Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot
Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques...................................... 4-3 Autres exercices....................................... 5 2 - Espaces Vectoriels Normés...................................... 7 2 - Normes............................................ 7 2-2 Autres exercices....................................... 7 3 - Cotiuité............................................... 9 3 - Exercices basiques...................................... 9 3-2 Autres exercices....................................... 4 - Suites et Séries de Foctios..................................... 4 - Suites de foctios...................................... 4-2 Séries de foctios...................................... 2 5 - Séries Etières............................................ 3 5 - Rayo de covergece.................................... 3 5-2 Foctio somme....................................... 3 5-3 Développemet e série etière............................... 4 5-4 Applicatios......................................... 4 5-5 Autres exercices....................................... 5 6 - Itégrales covergetes et foctios itégrables.......................... 6 7 - Aales................................................ 8 8 - Lies.................................................. 33 9 - Rappels : Développemets limités.................................. 34 2
- Séries Numériques Exercice. u diverge. Soit (u ) ue suite de K. Motrer que si u 2p coverge, et u 2p+ diverge, alors p p Exercice 2. Motrer que la série si() diverge. - Séries à termes positifs Exercice 3. Etudier la covergece et calculer la somme des séries : ( + ), 2 l ( ) 2 2, 3 2 ( 3 2 4), Exercice 4. Motrer que =.333 333 333 3 2 Calculer le réel α =.2 2 2 Exercice 5. Etudier la covergece des séries : +, 2 2 5 + 5, 3 e a. Exercice 6. Soit f la foctio défiie sur ], + [ par f(x) = l(+x). Ecrire la formule de Mac-Lauri pour f. Etudier la covergece, et calculer évetuellemet la somme de la série ( ). Exercice 7. Etudier la ature de la suite (u ) N, où u = + 2 + + l. Exercice 8. (voir H-Prepa 3) 3 Pour tout etier k o pose : u k = 2 2k+3 + 5k + 2. E majorat u k par le terme gééral d ue série géométrique motrer que u k est covergete. O ote R le reste d ordre de cette série. 2 Trouver tel que R 2. 3 Sas faire les calculs, doer l expressio d ue valeur approchée à 2 près de H-Prépa : Lire exercice 6. H-Prépa : exercice. k= u k. Exercice 9. Séries de Bertrad 3
Etat doés deux réels a et b, o cosidère la série 2 a (l ) b. O suppose a =. E utilisat le théorème de comparaiso avec ue itégrale, motrer que la série coverge si et seulemet si b >. 2 O suppose a. E comparat cette série à ue série de Riema, motrer qu elle coverge si et seulemet si a >. Exercice. H-Prepa 2 Motrer que 2 k k= Exercice. Détermier la ature des séries de terme gééral l 3 +, (!) 3, 2 2 ( )!, (!) 2 ( (2)!, ), l 2 2. - 2 Séries quelcoques Exercice 2. O cosidère les séries suivates de terme gééral oté u. Dire, e le justifiat, si elles sot covergetes, divergetes ou si o e peut pas détermier leur ature. u = ( ) 3 u = ( ) ( ) + O 2 ( + O ) 2 u = ( ) ( + o 3 2 4 u = ( ) + o ) H-Prépa : exercice 6. Exercice 3. La série ( ) 3 + 2 2 est-elle covergete? absolumet covergete? 2 Pour quelles valeurs du réel a, la série a + est-elle absolumet covergete? covergete? divergete? 3 Pour 2 ( )) α est-elle absolumet covergete? cover- quelles valeurs du réel α >, la série ( ) ( cos gete mais o absolumet covergete? Exercice 4. Exercice 5. l Détermier la ature de la série de terme gééral ) l ( + ( ), α R +. α Détermier la ature des séries de terme gééral ( 2 ) + + 2, + + ( ), 3 + + ( 3 +, e + ). Exercice 6. ( ) + ( ), Détermier la ature des séries de terme gééral ( ) ( cos, ) ( ) l, ( ) ( ) si, + ( ) 4 ( ) (l + ( ) ) 2, ( ).
