, reltifs u (p + 1)-uplet (x 0, x 1,, x p ) pr : l j (X) = 0 i p i j X x i x j x i (5.2) Le lecteur constter que l j est l unique polynôme de R p [X] vérifint (vec δ i,j symbole de Kronecker) : 0 i p l j (x i ) = δ i,j Il est lors immédit d obtenir les reltions : 0 j p ω j = 1 b b l j (t) dt (5.3) Un simple chngement de vrible nous permet d en déduire le lemme suivnt, utile pour simplifier les clculs. Lemme 5.1.4 Soient (x 0, x 1,, x p ) un système interpolteur constitué de points de [, b], (ω 0,, ω p ) le (p+1)-uplet de coefficients qui lui est ssocié et ϕ : R R une trnsformtion ffine strictement croissnte. Alors le (p+1)- uplet de coefficients ssocié u système interpolteur (ϕ(x 0 ), ϕ(x 1 ),, ϕ(x p )), constitué de points de [ϕ(), ϕ(b)], est encore (ω 0,, ω p ). En outre, les deux méthodes de qudrture b f(t) dt (b ) j=0 p ω j f(x j ) ; ϕ(b) f(t) dt (ϕ(b) ϕ()) ϕ() j=0 p ω j f(ϕ(x j )) dmettent le même ordre.

84CHAPITRE 5. MÉTHODES DE CALCUL APPROCHÉ D UNE INTÉGRALE 5.1.2 Exemples Méthodes des rectngles L méthode des rectngles à guche correspond u cs p = 0 et x 0 =. On évidemment ω 0 = 1 de sorte que l formule s écrit : b f(t) dt (b ) f() Symétriquement, l méthode des rectngles à droite correspond u cs p = 0 et x 0 =, vec l formule : b f(t) dt (b ) f(b) On vérifie imméditement que ces méthodes sont d ordre q = 0 = p. Méthode du point milieu Elle correspond u cs p = 0 et x 0 = +b. On bien sûr toujours ω 2 0 = 1 et l formule s écrit donc : b ( ) + b f(t) dt (b ) f 2 En remrqunt que, pour f(t) = t, nous vons : b t dt = b2 2 2 ( ) + b = (b ) f 2 nous en déduisons pr linérité que l méthode du point milieu est d ordre q 1. En fit, le lecteur vérifier fcilement que q = 1 > p = 0. Méthode des trpèzes Elle correspond u cs p = 1, x 0 = et x 1 = b. Pour clculer ω 1, nous pouvons nous rmener u cs = 0 et b = 1 en utilisnt le lemme 5.1.4 vec ϕ(x) := + (b )x. Nous vons lors l 1 (X) = X d où, d près (5.3), ω 1 = 1/2 et donc ω 0 = ω 1 = 1/2. Finlement, nous obtenons l formule de qudrture : b f(t) dt (b ) f() + f(b) 2

5.1. INTÉGRALE D UNE FONCTION POLYNOMIALE. 85 Nous lissons le soin u lecteur de vérifier que cette méthode est d ordre q = p = 1. En fit, nous urions pu utiliser dès le déprt l églité ω 0 = ω 1 cr l méthode des trpèzes est un cs prticulier des méthodes que nous llons étudier mintennt. Méthodes de Newton-Cotes Pour tout p N, on définit l méthode de Newton-Cotes de rng p (en brégé NC p ) pr le choix des points : 0 j p x j = + j (b ) p En d utres termes, le système interpolteur est constitué de (p + 1) points formnt une subdivision régulière de l intervlle [, b]. Le clcul des coefficients ssociés est lors fcilité pr l proposition suivnte. Proposition 5.1.5 Dns l l méthode de Newton-Cotes de rng p, nous vons : 0 j p ω j = ω p j Démonstrtion: D près le lemme 5.1.4 vec ϕ(x) := +b + b x, nous 2 2 pouvons nous rmener u cs = 1 et b = 1 sns perte de générlité. Notre système interpolteur est lors défini pr les points x j = 1 + j 2 p, 0 j p et l j est l unique polynôme de R p [X] vérifint : ( 0 i p l j 1 + i 2 ) = δ i,j p Pr un simple chngement ) d indice, ceci s écrit encore : pour tout 0 i p, l j ( 1 + (p i) 2 = δ p p i,j, ce que nous récrivons sous l forme ( 0 i p l j 1 i 2 ) = δ i,p j p Définissnt le polynôme ľj R p [X] pr ľj(x) := l j ( x), nous vons donc : ( 0 i p ľ j 1 + i 2 ) = δ i,p j p

86CHAPITRE 5. MÉTHODES DE CALCUL APPROCHÉ D UNE INTÉGRALE ce qui prouve l églité ľj = l p j. Revennt ux reltions (5.3), nous en déduisons pr un simple chngement de vrible : ω j = 1 2 1 1 1 l j (t) dt = 1 2 1 ľ j (t) dt = 1 2 1 1 l p j (t) dt = ω p j Pr exemple, pour l méthode NC 2, encore ppelée méthode de Simpson, nous vons ω 0 = ω 2 et, toujours en prennt = 1 et b = 1, l 1 (X) = 1 X 2 d où ω 1 = 1 1 (1 2 1 t2 ) dt = 2/3 et ω 0 = ω 2 = 1/6. Finlement, nous obtenons l formule de qudrture : b f(t) dt b 6 [ f() + f(b) + 4f ( )] + b De même, pour l méthode NC 4, encore ppelée méthode de Boole-Villrceu, nous clculons, vec x 0 = 1, x 1 = 1 2, x 2 = 0, x 3 = 1 2, x 4 = 1 : l 2 (X) = (X + 1)(X + 1)(X 1 )(X 1) 2 2 1 1 ( 1) ( 1) = (X 2 1)(4X 2 1) 2 2 d où ω 2 = 1 1 2 1 (4t4 5t 2 + 1) dt = 2/15 ; l 1 (X) = (X + 1)X(X 1 )(X 1) 2 1 ( 1) ( 1) ( 3) = 8 3 X(X2 1)(X 1 2 ) 2 2 2 d où, vec des considértions de prité, ω 1 = 8 3 ω 3 = ω 1 = 16 45 2 1 0 (t4 t 2 ) dt = 16 45, et ω 0 = ω 4 = 1 2 (1 2 15 32 45 ) = 7 90. L formule de qudrture pr l méthode de Boole-Villrceu s écrit donc : b f(t) dt b 90 [ 7f() + 7f(b) + 32f ( ) ( ) ( )] 3 + b + 3b + b + 32f + 12f 4 4 2 Proposition 5.1.6 Soit p N. Si p et pir, lors l ordre de NC p est (p+1). Si p est impir, lors l ordre de NC p est p. Démonstrtion: Nous montrerons seulement que, si p est pir, lors l ordre de NC p est u moins (p + 1), en dmettnt le reste de l proposition. D près le lemme 5.1.4, nous pouvons supposer que = 1 et b = 1 sns perte de générlité. Nous vons donc x j = 1 + j 2, 0 j p, si bien que p

5.2. INTERPOLATION POLYNOMIALE. 87 x p j = x j pour tout j et x p 2 = 0. Nous svons déjà que l ordre de NC p est u moins p, c est-à-dire que : P R p [X] 1 p P (t) dt = 2 ω j P (x j ) (5.4) 1 j=0 Si nous pouvions démontrer que cette églité reste vrie pour P 0 (X) := X p+1, lors pr linérité elle serit stisfite pour tout polynôme de R p+1 [X], d où l conclusion. Or, p + 1 étnt impir, le membre de guche de (5.4) pour P 0 est nul. Le membre de droite peut être récrit, vec un chngement d indice : p 2ω p P 0(x p ) + 2 2 1 [ω 2 2 j P 0 (x j ) + ω p j P 0 (x p j )] j=0 Nous concluons grâce à l proposition 5.1.5 et u fit que, p+1 étnt impir, P 0 (x p j ) = P 0 (x j ) et P 0 (x p 2 ) = 0. 5.2 Interpoltion polynomile. On ppelle interpoltion polynomile un procédé permettnt d pprocher (dns un sens à préciser) une fonction suffismment régulière f : I R, où I est un intervlle réel, pr une fonction polynomile. Dns toute cette section, nous fixons donc un intervlle réel I, un segment [, b] I, des réels distincts x 0, x 1,, x p dns le segment [, b] et des entiers non nuls α 0,, α p ; enfin, nous posons n = p j=0 α j. 5.2.1 Interpoltion de Lgrnge et Hermite Notre résultt fondmentl est le suivnt [DAN 486] : Proposition 5.2.1 Soit f : I R une ppliction dmettnt pour tout 0 j p une dérivée d ordre α j 1 u point x j. Alors il existe un unique polynôme H R n 1 [X] tel que : 0 j p, 0 k α j 1, H (k) (x j ) = f (k) (x j ). Ce polynôme H est ppelé polynôme d interpoltion d Hermite de l ppliction f reltivement u système interpolteur (x 0, x 1,, x p ) et ux entiers (α 0,, α p ).

88CHAPITRE 5. MÉTHODES DE CALCUL APPROCHÉ D UNE INTÉGRALE Remrque: Pour tout indice j tel que α j = 1, il n y pour l instnt ucune condition sur l fonction f u voisinge de x j (qui peut être même un point de discontinuité). Nous serons nénmoins menés à écrire des conditions plus contrignntes cidessous fin de contrôler l erreur commise dns l pproximtion b f b H. Dns le cs prticulier α 0 = α 1 = = α p = 1 (et donc n = p + 1), le polynôme obtenu est ppelé polynôme d interpoltion de Lgrnge, noté L. Nous pouvons l expliciter simplement grâce ux polynômes élémentires de Lgrnge introduits en (5.2) : L = p f(x j ) l j j=0 5.2.2 Évlution de l erreur Pour poursuivre notre démrche, nous urons besoin de l définition suivnte. Définition 5.2.2 Nous ppellerons noyu d interpoltion ssocié u système interpolteur (x 0, x 1,, x p ) et ux entiers (α 0,, α p ) le polynôme N R n [X] défini pr : N(X) = p (X x j ) α j. j=0 Rppelons ici le second théorème de Rolle : Théorème 5.2.3 Si f est n fois dérivble sur I et y dmet u moins (n+1) zéros (en comptnt les ordres de multiplicité), lors f (n) dmet u moins un zéro sur I. Nous en déduisons : Proposition 5.2.4 Si f C n (I, R), lors : t I, ξ t I, f(t) H(t) = 1 n! N(t)f (n) (ξ t ) Démonstrtion: Fixonx t 0 I et choisissons λ R tel que l ppliction g : I R définie pr g(x) := f(x) H(x) λn(x) dmette t 0 pour zéro. En tennt compte des ordres de multiplicité, nous consttons que g dmet 1 + p j=0 α j = n + 1 zéros sur I et y est de clsse C n.

5.3. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 89 Le théorème précédent nous ssure l existence de ξ I tel que g (n) (ξ) = 0. Comme H R n 1 [X], nous vons H (n) 0 et l on clcule N (n) n!, d où g (n) (ξ) = f (n) (ξ) λn! = 0. Nous vons donc λ = f (n) (ξ)/(n!), si bien que x I g(x) = f(x) H(x) f (n) (ξ) n! Il reste à écrire g(t 0 ) = 0 pour conclure : N(x) ξ I, f(t 0 ) H(t 0 ) = 1 n! N(t 0)f (n) (ξ) Cette proposition nous permet de mjorer l erreur commise lorsque nous écrivons l pproximtion b f b H. Corollire 5.2.5 Si f C n ([, b], R) et si H est son polynôme d Hermite reltivement u système interpolteur (x 0, x 1,, x p ) et ux entiers (α 0,, α p ), lors : b f(t) dt b H(t) dt 1 n! 5.3 Intégrtion numérique sup f (n) (t) t [,b] 5.3.1 Avec un polynôme de Lgrnge b N(t) dt Nous nous donnons toujours des réels distincts x 0, x 1,, x p fixés dns le segment [, b] et nous commençons pr mettre en oeuvre le procédé décrit précédemment dns le cs prticulier où α 0 = α 1 = = α p = 1 (donc n = p+1), si bien que nous utilisons le polynôme d interpoltion de Lgrnge L R p [X]. Le corollire 5.1.2 nous permet lors d écrire : b L = (b ) p ω j L(x j ) En remrqunt que L(x j ) = f(x j ) pr définition même du polynôme de Lgrnge, nous obtenons l pproximtion b f b j=0 L = (b ) p ω j f(x j ) j=0

90CHAPITRE 5. MÉTHODES DE CALCUL APPROCHÉ D UNE INTÉGRALE Sous l hypothèse f C p+1 ([, b], R), le corollire 5.2.5 nous permet de mjorer l erreur commise en fisnt cette pproximtion : b p f (b ) ω j f(x j ) 1 b sup f (p+1) (t) N(t) dt (p + 1)! t [,b] j=0 Remrquons qu il nous est inutile de clculer explicitement le polynôme de Lgrnge L puisqu il n intervient dns cette formule d pproximtion que pr ses vleurs L(x j ) = f(x j ). Exemple: Pour l méthode des rectngles à guche, le noyu d interpoltion est donné pr N(t) = t, si bien que b N(t) dt = (b )2 /2. Nous vons donc, sous l hypothèse f C 1 ([, b], R) : b f(t) dt (b )f() (b )2 sup f (t). 2 t [,b] 5.3.2 Avec un polynôme d Hermite Nous fixons mintennt des réels distincts x 0, x 1,, x p dns le segment [, b] et des entiers non nuls α 0,, α p et nous posons toujours n = p j=0 α j. Comme précédemment, nous voudrions pouvoir écrire b b p p f H = (b ) ω j H(x j ) = (b ) ω j f(x j ) j=0 mis il pprît ici une difficulté prticulière. En effet, puisque H R n 1 [X], l églité b H = (b ) p j=0 ω jh(x j ) n est justifiée que si notre méthode de qudrture est d ordre q n 1 p, cette dernière églité devennt stricte dès que l on sort du cdre α 0 = α 1 = = α p = 1 trité dns l sous-section précédente. Autrement dit, pour utiliser un vri polynôme d Hermite (qui ne soit ps un polynôme de Lgrnge), il est indispensble de choisir une méthode de qudrture d ordre q > p. j=0 Exemple: Pour l méthode du point milieu, nous vons p = 0, x 0 = +b, 2 ω 0 = 1 et q = 1 > p. Ceci nous permet d utiliser le polynôme d Hermite H ssocié u point x 0 et à l entier α 0 = 2. Le noyu d interpoltion vut lors N(X) = ( ) X +b 2 2, si bien que : b b ( N(t) dt = t + b ) 2 (b )3 dt =. 2 12

5.3. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 91 Sous l hypothèse f C 2 ([, b], R), le corollire 5.2.5 nous permet d en déduire l mjortion : b ( ) + b (b )3 f(t) dt (b )f sup f (t). 2 24 t [,b] De fçon générle pour les méthodes de Newton-Cotes, nous svons que le cs q > p ne se présente que si p est pir et nous vons lors q = p + 1. Ceci explique que, hormis NC 1 (méthode des trpèzes), seules les méthodes NC p vec p pir sont utilisées. En outre, pour p 8, il pprît des coefficients ω j < 0, qui peuvent mplifier les erreurs d rrondis [DEM 63-64], ce qui n est ps souhitble. Finlement, outre les cs NC 2 (Simpson) et NC 4 (Boole-Villrceu) déjà présentés, seule NC 6, encore ppelée méthode de Weddle-Hrdy, est ussi utilisée dns l prtique. 5.3.3 Méthodes composées. Elles consistent à subdiviser l intervlle [, b] en sous-intervlles de l forme : [ + k ] k + 1 (b ), + (b ), 0 k N 1, N N où N N est fixé, puis à ppliquer une méthode élémentire sur chcun des sous-intervlles, et enfin à dditionner les résultts obtenus pour trouver une vleur pprochée de l intégrle de f sur [, b]. Ainsi, l méthode composée des rectngles s écrit b f(t) dt R N (f) = b N 1 ( f + k b ) N N et, si f est de clsse C 1 sur [, b], nous vons l mjortion suivnte de l erreur : b f(t) dt R N (f) (b )2 sup f (t). 2N t [,b] De même, l méthode composée du point milieu s écrit b f(t) dt P M N (f) = b N 1 ( f + (k + 1 N 2 )b ) N et, si f est de clsse C 2 sur [, b], nous vons : b f(t) dt P M N (f) (b )3 sup f (t). 24N 2 t [,b] Et nsi de suite pour chque méthode élémentire présentée plus hut... k=0 k=0

92CHAPITRE 5. MÉTHODES DE CALCUL APPROCHÉ D UNE INTÉGRALE 5.4 Méthodes de Guss. Nous nous intéressons mintennt à une forme d intégrle plus générle que celle étudiée précédemment : b f(x)ω(x) dx, où f C 0 ([, b], R) et ω C 0 (], b[, R +) est intégrble sur ], b[. Pour obtenir une vleur pprochée de cette intégrle, l idée est de considérer le produit sclire sur C 0 ([, b], R) défini pr : f, g = b f(t)g(t)ω(t) dt. Si nous prtons de l bse cnonique de R[X] et que nous lui ppliquions le procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt, nous obtenons une suite (P n ) n N de polynômes orthogonux pour le produit sclire que nous venons de définir. On peut montrer que pour tout n N, P n est un polynôme de degré n dont le coefficient de plus hut degré vut 1 et qui dmet n rcines simples pprtennt à l intervlle ], b[. Pour tout p N, l méthode de Guss consiste à prendre pour système interpolteur (x 0,, x p ) les rcines du polynôme P p+1. D une fçon très similire à ce qui été fit précédemment, on peut démontrer l proposition suivnte : Proposition 5.4.1 Il existe un unique (λ 0,, λ p ) R p+1 tel que P R p [X] b P (t)ω(t) dt = p λ j P (x j ). j=0 On peut lors montrer que l méthode de Guss construite à prtir du système interpolteur (x 0,, x p ) et des coefficients (λ 0,, λ p ) est l seule méthode à (p + 1) points qui soit d ordre (2p + 1). Proposition 5.4.2 Soit f C 2p+2 ([, b], R). On peut mjorer l erreur due à l méthode de Guss à (p + 1) points comme suit : b f(t)ω(t) dt p λ j f(x j ) sup t [,b] f (2p+2) (t) (2p + 2)! j=0 b P 2 p+1(t)ω(t) dt

5.5. MÉTHODE DE ROMBERG 93 Dns l prtique, les polynômes orthogonux étnt difficiles à clculer, les méthodes de Guss ne ont utilisées que dns les deux cs suivnts : Cs 1 : L méthode de Guss-Legendre, obtenue pour ω 1 sur [-1,1]. Voir [DEM 76]. Cs 2 : L méthode de Guss-Tchebychev, obtenue pour ω :] 1, 1[ R + défini pr : 1 t ] 1, 1[ ω(t) = 1 t 2 Cette méthode est développée in extenso sous forme d un exercice entièrement corrigé dns le livre de Dntzer pges 369 à 376. On obtient une méthode d ordre 2p+1 qui s écrit : 1 1 dt f(t) 1 t 2 π p + 1 p f j=0 5.5 Méthode de Romberg ( ( )) 2j + 1 cos 2p + 2 π L méthode d ccélértion de convergence de Romberg-Richrdson peut être ppliquée à l suite obtenue pr l méthode des trpèzes [DEM 85-86]. On retrouve insi les méthodes de Simpson et de Boole-Villrceu mis il est surtout intéressnt de constter que ce procédé permet ussi de fire pprître des méthodes de qudrture qui ne sont ps des méthodes de Newton-Cotes. Une mjortion précise de l erreur est étblie, sous forme d exercices corrigés, dns l ouvrge de CHAMBERT-LOIR et FERMIGIER intitulé Exercices de mthémtiques pour l grégtion - Anlyse 2 chez Msson, pges 186 à 193. 5.6 Une méthode probbiliste Dns le tome 2 de son livre Probbilités pges 128-129, Jen-Yves Ouvrrd présente le principe des méthodes de Monte-Crlo dns un cs simple sous forme de l exercice corrigé 10.8 utilisnt l inéglité de Bienymé-Tchebychev.

94CHAPITRE 5. MÉTHODES DE CALCUL APPROCHÉ D UNE INTÉGRALE

Chpitre 6 Applictions de l nlyse u clcul des grndeurs Avertissement : Ce chpitre ne prétend nullement à l exhustivité! Bibliogrphie : FLO Topologie, Anlyse (exercices vec solutions) tome 3 pr Georges FLORY chez Vuibert LT Intégrles curvilignes et de surfces (niveu L2) pr LOFFICIAL et TANRÉ chez Ellipses RDO Cours de Mthémtiques Spéciles tome 5 (pplictions de l nlyse à l géométrie) pr RAMIS, DESCHAMPS, ODOUX chez Msson 6.1 Longueur d un rc de clsse C 1 6.1.1 Rectifiction d un rc prmétré. Définitions générles Définition 6.1.1 Soit d N fixé et f C([, b], R d ).On dit que le couple Γ = ([, b], f) est un rc prmétré continu de R d. Cet rc est dit rectifible si { n 1 } sup f( i+1 ) f( i ) < +, i=0 cette borne supérieure portnt sur toutes les subdivisions ( i ) 0 i n (n N ) de l intervlle [, b] et désignnt l norme euclidienne dns R d. Dns ce cs, cette borne supérieure est ppelée longueur de l rc prmétré continu Γ et notée l(γ). 95

96CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS Un exemple d rc continu non rectifible nous est donné pr l ppliction f : [0, 1] R 2 définie pr f(0) = (0, 0) et t ]0, 1] f(t) = (t, t sin 1 t ). Le lecteur pourr démontrer que l borne supérieure ci-dessus est infinie en choisissnt judicieusement des subdivisions et en utilisnt l divergence de l série hrmonique (i.e. 1 n = + ). n Remrque: Le fit d être rectifible et l longueur d un rc sont des propriétés géométriques pour un rc continu, en ce sens qu un chngement de prmètre dmissible (homéomorphisme) ne les modifie ps. Pour t < t b, notons Γ t,t le sous-rc ([t, t ], f [t,t ]) de Γ. Définition 6.1.2 Soit Γ = ([, b], f) un rc prmétré continu et rectifible de R d. Nous dirons qu une ppliction s : [, b] R est une bscisse curviligne de Γ si pour tout (t, t ) [, b] 2 tel que t < t, on : l(γ t,t ) = s(t ) s(t) Si, en outre, il existe t 0 [, b] tel que s(t 0 ) = 0, nous dirons que s est une bscisse curviligne d origine t 0. Proposition 6.1.3 Soient Γ = ([, b], f) un rc prmétré rectifible de R d, s 1 et s 2 deux bscisses curvilignes de Γ. Alors il existe ɛ = ±1 et c R tels que s 2 = ɛs 1 + c. Réciproquement, si s est une bscisse curviligne de Γ, lors toute ppliction de l forme ɛs + c est une bscisse curviligne de Γ. Démonstrtion: RDO 92 Arc de clsse C 1 Dns toute l suite, nous supposerons que l rc considéré est de clsse C 1, conformément u titre de l leçon. Nous vons lors le résultt essentiel suivnt : Théorème 6.1.4 Soit f C 1 ([, b], R d ) et Γ = ([, b], f) l rc prmétré ssocié. Alors cet rc est rectifible, de longueur l(γ) = b f (t) dt.

6.1. LONGUEUR D UN ARC DE CLASSE C 1 97 Démonstrtion: DANTZER 203-205 ou RDO 94-95 Corollire 6.1.5 Sous les hypothèses du théorème précédent, l ppliction s : [, b] R définie pr t [, b] s(t) = t est une bscisse curviligne de Γ d origine. 6.1.2 Clcul prtique f (u) du Nous nous plçons mintennt en dimension d = 3 et nous étblissons des formules prtiques pour clculer l longueur d un rc suivnt le système de coordonnées utilisé : crtésiennes, cylindriques ou sphériques. Coordonnées crtésiennes Pour tout t [, b], nous noterons f(t) = (x(t), y(t), z(t)) si bien que f (t) = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) et le théoréme précédent nous donne : l(γ) = b x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt Pour obtenir une formule mnémotechnique, nous remrquons que l bcisse curviligne s qui pprît dns le corollire précédent vérifie : ( ) 2 ds = dt ( ) 2 dx + dt ce que nous retenons sous l forme : ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ( ) 2 dy + dt ( ) 2 dz dt Remrque: Tout ce qui vient d être fit en dimension 3 se générlise imméditement en dimension d. Exercice : [FLO 153] Clculer l longueur totle de l stroïde définie sous forme prmétrée pr f(t) = ( cos 3 t, sin 3 t), 0 t 2π ( > 0).

98CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS Exercice : [RDO 97] ou [LT 143] Clculer l longueur d une rche de cycloïde définie sous forme prmétrée pr f(t) = ((t sin t), (1 cos t)), 0 t 2π. Coordonnées cylindriques Pour tout t [, b], nous vons f(t) = (ρ(t) cos θ(t), ρ(t) sin θ(t), z(t)) et nous clculons fcilement f (t) = ρ 2 (t) + ρ 2 (t)θ 2 (t) + z 2 (t). En procédnt comme précédemment, nous obtenons donc l formule mnémotechnique : ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 + dz 2 Exercice : [RDO 104] ou [LT 145] Clculer l longueur totle de l hélice circulire définie en coordonnées cylindriques pr ρ > 0, z = bθ, 0 θ 2π (b R )

6.1. LONGUEUR D UN ARC DE CLASSE C 1 99 Remrque: En fisnt z = 0 dns l formule précédente, nous obtenons le cs d un rc représenté en coordonnées polires dns le pln euclidien orienté : ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dθ 2 Exercice : [RDO 97] ou [LT 141] Clculer l longueur totle de l crdioïde définie en coordonnées polires pr ρ = (1 + cos θ), π θ π ( > 0). Exercice : [FLO 157] Sur l rc d une lemniscte de Bernoulli défini en coordonnées polires pr ρ = cos(2θ), 0 θ π 4 nous considérons le point A obtenu pour θ = 0, insi que deux points M et M obtenus respectivement pour θ = t et θ = t, où t et t sont des éléments

100CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS de l intervlle [0, π ] vérifint l reltion : 4 cos t cos t = 1 2 Montrer que l longueur de l rc de l lemniscte entre l origine O (obtenue pour θ = π/4) et le point M est égle à celle de l rc de l lemniscte entre le point M et le point A. Exercice : [EMPSI 390] Clculer l bcisse curviligne en tout point M(θ) de l rc défini en coordonnées polires pr ρ = tnh θ 2 en prennt comme origine des bcisses curvilignes le point de cet rc correspondnt à θ = 0. Coordonnées sphériques Pour tout t [, b], nous vons f(t) = (r(t) sin θ(t) cos ϕ(t), r(t) sin θ(t) sin ϕ(t), r(t) cos θ(t)), ce qui nous donne f (t) = r 2 (t) + r 2 (t)θ 2 (t) + r 2 (t) sin 2 θ(t)ϕ 2 (t). Nous retiendrons donc l formule : ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2

6.2. PRODUIT MIXTE ET PRODUIT VECTORIEL DANS R N 101 Exercice : [FLO 155] Déterminer l ppliction T : [ π/4, π/4] R pour que l tngente à l rc défini pr f(ϕ) = ( cos T (ϕ) cos ϕ, sin T (ϕ) cos ϕ, sin ϕ), π 4 ϕ π 4 fsse un ngle constnt et égl à π/4 vec l xe (Oz). Clculer l longueur de cet rc. Le premier théorème de Guldin Théorème 6.1.6 Considérons une surfce de révolution S engendrée pr l rottion d un rc pln Γ utour d un xe situé dns le pln de Γ et ne coupnt ps cet rc. L ire de S est égle à l longueur l(γ) mutipliée pr l longueur du chemin prcouru pr le centre d inertie G de Γ lors de l révolution utour de l xe. L ppliction clssique est le clcul de l ire ltérle du tore à collier [LT 153] ou [RDO 295] mis on peut le générliser en prennt pour demi-méridienne une ellipse à l plce d un cercle. Inéglité isopérimétrique Terminons pr ce résultt (plus difficile que les précédents) qui peut trouver s plce dns l leçon Ex. de clcul de l longueur d un rc de clsse C 1. Théorème 6.1.7 Dns le pln, si un rc de clsse C 1 et de longueur l délimite une portion du pln d ire A, lors on l inéglité 4πA l 2 et l églité est obtenue si et seulement si l rc prmétré définit un cercle prcouru une fois. L démonstrtion utilise les séries de Fourier et se trouve dns l livre Anlyse pour l grégtion pr QUEFFELEC et ZUILY chez Dunod, pges 103-105. 6.2 Produit mixte et produit vectoriel dns R n 6.2.1 Orienttion de R n Si nous considérons deux bses e = (e 1,, e n ) et e = (e 1,, e n) de R n et si nous notons Pe e l mtrice de pssge de e à e, nous définissons une reltion d équivlence sur l ensemble des bses de R n pr : e e det P e e > 0

102CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS Ceci résulte en effet des églités suivntes : Pe e = I n ; Pe e e = (Pe ) 1 ; Pe e = Pe e Pe e Il n y que deux clsses d équivlence. En effet, si e = (e 1, e 2,, e n ) est une bse rbitrire fixée, lors e = ( e 1, e 2,, e n ) est une bse telle que det Pe e = 1 et donc toute bse f de R n vérifie soit f e soit f e. On dit qu on oriente R n en choisissnt l une de ces deux clsses d équivlence. De fçon plus prtique, nous orienterons R n en choisissnt une bse e et en disnt que les bses qui sont dns l clsse d équivlence de e sont positives, les utres étnt qulifiées de négtives. Convention : Dns toute l suite, nous orienterons systémtiquement R n en choisissnt s bse cnonique. Considérons un n-uplet (x 1,, x n ) (R n ) n tel que j = 1,, n x j = (x j 1,, x j n) et notons X s mtrice pr rpport à l bse cnonique, c est-à-dire : X = [ ] x j i 1 i n 1 j n Nous consttons lors fcilement que (x 1,, x n ) est une bse positive de R n si et seulement si det X > 0. 6.2.2 Produit mixte dns R n euclidien orienté Nous nous plçons désormis dns l espce euclidien R n muni du produit sclire usuel noté (x y). L bse cnonique e constitue une bse orthonormée de R n. Rppelons qu une bse e est lors orthonormée si et seulement si (en notnt M l trnsposée de l mtrice M) : (P e e ) P e e = P e e (P e e ) = I n Nous en déduisons en prticulier : (det Pe e ) 2 = 1. Ainsi, si e est une bse orthonormée positive de R n, nous vons det Pe e = 1 ; si e est une bse orthonormée négtive de R n, nous vons det Pe e = 1.

6.2. PRODUIT MIXTE ET PRODUIT VECTORIEL DANS R N 103 Proposition et définition 6.2.1 Soit f = (f 1,, f n ) une bse orthonormée positive de R n (orienté suivnt s bse cnonique). Considérons un n-uplet (x 1,, x n ) (R n ) n et notons M(x 1,, x n ; f) l mtrice de ce n-uplet pr rpport à l bse f, c est-à-dire l mtrice crrée [ ] m j i 1 i n 1 j n telle que j = 1,, n x j = n m j i f i Alors le réel det M(x 1,, x n ; f) ne dépend ps du choix de l bse orthonormée positive f. On l ppelle produit mixte de (x 1,, x n ) et on le note [x 1,, x n ]. Le produit mixte est une ppliction n-linéire lternée. Démonstrtion: Soient f et f deux bses orthonormées positives de R n et P f f l mtrice de pssge de f à f. Puisqu il s git d une mtrice de pssge entre bses orthonormées, nous svons qu elle est orthogonle et donc que (det P f f )2 = 1. Comme f et f ont l même orienttion, nous en déduisons det P f f = 1. L églité mtricielle : i=1 M(x 1,, x n ; f) = P f f M(x 1,, x n ; f ) implique donc l églité det M(x 1,, x n ; f) = det M(x 1,, x n ; f ). L dernière phrse résulte imméditement des propriétés des déterminnts. Si nous prenons pour bse orthonormée positive f l bse cnonique, l dernière phrse du prgrphe précédent nous donne l équivlence : (x 1,, x n ) bse positive de R n [x 1,, x n ] > 0 Dns le pln (n = 2), un simple risonnement géométrique permet de constter que [x, y] est l ire du prllélogrmme construit à prtir des vecteurs non colinéires x et y. 6.2.3 Produit vectoriel dns R n euclidien orienté Théorème et définition 6.2.2 Dns R n orienté suivnt s bse cnonique, considérons n 1 vecteurs x 1,, x n 1. Il existe un unique vecteur v R n tel que x n R n [x 1,, x n 1, x n ] = (v x n ) On l ppelle produit vectoriel de x 1,, x n 1 et on le note v = x 1 x n 1. L ppliction (x 1,, x n 1 ) x 1 x n 1 est (n 1)-linéire et lternée.

104CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS Démonstrtion: Fixons n 1 vecteurs x 1,, x n 1 de R n et considérons l ppliction l : R n R définie pr x n R n l(x n ) = [x 1,, x n 1, x n ] Le produit mixte étnt n-linéire, l ppliction l est clirement une forme linéire sur R n, donc un élément de son dul : l (R n ). Rppelons que l ppliction ϕ : v ( v) est un isomorphisme de R n sur son dul (R n ) ppelé isomorphisme cnonique. Nous consttons lors que l unique vecteur de R n vérifint l condition de l énoncé est ϕ 1 (l). L dernière phrse résulte des propriétés du produit mixte. Le lecteur montrer à titre d exercice, en utilisnt le théorème de l bse incomplète, que le produit vectoriel x 1 x n 1 est nul si et seulement si l fmille (x 1,, x n 1 ) est liée. En outre, si l fmille (x 1,, x n 1 ) est libre, il constter que l fmille (x 1,, x n 1, x 1 x n 1 ) forme lors une bse positive de R n puisque : [x 1,, x n 1, x 1 x n 1 ] = x 1 x n 1 2 > 0 Clcul prtique du produit vectoriel Soit f = (f 1,, f n ) une bse orthonormée positive de R n. Donnons-nous (x 1,, x n 1 ) (R n ) n 1 pr : j = 1,, n 1 x j = n ξ j i f i i=1 et posons x 1 x n 1 = n i=1 α if i. L églité des formes linéires (ξ 1,, ξ n ) α 1 ξ 1 + + α n ξ n et ξ1 1... ξ1 n 1 ξ 1 (ξ 1,, ξ n ).... ξn 1... ξn n 1 ξ n équivut à celle des coefficients de ξ 1,, ξ n. Nous en déduisons l proposition suivnte. Proposition 6.2.3 Pour tout i = 1,, n, l i-ème coordonnée du vecteur x 1 x n 1 dns l bse orthonormée positive f est égle u cofcteur du terme en position (i, n) dns l mtrice, pr rpport à l bse f, de l fmille (x 1,, x n 1, x), où x R n est rbitrirement choisi.

