CHAPITRE 1 Les vecteurs géométriques

CHAPITRE 1 Les vecteurs géométriques Introduction Les quantités comme la température, la masse, le temps et la longueur sont représentées par des scalaires. Toutefois, il existe d autres quantités dont la description nécessite une amplitude, une direction et un sens ; on parle alors de vecteurs. Le vecteur est un outil mathématique fréquemment utilisé par les physiciens et les physiciens, les mathématiciennes et les mathématiciens. En effet, certaines propriétés des vecteurs sont utilisées en mécanique (force, vitesse, etc.) et en électricité (champs électrique). En mathématiques, on considère les droites et les plans comme des ensembles de points. Pour décrire la relation entre les point, les droites et les plans, ou des mouvements dans l ensemble des points, on utiliser le concept de vecteur. Les droites, les plans, et l espace tridimensionnel sont des exemples d espaces euclidiens de dimension 1, et 3, respectivement. Nous limiterons la plupart de nos exemples aux espaces euclidiens habituels IR, IR, IR 3, IR n. L ensemble IR est considéré comme une droite (la droite réelle), l ensemble IR comme un plan (le plan cartésien) et l ensemble IR 3 comme l espace tridimensionnel. L ensemble IR n (n>3) est une généralisation de l espace IR 3 dans laquelle les points sont repérés par des n-uplet de nombre réels. En géométrie vectorielle, on utilise les nombres réels comme scalaires. Les scalaires servent à mesurer les positions, les angles, les longueurs, les aires, les volumes, etc. Le mot scalaire vient de scale qui signifie mesure. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-1 Ammar Yahia, Génie Civil

Objectifs d apprentissage À la fin de ce chapitre, l étudiant (e) sera capable de: - Déterminer l origine, l extrémité, la direction, le sens ainsi que la norme d un vecteur géométrique, - Définir les vecteurs nuls, les vecteurs équipollents, les vecteurs parallèles, les vecteurs opposés et les vecteurs unitaires, - Effectuer les opérations sur les vecteurs géométriques (addition et soustraction de vecteurs, produit d un vecteur par un scalaire), - Déterminer les composantes d un vecteur géométrique dans IR, IR 3 et IR n, - Calculer la norme d un vecteur géométrique. - Déterminer l angle entre deux vecteurs, - Représenter un vecteur géométrique dans le plan et dans l espace, - Calculer le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs. Références 1. Gilles Charron et Pierre Parent, Algèbre linéaire et géométrie vectorielle. Édition Études Vivantes. 1999.. Germain Beaudoin, Calcul vectoriel et linéaire, Tome1. Les presses de l Université Laval. 1984. 3. Vincent Papillon, Vecteur, matrices et nombres complexes (Chapitre 1 Points et vecteurs). Modulo Éditeur, 1993. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1 - Ammar Yahia, Génie Civil

1.1 Notions préliminaires Cette partie est une récapitulation d un certain nombre de notions mathématiques nécessaires à la bonne compréhension de la matière traitée dans le cadre du cours d algèbre linéaire. Ces notions devraient normalement être déjà étudiées au collège. 1.1.1 Les ensembles numériques Remarques IN : l ensemble {0,1,, 3, } des nombres naturels; Z : l ensemble {, -3, -, -1, 0, 1,, 3, } des nombres entiers; Q : l ensemble { b a / a, b Z; b 0} des nombres rationnels; IR : l ensemble des nombres réels (i.e. des nombres qu on peut mettre en correspondance biunivoque avec les points de la droite graduée et orientée : l axe des réels); C : l ensemble {a + bi / a et b R; i = 1 } des nombres complexes; 1) Les réels IR se divisent en deux grandes classes : les rationnels (Q) et les irrationnels (I). Les irrationnels se distinguent des rationnels en ce qu ils ne peuvent être exprimés sous la forme d un quotient b a, où a et b sont des entiers. Exemple, 5 sont des nombres irrationnels. ) Concernant les ensembles numériques mentionnés ci-haut, la situation globale pourrait se résumer par le diagramme ensembliste suivant: C RN Z I Q R GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-3 Ammar Yahia, Génie Civil