H-Prépa : 7. Exercice 7. Détermier les réels a et b tels que la série de terme gééral u = ( 3 + 2 + + ) 3 ( 2 + ) b 2 + a + soit covergete. 2 Détermier les polyômes P R[X] tels que u = 4 4 + 3 2 P 3 () soit le terme gééral d ue série covergete. H-Prépa : 9. - 3 Autres exercices Exercice 8. Soit u ue série covergete à termes positifs de la forme u = f() avec f décroissate, cotiue par morceaux. Motrer que N+ N lim f(t) dt R lim f(t) dt N + + N + H-Prépa : 2. Exercice 9. (Exame 28) Pour tout etier o pose : a = 22 (!) 2 (2 + )! Motrer que (a ) est ue suite décroissate., w = ( ) a 2 Quelle est la ature de la série ( ) a v où v = l. E déduire la ature de la suite (l(a )) a puis de la suite (a ). 3 E déduire la ature de w. Exercice 2. (Deug Partie I 24) Etude d ue série dot le terme gééral est le reste d ue série covergete Soit u etier aturel fixé. Soit a ue série umérique covergete. O défiit pour etier aturel supérieur ou égal à, r so reste de rag : r = Cas : O pose pour, a = 2. Calculer r puis motrer que 2 Cas 2 : O pose pour, a = 2. k=+ a k. r coverge et calculer sa somme. a Motrer que pour tout etier aturel o ul o a : + r + + ( + ) 2 b Doer alors u équivalet de (r ) lorsque est au voisiage de +. Que peut-o e coclure sur la ature de la série r. 5
3 Cas 3 : O pose pour, a = ( ). a Justifier la covergece de a. b Soit u etier aturel o ul. O défiit la suite (I ) par I = ( ) Motrer que lim I =. + ( ) k Motrer que I = l 2 +. (idicatio : calculer ( x) k ). k + k= k= ( ) k E déduire la valeur, puis exprimer r e foctio de I. k k= c E utilisat ue itégratio par parties, motrer que : où a et α > sot des réels à détermier. d E déduire la ature de la série r. ( ) I = ( ) a( + ) + O α x + x dx. 6
2 - Espaces Vectoriels Normés 2 - Normes Exercice 2. Normes sur u produit fii de K-ev. Soiet N, (E k, N k ) k des K-ev, E = E i. Cosidéros pour tout x = (x,, x ) de E les réels x, x 2, x défiis par : [ ] x = N k (x k ), x 2 = (N k (x k )) 2 2, x = max N k(x k ). k k= Motrer que les applicatios.,. 2,. sot des ormes sur E. k= Exercice 22. Les applicatios suivates sot-elles des ormes sur E? E = R 2 : (x, y) 5x + 3y, (x, y) x 2 + xy + 2y 2 2 E = C ([, ]; R) : f f() + k= f (t) dt, g g (t) dt. { } Exercice 23. E = f C ([, ]; R) ; f() =. O ote N (f) = sup f(t) et N (f) = sup f (t). t [,] t [,] Motrer que ce sot des ormes sur E mais pas équivaletes. Exercice 24. Soiet (a, b) R 2 tels que a < b, et E = C([a, b], R). O cosidère les ormes, 2, et défiies par : [ b ] b f = f(t) dt, f 2 = f(t) 2 2 dt, f = sup f(t). a a t [a,b] Motrer que f E f (b a) 2 f 2 et f E f 2 (b a) 2 f. 2 Démotrer que, 2, sot deux à deux o équivaletes. H-Prépa : lire exercice 5. H-Prépa : exercice 6 (derière questio à lire) H-Prépa : exercices 3, 4. 2-2 Autres exercices Exercice 25. Ouvert ou fermé? (], [) 2 das R 2 a Q das R 2 {(x, y)/xy = } das R 2 Exercice 26. Soit A ue partie o vide majorée de R. Motrer que sup A Ā. H-Prépa : exercices 8,, 2. Exercice 27. (DS 26) Soit E u espace vectoriel sur R ou sur C. Quelle est la défiitio d ue orme N défiie sur E? 7