6.2. PRODUIT MIXTE ET PRODUIT VECTORIEL DANS R N 105 Soit (x 1,, x n 1 ) une fmille orthogonle dns R n. Si nous posons j = 1,, n 1 f j = xj x j nous pouvons trouver f n R n tel que l fmille f = (f 1,, f n ) constitue une bse orthonormée positive de R n. En ppliqunt l proposition précédente, nous obtenons fcilement : n 1 (x 1,, x n 1 ) orthogonle = x 1 x n 1 = x j 6.2.4 Interpréttions géométriques en dimension 3 L interpréttion suivnte nous ser utile pour les clculs d ires de surfces prmétrées dns R 3. Considérons deux vecteurs non colinéires u et v dns R 3 et notons π l projection orthogonle sur l droite Ru, de sorte que (u, v πv) forme une fmille orthogonle. Nous obtenons lors : u v = u (v πv) = u v πv Un simple dessin nous permet lors d interpréter u v comme l ire du prllélogrmme construit à prtir des vecteurs non colinéires u et v. j=1 L propriété suivnte est souvent utilisée comme définition du produit vectoriel dns R 3 dns une présenttion élémentire. Proposition 6.2.4 Soient u et v deux vecteurs de R 3. Si (u, v) est lié, lors u v est le vecteur nul. Sinon, u v est l unique vecteur orthogonl u pln engendré pr (u, v), tel que (u, v, u v) soit une bse positive et que : où θ est l écrt ngulire de u et v. u v = u v sin θ,

106CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS Dns le même ordre d idée, si (u, v, w) est un système libre (et donc une bse) de R 3, le produit mixte [u, v, w] = (u v w) peut être interprété (u signe près) comme le produit de l ire du prllélogrmme construit à prtir de (u, v) pr πw, où π est l projection sur l droite supplémentire orthogonl de Vect(u, v). Si nous considérons le prllélotope construit à prtir de (u, v, w), l quntité πw pprît comme l huteur de ce prllélotope. Finlement, [u, v, w] est le produit de l ire du prllélogrmme qui constitue l bse du prllélotope pr l huteur de ce dernier, c est-à-dire son volume, comme on pourrit le montrer pr un découpge svnt rmennt ce prllélotope à un prllélépipède rectngle... Retenons que [u, v, w] est le volume du prllélotope : P = {αu + βv + γw, 0 < α < 1, 0 < β < 1, 0 < γ < 1} Comme le produit mixte est pr définition un déterminnt dns une bse orthonormle positive, cette interpréttion géométrique nous permet de comprendre intuitivement pourquoi l vleur bsolue du déterminnt jcobien pprît dns le théorème du chngement de vrible, comme nous llons le voir dns l section suivnte. 6.3 Théorème du chngement de vribles 6.3.1 Enoncé générl Nous rppelons ici cet énoncé en dimension 3 en vue de l interpréttion géométrique nnoncée ci-dessus mis le théorème du chngement de vribles est vlble en dimension d N. Théorème 6.3.1 Soit Φ : U V un C 1 -difféomorphisme entre deux ouverts de R 3 et f : V R une ppliction continue. Alors l ppliction f est

6.3. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLES 107 intégrble sur V si et seulement si l ppliction f Φ J Φ est intégrble sur U et, dns ce cs, nous vons l églité : f(x, y, z) dx dy dz = f(φ(s, t, u)) J Φ (s, t, u) ds dt du V U D un point de vue prtique, on dit que l on pose le chngement de vribles (x, y, z) = Φ(s, t, u) et l on écrit l églité entre éléments différentiels dx dy dz = J Φ (s, t, u) ds dt du. Intuitivement, ce résultt dmet l interpréttion géométrique suivnte. Le difféomorphisme de U sur V noté Φ : (s, t, u) (x, y, z) se comporte loclement comme une ppliction linéire qui trnsforme le prllélépipède rectngle élémentire [s, s + ds] [t, t + dt] [u, u + du] de U en un prllélépipède élémentire de V, défini (de fçon nturelle) pr le point (x, y, z) et les trois vecteurs : ( x s, y s, z ) ( x ds, s t, y t, z ) ( x dt, t u, y u, z ) du. u Selon le prgrphe précédent, son volume est donné pr le produit mixte de ces trois vecteurs, utrement dit pr l élément différentiel ds dt du multiplié pr l vleur bsolue du déterminnt suivnt : x x x s t u y y y s z s t z t qui n est utre que J Φ (s, t, u) pr définition. L intégrle sur V pprît comme une somme sur chcun de ces prllélépipèdes élémentires. u z u Appliction : Volume d une boule dns R d Référence : Topologie, Anlyse pr Georges FLORY, tome 3, éditions Vuibert, pges 177-178 Pour r > 0, nous notons B d (r) = {x R d, x < r}. Le volume de cette boule ser noté V d (r). 1. En ppliqunt le théorème du chngement de vribles dns R d, montrer l églité : V d (r) = r d V d (1) 2. Nous utiliserons l nottion suivnte pour les intégrles de Wllis : I d = π 2 0 sin d u du

108CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS En ppliqunt le théorème de Fubini puis un chngement de vrible simple, montrer les églités V d (r) = V d 1 (1) r r (r 2 x 2 ) d 1 2 dx = 2r d I d V d 1 (1) 3. On rppelle les vleurs des intégrles de Wllis : I 2n = (2n)! π (2 n n!) 2 2 Déduire de ce qui précède les églités V 2n (1) = πn n!, I 2n+1 = (2n n!) 2 (2n + 1)!, V 2n+1 (1) = 22n+1 n! π n (2n + 1)! 4. L boule B d (1) est inscrite dns l hypercube : C d = {x R d, mx 1 i d x i < 1} (n N) Comprer le comportement symptotique de leurs volumes respectifs lorsque d tend vers l infini. Remrque : Il est fcile de vérifier numériquement que le volume de l boule unité est mximl en dimension 5. Le volume d une boule de ryon 2 est qunt à lui mximl en dimension 24...Tout cel n est ps tellement intuitif! 6.3.2 Quelques cs prticuliers Coordonnées polires L ppliction Φ : R + ]0, 2π[ R 2 /(R + {0}) définie pr Φ(ρ, θ) = (x(ρ, θ), y(ρ, θ)) = (ρ cos θ, ρ sin θ) est un C 1 -difféomorphisme de déterminnt jcobien J Φ (ρ, θ) = cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ = ρ Nous retiendrons donc l formule : dx dy = ρ dρ dθ Une ppliction très clssique est le clcul de l intégrle de Guss : + e x2 dx = π

6.3. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLES 109 Coordonnées cylindriques L ppliction Φ : R + ]0, 2π[ R R 3 /(R + {0} R) définie pr Φ(ρ, θ, z) = (x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z(ρ, θ, z)) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) est un C 1 -difféomorphisme de déterminnt jcobien cos θ ρ sin θ 0 J Φ (ρ, θ, z) = sin θ ρ cos θ 0 0 0 1 = ρ Nous retiendrons donc l formule : dx dy dz = ρ dρ dθ dz Appliction : Volume d un solide de révolution Réf :Intégrles curvilignes et de surfces, LOFFICIAL et TANRE, Ellipses noté [LT] dns l suite, pge 93. Soit f :], b[ R + continue et S le solide de révolution utour de l xe Oz défini pr S := {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 < f 2 (z), < z < b} Clculer son volume V (S). Définition 6.3.2 Soit P R 2 (supposée géométriquement simple pr exemple) une plque homogène dns le pln yoz, d ire A(P) R +. Son centre d inertie est le point G = (y G, z G ) R 2 tel que ( yg z G ) := 1 A(P) P ( y z ) dy dz Remrque: L notion de centre d inertie générlise celle de brycentre (ou centre de grvité) de n points pondérés dns R 2. L hypothèse d homogénéité de l plque correspond u cs où tous les points ont même poids. Appliction : Un théorème de Guldin Réf : [LT 96] Avec les nottions de l ppliction précédente, considérons P := {0 < y < f(z), < z < b} une plque homogène de centre d inertie G et soit S le solide de révolution qu elle engendre pr rottion utour de l xe Oz. Montrer l églité : V (S) = 2π y G A(P)

110CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS Remrque: Ce théorème de Guldin se générlise imméditement à une plque homogène P := {f 1 (z) < y < f 2 (z), < z < b} où f 1 et f 2 sont deux pplictions telles que 0 < f 1 < f 2. Coordonnées sphériques L ppliction Φ : R + ]0, π[ ]0, 2π[ R 3 /(R + {0} R) définie pr Φ(r, θ, φ) = (x(r, θ, φ), y(r, θ, φ), z(r, θ, φ)) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) est un C 1 -difféomorphisme de déterminnt jcobien sin θ cos φ r cos θ cos φ r sin θ sin φ J Φ (r, θ, φ) = sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ r sin θ 0 = r2 sin θ Nous retiendrons donc l formule : dx dy dz = r 2 sin θ dr dθ dφ Définition 6.3.3 Soit S R 3 (supposé géométriquement simple pr exemple) un solide muni d une fonction de msse volumique continue ρ : S R +. Le moment d inertie du solide S pr rpport à l origine O est l intégrle : (x 2 + y 2 + z 2 ) ρ(x, y, z) dx dy dz S

6.4. FORMULE DE GREEN-RIEMANN 111 Exercice : Réf : [LT 106] Clculer le moment d inertie pr rpport à l origine des solides homogènes de msse volumique 1 définis pr : S 1 := {(x, y, z) R 3 / x > 0, y > 0, z > 0, x 2 + y 2 + z 2 < 1} S 2 := } {(x, y, z) R 3 / x > 0, y > 0, z > 0, x2 + y2 2 b + z2 2 c < 1, 2 vec (, b, c) (R +) 3 fixés. 6.4 Formule de Green-Riemnn Cette formule permet de clculer une intégrle double (pr exemple celle qui définit une ire) sous l forme d une intégrle curviligne (notée ) le long d un chemin du pln. Si D est un sous-ensemble de R 2 «géométriquement simple», son bord D est une courbe fermée que nous orienterons dns le sens trigonométrique : ceci signifie intuitivement que si l on se déplce sur D dns ce sens, on le sous-ensemble D sur s guche. Nous noterons D + le bord de D insi orienté. Théorème 6.4.1 Soit P (x, y) dx + Q(x, y) dy une forme différentielle de clsse C 1 définie sur un ouvert contennt le sous-ensemble géométriquement simple D du pln. Alors, on l églité : P (x, y) dx + Q(x, y) dy = D + D ( Q x P ) dx dy y Démonstrtion: [LT 170-171] En prennt en prticulier P (x, y) = y et Q(x, y) = x, nous obtenons : Corollire 6.4.2 L ire d un sous-ensemble géométriquement simple D du pln est donnée pr l églité : A(D) = 1 2 D + x dy y dx

112CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS On obtient grâce à cette formule l ire délimitée pr un stroïde (rc prmétré défini pr x(t) = cos 3 (t), y(t) = sin 3 (t), t [0, π/2]) : elle vut 3π/8 [LT 172]. Si l rc est prmétré en coordonnées polires, c est-à-dire pr x(θ) = ρ(θ) cos θ, y(θ) = ρ(θ) sin θ, l forme différentielle 1 2 x dy y dx s écrit 1 2 ρ2 dθ. On en déduit pr exemple l ire délimitée pr l lemniscte de Bernoulli ρ 2 = cos(2θ) : celle -ci vut 1 [LT 172]. 6.5 Aire d une nppe géométrique 6.5.1 Nppe prmétrée, nppe géométrique Définition 6.5.1 On ppelle C k -nppe prmétrée de R 3 tout couple (D, F ), où D est un domine (i.e. un ouvert connexe) de R 2 et F C k (D, R 3 ). On dit que F (D) est le support de l nppe ; c est un connexe de R 3. Le lecteur vérifier que l on définit une reltion d équivlence sur l ensemble des C k -nppes prmétrées de R 3 pr : (D 1, F 1 ) (D 2, F 2 ) Φ : D 2 D 1, C k -difféomorphisme tel quef 2 = F 1 Φ Les clsses d équivlence sont ppelées C k -nppes géométriques de R 3. Les représentnts d une C k -nppe géométrique Σ sont ppelés prmétristions de cette nppe. C est pourquoi un C k -difféomorphisme Φ vérifint l condition précédente est ppelé chngement de prmétristion. On vérifie imméditement que toutes les prmétristions d une C k -nppe géométrique Σ fixée ont même support, qui ser donc ppelé support de cette nppe géométrique et noté supp Σ. Exemple: Soit D =]0, π[ ]0, 2π[ et F : D R 3 définie pr F (θ, φ) = (x(θ, φ), y(θ, φ), z(θ, φ)) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) Le couple (D, F ) définit une C -nppe prmétrée de R 3 dont le support est l sphère unité privée du demi-cercle correspondnt à son intersection vec le demi-pln y = 0, x 0. Nous noterons S 2 l C -nppe géométrique correspondnte. Soit Σ une C k -nppe géométrique. Le lecteur vérifier que l on définit une reltion d équivlence sur l ensemble des triplets (D, F, X) tels que (D, F ) est une prmétristion de Σ et X D pr : (D 1, F 1, X 1 ) (D 2, F 2, X 2 ) Φ : D 2 D 1, C k -difféo. t.q. F 2 = F 1 Φ et X 1 = Φ(X 2 )

6.5. AIRE D UNE NAPPE GÉOMÉTRIQUE 113 Définition 6.5.2 On ppelle morceu X de l C k -nppe géométrique Σ une clsse pour l reltion d équivlence précédente. On dit que F (X), qui est une prtie de supp Σ indépendnte de l prmétristion choisie, est le support de ce morceu de nppe géométrique et on le note supp X. Un cs prticulier importnt dns l suite est celui où, pour un représentnt (D, F, X) du morceu X, X est un compct de D. Cette propriété reste lors vrie pour n importe quel représentnt de X, comme le lecteur le vérifier à titre d exercice. Nous dirons dns ce cs que X est un morceu compct de Σ. Exemple : Fenêtre de Vivini On ppelle fenêtre de Vivini l prtie de l sphère unité de R 3 qui est incluse dns le solide (cylindrique) d éqution x 2 + (y 1 2 )2 1 4. En reprennt les nottions de l exemple précédent, fire pprître l fenêtre de Vivini comme un morceu compct V de S 2. 6.5.2 Aire d une nppe géométrique Théorème et définition 6.5.3 Soit X un morceu compct d une C k -nppe géométrique Σ. Alors, pour tout représentnt (D, F, X) de X, l vleur de l intégrle F F (u, v) (u, v) u v du dv X est indépendnte du choix du représentnt. Nous l ppellerons ire du morceu compct X et nous l noterons A(X ).

114CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE L ANALYSE AU CALCUL DES GRANDEURS Exercice : Aire de l fenêtre de Vivini Réf : [LT 164] Avec les nottions de l exemple précédent, étblir l églité : A(V) = 2π 4

Chpitre 7 Espces de Bnch Stefn Bnch (1892-1945) est un mthémticien polonis. Comme d hbitude, nous noterons K = R ou C. 7.1 Définition et premiers exemples Définition 7.1.1 On ppelle espce de Bnch tout espce vectoriel normé (e.v.n.) complet. Ceci signifie que l espce E muni de l distnce d ssociée à l norme (pr l reltion d(x, y) = x y ) est un espce métrique complet. Exemples (R, ) et (C, ) sont des espces de Bnch. Rppel : Si (E i, d i ), 1 i n sont des espces métriques, nous pouvons munir l espce produit E = n i=1 E i des trois distnces suivntes : δ 1 (x, y) := ( n n d i (x i, y i ), δ 2 (x, y) := d 2 i (x i, y i ) i=1 i=1 ) 1 2, δ (x, y) := mx 1 i n d i(x i, y i ) Ces trois distnces sont équivlentes. Si tous les (E i, d i ), 1 i n sont complets, lors l espce produit (E, d), où d {δ 1, δ 2, δ 3 }, est complet. Nous en déduisons imméditement l proposition suivnte : 115

116 CHAPITRE 7. ESPACES DE BANACH Proposition 7.1.2 Si (E i, N i ), 1 i n sont des K-espces vectoriels normés, nous pouvons munir l espce produit E = n i=1 E i des trois normes suivntes, qui sont équivlentes : x 1 := ( n n N i (x i ), x 2 := Ni 2 (x i ) i=1 i=1 ) 1 2, x := mx 1 i n N i(x i ) Si tous les (E i, N i ), 1 i n sont des espces de Bnch, lors l espce produit (E, ), où est l une quelconque des trois normes précédentes, est un espce de Bnch. Exemples R n et C n munis d une norme quelconque sont des espces de Bnch (rppelons ici que sur un espce de dimension finie, toutes les normes sont équivlentes). Plus générlement, tout K-e.v.n. de dimension finie est un espce de Bnch cr, si (e 1,, e n ) est une bse de E, on peut le munir de l norme définie pr x := n i=1 x i pour x = n i=1 x ie i, et donc ϕ : (K n, 1 ) (E, ) définie pr ϕ(x 1,, x n ) := n i=1 x ie i est une isométrie. Nous verrons plus loin (section 3) des exemples de Bnch de dimension infinie. 7.2 Séries à vleurs dns un espce de Bnch Proposition 7.2.1 Soit u n une série à vleurs dns un Bnch (E, ). Alors u n converge si et seulement si elle stisfit le critère de Cuchy : ɛ > 0 N N q p N = q u n < ɛ Définition 7.2.2 Une série n N u n à vleurs dns un e.v.n. (E, ) est dite bsolument convergente si l série positive n N u n converge. Remrque: Cette notion est à distinguer de l convergence normle que nous définirons plus loin et qui concerne les séries d pplictions à vleurs dns un Bnch. Corollire 7.2.3 Dns un espce de Bnch (E, ), toute série bsolument convergente est convergente. n=p

7.3. ESPACES DE BANACH USUELS DE SUITES ET DE FONCTIONS117 Démonstrtion: On pplique le critère de Cuchy pour les séries et l on conclut grâce à l inéglité tringulire : q u n n=p q u n Remrque: En fit, cette propriété crctérise les Bnch prmi les e.v.n. cr on l équivlence suivnte (hors progrmme) : Un K-e.v.n. (E, ) est un Bnch si et seulement si toute série bsolument convergente dns (E, ) est convergente. Référence : BRIANE-PAGES Théorie de l intégrtion (4ème édition) chez Vuibert, pge 162. n=p 7.3 Espces de Bnch usuels de suites et de fonctions Définition et proposition 7.3.1 On note lk 1 (N), resp. l2 K (N), le K-espce vectoriel des suites ( n ) K N telles que n, resp. n 2, converge. On définit une norme sur lk 1 (N), resp. l2 K (N), en posnt : ( n ) 1 := + n=0 n, resp. ( n ) 2 := ( + n=0 n 2 ) 1 2 L démonstrtion est lissée u lecteur qui remrquer que 2 est une norme euclidienne. Proposition 7.3.2 (l 1 K (N), 1) et (l 2 K (N), 2) sont des espces de Bnch. Le lecteur trouver l démonstrtion du résultt concernnt lk 2 (N) dns [DAN 256-257]. Il dpter l preuve u cs de lk 1 (N). Définition et proposition 7.3.3 On note lk (N) le K-espce vectoriel des suites ( n ) K N bornées. On définit une norme sur lk (N) en posnt ( n) := sup n N n. Proposition 7.3.4 L espce (l K (N), ) est un Bnch.

118 CHAPITRE 7. ESPACES DE BANACH Démonstrtion: Nous noterons = ( n ) n N un élément de lk (N). Considérons mintennt une suite de Cuchy ( p ) p N dns (lk (N), ) : ɛ > 0 N N q p N = q p < ɛ, i.e. sup q n p n < ɛ n N Soit n 0 N rbitrire fixé ; nous vons donc bien sûr : ɛ > 0 N N q p N = q n 0 p n 0 < ɛ (7.1) Ceci prouve que ( p n 0 ) p N est une suite de Cuchy à vleurs dns K, qui est complet. Nous sommes donc en droit de définir n0 := lim p + p n 0. En rélité, n 0 étnt rbitrire, nous vons même défini insi := ( n ) n N. Nous llons mintennt montrer que, lorsque p +, p 0, ce qui nous donner l conclusion. Pssons à l limite qund q + dns l inéglité (7.1) : ɛ > 0 N N p N = n0 p n 0 ɛ Comme n 0 étit rbitrire, nous en déduisons : ɛ > 0 N N p N = p = sup n p n ɛ n N Vous retrouverez cette démonstrtion dns FLORY, Topologie, nlyse, tome 1, chez Vuibert, pge 108. Définition et proposition 7.3.5 Soit X un ensemble non vide et (E, ) un K-e.v.n. Nous noterons B(X, E) le K-espce vectoriel des pplictions bornées de X dns E. On définit une norme sur B(X, E) en posnt : f B(X, E) f := sup f(x) x X Proposition 7.3.6 Si (E, ) est un Bnch, lors (B(X, E), ) est un Bnch. Le lecteur trouver dns [DAN 43-44] l démonstrtion de ce résultt, qui est ssez similire à l démonstrtion précédente sur (l K (N), ). On peut dire que (B(X, E), ) «hérite» de l complétude de l espce d rrivée E, de même que (l K (N), ) «hérite» de l complétude de K. Soient (E, E ) et (F, F ) deux K-e.v.n. Nous noterons L(E, F ), resp. L c (E, F ) le K-espce vectoriel des pplictions linéires, resp. linéires continues de E dns F. Rppelons le théorème suivnt dont le lecteur pourr retrouver l démonstrtion à titre d exercice ou dns [DAN 167].

7.3. ESPACES DE BANACH USUELS DE SUITES ET DE FONCTIONS119 Théorème 7.3.7 Soit f L(E, F ). Il y équivlence entre : 1. f est lipschitzienne sur E 2. f est uniformément continue sur E 3. f est continue sur E 4. f est continue en 0 5. f est bornée sur l boule unité fermée de E 6. f est bornée sur l sphère unité fermée de E 7. Il existe une constnte M 0 telle que x E f(x) F M x E Définition et proposition 7.3.8 Soient (E, E ) et (F, F ) deux K- e.v.n. On définit une norme sur L c (E, F ) en posnt : u(x) F u = sup = sup u(x) F x 0 x E x E =1 On l ppelle norme subordonnée ux normes E et F. Exemple : Notons M n (K) l ensemble des mtrices crrées d ordre n à coefficients dns K. Pr bus d écriture, nous identifierons un endomorphisme (nécessirement continu) de K n vec s mtrice représenttive M = [m i,j ] M n (K) dns l bse cnonique. Si nous munissons K n de l norme x = mx 1 i n x i, nous llons montrer que l norme subordonnée de l endomorphisme M vut : M = mx 1 i n n m i,j j=1 En effet, pour tout x K n, nous vons : n Mx = mx m i,j x j mx 1 i n 1 i n j=1 n j=1 m i,j x j x mx 1 i n n m i,j, j=1 ce qui prouve l inéglité : M mx 1 i n n m i,j j=1 Pour prouver l inéglité inverse, considérons un indice i 0 1, n tel que mx 1 i n n m i,j = j=1 n j=1 m i0,j

120 CHAPITRE 7. ESPACES DE BANACH puis y K n tel que, pour tout 1 j n, y j = 1 et m i0,j y j = m i0,j. Nous concluons lors fcilement en écrivnt : My n m i0,j y j = j=1 n j=1 m i0,j Proposition 7.3.9 Si (F, F ) est un Bnch, lors (L c (E, F ), ) est un Bnch. Le lecteur trouver dns [DAN 172-173] l preuve de ce résultt. Notons que c est encore de l complétude de l espce d rrivée (F, F ) qu hérite (L c (E, F ), ). Pour clore cette section, nous renvoyons le lecteur u théorème de prolongement d une ppliction linéire continue à vleurs dns un Bnch (Proposition 1.2.4 pge 11) qui nous permis notmment de construire l intégrle de Riemnn. 7.4 Suites d pplictions à vleurs dns un espce de Bnch Soit X un ensemble non vide et (E, ) un K-e.v.n. Dns toute l suite, (f n ) n N et f sont des pplictions définies sur X et à vleurs dns E. Définitions 7.4.1 L suite (f n ) n N converge simplement vers f sur X si : x X ɛ > 0 N x N n N x f n (x) f(x) ɛ L suite d pplictions (f n ) n N converge uniformément vers f sur X si : Remrques ɛ > 0 N N n N x X f n (x) f(x) ɛ 1. L convergence simple de (f n ) vers f sur X signifie donc que pour tout x X, l suite (f n (x)) n N converge vers f(x) dns E. 2. L convergence uniforme est plus forte que l convergence simple, l différence vennt de ce que N ne dépend ps de x dns le cs de l convergence uniforme. Ainsi, si l on prend X =]0, 1[, E = R, f n = 1 ]0,1/(n+1)[ et f 0, l suite (f n ) n N converge simplement vers f sur R mis ne converge ps uniformément vers f sur R.

7.4. SUITES D APPLICATIONS À VALEURS DANS UN ESPACE DE BANACH121 L norme sur B(X, E) est encore ppelée norme de l convergence uniforme à cuse du résultt suivnt, lissé u lecteur en exercice. Proposition 7.4.2 Supposons que (f n ) est une suite dns B(X, E) qui converge uniformément vers f. Alors f B(X, E) et f n f 0. Définition 7.4.3 On dit que (f n ) stisfit le critère de Cuchy uniforme sur X si ɛ > 0 N N n p N = x X f n (x) f p (x) ɛ Proposition 7.4.4 Si (E, ) est un Bnch, lors l suite (f n ) converge uniformément sur X si et seulement si elle stisfit le critère de Cuchy uniforme sur X. Le lecteur trouver l démonstrtion de ce résultt dns [DAN 270-271]. Son intérêt est de crctériser l convergence uniforme sns voir besoin de connître à l vnce l limite f. Nous nous plçons désormis dns le cs où (X, d) est un espce métrique. Le théorème suivnt est vri dns le cs générl où (E, ) est un K-e.v.n. (il resterit même vlble si (E, d ) étit un espce métrique). Théorème 7.4.5 (de continuité) Soit x 0 X. Nous supposons que toutes les pplictions f n, n N, sont continues u point x 0 et que l suite (f n ) converge uniformément vers f sur X. Alors f est continue u point x 0. Le lecteur trouver l preuve de ce théorème dns [DAN 271]. Une conséquence immédite de celui-ci est qu une limite uniforme d pplictions continues sur X est continue sur X. Corollire 7.4.6 Supposons que (X, d) est un espce métrique compct et que (E, ) est un Bnch. Alors (C 0 (X, E), ) est un Bnch. Démonstrtion: Nous vons l inclusion C 0 (X, E) B(X, E) puisque l imge du compct X pr une ppliction continue f : X E est un compct de E, donc f(x) est un sous-ensemble borné de E, utrement dit l ppliction f est bornée. Ainsi, l norme est bien définie sur C 0 (X, E). En outre, l proposition 7.3.6 nous pprend que (B(X, E), ) est un Bnch et le théorème précédent nous dit que C 0 (X, E) en est un sous-espce fermé, d où l conclusion.

122 CHAPITRE 7. ESPACES DE BANACH Théorème 7.4.7 (de dérivbilité) Nous nous plçons mintennt dns le cs où X = I est un intervlle réel non trivil ( i.e. ni vide ni réduit à un point), (E, ) est un Bnch et f n C 1 (I, E) pour tout n N. Supposons que l suite (f n) converge uniformément sur I et qu il existe x 0 I tel que (f n (x 0 )) converge. Alors l suite (f n ) converge simplement sur I vers f C 1 (I, E) telle que f = lim f n. En outre, si I est borné, (f n ) converge uniformément vers f sur I. Idée de l preuve : Nos hypothèses entrînent : x I f n (x) = f n (x 0 ) + x x 0 f n(t) dt Notons l = lim f n (x 0 ) et g l limite uniforme de l suite (f n) puis définissons l ppliction f pr : x I f(x) := l + x x 0 g(t) dt On mjore lors f n (x) f(x) pour prouver l convergence simple, puis l convergence uniforme dns le cs où l intervlle I est borné. Il suffit de prendre I = E = R et f n n pour constter que l hypothèse «x 0 I tel que (f n (x 0 )) converge» est indispensble. Nous terminons cette section en consttnt que l on ussi un résultt d intégrtion reltif à l convergence uniforme, celui-ci résultnt de l construction même de l intégrle de Riemnn : Si X = [, b], (E, ) est un Bnch et (f n ), f sont toutes des éléments de C M ([, b], E) telles que (f n ) converge uniformément vers f sur [, b], lors b f n n + En effet, l ppliction I : (C M ([, b], E), ) E, f I(f) = b f est pr construction une forme linéire continue. 7.5 Séries d pplictions à vleurs dns un espce de Bnch Nous conservons les nottions de l section précédente et nous supposons dns toute l suite que (E, ) est un Bnch. b f

7.5. SÉRIES D APPLICATIONS À VALEURS DANS UN ESPACE DE BANACH123 Pour tout n N, nous définissons S n : X E pr S n := n k=0 f k. Définition 7.5.1 Nous dirons que l série d pplictions n N f n converge simplement (resp. uniformément) sur X si l suite d pplictions (S n ) converge simplement (resp. uniformément) sur X L notion suivnte n vit ps de sens dns le cdre des suites d pplictions. Définition 7.5.2 Nous dirons que l série d pplictions n N f n converge normlement sur X si l série positive n N f n converge. Ceci équivut à l existence d une suite ( n ) (R + ) N converge et x X f n (x) n. telle que n N n Proposition 7.5.3 Si l série n N f n converge normlement sur X, lors elle converge uniformément sur X. Démonstrtion: Montrons que l suite (S n ) stisfit le critère de Cuchy uniforme sur X, ce qui suffir d près l proposition 7.4.4. Puisque l série n N f n converge, elle stisfit le critère de Cuchy : ɛ > 0 N N n p N n f k < ɛ k=p L inéglité tringulire nous permet d en déduire que, pour ɛ > 0 rbitrire : N N n p N x X S n (x) S p (x) n k=p+1 f k (x) < ɛ Dns l section suivnte, nous verrons un exemple importnt de série normlement convergente qui nous permet de définir l exponentielle d un endomorphisme continu sur l espce de Bnch E. Les résultts (continuité, dérivbilité, intégrtion) étblis pour des suites d pplictions uniformément convergentes ont pour corollires des énoncés nlogues pour les séries d pplictions qui convergent uniformément. Pr exemple, le théorème 7.4.7 nous donne imméditement : Théorème 7.5.4 Soient I est un intervlle réel non trivil, (E, ) un Bnch et f n C 1 (I, E) pour tout n N. Supposons que l série f n converge uniformément sur I et qu il existe

124 CHAPITRE 7. ESPACES DE BANACH x 0 I tel que f n (x 0 ) converge. Alors l série f n converge simplement sur I vers S C 1 (I, E) telle que S = + n=0 f n. En outre, si I est borné, f n converge uniformément vers S sur I. Enfin, en utilisnt une trnsformtion d Abel, nous obtenons [DAN 291] : Théorème 7.5.5 (Critère d Abel uniforme) Nous nous plçons ici dns le cs où X = I intervlle réel et, outre (f n ), nous considérons une suite (g n ) d pplictions de I dns R. Nous supposons : 1. M > 0 n N x I n k=0 f k(x) M 2. L suite (g n ) converge uniformément sur I vers g 0 en décroissnt. Alors n N g nf n converge uniformément sur I. Appliction ux séries trigonométriques : Soit (c n ) R N une suite décroissnte de limite nulle. Alors l série n N c ne int d pplictions de [0, 2π] dns C converge uniformément sur tout compct de ]0, 2π[. Si nous disposons d une structure plus riche que celle d espce de Bnch, à svoir celle d lgèbre de Bnch qui v être étudiée dns le chpitre suivnt, l notion de séries d pplictions v nous permettre de définir l ppliction exponentielle dns un cdre beucoup plus générl que celui de l exponentielle réelle ou complexe.

Chpitre 8 Exponentielle dns une lgèbre de Bnch Bibliogrphie : FRA Orux X-ENS Algèbre 2. Serge Frncinou et l. Cssini. 2 e éd. 2009 SAV Algèbre linéire (cours et exercices). Jen-Chrles Svioz. Vuibert. 2003 8.1 Définitions et premières propriétés Définition 8.1.1 Soit (A, +,, ) une lgèbre et une norme sur l espce vectoriel (A, +, ). Nous dirons que est une norme d lgèbre si : (u, v) A 2 u v u v (8.1) Dns ce cs, (A, +,,, ) est ppelée lgèbre normée. Exemple: Le lecteur vérifier que l on définit une norme d lgèbre sur M n (K) en posnt : M M n (K) M = n mx 1 i,j n m i,j Notons que pour cette norme, une suite (M k ) k N converge vers M M n (K) si et seulement si : d éléments de M n (K) (i, j) 1; n 2 m k i,j k + m i,j Comme M n (K) est de dimension finie, cette propriété reste vrie pour toute utre norme sur l espce (M n (K), +, ). 125

126CHAPITRE 8. EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH Définition 8.1.2 Soit (A, +,,, ) une lgèbre normée. Si (A, +,, ) est un espce de Bnch, lors nous dirons que (A, +,,, ) est une lgèbre de Bnch. Si nous revenons à l exemple précédent, (M n (K), +,,, ) est une lgèbre de Bnch puisque tout espce vectoriel normé de dimension finie est un espce de Bnch. Voyons mintennt un exemple en dimension (éventuellement) infinie. Exemple: Soit (E, +,, ) un espce de Bnch et L c (E) le K-espce vectoriel des endomorphismes continus de E. D près l proposition 7.3.9, (L c (E), +,, ) est ussi un espce de Bnch. Or nous vons l inéglité u v u v puisque : x E u v(x) = u(v(x)) u v(x) u v x Ainsi, (L c (E), +,,, ) est une lgèbre de Bnch. Nous llons mintennt générliser une notion déjà rencontrée dns le cdre des séries à vleurs réelles ou complexes. Définition 8.1.3 Soient n et b n deux séries à vleurs dns une lgèbre de Bnch (A, +,,, ). On ppelle produit de Cuchy de ces deux séries l série c n dont le terme générl est défini pr : n N c n = n k b n k k=0 Proposition 8.1.4 En reprennt les nottions de l définition précédente, nous supposons que les séries n et b n sont toutes les deux bsolument convergentes. Alors l série produit c n est bsolument convergente et : + n=0 ( + ) ( + ) c n = n b n n=0 n=0 Démonstrtion: Pour tout n N, nous posons : ( n ) ( n ) n n = i b j i=0 j=0 k=0 c k

8.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 127 Nous vons donc : ( n ) ( n ) n = i b j i=0 j=0 n k=0 i+j=k i b j = où I n = {(i, j) N 2 0 i n, 0 j n, i + j n + 1}. L inéglité tringulire nous permet d en déduire : n i b j, (i,j) I n ce qui s écrit encore : ( n ) ( n ) n i b j i=0 j=0 n k=0 i+j=k (i,j) I n i b j, i b j Nous sommes lors rmenés u produit de Cuchy de séries à vleurs positives, ce qui nous permet de conclure. Si nous notons I l unité de notre lgèbre de Bnch (A, +,,, ), nous poserons, pour tout u A et tout n N : u n := } u u {{ u } et u 0 = I n fcteurs Enfin, pour tout n N, nous définissons f n : A A, u 1 n! un. Nous consttons lors que n N f n converge normlement sur toute prtie bornée de A. Or chcune des pplictions f n est continue sur A puisque, de fçon générle, l condition 8.1 implique l continuité du produit dns une lgèbre normée. Ceci justifie : Définition et proposition 8.1.5 Soient (A, +,,, ) une lgèbre de Bnch et u A. On définit l exponentielle de u comme l somme de l série bsolument convergente : exp(u) := L ppliction exp : A A est continue. + n=0 1 n! un L notion de produit de Cuchy et l proposition 8.1.4 nous donnent : Proposition 8.1.6 Soit (u, v) A 2 ; nous vons l impliction : u v = v u = exp(u + v) = exp(u) exp(v) En prticulier, pour tout u A, exp(u) est un élément inversible d inverse exp( u).

128CHAPITRE 8. EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH Démonstrtion: Puisque u et v commutent pr hypothèse, nous sommes en droit d ppliquer l formule du binôme de Newton, si bien que : ( (u + v)n n n n n N = k) n! n! uk v n k u k v n k = k! (n k)! k=0 Nous consttons lors que l série définissnt exp(u + v) n est utre que le produit de Cuchy des séries définissnt exp(u) et exp(v), ce qui prouve l églité nnoncée. Enfin, comme u et u commutent, nous vons : k=0 exp(u) exp( u) = exp( u) exp(u) = exp(0) = I Si u et v ne commutent ps, on peut voir exp(u + v) exp(u) exp(v), comme nous le constterons dns l section suivnte. 8.2 Exponentielle de mtrice Si nous munissons M n (K) d une norme d lgèbre telle que celle de l exemple pge 125, ou encore telle que l norme subordonnée de l exemple pge 119, nous pouvons définir l exponentielle dns l lgèbre de Bnch (M n (K), +,,, ). Notons que cette définition est indépendnte du choix de l norme puisque toutes les normes sont équivlentes, M n (K) étnt de dimension n 2. D près l proposition 8.1.6, nous vons exp(m n (K)) GL n (K). Exemple: Dns M 2 (R), considérons A = [ 0 θ 0 0 θ 0 ] et B = [ 0 0 ], où θ R. Comme A 2 = B 2 = 0, nous vons exp(a) = I 2 + A et exp(b) = I 2 + B d où : [ ] 1 θ exp(a) exp(b) = θ 1 θ 2 D utre prt, nous clculons : [ ] 2n 0 1 n N (A + B) 2n = θ 2n = θ 2n ( I 1 0 2 ) n = ( θ 2 ) n I 2 [ ] d où (A + B) 2n+1 = et finlement : exp(a + B) = + n=0 0 ( 1) n+1 θ 2n+1 ( 1) n θ 2n+1 0 (A + B) 2n + (2n)! + n=0 (A + B) 2n+1 (2n + 1)! [ ] cos θ sin θ = sin θ cos θ Nous consttons que, pour tout θ R, exp(a + B) exp(a) exp(b).

8.2. EXPONENTIELLE DE MATRICE 129 8.2.1 Clcul explicite Pour pouvoir utiliser nos connissnces sur l réduction des endomorphismes, nous urons besoin du lemme suivnt : Lemme 8.2.1 Soient P GL n (K) et A M n (K) ; lors on l églité : Démonstrtion: pr linérité : K N exp(p 1 AP ) = P 1 exp(a)p Pour tout k N, nous vons (P 1 AP ) k = P 1 A k P donc ( K (P 1 AP ) k K = P 1 k! k=0 k=0 ) A k P k! Or M P 1 MP est un endomorphisme de M n (K), espce de dimension finie, ce qui implique s continuité. Ceci nous permet de conclure en pssnt à l limite qund K + dns l églité précédente. Mtrice nilpotente Soit N M n (K) une mtrice nilpotente d indice 1 r. Le clcul de l exponentielle de N se rmène lors à celui d une somme finie : exp(n) = r 1 En prticulier, si J est une mtrice de Jordn d ordre r (qui est ussi son indice), nous clculons imméditement : 1 1 1 1 2! (r 1)! 0 1... 0 1 0 1 1 2! 0 0..... J =. = exp(j) =............ 1....... 1 2! 0... 0 0.... 1 0......... 0 1 Soit N M n (C) une mtrice nilpotente. L réduction de Jordn nous pprend qu il existe une mtrice de pssge P GL n (C) telle que P 1 NP k=0 N k k! 1. L indice de N est le plus petit entier q N tel que N q = 0

130CHAPITRE 8. EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH s écrive comme une mtrice digonle pr blocs, ces blocs étnt des mtrices nilpotentes de Jordn J 1,, J m d ordres respectifs n 1,, n m. On bien sûr n 1 + + n m = n et l on peut noter qu une mtrice nilpotente de Jordn d ordre 1 est nulle. Le lemme 8.2.1 nous permet d en déduire que l mtrice P 1 exp(n)p est ussi digonle pr blocs, ceux-ci vlnt exp(j 1 ),, exp(j m ). Ceci nous permet de clculer explicitement exp(n). Mtrice digonlisble ou trigonlisble Si M n (K) est une mtrice digonle, on vérifie fcilement en clculnt les sommes prtielles ssociées à l série qui définit l exponentielle de que : = Dig(λ 1,, λ n ) = exp( ) = Dig(exp(λ 1 ),, exp(λ n )) (8.2) Notons qu un rgument similire montre que si T M n (K) est une mtrice tringulire (supérieure, resp. inférieure) dont l digonle est donnée pr (λ 1,, λ n ), lors exp(t ) est ussi une mtrice tringulire (supérieure, resp. inférieure) dont l digonle est donnée pr (exp(λ 1 ),, exp(λ n )). Voici une ppliction du lemme 8.2.1 dns le cs où K = C. Proposition 8.2.2 Soit A M n (C) ; nous noterons Sp(A) son spectre, c est-à-dire l ensemble de ses vleurs propres, det A son déterminnt et Tr(A) s trce, c est-à-dire l somme de ses coefficients digonux. Alors, Sp(exp(A)) = exp(sp(a)) et det exp(a) = exp(tr(a)) Démonstrtion: Comme C est lgébriquement clos, le polynôme crctéristique χ A (X) := det(xi n A) est scindé : χ A (X) = n (X λ i ), i=1 vec λ 1,, λ n complexes non nécessirement distincts. Nous pouvons donc trigonliser l mtrice A : il existe une mtrice tringulire T M n (C) de digonle (λ 1,, λ n ) et une mtrice inversible P GL n (C) telles que P 1 AP = T. D près le lemme précédent, exp(a) et exp(t ) sont des mtrices semblbles, cette dernière ynt pour digonle (exp(λ 1 ),, exp(λ n )). Il est lors fcile de conclure.