1.1. Propriétés usuelles Exemples a) Fermeture On dit qu un groupe A est fermé pour la loi * (ou que (A, *) possède la propriété de fermeture) si et seulement si la loi * est partout définie dans A. En notation symbolique, A est fermé pour l opération * si et seulement si : (x, y) A, (x * y) A 1. (IN, +) a la propriété de fermeture parce que, (x, y) IN, (x + y) IN.. (IN, ) n a pas la propriété de fermeture, puisqu on a le contre exemple : 3 IN, 5 IN, mais 3 5 = IN. b) Associativité On dit que la loi * est associative dans A (ou que (A, *) possède la propriété d associativité) si et seulement si : (x, y, z) A 3, (x * y) * z = x * (y * z) Exemples En somme, la propriété d associativité permet d effectuer les opérations de l expression (x*y*z) dans l ordre que l on veut, c est-à-dire qu on peut évaluer en premier lieu u = x*y, puis ensuite u*z, ou encore calculer d abord w = y*z, puis ensuite x*w. Donc, si une opération * est associative, il n y a aucun inconvénient à écrire x*y*z sans parenthèses. 1. L addition et la multiplication dans IR sont des opérations associatives. a b. L opération * définie dans IR par a*b = n est pas associative, puisqu on a le contreexemple : (1*3) *5 1*(3*5). En effet, on a: 1 3 5 7 (1*3)*5 *5 *5 3 5 1 4 5 1*(3*5) 1* 1*4 7 GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-4 Ammar Yahia, Génie Civil

Exemples c) Commutativité On dit que la loi * est commutative dans A (ou que (A, *) possède la propriété de commutativité) si et seulement si : (x, y) A, x * y = y * x 1. L addition et la multiplication des réels sont des lois commutatives. a b. La loi * définie dans IR par a*b = est commutative puisque, (a, b) IR a b b a, a*b = = = b*a 3. La soustraction dans IR n est pas commutative. Par exemple on a : (3 5) = (5 3) =. d) Élément neutre Un ensemble A muni d une loi * possède un neutre «e» si et seulement si : x A, x*e = e*x = x 1.1.3 Racines (solutions) de l équation quadratique Soit l équation quadratique : ax + bx + c = 0, si a 0 alors les deux solutions de cette équation sont : x 1 = b b 4ac a et x = b b 4ac a 1.1.4 Théorème de Pythagore et trigonométrie a + b = c cos = c b, sin = c a, tan = b a c a b GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-5 Ammar Yahia, Génie Civil

1.1.5 Lois des cosinus et des sinus A Loi des cosinus a = b + c bc cos A c b b = a + c ac cos B c = a + b ab cos c B a C Loi des sinus sin A sin B a b sin C c Valeur absolue a si a0 a a a a si a0 1. Terminologie de base des vecteurs géométriques Définition 1: Un vecteur géométrique est un être mathématique qui possède une grandeur et une direction et qu on peut représenter géométriquement par un segment de droite orienté, c est-à-dire une flèche. Si AB est un vecteur géométrique (voir figure), il est caractérisé par les éléments suivants : (1) une origine: point de départ du segment (le point A); () une extrémité: point d arrivée du segment, où nous trouvons une pointe de flèche (le point B); (3) une direction : donnée par la droite supportant (contenant) le segment AB (ou par toute droite parallèle à par exemple la droite ); (4) un sens : de l origine (A) allant vers l extrémité (B); (5) une norme: la longueur de AB, notée AB qui est la distance entre l origine et GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-6 Ammar Yahia, Génie Civil