2 Das la suite E = M (R). O cosidère la base caoique B de E formée des matrices B ij e possédat qu u élémet o ul situé sur la i ème lige et la j ème coloe. O ote m ij les composates d ue matrice M das cette base. O cosidère les applicatios N et. défiies sur E par : N(M) = max i,j m ij et M = max i,j m ij. a Motrer que N et. sot des ormes sur E. b Motrer que : A E B E N(AB) N(A) N(B). c N et. sot-elles équivaletes? 3 Soit A ue matrice carrée d ordre à coefficiets réels. O cosidère la suite de matrices ( ) k! Ak k= a Motrer que c est ue suite de Cauchy pour N. b E déduire qu elle coverge pour N. O ote e A sa limite. c Coverge-t-elle pour.? Si oui, quelle est sa limite? d Commet faire pour calculer e A à partir des composates de A? 4 Applicatio : Expliciter e A das le cas A = ( 5 Applicatio 2 : Soit θ u réel fixé. Expliciter e B das le cas B = ) ( θ θ ). 8
3 - Cotiuité 3 - Exercices basiques H-Prépa : exercice 2, Applicatio 2. Exercice 28. Etudier la cotiuité de l applicatio g : C C défiie par : g(z) = z Exercice 29. Détermier si les applicatios ( suivates ) sot cotiues sur leur esemble de défiitio : x si y f : R 3 R 2 défiie par : f(x, y, z) =, z + y 2 si y, et f(x,, z) = (x, z). ( y ) x si xy 2 g : R 2 R défiie par : g(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (, ), et g(, ) =. Exercice 3. Motrer que l applicatio h : R 2 R défiie par : h(x, y) = et h(, ) = est pas cotiue e (, ). ( ) ta xy x 2 + y 2 si (x, y) (, ), Exercice 3. Soit u ue applicatio cotiue u : R R. Les esembles suivats sot-ils ouverts? fermés? {(x, y) R 2 / y u(x)}, 2 {(x, y) R 2 / y < u(x)}. Exercice 32. Represeter graphiquemet les parties suivates de R 2 et, pour chacue d elle dire si elle est ouverte, fermée, ou bie i ouverte i fermée. {(x, y) R 2 / x et y }, 2 {(x, y) R 2 / xy > }. Exercice 33. Les esembles suivats sot-ils fermés? borés? {(x, y) R 2 / x 4 + 3y 6 = }, 2 {(x, y) R 2 / x 2 + y 3 = }. H-Prépa : Applicatio 5. Exercices 9, c). H-Prépa : Exercice résolu 2 p. 88 : ) et 2). Exercice 34. (Exame 29) Soit N. Soiet B et C deux élémets de M (R), l esemble des matrices carrées d ordre à coefficiets réels. Motrer que l applicatio g défiie sur M par : g(m) = BMC est cotiue sur M. Das la suite de l exercice o cosidère = 3. 2 Soit k u etier o ul. Soit M k la matrice de M 3 3 défiie par : M k = ( 2) k e 2k Motrer que la suite (M k ) k coverge. Détermier sa limite. 3 Motrer que la suite (BM k C) k coverge. Détermier sa limite. 9
Exercice 35. (Exame 28) Motrer que la foctio f : (x, y, z) (x 2 + y 2, si(xyz)) est cotiue sur R 3. 2 Soit A ue matrice carrée d ordre à coefficiets réels. O ote <.,. > le produit scalaire euclidie sur R. Motrer que l applicatio h : R R R défiie par h(u, v) =< Au, v > est cotiue sur R R. Exercice 36. (Exame 28) Soiet E = C([, ]) l espace vectoriel des foctios cotiues sur [, ], à valeurs réelles, et l applicatio de E das R telle que : f E f = sup f(x). x [,] Démotrer (coveablemet) que est ue orme sur E. O muit E de cette orme. Soit φ l applicatio de E das R telle que : f E φ(f) = f(). 2 Démotrer que φ est ue forme liéaire cotiue sur l espace ormé E. 3 Démotrer que Ker φ = {f E ; φ(f) = } est u sous-espace fermé de E. 3-2 Autres exercices Exercice 37. Soiet Φ ue applicatio cotiue de R 3 das R, et u ue applicatio cotiue de R das R. Motrer que y Φ(x, y, u(y)) est cotiue de R das R. Exercice 38. Soiet f : R R et g : R R. O cosidère h : R 2 R l applicatio défiie par : h(x, y) = f(x) + g(y). Soit (a, b) R 2. Motrer que si f est cotiue e a et si g est cotiue e b, alors h est cotiue e (a, b). 2 O suppose que h est cotiue e (a, b). L applicatio f est-elle cotiue e a? g est-elle cotiue e b? H-Prépa : exercice 24. Lire exercices 6 et 23.