8.2. EXPONENTIELLE DE MATRICE 131 Si D M n (K) est une mtrice digonlisble dns K, il existe une mtrice de pssge P GL n (K) et une mtrice digonle = Dig(λ 1,, λ n ), où λ 1,, λ n sont les rcines non nécessirement distinctes du polynôme crctéristique χ D, telles que P 1 DP = donc D = P P 1. En utilisnt l églité (8.2) et le lemme 8.2.1 (vec P 1 ), nous en déduisons : exp(d) = P Dig(exp(λ 1 ),, exp(λ n )) P 1 Le lecteur trouver un tel clcul explicite dns [SAV 342-343]. Il existe nénmoins une utre méthode permettnt d éviter le clcul prfois fstidieux de l mtrice de pssge P. Pour en introduire l idée, commençons pr prouver le résultt suivnt : Lemme 8.2.3 Pour toute mtrice A M n (K), il existe un polynôme Q A K[X] tel que exp(a) = Q A (A). Démonstrtion: Notons K[A] le sous-espce vectoriel de M n (K) constitué pr les polynômes en l mtrice A. Ce sous-espce est de dimension finie donc fermé dns M n (K). Or exp(a) est pr définition une limite d éléments de K[A] donc exp(a) K[A]. Remrque: Il n existe ps de polynôme Q K[X] tel que exp(a) = Q(A) pour toute mtrice A M n (K). En effet, si un tel polynôme existit, en prennt A = λi n vec λ R, nous obtiendrions exp(λ)i n = Q(λ)I n d où exp(λ) = Q(λ) pour tout λ R, ce qui est bsurde pr croissnces comprées. Supposons que D M n (K) est une mtrice digonlisble et écrivons-l sous l forme D = P P 1 comme précédemment. D près le lemme précédent, il existe un polynôme Q K[X] tel que exp( ) = Q( ), c est-à-dire : Dig(exp(λ 1 ),, exp(λ n )) = Dig(Q(λ 1 ),, Q(λ n )) Mis dns ce cs prticulier d une mtrice digonle, il est fcile d exhiber un tel polynôme Q : Si Sp(D) = {µ 1,, µ k } vec k n, utrement dit si {λ 1,, λ n } = {µ 1,, µ k } où les µ j, 1 j k sont deux à deux distincts, nous pouvons prendre le polynôme d interpoltion de Lgrnge : Q = k exp(µ j ) l j où l j (X) = j=1 1 i k i j X µ i µ j µ i

132CHAPITRE 8. EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH Nous vons lors : Q(D) = Q(P P 1 ) = P Q( )P 1 = P exp( )P 1 = exp(d), ce qui nous permet de clculer explicitement exp(d). Exemple Retrouvons pr cette méthode l vleur de exp M θ, vec : [ ] 0 θ M θ =, θ 0 cette exponentielle ynt déjà été clculée dns l exemple pge 128. Nous trouvons fcilement Sp(M θ ) = {iθ, iθ} et Q(X) = sin θ X +cos θ, d où : θ exp(m θ ) = Q(R θ ) = sin θ [ ] cos θ sin θ θ M θ + cos θ I 2 = sin θ cos θ Cs générl Nous vons trité jusqu à présent le clcul explicite de l exponentielle d une mtrice nilpotente et d une mtrice digonlisble. Rppelons mintennt un importnt résultt d lgèbre linéire qui v nous permettre de psser u cs générl : Théorème 8.2.4 (Décomposition de Dunford) Soit M M n (K) une mtrice dont le polynôme crctéristique est scindé (toujours vri si K = C). Alors il existe un unique couple (D, N) (M n (K)) 2 tel que D est digonlisble, N est nilpotente, DN = ND et M = D + N. En outre, D et N sont des polynômes en M. Puisque D et N commutent, nous sommes en droit d écrire exp(m) = exp(d) exp(n) et nous sommes insi rmenés ux méthodes précédemment décrites pour fire le clcul explicite. 8.2.2 Quelques pplictions topologiques Définition 8.2.5 Nous dirons qu une mtrice M M n (K) est unipotente si M = I n + N vec N mtrice nilpotente. Proposition 8.2.6 Notons N, respectivement U, l ensemble des mtrices M M n (K) qui sont nilpotentes, respectivement unipotentes. L exponentielle induit un homéomorphisme de N sur U.

8.2. EXPONENTIELLE DE MATRICE 133 Nous renvoyons le lecteur à [FRA 245]. Il s git de montrer que l ppliction ψ : N exp(n) I n est un homéomorphisme de N sur N. Notons que cette ppliction est en fit polynomile puisque : N N ψ(n) = n 1 L idée est, pr nlogie vec le développement en série entière de log(1 + x), de définir l ppliction ϕ : N N pr : k=1 N k k! n 1 N N ϕ(n) = ( 1) k 1 N k k puis de montrer que ϕ ψ = ψ ϕ = Id N. k=1 Nous pouvons en déduire l proposition suivnte : Proposition 8.2.7 L ppliction exp : M n (C) GL n (C) est surjective. Démonstrtion: Soit B GL n (C) ; dmet-elle un ntécédent dns M n (C) pr l ppliction exponentielle? Pr décomposition de Jordn, il suffit de répondre à cette question dns le cs où B est un bloc de Jordn de l forme B = λ(i n + N), vec λ C et N nilpotente. D une prt, nous svons que exp : C C est surjective, ce qui nous donne l existence de µ C tel que exp(µ) = λ. D utre prt, l proposition précédente nous donne l existence d une mtrice M M n (C) telle que exp(m) = I n + N. Nous consttons lors que exp(µi n + M) = B. Remrque: En revnche, l ppliction exp : M n (R) GL n (R) n est ps surjective. En effet, si elle l étit, GL n (R) serit connexe pr continuité de l exponentielle, l espce M n (R) étnt bien sûr connexe. En considérnt cette fois l ppliction continue et surjective det : GL n (R) R, on en déduirit que R est connexe, ce qui est bsurde. Proposition 8.2.8 Notons S n (R), resp. S n ++ (R), le sous-ensemble de M n (R) constitué pr les mtrices symétriques, resp. symétriques définies positives. L exponentielle induit un homéomorphisme de S n (R) sur S n ++ (R).

134CHAPITRE 8. EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH Démonstrtion: Pr continuité de l trnsposition (qui est un endomorphisme de M n (R)), nous vérifions fcilement que exp( t M) = t exp(m) donc exp(s n (R)) S n (R). En outre, d près l proposition 8.2.2 (en plongent R dns C), nous vons det(exp(m)) = exp(tr(m)) > 0 d où exp(s n (R)) S n ++ (R). Si A S n ++ (R), nous svons qu il existe une mtrice orthogonle P et une mtrice digonle = Dig(λ 1,, λ n ), vec (λ 1,, λ n ) (R +) n telles que A = P P 1. En posnt M = P Dig(log λ 1,, log λ n )P 1 S n (R), nous consttons que exp(m) = A. Il reste à montrer que M est l unique ntécédent de A pr l ppliction exponentielle pour prouver que celle-ci est une bijection de S n (R) sur S n ++ (R). Enfin, il reste à montrer que s bijection réciproque est continue. Nous renvoyons le lecteur à [FRA 243-244]. 8.2.3 Appliction ux systèmes différentiels linéires Une ppliction importnte de l exponentielle de mtrice est l résolution des systèmes différentiels linéires du premier ordre à coefficients constnts, comme nous llons le voir mintennt. Proposition 8.2.9 Soit M M n (K) et I un intervlle réel non trivil. L ppliction f : I M n (K) définie pr f(t) = exp(tm) est de clsse C 1 sur I et vérifie : t I f (t) = Mf(t) = f(t)m Démonstrtion: Nous ppliquons le théorème 7.5.4 vec f n : I M n (K) définie pr f n (t) = tn M n. Nous vons bien f n! n C 1 (I, M n (K)), f 0 0 et : n N t I f n(t) = tn 1 (n 1)! M n = f n 1 (t) M = Mf n 1 (t) Nous en déduisons fcilement que l série f n converge normlement (donc uniformément) sur tout compct de I. En outre, nous svons déjà que l série fn (t) converge en tout point t I vers f(t) = exp(tm). Nous en déduisons (l dérivbilité étnt une notion locle) que f C 1 (I, M n (K)) et que : t I f (t) = + n=1 f n(t) = + n=0 f n (t) M = + n=0 Mf n (t) Il nous reste à remrquer que le produit de mtrices est bilinéire continu dns l lgèbre de Bnch (M n (K), +,,, ) pour en déduire les églités

8.2. EXPONENTIELLE DE MATRICE 135 de l énoncé pr pssge à l limite qund N + dns : ( N N ) f n (t) M = f n (t) M n=0 n=0 et ( N N ) Mf n (t) = M f n (t) Dns le théorème suivnt, nous identifierons pr bus d écriture K n et M n,1 (K)). Théorème 8.2.10 Soient I un intervlle réel non trivil, t 0 I, A M n (K) et B C 0 (I, M n,1 (K)). Alors les solutions du système différentiel : n=0 Y = AY + B sont exctement les pplictions de l forme : t I Y (t) = où v K n est rbitrire. t n=0 t 0 exp[(t u)a] B(u) du + exp(ta) v, Démonstrtion: En pensnt à l méthode de vrition de l constnte, nous posons le chngement de vrible suivnt : Y (t) = exp(ta)z(t) Z(t) = exp( ta)y (t) D près l proposition précédente, nous vons : Y (t) = A exp(ta)z(t) + exp(ta)z (t) si bien que notre système différentiel se réécrit : exp(ta)z (t) = B(t). Les solutions de cette éqution différentielle sont de l forme Z(t) = t t 0 exp( ua)b(u) du + v, où v K n est rbitrire, ce qui nous permet de conclure pr linérité 2 de l intégrle. 2. u sens lrge : M b N(u) du = b MN(u) du où M M n(k) et N C 0 ([, b], K n ). Ceci se démontre en pssnt ux coordonnées dns l bse cnonique de K n.

136CHAPITRE 8. EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH Remrque: Soient A M n (K) une mtrice digonlisble et V 1,, V n une bse de K n constituée de vecteurs propres ssociés ux vleurs propres λ 1,, λ n (non nécessirement distinctes). Il est bien connu que l solution générle du système différentiel homogène Y = AY est de l forme suivnte, vec (α 1,, α n ) K n : Y (t) = α 1 exp(λ 1 t)v 1 + + α n exp(λ n t)v n Nous pouvons retrouver ce résultt grâce à l exponentielle de mtrice. En effet, si nous notons P l mtrice de pssge constituée pr les vecteurs colonnes V 1,, V n, nous vons P 1 AP = dig(λ 1,, λ n ) et donc, pour tout t I, exp(ta) = P dig(exp(λ 1 t),, exp(λ n t))p 1. D près le théorème précédent, l solution générle du système homogène s écrit donc P dig(exp(λ 1 t),, exp(λ n t))p 1 v, vec v K n quelconque. Or P dig(exp(λ 1 t),, exp(λ n t)) est l mtrice constituée pr les colonnes exp(λ 1 t)v 1,, exp(λ n t)v n ; vec le chngement de prmètre α = P 1 v, nous retrouvons donc le résultt nnoncé.

Chpitre 9 Séries de Fourier 9.1 Rppels sur les espces préhilbertiens 9.1.1 Définitions dns les cs réel et complexe Définition 9.1.1 Soit E un R-espce vectoriel. On ppelle produit sclire sur E toute ppliction (x, y) x, y de E E dns R qui est : 1. symétrique : (x, y) E 2 x, y = y, x 2. linéire à droite : (x, y 1, y 2 ) E 3 (λ 1, λ 2 ) R 2 x, λ 1 y 1 +λ 2 y 2 = λ 1 x, y 1 +λ 2 x, y 2 3. définie positive : x E {0} x, x > 0 Remrque : Les deux premières propriétés impliqunt l linérité à guche, nous pouvons dire de fçon équivlente qu un produit sclire sur un R-espce vectoriel est une forme bilinéire symétrique définie positive. Définition 9.1.2 Soit E un C-espce vectoriel. On ppelle produit sclire sur E toute ppliction (x, y) x, y de E E dns C qui est : 1. à symétrie hermitienne : (x, y) E 2 x, y = y, x 2. linéire à droite : (x, y 1, y 2 ) E 3 (λ 1, λ 2 ) C 2 x, λ 1 y 1 +λ 2 y 2 = λ 1 x, y 1 +λ 2 x, y 2 3. définie positive : x E {0} x, x > 0 Remrque : Les propriétés 1. et 2. impliqunt l «semi-linérité» à guche, nous pouvons dire de fçon équivlente qu un produit sclire sur un C-espce vectoriel est une forme sesquilinéire 1 hermitienne définie positive. 1. du ltin sesqui qui signifie «un et demi» 137

138 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER En notnt comme d hbitude K = R ou C, nous posons l Définition 9.1.3 Un K-espce vectoriel muni d un produit sclire est ppelé espce préhilbertien. Exemples : K = C E = C n x, y = n i=1 x i y i. K = C E = C 0 ([0, 1], C) f, g = 1 f(t)g(t) dt. 0 K = R E = lr 2 (N) (u n), (v n ) = + n=0 u nv n, l convergence de cette série résultnt de l inéglité u n v n 1 2 (u2 n + vn). 2 K = R E = C 0 ([, b], R) f, g = fg ω, où ω ],b[ C0 (], b[, R +) est intégrble sur ], b[. Un exemple importnt sur K = C est donné pr l proposition suivnte : Proposition 9.1.4 On note D le C-espce vectoriel des pplictions f C M (R, C), 2π-périodiques et vérifint : x R f(x) = f(x ) + f(x+) 2 On définit un produit sclire sur D en posnt : (f, g) D 2 f, g := 1 2π 2π 0 f(t) g(t) dt Le C-espce D muni de ce produit sclire est ppelé espce préhilbertien de Dirichlet. Démonstrtion: L seule difficulté est de vérifier que f, f = 0 f 0. Si f est continue, c est immédit mis dns le cs générl, il fut couper l intégrle le long de l subdivision pr l reltion de Chsles puis utiliser f( i ) = 1 2 [f( i+) + f( i )] en tout point i de l subdivision. Le lecteur pourr consulter [DAN 377-378] pour les détils. Remrque : À toute ppliction f C M (R, C), 2π-périodique, nous pouvons ssocier s «régulrisée» f D définie pr : x R f(x) := f(x ) + f(x+) 2 (9.1) Sur une période donnée, pr exemple [0, 2π], f et f ne différent qu en un nombre fini de points, inclus dns l ensemble des discontinuités de f.

9.1. RAPPELS SUR LES ESPACES PRÉHILBERTIENS 139 9.1.2 Propriétés Soit E un K-espce préhilbertien. Nous posons, pour tout x E, x := x, x ; cette nottion ser justifiée ci-dessous en prouvnt que est une norme sur E. Proposition 9.1.5 (Inéglité de Cuchy-Schwrz) (x, y) E 2 x, y x y, vec églité si et seulement si les vecteurs x et y sont liés. Démonstrtion: Pour K = R, nous définissons l ppliction P : R R + pr P (λ) := λx + y 2 = λx + y, λx + y = λ 2 x 2 + 2λ x, y + y 2. Ainsi, P est une ppliction polynomile de degré u plus 2 qui ne prend que des vleurs positives ou nulles. Nous en déduisons que son discriminnt (réduit) = x, y 2 x 2 y 2 est négtif ou nul, ce qui nous permet de conclure. Pour K = C, nous considérons (x, y) E 2 rbitrire fixé et nous choisissons (ρ, θ) R + R tel que x, y = ρe iθ. Nous définissons lors P : R R + pr P (λ) := λe iθ x + y 2 = λ 2 x 2 + 2λρ + y 2. Nous concluons lors comme dns le cs réel. Proposition 9.1.6 (Inéglité de Minkowski) (x, y) E 2 x + y x + y Démonstrtion: d écrire : Pour K = R, l inéglité de Cuchy-Schwrz nous permet x + y 2 = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 d où l conclusion. Pour K = C, nous utilisons : x + y 2 = x 2 + 2R x, y + y 2 x 2 + 2 x, y + y 2 L inéglité de Cuchy-Schwrz nous permet lors de conclure comme dns le cs réel.

140 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Corollire et définition 9.1.7 Soit E un K-espce préhilbertien. L ppliction : E R + définie pr x E x := x, x est une norme sur le K-espce vectoriel E, ppelée norme euclidienne si K = R et norme hermitienne si K = C. L inéglité de Minkowski étnt étblie, le lecteur vérifier fcilement que est bien une norme. Un K-espce préhilbertien est donc un espce vectoriel normé prticulier. Remrque : Un espce préhilbertien complet est ppelé espce de Hilbert. Grâce à un simple clcul, le lecteur vérifier (en distingunt K = R ou C) : Proposition 9.1.8 (Identité du prllélogrmme) (x, y) E 2 x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) Remrques 1. Cette identité nous permet de montrer que, sur E = R n, les normes 1 et ne sont ps euclidiennes en prennt x = (1, 0,, 0) et y = (0, 1, 0,, 0). 2. Le théorème de Fréchet-Von Neumnn-Jordn ffirme que l identité du prllélogrmme crctérise les normes euclidiennes pour K = R et les normes hermitiennes pour K = C. Le lecteur intéressé trouver un pln détillé de démonstrtion pour K = R dns «Topologie et Anlyse» pr Georges Skndlis chez Dunod, pges 272 et 318. 9.1.3 Orthogonlité et procédé de Grm-Schmidt Définition 9.1.9 Soit E un K-espce préhilbertien et (x, y) E 2. On dit que x et y sont orthogonux et l on note x y si x, y = 0. Théorème 9.1.10 (Pythgore) Dns un K-espce préhilbertien E, pour tout (x, y) E 2, nous vons l impliction : x y = x + y 2 = x 2 + y 2

9.1. RAPPELS SUR LES ESPACES PRÉHILBERTIENS 141 Démonstrtion: Pour K = R, l églité x + y 2 = x 2 + 2 x, y + y 2 nous donne même l équivlence. Pour K = C, l églité x + y 2 = x 2 + 2R x, y + y 2 nous donne en fit : x, y imginire pur x + y 2 = x 2 + y 2 Définition et proposition 9.1.11 Une fmille (e i ) i I E I est dite orthogonle si (i, j) I 2 i j e i e j. Elle est dite orthonormle ou orthonormée si, en outre, e i = 1 pour tout i I. Une fmille orthogonle est libre dès que e i 0 pour tout i I. Démonstrtion: Soit J I, J fini et (λ j ) j J K J t.q. j J λ je j = 0. Alors, pour tout k J, nous vons : d où λ k = 0. e k, j J λ j e j = 0 = λ k e k 2, L exemple suivnt nous ser très utile pr l suite : Proposition 9.1.12 Dns l espce préhilbertien de Dirichlet D, l fmille (e n ) n Z définie pr : n Z e n (x) = e inx, est orthonormle. Démonstrtion: Les pplictions e n sont toutes 2π-périodiques et continues donc pprtiennent à D. D près l définition du produit sclire dns D (cf. proposition 9.1.4), nous vons : (m, n) Z 2 e m, e n = 1 2π Si m n, nous obtenons donc : e m, e n = 1 2π [ e i(n m)x 2π 0 i(n m) ] 2π Si m = n, nous clculons imméditement e n 2 = 1. e imx e inx dx Théorème 9.1.13 (Procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt) Pour toute fmille libre (x 1,, x n ) du K-espce préhilbertien E, il existe une fmille orthogonle (e 1,, e n ) telle que : 0 = 0 k 1; n Vect(e 1,, e k ) = Vect(x 1,, x k )

142 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Démonstrtion: L idée de l preuve est de prendre e 1 = x 1 puis de poursuivre l construction pr récurrence sur k n en posnt : e k := x k k 1 i=1 x k, e i e i e 2 i Remrques 1. On peut même construire (e 1,, e n ) orthonormle en remplçnt e k pr e k / e k : c est le procédé d orthonormlistion de Grm-Schmidt. 2. Cette construction pr récurrence se générlise u cs d une fmille libre dénombrble (x n ) n N de E. On obtient lors une fmille orthonormle (e n ) n N telle que k N Vect(e 1,, e k ) =Vect(x 1,, x k ). Corollire 9.1.14 Tout sous-espce-vectoriel F de dimension finie de E dmet une bse orthonormée. Remrques 1. D près l remrque précédente, si F est un sous-espce vectoriel de E dmettnt une bse dénombrble (f n ) n N, lors F dmet une bse orthonormée (e n ) n N. 2. Soit F un sous-espce de dimension finie n de E et (e 1,, e n ) une bse orthonormée de F. Nous clculons lors fcilement : n n x F x = e k, x e k et x 2 = e k, x 2 k=1 9.1.4 Projection orthogonle, meilleure pproximtion Définition et proposition 9.1.15 Pour toute prtie A non vide de E, on ppelle orthogonl de A l prtie de E définie pr : C est un sous-espce vectoriel de E. A := {x E, A x, = 0} Remrque: Pour toute prtie A non vide de E, on vérifie fcilement : (VectA) = A Proposition 9.1.16 Si F est un sous-espce vectoriel de E, lors F F. k=1

9.1. RAPPELS SUR LES ESPACES PRÉHILBERTIENS 143 Démonstrtion: Soit x F. On x, = 0 pour tout F pr définition de F, d où x F. Proposition 9.1.17 Si F est un sous-espce vectoriel de dimension finie du K-espce préhilbertien E, lors E = F F. En outre, si (e 0, e 1,, e n ) est une bse orthonormée de F, l projection orthogonle sur F, c est-à-dire l projection sur F prllèlement à F, est donnée pr : x E p(x) = n e k, x e k (9.2) k=0 Enfin, on F = F. Démonstrtion: On sit que F dmet une bse orthonormle (e 0,, e n ). Soit x E rbitrire fixé. Nous cherchons (y, z) F F tel que x = y + z ; utrement dit, nous cherchons y F tel que x y F. Écrivons y = n i=0 y ie i. Nous vons lors les équivlences : x y F k 0, n e k, x y = 0 k 0, n e k, x = y k Il y donc une unique solution, ce qui nous donne E = F F et nous connissons les coordonnées de y dns l bse (e 0,, e n ), ce qui nous donne l deuxième phrse. Pour terminer, prenons x F et écrivons-le sous l forme précédente x = y + z, vec (y, z) F F. Puisque x F, nous vons x z d où : 0 = x, z = y + z, z = z 2 Nous en déduisons que z = 0 et donc x = y F. Ainsi F F et l inclusion inverse est toujours vrie. Remrque: Si F est de dimension infinie, on toujours F F = {0} mis on peut voir F F E, insi que F F : [DAN 358]. Définition 9.1.18 Soit F un sous-espce d un K-e.v.n. E et x E. On dit que x 0 F est une meilleure pproximtion de x dns F si : x x 0 = d(x, F ) := inf x y y F

144 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Dns le cs générl, ni l existence ni l unicité d une telle meilleure pproximtion ne sont ssurées. Le lecteur pourr le constter à l ide de deux contre-exemples dns [DAN 359]. Proposition 9.1.19 Soit F un sous-espce de dimension finie d un K-espce préhilbertien E, et p l projection orthogonle sur F. Alors, pour tout x E, p(x) est l unique meilleure pproximtion de x dns F et l on : d(x, F ) 2 = x p(x) 2 = x 2 p(x) 2 Démonstrtion: Soit x E rbitrire fixé. Nous vons p(x) F et x p(x) F donc, pour tout y F, x p(x) p(x) y Le théorème de Pythgore nous donne lors : x y 2 = x p(x) 2 + p(x) y 2 (9.3) d où x y x p(x) vec églité si et seulement si y = p(x). En prennt y = 0 dns (9.3), nous obtenons l dernière églité de l énoncé. Remrque: Si (e 0,, e n ) est une bse orthonormée de F, l proposition 9.1.17 nous donne p(x) = n k=0 e k, x e k d où n p(x) 2 = e k, x 2 (9.4) et k=0 d(x, F ) 2 = x 2 n e k, x 2 (9.5) 9.1.5 Inéglité de Bessel et églité de Prsevl Dns tout ce prgrphe, suf mention explicite, nous supposons que E est un K-espce préhilbertien de dimension infinie et nous considérons une fmille orthonormée (e n ) n N de E. Nous svons qu une telle fmille existe grâce u procédé d orthogonlistion de Grm-Schmidt. Théorème 9.1.20 (Inéglité de Bessel) Pour tout x E, n N e n, x 2 est une série convergente de somme : + e n, x 2 x 2 n=0 k=0

9.1. RAPPELS SUR LES ESPACES PRÉHILBERTIENS 145 Démonstrtion: (9.5), nous vons : Pour tout n N, posons F n :=Vect(e 0, e 1,, e n ). D près 0 d(x, F n ) 2 = x 2 n e k, x 2, d où n k=0 e k, x 2 x 2. Comme n N est rbitrire, nous obtenons l convergence de l série de l énoncé et l mjortion de s somme. Corollire 9.1.21 (Lemme de Riemnn-Lebesgue) Pour tout x E, k=0 lim e n, x = 0 n + Définition 9.1.22 On dit qu une fmille (x i ) i I est totle dns un espce vectoriel normé E si Vect(x i ) i I est dense dns E. Exemple: D près le théorème de Weierstrss, l suite des fonctions monômes (x n ) n N est totle dns (C 0 ([0, 1], K), ). Proposition 9.1.23 Supposons qu il existe une suite (e n ) n N orthonormée et totle dns le K-espce préhilbertien E. Pour tout n N, notons p n l projection orthogonle sur le sous-espce F n := Vect(e 0, e 1,, e n ). Alors, x E p n (x) n + x Démonstrtion: totle, Soit x E et ɛ > 0 rbitrires fixés. Puisque (e n ) n N est n 0 N (λ 0,, λ n0 ) K n 0+1 n 0 x λ k e k < ɛ k=0 Comme p n (x) est l meilleure pproximtion de x sur F n, nous vons pour tout n n 0 : n 0 x p n (x) x λ k e k < ɛ, d où l conclusion. k=0 } {{ } F n

146 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Remrque: Puisque (e 0, e 1,, e n ) est une bse orthonormle de F n, nous vons d près (9.2) : p n (x) = n k=0 e k, x e k x lorsque n +. Ainsi, l série k N e k, x e k est convergente dns E et nous pouvons écrire : + k=0 e k, x e k = x Théorème 9.1.24 (Églité de Prsevl) Supposons qu il existe une suite (e n ) n N orthonormée et totle dns le K-espce préhilbertien E. Alors, pour tout x E, l série positive n N e n, x 2 converge et s somme vut : + n=0 e n, x 2 = x 2 Démonstrtion: L ppliction étnt continue (cr 1-lipschitzienne) de E dns R, nous déduisons de l proposition précédente : x E p n (x) 2 n + x 2 L églité (9.4) nous permet lors de conclure. 9.2 Polynôme et série trigonométriques Définition 9.2.1 On ppelle polynôme trigonométrique toute ppliction P : R C de l forme : P (x) = n k= n c k e ikx, vec n N et (c k ) n k n C 2n+1 Un polynôme trigonométrique est donc une ppliction continue et 2π-périodique. Définition 9.2.2 On ppelle série trigonométrique toute série d pplictions de R dns C de l forme : c 0 + n N (c n e inx + c n e inx ) vec (c n ) n Z C Z Nous l noterons n Z c ne inx.

9.2. POLYNÔME ET SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUES 147 Ainsi, l convergence simple sur R de l série n Z c ne inx peut voir lieu sns que l limite suivnte existe pour tout x R : lim p q + q c n e inx n=p Nénmoins, si l série n Z c ne inx converge simplement, l «convention de Cuchy» veut que l on note s somme comme suit : + n= c n e inx Proposition 9.2.3 Si les deux séries positives n N c n et n N c n sont convergentes, lors l série trigonométrique n Z c ne inx converge normlement sur R. Démonstrtion: L inéglité tringulire nous permet d écrire : n N x R c n e inx + c n e inx c n + c n et ce mjornt est le terme générl d une série convergente pr hypothèse. Proposition 9.2.4 Si les deux suites (c n ) n N et (c n ) n N sont réelles et tendent vers 0 en décroissnt, lors l série trigonométrique n Z c ne inx converge simplement sur R (2πZ) et uniformément sur toute intervlle de l forme 2kπ + [α, 2π α], k Z, 0 < α < π. Démonstrtion: Il suffit d ppliquer le théorème 7.5.5 (critère d Abel uniforme) vec f n (x) = e inx et g n (x) = c n pour tout n N. En effet, l églité n f k (x) = 1 ei(n+1)x = 1 ei(n+1)x 1 e ix e ix/2 e k=0 ix/2 e ix/2 entrîne l mjortion suivnte, pour tout x 2kπ + [α, 2π α] : n f k (x) 2 e ix/2 e ix/2 = 1 sin x 1 sin α 2 2 k=0 d où l convergence uniforme de n N c ne inx sur 2kπ + [α, 2π α]. On reprend lors l même démonstrtion vec f n (x) = e inx et g n (x) = c n pour obtenir un résultt similire vec l série n N c ne inx, ce qui permet

148 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER de conclure à l convergence uniforme nnoncée. Enfin, l convergence simple de l série trigonométrique n Z c ne inx sur [α, 2π α] pour tout 0 < α < π nous donne s convergence simple sur ]0, 2π[ puis, pr 2π-périodicité, sur R (2πZ). Nous terminons cette section en citnt simplement un théorème (hors progrmme) qui étblit une condition nécessire à l convergence d une série trigonométrique : Théorème 9.2.5 (Cntor-Lebesgue) Si l série trigonométrique n Z c ne inx converge simplement sur R, lors : c n n ± 0 9.3 Coefficients et série de Fourier Définition 9.3.1 Soit f C M (R, C) une ppliction 2π-périodique. On ppelle coefficients de Fourier de f les nombres complexes : c n (f) := 1 2π f(t)e int dt, n Z 2π 0 On ppelle série de Fourier ssociée à f l série trigonométrique n Z c n(f)e inx. Cette définition des coefficients et de l série de Fourier est nturelle à cuse du résultt suivnt : Lemme 9.3.2 Une série trigonométrique qui converge uniformément sur R est égle à s série de Fourier. Démonstrtion: Notons S(x) := + n= c ne inx. Grâce à l proposition 1.5.1 pge 30, nous pouvons écrire, pour tout p Z : c p (S) = 1 2π = 1 2π = c p 2π 0 2π 0 S(t)e ipt dt c 0 e ipt dt + + n=1 1 2π 2π 0 (c n e int + c n e int )e ipt dt en nous souvennt de l fmille orthonormle (e n ) n Z qui pprît dns l proposition 9.1.12.

9.4. APPROXIMATION EN MOYENNE QUADRATIQUE 149 L série de Fourier ssociée à f s écrit encore : 0 (f) 2 + n N ( n (f) cos nx + b n (f) sin nx), où les coefficients de Fourier n (f), n N et b n (f), n N sont définis pr : n (f) := 1 π 2π 0 f(t) cos nt dt ; b n (f) := 1 π 2π 0 f(t) sin nt dt Tous les résultts énoncés dns l suite de ce chpitre vec les coefficients de Fourier (c n (f)) n Z ont donc des nlogues vec les coefficients ( n (f))n N et (b n (f) n N. Nous renvoyons le lecteur à [GOU 256ss] pour en prendre connissnce. Remrques 1. Si l série trigonométrique converge simplement mis ps uniformément sur R, il n est ps grnti que s somme S soit continue pr morceux donc que l on puisse lui ssocier une série de Fourier. 2. Le critère d Abel nous permet de prouver l convergence simple sur R de l série trigonométrique suivnte : sin(nx) n N n vers une somme S impire. Nénmoins, s il existit une ppliction impire f C M (R, C) telle que b n (S) = 1/ n pour tout n N, l inéglité de Bessel (que nous prouverons ci-dessous) impliquerit : + n=1 + 1 n = b 2 n(s) 1 π n=1 2π 0 S 2 < +, ce qui est bsurde puisque l série hrmonique diverge. 9.4 Approximtion en moyenne qudrtique Nous llons mintennt ppliquer les résultts générux que nous vons étblis dns l première section de ce chpitre u cs prticulier du C-espce préhilbertien D.

150 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Nous noterons 2 l norme hermitienne ssociée u produit sclire sur D, donnée pr : 1 2π f D f 2 = f(t) 2π 2 dt, et (e n ) n Z l fmille orthonormle dns D définie pr e n : R C, x e inx. Considérons l suite (S n (f)) n N des sommes prtielles ssociées à l série de Fourier de f, i.e. n N x R S n (f)(x) := 0 n k= n Nous remrquons que S n (f) = n k= n c k(f) e k, vec : c k (f)e ikx c k (f) = 1 2π f(t)e ikt dt = e k, f 2π 0 Pour tout n N, considérons le sous-espce de D défini pr F n :=Vect(e k ) n k n. Pr nlogie vec l notion de degré d un polynôme dns C[X], un élément de F n est ppelé polynôme trigonométrique de degré n. = D et l projec- Proposition 9.4.1 Pour tout n N, nous vons F n Fn tion orthogonle p n sur F n vérifie : f D p n (f) = n k= n c k (f) e k = S n (f) Ainsi, S n (f) est l unique meilleure pproximtion de f dns F n et l on : inf f g 2 = f S n (f) 2 = 1 2π f 2 g F n 2π 0 n k= n c k (f) 2 Proposition 9.4.2 (Inéglité de Bessel) Pour toute ppliction f C M (R, C), 2π-périodique, l série n Z c n(f) 2 converge et : + n= c n (f) 2 1 2π f 2 2π 0

9.4. APPROXIMATION EN MOYENNE QUADRATIQUE 151 Démonstrtion: Considérons l régulrisée f D ssociée à f selon l formule (9.1) pge 138. D près ce que nous vons étbli précédemment, l inéglité de Bessel est vérifiée pour f. Or, f et f ne différnt sur [0, 2π] qu en un nombre fini de points, nous vons c n ( f) = c n (f) pour tout n Z, insi que : 2π ce qui nous permet de conclure. 0 f 2 = 2π 0 f 2, Corollire 9.4.3 (Lemme de Riemnn-Lebesgue) Pour toute ppliction f C M (R, C), 2π-périodique, lim c n(f) = 0 n ± Admettons temporirement que l suite orthonormle (e n ) n Z est totle dns le C-espce préhilbertien de Dirichlet D : ceci ser prouvé dns l dernière section de ce chpitre grâce u théorème de Fejér. Nous en déduisons : Théorème 9.4.4 (Églité de Prsevl) Soit f C M (R, C) une ppliction 2π-périodique. Alors l série n Z c n(f) 2 converge et : + c n (f) 2 = 1 2π f 2 2π 0 n= Exercice : Soit C. Notons f l fonction périodique de période 2π telle que, pour tout x [0, 2π[, on it f(x) = e x. 1. Notons b = R. Montrer que si b = 0, lors on que si b 0, lors on + k= c k (f) 2 = e4πb 1 4πb 2. Clculer les coefficients de Fourier de f. 3. Montrer que pour tout nombre réel non nul on + n= 1 ( π )( e 2π n 2 + = + 1 ) 2 e 2π 1 + k= 4. Montrer que pour tout nombre réel c non entier on : + n= 1 ( π ) 2 (n c) = 2 sin πc c k (f) 2 = 1 et

152 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Solution : 1. L fonction f est périodique de période 2π et continue pr morceux. L identité de Prsevl donne 1 2π f(t) 2 dt = + 2π 0 k= c k(f) 2, d où le résultt puisque f(t) = e bt. 2π 2. On c k (f) = 1 e ( ik)t dt donc c 2π 0 k (f) = 1 si = ik et c k (f) = e 2π( ik) 1 = e2π 1 sinon. 2π( ik) 2π( ik) 3. Pour réel non nul, il vient + n= (e 2π 1) 2 4π 2 ( 2 + n 2 ) = e4π 1 4π Écrivnt e 4π 1 = (e 2π 1)(e 2π + 1) et simplifint on trouve le résultt escompté. 4. Posnt = ic, il vient c n (f) = eiπc sin πc, donc 1 = sin2 πc π(c n) π n Z 2 1 (c n) 2 9.5 Le théorème de convergence de Dirichlet Définition et proposition 9.5.1 On ppelle noyu de Dirichlet l suite de polynômes trigonométriques (D n ) n N définie pr : n N x R D n (x) := n k= n Pour tout n N, D n est une fonction pire telle que 1 En outre, nous vons l églité : e ikx 2π 2π 0 D n = 1. n N x R (2πZ) D n (x) = sin(2n + 1) x 2 sin x 2 Démonstrtion: L première phrse est immédite. Pour tout n N et tout x R (2πZ), nous clculons, en utilisnt l somme d une série géométrique : D n (x) = e inx ei(2n+1)x 1 e ix 1 inx ei(2n+1)x/2 e i(2n+1)x/2 e i(2n+1)x/2 = e e ix/2 e ix/2 e ix/2 d où l églité nnoncée.

9.5. LE THÉORÈME DE CONVERGENCE DE DIRICHLET 153 D 1 (x), D 4 (x) x Théorème 9.5.2 (Jordn-Dirichlet) Soit f CM 1 (R, C) une ppliction 2π-périodique. Alors l série de Fourier ssociée à f converge simplement sur R vers l régulrisée de f : x R + n= c n (f) e inx = f(x) := f(x ) + f(x+) 2 Idée de l démonstrtion : Puisque remplcer f pr s régulrisée f D lisse les coefficients de Fourier inchngés, il suffit de prouver que si f D CM 1 (R, C), lors l série de Fourier ssociée à f converge simplement vers f sur R. En considérnt l fonction f x0 = f(x 0 + ), nous clculons fcilement c n (f x0 ) = exp(inx 0 )c n (f) pour tout n Z. Nous en déduisons qu il suffit

154 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER d étblir l églité nnoncée u point x = 0, i.e. f D C 1 M(R, C) + n= c n (f) = f(0) Nous posons donc, pour tout n N, s n := n k= n c k(f), u n := s n f(0) et nous cherchons à montrer que u n 0. Un clcul simple utilisnt les propriétés de D n énoncées précédemment nous donne 2πu n = π [f(t) + f( t) 2f(0)]D 0 n(t) dt, d où, vec un chngement de vrible : 2πu n = 2 π/2 0 f(2t) + f( 2t) f(0+) f(0 ) sin t sin(2n + 1)t dt Comme f CM 1 (R, C), nous vons l convergence suivnte : f(2t) + f( 2t) f(0+) f(0 ) sin t t 0+ 2(f (0+) f (0 )) Nous pouvons définir une ppliction g C M (R, C), 2π-périodique, vérifint : t ]0, 2π[ g(t) = f(2t) + f( 2t) f(0+) f(0 ) 1 ]0, π 2 sin t [ (t) Le lemme de Riemnn-Lebesgue nous donne lors lim n ± c n (g) = 0, ce qui nous permet de conclure puisque : u n = 1 π 2π 0 g(t) sin(2n + 1)t dt = i [c 2n+1 (g) c (2n+1) (g)] Si f est en outre continue, lors s série de Fourier converge simplement sur R vers f. En fit, nous vons dns ce cs un résultt bien meilleur : Théorème 9.5.3 Soit f C 0 (R, C) CM 1 (R, C) une ppliction 2π-périodique. Alors l série de Fourier ssociée à f converge normlement vers f sur R. En commençnt pr le cs prticulier, le lecteur étblir le résultt préliminire suivnt grâce à une intégrtion pr prties : Lemme 9.5.4 Sous les hypothèses du théorème précédent, nous définissons ϕ : R C pr ϕ(t) = f (t) si f est dérivble u point t et, sinon, ϕ(t) := f (t ) + f (t+) 2 Alors ϕ D et, pour tout n Z, c n (ϕ) = inc n (f).