l extrémité du vecteur. (On emploie aussi les mots module ou longueur comme synonymes de norme) Remarques 1. Nous utiliserons le mot orientation pour signifier à la fois la direction et le sens d un vecteur géométrique.. Traditionnellement, on distinguait les mots sens et direction : cette dernière constituait la caractéristique commune à toutes les droites parallèles au vecteur, chaque direction comprenant alors deux sens opposés (par exemple de gauche à droite ou de droite à gauche sur un axe horizontal, et du haut en bas ou du bas en haut sur un axe vertical). Pourtant, on emploie couramment des expressions comme «en direction de Sherbrooke», où le terme direction inclut la notion de sens. C est pourquoi nous ne distinguons pas ces deux mots. Dans le cadre de ce cours, l expression «direction d un vecteur» signifie «direction orientée» : elle traduit également l idée d un sens. 3. Les physiciens et les mathématiciens nord-américains ont laissé tomber la distinction entre Notations direction et sens, pour ne garder que le mot direction. Il est difficile d évaluer numériquement un sens, alors qu il est facile d évaluer une direction orientée définie par la mesure d un ou de plusieurs angles. Dans certains ouvrages, on trouve l expression orientation pour désigner ce que nous appelons la direction. - Le vecteur géométrique est souvent symbolisé par deux majuscules consécutives surmontées d une flèche (par exemple, point d origine du vecteur et la seconde à son point d extrémité. AB ), la première majuscule correspondant au Exemple - On peut aussi symboliser ce vecteur à l aide d une seule lettre surmontée d une flèche (par exemple V ). Bien sûr, la flèche au-dessus de la lettre n a alors rien d indispensable; elle n est qu une manière parmi d autres de différencier les lettres représentant des vecteurs de celles représentant des scalaires. Précisons les caractéristiques du vecteur 1. A est l origine du vecteur AB (figure ci-dessus) : GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-7 Ammar Yahia, Génie Civil

. B est l extrémité du vecteur 3. La droite appelé support du vecteur AB, donne la direction du vecteur. Toute droite parallèle à donne également la direction du vecteur. - Nous caractérisons la direction du vecteur AB par l angle < 180 ) que forme le support du vecteur avec une droite horizontale. - Cet angle est mesuré de la droite horizontale vers dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. 4. Le sens du vecteur AB indique que le déplacement s effectue de l origine A vers l extrémité B. Le sens de deux vecteurs se compare uniquement lorsque ces deux vecteurs ont la même direction. 5. La longueur du vecteur AB est la distance entre A et B. La longueur de AB est notée AB. Précisons que lorsque A et B coïncident. AB > 0 lorsque A et B sont différents et AB = 0 Définition : Le vecteur nul, noté 0, est le vecteur géométrique dont l origine et l extrémité coïncident. Remarques 1) la direction et le sens de 0 sont indéterminés ) la norme de 0 est 0, c est-à-dire 0 = 0 3) si v = 0, alors v = 0 Définition 3: Deux vecteurs géométriques sont dits équipollents (ou égaux) si et seulement si ils ont : a) Une même longueur (même norme) b) Une même direction, et c) Un même sens Par exemple, les vecteurs écrivant : v = w. v et w tracés ci-dessous sont équipollents. On signifie cela en GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-8 Ammar Yahia, Génie Civil

L équipollence des vecteurs a les propriétés suivantes: (1) Réflexivité : u = u () Symétrie : u = v v = u (3) Transitivité : u = v et v = w u = w Exemple Soit le parallélogramme ABCD suivant : A B D C a) Les vecteurs b) Les vecteurs AD et AB sont-ils égaux? justifiez votre réponse. AD et CB sont-ils égaux? justifier votre réponse. c) Trouver un vecteur égal au vecteur CD. 1.3 Points, vecteurs et translations Soit E l ensemble des points de l espace euclidien et soit T une transformation de E dans E. La fonction T est une translation si pour toute paire de points (A, B) de E le segment orienté d origine T(A) et d extrémité T(B) est équipollent au segment orienté d origine A et d extrémité B (c est-à-dire si ces deux segments ont la même direction, le même sens et la même longueur). GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-9 Ammar Yahia, Génie Civil