4 - Suites et Séries de Foctios 4 - Suites de foctios Exercice 39. Soiet (f ) ue suite de foctios croissates covergeat simplemet vers f sur u itervalle I de R. Motrer que la foctio f est croissate sur I. Exercice 4. Soit (f ) ue suite de foctios défiies sur [, 3]. O suppose que le graphe est le suivat : f (x) 2 3 x 2 + Etudier la covergece de cette suite (f ) et la ature de la covergece. Exercice 4. Pour tout etier o ul o cosidère la foctio f de [, + [ das R défiie par : f (x) = ( x ) x [, ] x ], + [ Motrer que la suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers ue foctio f que l o détermiera. H-Prépa : exercice 2. Exercice 42. Soit f ue foctio défiie sur R par : f (x) = + (x ) 2. Motrer que (f ) coverge simplemet sur R vers ue foctio f que l o détermiera. 2 Détermier M = sup x R f (x) f(x). 3 La suite (f ) coverge-t-elle uiformémet sur R? a Motrer que (f ) coverge uiformémet sur tout segmet de R. b Que peut-o dire de la cotiuité de f?
4-2 Séries de foctios Exercice 43. Soit f des foctios défiies sur R telles que f coverge simplemet sur l itervalle J de R. O pose f = f. Motrer que : = Si, pour tout, les foctios f sot croissates sur J alors f est croissate sur J. 2 O suppose que J est cetré e. Si, pour tout, les foctios f sot paires alors f est paire. 3 O suppose que J = R. Si, pour tout, les foctios f sot périodiques de même période T, alors f est périodique de période T. Exercice 44. Chercher le domaie de défiitio des foctios : f : x = x!, g : x 2 Etudier la covergece ormale de : = x( x), h : x = ( ) 2 + x 2. = 2 + x 2, = x( x), = ( ) 2 + x 2. H-Prépa : exercices,. ( e x ) Exercice 45. Soit f : x = 2. Motrer que f est défiie, cotiue et dérivable sur [ l 2, + [. Détermier sa limite e +. Exercice 46. Etudier D f, cotiuité, limite e + de f : x xe x. = 2x Exercice 47. Etudier le domaie de défiitio de f : x = 2 + x 2. 2 Motrer que f est cotiue sur D f et doer ses limites aux bores de D f. Exercice 48. Etude de la foctio : f : x = sih 2, c est-à-dire domaie de défiitio, ses de (x) variatio, cotiuité, limite aux bores de so domaie de défiitio. Exercice 49. Etude de ζ (foctio de Riema) : ζ : x = x Etudier le domaie de défiitio, la cotiuité, la limite e +. 2 Motrer que ζ est de classe C sur ], + [ et calculer ses dérivées successives. 3 Etude e +. Motrer que : ζ(x) + x H-Prépa : exercices 5, 2. 2
5 - Séries Etières 5 - Rayo de covergece Exercice 5. Soit a x ue série etière de rayo R >. Motrer que la série etière a! x coverge pour tout x. 2 Détermier le rayo de covergece de a 2 x. 3 Détermier le rayo de covergece de b x avec, pour tout p, b 2p+ = et b 2p = a p. Exercice 5. Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates : z + +, z 4 +, ( 3 3 + + 2 2 + )z, ( + ) 3 z, (l ) z, a + b z a R +, b R +, q 2 z, q <, z 2, si( )z z. Exercice 52. Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates : 2 3 + z4, 2 + z2, 2 z2, a z 2+,, a C, 2 z 2 (4 3) 2, z 3 8 ( + ), a z, a 2 =, a 2+ =. 5-2 Foctio somme Exercice 53. Détermier le rayo de covergece et calculer à l itérieur du disque ouvert de covergece : x, 2 x,, ( ) 2 x 2, x, 2 + 4 x + x!( + 2), ( x) + (2 + )(2 + 3), x 2 (2)!, x 3 (3)! Exercice 54. Détermier le rayo de covergece et la somme à l itérieur du disque ouvert de covergece des séries de terme gééral : (a + 2 + 3 2 ) ( x!, + 2 + + ) x, ( + 2! + + ) x! Exercice 55. Soiet a u réel > et (a ) la suite réelle défiie par : a 2p si = 3p, p N a = a 2p+2 si = 3p +, p N si = 3p + 2, p N 3
Détermier le rayo de covergece de a x et calculer sa somme à l itérieur du disque ouvert de covergece. H-Prépa : Exercices 2, 6, 4. Exercice 56. Motrer que : l 2 = = ( ) + et π 4 = = ( ) 2 + 5-3 Développemet e série etière Exercice 57. Calculer le DSE (au voisiage de ) des foctios suivates. Preciser l itervalle ouvert sur lequel le résultat est obteu. (x x ) 4, 3 x 2, si 3x + x cos 3x, cos(x + a), sih x, + 7x + e 2 x2, 3 8 x 3, l(2 + x), l(x 2 + 3x + 2), 4 x 4 Exercice 58. Calculer le DSE (au voisiage de ) des foctios suivates. Preciser l itervalle ouvert sur lequel le résultat est obteu. x e t2 dt, x 2 (x )(2 x) 2, x 9 + x 2, l(x + + x 2 ), arcsi x, e x x H-Prépa : Exercices 8. Exercice 59. de f et l itervalle de covergece. Détermier ue équatio différetielle vérifiée par f : x arcsi x. E déduire le DSE x 2! Exercice 6. O ote, pour tout N : a =.3. (2 + ). O cosidère la SE a x 2+, et o ote R so rayo, S sa somme. Détermier R. 2 Motrer que S est solutio d ue équatio différetielle liéaire du premier ordre, et e déduire ue expressio simple de S. 3 Etudier S au bord de l itervalle de covergece. 5-4 Applicatios Exercice 6. Motrer que l applicatio f : R R défiie par f(x) = cos x x = est de classe C sur R. x 2 si x et par 2 si H-Prépa : Lire applicatio 5. Exercice 62. E utilisat des SE, résoudre l équatio différetielle : y (x) 3y(x) =, y() = 4