9.5. LE THÉORÈME DE CONVERGENCE DE DIRICHLET 155 Démonstrtion: Si f C 1 (R, C), une intégrtion pr prties nous donne : c n (f ) = 1 2π [ ] f(t)e f (t)e int int 2π dt = + in 2π f(t)e int dt, 2π 2π 2π 0 d où c n (ϕ) = inc n (f) pour tout n Z. Dns le cs générl, on pplique l reltion de Chsles le long d une subdivision de [0, 2π] dptée à f CM 1 (R, C) ; le reste de l preuve est nlogue [GOU 261]. Démonstrtion du théorème : nous vons : n Z c n (f) = 1 n c n(ϕ) 1 2 0 0 En reprennt les nottions du lemme, ( ) 1 n + c n(ϕ) 2 2 Puisque ϕ D, l églité de Prsevl nous permet d en déduire que n Z c n(f) converge. Nous concluons grâce à l proposition 9.2.3. Remrque: L hypothèse f CM 1 (R, C) est importnte. Le mthémticien llemnd Pul Du Bois-Reymond construit en 1873 une ppliction 2πpériodique f C 0 (R, R) dont l série de Fourier diverge en 0. Le lecteur en trouver un utre exemple, construit ultérieurement pr le mthémticien hongrois Lipot Fejér, dns [GOU 264-265]. Exercice : On considère l suite de polynômes à coefficients réels (P k ) k 1 crctérisés pr les reltions P 1 = π X et, pour tout k 1, P k+1 = P k et 2π P 0 k (t) dt = 0. 1. Montrer que : 2. Montrer que : k 1 t R P k (2π t) = ( 1) k P k (t) 2π k 1 n Z (2π) 1 P k (t)e int dt = (in) k 3. Montrer que, pour tout k N, on P 2k+1 (π) = 0 et, pour k 1, 1 2π 2π 0 P k (t) 2 dt = 2 4. En déduire les églités + n=1 1 n 2 + n=1 0 n 2k = ( 1) k P 2k (0). = π2 6 et + 1 n=1 n 4 = π4 90

156 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Solution (brégée) : 1. Remrquons d bord que l reltion P k+1 = P k et 2π P 0 k+1 (t) dt = 0 déterminent entièrement P k+1. Si P k vérifie P k (2π t) = ( 1) k P k (t), lors le polynôme Q défini pr Q(t) = ( 1) k+1 P k+1 (2π t) vérifie Q = P k et 2π Q(t) dt = 0, donc 0 Q = P k+1. 2. Pr intégrtion pr prties, on trouve : 2π 0 P k (t)e int dt = [P k (t) e int in ] 2π 0 2π 0 P k(t) e int in dt Il vient (2π) 1 2π P 0 1 (t)e int dt = (in) 1, puis, pr récurrence, l églité demndée. 3. D près l première question, nous vons ( 1) 2k+1 P 2k+1 (π) = P 2k+1 (π), d où P 2k+1 (π) = 0. D près l identité de Prsevl, on 1 2π P 2π 0 k (t) 2 dt = + n= c n(p k ) 2. Or c 0 (P k ) = 0 et c n (P k ) 2 = n 2k pour n 0. D près le théorème de Dirichlet, P 2k (0) = n Z c n (P 2k ) = n 0(in) 2k = ( 1) k 2 0 + n 2k n=1 On P 2 (t) = (t π)2 + c ; or 2π (t π)2 ( + c)dt = 2πc 2 2 2πc π3 3 Il vient P 2(t) = π2 6 (t π)2 2 On en déduit + n=1 n 2 = P 2(0) 2 = π2 + n=1 n 4 = 1 2π P 2 (t) 2 dt = 1 4π 0 4π = π4 72 [ π 4 (t π) 3 18 ] 2π = π4 72 π4 36 + π4 40 = π4 90 0 + 6 et 2π 0 [ 1 4π ( π 4 36 π2 (t π) 2 + 6 (t π) 5 Le lecteur trouver un exercice nlogue dns [DAN 392-395]. 20 ] 2π 0 [ ] (t π) 3 2π 6 0 = (t ) π)4 dt 4 Exercice : Inéglité de Wirtinger Soit f C 1 (R, C) une ppliction 2π-périodique telle que 2π f = 0. Étblir l inéglité : 0 2π 0 f(t) 2 dt 2π 0 f (t) 2 dt

9.6. LE THÉORÈME DE FEJÉR 157 Solution : [GOU 264]. Cette inéglité est utilisée dns l preuve d un théorème isopérimétrique. Exercice : Développement du sinus en produit infini [GOU 262]. Soit α R Z ; nous définissons l ppliction 2π-périodique f α : R R pr f α (t) = cos(αt) pour tout t ] π, π]. En développnt f α en série de Fourier, montrer l églité : t R πz cotnt = 1 t 2t + n=1 1 t 2 n 2 π 2 En intégrnt l églité précédente entre 0 et x ]0, π[, étblir l formule : t ] π, π[ sin t = t + n=1 (1 t2 n 2 π 2 Ce développement du sinus en produit infini et l formule d Euler-Guss (Proposition 3.3.3 pge 68) nous permettent d étblir le résultt suivnt : Proposition 9.5.5 (Formule des compléments) L fonction Γ d Euler vérifie l églité suivnte : ) x ]0, 1[ 1 Γ(x)Γ(1 x) = sin(πx) π 9.6 Le théorème de Fejér Nous reprenons ici l nottion (D n ) n N pour le noyu de Dirichlet introduit dns l section précédente. Définition et proposition 9.6.1 On ppelle noyu de Fejér l suite de polynômes trigonométriques (F n ) n N définie pr : n N x R F n (x) := 1 n n 1 D k (x) k=0 Pour tout n N, F n est une fonction pire telle que 1 En outre, nous vons : n N x R (2πZ) F n (x) = 1 n 2π 2π 0 F n = 1. ( sin nx ) 2 2 sin x 0 2

158 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Démonstrtion: L première phrse se vérifie imméditement. En utilisnt l proposition 9.5.1, nous clculons pour tout n N et tout x R (2πZ) : ( F n (x) = 1 n 1 sin(2k + 1) x 2 n sin x = 1 n 1 ) n sin x I e i(2k+1) x 2 (9.6) 2 2 k=0 Or l somme entre prenthèses s écrit encore : e i x 2 n 1 e ikx = e i x e inx 1 2 e ix 1 = ei k=0 x 2 e i nx 2 e i x 2 k=0 e i nx nx i 2 e 2 e i x 2 e i x 2 = e i nx 2 sin( nx 2 ) sin( x 2 ) En pssnt à l prtie imginire puis en revennt à (9.6), nous obtenons le résultt nnoncé. F 3 (x), F 9 (x) Soit f C M (R, C) une ppliction 2π-périodique. Nous reprenons l nottion (S n (f)) n N pour l suite des sommes prtielles ssociées à l série de Fourier de f, i.e. n n N x R S n (f)(x) := c k (f)e ikx k= n x

9.6. LE THÉORÈME DE FEJÉR 159 Définition 9.6.2 Soit f C M (R, C) une ppliction 2π-périodique. On ppelle sommes de Fejér ssociées à f l suite (σ n (f)) n N d pplictions de R dns C définies pr : n N x R σ n (f)(x) := 1 n 1 S k (f)(x) n Ce sont donc les moyennes de Cesàro ssociées à l suite (S n (f)(x)) n N. Théorème 9.6.3 (Fejér) Soit f C 0 (R, C) une ppliction 2π-périodique. Alors l suite des sommes de Fejér (σ n (f)) n N converge uniformément vers f sur R. Démonstrtion: Pour tout n N et tout x R, nous vons : n ( 1 2π ) S n (f)(x) = f(t)e ikt dt e ikx 2π d où : k= n 0 k=0 S n (f)(x) = 1 2π 2π 0 f(t) n k= n e ik(x t) dt = 1 2π f(t)d n (x t) dt 2π 0 Nous en déduisons que, pour tout n N et tout x R, nous vons : σ n (f)(x) = 1 2π f(t) 1 n 1 D k (x t) dt = 1 2π f(t)f n (x t) dt 2π 0 n 2π 0 k=0 Grâce u chngement de vrible s = x t et à l 2π-périodicité de f et F n, nous en déduisons : σ n (f)(x) = 1 x f(x t)f n (t) dt = 1 π f(x t)f n (t) dt 2π x 2π 2π π Comme 1 2π F 2π 0 n = 1, nous vons donc pour tout n N et tout x R : σ n (f)(x) f(x) = 1 2π π π [f(x t) f(x)]f n (t) dt Comme f est continue et 2π-périodique, on montre fcilement grâce u théorème de Heine que f est uniformément continue sur R.

160 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER Soit ɛ > 0 rbitrire fixé. Il existe donc δ ]0, π[ tel que x y δ f(x) f(y) < ɛ. De l églité précédente, nous déduisons : 2 δ δ π 2π σ n (f)(x) f(x) F n + π δ δ f(x t) f(x) F n (t) dt + ɛ } {{ } 2 0 } {{ } π π Fn=2π Nous llons mjorer cette dernière intégrle, l 1ère se tritnt de même. π π ( 1 sin nt ) 2 2 f(x t) f(x) F n (t) dt 2 f δ δ n sin t dt 2π f 2 n sin 2 δ 2 Finlement, n N x R σ n (f)(x) f(x) ɛ 2 + 2 f n sin 2 δ 2 et donc N N, n N x R σ n (f)(x) f(x) ɛ. Remrque: On peut montrer plus générlement que si f D, lors (σ n (f)) n N converge simplement sur R vers f et que l convergence est uniforme sur tout intervlle sur lequel f est continue [DAN 386]. Nous déduisons du théorème de Fejér le résultt suivnt, qui est un nlogue du théorème de Weierstrss dns le cs des fonctions continues périodiques. Corollire 9.6.4 Toute ppliction 2π-périodique f C 0 (R, C) est limite uniforme d une suite de polynômes trigonométriques. Appliction : Vleur moyenne d une fonction périodique continue Soit α R tel que α Q et f π C0 (R, C) une ppliction 2π-périodique. Alors, on l convergence suivnte : 1 n 1 1 2π f(kα) f n n + 2π 0 k=0 L idée est de montrer cette propriété qund f est un monôme trigonométrique, puis un polynôme trigonométrique. On psse ensuite u cs générl en utilisnt le corollire précédent [DAN 395-396]. Nous llons mintennt démontrer le résultt que nous vions momentnément dmis pour pouvoir énoncer le théorème 9.4.4. Corollire 9.6.5 Dns le C-espce préhilbertien de Dirichlet D, l suite orthonormée (e n ) n Z définie pr e n : R C, x e inx, est totle.

9.6. LE THÉORÈME DE FEJÉR 161 Démonstrtion: Soit f D. Si f est continue, le théorème de Fejér nous dit qu il existe une suite (g n ) n N de polynômes trigonométriques telle que g n f 0. Comme 2, nous en déduisons que g n f 2 0. Si f n est ps continue, on peut construire [DAN 380] pour tout ɛ > 0 une ppliction f continue telle que f f 2 < ɛ. Or, nous venons de voir qu il 2 existe un polynôme trigonométrique g tel que g f 2 < ɛ, d où g f 2 2 < ɛ. Nous vons insi prouvé l densité du sous-espce Vect(e n ) n Z des polynômes trigonométriques dns D.

162 CHAPITRE 9. SÉRIES DE FOURIER

Chpitre 10 Séries entières Bibliogrphie : DANTZER chpitre 18 GOURDON Anlyse (2ème édition) chpitre 4 prgrphe 4 RAMIS-DESCHAMPS-ODOUX tome 4, chpitre 3 Nous llons nous plcer de préférence sur K = C. Pour triter le cs K = R, nous risonnerons simplement pr restriction. 10.1 L lgèbre des séries entières Rppelons qu une série f n d pplictions de C dns C est définie comme l suite d pplictions ( n k=0 f k) n N sns préjuger de l convergence de l série f n (z) en un point z C. Pour l instnt, les définitions que nous llons donner sont donc purement lgébriques ; elles sont vlbles même si les séries de fonctions concernées ne convergent nulle prt suf en z = 0. Définition 10.1.1 Une série entière est une série d pplictions de l forme n z n, où ( n ) C N. Définition 10.1.2 Nous définissons les 3 opértions suivntes sur les séries entières : Somme n z n + b n z n := ( n + b n )z n Produit pr un sclire Pour tout λ C, λ n z n = (λ n )z n Produit de Cuchy ( n z n )( b n z n ) = c n z n, où c n := n k=0 kb n k Théorème 10.1.3 Muni de ces trois opértions, l ensemble des séries entières est une C-lgèbre commuttive. 163

164 CHAPITRE 10. SÉRIES ENTIÈRES Nous pouvons de même, d une fçon purement lgébrique, définir l dérivée d une série entière, sns ucunement préjuger de s convergence. Définition 10.1.4 On ppelle série entière dérivée de n z n et on note ( n z n ) l série entière (n + 1) n+1 z n. Remrque: En itérnt le processus, pour tout p N, nous pouvons définir l série entière dérivée p-ième de n z n pr : ( n z n ) (p) = (n + p)(n + p 1) (n + 1) n+p z n = (n + p)! n+p z n n! Exercice: Montrer l églité : [( n z n )( b n z n )] = ( n z n ) ( b n z n ) + ( n z n )( b n z n ) 10.2 Ryon de convergence Définition 10.2.1 On ppelle ryon de convergence de l série entière n z n l élément de R + suivnt : R = sup{r 0, ( n r n ) n N est bornée } Pour r 0, nous noterons D(r) := {z C, z r} le disque fermé, D(r) := {z C, z < r} le disque ouvert, et enfin C(r) := {z C, z = r} le cercle, tous de centre 0 et de ryon r. Nous conviendrons que D(+ ) = D(+ ) = C. Proposition 10.2.2 (Lemme d Abel) Soit n z n une série entière de ryon de convergence R. Si z < R, lors n z n converge bsolument. Si 0 < r < R, lors n z n converge normlement sur D(r). Si z > R, lors n z n diverge. Démonstrtion: Comprison vec une série géométrique. Le disque ouvert D(R) est ppelé disque de convergence de l série entière n z n. Lorsque R < +, le cercle C(R) est ppelé cercle d incertitude cr, comme nous le verrons sur des exemples, différents comportements de l série entière y sont possibles. Pssons mintennt u clcul prtique de R. Dns l formule suivnte, nous dopterons les conventions (+ ) 1 = 0 et 0 1 = +.

10.2. RAYON DE CONVERGENCE 165 Proposition 10.2.3 (Formule d Hdmrd) Le ryon de convergence de l série entière n z n est donné pr l églité : R = ( lim n 1/n) 1 Démonstrtion: Rppelons l règle de Cuchy pour une série numérique un : posons λ = lim u n 1/n ; si λ < 1 lors u n est bsolument convergente, si λ > 1, lors u n est divergente. En considérnt u n = n z n, on en déduit fcilement le résultt nnoncé. Bien sûr, si l suite ( n 1/n ) n N converge, nous vons R = ( lim n 1/n) 1 : c est l règle de Cuchy pour les séries entières. Exercice: Que vut le ryon de convergence de 2 n z 2n? Solution : Ici, 2p = 2 p et 2p+1 = 0 pour tout p N donc : lim n n 1/n = lim p (2 p ) 1 2p = 2, d où R = 1/ 2. Exercice: Soient n z n, b n z n des séries entières de ryons respectifs R et R. Que peut-on dire du ryon R de l série entière n b n z n? Solution : Nous vons l inéglité : lim n b n 1/n lim n 1/n lim b n 1/n, d où, pr Hdmrd, R RR. Cette dernière inéglité peut être lrge (prendre n = b n = 1 n N) ou stricte, comme nous le consttons sur l exemple suivnt : z 2n et z 2n+1 ont pour ryon de convergence R = R = 1 mis nous vons ici n b n = 0 n N d où R = +. une série en- Proposition 10.2.4 (Règle de d Alembert) Soit n z n tière telle que : lim n+1 = l n R + Alors son ryon de convergence vut R = l 1.

166 CHAPITRE 10. SÉRIES ENTIÈRES Démonstrtion: Règle de d Alembert pour les séries numériques. Si l règle de Cuchy ne permet ps de conclure pour une certine série entière, il est inutile d essyer l règle de d Alembert : Lemme 10.2.5 Nous vons l impliction : lim n+1 n = l R + = lim n 1/n = l Démonstrtion: Si l 1 > l, d près l proposition précédente, n /l n 1 converge donc son terme générl tend vers 0. En prticulier, il existe un rng N 1 N tel que, pour tout n N 1, n l n 1. Si 0 < l 0 < l, l n 0 / n converge et donc il existe un rng N 0 N tel que, pour tout n N 0, l n 0 n. Si l 0 < l < l 1, il existe donc un rng N := mx(n 0, N 1 ) N tel que, pour tout n N, l n 0 n l n 1, ce qui s écrit encore l 0 n 1/n l 1. Nous lissons u lecteur les détils de l conclusion (triter à prt les cs l = 0 et l = + ). Exemples : L série entière z n /n! pour ryon R = +. L série entière n! z n un ryon de convergence nul. Pour tout α R, l série entière z n n α pour ryon R = 1 Attrdons-nous sur ce dernier exemple pour étudier le comportement de l série entière sur le cercle d incertitude C(1) en fonction des vleurs de α. Si α 0, nous vons zn n α = n α 1 pour tout n 1 donc l série entière diverge sur C(1). Si α > 1, l série entière converge bsolument sur C(1) comme le montre l exemple de Riemnn 1 n α. Si 0 < α 1, en z = 1 l série diverge, toujours d près l exemple de Riemnn. En z 1, i.e. en z = exp(iθ) vec θ ]0, 2π[, l série entière converge comme le montre une ppliction de l règle d Abel pour les séries. Bien que l formule d Hdmrd soit universelle, elle ne permet ps toujours un clcul explicite du ryon de convergence. Il rrive qu il soit plus simple de risonner directement, comme le lecteur le constter dns les deux exercices suivnts [DAN 304-305]. Exercice: Que vut le ryon de convergence de n z n, où n est l n-ième décimle du nombre e?

10.2. RAYON DE CONVERGENCE 167 Solution : Comme l suite ( n ) est bornée, nous vons R 1. D utre prt, comme e n est ps un nombre déciml, nous vons : n 0 N n n 0 n 1 En prticulier, l suite ( n ) ne tend ps vers 0 donc n diverge et R 1. Finlement, R = 1. Exercice: Même question vec n = #{k n, k nombre premier } Solution : Pour tout n 2, nous vons n 1 donc n diverge et R 1. Pr illeurs, nous vons 0 n n pour tout n N d où, pour tout r [0, 1[, 0 n r n nr n ce qui implique : n r n 0. En prticulier, ( n r n ) est bornée et donc R r. Comme r [0, 1[ étit rbitrire, nous en déduisons R 1. Finlement, R = 1. Proposition 10.2.6 Soient n z n, b n z n des séries entières de ryons resp. R et R b. Nous noterons R +b le ryon de convergence de l série somme (n + b n )z n. Alors, Si R R b, R +b = min(r, R b ). Si R = R b, R +b R. Dns ce dernier cs, l inéglité peut être stricte, comme le lecteur le constter en prennt n = 1+2 n et b n = 1 2 n : on R = R b = 1 2 et R +b = 1 > 1 2. Proposition 10.2.7 Soient n z n, b n z n des séries entières de ryons resp. R et R b. Nous noterons c n z n leur produit de Cuchy et R c son ryon de convergence. Alors R c min(r, R b ) et nous vons : ( + + ) ( + ) z C, z < min(r, R b ) = c n z n = n z n b n z n n=0 Démonstrtion: Il s git du produit de Cuchy de deux séries numériques bsolument convergentes. On peut voir R c > min(r, R b ) comme le montre l exemple suivnt : n 1, b 0 = 1, b 1 = 1 et b n = 0 pour tout n 2. Le lecteur vérifier que R = 1, R b = + et R c = +. Proposition 10.2.8 Une série entière et s série dérivée ont même ryon de convergence. n=0 n=0

168 CHAPITRE 10. SÉRIES ENTIÈRES Démonstrtion: Notons R et R les ryons de convergence de n z n et (n + 1)n+1 z n. Si z > R, dès que n+1 z nous vons (n+1) n+1 z n n+1 z n+1, cette dernière suite étnt non bornée pr définition de R. Nous en déduisons : {r 0, ( (n + 1) n+1 r n ) n N est bornée } [0, R], d où R R. Si z < R, choisissons ρ ]0, R z [ de sorte que 2 n ( z + ρ) n converge. D près l formule du binôme, nous vons l inéglité ( z +ρ) n+1 (n+1) z n ρ pour tout n N, si bien que : n N (n + 1) n+1 z n 1 ρ n+1 ( z + ρ) n+1, ce qui implique l convergence de (n + 1) n+1 z n, d où R R. 10.3 Continuité et dérivbilité Nous noterons S(z) = + n=0 nz n l somme de l série entière en tout point z où elle converge. Dns toute l suite, nous supposerons R > 0 si bien que S est définie u moins sur le disque ouvert D(R). Proposition 10.3.1 L somme S est continue sur D(R). Ceci résulte de l convergence normle donc uniforme de l série entière sur D(r), pour tout 0 < r < R. Si nous risonnions sur K = R, nous pourrions montrer que S :] R, R[ C est dérivble et même de clsse C. En fit, nous llons prouver un résultt beucoup plus fort en nous plçnt sur K = C. Définition 10.3.2 Soit U un ouvert de C, z 0 U et f : U C. On dit que f est holomorphe (ou encore dérivble u sens complexe) u point z 0 si l ppliction z f(z) f(z 0) z z 0 de U {z 0 } dns C dmet une limite lorsque z z 0. Dns ce cs, on dit que cette limite est l dérivée de f u point z 0 et l on note : f f(z) f(z 0 ) (z 0 ) = z z0 lim z z z z 0 0 Enfin, on dit que f est holomorphe sur U si f est holomorphe en tout point z 0 U.

10.3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ 169 Théorème 10.3.3 L ppliction somme S est holomorphe sur D(R) et z D(R) S (z) = + n=0 (n + 1) n+1 z n Démonstrtion: Soit z 0 D(R) ; nous choisissons r ] z 0, R[. Nous pouvons lors écrire, pour tout z D(r) {z 0 } : S(z) S(z 0 ) + z n z n + 0 = n = n (z n 1 + z 0 z n 2 + + z0 n 2 z + z0 n 1 ) z z 0 z z n=0 0 n=1 Considérons f n : D(r) C, z n (z n 1 + z 0 z n 2 + + z n 2 0 z + z n 1 0 ) ; pour tout n N, f n est mnifestement une ppliction continue. L série f n est normlement convergente sur D(r) cr et l série sup f n (z) n n r n 1 z <r n 1 n n r n 1 = n N (n + 1) n+1 r n converge puisque r < R et l série entière dérivée (n + 1) n+1 z n pour ryon de convergence R. Ainsi, + n=1 f n est continue sur D(r) et, en prticulier, ce qui s écrit encore : lim z z 0 + n=1 f n (z) = + n=1 f n (z 0 ), S(z) S(z 0 ) + + lim = n z z n z 0 0 n 1 = (n + 1) n+1 z0 n z z z z 0 0 n=1 n=0 Corollire 10.3.4 L ppliction somme S est infiniment dérivble u sens complexe sur D(R) et ses dérivées successives sont données pr : k N z D(R) S (k) (z) = + n=0 En prticulier, pour tout k N, S (k) (0) = k! k. (n + k)! n! n+k z n

170 CHAPITRE 10. SÉRIES ENTIÈRES Pr restriction à R, ce corollire entrîne évidemment que S :] R, R[ C est de clsse C et que k = S(k) (0) k! pour tout k N. Remrque: L holomorphie est une propriété très forte, en prticulier plus forte que l différentibilité. Considérons pr exemple une ppliction f : D(1) C et écrivons z = x+iy en l identifint à (x, y) grâce à l isomorphisme cnonique entre C et R 2 ; de même, écrivons f(z) = u(x, y) + iv(x, y) en l identifint à (u(x, y), v(x, y)). On peut montrer [GOU 314] que f est holomorphe sur D(1) ssi les pplictions u et v sont de clsse C 1 sur D(1) et vérifient les conditions de Cuchy : u x = v y et u y = v x 10.4 Principe des zéros isolés Théorème 10.4.1 Supposons qu il existe une suite (z p ) p N à vleurs dns D(R) {0} telle que z p 0 et S(z p ) = 0 pour tout p N. Alors n = 0 pour tout n N et donc S 0. Démonstrtion: On risonne pr l bsurde en supposnt que l suite ( n ) n est ps identiquement nulle, ce qui nous permet de définir : q = min{n N, n 0} Nous vons donc, pour tout z D(R), S(z) = + n z n = + + n+q z n+q = z q n+q z n n=q n=0 n=0 Appelons T (z) l somme de l série n+q z n, en remrqunt que celle-ci même ryon de convergence R > 0 que n z n puisque ces deux séries convergent ou divergent en même temps. Notre hypothèse implique que, pour tout p N, T (z p ) = 0 et donc, pr continuité de T en 0, T (0) = q = 0, d où une contrdiction. Nous en déduisons que ( n ) est identiquement nulle. Corollire 10.4.2 Soient n z n et b n z n deux séries entières de ryons de convergence respectifs R > 0, R b > 0 et de sommes respectives S, S b.

10.5. FORMULE DE CAUCHY, ÉGALITÉ DE PARSEVAL 171 Nous posons R = inf(r, R b ) et nous supposons qu il existe une suite (z p ) p N à vleurs dns D(R) {0} telle que z p 0 et p N S (z p ) = S b (z p ). Alors n = b n pour tout n N et donc S = S b. Appliction 10.4.3 L trnsformée de Lplce de l densité de Guss est donnée pr l églité : z C + e zx 1 2π e x2 2 dx = e z 2 2 10.5 Formule de Cuchy, églité de Prsevl Théorème 10.5.1 En reprennt les nottions précédentes, on l églité : r ]0, R[ n N 2π n r n = 2π 0 S(re iθ ) e niθ dθ Démonstrtion: Pr convergence normle, le membre de droite vut : + 2π p r p e i(p n)θ dθ p=0 0 Appliction 10.5.2 (Théorème de Liouville) On suppose R = +. Si S est bornée sur C, lors S est constnte. Démonstrtion: Posons M = sup z C S(z) < +. L formule de Cuchy et l inéglité tringulire dns une intégrle nous donnent, pour tout r > 0 et tout n N, 2π n r n 2πM. En prticulier, pour tout n N, n M et il suffit de fire tendre r vers r n l infini pour conclure. Exercice: [GOU 248] S il existe m N et C > 0 tels que S(z) C z m pour tout z C, lors S est un polynôme de degré inférieur ou égl à m. L idée est d introduire g(z) = + n=m nz n m de sorte que : z C g(z) = f(z) 0 1 z m 1 z m 1 z m On en déduit que g est entière et bornée donc constnte, ce qui signifie que n = 0 dès que n > m.

172 CHAPITRE 10. SÉRIES ENTIÈRES Terminons cette section pr une ppliction de l églité de Prsevl dns le cdre des séries entières. Théorème 10.5.3 (Églité de Prsevl) En reprennt les nottions précédentes, nous vons : r ]0, R[ + n=0 n 2 r 2n = 1 2π S(re iθ ) 2 dθ 2π 0 Démonstrtion: Pour r ]0, R[ fixé, définissons f : R C pr : θ R f(θ) = S(re iθ ) = + n=0 n r n e inθ de sorte que f est clirement continue et 2π-périodique. Grâce à l convergence de l série + n=0 n r n, on clcule fcilement les coefficients de Fourier de l ppliction f : n N c n (f) = n r n et n Z c n (f) = 0 On conclut lors grâce u théorème 9.4.4 pge 151. Remrque: On peut ussi démontrer le théorème de Liouville à prtir de ce dernier théorème.

Probbilités : Références pour corrigés des exercices. BIL Probbility nd Mesure. Billingsley. Wiley. BAR Probbilité. Brbe, Ledoux. Belin. COT Exercices de Probbilités. Cottrell et l. Editions Cssini. DAC 1 cours Probbilités et Sttistiques 1. Problèmes à temps fixe. Dcunh-Cstelle, Duflo. 2e édition. Editions Msson. DAC 1 exo Exercices de Probbilités et Sttistiques 1. Problèmes à temps fixe. Dcunh-Cstelle, Duflo. 3e tirge corrigé. Editions Msson. FOA Clcul des Probbilités. Fot, Fuchs. Editions Dunod. FEL 1 An Introduction to Probbility Theory nd its Applictions. Feller. Wiley 3rd edition. Volume I FEL 2 An Introduction to Probbility Theory nd its Applictions. Feller. Wiley 2nd edition. Volume II OUV Probbilités (2 tomes). Ouvrrd. Cssini REV Probbilités. Revuz. Editions Hermnn. Collection Méthodes. ROS Initition ux Probbilités. Ross. Presses polytechniques et universitires romndes. Troisième édition. RUD Anlyse réelle et complexe. Rudin. Editions Msson. 173

174 CHAPITRE 10. SÉRIES ENTIÈRES

Chpitre 11 Espces mesurés. Espces probbilisés. Dns les deux premières sections de ce chpitre, nous llons définir l structure d espce mesuré. Bien que l théorie bstrite de l intégrtion de Lebesgue repose sur cette structure, nous ne l développerons ps ici cr elle ne figure ps u progrmme officiel. En revnche, l structure d espce mesuré v nous mener u modèle fondmentl utilisé en clcul des probbilités, que l on ppelle l espce probbilisé. 11.1 Clns et tribus. 11.1.1 Définitions. Définition 11.1.1 Soit E un ensemble. On ppelle cln sur E un ensemble C de prties de E tel que les trois conditions suivntes soient stisfites : 1. E C 2. A C = A c = E A C 3. (A, B) C 2 = A B C Remrque: de E. Un cln sur E est encore ppelé lgèbre (de Boole) de prties De cette définition nous déduisons les propriétés immédites suivntes : 1. C 2. (A, B) C 2 = A B C 3. (A 1,, A n ) C n = n i=1 A i C et n i=1 A i C 175

176 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. 4. Si A et B sont des ensembles de C, lors leur différence A B = A B c est encore un ensemble de C. Un cs prticulier est celui où B A : on prle lors de différence propre. 5. Si A et B sont des ensembles de C, lors leur différence symétrique A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) est encore un ensemble de C. Définition 11.1.2 Soit E un ensemble. On ppelle tribu sur E un ensemble T de prties de E tel que les trois conditions suivntes soient stisfites : 1. E T 2. A T = A c T 3. (A n ) n N T N = n N A n T Remrque: prties de E. Une tribu sur E est encore ppelée σ-lgèbre (de Boole) de Comme = E c T, l stbilité pr union dénombrble nous donne ussi l stbilité de T pr union finie. Une tribu est donc un cln stble pr pssge à l union dénombrble. Une tribu est ussi stble pr pssge à l intersection dénombrble puisque : [ ] c A n = n N Exemples 1. L ensemble P(E) de toutes les prties de E est l plus grnde tribu sur E (u sens de l inclusion). On l ppelle tribu totle sur E. 2. L ensemble {, E} est l plus petite tribu sur E. On l ppelle tribu grossière sur E. 3. Sur R, l ensemble C des unions finies d intervlles de l forme n N A c n ], [, [, b[ ou [b, + [ est un cln et non une tribu. Le lecteur pourr montrer d bord l stbilité de C pr intersection finie vnt de prouver l stbilité pr pssge u complémentire. Il pourr remrquer ussi que tout élément de C un nombre fini de composntes connexes et donc que : [ n, n + 1 [ / C 2 n N

11.1. CLANS ET TRIBUS. 177 11.1.2 Clns et tribus engendrés. Proposition 11.1.3 L intersection d une fmille non vide (C i ) i I de clns sur E est encore un cln sur E. L intersection d une fmille non vide (T i ) i I de tribus sur E est encore une tribu sur E. Corollire 11.1.4 Soit E un ensemble quelconque de prties de E. Il existe un plus petit cln sur E (u sens de l inclusion) qui contienne E ; on l ppelle cln engendré pr E et on le note C(E). Il existe une plus petite tribu sur E (u sens de l inclusion) qui contienne E ; on l ppelle tribu engendrée pr E et on l note σ(e). Démonstrtion: L fmille des clns sur E contennt E n est ps vide cr elle contient P(E). L intersection de tous les clns sur E contennt E est donc encore un cln, il contient bien sûr E et est mnifestement le plus petit u sens de l inclusion ynt cette propriété. Un risonnement similire s pplique ux tribus sur E. Définition 11.1.5 Soient E et F des ensembles et f : E F une ppliction. Pour tout A F, on ppelle imge réciproque de A pr f et l on note f 1 (A) le sous-ensemble de E défini pr : Remrques f 1 (A) = {x E, f(x) A} 1. Nous utiliserons églement l nottion {f A} pour l imge réciproque de A pr f. 2. Si F est un ensemble de prties de F, nous noterons f 1 (F) l ensemble des prties de E de l forme f 1 (A), vec A F. Proposition 11.1.6 Soient E et F des ensembles et f : E F une ppliction. Si U est une tribu sur F, lors f 1 (U) est une tribu sur E ppelée tribu imge réciproque de U pr f. Démonstrtion: Nous consttons d bord que E = f 1 (F ) f 1 (U). Pour tout U U, nous vons l églité [f 1 (U)] c = f 1 (U c )

178 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. d où l stbilité de f 1 (U) pr pssge u complémentire. Enfin, si (U n ) U N, l églité n N f 1 (U n ) = f 1 ( n N U n ) nous donne l stbilité de f 1 (U) pr union dénombrble. 11.2 Mesures positives. 11.2.1 Définitions. Définition 11.2.1 On ppelle espce mesurble un couple (E, T ), où E est un ensemble et T une tribu sur E. Les éléments de l tribu T sont ppelés ensembles mesurbles. Définition 11.2.2 Soit (E, T ) un espce mesurble. On ppelle mesure positive sur (E, T ) une ppliction µ : T [0, + ] qui stisfit les deux conditions suivntes : 1. µ( ) = 0, 2. pour toute suite (A n ) n N d ensembles de T deux à deux disjoints, on l églité : ( ) µ = µ(a n ) n N Remrques n N A n 1. L 2 e condition intervennt dns cette définition s ppelle σ-dditivité. 2. Pour tout ensemble mesurble A T, on ppelle µ(a) l mesure de A. 3. Il est fréquent de dire simplement mesure u lieu de mesure positive. Nottion: Pour une suite (A n ) n N d ensembles dont nous urons prélblement vérifié qu ils sont 2 à 2 disjoints, nous emploierons l nottion : n N A n = n N A n

11.2. MESURES POSITIVES. 179 De l sorte, l propriété de σ-dditivité d une mesure se réécrit : ( ) µ = µ(a n ) n N n N A n Définition 11.2.3 On ppelle espce mesuré un triplet (E, T, µ), où µ est une mesure sur l espce mesurble (E, T ). Exemples 1. Soit E un ensemble. Sur l espce mesurble (E, P(E)), nous définissons une mesure µ, dite de comptge, en convennt que pour toute prtie A de E, µ(a) vut le crdinl de A (noté dns l suite #A). Le lecteur vérifier l σ-dditivité en distingunt les deux cs où le sous-ensemble n N A n est fini ou infini. 2. Soit E un ensemble non vide et E. Sur l espce mesurble (E, P(E)), nous définissons l mesure de Dirc u point, notée δ, comme suit : A P(E) δ (A) = 1 si A ; δ (A) = 0 si / A. Le lecteur vérifier fcilement l propriété de σ-dditivité en remrqunt que, si les (A n ) n N sont deux à deux disjoints, lors est élément u plus d un d entre eux. 11.2.2 Propriétés d une mesure. Additivité. Une conséquence immédite de l définition est l propriété d dditivité d une mesure : si A 1,, A n sont des ensembles mesurbles 2 à 2 disjoints, lors µ(a 1 A n ) = µ(a 1 ) + + µ(a n ). Il suffit en effet d ppliquer l définition 11.2.2 en prennt A k k n + 1. Cette propriété d dditivité nous donne l églité suivnte : = pour (A, B) T 2 µ(a) = µ(a B) + µ(a B) (11.1) En effet, l ensemble A est égl à l réunion des deux ensembles disjoints A B et A B. En prticulier, si B A, nous obtenons µ(a) = µ(a B) + µ(b), d où l propriété suivnte concernnt une différence propre : B A et µ(b) < + = µ(a B) = µ(a) µ(b)

180 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Comme l ensemble A B est réunion des ensembles disjoints B et A B, nous obtenons en utilisnt (11.1) : (A, B) T 2 µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). Si µ(a B) < +, nous pouvons églement écrire : Croissnce. µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B). (A, B) T 2 A B = µ(a) µ(b) En effet, on l églité : µ(b) = µ(a) + µ(b A). Sous-σ-dditivité. (A n ) T N µ ( n N A n ) n N µ(a n ) (11.2) Démonstrtion: Posons U 0 = et, pour n N, U n = A 1 A n et B n = U n U n 1 = A n U n 1. Pr construction, les ensembles B n sont deux à deux disjoints, on B n A n pour tout n N et : B n = A n. n N n N Nous en déduisons : ( ) ( µ = µ n N A n n N B n Pssge à l limite croissnte. ) = n N µ(b n ) n N µ(a n ) Si (A n ) T N est une suite croissnte u sens de l inclusion, c est-à-dire telle que A n A n+1 pour tout n N, nous convenons d dopter l nottion suivnte : n N A n = lim A n Pour toute suite (A n ) T N croissnte u sens de l inclusion, nous vons lors : µ(lim A n ) = lim µ(a n )

11.2. MESURES POSITIVES. 181 Démonstrtion: Si nous introduisons les mêmes ensembles que dns l démonstrtion précédente, l croissnce de l suite (A n ) T N nous donne ici : U n = A n = B 1 B n, d où µ(a n ) = µ(b 1 ) + + µ(b n ). Toujours en procédnt comme dns l démonstrtion précédente, nous en déduisons : ( ) ( ) µ = µ = µ(b n ) = lim µ(a n ). n N n N A n n N B n Pssge à l limite décroissnte. Si (A n ) T N est une suite décroissnte u sens de l inclusion, c est-à-dire telle que A n+1 A n pour tout n N, nous convenons d dopter l nottion suivnte : n N A n = lim A n Pour toute suite (A n ) T N décroissnte u sens de l inclusion, nous vons lors l impliction suivnte : Démonstrtion: A 1, nous vons : µ(a 1 ) < + = µ(lim A n ) = lim µ(a n ) Pour tout n N, posons C n = A 1 A n ; puisque A n µ(a 1 ) = µ(c n ) + µ(a n ). Puisque µ(a 1 ) < +, nous en déduisons que µ(c n ) < + et µ(a n ) < +, insi que l églité : µ(c n ) = µ(a 1 ) µ(a n ) (11.3) L suite (C n ) n N est croissnte et nous vons l églité ensembliste : n N C n = A 1 lim A n Pr pssge à l limite croissnte, puis en utilisnt (11.3), nous obtenons donc : µ (A 1 lim A n ) = lim µ(c n ) = µ(a 1 ) lim µ(a n ). Il nous reste à écrire, en utilisnt de nouveu µ(a 1 ) < + : pour obtenir l conclusion voulue. µ (lim A n ) = µ(a 1 ) µ (A 1 lim A n )

182 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Remrques 1. Il est fcile de constter que l condition µ(a 1 ) < + peut être remplcée dns l énoncé précédent pr : n N µ(a n ) < + 2. En revnche, si tous les A n sont de mesure infinie, l propriété précédente peut tomber en défut, comme le montre le contre-exemple suivnt. Si nous notons µ l mesure de comptge sur (N, P(N)) et si nous prenons A n = {k N, k n}, nous vons lim A n = d où µ(lim A n ) = 0 lors que lim µ(a n ) = +. 11.3 Appliction à l modélistion du hsrd. L objet de l théorie des Probbilités est de construire un modèle permettnt d étudier les phénomènes dépendnt du hsrd. Nous llons procéder en deux étpes en présentnt d bord un modèle simple, mis dont le chmp d ppliction ser limité, puis en le rffinnt pour boutir à notre modèle définitif. 11.3.1 Un modèle simple : le modèle dditif. L ensemble des résultts possibles. Qu est-ce que le hsrd? Comme nous enseignons les mthémtiques et non l philosophie, nous llons dopter une définition empirique, c est-à-dire bsée sur l expérience. Nous dirons qu une expérience (scientifique ou utre, de l vie cournte pr exemple) dépend du hsrd et nous l ppellerons expérience létoire du mot ltin le qui signifie jet de dés si elle produit un résultt que l on ne connît ps à l vnce mis qui en revnche pprtient à un ensemble connu à l vnce. Cet ensemble, ppelé ensemble des résultts possibles est noté trditionnellement Ω. Il peut être plus ou moins grnd suivnt l expérience considérée. Exemples : 1. Jeu de pile ou fce. Ω = {p, f}. 2. Jet de dé à 6 fces. Ω = {1, 2,, 6}.