Un vecteur est la donnée simultanée d une longueur, d une direction et d un sens. On peut imaginer un vecteur comme une translation. Le vecteur nul est la translation nulle ; c est le seul vecteur dont la longueur est nulle et dont le sens et la direction ne sont pas définis. 1.4 Importance du concept de vecteur Les vecteurs ont de nombreuses applications. Conçus en premier lieu pour résoudre des problèmes de physique, et plus particulièrement de mécanique, les vecteurs ont été appliqués aussi dans d autres domaines, notamment la biologie et l économie. En mécanique, la branche de la physique qui s intéresse au mouvement, on a adopté un segment de droite orienté comme représentation géométrique d un vecteur. Grâce à ce modèle, les physiciens ont pu distinguer les quantités physiques qui ne comportent qu une grandeur (masse, longueur, volume, etc.), et qu on appelle scalaires, des quantités physiques qui comportent une grandeur et une direction (vitesse, force accélération, etc.). Ainsi, on représente un vent de 5 km/h venant du sud par le vecteur u, et un vent du nordouest de 10 km/h par le vecteur v. u v Comme l intensité du vent du nord-ouest est deux fois plus grande que celle du vent du sud, GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-10 Ammar Yahia, Génie Civil

le segment de droite qui représente le vecteur v est deux fois plus long que celui qui représente le vecteur u. La longueur du vecteur u est de 5 unités, alors que celle du vecteur v est de 10 unités. Par ailleurs, les physiciens décrivent les forces qui s exercent sur un objet en mouvement sur un plan par un schéma du type suivant, où les vecteurs représentent les forces. Les biologistes n ont pas tardé à appliquer les principes élaborés par les physiciens à l étude des corps vivants (dont le corps humain) en mouvement : ils ont ainsi créé la biomécanique. La représentation géométrique d un vecteur adoptée par les physiciens se transpose naturellement dans un système de coordonnées à deux dimensions (le plan) ou à trois dimensions (l espace). 1.5 Opérations sur les vecteurs géométriques Il y a deux opérations élémentaires qu on peut faire sur les vecteurs : on peut additionner deux vecteurs et on peut multiplier un vecteur par un scalaire. 1.5.1 Addition des vecteurs géométriques Soient AB et AC deux vecteurs géométriques d origine commune A. Par définition, la somme (géométrique) de ces deux vecteurs est le vecteur ACMB, dont AB et AM, diagonale du parallélogramme AC constituent deux côtés (voir figure ci-après). On écrit: AB + AC = AM. Pour marquer l addition des vecteurs géométriques, l usage veut qu on utilise le symbole (+), tout comme pour l addition des réels. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-11 Ammar Yahia, Génie Civil

Si deux vecteurs géométriques n ont pas la même origine, on peut quand même les additionner. Par exemple, pour additionner les vecteurs AB et CD de la figure II ci-dessus, on peut procéder comme suit: du point A (origine de AB ), on construit le vecteur AD ' = CD. Les vecteurs AB et AD ' ayant même origine, on est ramené à la situation précédente, et le vecteur cherché est Remarques AM = AB + AD ' = AB + CD. 1) Le résultat de l addition, ou la somme, de deux vecteurs géométriques est appelé vecteur résultant ou résultante des deux vecteurs. ) Dans la figure II ci-dessus, on observe que les vecteurs AD' et BM sont équipollents (AD MB étant un parallélogramme). Il est donc équivalent de dire que la somme de AM = AB + BM. En somme, pour additionner AB et AB et CD est : CD, il aurait suffi, à partir de l extrémité B du vecteur AB, de construire le vecteur BM équipollent à CD, puis de fermer le triangle en construisant le vecteur cherché, AM. On a donc là une seconde manière d effectuer géométriquement l addition de deux vecteurs géométriques. Nous l appellerons la «méthode du triangle» alors que, par opposition, la première sera appelée la «méthode du parallélogramme». 3) Il existe deux méthodes pour additionner deux vecteurs : la méthode du parallélogramme et la méthode du triangle. 4) La méthode du triangle met en relief la règle très utile: valable quels que soient les points A, C et B considérés. AC = AB + BC (relation de Chasles), GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-1 Ammar Yahia, Génie Civil