H-Prépa : Exercice 5. Exercice 63. Motrer qu il existe ue solutio uique f, DSE sous la forme f(x) = + l équatio différetielle (E) : 2xy + y y = = a x, de Détermier le rayo de covergece de cette série et calculer sa somme à l aide de foctios usuelles. 2 E déduire l esemble des solutios de E sur R. O pourra effectuer le chagemet de foctio y = zf(x). Quelles sot les solutios cotiues sur R? de classe C sur R? Exercice 64. Soit (s ) la suite défiie par s = s =, et s = s + s 2 pour 2. Motrer que s 2. Motrer que le rayo de covergece R de s x est strictemet positif. 2 Calculer s x pour x < R. 3 Calculer R et s pour tout. 5-5 Autres exercices Exercice 65. Résoudre l équatio = (3 + ) 2 x = d icoue x R. Exercice 66. O cosidère la suite réelle (u ) N défiie par u = u =, et, pour tout N : u +2 = u + + 2 + 2 u. O ote R le rayo de la SE u x, et S sa somme. Motrer : N, u 2. E déduire R. 2 Former ue équatio différetielle liéaire du premier ordre satisfaite par S, et e déduire l expressio de S à l aide de foctios usuelles. 3 E déduire u. H-Prépa : Exercices 4, 8. 5
6 - Itégrales covergetes et foctios itégrables Exercice 67. x est itégrable sur ], ]? sur [, + [? Exercice 68. Exercice 69. Soit α u réel. Etudier l itégrabilité de l x est itégrable sur ], 2]? sur [2, + [? sur ]3, + [. (x 3) α Exercice 7. Motrer que la foctio f défiie par f(u) = ue u est itégrable sur ], + [ et calculer + f(u) du ( 2 Motrer que la foctio g défiie par g(u) = cos est itégrable sur ], u) π 2 [. Exercice 7. Etudier l itégrabilité de : x x si x x 2 sur ], 2π]. 2 x x (si x)e x2 sur R. 3 x cos 2 sur ], 2π]. 4 x sur R. t + x2 Exercice 72. Etudier la covergece des itégrales suivates : + t 2 e t dt, + t (e t ) dt, + 3 t + 3 t t dt, dt t 3 dt Exercice 73. Etudier l itégrabilité sur I des foctios suivates : f(t) = t(t + ), I =], + [; g(t) = t a l t b, I = [2, + [, ], 2 ], [, 2], ], + [ 2 f(t) = si 5t si 3t t 5 3, I =], + [; g(t) = si t 2 l( +, I =], + [; h(t) = si(l t), I =], ] t) Exercice 74. O ote I = π 2 l(si x) dx, J = π 2 l(cos x) dx, K = Démotrer que les itégrales I, J, K sot absolumet covergetes. 2 Démotrer que I + J = K π l 2 2. 3 Démotrer que J = K = I. E déduire la valeur de I. Exercice 75. Existece et calcul de : + π 2 + t 2 + + t 4 dt x e ax dx (a > ) l(si 2x) dx 6
Exercice 76. Démotrer que f(t) = l t t 2 + 2 E déduire : + + l t t 2 + a 2 dt = π l a, pour a >. 2a est itégrable sur ], + [, et que f(t) dt = f(t) dt 7
7 - Aales Exame 24 Exercice. Etudier la covergece des séries : 4 e 2, 2 ( + ( ) l ). 2 Exercice 2. K désige R ou C. O ote E l espace vectoriel K. Pour tout x = (x,, x ) de E o cosidère les réels N 2 (x) et N (x) défiis par : [ ] N 2 (x) = x k 2 2, N (x) = max x k. k k= Motrer que les applicatios N 2 et N aisi défiies sot des ormes sur E. 2 Quelle est la défiitio de deux ormes équivaletes? 3 N 2 et N sot-elles équivaletes? (vous justifierez votre répose). Exercice 3. Motrer que l applicatio f, défiie sur R 3 par ( x 2 ) + 2y f(x, y, z) = + x 2 + y 2, exz, z y x est cotiue sur R 3. 2 Motrer que l applicatio g, défiie sur R 2 par est cotiue sur R 2. g(x, t) = t 5 e t + 2x 4 + t 4 Exercice 4. Soit (f ) ue suite de foctios défiies sur [, ] par : f (x) = x si x si x Etudier la covergece simple et la covergece uiforme sur [, ] de la suite de foctios (f ). 8
Exercice 5. Calculer le DSE (au voisiage de ) de la foctio arcta. Preciser l itervalle ouvert de covergece de la série obteue. ( ) 2 Motrer que 2 + = π 4. = Exercice 6. O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = Motrer qu il existe ue solutio f, développable e série etière au voisiage de x =, de (E). Preciser u itervalle ouvert sur lequel f est solutio de (E). 2 Ecrire f à l aide de foctios usuelles. 9
Exame 25 Exercice. (3 poits) Détermier la ature (covergece ou divergece) des séries suivates : 3 + 3, 2 si(α) 2, (α R), 3 ( ( ) ). 2 + ( ) Exercice 2. (,5 poit) Motrer que l applicatio f, défiie sur R 3 par est cotiue sur R 3. f(x, y, t) = ( x 2 ) + 2y + x 2 + y 2, ext Exercice 3. (,5 poit) Soit (f ) ue suite de foctios défiies sur [, ] par : f (x) = x si x si x Etudier la covergece simple et la covergece uiforme sur [, ] de la suite de foctios (f ). Exercice 4. (8 poits) O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = O veut détermier les solutios y de E développables e série etière sur u itervalle ouvert I iclus das ], [. O ote = c x ue telle solutio. Détermier la relatio de récurrece vérifiée par c. E déduire l expressio de c 2p e foctio de c, et de c 2p+ e foctio de c. 2 Quels sot les rayos de covergece de E déduire l expressio de y. Préciser I. 3 Ecrire p= c 2p x 2p et p= p= c 2p x 2p et de p= c 2p+ x 2p+ à l aide de foctios usuelles. E déduire ue écriture de y à l aide de foctios usuelles. c 2p+ x 2p+? 2
Exercice 5. (6 poits) Calculer le DSE (au voisiage de ) de la foctio arcta. Préciser l itervalle ouvert de covergece de la série etière obteue. 2 Détermier le domaie de défiitio de cette série de foctios. ( ) 3 Doer ue expressio plus simple de (2 + )2 2+. 4 Motrer que = ( ) 2 + = π 4. = 2