11.3. APPLICATION À LA MODÉLISATION DU HASARD. 183 3. On joue à pile ou fce de fçon répétée et l on s intéresse u rng d pprition du premier pile. Ω = N. 4. Durée de vie d une btterie de voiture. Ω = R + ou Ω = [0, T ] vec T suffismment grnd. 5. Courbe d évolution de l tempérture sur une journée dns une sttion météo. Ω = C 0 ([0, T ], R). Dns les exemples 1 à 3, Ω est fini ou dénombrble : c est le cs discret. Dns les exemples 4 et 5, Ω est infini non dénombrble : c est le cs continu. L ensemble Ω est le premier ingrédient du modèle mthémtique que nous llons construire pour représenter le mieux possible notre expérience létoire. Nous llons mettre en oeuvre deux ingrédients supplémentires pour construire notre modèle dditif. L ensemble des événements. Une fois fite notre expérience létoire, nous nous trouvons devnt un certin résultt ω Ω. À prt peut-être le cs où Ω est très petit, il rrive très souvent que ce ne soit ps le résultt précis ω qui nous intéresse mis que l on cherche plutôt à répondre à l question : est-ce que ω pprtient à tel sous-ensemble donné de Ω?" Exemple: Durée de vie d un ordinteur. Si le constructeur vous grntit l mchine pendnt trois ns, il bien sûr d bord étudié l question suivnte : quelles sont les chnces pour que ω 3?" De l réponse à cette question dépendr le prix uquel il v vous fcturer l grntie. Dns cette exemple, l question intéressnte s écrit donc : ω A?" vec A = [3, + [ Ω = R +. Nous ppellerons événement un sous-ensemble A de Ω tel qu un observteur de l expérience est cpble de répondre à l question ω A?" Exemples Ω est l événement certin. est l événement impossible. Dès que nous llons mnipuler des événements, certins opérteurs ensemblistes vont pprître : L événement contrire de A est son complémentire A c = Ω A. L événement le résultt est dns A 1 ou A 2 " s écrit A 1 A 2 L événement le résultt est dns A 1 et A 2 " s écrit A 1 A 2 Nous trvillerons donc sur des intersections ou des unions finies d événements, insi que sur des complémentires d événements.

184 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Un observteur de l expérience étnt donné, il est donc nturel de supposer que l ensemble des prties de Ω dont il peut discerner l rélistion ou l non-rélistion près l expérience une structure de cln. Nous noterons dns l suite C le cln des événements discernbles pr notre observteur. Remrque: Plusieurs observteurs distincts peuvent être ssociés à une même expérience. Pr exemple, si le résultt de l expérience létoire qui nous intéresse est le temps (mesuré en secondes) mis pr une thlète pour courir un 100 mètres (prenons Ω = [0; 15]) et si un premier rbitre n est muni que d une montre à trotteuse tndis que le second se réfère à un dispositif électronique, nous vons C 1 C 2. Ainsi, l événement A = [0; 9, 73] qui se trduit en lngge cournt pr elle bttu le record du monde féminin du 9 septembre 2007 vérifie A C 2 mis A C 1. Probbilités. Nous vons tous l intuition que certins événements ont plus de chnces de se produire que d utres. Pr exemple, dns une loterie, il est plus probble de tirer un billet perdnt que de tirer le gros lot. Pour préciser cette intuition, nous souhitons ssocier à un événement donné un nombre réel qui mesure les chnces qu il se produise ; pr exemple, si l événement se produit vec une chnce sur deux (pile ou fce vec une pièce équilibrée), nous lui ssocierons le nombre 1/2. Nous ppellerons donc probbilité une ppliction P : C [0, 1] vérifint certines conditions que nous llons préciser mintennt. Tout d bord, Ω étnt l événement certin, nous demnderons P (Ω) = 1 (en lngge cournt, il y 100 chnces sur 100" qu il se produise). Ensuite, il est nturel d exiger l propriété d dditivité : A C, B C, A B = P (A B) = P (A) + P (B). Notons que l condition A B = les deux événements A et B sont disjoints est indispensble pour ne ps compter deux fois les mêmes résultts possibles. Une des risons pour lesquelles il est nturel de fire cette hypothèse d dditivité d une probbilité s ppelle : L loi empirique des grnds nombres Si nous pouvons répéter une même expérience un grnd nombre de fois dns

11.3. APPLICATION À LA MODÉLISATION DU HASARD. 185 des conditions identiques et que nous notions ϕ n (A) le nombre de fois où le résultt pprtenu à l événement A u cours des n premières répétitions de l expérience, nous nous ttendons à ce que le rpport ϕ n (A)/n (fréquence de rélistion de l événement A u cours des n premières répétitions de l expérience) tende vers une certine limite lorsque n ugmente. Intuitivement, c est cette limite que nous urions envie d ppeler probbilité que l événement A se rélise. Si nous dmettons qu une telle limite existe pour tout événement A et que nous l notions P (A), il est fcile de constter que nous vons insi défini une ppliction P : C [0, 1], dditive et telle que P (Ω) = 1. Le modèle dditif Nous pouvons donc modéliser une expérience létoire pr un triplet (Ω, C, P ), où Ω est un ensemble, C un cln sur Ω et P une ppliction dditive de C dns [0,1] telle que P (Ω) = 1. Ce modèle s vère en générl suffisnt lorsque l expérience létoire considérée ne mène qu à un nombre fini de résultts possibles, c est-à-dire lorsque le crdinl de Ω vérifie : #Ω < +. Lorsque Ω est fini, nous prendrons prtiquement toujours C = P(Ω), qui est le seul cln sur Ω contennt tous les singletons : ce cln d événements correspond à un observteur qui discerne le résultt précis ω de l expérience. Nous llons mintennt considérer un cs prticulier qui de nombreuses pplictions prtiques. Exemple: Probbilité uniforme sur un ensemble Ω fini. Nous nous plçons dns le cs où #Ω < + et nous prenons pour ensemble des événements C = P(Ω). Il existe une unique probbilité sur (Ω, C) qui ttribue les mêmes chnces à tous les résultts possibles (on dit lors qu on est en sitution d équiprobbilité). Elle est ppelée probbilité uniforme sur Ω et est définie pr : ω Ω, P ({ω}) = 1 #Ω. Pour tout événement A Ω, on lors : P (A) = #A #Ω = nombre de cs fvorbles nombre de cs possibles.

186 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Nous terminons ce sous-prgrphe pr une proposition crctérisnt les probbilités sur (Ω, P(Ω)) lorsque l ensemble des résultts possibles Ω est fini. Proposition 11.3.1 Soit n N et Ω = {ω 1,, ω n } un ensemble fini. Il existe une bijection entre l ensemble des probbilités P sur (Ω, P(Ω)) et l ensemble des n-uplets (p k ) 1 k n (R + ) n tels que : p k = 1. Cette bijection est donnée pr : 1 k n k {1,, n} p k = P ({ω k }). Démonstrtion: Dns le sens direct, il est évident que si P est une probbilité sur (Ω, P(Ω)), lors le n-uplet (p k ) 1 k n insi défini les propriétés voulues. Réciproquement, un tel n-uplet étnt donné, s il existe une probbilité P qui convienne, lors elle stisfit nécessirement l reltion suivnte pr dditivité : A P(Ω) P (A) = p k. k/ω k A Il est fcile de conclure en vérifint que l on bien défini insi une probbilité sur (Ω, P(Ω)). Exemples 1. Le cs le plus simple d espce de probbilité fini non trivil est donné pr #Ω = 2 et correspond à l modélistion du jeu de pile ou fce (vec une pièce éventuellement biisée). Il y lors bijection entre les probbilités sur (Ω, P(Ω)) et le segment [0, 1] : celle-ci est donnée pr l probbilité p [0, 1] que l pièce tombe sur pile. Formellement, on écrit en générl Ω = {0, 1} (pile étnt représenté pr 1 et fce pr 0) et l probbilité définie pr P ({1}) = p et donc P ({0}) = 1 p est ppelée probbilité de Bernoulli de prmètre p [0, 1]. 2. Pour tout n N et tout p [0, 1], on définit sur Ω = {0, 1,, n} (qui est donc de crdinl n+1) l probbilité binomile de prmètres n et p, notée P = B n,p, pr ( ) n k {0, 1,, n} B n,p ({k}) = p k (1 p) n k. k

11.3. APPLICATION À LA MODÉLISATION DU HASARD. 187 Nous verrons plus loin dns quel type de sitution l probbilité binomile pprît. 11.3.2 Modèle définitif : les espces probbilisés. Le modèle développé dns le prgrphe précédent s pplique bien u cs Ω fini, qui couvre un certin nombre de situtions courntes : jeux de hsrd, sondges d opinion, contrôles de qulité etc. Nénmoins, même vec un jeu ussi simple que le pile ou fce, on ne peut ps toujours se restreindre u cs #Ω < + : si nous étudions pr exemple le rng d pprition du premier pile lors de jets successifs, on est mené à prendre Ω = N puisqu il est impossible de borner à l vnce ce rng pr un entier fixé. Lorsque le temps intervient, nous voyons pprître nturellement des espces encore plus gros (infinis non dénombrbles) : durée de vie d un composnt électronique : Ω = R + évolution du cours d un ctif finncier : Ω = C 0 ([0, T ], R) déplcement d une prticule : Ω = C 0 ([0, T ], R 3 ) Le modèle du prgrphe précédent présente d utres insuffisnces : l structure de cln pour l ensemble C des événements et l dditivité d une probbilité sont des hypothèses trop fibles pour nous permettre de mener effectivement des clculs lorsque Ω est infini, comme nous llons le voir sur le simple exemple suivnt. Si nous revenons u rng du premier pile lors de jets successifs d une pièce équilibrée, une première question qui se pose est de svoir si ce rng est fini : peut-on obtenir fce indéfiniment? Intuitivement, cel prît extrêmement improbble et l on s ttend à ce que l probbilité en soit nulle. Plus précisément, il est nturel de fire le risonnement suivnt : l événement A n = { on obtenu fce lors des n premiers jets } est de probbilité 1/2 n et donc l événement A = { on obtient fce indéfiniment } pour probbilité lim 1/2 n = 0. Pour rendre ce risonnement rigoureux, il fudrit déjà que A = n A n soit effectivement un événement, ce qui n est ps ssuré sous l seule hypothèse : l ensemble des événements est un cln. Nous vons besoin de supposer que l ensemble des événements est une tribu. En outre, nous voudrions voir : A = lim A n P (A) = lim P (A n ). En pssnt ux événements complémentires, cel revient à demnder l propriété P (lim B n ) = lim P (B n ). Or, pour une ppliction dditive comme P, cette propriété est équivlente à l σ-dditivité : pour le voir, il

188 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. suffit d écrire, pour une suite (A n ) d événements deux à deux disjoints n A n = lim A k. n N Pour pouvoir mener nos clculs, nous llons donc imposer des contrintes supplémentires sur les éléments constitutifs de notre modèle : l ensemble des événements doit être une tribu (ou σ-lgèbre), que nous noterons désormis plutôt A, et P une ppliction σ-dditive. Nous en rrivons donc à l définition suivnte, qui décrit le modèle que nous utiliserons désormis. Définition 11.3.2 Une probbilité sur un espce mesurble (Ω, A) est une mesure positive sur cet espce telle que P (Ω) = 1. Le triplet (Ω, A, P ) est lors ppelé espce probbilisé (ou espce de probbilité). En d utres termes, un espce probbilisé est un espce mesuré de msse totle égle à 1. Notons que dns le cs #Ω < +, cette définition est équivlente à celle du prgrphe précédent. En effet, dns ce cs, A P(Ω) est fini si bien que A lgèbre et A σ-lgèbre sont équivlents, de même que P dditive et P σ-dditive. Comme nous n utiliserons le modèle dditif que dns le cs #Ω < +, nous le considérerons comme un cs prticulier de notre modèle générl. Contrirement à ce qui se pssit dns le cs #Ω < +, dns le cs générl, nous serons menés à considérer des tribus d événements A P(Ω). En effet, plus l tribu A est grnde, plus il est difficile de construire une mesure de probbilité sur celle-ci. Lorsque Ω est infini non dénombrble, P(Ω) est en générl trop grnd pour que l on puisse construire sur cette tribu une mesure de probbilité qui mène à un modèle stisfisnt. En fit, on souvent recours à une politique minimliste en prennt pour A l plus petite tribu (c est-à-dire l tribu engendrée) qui contienne les événements que nous voulons pouvoir observer. Dns le cs où Ω est infini dénombrble, nous vons l crctéristion suivnte d une probbilité sur (Ω, P(Ω)), que nous dmettrons. Proposition 11.3.3 Soit Ω = {ω n, n N} un ensemble infini dénombrble. Il existe une bijection entre l ensemble des probbilités P sur (Ω, P(Ω)) et l ensemble des suites (p n ) n N (R + ) N telles que : p n = 1. n N k=1

11.4. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES. INDÉPENDANCE D ÉVÉNEMENTS.189 Cette bijection est donnée pr : n N p n = P ({ω n }). Pr σ-dditivité, nous vons lors l reltion : A P(Ω) P (A) = k/ω k A Exemples Sur l espce mesurble (N, P(N)), on définit : 1. pour tout p ]0, 1[, l probbilité géométrique de prmètre p pr p k. n N P ({n}) = (1 p) p n. 2. pour tout λ > 0, l probbilité de Poisson de prmètre λ pr n N λ λn P ({n}) = e n!. Le choix d une probbilité P sur (Ω, A) qui colle u plus près à l rélité d une expérience létoire est une question suffismment vste pour fire l objet d une brnche entière des mthémtiques : l sttistique. Le fit qu un même espce probbilisble (Ω, A) puisse être muni de probbilités différentes correspondnt à des hsrds différents est illustré pr le prdoxe de Bertrnd, que vous trouverez en ligne pr exemple sur Wikipédi. 11.4 Probbilités conditionnelles. Indépendnce d événements. 11.4.1 Définition des probbilités conditionnelles. L notion de probbilité conditionnelle pprît nturellement lorsqu on possède une informtion prtielle sur le résultt d une expérience létoire. Exemple : À l Foire du Trône, un jeu de loterie est constitué d une urne contennt 80 billets perdnts et 20 billets ggnnts, dont 2 seulement donnent droit u gros lot. Je tire un billet u hsrd" (cette expression sous-entend que nous sommes en sitution d équiprobbilité) ; vec quelle probbilité vis-je ggner le gros lot? Nous pouvons représenter cette expérience létoire pr le modèle suivnt :

190 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Ω = {b 1,, b 100 } où b 1 et b 2 représentent les billets qui donnent droit u gros lot, b 3,, b 20 représentent des billets ggnnts ordinires et b 21,, b 100 des billets perdnts. A = P(Ω) l probbilité P est uniforme : i = 1, 2,, 100 P ({b i }) = 1/100 L événement qui nous intéresse est A = {b 1, b 2 } et nous obtenons donc imméditement : P (A) = 2/100. Imginons mintennt que juste près mon tirge et vnt que je ne découvre mon billet, le forin qui un signe de reconnissnce secret m ffirme : Vous vez tiré un billet ggnnt!" Schnt cel, je ne vis plus clculer m probbilité de l même fçon. Muni de ce renseignement, je sis que le résultt de l expérience pprtient à l ensemble E = {b 1,, b 20 }. Comme il y symétrie entre tous les billets, ils sont encore équiprobbles, d où le nouveu clcul de m probbilité : nombre de cs fvorbles nombre de cs possibles = 2 20 = 1 10 Nous consttons que l vleur de l probbilité n est plus l même cr, disposnt d une informtion supplémentire, nous vons en fit modifié le clcul comme suit : P (A) = #(A E) #E = P (A E) P (E) P est ppelée probbilité conditionnelle schnt E (i.e. schnt mon informtion prtielle). De fçon plus générle, nous vons l proposition suivnte : Proposition 11.4.1 Soit (Ω, A, P ) un espce de probbilité et E A un événement tel que P (E) > 0. L ppliction P E : A [0, 1] définie pr : A A P E (A) = P (A E) P (E) est une probbilité. On l ppelle probbilité conditionnelle à l événement E ou probbilité schnt E. On note s vleur sur un événement A comme suit : P (A E) = P E P (A E) (A) = P (E)

11.4. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES. INDÉPENDANCE D ÉVÉNEMENTS.191 Démonstrtion: C est bien une ppliction de A dns [0, 1] puisqu on : A E E 0 P (A E) P (E). De plus, on vérifie imméditement : P E ( ) = 0 et P E (Ω) = 1. Il nous reste à montrer que l ppliction P E est σ-dditive, ce qui résulte du clcul suivnt, vlble pour toute suite (A n ) A N constituée d événements 2 à 2 disjoints : P (( n A n) E)) P (E) = P ( n (A n E)) P (E) = n P (A n E) P (E) = n P (A n E) P (E) Remrque : Dns cette définition de l probbilité conditionnelle, l idée est que, étnt donnée l informtion prtielle E, l événement intéressnt n est plus l événement A de déprt mis plutôt A E. L ppliction A P (A E) est bien positive et σ-dditive mis n ps l bonne msse totle (i.e. l vleur 1 sur Ω). Pour en fire une probbilité, il suffit de l renormliser en divisnt pr P (E) mis ceci n est possible que si P (E) > 0. Exemple : On chnge les règles de l loterie : il y toujours 20 billets ggnnts sur 100 mis pour obtenir le gros lot, il fut d bord tirer un billet ggnnt puis il fut fire tourner une roue divisée en 5 prties égles dont une seule donne droit u gros lot. Quelle est l probbilité d obtenir celui-ci? Écrire le modèle serit un peu plus long : Ω = {b 1,, b 100 } {r 1,, r 5 } etc. Pour ggner du temps, pssons directement u clcul, en écrivnt les événements informellement : A = {le joueur ggne le gros lot} ; E = {le joueur tire un billet ggnnt}. Nous pouvons lors mener le clcul de l fçon suivnte : P (A) = P (A E) = P (A E)P (E) = 1 5 20 100 = 4 100. Nous venons d utiliser l formule P (A E) = P (A E)P (E) ; plus générlement nous vons l proposition suivnte. Proposition 11.4.2 Soient (A 1,, A n ) A n vec P (A 1 A n 1 ) > 0. Alors, on l églité : P (A 1 A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A n 1 )

192 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Démonstrtion: Le membre de droite s écrit pr définition d une probbilité conditionnelle : P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 A n ) P (A 1 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A n 1 ) et l on conclut pr simplifiction. 11.4.2 Formule de Byes. Proposition 11.4.3 (Formule des probbilités totles) Si E 1,, E n sont des événements tels que P (E i ) > 0 pour tout 1 i n et formnt une prtition de l ensemble Ω (i.e. 1 i n E i = Ω), lors on pour tout événement A A l églité suivnte : P (A) = n P (A E i )P (E i ) i=1 Démonstrtion: Ceci résulte des églités successives : ( P (A) = P A ( ) ( ) E i ) = P (A E i ) = 1 i n 1 i n P (A E i ) = 1 i n 1 i n P (A E i )P (E i ) Notons en prticulier que l formule des probbilités totles se réécrit dns le cs n = 2 : Soient deux événements E et A vec 0 < P (E) < 1. Alors, on l églité : P (A) = P (A E)P (E) + P (A E c )P (E c ) Nous déduisons de l formule des probbilités totles le théorème suivnt : Théorème 11.4.4 (Formule de Byes) Si E 1,, E n sont des événements de probbilités strictement positives, formnt une prtition de l ensemble Ω et si A est un événement tel que P (A) > 0, lors on l églité : P (E 1 A) = P (A E 1)P (E 1 ) n i=1 P (A E i)p (E i )

11.4. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES. INDÉPENDANCE D ÉVÉNEMENTS.193 Démonstrtion: Il suffit d écrire les églités : P (E 1 A) = P (A E 1) P (A) = P (A E 1)P (E 1 ) P (A) puis d ppliquer l formule des probbilités totles u dénominteur. Remrque : Revenons u cs prticulier n = 2. L formule de Byes s écrit lors : P (E A) = P (A E)P (E) P (A E)P (E) + P (A E c )P (E c ) Notons qu il n est donc ps possible de clculer P (E A) à prtir de l seule donnée de P (A E) ; il fut connître d utres quntités pour fire ce clcul. Exercice : Une mldie rre touche 1 personne sur 10000 dns l popultion frnçise. Qund cette mldie est présente, un test snguin permet de l détecter dns 99% des cs. En revnche, ce test produit des fux positifs dns 1 cs sur 1000. Le test d une personnes est positif. Quelle est l probbilité qu elle soit vriment tteinte de l mldie? Que pensez-vous de l qulité de ce test snguin? Solution : Définissons les événements : E = {l personne est tteinte de l mldie} ; A = {le test est positif} L énoncé nous fournit les données suivntes : P (E) = 10 4, P (A E) = 0, 99, P (A E c ) = 10 3 L formule de Byes nous permet lors de clculer : P (E A) = 0, 99 10 4 0, 99 10 4 + 10 3 0, 9999 1 11 Conclusion : À moins de vouloir provoquer beucoup de pnique inutile, le test est bon pour l poubelle! 11.4.3 Indépendnce d événements. Définissons les événements A = {u moins un scenseur du bâtiment Chevleret ser en pnne demin} et B = {l indice CAC40 v s effondrer demin}. Intuitivement, l rélistion (ou non-rélistion) de l événement A n ucune influence sur les chnces que l événement B se produise, ce qui s écrit P (A B) = P (A) ou encore P (A B) = P (A)P (B). De tels événements seront dits indépendnts.

194 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Définition 11.4.5 Deux événements A et B sont dits indépendnts s ils vérifient l églité : P (A B) = P (A)P (B) L notion d indépendnce est essentielle en clcul des probbilités ; elle fer souvent prtie de nos hypothèses en modélistion. Pr exemple, pour étudier l durée de vie d un circuit électronique constitué de plusieurs composnts élémentires, nous supposerons souvent que ces différents composnts tombent en pnne indépendmment les uns des utres. Remrque: Il est fcile de vérifier que si le couple (A, B) est constitué d événements indépendnts, lors il en est de même pour les couples suivnts : (A, B c ), (A c, B), (A c, B c ). Exemple: On tire une crte u hsrd dns un jeu de 52 et l on considère les événements A = {c est un roi} et B = {c est un coeur}. Nous clculons fcilement : P (A B) = 1 52, P (A) = 4 52 = 1 13, P (B) = 13 52 = 1 4. Nous en déduisons que les événements A et B sont indépendnts, conformément à l définition précédente. Plus générlement, dns un tel tirge, l figure et l couleur de l crte sont indépendntes. Définition 11.4.6 Soient (A 1,, A n ) A n des événements. Nous dirons que ces événements sont 2 à 2 indépendnts si pour tout (i, j) {1,, n} vec i j, on P (A i A j ) = P (A i )P (A j ). Nous dirons que ces événements sont mutuellement indépendnts (ou encore indépendnts dns leur ensemble) si pour toute sous-fmille d indices {i 1,, i k } {1,, n}, on : P (A i1 A i2 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ) Remrque: Des événements mutuellement indépendnts sont clirement indépendnts 2 à 2 mis l réciproque est fusse, comme nous llons le voir dns le contre-exemple ci-dessous. Autrement dit, l propriété de mutuelle indépendnce est plus forte que l propriété d indépendnce 2 à 2. Lorsqu un énoncé dit que des événements A 1,, A n sont indépendnts sns utre précision, c est toujours l indépendnce mutuelle, c est-à-dire l plus forte, qu il fut comprendre.

11.4. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES. INDÉPENDANCE D ÉVÉNEMENTS.195 Contre-exemple: On jette une pièce équilibrée 2 fois de suite et l on considère les événements : A = {on obtient pile u premier jet}, B = {on obtient pile u second jet}, C = {les résultts des deux jets sont différents}. Il est fcile de clculer : et P (A) = P (B) = P (C) = 1/2 P (A B) = P (A C) = P (B C) = 1/4. Nous en déduisons que les événements A, B et C sont indépendnts 2 à 2. En revnche, ces événements ne sont ps mutuellement indépendnts puisque : P (A B C) = P ( ) = 0 P (A)P (B)P (C). Proposition 11.4.7 Des événements (A 1,, A n ) A n sont mutuellement indépendnts si et seulement si on ( n ) P C i = i=1 n P (C i ), i=1 pour tous C i {Ω, A i, A c i, }, 1 i n. L démonstrtion est lissée à titre d exercice. Nous llons mintennt mettre en évidence une sitution générle dns lquelle l probbilité binomile pprît nturellement. Proposition 11.4.8 Soient A i, 1 i n, des événements indépendnts ynt tous l même probbilité p [0, 1]. Pour tout 0 k n, l probbilité que k exctement d entre eux soient rélisés est égle à : B n,p ({k}) = ( n k ) p k (1 p) n k Démonstrtion: Notons Θ l ensemble des prties de {1,, n} qui sont de crdinl k, de sorte que #Θ = ( n k). L événement dont nous voulons clculer l probbilité est le suivnt : [( ) ( )] A i θ Θ i θ i/ θ A c i

196 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Un instnt de réflexion montre qu il s git d une union d événements deux à deux disjoints, si bien que l probbilité cherchée s écrit : [( ) ( P A i θ Θ i θ À cuse de l hypothèse d indépendnce des A i, 1 i n, cette probbilité s écrit encore : ( ) n p k (1 p) n k = p k (1 p) n k k θ Θ Après voir défini l indépendnce d une fmille finie d événements, nous terminons ce prgrphe en pssnt u cs d une fmille infinie dénombrble. Définition 11.4.9 Une suite d événements (A n ) n N est dite indépendnte si pour toute sous-fmille finie d indices {i 1,, i k } N (vec k N ), on l églité : P (A i1 A i2 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ) i/ θ A c i )] 11.5 Exercices. 11.5.1 Clns. Indictrices Soit A un cln sur Ω ; on définit l fonction 1 A : Ω {0, 1} pr : 1 A (ω) = 0 si ω / A, 1 A (ω) = 1 si ω A. Montrer les églités suivntes : 1 A B = inf (1 A, 1 B ) = 1 A 1 B, 1 A B = sup (1 A, 1 B ) = 1 A + 1 B 1 A 1 B, 1 A c = 1 1 A, insi que l équivlence : ω Ω, 1 A (ω) 1 B (ω) A B. On rppelle que l différence symétrique est définie pr : A B = (A B) \ (A B) = (A c B) (A B c ). Montrer que : 1 A B = 1 A 1 B = 1 A + 1 B (mod 2) = 1 A + 1 B 2 1 A 1 B. En déduire que l différence symétrique est commuttive, ssocitive et que l intersection est distributive pr rpport à l différence symétrique.

11.5. EXERCICES. 197 Cln engendré pr une prtition. Soit (P 1,..., P n ) une prtition de Ω. Décrire le cln C qu elle engendre. Réunions d lgèbres. Montrer que l réunion d une suite croissnte d lgèbres est une lgèbre. Est-ce que l réunion d une suite quelconque d lgèbres est une lgèbre? *Description de l lgèbre engendrée. Soit E une fmille de prties d un ensemble Ω. Montrer que l lgèbre engendrée pr E est égle à l ensemble des réunions finies d intersections finies d éléments de E ou de complémentires d éléments de E (prties de l forme n i=1 mi j=1 E i,j, où i, j E i,j E ou (E i,j ) c E ). Remrque :Il est impossible de décrire de fçon nlogue l σ-lgèbre engendrée pr E. Qu est-ce qui ne se générlise ps dns l démonstrtion précédente? 11.5.2 Formule de Poincré. [FOA 17] Démonstrtion pr récurrence. Soit A une tribu sur Ω et P une probbilité sur A. On se donne une fmille finie (A 1,..., A n ) d éléments de A. Etblir pr récurrence l formule suivnte, dite de Poincré : P ( n i=1a i ) = 1 i n P (A i ) 1 i<j n Appliction : Indictrice d Euler P (A i A j )+...+( 1) n 1 P (A 1... A n ). [FOA 37-38] On choisit u hsrd un nombre prmi {1,..., n}, tous les choix étnt équiprobbles. Soit p un entier inférieur à n. On note A p l événement "le nombre choisi est divisible pr p". Clculer P (A p ) lorsque p divise n. Soit n = p α 1 1 p αr r l décomposition en fcteurs premiers de l entier n. Que représente l événement (A p1 A pr ) c?

198 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. On note φ(n) le nombre d entiers strictement inférieurs à n et premiers vec n. Montrer que l on φ(n) = n Appliction : Fcteur distrit. p premier, p n (1 1 p ). [FOA 38-39] Un fcteur dispose de n lettre dressées à n destintires distincts. Il fit l distribution u hsrd entre ces n personnes. Quelle est l probbilité de l événement "une lettre u moins prvient à son destintire"? En donner une pproximtion pour n ssez grnd. 11.5.3 Équiprobbilité. Trois dés. [COT 5-6] On jette trois dés à 6 fces bien équilibrés. Clculer l probbilité d obtenir u moins un s. Que vut l probbilité d obtenir u moins deux fces portnt le même chiffre? Clculer l probbilité que l somme des points mrqués sur les trois fces soit pire. Hppy birthdy to you! [FOA 31] Quelle est l probbilité que dns votre promotion deux grégtifs u moins ient leur nniversire le même jour? Remrque : Pour simplifier, on ne s occuper ps du 29 Février. Boules et cses. [DAC 1 exo pge 7] Soit Ω l ensemble des configurtions que l on peut obtenir en réprtissnt r boules indiscernbles dns n cses numérotées. 1. Montrer que le crdinl de Ω est égl u nombre de solutions (r 1,, r n ) N n de l éqution : r 1 + r 2 + + r n = r. 2. Montrer que ce nombre vut C r n+r 1 de 3 fçons différentes :

11.5. EXERCICES. 199 () pr récurrence sur n à l ide de l identité : Cn p = C p 1 n 1 + C p 1 + C p 1 p 1. 1 = (1 t) n n 2 + (b) en développnt ( en série entière les deux membres de l églité : ) n. k=0 tk (c) en identifint Ω à l ensemble des fçons d ordonner en ligne r boules indiscernbles et n 1 séprtions (indiscernbles ussi). 3. On réprtit u hsrd r boules indiscernbles dns n cses. Clculer l probbilité qu ucune cse ne soit vide. 11.5.4 Probbilités conditionnelles. Mldie rre. [COT 11] On considère une certine mldie qui touche 1/1000e de l popultion. Un lbortoire d nlyse de sng ssure vec une fibilité de 99% l détection de cette mldie lorsqu elle est effectivement présente. Cependnt, le test indique ussi un résultt fussement positif pour 0,2% des personnes réellement sines à qui on l pplique. Quelle est l probbilité qu une personne soit vriment mlde schnt que son test est positif? Commenter le résultt. Le rouge et le noir. [ROS 66-67] On considère 3 crtes à jouer de même forme mis de couleurs différentes : l première est noire des deux côtés, l seconde rouge des deux côtés, tndis que l troisième une fce noire et une fce rouge. On mélnge les trois crtes u fond d un chpeu puis on en tire une crte u hsrd, dont on ne montre qu une fce. Schnt que cette fce est rouge, quelle est l probbilité que l utre fce soit noire? Loi de succession de Lplce. [COT 15-16] On dispose de N + 1 urnes, numérotées de 0 à N. L urne numéro k contient k boules rouges et N k boules blnches. On choisit une urne u hsrd. Sns connître son numéro, on en tire n fois de suite une boule, vec remise près chque tirge. Quelle est l probbilité que le (n + 1) e tirge donne encore une boule rouge schnt que, u cours des n premiers tirges,

200 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. seules des boules rouges ont été tirées? Clculer l limite de cette probbilité lorsque N. Tux de pnne [COT 16-18] Soit T une vrible létoire prennt ses vleurs dns N telle que pour tout n N, P (T n) > 0. On ppelle tux de pnne l suite θ(n) = P (T = n T n), n N. 1. Clculer P (T = n) en fonction des θ(k), k n. 2. Etblir qu une suite de réels θ(k) convient comme tux de pnne ssi : k N 0 θ(k) < 1 et θ(k) = k=0 3. Montrer que T suit une loi géométrique ssi θ(k) = constnte pour tout k N. (On dit que T suit une loi géométrique de prmètre ]0, 1[ si pour tout k N, P (T = k) = (1 ) k.) 11.5.5 Événements indépendnts. Evénement uto-indépendnt. Montrer qu un événement A est indépendnt de lui-même ssi P (A) = 0 ou P (A) = 1. Bruit qui court. [COT 13] L personne I 1 reçoit l informtion 0 ou 1 et l trnsmet telle quelle à I 2 vec l probbilité p, I 2 de même à I 3, etc... I n l trnsmet u monde entier. On suppose que les n personnes I 1,..., I n sont indépendntes. Quelle est l probbilité p n que le monde reçoive l bonne informtion? Clculer lim n p n. Indictrice d Euler (bis). On choisit u hsrd un nombre prmi {1,..., n}, tous les choix étnt équiprobbles. Soit p un entier inférieur à n. On note A p l événement "le nombre choisi est divisible pr p".

11.5. EXERCICES. 201 1. Clculer P (A p ) lorsque p divise n. 2. On suppose que (p 1,..., p k ) sont des diviseurs premiers distincts de n, montrer que les événements A p1,..., A pk sont indépendnts. 3. On note φ(n) le nombre d entiers strictement inférieurs à n et premiers vec n. Montrer que l on Corrigé : φ(n) = n p premier, p n (1 1 p ). 1. Puisque p divise n (nottion : p n ), il existe un entier m tel que n = mp ; on lors : A p = {p, 2p,, mp}. On en déduit : P (A p ) = m n = 1 p. 2. Considérnt une sous-fmille A pi1,, A pil, nous remrquons que l j=1a pij = A Π l j=1 p ij, puisque les p ij sont premiers. Pour l même rison, ( l j=1 p i j ) n donc on peut ppliquer. pour obtenir : P ( l j=1a pij ) = 1 l j=1 p i j = ce qui prouve l indépendnce demndée. l P (A pij ), 3. Prenons ici p 1,, p k tous les diviseurs premiers de n. D près b), on : P ( k i=1a c p i ) = (1 1 p ). p premier, p n Or un entier pprtient à k i=1a c p i ssi il n est divisible pr ucun des diviseurs premiers de n, utrement dit ssi il est premier vec n. En pssnt ux probbilités, on en déduit : Loi de Hrdy-Weinberg. [REV 18](non corrigé) p premier, p n j=1 (1 1 p ) = φ(n) n.

202 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS. Les gènes se présentent le plus souvent en pires et sous deux formes llèliques A,, ce qui donne trois génotypes AA,A,. Ces génotypes s expriment pr différents phénotypes ; pr exemple, dns le cs de l lbinisme, les individus sont lbinos, contrirement ux individus AA ou A. Chque individu reçoit u hsrd un gène de chcun de ses prents et donc chque llèle composnt le gène d un des prents l probbilité 1/2 de psser à l enfnt. Les génotypes des prents sont indépendnts. On note p, q, r les probbilités qu un dulte, dns une popultion donnée, it les génotypes AA,A,. 1. Clculer les probbilités P, Q, R qu un enfnt it les génotypes AA,A, ( on pourr poser θ = p + q/2). 2. Montrer que Q 2 = 4P R. 3. A quelle condition sur p, q, r -t-on P = p, Q = q, R = r? Montrer qu elle est toujours rélisée dès l 2ème génértion. Corrigé : 1. Nous prenons pour espce Ω l ensemble des triplets (génotype de l enfnt, génotype du père, génotype de l mère). L événement "L enfnt un génotype AA" s écrit donc : {(AA, AA, AA); (AA, A, AA); (AA, AA, A); (AA, A, A)} et, d près les lois de l génétique rppelées dns l énoncé, dmet pour probbilité : P = p 2 + pq/2 + pq/2 + q 2 /4 = θ 2. Un risonnement symétrique (en échngent les lettres A et ) nous donne : R = r 2 + rq/2 + rq/2 + q 2 /4 = (1 θ) 2. Enfin, puisque P + Q + R = 1, on obtient : Q = 2θ(1 θ). 2. Cette reltion résulte imméditement de ce qui précède. 3. D près l question précédente, on nécessirement q 2 = 4pr. Réciproquement, si cette condition est vérifiée, les églitées obtenues dns l première question nous donnent : P = p 2 + pq + q 2 /4 = p 2 + pq + pr = p(p + q + r) = p et R = r 2 + rq + q 2 /4 = r 2 + rq + rp = r(p + q + r) = r. Il en résulte Q = q puisqu on : P + Q + R = p + q + r = 1. Finlement, l églité q 2 = 4pr est une condition nécessire et suffisnte de sttionnrité" des probbilités des différents génotypes u cours des génértions.

11.5. EXERCICES. 203 Ainsi, le résultt du 2) nous dit que dns tous les cs, l sttionnrité s étblit dès l deuxième génértion.