Exame 26 Exercice. ( 6 poits) O cosidère ue suite borée (a ) de ombres complexes. a Démotrer la covergece de la série de terme gééral ( + ) 2 Démotrer la relatio suivate, où les etiers p et q vérifiet < p < q : q ( + ) = p q + =p E déduire la somme de la série de terme gééral ( + ) où décrit N. 3 Das cette questio o pose a = x pour. x a Détermier le rayo de covergece R de la série etière de terme gééral ( + ) b Sur u itervalle ouvert à préciser, exprimer la somme de cette série à l aide de foctios usuelles. ( ) c Calculer ( + ) = Exercice 2. (4 poits) Détermier la ature (covergece ou divergece) des séries suivates : 5 + 5, 2, 3 l ( + ( ) ). 2 2 2 Exercice 3. (5 poits) Etude d ue série dot le terme gééral est le reste d ue série covergete. Soit u etier aturel fixé. Soit a ue série covergete. O défiit pour etier aturel supérieur ou égal à, r so reste de rag : r = k=+ O pose pour, a = 2. Calculer r puis motrer que r coverge et calculer sa somme. 2 O pose pour, a = 2. a k. a Motrer que pour tout etier aturel o ul o a : + r + + ( + ) 2 b Doer alors u équivalet de (r ) lorsque est au voisiage de +. Que peut-o e coclure sur la ature de la série r? Exercice 4. (2 poits) 22
Motrer que l applicatio f, défiie sur R 3 par f(x, y, t) = ( + x 2 + y 2, e xt) est cotiue sur R 3. 2 O cosidère ue matrice A θ défiie par : A θ = cos θ si θ si θ cos θ Quelle est la limite, quad θ ted vers π 3, de la foctio f : θ A θ? Exercice 5. (3 poits) Développer e série etière sur u itervalle à préciser : 2 Calculer = x e t2 dt. si(θ) 2. O précisera pour quelles valeurs de θ ce calcul est valide. 23
Exame 27 Exercice. Détermier, quad cela est possible, la ature (covergece ou divergece) des séries de terme gééral u vérifiat : 3 ( ) ( + o 2 3 ( ) + o ), 2 ( ), 4 ( ) Exercice 2. Motrer que l applicatio f, défiie sur R 2 par : ( ) f(x, y) = x 2 + y 2, cos(xy) 2 3 ( ) ( ) ( + O 3 2 ), ( + o 4 3 ). est cotiue sur R 2. Exercice 3. Développer e série etière sur u voisiage de à préciser les foctios suivates : x x (x 2)(x + ), 2 x si(t 2 ) dt. Exercice 4. Etude de la foctio : f : x = sih(x). Pour > o ote f la foctio défiie sur R par f (x) = Détermier le domaie de défiitio de f. 2 Etudier la parité de f. sih(x). 3 Etudier le mode de covergece de la série de foctios f sur ], + [. 4 Motrer que f est cotiue sur ], + [. 5 Etudier la limite de f e +. 6 Détermier la limite de f e +. 7 Faire le tableau de variatio de f. Exercice 5. Rayo de covergece et somme de la série etière : ( 3 + )x 2 Calculer A = 2 =. Idicatio : o pourra itroduire ue série etière dot o calculera la somme. 24
Exercice 6. Hors barème. Soiet x ], [ et N. Soiet f les foctios de la variable réelle t défiies sur [, ] par : f (t) = (tx) + t 2. Motrer que la série de foctios f est défiie sur [, ] et coverge ormalemet sur cet itervalle. 2 Notos a = f (t) dt. A l aide d u ecadremet de a détermier le rayo de covergece R de la série etière a x. 3 Motrer que : x ] R, R[ ( = t + t 2 dt ) x = ( tx) + t 2 dt 25
DISVE Pôle Licece ANNEE UNIVERSITAIRE 29/2 SESSION D AUTOMNE PARCOURS : CODE UE : CPI 37 Epreuve : Aalyse Date : 7 Javier 2 Heure : 4h Durée : 3h Documets : No autorisés. Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio. Le barème est idicatif. Exercice. 5 poits Motrer que la foctio f : (x, y, z) (x 2 + yx, e z ) est cotiue sur R 3. 2 Soit N. Soiet B et C deux élémets de M (R), l esemble des matrices carrées d ordre à coefficiets réels. a Motrer que l applicatio g défiie sur M par : g(m) = BMC est cotiue sur M. Das la suite de l exercice o cosidère = 3. b Soit k u etier o ul. Soit M k la matrice de M 3 3 défiie par : M k = ( 2) k e 2k Motrer que la suite (M k ) k coverge. Détermier sa limite. c Motrer que la suite (BM k C) k coverge. Détermier sa limite. Exercice 2. Cet exercice est que pour les Cocours Chimie. 5 poits Soit α u réel. Démotrer que l itégrale cas calculer dt t α. 2 Motrer que la foctio f défiie sur [, + [ par f(x) = Calculer I = + dt coverge si, et seulemet si, α <. Das ce tα f(x) dx. (O pourra faire u chagemet de variable.) x est itégrable sur [, + [. ( + x) 2 3 Motrer que la foctio g défiie sur ], + [ par g(x) = l x est itégrable sur ], + [. + x2
ANNEE UNIVERSITAIRE 29/2 SESSION 2 DE PRINTEMPS DISVE Pôle Licece PARCOURS : CODE UE : CPI37 Date : 6 mars 2 Heure : 8h3 Durée : 3h Epreuve : Aalyse Documets : No autorisés Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Exercice. O cosidère les séries suivates de terme gééral oté u. Dire, e le justifiat, si elles sot covergetes, divergetes ou si o e peut pas détermier leur ature. u = ( ) 3 u = ( ) ( ) + O 2 ( + O ) 2 u = ( ) ( + o 3 2 4 u = ( ) + o ) Exercice 2. O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = O veut détermier les solutios y de E développables e série etière sur u itervalle ouvert I iclus das ], [. O ote = c x ue telle solutio. Détermier la relatio de récurrece vérifiée par c. E déduire l expressio de c 2p e foctio de c, et de c 2p+ e foctio de c. 2 Quels sot les rayos de covergece de E déduire l expressio de y. Préciser I. 3 Ecrire p= c 2p x 2p et p= p= c 2p x 2p et de p= c 2p+ x 2p+ à l aide de foctios usuelles. E déduire ue écriture de y à l aide de foctios usuelles. c 2p+ x 2p+? Exercice 3. Calculer le DSE (au voisiage de ) de la foctio l( + x). Préciser l itervalle ouvert de covergece de la série etière obteue. 2 Détermier le domaie de défiitio de cette série de foctios.
3 Doer ue expressio plus simple de = ( ) + 2. 4 (Pas pour les cocours chimie) Motrer que = ( ) + = l 2. Exercice 4. (Pour les cocours chimie) Détermier si l itégrale suivate est covergete : Si oui la calculer. + + x 2 dx Exercice 5. D après Cocours Deug 27 Partie I Premiers résultats : a Détermier le rayo de la série etière b Motrer que la suite de terme gééral l précisera. E déduire la ature de la série c Détermier la ature de d Calculer b a l t t l x. est mootoe à partir d u certai rag que l o ( ) l. l. La série ( ) l dt où a et b sot des réels strictemet positifs. 2 Soiet u etier et f ue foctio cotiue et décroissate sur [, + [. est-elle absolumet covergete? a Motrer que pour tout etier k [, + [, o a f(k + ) b E déduire u ecadremet de f(k). k= + k+ k f(t) dt f(k). 3 Détermiatio d u équivalet de la somme partielle : a Expliciter cet ecadremet das le cas où f est la foctio x l x (o calculera les x itégrales et o précisera ). l k b Détermier, e justifiat, u équivalet simple de lorsque est au voisiage de + k k= (o l exprimera à l aide de l ). 2
DISVE Pôle Scolarité ANNEE UNIVERSITAIRE 2/2 SESSION D AUTOMNE PARCOURS : CODE UE : CPI 37 Epreuve : Aalyse Date : 2 Javier 2 Heure : 4h Durée : 3h Documets : No autorisés. Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Le barème est idicatif. Pour tous les étudiats le sujet comporte 7 exercices idépedats. Exercice. (2 poits) Les assertios suivates, das lesquelles u et v désiget deux séries umériques réelles, sot-elles vraies ou fausses? E cas de répose affirmative, vous démotrerez le résultat, et e cas de répose égative, vous doerez u cotre-exemple. (u ) coverge vers = u coverge. 2 u coverge = (u ) coverge vers. 3 u v = u et v sot de même ature. + 4 (Das cette questio, a >.) u coverge = ( ) a+ a coverge vers u réel l <. Exercice 2. (4 poits) Motrer que la foctio f : (x, y, z) (si(x 2 + yx), z 3 ) est cotiue sur R 3. 2 Motrer que la foctio f de R 2 das R défiie par f(x, y) = 3x2 + xy si (x, y) (, ), et par x 2 + y2 f(, ) = est cotiue e (, ). 3 Motrer que la foctio f de R 2 \ {(, )} das R défiie par f(x, y) = 3x2 + xy x 2, est pas + y2 prologeable par cotiuité e (, ). Exercice 3. (3,5 poits) f désige la foctio défiie sur R par f(t) = e t2. O pose I = f(t)dt. Démotrer que la foctio f est développable e série etière (o détermiera la série etière et o précisera so rayo de covergece). ( ) 2 E déduire avec soi que I =! 2 +. = ( ) k 3 Pour N, o pose s = k! 2k +. k= Justifier que pour tout N, o a : s I ( + )!(2 + 3). 4 E déduire u etier N tel que pour N, o a s I 6.
Exercice 4. (3 poits) Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates et calculer leur somme sur u itervalle à préciser. 2 x 2 2 x!( + 2) Exercice 5. (3,5 poits) O pose, pour tout N : u = C k k=, où C k =! k!( k)!. Calculer 2( + )u + 2( + ). E utilisat le chagemet d idice défii par j = k démotrer que : N, u + = + + 2 2( + ) u 2 Détermier le rayo de covergece de la série etière u x, où la variable x est réelle. 3 Notos S la somme de la série etière u x. C est-à-dire, x ] R, R[, S(x) = a Que pouvez-vous dire sur la régularité de S? = u x. b Doer e foctio de u l expressio de la dérivée de S sur u itervalle à préciser. c Motrer que S satisfait sur ], [ l équatio différetielle : (2 x)s 2 (x) 2S(x) = ( x) 2. Exercice 6. (3 poits) O cosidère la foctio ζ : x Etudier le domaie de défiitio de ζ. 2 Motrer que ζ est cotiue sur so domaie de défiitio. 3 Calculer la limite e + de ζ. = x. Exercice 7. Pour les Cocours Chimie. (4 poits) Détermier si l itégrale suivate est covergete, et, si oui, la calculer : + + x 2 dx 2 Motrer que la foctio g défiie sur ], + [ par g(t) = t(t + ) est itégrable sur ], + [. Exercice 8. Pas pour les Cocours Chimie. (4 poits) Soit (f ) N la suite de foctios défiies pour a > par : f (x) = + (a + x 2 ), x R. Motrer que pour a >, cette suite coverge simplemet et uiformémet sur R. 2 Pour a =, étudier la covergece simple et uiforme de la suite (f ) N. 2
DISVE Pôle Scolarité ANNEE UNIVERSITAIRE 2/2 SESSION 2 DE PRINTEMPS PARCOURS : CODE UE : CPI 37 Epreuve : Aalyse Date : 5 mars 2 Heure : 8h3 Durée : 3h Documets : No autorisés. Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Exercice. O cosidère les séries suivates de terme gééral oté u. Dire, e le justifiat, si elles sot covergetes, divergetes ou si o e peut pas détermier leur ature. u = ( ) 3 u = ( ) ( ) + o 2 ( + o ) 2 u = ( ) + o 3 2 4 u = 3 2 ( ) + o 2 Exercice 2. Motrer que la foctio f : (x, y, z) (e yx, z 3 ) est cotiue sur R 3. 2 Motrer que la foctio f de R 2 das R défiie par f(x, y) = y 2 si (x, y) (, ), et par x 2 + y2 f(, ) = est cotiue e (, ). 3 Motrer que la foctio f de R 2 \ {(, )} das R défiie par f(x, y) = 3x + y, est pas x 2 + y2 prologeable par cotiuité e (, ). Exercice 3. O cosidère la série umérique de terme gééral u = Démotrer que u est covergete. O ote S la somme de la série u, et R so reste d ordre. 2 3 + 3. 2 E majorat u par le terme gééral d ue série géométrique, trouver u etier aturel N tel que R N 2. 3 E déduire l expressio d ue valeur approchée à 2 près de S. Exercice 4. Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates et calculer leur somme sur u itervalle à préciser. 3 x 2 x + 2