204 CHAPITRE 11. ESPACES MESURÉS. ESPACES PROBABILISÉS.

Chpitre 12 Vribles létoires réelles. 12.1 L tribu borélienne réelle Définition 12.1.1 Si (E, d) est un espce métrique, on ppelle tribu borélienne sur E et l on note B(E) l tribu engendrée pr l ensemble des ouverts de E. Les éléments de B(E) sont ppelés ensembles boréliens de E. Remrque: Nous consttons imméditement que B(E) est églement l tribu engendrée pr l ensemble des fermés de E. Si l espce métrique sous-jcent est égl à R muni de l distnce usuelle, nous prlerons de tribu borélienne réelle et nous l noterons donc B(R). On ne sit ps décrire explicitement tous les boréliens réels mis il ser suffisnt pour l suite de ce cours de svoir que B(R) contient tous les intervlles réels (fermés, ouverts, semi-ouverts) et leurs unions finies ou dénombrbles. On peut construire un sous-ensemble réel qui n est ps borélien mis ce n est ps si fcile...on peut églement démontrer que #B(R) = #R. Proposition 12.1.2 L tribu B(R) est engendrée pr chcun des ensembles suivnts de prties réelles : E 1 = {], b[, vec (, b) Q 2 et < b} E 2 = {], b], vec (, b) Q 2 et < b} E 3 = {[, b], vec (, b) Q 2 et b} E 4 = {], ], Q} E 5 = {], [, Q} Démonstrtion: 1. Puisque tous les éléments de E 1 sont des ouverts, on σ(e 1 ) B(R). Prouvons l inclusion inverse. 205

206 CHAPITRE 12. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. Tout ouvert de R est une union de boules ouvertes, c est-à-dire d intervlles de l forme ], b[, vec (, b) R 2 et < b. Pr densité de Q dns R, nous pouvons trouver une suite strictement décroissnte ( n ) Q N qui converge vers et une suite strictement croissnte (b n ) Q N qui converge vers b, de sorte que : ], b[= n N] n, b n [. Pr conséquent, tout ouvert de R est une union d intervlles ouverts de l forme ], b[, vec (, b) Q 2 et < b. L ensemble des intervlles ouverts à extrémités rtionnelles étnt dénombrble, nous vons prouvé que tout ouvert de R s écrivit comme une union dénombrble d éléments de E 1, d où B(R) σ(e 1 ). 2. On montre que σ(e 2 ) = σ(e 1 ) en utilisnt des églités de l forme : ], b] = ], b + 1 [ ; ], b[= ], b 1 n n ] n N n N 3. On montre que σ(e 3 ) = σ(e 2 ) en utilisnt des églités de l forme : [, b] = ] 1, b] ; ], b] = [ 1 n n, b] n N n N 4. On montre que σ(e 4 ) = σ(e 2 ) en utilisnt des églités de l forme : ], b] =], b] ], ] ; ], ] = n N ] n, ] 5. On montre que σ(e 5 ) = σ(e 4 ) en utilisnt des églités de l forme : ], ] = ], + 1 [ ; ], [= ], 1 n n ]. n N n N Remrque: Pr pssge ux complémentires, nous consttons imméditement que l tribu B(R) est ussi engendrée pr les demi-droites de l forme [, + [ (respectivement ], + [), vec Q.

12.2. LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES ET LEURS LOIS 207 12.2 Les vribles létoires réelles et leurs lois Dns toute l suite de ce chpitre, nous considérons un espce probbilisé (Ω, A, P ). Dns de très nombreuses situtions létoires, nous llons nous intéresser à une fonction du résultt ω de l expérience plutôt qu à ce résultt lui-même. Exemple : Un joueur lnce une fléchette en visnt le centre d une cible. Si nous prenons pour unité le ryon de l cible, nous pouvons modéliser ceci comme une expérience létoire dont le résultt est un élément ω du disque unité fermé : Ω = D(0, 1) = {ω R 2, ω 2 1 + ω 2 2 1}. En rélité, l seule chose qui nous intéresse vriment n est ps l position excte ω = (ω 1, ω 2 ) de l impct de l fléchette sur l cible mis seulement s distnce u centre de l cible, qui nous est donnée pr l vrible létoire réelle : X : Ω R ω = (ω 1, ω 2 ) ω1 2 + ω2 2 Pour mesurer l qulité de l performnce du joueur, on v se poser des questions telles que est-ce que X(ω) B?", où B est un sous-ensemble de [0, 1]. Pr exemple, on peut décider que le joueur ggné si X(ω) [0, 1 10 ]. Nous llons donc poser l définition suivnte. Définition 12.2.1 On ppelle vrible létoire réelle (en brégé v..r.) définie sur (Ω, A, P ) toute ppliction X : Ω R vérifint : B B(R) X 1 (B) A. (12.1) Rppelons que X 1 (B) est l prtie de Ω définie pr {ω Ω, X(ω) B} et que nous l notons encore sous l forme brégée {X B}. L définition précédente nous ssure que, pour tout borélien réel B, cel un sens de clculer l probbilité P ({X B}) que l on note plus simplement P (X B) puisque {X B} A. Pour vérifier qu une ppliction X : Ω R est une vrible létoire réelle, nous serons souvent menés à utiliser les deux propositions suivntes, que nous dmettrons.

208 CHAPITRE 12. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. Proposition 12.2.2 Soit E un ensemble de prties de R qui engendre l tribu B(R). Alors une ppliction X : Ω R est une vrible létoire réelle sur (Ω, A, P ) si et seulement si l condition suivnte est stisfite : B E X 1 (B) A. Nous pourrons ppliquer cette proposition vec chcune des clsses E 1,, E 5 définies dns l proposition 12.1.2 Pr exemple, le lecteur pourr montrer en utilisnt l clsse E 4 que, si X et Y sont deux vribles létoires réelles sur (Ω, A, P ), lors il en est de même de inf(x, Y ) et sup(x, Y ). Proposition 12.2.3 Muni des lois +,,, l ensemble des vribles létoires réelles définies sur (Ω, A, P ) est une lgèbre sur R. Connître les quntités de l forme P (X B) est très intéressnt cr cel mesure les chnces que l vleur prise pr l vrible X tombe dns tel ou tel sous-ensemble borélien réel (pr exemple, typiquement, un intervlle). Ainsi, si nous revenons à l exemple précédent, une informtion telle que P (X [0, 1 ]) = 0, 95 nous dit que le joueur est très hbile. 10 Théorème et définition 12.2.4 Considérons un espce probbilisé (Ω, A, P ) et une vrible létoire réelle X : (Ω, A) (R, B(R)). Alors l ppliction P X : B(R) [0, 1] définie pr : B B(R) P X (B) = P (X B) est une mesure de probbilité sur l espce mesurble (R, B(R)), ppelée loi de probbilité (ou simplement loi) de l v..r. X. Démonstrtion: Il est immédit d près l définition que P X est une ppliction de B(R)) dns [0, 1] telle que P X ( ) = P (X 1 ( )) = P ( ) = 0 et P X (R) = P (X 1 (R)) = P (Ω) = 1. Il nous reste donc à prouver l σ-dditivité de P X. Pour cel, nous considérons une suite (B n ) n N B(R) N telle que i j B i B j =. Nous llons montrer dns un premier temps que : X 1 ( n N B n ) = n N X 1 (B n ). En effet, on : X 1 ( B n ) = {ω Ω, n N, X(ω) B n } = X 1 (B n ) n N n N

12.2. LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES ET LEURS LOIS 209 et, pour i j, X 1 (B i ) X 1 (B j ) = X 1 (B i B j ) = X 1 ( ) =, d où le résultt voulu. Nous déduisons de cette première étpe les églités suivntes : ( ) ( ( )) ( ) P X B n = P X 1 B n = P X 1 (B n ) n N n N n N = P (X 1 (B n )) = P X (B n ), n N n N d où l conclusion. Remrque: C est l condition (12.1) définissnt une vrible létoire réelle X sur (Ω, A, P ) qui nous permis de trnsporter l probbilité P définie sur son ensemble de déprt en une nouvelle probbilité P X sur son ensemble d rrivée (R, B(R)). On dit prfois que P X est l probbilité imge de l probbilité P pr l vrible létoire X. L loi de X nous dit donc vec quelles chnces cette v..r. prend ses vleurs dns tel ou tel sous-ensemble borélien réel, en prticulier dns les intervlles. Exemple: Soit R fixé et l vrible constnte X. On donc P X ({}) = 1. C est l loi l plus simple qui soit : elle est constituée d une unique msse ponctuelle de poids 1 située u point. On l ppelle mesure de Dirc u point et on l note δ. C est l mesure définie sur tout A B(R) pr δ (A) = 1 si A et δ (A) = 0 si / A. Remrque: Il est fréquent d utiliser de fçon interchngeble les termes mesure de probbilité et loi de probbilité sur (R, B(R)). En effet, pr définition même, l loi de probbilité d une v..r. est bien une mesure de probbilité sur (R, B(R)). Mis réciproquement, nous pouvons fire pprître n importe quelle mesure de probbilité µ sur (R, B(R)) comme l loi d une certine vrible létoire que nous llons construire mintennt. Prenons pour espce probbilisé (Ω, A, P ) = (R, B(R), µ) et définissons X comme étnt l ppliction identité sur Ω = R. Le lecteur vérifier isément que X est une vrible létoire réelle et que l loi de X est égle à µ.

210 CHAPITRE 12. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. 12.3 Fonction de réprtition d une vrible létoire réelle A priori, pour déterminer l loi d une v..r. X, il fut connître l vleur de P (X B) pour tout borélien réel B. En fit, nous llons voir dns ce prgrphe qu il suffit de connître P (X B) pour des boréliens réels bien prticuliers : les demi-droites B =], x], x R. Nous ne démontrerons ps complètement ce résultt cr nous dmettrons le résultt intermédiire suivnt : l loi d une v..r. X est entièrement déterminée pr ses vleurs sur tous les intervlles réels. Définition 12.3.1 On ppelle fonction de réprtition (en brégé f.r.) de l v..r. X l ppliction F X : R [0, 1] définie pr : x R, F X (x) = P (X x) Remrque: On peut très bien prler de fonction de réprtition de l loi de X cr en rélité F X ne dépend que de P X : x R F X (x) = P (X ], x]) = P X (], x]). Ainsi, une utre fçon de présenter cette notion consiste à définir d bord l fonction de réprtition d une mesure de probbilité µ sur (R, B(R)) pr : x R F µ (x) = µ(], x]) puis à dire que l fonction de réprtition d une vrible létoire réelle est égle pr définition à celle de s loi de probbilité. Le théorème suivnt nous dit que l connissnce de l fonction de réprtition d une loi de probbilité sur (R, B(R)) détermine cette loi de fçon unique. Théorème 12.3.2 Si deux vribles létoires réelles X et Y ont même fonction de réprtition, lors elles ont même loi : F X = F Y = P X = P Y Autrement dit, l ppliction qui à une loi ssocie s fonction de réprtition est injective.

12.3. FONCTION DE RÉPARTITION D UNE V.A.R. 211 Démonstrtion: Connître F X, c est connître l vleur de l loi P X sur les demi-droites ], x], x R. Nous llons montrer que ceci suffit à clculer l vleur de P X sur n importe quel intervlle réel I et nous dmettrons que l loi P X est lors prfitement déterminée sur tous les boréliens réels B. Nous énumérons les différentes formes possibles pour l intervlle I et donnons à chque fois une formule de clcul de P X (I) à prtir de l connissnce de F X. Si I est une demi-droite de l forme ], x], c est un cs évident puisque pr définition P X (], x]) = F X (x). Si I est une demi-droite ouverte de l forme ], x[,pr pssge à l limite croissnte dns une probbilité, nous pouvons écrire l églité : P X (], x[) = lim n P X (], x 1 n ]) = lim n F X(x 1 n ) Pr pssge u complémentire dns ces deux premiers cs, nous tritons les demi-droites de l forme ]x, + [ ou [x, + [. P X (]x, + [) = 1 P X (], x]) = 1 F X (x) P X ([x, + [) = 1 P X (], x[) = 1 lim n F X (x 1 n ) Nous pouvons mintennt triter les cs où I est un intervlle borné, en le fisnt pprître comme différence propre de demi-droites. Soient et b deux réels tels que b. P X (], b]) = P X (], b] ], ]) = P X (], b]) P X (], ]) = F X (b) F X () De l même fçon, on trouve : P X ([, b]) = P X (], b]) P X (], [) = F X (b) lim n F X ( 1 n ) Nous lissons u lecteur le soin de triter de fçon similire les cs restnts. Comment utiliser ce théorème? Dns l suite, nous citerons un certin nombre de lois de probbilité clssiques, c est-à-dire d un usge fréquent en clcul des probbilités. Pour l pluprt d entre elles, il est possible de clculer explicitement les fonctions de réprtition correspondntes. Une fçon de déterminer l loi d une v..r. X ser de clculer s fonction de réprtition. Si nous reconnissons lors l fonction de réprtition d une loi clssique, en

212 CHAPITRE 12. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. vertu du théorème précédent, nous pourrons ffirmer que l loi de X est égle à cette loi clssique. Nous terminons cette section pr un théorème permettnt de crctériser les fonctions de réprtition d une loi de probbilité sur (R, B(R)) ou encore les fonctions de réprtition des vribles létoires réelles, ce qui revient u même d près l remrque qui termine l section précédente. Théorème 12.3.3 Considérons une ppliction F : R R. Alors F est l fonction de réprtition d une loi de probbilité sur (R, B(R)) si et seulement si elle possède simultnément les qutres propriétés suivntes : F est croissnte, continue à droite et vérifie lim F (t) = 0 et lim t F (t) = 1. t + Démonstrtion: Le sens direct ser démontré en cours. Le sens réciproque est dmis. L section et le chpitre suivnts concernent deux types prticulièrement intéressnts de vribles létoires réelles : les vribles discrètes et les vribles dmettnt une densité. Notons que ces deux types sont loin de couvrir toutes les possibilités concernnt les v..r. Ce sont simplement deux cs prticuliers importnts et eux seuls figurent u progrmme officiel. 12.4 Vribles discrètes Une vrible létoire réelle définie sur (Ω, A, P ) est dite discrète si le sous-ensemble réel X(Ω) est fini ou dénombrble. Autrement dit, une v..r. est dite discrète si elle ne prend qu un nombre fini ou dénombrble de vleurs. C est un cs prticulièrement simple et si nous notons X(Ω) = {x 0,, x n, } (dns le cs dénombrble), lors l loi de l vrible létoire X est entièrement déterminée pr l donnée de l suite (p n ) n N définie pr : n N p n = P (X = x n ). Cette suite est bien sûr à vleurs positives ou nulles et telle que + n=0 p n = 1 et le lecteur pourr fire le rpprochement vec l proposition 11.3.3. Le lecteur est invité à se référer à [DAN 418-436] qui trite de fçon exhustive les notions du progrmme officiel qui sont reltives ux vribles

12.4. VARIABLES DISCRÈTES 213 létoires discrètes, en prticulier les lois discrètes usuelles suivntes : Bernoulli, binomile, hypergéométrique, géométrique, Poisson. Nous n écrirons ici que l définition de l espérnce d une vrible discrète et le théorème de trnsfert dns le cs discret. Définition 12.4.1 Soit X une vrible létoire réelle discrète telle que X(Ω) = {x 0,, x n, }. On ppelle espérnce de l vrible X le nombre réel : E[X] = + n=0 x n P (X = x n ), dès lors que cette série est bsolument convergente. On dit lors que l vrible X dmet une espérnce (ou encore qu elle est intégrble). Théorème 12.4.2 (de trnsfert, cs discret) Soit ψ : R R une ppliction ; lors l vrible létoire ψ(x) dmet pour espérnce le nombre réel E[ψ(X)] = ψ(x n )P (X = x n ) n dès que cette série est bsolument convergente. Un outil très utile pour étudier les vribles létoires à vleurs dns N est présenté mintennt sous l forme d un problème corrigé. Problème : Fonctions génértrices X à vleurs dns N. On considère une vrible létoire 1. Montrer que pour tout s [ 1, 1], l vrible létoire s X dmet une espérnce (on pose s 0 = 1 pour tout s ) et que l on : E[s X ] = n=0 P (X = n) sn. On noter G X (s) = E[s X ] et l on ppeller G X l fonction génértrice de X. 2. Montrer que X et Y ont même loi si et seulement si G X = G Y. 3. Clculer les fonctions génértrices des lois suivntes : () Bernouilli de prmètre p [0, 1]. (b) Géométrique de prmètre ]0, 1[. (c) Poisson de prmètre λ. 4. Si X et Y sont deux vribles indépendntes, clculer G X+Y en fonction de G X et G Y. En déduire : () l fonction génértrice d une loi binomile de prmètres (n, p) N [0, 1].

214 CHAPITRE 12. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. (b) l loi de l somme de deux vribles indépendntes suivnt des lois de Poisson de prmètres respectifs λ et µ. 5. Montrer que si X est intégrble, lors G X est dérivble sur [ 1, 1], de dérivée : G X (s) = E[XsX 1 ]. En déduire les espérnces des lois introduites dns l question 3. Corrigé : 1. Pour tout s [ 1, 1], nous vons l inéglité P (X = n)s n P (X = n) qui entrîne l bsolue convergence de l série P (X = n)s n n=0 donc s X est intégrble et dmet pour espérnce E[s X ] = P (X = n)s n. n=0 2. L églité obtenue dns l question précédente nous donne le développement en série entière de G X sur [-1,1]. En prticulier, G X dmet des dérivées à tous les ordres u point s = 0 et l on, pour tout n N : P (X = n) = G(n) X (0) n! Il en résulte que G X = G Y = P X = P Y ; l réciproque est évidente. L fonction génértrice de X crctérise donc l loi de X. 3. () G X (s) = 1 p + ps. (b) G X (s) = + n=0 (1 )n s n = 1 1 s. (c) G X (s) = + λn n=0 e λ n! sn = e λ(1 s). 4. On pr définition : G X+Y (s) = E[s X+Y ] = E[s X s Y ]. Si X et Y sont indépendntes, on en déduit, en utilisnt une propriété des vribles discrètes indépendntes énoncée dns [DAN 427] : s [ 1, 1] G X+Y (s) = E[s X ]E[s Y ] = G X (s)g Y (s) On peut églement fire une preuve directe sns utiliser cette propriété, en considérnt le produit de Cuchy de deux séries entières bsolument convergentes [DAN 430].

12.4. VARIABLES DISCRÈTES 215 () Une récurrence immédite prouve que si X 1,, X n sont des vribles létoires à vleurs dns N indépendntes, lors : s [ 1, 1] G X1 + +X n (s) = G X1 (s) G Xn (s). En prticulier, si X 1,, X n suivent l loi de Bernoulli de prmètre p, lors X 1 + + X n suit l loi binomile de prmètres (n, p), dont l fonction génértrice vut donc (en utilisnt 3()) : G(s) = (1 p + ps) n. (b) Si X P(λ) et Y P(µ) sont indépendntes, lors l églité obtenue en 3(c) nous permet d écrire : G X+Y (s) = G X (s)g Y (s) = e λ(1 s) e µ(1 s) = e (λ+µ)(1 s). On reconnît l fonction génértrice de l loi P(λ + µ), ce qui d près l question 2 prouve que X + Y suit l loi de Poisson de prmètre λ + µ. 5. D près l première question, l série entière qui définit l fonction génértrice de l vrible létoire X : G X (s) = P (X = n)s n n=0 un ryon de convergence R 1. Nous en déduisons que G X dérivble sur ] 1, 1[ et que : est s ] 1, 1[ G X(s) = P (X = n)ns n 1. Notre hypothèse d intégrbilité sur X équivut à l convergence de l série à termes positifs suivnte : n=1 np (X = n). n=1 Un résultt clssique sur les séries entières nous permet d en déduire que l série : P (X = n)ns n 1 n=1 converge uniformément sur [0,1] vers une ppliction continue. En prticulier, G X (s) dmet une limite qund s 1 et nous svons que

216 CHAPITRE 12. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES. cel entrîne l dérivbilité à guche de G X l églité : u point 1, insi que G X(1) = lim s 1 G X(s) = lim s 1 P (X = n)ns n 1 = n=1 np (X = n) = E[X]. Dns les trois exemples suivnts, nous llons donc utiliser l églité : E[X] = G X(1). n=1 Si X Bernouilli(p), G X (s) = 1 p donc E[X] = 1 p. Si X Géom(), G (1 ) X (s) = donc E[X] =. (1 s) 2 1 Enfin, pour X P(λ), G X (s) = λe λ(1 s) d où E[X] = λ.

Chpitre 13 Vribles à densité À l extrême opposé d une vrible létoire discrète, dont l loi n est fite que de msses ponctuelles, l loi d une vrible létoire bsolument continue correspond à une réprtition continue de msse sur l droite réelle et en prticulier n dmet ucune msse ponctuelle. Plus précisément, si nous reprenons l nlogie entre une loi sur R et une réprtition de msse sur un fil infiniment long et infiniment mince de msse totle 1, nous llons mintennt nous intéresser à l sitution correspondnt à un fil dmettnt une densité de msse linéique, à svoir une ppliction f à vleurs dns R + telle que l msse du segment élémentire [x, x + dx] soit f(x) dx. Nous rencontrerons des vribles létoires bsolument continues dns de nombreuses situtions de modélistion où interviennent des grndeurs continues comme le temps (1er instnt de pnne d une mchine, temps d ttente à un guichet etc.), l espce (mesure d une longueur perturbée pr de petites erreurs létoires) ou utre (pression tmosphérique mesurée dns une sttion météo). 13.1 Définitions Définition 13.1.1 On ppelle densité de probbilité sur R toute ppliction f C M (R, R + ) telle que : + f(x) dx = 1. Définition 13.1.2 Soit f une densité de probbilité sur R. On dit qu une vrible létoire réelle X dmet f pour densité si, pour tout intervlle réel I, on l églité : P (X I) = f(x) dx. 217 I

218 CHAPITRE 13. VARIABLES À DENSITÉ Remrques 1. Nous vons dmis que l connissnce des quntités P (X I) pour tout intervlle réel I déterminit entièrement l loi de X. Ainsi, si X dmet l densité f, s loi P X est entièrement déterminée. On dit que P X est l loi de densité f ou encore que X suit l loi de densité f. 2. Il n est ps nécessire de vérifier à l vnce que f est une densité de probbilité sur R mis seulement que f C M (R, R + ). En effet, en ppliqunt l églité précédente vec I = R, on en déduit que f est bien une densité de probbilité. 13.2 Exemples clssiques de lois à densité L loi uniforme sur [,b] C est l loi de densité f(x) = 1 1 b [,b](x) (on vérifie imméditement que f C M (R, R + ) et f(x) dx = 1). R Cette loi est notée U([, b]). Elle correspond à l expression tirer un nombre u hsrd entre et b". L fonction rndom d une clcultrice ou d un ordinteur est censée simuler une telle loi pour = 0 et b = 1. Si l v..r. X dmet f pour densité, on dit qu elle suit l loi uniforme sur [, b] et l on note X U([, b]). L loi exponentielle Soit λ > 0 fixé. L ppliction f λ définie pour tout x R pr : f λ (x) = λe λx 1 R + (x) est une densité de probbilité sur R. En effet, on constte fcilement que f λ C M (R, R + ) et nous clculons : + f λ (x) dx = + 0 λe λx dx = [ e λx ] + 0 = 1 On ppelle loi exponentielle de prmètre λ l loi de densité f λ. Comme nous le verrons dns l exercice 13.6.2, cette loi est crctérisée pr son bsence de mémoire. Pr exemple, l durée de vie d un mtériel idél qui ne subirit ucun vieillissement est une vrible létoire exponentielle.

13.2. EXEMPLES CLASSIQUES DE LOIS À DENSITÉ 219 L loi gussienne (ou loi normle) Nous montrerons plus trd que l ppliction f définie pr : x R, f(x) = 1 e x2 2 2π vérifie bien R f(x) dx = 1. Comme il est clir que f C M(R, R + ) (elle est même continue), l ppliction f représentée ci-dessous est une densité de probbilité ppelée densité gussienne (ou normle) centrée réduite. L loi ssociée est notée N (0, 1). Figure 13.1 L densité gussienne centrée réduite Si nous fixons deux prmètres µ R et σ > 0, nous déduisons de ce qui précède que l ppliction f µ,σ définie pr : 1 (x µ)2 x R, f µ,σ (x) = e 2σ 2 2πσ 2 est ussi une densité de probbilité (il suffit de fire un simple chngement de vrible dns une intégrle pour le voir). On l ppelle densité gussienne (ou normle) de prmètres µ et σ 2. L loi ssociée est notée N (µ, σ 2 ). L loi de Cuchy Pour tout > 0 fixé, nous définissons l ppliction f pr : x R, f(x) = 1 π 2 + x. 2 On bien sûr f C M (R, R + ) (elle est même continue) et l on clcule : + f (x) dx = 1 π [rctn x ]+ = 1 L ppliction f est donc une densité de probbilité ppelée densité de Cuchy de prmètre. L loi ssociée est notée C().

220 CHAPITRE 13. VARIABLES À DENSITÉ 13.3 Fonction de réprtition Proposition 13.3.1 Une vrible létoire X dmet f pour densité si et seulement si s fonction de réprtition est donnée pr : x R F X (x) = x f(t) dt. Remrque: Il n est ps nécessire de vérifier à l vnce que f est une densité de probbilité sur R mis seulement que f C M (R, R + ). En effet, en fisnt tendre x vers l infini dns l églité précédente, on obtient + f(t) dt = 1 et donc f est bien une densité de probbilité. Démonstrtion: Dns le sens direct, cel résulte de l définition précédente vec I =], x]. Dns le sens réciproque, cel résulte de ce que l fonction de réprtition crctérise l loi d une vrible létoire réelle. Proposition 13.3.2 Soit X une vrible létoire réelle de fonction de réprtition F X et f C(R, R + ). Alors l vrible X dmet f pour densité si et seulement si F X est dérivble sur R vec : x R F X(x) = f(x). Démonstrtion: Supposons que X dmet l densité f. Alors l fonction de réprtition de X est donnée pr : x R F X (x) = x f(t) dt. Comme f est continue, nous en déduisons que F X est dérivble sur R et que F X = f. Dns le sens réciproque, puisque F X est une primitive de f, nous vons pour tous réels w x : x w f(t) dt = F X (x) F X (w).

13.3. FONCTION DE RÉPARTITION 221 Si nous fisons tendre w vers dns l églité précédente, nous obtenons grâce u théorème 12.3.3 : x R x f(t) dt = F X (x). Pour conclure, en vertu de l remrque précédente, il nous reste donc simplement à montrer que f est bien une densité de probbilité. Comme nous svons déjà que f C(R, R + ), il reste à prouver que : + f(x) dx = 1, ce qui résulte de l églité précédente, dns lquelle nous fisons tendre x vers +, en utilisnt de nouveu le théorème 12.3.3 Remrque: Cet énoncé dmet une générlistion u cs f continue pr morceux. Le lecteur pourr consulter [DAN 408] à ce sujet. À titre d ppliction, nous llons démontrer l proposition suivnte : Proposition 13.3.3 Soit X une v..r. dmettnt l densité f. Nous définissons l v..r. Y = σx + µ, où µ R et σ > 0 sont deux prmètres fixés. Alors Y dmet l densité f µ,σ définie pr l formule : x R, f µ,σ (x) = 1 σ f ( x µ σ Démonstrtion: Clculons l f.r. de Y pour tout t R : ( F Y (t) = P (Y t) = P (σx + µ t) = P X t µ ) σ ) (13.1) En utilisnt le théorème précédent dns le sens direct, (i) (ii), nous en déduisons : F Y (t) = t µ σ f(x) dx Dns cette intégrle, nous effectuons le chngement de vrible y = σx+µ x = y µ, ce qui nous donne : σ t ( ) y µ 1 F Y (t) = f σ σ dy

222 CHAPITRE 13. VARIABLES À DENSITÉ Ceci étnt vri pour tout réel t, l proposition 13.3.1 nous permet d en déduire que l ppliction f µ,σ définie pr l formule (13.1) est une densité de probbilité et que Y suit l loi de densité f µ,σ. Voici une deuxième ppliction de l proposition 13.3.2 : Soit X v..r. de loi uniforme sur ] π, π [. Que vut l loi de Y = tn X? 2 2 Clculons l f.r. de Y pour tout t R : F Y (t) = P (Y t) = P (X rctn t) = rctn t π 2 1 π dx = rctn t + π 2. π L proposition 13.3.2 nous permet lors de conclure vec f(x) = 1 1 en π 1+x 2 ffirmnt que Y dmet f pour densité. Autrement dit, Y suit l loi de Cuchy de prmètre 1. Remrque : L fonction de réprtition d une v..r. de densité f s écrivnt F X (t) = t f(x) dx, c est en prticulier une ppliction continue, d où le qulifictif continue donné à l v..r. Pourquoi précise-t-on v..r. bsolument continue? Prce que les v..r. dmettnt une densité ne sont qu un cs prticulier de vribles dont l f.r. est continue. C est nénmoins le seul type de vribles continues que nous exminerons dns le cdre de ce cours. 13.4 Espérnce. Théorème de trnsfert Définition 13.4.1 Soit X une vrible létoire réelle de densité f. On ppelle espérnce de X le nombre réel E[X] = + xf(x) dx, dès lors que cette intégrle impropre est bsolument convergente. Nous énonçons simplement ici un importnt résultt sur lequel nous reviendrons plus précisément dns le chpitre suivnt dns le cs des vecteurs létoires. L impliction 1 2 s ppelle le théorème de trnsfert pour une vrible létoire réelle à densité. Proposition 13.4.2 Soit X une vrible létoire réelle et f : R R + une ppliction intégrble sur R. Alors il y équivlence entre les deux propositions suivntes :

13.5. MOMENTS D UNE VARIABLE ALÉATOIRE 223 1. L ppliction f est une densité de probbilité sur R et l vrible létoire réelle X dmet f pour densité. 2. Pour toute ppliction ψ C M (R, R) telle que ψ f soit intégrble sur R, l vrible létoire ψ(x) dmet pour espérnce : E[ψ(X)] = ψ(x)f(x) dx. Remrque: L vrible létoire ψ(x) n dmet ps forcément de densité, comme nous le consttons en prennt ψ 0. Le lecteur est invité à consulter [DAN 438-450] pour des exemples et propriétés de vribles à densité (que Dntzer ppelle des vribles continues). R 13.5 Moments d une vrible létoire Le lecteur pourr étudier dns le livre d ESCOFFIER ou dns le tome 1 d OUVRARD (pr exemple) les notions de moments, vrince et écrt-type d une vrible létoire réelle en distingunt le cs discret et le cs où l vrible dmet une densité. Une ppliction importnte de l notion de vrince est l inéglité de Bienymé- Tchebychev, qui est une clé dns l démonstrtion de l loi fible des grnds nombres. Dns l énoncé suivnt, l v..r. X est soit discrète, soit à densité. Proposition 13.5.1 (Inéglité de Bienymé-Tchebychev) Considérons une vrible létoire réelle X dmettnt un moment d ordre 2. Pour tout t > 0, nous vons : P ( X E[X] t) VrX t 2 Dns les ouvrges cités ci-dessus, le lecteur trouver encore les notions de covrince et de coefficient de corréltion pour un couple de vribles létoires. Ces notions sont introduites en distingunt à nouveu le cs discret et le cs où les vribles dmettent des densités, conformément u progrmme officiel. 13.6 Exercices sur les fonctions de réprtition Dns cette section, nous regroupons quelques exercices sur les vribles létoires réelles qui peuvent tous être résolus en utilisnt l notion de fonction

224 CHAPITRE 13. VARIABLES À DENSITÉ de réprtition. En outre, les exercices 13.6.3, 13.6.4 et 13.6.5 peuvent être résolus pr une seconde méthode : utiliser l proposition 13.4.2 en fisnt un chngement de vrible dns une intégrle sur R. 13.6.1 Minimum de vribles exponentielles. Soient X 1,, X n des v..r. suivnt des lois exponentielles de prmètres respectifs λ 1,, λ n. On suppose que ces v..r. sont indépendntes, ce qui équivut à : (x i ) 1 i n R n, les événements {X i x i }, 1 i n, sont mutuellement indépendnts. Clculer l loi de X = min 1 i n X i. 13.6.2 Vribles mnésiques. [COT 91-92] Soit T une v.. à vleurs réelles telle que, pour tous s, t 0, on it : P (T > t + s) = P (T > t)p (T > s). Le but de cet exercice est de montrer que, soit P (T > 0) = 0, soit T suit une loi exponentielle. 1. Montrer que si P (T > 0) > 0, lors pour tout t > 0, P (T > t) > 0. 2. On définit lors l ppliction f(t) = log P (T > t), t > 0. Montrer que f(x) = xf(1) pour tout x rtionnel positif, puis pour tout x réel positif. 3. Conclure. 13.6.3 Loi du χ 2 à un degré de liberté. [COT 83 et 86] Soit X N (0, 1). Montrer que l vrible létoire réelle Y = X 2 dmet pour densité l ppliction f : R R + définie pr : y R f(y) = 1 2πy exp( y 2 )1 R + (y). Cette densité définit l loi du χ 2 à un degré de liberté.

13.6. EXERCICES SUR LES FONCTIONS DE RÉPARTITION 225 13.6.4 Loi gussienne dns R. Soit X N (0, 1). Montrer que l vrible létoire réelle Y = m + σx, où m R et σ > 0, dmet une densité que l on clculer. Comment s ppelle l loi de Y? 13.6.5 Avec une loi de Cuchy. [COT 52-53] Soit X une vrible létoire réelle suivnt une loi de Cuchy de prmètre 1. 1. Quelle est l loi de X, où R? 2. Montrer que Y = log X dmet l densité : p(y) = 1 π cosh y.

226 CHAPITRE 13. VARIABLES À DENSITÉ

Chpitre 14 Vecteurs létoires et indépendnce Pour introduire l notion de vecteur létoire, nous nous intéressons à quelques situtions prticulières : Nous choisissons une personne u hsrd dns l popultion frnçise ; soit X son âge et Y son tux de cholestérol. Est-ce qu il y un lien entre les v..r. X et Y ou bien prennent-elles leurs vleurs de fçon indépendnte? Nous observons l trjectoire de l fusée Arine en repérnt s position à différents instnts t i, 1 i p, grâce à ses coordonnées (X ti, Y ti, Z ti ), 1 i p dns un certin repère orthonormé. Pour tenir compte des erreurs entre l trjectoire idéle et l trjectoire réelle, chcune de ces coordonnées est considérée comme une v..r. Une idée de l trjectoire réelle nous est lors donnée pr le grnd vecteur (X t1, Y t1, Z t1,, X tp, Y tp, Z tp ) qui est létoire. Dns une chîne de production, le responsble du contrôle qulité prélève p pièces u hsrd sur l production de l journée et en mesure les msses respectives X 1,, X p. Comment peut-il estimer le poids moyen d une pièce produite dns l journée ou encore l écrt-type de l msse d une pièce? Dns toutes ces situtions, nous consttons notre besoin d étudier plusieurs vribles létoires réelles simultnément et non plus une pr une. De fçon générle, nous sommes menés à étudier des n-uplets dont chcune des composntes est une vrible létoire réelle. 227

228 CHAPITRE 14. VECTEURS ALÉATOIRES ET INDÉPENDANCE 14.1 Les vecteurs létoires et leurs lois Dns toute l suite, nous considérerons un espce probbilisé (Ω, A, P ). Avnt de définir les vecteurs létoires à vleurs dns R n, nous rppelons que l tribu borélienne sur R n est l tribu engendrée pr l ensemble des ouverts de R n (pour l topologie usuelle). Proposition 14.1.1 Soit n N. L tribu B(R n ) est engendrée pr l ensemble des pvés ouverts à extrémités rtionnelles, c est-à-dire pr : { n } E = ] i, b i [ vec ( 1,, n, b 1,, b n ) Q 2n i=1 Démonstrtion: Puisque ces pvés sont ouverts, on σ(e) B(R n ). Prouvons l inclusion inverse. Si nous munissons R n de l norme infinie ( (x 1,, x n ) = sup 1 i n x i ), nous consttons que les boules ouvertes sont des pvés ouverts. On conclut lors en utilisnt le même schém de démonstrtion que pour le premier point de l proposition 12.1.2 Remrque: On montre fcilement que l tribu B(R n ) est ussi engendrée pr l ensemble des pvés fermés à extrémités rtionnelles, c est-à-dire pr : { n } E = [ i, b i ] vec ( 1,, n, b 1,, b n ) Q 2n i=1 De fçon similire à ce qui été fit dns le chpitre précédent à propos des vribles létoires réelles, nous définissons les vecteurs létoires à vleurs dns R n comme suit. Définition 14.1.2 On ppelle vecteur létoire à vleurs dns R n (ou vecteur létoire de dimension n) défini sur (Ω, A, P ) toute ppliction X : Ω R n vérifint : B B(R n ) X 1 (B) A. (14.1) Un résultt générl de l théorie de l mesure permet de démontrer l proposition suivnte, que nous dmettrons.

14.1. LES VECTEURS ALÉATOIRES ET LEURS LOIS 229 Proposition 14.1.3 Soit E un ensemble de prties de R n qui engendre l tribu B(R n ). Alors une ppliction X : Ω R n est un vecteur létoire n-dimensionnel sur (Ω, A, P ) si et seulement si l condition suivnte est stisfite : B E X 1 (B) A. Cette proposition dmet un corollire importnt, qui ser notre outil principl pour démontrer qu une ppliction X : Ω R n est un vecteur létoire défini sur (Ω, A, P ). Avnt de l énoncer, nous introduisons quelques nottions. Pour tout 1 i n, nous ppellerons φ i : R n R l i-ème projection cnonique, définie pr : x = (x 1,, x n ) R n φ i (x) = x i. Pour tout 1 i n, nous considérons lors l ppliction X i = φ i X : Ω R de sorte que nous pouvons écrire l ppliction X à vleurs dns R n sous l forme X = (X 1,, X n ). Corollire 14.1.4 L ppliction X : Ω R n est un vecteur létoire de dimension n sur (Ω, A, P ) si et seulement si pour tout 1 i n, l ppliction X i = φ i X : Ω R est une vrible létoire réelle sur (Ω, A, P ). Démonstrtion: Supposons que X est un vecteur létoire n-dimensionnel et montrons que pour tout 1 i n et tout intervlle réel ], b[, nous vons X 1 i (], b[) A, ce qui suffir à étblir le sens direct de notre corollire d près l proposition 12.2.2. Or nous vons l églité : X 1 i (], b[) = X 1 (R ], b[ }{{} R) A i-ème position puisque R ], b[ R est un ouvert donc un borélien de R n. Pssons u sens réciproque. D près l proposition précédente, il suffit de vérifier que pour tout pvé ouvert n i=1 ] i, b i [, nous vons : ( n ) X 1 ] i, b i [ A. i=1 Or ceci résulte de l églité : ( n ) X 1 ] i, b i [ = i=1 n X 1 i (] i, b i [). } {{ } A i=1

230 CHAPITRE 14. VECTEURS ALÉATOIRES ET INDÉPENDANCE Remrque: Autrement dit, un vecteur létoire de dimension n n est utre qu un n-uplet dont toutes les composntes sont des vribles létoires réelles. Une conséquence immédite de ce corollire est que l ensemble des vecteurs létoires n-dimensionnels définis sur (Ω, A, P ) est un R-espce vectoriel. Nous continuons à générliser ce qui été fit dns le chpitre précédent à propos des vribles létoires réelles, en définissnt l loi d un vecteur létoire à vleurs dns R n comme suit. Théorème et définition 14.1.5 Considérons un espce probbilisé (Ω, A, P ) et un vecteur létoire n-dimensionnel X : (Ω, A) (R n, B(R n )). Alors l ppliction P X : B(R n ) [0, 1] définie pr : B B(R n ) P X (B) = P (X B) est une mesure de probbilité sur l espce mesurble (R n, B(R n )), ppelée loi de probbilité (ou simplement loi) du vecteur létoire X. Démonstrtion: Tout-à-fit similire à celle qui été fite dns le cs des vribles létoires réelles. 14.2 Vecteurs létoires discrets Définition 14.2.1 Un vecteur létoire n-dimensionnel X = (X 1,, X n ) est dit discret si toutes ses composntes X 1,, X n sont des vribles létoires réelles discrètes. Pour tout 1 i n, nous notons E i = X i (Ω) qui est donc un sous-ensemble réel fini ou dénombrble. Notons qu lors X(Ω) E 1 E n est un sousensemble de R n églement fini ou dénombrble. Le lecteur pourr montrer que connître l loi d un vecteur létoire discret équivut à connître toutes les quntités suivntes : P (X 1 = x 1,, X n = x n ), x 1 E 1,, x n E n. 14.3 Vecteurs létoires à densité Dns cette section, nous écrirons les énoncés dns le cs de l dimension 2 pour lléger les écritures mis tout se générlise en dimension n. Un vecteur létoire de dimension 2 est encore ppelé couple létoire.