Exercice 5. O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = O veut détermier les solutios y de E développables e série etière sur u itervalle ouvert I iclus das ], [. O ote = c x ue telle solutio. Détermier la relatio de récurrece vérifiée par c. E déduire l expressio de c 2p e foctio de c, et de c 2p+ e foctio de c. 2 Quels sot les rayos de covergece de E déduire l expressio de y. Préciser I. 3 Ecrire p= c 2p x 2p et p= p= c 2p x 2p et de p= c 2p+ x 2p+ à l aide de foctios usuelles. E déduire ue écriture de y à l aide de foctios usuelles. c 2p+ x 2p+? Exercice 6. Motrer que la foctio arcta est développable e série etière au voisiage de. O ote a x la série etière obteue. 2 Détermier le domaie de défiitio de la série de foctios f, où f : x a x. 3 Doer, e le justifiat, ue expressio plus simple de 4 Pas pour les Cocours Chimie. Motrer que = = ( ) (2 + )2 2+. ( ) 2 + = π 4. Exercice 7. Pour les Cocours Chimie. Détermier si l itégrale suivate est covergete, et, si oui, la calculer : + te t dt 2 La foctio g défiie sur ], + [ par g(t) = si t t 3 2 est-elle itégrable sur ], + [? 2
8 - Lies http://www.uel.educatio.fr/cosultatio/referece/ http://wims.uice.fr/disciplies.html D autres exercices iteractifs de mathématiques : Pour les séries etières : http://wims.uice.fr/wims/wims.cgi?sessio=k5e277c29f.3&+lag=fr&+module=u2%2faalysis% 2Foefseries.fr Pour les séries de Fourier du semestre suivat : http://wims.uice.fr/wims/wims.cgi?sessio=k5e277c29f.3&+lag=fr&+module=u2%2faalysis% 2Foeffourier.fr et : http://wims.uice.fr/wims/wims.cgi?sessio=k5e277c29f.3&+lag=fr&+module=u2%2faalysis%2fdevfo fr Pour les DL : http://wims.uice.fr/wims/wims.cgi?sessio=k5e277c29f.4&+lag=fr&+module=u%2faalysis% 2Foeftaylor.fr et : http://wims.uice.fr/wims/wims.cgi?sessio=k5e277c29f.4&+lag=fr&+module=u%2faalysis%2ftaylo fr 33
9 - Rappels : Développemets limités Développemets limités de quelques foctios usuelles e : e x = + x! + x2 2! + + x! + o(x ) cosh(x) = + x2 2! + x4 4! + + x2 (2)! + o(x2 ) sih(x) = x + x3 3! + + x2+ (2 + )! + o(x(2+) ) cos(x) = x2 2! + x4 x2 + + ( ) 4! (2)! + o(x2 ) si(x) = x x3 3! ( + x) α = + αx + + + ( ) x2+ (2 + )! + o(x(2+) ) α(α ) x 2 + + 2! x = + x + x2 + + x + o(x ) + x = x + x2 x 3 + + ( ) x + o(x ) l( x) = x x2 2 x + o(x ) l( + x) = x x2 2 + x3 x + + ( ) 3 + o(x ) α(α )... (α + ) x + o(x )! Opératios sur les développemets limités Soiet f, g deux foctios qui admettet e les développemets limités à l ordre suivats { f(x) = a + a x + a 2 x 2 + + a x + o(x ) g(x) = b + b x + b 2 x 2 + + b x + o(x ) O ote P (x) = a + a x + a 2 x 2 + + a x et Q(x) = b + b x + b 2 x 2 + + b x f + g admet e u développemet limité à l ordre doé par : (f + g)(x) = f(x) + g(x) = P (x) + Q(x) + o(x ) fg admet e u développemet limité à l ordre doé par : (f.g)(x) = f(x).g(x) = R(x) + o(x ) où R(x) s obtiet e développat le produit des polyômes P (x).q(x) et e e gardat que les termes de degré iférieur ou égaux à. Si b alors f admet e u développemet limité à l ordre que l o obtiet e effectuat g la divisio suivat les puissaces croissates de x jusqu à l ordre de a + a x + a 2 x 2 + + a x par b + b x + b 2 x 2 + + b x. Si b = alors f g admet e u développemet limité à l ordre. O a : (f g)(x) = a + a [Q(x)] + a 2 [Q 2 (x)] + + a [Q (x)] + o(x ) 34
où [Q k (x)] désige le polyôme obteu e développat le produit Q k (x) et e e gardat que les termes de degré iférieur ou égaux à. Exemple : Développemets limités e à l ordre 5 : f(x) = e x = + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + o(x5 ) g(x) = si x = x x3 3! + x5 5! + o(x5 ) O ote P (x) = + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! et Q(x) = x x3 3! + x5 5! e x + si x = + 2x + x2 2! + x4 4! + 2x5 5! + o(x5 ) [ e x si x = + x ] [ ]! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 x x3 5! 3! + x5 + o(x 5 ) 5! [ ] [ ] [ ] = x x3 3! + x5 + x x x3 + x2 x x3 + x3 x4 [x] + 5! 3! 2! 3! 3! 4! [x] + o(x5 ) = x + x 2 + 3 x3 3 x5 + o(x 5 ) (exp si)x = e si x = e x x3 3! +x5 5! +o(x5 ) [ ] = + x x3 3! + x5 + [ ] 2 x x3 5! 2 3! + x5 + [ 5! 3! + [ ] 4 x x3 4! 3! + x5 + [ ] 5 x x3 5! 5! 3! + x5 + o(x 5 ) 5! [ = + x ] 6 x3 + x5 + [x 2 ] 5! 2 3 x4 + 6 = + x + 2 x2 8 x4 5 x5 + o(x 5 ) x x3 3! + x5 5! ] 3 [x 3 ] 2 x5 + [x 4] + [ x 5] + o(x 5 ) 24 2 Exemple : Obtetio du développemet limité à l ordre 5 de ta x par divisio suivat les puissaces croissates de x jusqu à l ordre 5 de x x3 3! + x5 5! par x2 2! + x4 4! +. = = x x3 6 + x5 2 [ ] x x3 2 + x5 24 x 3 3 x5 [ 3] x 3 3 x5 6 2x 5 5 x2 2 + x4 24 x + x3 3 + 2x5 5 D où : ta x = x + x3 3 + 2x5 5 + o(x5 ) 35