14.3. VECTEURS ALÉATOIRES À DENSITÉ 231 Définition 14.3.1 On ppelle densité de probbilité sur R 2 toute ppliction f : R 2 R + intégrble et telle que : R 2 f(x, y) dxdy = 1. Exemple: Si D R 2 dmet une ire non nulle et finie, lors l ppliction f : R 2 R + définie pr : (x, y) R 2 f(x, y) = 1 ire(d) 1 D(x, y) est une densité de probbilité ppelée densité uniforme sur D. Définition 14.3.2 On dit qu un couple létoire (X, Y ) dmet f pour densité si pour tous intervlles réels I et J, on l églité : P (X I, Y J) = f(x, y) dxdy. Remrques 1. L églité précédente s écrit évidemment de fçon équivlente : P ((X, Y ) I J) = f(x, y) dxdy. I J I J Un résultt de théorie de l mesure nous dit lors que P ((X, Y ) B) = f(x, y) dxdy, pour tout sous-ensemble B R 2 pour lequel l intégrle du membre de droite un sens (pr exemple un domine simple du pln). 2. Il n est ps nécessire de vérifier à l vnce que f est une densité de probbilité sur R 2 mis seulement que f est une ppliction positive et intégrble sur R 2. En effet, en ppliqunt l églité précédente vec I = J = R, on en déduit que f est bien une densité de probbilité. Théorème 14.3.3 (de trnsfert) Soit (X, Y ) un couple létoire de densité f et ψ : R 2 R une ppliction telle que ψ f soit intégrble sur R 2. Alors ψ(x, Y ) est une vrible létoire réelle qui dmet pour espérnce : E[ψ(X, Y )] = ψ(x, y)f(x, y) dxdy. R 2 B

232 CHAPITRE 14. VECTEURS ALÉATOIRES ET INDÉPENDANCE Conformément u progrmme, nous dmettons ce théorème. Remrquons simplement que ψ(x, Y ) n est ps nécessirement une vrible à densité, comme nous le voyons en prennt ψ 0. Proposition 14.3.4 Soit (X, Y ) un couple létoire et f : R 2 R + une ppliction intégrble sur R 2. Alors il y équivlence entre les deux propositions suivntes : 1. L ppliction f est une densité de probbilité sur R 2 et le couple létoire (X, Y ) dmet f pour densité. 2. Pour toute ppliction ψ : R 2 R telle que ψ f soit intégrble sur R 2, nous vons l églité : E[ψ(X, Y )] = ψ(x, y)f(x, y) dxdy. R 2 Démonstrtion: L impliction 1 2 n est utre que le théorème de trnsfert. Montrons donc 2 1. En ppliqunt une première fois notre églité vec ψ 1, nous obtenons que f est bien une densité de probbilité sur R 2. Pour tous intervlles réels I et J, nous ppliquons mintennt l églité vec ψ = 1 I J. Remrquons d bord que E[1 I J (X, Y )] = E[1 {X I,Y J} ] = P (X I, Y J). Nous obtenons donc : P (X I, Y J) = I J f(x, y) dxdy, d où l conclusion. En utilisnt le théorème du chngement de vrible dns des intégrles doubles et l proposition précédente, on prouve [FOA 197-198] le résultt suivnt qui est très utile pour effectuer des clculs prtiques de densités de couples létoires : Corollire 14.3.5 Soit Φ un C 1 -difféomorphisme de U sur V, où U et V sont deux ouverts de R 2. Considérons un couple létoire (X, Y ) dmettnt une densité f nulle en dehors de U (donc P [(X, Y ) U] = 1) et définissons un nouveu couple létoire en posnt (S, T ) = Φ(X, Y ). Alors (S, T ) dmet pour densité l ppliction g définie pr : (s, t) R 2 g(s, t) = f Φ 1 (s, t) J Φ 1(s, t) 1 V (s, t), où J Φ 1(s, t) désigne le déterminnt jcobien du difféomorphisme Φ 1.

14.3. VECTEURS ALÉATOIRES À DENSITÉ 233 Le lecteur, près voir lu l section suivnte sur l indépendnce de vribles létoires, pourr utiliser ce corollire pour résoudre les exercices 14.5.4, 14.5.5 et 14.5.6. Nous terminons cette section pr un résultt sur l existence de densités pour les v..r. coordonnées d un vecteur létoire dmettnt une densité. Proposition 14.3.6 Si le couple létoire (X, Y ) dmet une densité f sur R 2, lors les vribles létoires réelles X et Y dmettent respectivement des densités de probbilité sur R données pr : f X (x) = R f(x, y) dy, f Y (y) = R f(x, y) dx, dès lors que ces pplictions f X et f Y sont continues pr morceux. On les ppelle les densités mrginles. Démonstrtion: Nous fisons l démonstrtion pour l vrible X ; l démonstrtion pour Y s en déduit pr symétrie. Soit I un intervlle réel quelconque ; nous vons lors les églités : P (X I) = P ((X, Y ) I R) = I R Si nous définissons l ppliction f X : R R + pr : x R f X (x) = R f(x, y) dy, f(x, y) dxdy. lors le théorème de Fubini-Tonelli implique que f X est intégrble sur R et I R f(x, y) dxdy = I f X (x) dx. Finlement, nous vons bien montré que pour tout intervlle réel I, P (X I) = I f X (x) dx.

234 CHAPITRE 14. VECTEURS ALÉATOIRES ET INDÉPENDANCE Remrque: Ainsi, si un vecteur létoire dmet une densité,lors chcune de ses composntes est une vrible létoire à densité. Il est à noter que l réciproque est fusse. En effet, soit X une vrible létoire réelle à densité (nous pouvons prendre X N (0, 1) pr exemple). Nous llons prouver que le couple létoire (X, X) n dmet ucune densité, ce qui nous fournir un contre-exemple. Notons = {(x, y) R 2, x = y} l première digonle du pln. Nous vons bien sûr P [(X, X) ] = 1. Risonnons pr l bsurde en supposnt que le couple létoire (X, X) dmet une densité f. Nous vons lors : P [(X, X) ] = f(x, y) dxdy = 1 x=y f(x, y) dxdy. R 2 D près le théorème de Fubini-Tonelli, cette dernière intégrle vut : ( ) ( y ) 1 x=y f(x, y)dx dy = f(x, y)dx dy = 0, R R R y d où une contrdiction. 14.4 Indépendnce de p v..r. Dns toute cette section, on fixe un entier p 2. Définition 14.4.1 On dit que p vribles létoires réelles X 1,, X p sont indépendntes (sous-entendu dns leur ensemble) si pour tous intervlles réels I 1,, I p, on l églité : P (X 1 I 1,, X p I p ) = P (X 1 I 1 ) P (X p I p ) Un instnt de réflexion permet de constter que cette condition équivut à : Pour tous interv. réels I 1,, I p, les évènements {X 1 I 1 },, {X p I p } sont indépendnts dns leur ensemble. Proposition 14.4.2 On considère p vribles létoires réelles X 1,, X p indépendntes et dmettnt des densités respectives f X1,, f Xp. Alors le vecteur létoire (X 1,, X p ) dmet pour densité l ppliction f : R p R + définie pr : (x 1,, x p ) R p f(x 1,, x p ) = f X1 (x 1 ) f Xp (x p )

14.4. INDÉPENDANCE DE P V.A.R. 235 Remrque: L existence de cette densité est déjà un résultt intéressnt en soi. En outre, sous nos hypothèses, nous obtenons une formule explicite de cette densité. Démonstrtion: Pour tous intervlles réels I 1,, I p, on l églité : p p P (X 1 I 1,, X p I p ) = P (X i I i ) = f Xi (x i ) dx i I i i=1 i=1 Comme les pplictions f Xi, 1 i p sont toutes positives, le théorème de Fubini nous permet d en déduire : P ((X 1,, X p ) I 1 I p ) = f(x 1,, x p ) dx 1 dx p, I 1 I p où l ppliction f est définie comme dns l énoncé, d où l conclusion. Réciproquement, nous vons le résultt suivnt : Proposition 14.4.3 Supposons que le vecteur létoire (X 1,, X p ) dmet pour densité une ppliction f : R p R + à vribles séprbles, c est-à-dire vérifint : (x 1,, x p ) R p f(x 1,, x p ) = f 1 (x 1 ) f p (x p ), où les pplictions f i : R R + sont intégrbles. Alors : 1. Les vribles létoires réelles X 1,, X p sont indépendntes. 2. Pour tout 1 i p, l vrible létoire réelle X i dmet une densité de l forme f Xi (x i ) = c i f i (x i ), où les c i sont des constntes positives telles que p i=1 c i = 1. Démonstrtion: Dns un souci d lléger les nottions, nous l écrirons dns le cs p = 2 mis elle se générlise imméditement. D près l proposition 14.3.6, l vrible létoire réelle X 1 dmet pour densité f X1 (x 1 ) = f(x 1, x 2 ) dx 2 = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) dx 2 = c 1 f 1 (x 1 ), R R

236 CHAPITRE 14. VECTEURS ALÉATOIRES ET INDÉPENDANCE où l on posé c 1 := R f 2(x 2 ) dx 2 R + puisque f 2 été supposée intégrble. Pr un risonnement symétrique, on montre que X 2 dmet une densité de l forme f X2 (x 2 ) = c 2 f 2 (x 2 ). D une prt, nous vons : ( ) ( ) f X1 (x 1 )f X2 (x 2 ) dx 1 dx 2 = f X1 (x 1 )dx 1 f X2 (x 2 )dx 2 = 1 R 2 R R puisque f X1 et f X2 sont des densités de probbilité sur R. D utre prt, nous vons, en utilisnt les églités précédentes : R 2 f X1 (x 1 )f X2 (x 2 ) dx 1 dx 2 = c 1 c 2 R 2 f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) dx 1 dx 2 = c 1 c 2 puisque f(x 1, x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) est une densité de probbilité sur R 2. Nous en déduisons l églité c 1 c 2 = 1. Notons qu elle pour conséquence : (x 1, x 2 ) R 2 f(x 1, x 2 ) = f X1 (x 1 )f X2 (x 2 ) (14.2) Il nous reste à démontrer l indépendnce des v..r. X 1 et X 2. Pour tous intervlles réels I 1, I 2, nous vons l églité : P (X 1 I 1, X 2 I 2 ) = P ((X 1, X 2 ) I 1 I 2 ) = f(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 I 1 I 2 D près l églité (14.2), nous vons donc : P (X 1 I 1, X 2 I 2 ) = f X1 (x 1 )f X2 (x 2 )dx 1 dx 2 I 1 I 2 Comme les pplictions f X1 et f X2 sont positives, le théorème de Fubini nous permet d en déduire : ( ) ( ) P (X 1 I 1, X 2 I 2 ) = f X1 (x 1 )dx 1 f X2 (x 2 )dx 2 = P (X 1 I 1 )P (X 2 I 2 ) I 1 I 2 d où l conclusion. 14.5 Exercices 14.5.1 Clcul de densité mrginle. Soit (X, Y ) un couple létoire à vleurs dns R 2, dmettnt pour densité : p(x, y) = 1 ye y π x 2 + y 1 2 R (y). + Vérifier que p est bien une densité sur R 2 et clculer l densité mrginle de l vrible létoire réelle Y.

14.5. EXERCICES 237 14.5.2 Densité gussienne en dimension 2. Soit (X, Y ) un vecteur létoire à vleurs dns R 2 de densité : p(x, y) = 1 2πστ 1 ρ exp{ 1 xy 2 2(1 ρ 2 ) (x2 2ρ σ2 στ + y2 τ )}, 2 où σ et τ sont deux réels positifs strictement et ρ < 1. Montrer, pr un clcul de densités mrginles, que : X N (0, σ 2 ) et Y N (0, τ 2 ). 14.5.3 Loi uniforme sur le disque [OUV 1 223] Soit (X, Y ) un couple létoire qui suit l loi uniforme sur le disque D(0, 1) = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 1}. Clculer les densités mrginles de X et Y et en déduire que ces deux vribles létoires réelles ne sont ps indépendntes. Remrque: Avec l notion de covrince qui pprîtr dns l suite du cours, il est fcile de montrer que Cov(X, Y )=0 : on dit que les vribles X et Y sont décorrélées. Cet exercice nous fournit donc un exemple de vribles décorrélées mis non indépendntes. 14.5.4 Problème sur les lois Gmm et Bêt [COT 83-87] 1. () Montrer que pour tout > 0, on : 0 < + 0 e x x 1 dx < +. On noter cette intégrle Γ(). (b) Montrer que pour tout > 0, on Γ( + 1) = Γ() et en déduire l vleur de Γ(n) pour n N. (c) Montrer que pour tous (λ, ) (R +) 2, l ppliction définie comme suit : g λ, (x) = λ Γ() e λx x 1 1 R + (x) est une densité de probbilité. On ppelle loi Gmm de prmètres λ et et l on note γ(λ, ) l loi de densité g λ,. Reconnître l loi γ(λ, 1).

238 CHAPITRE 14. VECTEURS ALÉATOIRES ET INDÉPENDANCE (d) Constter que l loi du χ 2 à un degré de liberté, définie dns l exercice 13.6.3, est une loi γ prticulière et en déduire que : ( ) 1 Γ = π. 2 2. () Montrer que pour tous (p, q) (R +) 2, on : 0 < 1 On noter cette intégrle β(p, q). 0 x p 1 (1 x) q 1 dx < +. (b) Pour q > 1, étblir une reltion entre β(p, q) et β(p + 1, q 1) ; en déduire l vleur de β(p, q) pour p N, q N. On ppelle loi Bêt(p, q) de première espèce l loi de densité : 1 β(p, q) xp 1 (1 x) q 1 1 ]0,1[ (x). 3. On considère deux v..r. indépendntes X et Y de lois respectives γ(λ, ) et γ(λ, b). Montrer que S = X + Y et T = X sont indépendntes et préciser leurs lois. X+Y Montrer qu on l reltion : β(, b) = Γ()Γ(b) Γ( + b). 4. Soit X = (X 1, X 2,, X n ) un vecteur létoire dont les composntes sont i.i.d. de loi N (0, 1). Déduire de ce qui précède que l vrible létoire réelle X 2 dmet l densité : f n (x) = 1 2 n 2 Γ ( )x n 2 1 exp( x n 2 )1 R (x). + 2 Cette densité définit l loi du χ 2 à n degrés de liberté. 14.5.5 Guss et Cuchy. [FOA 201] On considère deux v..r. indépendntes S et T de même loi N (0, 1). Montrer que le couple ( S, T ) dmet une densité que l on clculer. T En déduire, pr clcul de densité mrginle, que S suit une loi de Cuchy de T prmètre 1.

14.5. EXERCICES 239 14.5.6 Avec des lois exponentielles. [OUV 2 75-77] Soient X Exp(λ) et Y Exp(µ) deux vribles létoires réelles indépendntes (λ > 0, µ > 0). On définit les vribles létoires réelles U = inf(x, Y ) et V = X Y. Montrer que U et V sont indépendntes.

240 CHAPITRE 14. VECTEURS ALÉATOIRES ET INDÉPENDANCE

Chpitre 15 Loi des grnds nombres. En ce qui concerne les théorèmes limites (c est-à-dire les théorèmes qui énoncent des résultts symptotiques) en clcul des probbilités, le progrmme comprend l loi fible des grnds nombres vec s démonstrtion pr l inéglité de Bienymé-Tchebychev, insi que deux théorèmes dmis : l loi forte des grnds nombres et le théorème centrl limite. Nous triterons ce dernier théorème, encore ppelé théorème-limite centrl, et ses conséquences dns le chpitre suivnt, en nous concentrnt dns le présent chpitre sur les deux énoncés (fible et fort) de loi des grnds nombres. Introduction Un célèbre fbricnt de piles électriques ffirme : elles durent deux fois plus longtemps. Pour déterminer si c est de l publicité mensongère ou non, il fudrit connître l espérnce de vie d une pile de ce type et l comprer à celle d une pile ordinire. Mis comment procéder dns l prtique pour évluer, u moins pproximtivement, l quntité bstrite E[X], où X est l durée de vie d une pile en fonctionnement continu, que nous modélisons pr une vrible létoire réelle? Une idée qui vient nturellement à l esprit est de tester indépendmment les unes des utres N piles du même type et, en notnt X i (ω) l durée de vie de l i-ème pile observée à l fin de cette expérience, de fire l pproximtion suivnte pour N suffismment grnd : X 1 (ω) + + X N (ω) N E[X]. Pour justifier cette démrche, nous urons besoin de théorèmes limites en probbilité. Le premier, ppelé loi des grnds nombres, montre que l on bien l convergence suivnte dns un sens à préciser : X 1 + + X n lim n n 241 = E[X].

242 CHAPITRE 15. LOI DES GRANDS NOMBRES. Le second, ppelé théorème centrl limite, préciser à quelle vitesse l convergence lieu dns l loi des grnds nombres, ce qui une importnce énorme dns les pplictions prtiques (sttistique, méthodes de Monte-Crlo...) Notons que pour donner un sens mthémtique rigoureux à l limite précédente, il ne suffit ps d voir un grnd nombre de vribles létoires réelles X 1,, X N modélisnt les durées de vie des piles testées mis une suite (X i ) i N de vribles létoires réelles. Notre hypothèse de bse est que les durées de vie des différentes piles sont indépendntes les unes des utres mis qu elles ont toute le même comportement létoire, plus précisément l même loi de probbilité. Avnt d border les théorèmes limites, nous urons donc besoin d étudier quelques propriétés d une suite (X i ) i N de vribles létoires réelles indépendntes ynt toutes même loi. Dns toute l suite de ce chpitre, les vribles létoires considérées sont définies sur un espce de probbilité (Ω, A, P ). 15.1 Suite indépendnte équidistribuée. Définition 15.1.1 Une suite de vribles létoires réelles (X i ) i N est dite indépendnte si pour tout k N et pour tous indices 1 i 1 < i 2 < < i k, les vribles létoires réelles X i1,, X ik sont indépendntes. Une suite de vribles létoires réelles (X i ) i N est dite identiquement distribuée (ou équidistribuée) si toutes les vribles létoires réelles X i, i N ont même loi de probbilité. Une suite (X i ) i N possédnt ces deux propriétés est donc dite indépendnte identiquement distribuée (i.i.d. en brégé). Nous retrouverons cette hypothèse tout u long de ce chpitre. Elle correspond à une expérience répétée à l infini dns des conditions identiques (bien sûr, dns l prtique, elle n est répétée qu un grnd nombre de fois). Pr exemple, un jeu de pile ou fce répété à l infini est modélisé pr une suite i.i.d. de vribles de Bernoulli de prmètre p. Proposition 15.1.2 Soit (X i ) i N une suite i.i.d. et f C(R, R). Alors l suite (f(x i )) i N est encore i.i.d. Démonstrtion: Montrons d bord que l suite (f(x i )) i N est indépendnte, c est-à-dire que pour tout k N et tous indices 1 i 1 < < i k, les vribles létoires réelles f(x i1 ),, f(x ik ) sont indépendntes. Nous considérons donc des intervlles ouverts réels rbitrires I 1,, I k et nous clculons l probbilité suivnte : P [f(x i1 ) I 1,, f(x ik ) I k ] = P [X i1 f 1 (I 1 ),, X ik f 1 (I k )].

15.1. SUITE INDÉPENDANTE ÉQUIDISTRIBUÉE. 243 Remrquons que les sous-ensembles réels f 1 (I 1 ),, f 1 (I k ) sont ouverts en tnt qu imges réciproques d ouverts pr une ppliction continue ; ce sont donc des éléments de l tribu borélienne B(R). Or, pr hypothèse, les vribles X i1,, X ik sont indépendntes, si bien que nous pouvons encore écrire l probbilité précédente sous forme du produit : P [X i1 f 1 (I 1 )] P [X ik f 1 (I k )] = P [f(x i1 ) I 1 ] P [f(x ik ) I k ], ce qui nous permet de conclure. Pssons à l démonstrtion de l équidistribution de l suite (f(x i )) i N. En notnt P Xi l loi de probbilité de l vrible létoire réelle X i, nous vons pr hypothèse : i N P Xi = P X1. Pour tout i N et tout intervlle ouvert réel I, nous vons donc : P [f(x i ) I] = P [X i f 1 (I)] = P Xi [f 1 (I)] = P X1 [f 1 (I)] = P [f(x 1 ) I], ce qui s écrit encore : P f(xi )(I) = P f(x1 )(I). Une loi de probbilité sur (R, B(R)) étnt entièrement déterminée pr ses vleurs sur les intervlles ouverts, nous vons insi démontré : i N P f(xi ) = P f(x1 ). Remrque: Si nous vions considéré une suite (f i ) i N d pplictions continues de R dns R, lors l suite (f i (X i )) i N serit encore indépendnte mis n urit ucune rison d être identiquement distribuée. Le lecteur pourr dpter l première prtie de l démonstrtion précédente à titre d exercice. Il est très fcile de trouver un contre-exemple en ce qui concerne l équidistribution. Nottions : Dns l suite, nous noterons L 1 (Ω, A, P ) l ensemble des vribles létoires réelles définies sur l espce de probbilité (Ω, A, P ) et dmettnt une espérnce. De même, nous noterons L 2 (Ω, A, P ) l ensemble des vribles létoires réelles X définies sur l espce de probbilité (Ω, A, P ) et dmettnt un moment d ordre deux, c est-à-dire telles que X 2 dmet une espérnce. Nous ferons l bus de lngge cournt consistnt à ppeler vrible de vrince finie une vrible dmettnt un moment d ordre deux. C est un bus

244 CHAPITRE 15. LOI DES GRANDS NOMBRES. de lngge prce que si X n est ps une vrible de vrince finie, cel ne signifie ps qu elle une vrince infinie mis que s vrince n est ps définie du tout! C est le cs pr exemple si X suit une loi de Cuchy. On démontre l inclusion L 2 (Ω, A, P ) L 1 (Ω, A, P ) en utilisnt l inéglité x x 2 + 1 vlble pour tout réel x. Proposition 15.1.3 Soit (X i ) i N une suite identiquement distribuée (mis ps nécessirement indépendnte). Alors nous vons l équivlence suivnte : [ i N X i L 1 (Ω, A, P )] X 1 L 1 (Ω, A, P ). Nous dirons lors que l suite (X i ) est dns L 1 (Ω, A, P ) et, dns ce cs, toutes les vribles létoires réelles ont l même espérnce m = E[X i ], i N. De même, nous vons l équivlence : [ i N X i L 2 (Ω, A, P )] X 1 L 2 (Ω, A, P ). Nous dirons lors que l suite (X i ) est dns L 2 (Ω, A, P ) et, dns ce cs, toutes les vribles létoires réelles ont l même vrince σ 2 = VrX i, i N. Démonstrtion: Nous ne ferons l démonstrtion que dns le cs où l loi commune ux vribles X i dmet une densité de probbilité g. Le lecteur pourr à titre d exercice fire l preuve dns le cs où cette loi commune est discrète. Nous dmettrons cette proposition dns les utres cs. D près le théorème de trnsfert, nous vons pour tout i N : E[ X i ] = + x g(x) dx = E[ X 1 ], ce qui nous donne l première équivlence. En outre, si l intégrle impropre précédente est convergente, ce qui équivut à : i N X i L 1 (Ω, A, P ), le théorème de trnsfert nous donne encore : E[X i ] = + x g(x) dx = E[X 1 ] et nous posons m := E[X 1 ]. De fçon similire, nous obtenons l deuxième équivlence en écrivnt, pour tout i N : E[X 2 i ] = + x 2 g(x) dx = E[X 2 1].

15.2. CONVERGENCES DE SUITES DE V.A.R. 245 Si cette espérnce est finie, en grdnt l nottion m = E[X i ] (qui un sens puisque L 2 (Ω, A, P ) L 1 (Ω, A, P )), nous vons pour tout i N : VrX i = E[X 2 i ] m 2 = E[X 2 1] m 2 = VrX 1 = σ 2. 15.2 Convergences de suites de vribles létoires réelles 15.2.1 Événements négligebles, églité presque sûre. Définition 15.2.1 Un événement A A est dit négligeble si P (A) = 0. En termes cournts, un événement négligeble n donc ucune chnce de se produire, il est extrêmement improbble mis il ne fudrit ps en conclure pour utnt qu il est impossible : seul l événement est qulifié d impossible. Pour illustrer cette distinction, prenons l exemple d un nombre réel tiré u hsrd uniformément entre 0 et 1. Nous pouvons modéliser cette expérience en prennt Ω = [0, 1], A = B([0, 1]), qui est l plus petite tribu sur Ω contennt tous les sous-intervlles de [0, 1], et en prennt pour P l mesure de Lebesgue, qui est (nous dmettons son existence et son unicité) l unique probbilité sur (Ω, A) telle que : [, b] [0, 1] P ([, b]) = b. Soit x [0, 1] rbitrire fixé. Nous consttons que l événement A = {x} = [x, x] est négligeble. Il n est nénmoins ps impossible qu un nombre tiré u hsrd entre 0 et 1 soit égl à x. Proposition 15.2.2 Toute union finie ou dénombrble d événements négligebles est encore un événement négligeble. Démonstrtion: Soit (A n ) n N A N une suite d événements tels que : n N P (A n ) = 0. Pr propriété de sous-σ-dditivité de l mesure de probbilité P (cf. formule (11.2) pge 180), nous vons lors : ( ) P A n P (A n ) = 0, n N d où l conclusion. n N

246 CHAPITRE 15. LOI DES GRANDS NOMBRES. Remrque: Cel n plus ucune rison d être vri pour une union quelconque. Ainsi, si nous reprenons l exemple précédent, nous vons : Ω = {x}, qui n est évidemment ps négligeble. x [0,1] Définition 15.2.3 Un événement A est dit presque sûr si l événement complémentire A c est négligeble. Deux vribles létoires réelles X et Y sont dites égles presque sûrement si l événement {ω Ω, X(ω) = Y (ω)} est presque sûr. Un événement presque sûr est donc un événement de probbilité 1. Deux vribles létoires réelles sont égles presque sûrement si et seulement si l événement {X Y } est négligeble. À titre d exercice, le lecteur pourr en déduire que l églité presque sûre est une reltion d équivlence sur l ensemble des vribles létoires réelles définies sur (Ω, A, P ). 15.2.2 Convergences en probbilité et presque sûre. Nous définissons mintennt deux types de convergence concernnt les suites de vribles létoires réelles. Définition 15.2.4 Soient (Y n ) n N et Y des vribles létoires réelles définies sur un espce de probbilité (Ω, A, P ). On dit que l suite (Y n ) converge presque sûrement vers Y et l on note p.s. Y s il existe un événement négligeble N A tel que : Y n ω / N Y n (ω) Y (ω). On dit que l suite (Y n ) converge en probbilité vers Y et l on note Y n Y si : ɛ > 0 P ( Y n Y > ɛ) 0. (P) n + Proposition 15.2.5 Une limite en probbilité est unique modulo l églité presque sûre.

15.2. CONVERGENCES DE SUITES DE V.A.R. 247 Démonstrtion: Supposons que l suite (Y n ) converge en probbilité à l fois vers Y et Z. Pour tout ɛ > 0, nous écrivons lors l inclusion (fcile à vérifier en pssnt ux événements complémentires et en ppliqunt l inéglité tringulire) : { Y Z > ɛ} { Y n Y > ɛ 2 } { Y n Z > ɛ 2 }. Pr pssge ux probbilités puis en fisnt tendre n vers l infini, nous en déduisons : P ( Y Z > ɛ) = 0. Comme ɛ > 0 étit rbitrire, nous en déduisons que pour tout p N, P ( Y Z > 1) = 0. p Nous concluons lors en écrivnt : P (Y Z) = P ( lim { Y Z > 1 p }) = lim P ( Y Z > 1 ) = 0. p Il serit fcile de démontrer directement qu une limite u sens de l convergence presque sûre est unique modulo l églité presque sûre (vous pouvez le fire à titre d exercice) mis cel v résulter de l proposition suivnte. Proposition 15.2.6 Si (Y n ) converge presque sûrement vers Y, lors (Y n ) converge en probbilité vers Y. Démonstrtion: Le lecteur est invité à lire [DAN 452]. Remrque: L réciproque est fusse : le lecteur pourr s en convincre en étudint le contre-exemple suivnt. Nous définissons une suite (I n ) n N de sous-intervlles de [0, 1] comme suit : k N j {0, 1,, 2 k 1} I 2 k +j = ] j 2, j + 1 ]. k 2 k Nous prenons lors pour espce de probbilité (Ω, A, P ) = (]0, 1], B(]0, 1]), λ ]0,1] ) et nous définissons pour tout n N l vrible létoire Y n = 1 In. Nous consttons lors que Y n ps presque sûrement puisque : (P) n + 0 mis que l suite (Y n) ne converge ω Ω lim sup Y n (ω) = 1 et lim inf Y n (ω) = 0.

248 CHAPITRE 15. LOI DES GRANDS NOMBRES. 15.3 Loi des grnds nombres Théorème 15.3.1 (Loi fible des grnds nombres) Soit (X i ) i N une suite indépendnte dns L 2 (Ω, A, P ). Nous supposons que les vribles X i, i N ont toutes même espérnce, notée m, et même vrince. Pour tout n N, nous définissons l moyenne empirique d ordre n : X n = X 1 + + X n. n Alors nous vons l convergence en probbilité suivnte : X n (P) n + m. Démonstrtion: Pour tout n N, définissons l vrible S n = n i=1 X i de sorte que X n = S n /n. Comme L 2 (Ω, A, P ) est un espce vectoriel, nous vons S n L 2 (Ω, A, P ) et nous clculons imméditement E[S n ] = nm puis, en utilisnt l indépendnce des vribles X i, VrS n = n VrX i = nσ 2, i=1 où l on noté σ 2 l vrince commune ux vribles X i. Nous en déduisons que, pour tout n N, E[ X n ] = m et Vr X n = σ2. n Pour tout ɛ > 0, l inéglité de Bienymé-Tchebychev nous permet lors d écrire : P ( X n m > ɛ ) 1 ɛ Vr X 2 n = σ2 nɛ 0, 2 d où l conclusion. Remrques 1. L loi des grnds nombres nous dit que, conformément à notre intuition, l moyenne empirique (observble près l expérience) converge vers l moyenne probbiliste théorique, c est-à-dire l espérnce. 2. Ce théorème s pplique en prticulier à toute suite (X i ) i.i.d. dns L 2 (Ω, A, P ). Au prix d une démonstrtion plus difficile, on peut démontrer lors qu il se générlise u cs d une suite (X i ) i.i.d. dns L 1 (Ω, A, P ). Cependnt, le théorème suivnt v nous conduire à une conclusion encore plus forte sous l même hypothèse d indépendnce et équidistribution dns L 1 (Ω, A, P ).

15.3. LOI DES GRANDS NOMBRES 249 Théorème 15.3.2 (Loi forte des grnds nombres, Kolmogorov) Soit (X i ) i N une suite indépendnte identiquement distribuée. Alors il y équivlence entre les deux conditions suivntes : 1. L suite ( X n ) converge presque sûrement vers une certine vrible létoire X à vleurs dns R. 2. L suite (X i ) est dns L 1 (Ω, A, P ). En supposnt ces conditions stisfites et en notnt m l espérnce commune ux vribles X i, nous vons lors X = m presque sûrement, c est-à-dire : X n p.s. m = E[X i ]. Ce théorème, que nous dmettons, porte le nom de loi forte des grnds nombres prce que l convergence presque sûre est plus forte que l convergence en probbilité qui pprissit dns le théorème précédent. En outre, il nous donne une condition nécessire et suffisnte de convergence presque sûre de l suite des moyennes empiriques.

250 CHAPITRE 15. LOI DES GRANDS NOMBRES.

Chpitre 16 Loi normle 16.1 L loi normle centrée réduite Proposition 16.1.1 (Intégrle de Guss) + e x2 dx = π [GOURDON 163,335] démontre cette églité pr 3 méthodes différentes : dérivtion d une intégrle dépendnt d un prmètre inéglité de convexité, chngement de vribles et formule de Wllis pssge en coordonnées polires Nous suivons mintennt l présenttion de Fot et Fuchs dns leur ouvrge Clcul des probbilités chez Dunod, 2ème édition, pges 178 à 181. Proposition et définition 16.1.2 L ppliction g : R R + définie pr : x R g(x) = 1 e x2 2 2π est une densité de probbilité. L loi de densité g est ppelée loi de Guss ou loi normle (centrée réduite) et notée N (0, 1). Guss introduit cette loi en 1809 à propos d un problème sttistique d estimtion de prmètre. Le grphe de l densité de Guss g est une «courbe en cloche» pltie (voir figure pge 219). On le trce fcilement en notnt que f est pire, qu elle 1 dmet un mximum globl en x = 0 égl à 2π 0, 399 et que l courbe 251

252 CHAPITRE 16. LOI NORMALE dmet deux points d inflexion en x = 1 et x = 1. Si X N (0, 1), on clcule imméditement E[X] = 0 pr le théorème de trnsfert en utilisnt l prité de g et VrX = E[X 2 ] = + x 2 1 2π e x2 2 dx = 1 pr intégrtion pr prties. C est pourquoi on prle de loi normle centrée réduite. L fonction de réprtition de l loi de Guss est donnée pr x R Φ(x) = x 1 2π e t2 2 On vérifie fcilement que Φ est de clsse C, strictement croissnte et donc bijective de R sur son imge ]0, 1[, telle que Φ( x) = 1 Φ(x) pour tout x R. Son grphe est une «courbe en S» ssez étlée, symétrique pr rpport à (0, 1/2), où elle dmet un point d inflexion et où l pente de s tngente vut 1 2π 0, 399. dt On n ps de formule plus explicite pour Φ mis cette fonction et s bijection réciproque Φ 1 sont tbulées, notmment pour des pplictions sttistiques. Une vleur que nous utiliserons dns l suite est Φ(1, 96) 0, 975. Si X N (0, 1), lors P ( X x) = 2Φ(x) 1 pour tout x 0, de sorte que P ( X 1, 96) 0, 95. On peut démontrer l équivlence suivnte lorsque x + : 1 Φ(x) 1 x e x2 2 2π

16.2. LA LOI NORMALE GÉNÉRALE 253 Comme cel tend «vite» vers 0, on dit que l loi de Guss une queue de distribution peu épisse. Proposition 16.1.3 L loi de Guss dmet des moments de tous les ordres. Si X N (0, 1), nous vons, pour tout n N : E[X 2n+1 ] = 0 ; E[X 2n ] = (2n)! 2 n n! Démonstrtion: Pour tout k N, nous vons x k g(x) = o(1/x 2 ) qund x ± donc X dmet un moment d ordre k donné pr : E[X k ] = + x k 1 2π e x2 2 dt Lorsque k = 2n + 1, cette intégrle est nulle pour des risons de prité. On démontre pr intégrtion pr prties que E[X 2n ] = (2n 1)E[X 2n 2 ] pour tout n N, ce qui nous donne pr récurrence l formule nnoncée puisque E[X 0 ] = 1 pr convention. Pour simuler numériquement l loi de Guss, on utilise l proposition suivnte, qui se démontre grâce à un chngement de vrible dns une intégrle double [OUVRARD tome 2, 67-68] Proposition 16.1.4 (Méthode de Box-Muller) Soient U 1 et U 2 deux v..r. indépendntes, de même loi uniforme sur [0,1]. Nous posons : X := 2 log U 1 cos(2πu 2 ), Y := 2 log U 1 sin(2πu 2 ). Alors les vribles létoires X et Y sont indépendntes et de même loi N (0, 1). 16.2 L loi normle générle Proposition et définition 16.2.1 Soient µ R et σ > 0 deux prmètres fixés. L ppliction g µ,σ 2 : R R + définie pr : x R g µ,σ 2(x) = 1 (x µ)2 e 2σ 2 2πσ 2 est une densité de probbilité. L loi de densité g µ,σ 2 de prmètres (µ, σ 2 ) et notée N (µ, σ 2 ). est ppelée loi normle

254 CHAPITRE 16. LOI NORMALE On vérifie que g µ,σ 2 est bien une densité en effectunt un chngement de vrible ffine dns une intégrle simple, puis en utilisnt l proposition 16.1.2. Notons que pour µ = 0 et σ 2 = 1, on retrouve bien l densité de l loi N (0, 1) telle qu elle été définie dns l sous-section précédente. Nous llons mintennt préciser les rpports entre l loi normle générle et l loi normle centrée réduite. Proposition 16.2.2 Soient µ R et σ > 0 deux prmètres fixés. On considère deux vribles létoires réelles X et Y telles que Y = µ + σx. Alors on l équivlence suivnte : X N (0, 1) Y N (µ, σ 2 ) Démonstrtion: On vérifie fcilement que cette équivlence résulte de l proposition 13.3.3. Pour simuler numériquement l loi N (µ, σ 2 ), on pplique d bord l méthode de Box-Muller pour simuler X N (0, 1) puis l on clcule Y = µ+σx. Corollire 16.2.3 Soit Y N (µ, σ 2 ). Alors E[Y ] = µ et VrY = σ 2 Ce résultt justifie que le premier prmètre d une loi normle soit trditionnellement noté µ ou m (comme «moyenne» probbiliste, c est-à-dire espérnce) et le second σ 2 puisqu il est égl à l vrince de l loi. Corollire 16.2.4 L fonction de réprtition Φ µ,σ 2 de l loi N (µ, σ 2 ) est donnée pr : ( ) x µ x R Φ µ,σ 2(x) = Φ σ Démonstrtion: En reprennt les nottions de l proposition 16.2.2, nous vons, pour tout x R : ( Φ µ,σ 2(x) = P (Y x) = P (µ + σx x) = P X x µ ) ( ) x µ = Φ σ σ Avnt d étblir une importnte propriété de stbilité de l loi normle générle, nous introduisons l notion de produit de convolution de deux densités de probbilité.

16.2. LA LOI NORMALE GÉNÉRALE 255 Proposition 16.2.5 Soient X et Y deux v..r. indépendntes dmettnt des densités respectives f et g. Alors l v..r. X +Y dmet pour densité le produit de convolution de f et g, noté f g et défini pr : x R f g(x) = + f(x y)g(y) dy. Démonstrtion: cf. [OUVRARD tome 1, 203-204]. L proposition suivnte énonce l stbilité de l loi normle pr produit de convolution. Proposition 16.2.6 Soient X et Y deux v..r. indépendntes de lois respectives N (m 1, σ 2 1) et N (m 2, σ 2 2), vec (m 1, m 2 ) R 2 et (σ 1, σ 2 ) (R +) 2. Alors l v..r. X + Y suit l loi N (m 1 + m 2, σ 2 1 + σ 2 2). Le résultt essentiel étbli pr cette proposition est que l somme de deux vribles gussiennes indépendntes est encore gussienne. Il est lors fcile de déterminer ses prmètres en en clculnt l espérnce et l vrince. Démonstrtion: Commençons pr réduire le problème u cs où X est centrée réduite et Y centrée en supposnt démontrée l proposition suivnte : si X N (0, 1) et Y N (0, s 2 ), vec s > 0, sont indépendntes, lors X + Y N (0, 1 + s 2 ). Nous pouvons lors en déduire l proposition dns le cs générl en définissnt les vribles létoires réelles : X = X m 1 σ 1, Y = Y m 2 σ 1, si bien que les hypothèses précédentes sont stisfites vec s = σ 2 /σ 1 et : X + Y = m 1 + σ 1 X + m 2 + σ 1 Y = m 1 + m 2 + σ 1 (X + Y ). Pr trnsformtion ffine de l vrible X + Y N (0, 1 + (σ 2 2/σ 2 1)), nous obtenons lors l conclusion dns le cs générl. Nous supposons donc désormis m 1 = m 2 = 0, σ 1 = 1 et σ 2 = s > 0. D près l proposition 16.2.5, l vrible létoire réelle X + Y dmet une densité proportionnelle à : + e (x y)2 2 e y2 2s 2 dy = + ) exp ( s2 x 2 2s 2 xy + (1 + s 2 )y 2 dy. 2s 2

256 CHAPITRE 16. LOI NORMALE Cette dernière expression s écrit encore : ( ) 2 + (1 + s 2 ) y s2 x (( ) ) 1+s exp 2 s 2 x 2 2s 2 exp 1 + s 1 dy, 2 2 ou encore, puisque l intégrtion porte sur l vrible y, ( ) + exp ( x2 (1 + s 2 ) y exp 2(1 + s 2 ) 2s 2 s2 x 1+s 2 ) 2 dy. Nous consttons que cette dernière intégrle est une constnte en effectunt, à x fixé, le simple chngement de vrible u = y s2 x. 1+s 2 Nous vons donc prouvé que l vrible létoire réelle X + Y dmet une densité proportionnelle à exp( x 2 /(2(1 + s 2 ))). Nous en déduisons que l seule constnte de proportionnlité possible pour que ce soit effectivement une densité de probbilité vut 1/ 2π(1 + s 2 ) et que X + Y N (0, 1 + s 2 ). Pour une présenttion de l loi normle dns R d, encore ppelée loi de Lplce-Guss en dimension d, le lecteur pourr lire [ESC 147ss] qui en fit une présenttion cdrnt bien vec le progrmme officiel. 16.3 Approximtion normle de l loi binomile Historiquement, Abrhm de Moivre, mthémticien nglis d origine frnçise, vit mis en évidence dès 1733 une pproximtion normle de l loi binomile en étudint un modèle de pile ou fce vec une pièce équilibrée. S preuve reposit sur des clculs lborieux d estimtion des coefficients binomiux. Pierre-Simon de Lplce vit générlisé ce résultt en 1820 u cs d une pièce éventuellement biisée. Il vit églement mis en évidence le lien entre l loi normle et l théorie des erreurs d observtion, dont nous reprlerons dns le chpitre suivnt. Nous suivons ici l présenttion d [OUVRARD tome 1, 228-229]. Théorème 16.3.1 (de Moivre, Lplce) Considérons p ]0, 1[ et, pour tout n N, une vrible létoire réelle S n qui suit l loi binomile B(n, p). Nous noterons S n l vrible centrée réduite ssociée à S n, i.e. S n = S n E[S n ] σ(s n ) = S n np np(1 p).

16.3. APPROXIMATION NORMALE DE LA LOI BINOMIALE 257 Alors nous vons l convergence suivnte, uniforme sur tous les intervlles réels I : ( ) sup P ( S 1 n I) exp t2 dt I 2π 2 0. n + I Autrement dit, qund n est «grnd», S n suit une loi pproximtivement égle à l loi normle centrée réduite, ce que nous notons S n N (0, 1). En utilisnt un chngement de vrible ffine dns une intégrle simple, nous pouvons dire de fçon équivlente que S n N (np, np(1 p)), toujours pour n «grnd». Plus précisément, nous vons le résultt suivnt : Corollire 16.3.2 Considérons p ]0, 1[ et, pour tout n N, une vrible létoire réelle S n qui suit l loi binomile B(n, p). Alors nous vons l convergence suivnte, uniforme sur tous les intervlles réels I : ) sup I P (S 1 (t np)2 n I) exp ( dt 2πnp(1 p) 2np(1 p) 0. n + I Pour pouvoir utiliser cette pproximtion gussienne de l loi binomile, il nous reste à préciser ce que signifie n «grnd»! Le théorème de Berry 1 - Esseen 2, dont nous donnerons l énoncé générl dns le chpitre suivnt, met en évidence le rôle joué pr l quntité np(1 p) dns l qulité de l pproximtion. Proposition 16.3.3 (Berry-Esseen, cs binomil) Nous reprenons les hypothèses et les nottions du théorème 16.3.1 et nous notons en outre F Sn l fonction de réprtition de l vrible S n et Φ l fonction de réprtition de l loi N (0, 1). Nous vons lors, pour tout n N : sup F Sn (x) Φ(x) p2 + (1 p) 2. x R np(1 p) Si np(1 p) est suffismment grnd, le théorème de Berry-Esseen grntit que l pproximtion de l loi binomile pr l loi normle ser bonne. Dns l prtique, certines règles empiriques existent, vribles d illeurs d un ouvrge à l utre! Une d entre elles dit que l pproximtion de l loi B(n, p) pr l loi N (np, np(1 p)) est considérée comme stisfisnte qund np(1 p) > 18 (référence : Dcunh-Cstelle, Duflo, tome 1). 1. Andrew C. Berry 2. Crl-Gustv Esseen (1918-2001), mthémticien suédois

258 CHAPITRE 16. LOI NORMALE Si np(1 p) est trop petit pour que l on puisse utiliser l pproximtion normle, on pourr lors utiliser vntgeusement l pproximtion de l loi binomile pr l loi de Poisson. OUVRARD écrit que cette dernière est justifiée lorsque n 30 et p 0, 1. Notons que si p 0, 9, l pproximtion poissonnienne est ussi utilisble en comptnt les échecs à l plce des succès ( ou les fces u lieu des piles!). Le lecteur pourr trouver des pplictions prtiques de l pproximtion gussienne d une loi binomile dns l exercice 7.4 du livre d Ouvrrd déj cité ou encore dns [REV 164-165] (exercice sur un serveur informtique).

Chpitre 17 Le théorème-limite centrl Ce théorème-limite est considéré comme centrl en théorie des probbilités pour les deux risons suivntes : 1. Il précise à quelle vitesse lieu l convergence énoncée pr l loi des grnds nombres, ce qui une importnce crucile pour les pplictions (intervlle de confince en sttistique, méthode de Monte-Crlo pour le clcul pproché d une intégrle etc.) 2. Il permet de répondre à l question suivnte : Pourquoi les lois normles (ou gussiennes) jouent-elles un rôle centrl dns l modélistion de phénomènes ussi divers qu une erreur de mesure en Physique, une donnée psychométrique en Psychologie différentielle, une fluctution dns l évolution d un cours de l bourse en Finnce ou de l tille d une popultion nimle en Biologie? Pourquoi le chmp d ppliction des lois de Guss est-il si lrge qu on les qulifiées de lois normles? Après tout, l densité gussienne n ps une forme si simple que cel ; pourquoi donc l considérer comme plus normle que les utres? Le théorème-limite centrl (ou théorème centrl limite selon l terminologie du progrmme officiel) nous dit en gros que si l on dditionne beucoup de vribles indépendntes de vrinces finies, lors le résultt est une vrible pproximtivement gussienne. L précision de ce résultt sous des hypothèses ussi fibles est surprennte cr si l on sit qu une loi est gussienne i.e. de l forme N (m, σ 2 ) lors on dispose de procédures sttistiques qui permettent d estimer les deux prmètres m et σ 2 et donc d identifier complètement l loi (pproximtive) du phénomène étudié. Or notre hypothèse de déprt sur les lois des vribles indépendntes que l on dditionne est très fible : on demnde simplement qu elle soient de vrinces finies. 259

260 CHAPITRE 17. LE THÉORÈME-LIMITE CENTRAL 17.1 Énoncé clssique Conformément u progrmme officiel, nous dmettons ce théorème. Théorème 17.1.1 (Théorème-limite centrl) Soit (X i ) i N une suite i.i.d. de vribles létoires réelles dns L 2 (Ω, A, P ) ; notons m leur espérnce commune et σ 2 leur vrince commune et posons, pour tout n N, S n = X 1 + + X n. Enfin, soit Z une vrible létoire réelle de loi N (0, 1). Alors, pour tout intervlle réel I, nous vons l convergence suivnte : ( ) Sn nm P σ I P (Z I). (17.1) n n + On dit que l suite de vribles létoires réelles ((S n nm)/(σ n)) n N converge en loi vers Z (ou encore vers l loi normle N (0, 1)) et l on note : Remrques S n nm σ n L N (0, 1) n + 1. L vrible létoire réelle qui pprît dns le membre de guche est l vrible centrée réduite ssociée à S n pr trnsformtion ffine. On vérifie en effet imméditement que E[S n ] = nm et VrS n = nσ 2. Pour lléger les écritures, nous utiliserons l nottion : S n := S n nm σ n 2. Si nous notons X n l moyenne empirique d ordre n ssociée à l suite (X i ) i N, lors le théorème-limite centrl s écrit encore, pour tout intervlle réel I, ( ) n P σ ( X n m) I P (Z I). n + Ainsi, si I = [, b], nous obtenons en utilisnt l densité de l loi normle centrée réduite : ( ) n b ( ) P σ ( X 1 n m) b exp t2 dt. n + 2π 2

17.2. TLC ET FONCTIONS DE RÉPARTITION 261 Si nous prenons = b = 1, 96, nous obtenons (d près l fin du prgrphe précédent) que lorsque n est «grnd», il y pproximtivement 95 chnces sur 100 pour que l on it : X n m 1, 96σ/ n. C est en ce sens que le théorème-limite centrl implique que l erreur commise en fisnt une pproximtion de m pr X n, comme nous y invite l loi des grnds nombres, est d ordre de grndeur σ/ n pour n «grnd». On dit de fçon équivlente que l convergence énoncée pr l loi des grnds nombres lieu vec une vitesse d ordre de grndeur n/σ. 3. L convergence énoncée pr l loi des grnds nombres étit vlble sous l hypothèse (X i ) i N i.i.d. dns L 1 (Ω, A, P ) mis pour préciser s vitesse grâce u théorème-limite centrl, nous vons besoin d une hypothèse supplémentire : l suite (X i ) i N est supposée dns L 2 (Ω, A, P ). 4. En prennt I = [, b] (pour fixer les idées) et en fisnt un simple chngement de vrible dns une intégrle, on montre que l suite ((S n nm)/ n) n N converge en loi vers l loi normle N (0, σ 2 ). 5. L convergence en loi est une notion plus difficile à mnipuler que l convergence en probbilité ou l convergence presque sûre. Elle est l plus fible de ces trois types de convergences : on peut montrer que, pour des vribles létoires réelles quelconques (Y n ) n N et Y, on les implictions Y n p.s. Y = Y n n + (P) Y = Y n n + L n + Y. Mlgré l difficulté de cette notion, on est obligé d en psser pr l convergence en loi tout simplement prce que les types plus forts de convergence ne permettent ps d obtenir un théorème du genre théorème-limite centrl : sous les hypothèses de ce théorème, on peut en effet prouver qu il n existe ucun α > 0 tel que l suite (n α ( X n m)) n N converge en probbilité vers une vrible létoire non presque sûrement nulle. 17.2 TLC et fonctions de réprtition Corollire 17.2.1 Sous les hypothèses du théorème-limite centrl et en notnt Φ l fonction de réprtition de l loi N (0, 1), nous vons l convergence suivnte pour tout x R : ( ) Sn nm P σ x Φ(x). (17.2) n n +

262 CHAPITRE 17. LE THÉORÈME-LIMITE CENTRAL Démonstrtion: Il suffit d ppliquer le théorème 17.1.1 vec I =], x]. Remrques 1. On peut reformuler cet énoncé en disnt que, si l on note F n l fonction de réprtition de l vrible létoire réelle S n, lors l suite (F n ) n N converge simplement sur R vers l fonction de réprtition Φ de l loi normle centrée réduite. 2. Le corollire reste vri si l on remplce l inéglité lrge pr une inéglité stricte. Il suffit en effet de prendre I =], x[ dns le théorème précédent. En nous souvennt des propriétés des fonctions de réprtition, nous pouvons écrire ceci sous l forme : x R F n (x ) n + Φ(x) (17.3) 3. On peut montrer que cet énoncé 17.2.1 n est ps seulement un corollire du théorème 17.1.1 mis lui est en fit équivlent. C est pourquoi le lecteur trouver le théorème-centrl limite énoncé sous cette forme (convergence simple de fonctions de réprtition) dns plusieurs ouvrges. De même, l convergence (17.3) est en fit équivlente à l énoncé du théorème-limite centrl. Les convergences (17.2) et (17.3), qui sont donc équivlentes à l énoncé du théorème-limite centrl, peuvent être méliorées. En effet, un critère de convergence uniforme ppelé second théorème de Dini, permet de démontrer le résultt suivnt, que nous dmettrons : Lemme 17.2.2 Soit (F n ) n N une suite quelconque de fonctions de réprtition qui converge simplement sur R vers une fonction de réprtition continue F. Alors (F n ) n N converge uniformément vers F sur R. L fonction de réprtition Φ de l loi N (0, 1) étnt continue (c est d illeurs vri pour toute fonction de réprtition d une loi qui dmet une densité de probbilité), nous déduisons imméditement de ce lemme que les convergences (17.2) et (17.3) sont en rélité uniformes sur R. Pr exemple, nous vons, en notnt F n l fonction de réprtition de l vrible létoire réelle S n : sup F n (x) Φ(x) 0 (17.4) x R n + Il est lors fcile d en déduire l proposition suivnte, que le lecteur pourr prouver à titre d exercice, en utilisnt des églités telles que : ( ( P Sn [, b]) = F n (b) F n ( ), P Sn ], b[) = F n (b ) F n ()

17.2. TLC ET FONCTIONS DE RÉPARTITION 263 Proposition 17.2.3 Sous les hypothèses et vec les nottions du théorèmelimite centrl, l convergence (17.1) est uniforme sur tous les intervlles réels I, ce qui s écrit : sup I ( P Sn nm σ n ) I P (Z I) 0 (17.5) n + Lorsque n tend vers l infini, l loi de l vrible S n et l loi de l vrible Z, c est-à-dire l loi N (0, 1), deviennent rbitrirement proches uniformément sur tous les intervlles réels I. C est en ce sens que l on peut dire que, lorsque n est suffismment grnd, l loi de l vrible S n est pproximtivement gussienne centrée réduite, ce qu on écrir (informellement) S n N (0, 1). Revenons mintennt u fit que les convergences (17.2) et (17.3) ont lieu uniformément sur R. Si nous notons F Sn l fonction de réprtition de l vrible S n et Φ nm,nσ 2 l fonction de réprtition de l loi N (nm, nσ 2 ), on démontre fcilement que, pour tout n N et tout x R : ( ) x nm F Sn (x) = F n σ n ( x nm et Φ nm,nσ 2(x) = Φ σ n Nous en déduisons les convergences uniformes suivntes : sup F Sn (x) Φ nm,nσ 2(x) x R n + ). 0, sup F Sn (x ) Φ nm,nσ 2(x) 0. x R n + Pr un risonnement similire à ce qui été fit précédemment, nous pouvons en déduire que, lorsque n tend vers l infini, l loi de l vrible S n et l loi N (nm, nσ 2 ) deviennent rbitrirement proches uniformément sur tous les intervlles réels I. C est en ce sens que l on peut dire que, lorsque n est suffismment grnd, l loi de l vrible S n vut pproximtivement l loi N (nm, nσ 2 ), ce que nous écrivons : S n N (nm, nσ 2 ). Il nous reste à préciser ce que signifie n «grnd»! Comme nous l vons fit dns le chpitre précédent à propos du théorème de De Moivre-Lplce, nous utilisons le théorème de Berry-Esseen, ici dns son énoncé générl, lequel nous donne des précisions sur l vitesse à lquelle lieu l convergence énoncée pr le théorème-limite centrl. Le lecteur pourr retrouver cet énoncé dns L essentiel en théorie des probbilités pr Jen JACOD et Philip PROTTER chez Cssini, pge 191 (corriger le membre de droite en recentrnt l vrible X 1 ). On ne connît ps l vleur optimle de l constnte C intervennt ci-dessous mis on sit que l on peut prendre C 0, 8.

264 CHAPITRE 17. LE THÉORÈME-LIMITE CENTRAL Théorème 17.2.4 (Berry-Esseen) Soit (X i ) i N une suite indépendnte identiquement distribuée de vribles létoires réelles dns L 3 (Ω, A, P ). En reprennt les nottions de (17.4), il existe une constnte C > 0 telle que : n N sup F n (x) Φ(x) C E[ X 1 E[X 1 ] 3 ] x R σ 3 n Pour svoir à quelle vitesse vit lieu l convergence dns l loi des grnds nombres, nous vons dû rjouter une condition L 2 et l réponse nous lors été fournie pr le théorème-limite centrl. Pour svoir à quelle vitesse vit lieu l convergence énoncée pr ce dernier, nous vons dû rjouter une condition L 3 et l réponse nous lors été fournie pr le théorème de Berry-Esseen. Remrquons que les questions de vitesse de convergence s rrêtent là cr le théorème de Berry-Esseen n est ps un théorème symptotique : l mjortion qu il énonce est vlble pour tout entier n N, même petit. 17.3 Un énoncé sns équidistribution Nous vions nnoncé dns l introduction que, selon le théorème-limite centrl, si l on dditionne beucoup de vribles indépendntes dmettnt un moment d ordre deux, lors le résultt est une vrible pproximtivement gussienne. C est ce que nous venons de montrer mis à une objection près : jusqu à présent, nous n vons ps seulement supposé les vribles indépendntes et dns L 2 (Ω, A, P ) mis nous leur vons églement demndé d voir toutes l même loi. Nous dirons simplement à ce sujet qu il existe divers rffinements du théorème-limite centrl qui permettent, sous certines conditions, de s ffrnchir de l hypothèse d équidistribution. Nous donnons un tel énoncé à titre d exemple, en l dmettnt. Proposition 17.3.1 (TLC, suite bornée dns L 2+ɛ ) Soit ɛ > 0 et (X i ) i N une suite de vribles létoires réelles indépendntes mis non nécessirement de même loi, formnt une fmille bornée dns L 2+ɛ (Ω, A, P ), i.e. telle que : sup i N E[ X i 2+ɛ ] < +. Pr commodité, nous supposons E[X i ] = 0 et nous notons σ 2 i = VrX i pour tout i N. Alors, si + i=1 σ2 i = +, nous vons l convergence en loi suivnte : S n n i=1 σ2 i L N (0, 1). n +

17.4. TEST DU χ 2 D AJUSTEMENT. 265 17.4 Test du χ 2 d justement. L construction de ce test sttistique d usge très cournt fit ppel à une version multidimensionnelle du théorème-limite centrl qui est hors progrmme. Nous dmettrons donc certins résultts dns l suite, en présentnt les idées essentielles permettnt l mise en oeuvre de ce test. Nous considérons n répétitions d une expérience létoire qui produit un résultt dns un ensemble fini, pr exemple 1; k. Nous vons des risons de supposer que l loi sur 1; k qui gouverne cette expérience est donnée pr p = (p 1,, p k ), vec p i 0 pour tout i 1; k et p 1 + + p k = 1, mis nous voudrions confirmer ou infirmer cette hypothèse u regrd des vleurs (x 1,, x n ) = (X 1 (ω),, X n (ω)) observées u cours des n répétitions de l expérience, c est-à-dire tester l justement de notre modèle à l rélité expérimentle. Pour ce fire, une première étpe consiste à introduire une sorte de distnce entre les lois de probbilité sur l ensemble 1; k, l idée étnt de regrder ensuite si l loi empirique (définie ci-dessous et clculble à prtir du résultt de l expérience) est proche ou éloignée de l loi théorique p dont nous vons fit l hypothèse. Définition 17.4.1 Soient p et q deux lois de probbilité sur 1; k. On ppelle «distnce» du χ 2 entre p et q l quntité : d χ 2(p, q) = k (p i q i ) 2 p i i=1 Le mot distnce est entre guillemets cr ce n est ps du tout une distnce u sens des espces métriques : elle n est visiblement ps symétrique et il est fcile de constter qu elle ne vérifie ps non plus l inéglité tringulire. En rélité, son seul rpport vec une distnce est l propriété suivnte : d χ 2(p, q) = 0 p = q Remrquons que cette pseudo-distnce tendnce surévluer les différences entre p et q sur les entiers i où p i est petit : nous chercherons à limiter ce phénomène dns l suite en imposnt des conditions telles que np i 5 pour tout i 1; k. L deuxième étpe de construction du test qui v nous permettre de confirmer ou infirmer notre hypothèse consiste à comprer l loi théorique p vec l loi empirique p n que nous définissons comme suit :

266 CHAPITRE 17. LE THÉORÈME-LIMITE CENTRAL Définition 17.4.2 Si (X 1,, X n ) est l vrible létoire modélisnt les n répétitions de notre expérience, nous posons : n i 1; k, Nn i = j=1 1 {Xj =i} Nous ppelons lors loi empirique, notée p n, l loi sur 1; k définie pr : i 1; k, p i n = N i n n Notons que l vleur de p n dépend du résultt ω de l expérience, d où le qulifictif empirique. En toute rigueur, c est d illeurs p n (ω) (et non ps p n ) qui est une loi de probbilité sur 1; k. Définition 17.4.3 On ppelle χ 2 d justement l vrible létoire suivnte : nd χ 2(p, p n ) = n k i=1 (p i p i n) 2 p i = k (np i Nn) i 2 Nous rppelons mintennt l définition d une loi de probbilité sur R qui été introduite dns l exercice 14.5.4 pge 237 et identifiée à une loi Gmm, ce qui nous fournit s densité. Définition 17.4.4 Considérons Z = (Z 1,, Z d ) un vecteur létoire dont les composntes sont indépendntes et de même loi N (0, 1). Alors l loi de l vrible létoire positive Z 2 = Z1 2 + + Zd 2 est ppelée loi du χ 2 à d degrés de liberté et notée χ 2 (d). Cette loi est en fit égle à l loi γ( 1, d ) et dmet donc pour densité : 2 2 g 1 2, (x) = d 2 i=1 1 x d 2 d 2 Γ( d 2 x 2 1 1 R + (x) 2 )e Le résultt essentiel qui v nous permettre de construire le test dit du χ 2 est le suivnt : Proposition 17.4.5 (Person) Si pour tout n N, le vecteur létoire (X 1,, X n ) suit l loi p n, lors l convergence suivnte lieu : nd χ 2(p, p n ) L n + χ2 (k 1) Autrement dit, si nous notons F k 1 l fonction de réprtition de l loi χ 2 (k 1), nous vons l convergence suivnte pour tout x R : P (nd χ 2(p, p n ) x) n + F k 1(x) np i

17.4. TEST DU χ 2 D AJUSTEMENT. 267 Comme nnoncé plus hut, l démonstrtion de ce résultt nécessite l version multidimensionnelle du théorème-limite centrl, hors progrmme, donc nous l dmettrons. Remrquons simplement que si (X 1,, X n ) suit l loi p n, c est-à-dire si les vribles X i sont indépendntes et de même loi p, lors le TLC (en dimension 1) implique l convergence suivnte : N i n np i np i L n + N (0, 1 p i) Il est lors ssez intuitif que l loi limite du χ 2 d justement, c est-à-dire de l vrible suivnte : ( ) 2 k Nn i np i nd χ 2(p, p n ) = np i i=1 soit une loi du χ 2 mis on pourrit penser que celle-ci k degrés de liberté, lors que l vrie loi limite est χ 2 (k 1). En fit, l «perte» d un degré de liberté peut se comprendre en consttnt que nos vribles ne sont ps totlement «libres» puisqu il existe entre elles l reltion linéire suivnte : k (Nn i np i ) = 0 i=1 L proposition de Person nous dit donc que, si l expérience est bien gouvernée pr l loi p supposée, lors le χ 2 d justement suit une loi proche de χ 2 (k 1) lorsque le nombre n de répétitions de l expérience devient «grnd». En revnche, si l expérience est en rélité régie pr une loi q p, lors il existe 1 i k tel que q i p i et l loi des grnds nombres implique l convergence suivnte lorsque n tend vers l infini : d χ 2(p, p n ) = k (p i p i n) 2 p i i=1 p.s. d χ 2(p, q) > 0 d où nous déduisons le comportement symptotique du χ 2 d justement : nd χ 2(p, p n ) p.s. + (17.6) C est l différence entre ces deux comportements symptotiques qui v nous permettre de tester l hypothèse H 0 :«L expérience est gouvernée pr l loi p» contre l hypothèse lterntive H 1 :«L expérience est gouvernée pr une loi q p».

268 CHAPITRE 17. LE THÉORÈME-LIMITE CENTRAL Pssons à l construction effective du test. Si nous notons F k 1 l fonction de réprtition de l loi χ 2 (k 1), nous prouvons fcilement que F k 1 est une bijection de R + sur [0, 1[ en consttnt que l densité de l loi χ 2 (k 1) est strictement positive sur R + et nulle sur R. Pr conséquent, pour tout α ]0, 1], il existe un unique c α R + tel que χ 2 (k 1) (]c α, + [) = α et l on c α = F 1 k 1 (1 α). Si l hypothèse H 0 est rélisée, donc si l expérience est régie pr l loi p, l proposition de Person implique : P p (nd χ 2(p, p n ) > c α ) n + α (17.7) En revnche, si c est l hypothèse H 1 qui est rélisée, donc si l expérience est gouvernée pr une loi q p, lors le comportement symptotique (17.6) entrîne l convergence suivnte lorsque n tend vers l infini : P q (nd χ 2(p, p n ) > c α ) n + 1 (17.8) Nous prtiquons donc notre test comme suit : Nous choisissons une vleur α ]0, 1] (typiquement α est petit cr, comme nous llons le voir, il représente le niveu d erreur du test) et nous en déduisons l vleur c α. Pour le résultt ω de l expérience que nous observons, nous clculons l vleur du χ 2 d justement : nd χ 2(p, p n (ω)) = k (np i Nn(ω)) i 2 i=1 np i Nous comprons lors cette vleur à c α pour conclure : Si nd χ 2(p, p n (ω)) > c α, lors nous rejetons l hypothèse H 0. Si nd χ 2(p, p n (ω)) c α, lors nous cceptons l hypothèse H 0. De fçon générle, lorsque nous prtiquons un test sttistique, notre conclusion peut être erronée de deux fçons différentes : Erreur de 1ère espèce : Je rejette l hypothèse H 0 lors qu elle est stisfite en rélité. Erreur de 2nde espèce : J ccepte l hypothèse H 0 lors qu elle n est ps stisfite en rélité. Dns de nombreuses situtions prtiques, ces deux types d erreurs ne sont ps symétriques, l erreur de première espèce étnt considérée comme plus grve que l utre :

17.4. TEST DU χ 2 D AJUSTEMENT. 269 Pr exemple, si je teste le câble d un scenseur supposé pouvoir ccueillir 10 personnes (750kg) et si je note M l msse critique à prtir de lquelle le câble csse, je choisiri H 0 :«M 750» et H 1 :«M> 750». L erreur de 1ère espèce conduirit des usgers de l scenseur à un grnd plongeon : c est ce risque que je veux bsolument mîtriser. L erreur de 2nde espèce conduirit à des réprtions inutiles sur l scenseur : je veux l éviter mis elle est moins grve que l première. Dns le test du χ 2 que nous venons de construire, l convergence (17.7) se trduit comme suit : l probbilité de commettre une erreur de 1ère espèce est symptotiquement égle à α. On dit qu on construit un test de niveu d erreur symptotique α ou de niveu de confince symptotique 1 α. Qunt à l convergence (17.8), s trduction est plus vgue : lorsque n devient «grnd», l probbilité de commettre une erreur de 2nde espèce devient «petite» mis nous ne mîtrisons ps l vitesse à lquelle cette convergence se produit. On dit que l puissnce du test, c est-à-dire l probbilité de rejeter l hypothèse H 0 qund elle n est effectivement ps stisfite dns l rélité, tend vers 1 lorsque n tend vers l infini. Nous terminons cette introduction u test du χ 2 en le générlisnt u cs où l ensemble E des résultts possibles pour l expérience est infini. Nous pouvons lors dpter notre méthode comme suit : Nous choisissons une prtition finie (E 1,, E k ) de l ensemble E. Si ν est l loi sur E supposée gouverner l expérience, nous posons p i = ν(e i ) et nous comptons mintennt le nombre de fois où l on tombe dns l clsse E i u cours des n répétitions de l expérience : N i n(ω) = n j=1 1 {Xj (ω) E i } Le reste du test se déroule comme précédemment. Notons qu vec cette méthode, nous ne testons en rélité que l déqution ux vleurs de ν sur les différentes clsses E i. Attention, le choix des clsses E i n est ps du tout innocent! Une règle d or, liée à l remrque fite à l suite de l définition de d χ 2, est que les effectifs théoriques np i (espérnce de N i dns le cs où l expérience est vriment gouvernée pr l loi ν) des clsses E i ne doivent jmis être trop «petits» Dns l prtique, on impose souvent que l condition suivnte soit stisfite : i = 1; k np i 5

270 CHAPITRE 17. LE THÉORÈME-LIMITE CENTRAL D utres règles prtiques existent : pr exemple, on constté qu il étit préférble de choisir les clsses E i de sorte que leurs effectifs théoriques respectifs np i soient peu près tous équivlents. Nous n insisterons ps plus sur ce sujet des règles prtiques qui concernent plus les orfèvres du test du χ 2 que les grégtifs!

Tble des mtières 1 Intégrle de Riemnn. 5 1.1 Applictions réglées........................ 5 1.2 Construction de l intégrle de Riemnn............. 10 1.2.1 Intégrle d une ppliction en esclier.......... 10 1.2.2 Intégrle d une ppliction réglée............ 11 1.2.3 Propriétés élémentires.................. 13 1.2.4 Intégrle d une ppliction à vleurs réelles....... 15 1.3 Outils prtiques de clcul d une intégrle............ 19 1.3.1 Utilistion d une primitive................ 19 1.3.2 Intégrtion pr prties.................. 21 1.3.3 Chngement de vrible................. 22 1.3.4 Exercices suggérés..................... 24 1.3.5 Applictions suggérées................... 26 1.4 Sommes de Riemnn....................... 27 1.5 Convergences de suites d pplictions.............. 30 1.6 Intégrle d une fonction dépendnt d un prmètre...... 34 1.7 Arcs prmétrés.......................... 35 1.7.1 Rectifiction d un rc prmétré............. 35 1.7.2 Intégrle curviligne d une forme différentielle...... 36 2 Intégrles impropres. 37 2.1 Définition des intégrles impropres................ 37 2.2 Étude de l convergence : cs positif.............. 39 2.2.1 Comprison vec une intégrle de référence....... 40 2.2.2 Intégrtion des reltions de comprison........ 42 2.2.3 Comprison vec une série............... 45 2.3 Cs générl : critère de Cuchy et utres méthodes....... 46 2.3.1 Critère de Cuchy et conséquences............ 46 2.3.2 Méthodes directes..................... 49 2.4 Clcul des intégrles impropres................. 50 2.5 Appliction à l étude de séries................... 51 271

272 TABLE DES MATIÈRES 3 Intégrtion sur un intervlle quelconque 57 3.1 Fonctions intégrbles....................... 57 3.1.1 Le cs positif....................... 57 3.1.2 Le cs réel......................... 58 3.1.3 Le cs complexe...................... 59 3.2 Théorèmes de convergence.................... 59 3.3 Intégrle dépendnt d un prmètre............... 65 3.3.1 Étude de l continuité.................. 65 3.3.2 Étude de l dérivbilité.................. 69 3.4 L fonction Γ d Euler....................... 71 4 Intégrles multiples 75 4.1 Intégrle double sur un domine simple borné......... 75 4.2 Intégrle double sur un produit d intervlles quelconques... 76 4.2.1 Le cs positif....................... 77 4.2.2 Le cs réel ou complexe................. 78 4.3 Chngement de vrible..................... 80 5 Méthodes de clcul pproché d une intégrle 81 5.1 Intégrle d une fonction polynomile............... 82 5.1.1 Ordre d une méthode de qudrture........... 82 5.1.2 Exemples......................... 84 5.2 Interpoltion polynomile..................... 87 5.2.1 Interpoltion de Lgrnge et Hermite.......... 87 5.2.2 Évlution de l erreur................... 88 5.3 Intégrtion numérique...................... 89 5.3.1 Avec un polynôme de Lgrnge............. 89 5.3.2 Avec un polynôme d Hermite.............. 90 5.3.3 Méthodes composées.................... 91 5.4 Méthodes de Guss......................... 92 5.5 Méthode de Romberg....................... 93 5.6 Une méthode probbiliste.................... 93 6 Applictions de l nlyse u clcul des grndeurs 95 6.1 Longueur d un rc de clsse C 1................. 95 6.1.1 Rectifiction d un rc prmétré............. 95 6.1.2 Clcul prtique...................... 97 6.2 Produit mixte et produit vectoriel dns R n........... 101 6.2.1 Orienttion de R n..................... 101 6.2.2 Produit mixte dns R n euclidien orienté........ 102 6.2.3 Produit vectoriel dns R n euclidien orienté....... 103

TABLE DES MATIÈRES 273 6.2.4 Interpréttions géométriques en dimension 3...... 105 6.3 Théorème du chngement de vribles............. 106 6.3.1 Enoncé générl...................... 106 6.3.2 Quelques cs prticuliers................. 108 6.4 Formule de Green-Riemnn................... 111 6.5 Aire d une nppe géométrique.................. 112 6.5.1 Nppe prmétrée, nppe géométrique......... 112 6.5.2 Aire d une nppe géométrique.............. 113 7 Espces de Bnch 115 7.1 Définition et premiers exemples................. 115 7.2 Séries à vleurs dns un espce de Bnch........... 116 7.3 Espces de Bnch usuels de suites et de fonctions....... 117 7.4 Suites d pplictions à vleurs dns un espce de Bnch... 120 7.5 Séries d pplictions à vleurs dns un espce de Bnch... 122 8 Exponentielle dns une lgèbre de Bnch 125 8.1 Définitions et premières propriétés................ 125 8.2 Exponentielle de mtrice..................... 128 8.2.1 Clcul explicite...................... 129 8.2.2 Quelques pplictions topologiques........... 132 8.2.3 Appliction ux systèmes différentiels linéires..... 134 9 Séries de Fourier 137 9.1 Rppels sur les espces préhilbertiens.............. 137 9.1.1 Définitions dns les cs réel et complexe........ 137 9.1.2 Propriétés......................... 139 9.1.3 Orthogonlité et procédé de Grm-Schmidt....... 140 9.1.4 Projection orthogonle, meilleure pproximtion.... 142 9.1.5 Inéglité de Bessel et églité de Prsevl........ 144 9.2 Polynôme et série trigonométriques............... 146 9.3 Coefficients et série de Fourier.................. 148 9.4 Approximtion en moyenne qudrtique............ 149 9.5 Le théorème de convergence de Dirichlet............ 152 9.6 Le théorème de Fejér....................... 157 10 Séries entières 163 10.1 L lgèbre des séries entières................... 163 10.2 Ryon de convergence...................... 164 10.3 Continuité et dérivbilité..................... 168 10.4 Principe des zéros isolés..................... 170

274 TABLE DES MATIÈRES 10.5 Formule de Cuchy, églité de Prsevl............. 171 11 Espces mesurés. Espces probbilisés. 175 11.1 Clns et tribus........................... 175 11.1.1 Définitions......................... 175 11.1.2 Clns et tribus engendrés................. 177 11.2 Mesures positives.......................... 178 11.2.1 Définitions......................... 178 11.2.2 Propriétés d une mesure.................. 179 11.3 Appliction à l modélistion du hsrd............. 182 11.3.1 Un modèle simple : le modèle dditif........... 182 11.3.2 Modèle définitif : les espces probbilisés......... 187 11.4 Probbilités conditionnelles. Indépendnce d événements.... 189 11.4.1 Définition des probbilités conditionnelles........ 189 11.4.2 Formule de Byes..................... 192 11.4.3 Indépendnce d événements................ 193 11.5 Exercices.............................. 196 11.5.1 Clns............................ 196 11.5.2 Formule de Poincré.................... 197 11.5.3 Équiprobbilité....................... 198 11.5.4 Probbilités conditionnelles................ 199 11.5.5 Événements indépendnts................. 200 12 Vribles létoires réelles. 205 12.1 L tribu borélienne réelle..................... 205 12.2 Les vribles létoires réelles et leurs lois........... 207 12.3 Fonction de réprtition d une v..r................ 210 12.4 Vribles discrètes........................ 212 13 Vribles à densité 217 13.1 Définitions............................. 217 13.2 Exemples clssiques de lois à densité.............. 218 13.3 Fonction de réprtition...................... 220 13.4 Espérnce. Théorème de trnsfert................ 222 13.5 Moments d une vrible létoire................ 223 13.6 Exercices sur les fonctions de réprtition............ 223 13.6.1 Minimum de vribles exponentielles........... 224 13.6.2 Vribles mnésiques.................... 224 13.6.3 Loi du χ 2 à un degré de liberté.............. 224 13.6.4 Loi gussienne dns R................... 225 13.6.5 Avec une loi de Cuchy.................. 225

TABLE DES MATIÈRES 275 14 Vecteurs létoires et indépendnce 227 14.1 Les vecteurs létoires et leurs lois............... 228 14.2 Vecteurs létoires discrets.................... 230 14.3 Vecteurs létoires à densité................... 230 14.4 Indépendnce de p v..r...................... 234 14.5 Exercices.............................. 236 14.5.1 Clcul de densité mrginle................ 236 14.5.2 Densité gussienne en dimension 2............ 237 14.5.3 Loi uniforme sur le disque................ 237 14.5.4 Problème sur les lois Gmm et Bêt.......... 237 14.5.5 Guss et Cuchy...................... 238 14.5.6 Avec des lois exponentielles................ 239 15 Loi des grnds nombres. 241 15.1 Suite indépendnte équidistribuée................. 242 15.2 Convergences de suites de v..r.................. 245 15.2.1 Événements négligebles, églité presque sûre...... 245 15.2.2 Convergences en probbilité et presque sûre....... 246 15.3 Loi des grnds nombres...................... 248 16 Loi normle 251 16.1 L loi normle centrée réduite.................. 251 16.2 L loi normle générle...................... 253 16.3 Approximtion normle de l loi binomile........... 256 17 Le théorème-limite centrl 259 17.1 Énoncé clssique......................... 260 17.2 TLC et fonctions de réprtition................. 261 17.3 Un énoncé sns équidistribution................. 264 17.4 Test du χ 2 d justement...................... 265

276 TABLE DES MATIÈRES ISBN 978-2-91-635238-1 9 7 8 2 9 1 6 3 5 2 3 8 1