Propriétés de l addition des vecteurs Si V est l ensemble des vecteurs géométriques, alors u, v et w V Propriété 1 : Fermeture u + v V Propriété : Commutativité Soit les vecteurs u et w : À partir de la dernière figure ci-dessus, complétons le parallélogramme et construisons r = v + w, comme dans la figure ci-contre. De cette nouvelle figure, la règle suivante ressort avec évidence : v + w = r = w + v (si, bien entendu, on additionne selon la méthode du triangle). Donc l addition des vecteurs géométriques est une loi commutative. Propriété 3 : Associativité Considérons les trois vecteurs u, v et w : En conservant cette dernière disposition, construisons (par la méthode du triangle): ( u + v ) + GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-13 Ammar Yahia, Génie Civil

w, d une part, et u + ( v + w ), d autre part: La règle suivante ressort alors avec évidence: ( u + v ) + w = u + ( v + w ). L addition des vecteurs géométriques est donc associative Propriété 4 : il existe un élément neutre Notons par le symbole 0 le vecteur géométrique de longueur nulle et d orientation indéterminée. On a évidemment: v + 0 = 0 + v = v, quel que soit le vecteur v. Donc 0 est le vecteur neutre pour l addition. On l appelle le vecteur nul ou encore le vecteur zéro. Propriété 5 : il existe un élément inverse (symétrie), noté - v Soit v un vecteur géométrique donné et soit - v le vecteur de mêmes longueur et direction, mais de sens opposé. On a évidemment : v + (- v ) = (- v ) + v = 0. Donc (- v ) est l inverse (symétrique additif de v ) et tout vecteur géométrique possède un inverse. En particulier on a la règle : AB = BA Par convention de notation on écrit : v + ( w ) = v w. Exemple Soit et deux vecteurs, et soit à déterminer le vecteur u = v w. On a: u = v w = v + ( w ), où w est le vecteur inverse) GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-14 Ammar Yahia, Génie Civil

D où on obtient facilement le vecteur u = v w (ci-contre) : 1.5. Multiplication d un vecteur par un scalaire Définition 1: Soit V, l ensemble des vecteurs géométriques. Le produit d un vecteur v non nul, où v V, par un scalaire kir, noté k v, est un vecteur ayant les caractéristiques suivantes: 1) si k 0, alors la direction de k v est la même que celle de v ) si k > 0, alors le sens de k v est le même que celui de v 3) si k < 0, alors le sens de k v est opposé à celui de v 4) k v = k v k IR 5) si k = 0, alors k v = 0 v V Remarques 1) k 0 = 0 k IR ) (-1) v = - v v V 1.6 Vecteurs algébriques dans IR, IR 3, IR n 1.6.1 Repère (plan et espace) Soit un point fixe O et deux vecteurs non nuls et non parallèles i et j du plan. Ce point et ces vecteurs permettent d identifier (localiser) tout point du plan d une manière unique. Ce point et ces vecteurs constituent ce qu on appelle un repère du plan. On se sert ordinairement des minuscules ( i, j ) pour symboliser les vecteurs d une base orthonormée de IR. Pour montrer comment se fait cette identification, disposons les vecteurs i et j de telle manière que leurs origines respectives se confondent avec le point O, ce dernier étant appelé GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-15 Ammar Yahia, Génie Civil

l origine du plan. Traçons ensuite les supports des vecteurs i et j (comme sur la figure). B M j o A i M étant un point quelconque du plan, traçons le vecteur OM puis construisons le parallélogramme OBMA, dont des vecteurs i et j. Alors on a : OM est une diagonale et dont deux côtés reposent sur les supports OM = OA+ OB. Puisque il existe un couple unique (x, y) tels que OA= x i et OB = y j, on peut donc aussi écrire : OM = x i + y j. Ainsi donc, à chaque point M du plan correspond un couple unique (x, y) R tel que OM = x i + y j et, réciproquement, à chaque couple (x, y) R correspond un point M unique du plan tel que OM = x i + y j. On dit que (O, i, j ) est un repère du plan. Les réels x et y sont appelés les composantes ou coordonnées du point M(x, y). On les appelle aussi respectivement l abscisse et l ordonnée de ce point dans le repère (O, i, j ). On identifie le point M en écrivant : M = (x, y) ou encore M(x, y). Les considérations précédentes concernant les vecteurs géométriques du plan s étendent de façon toute naturelle à l ensemble des vecteurs géométriques de l espace géométrique. On se sert ordinairement des minuscules ( i, j, k ) pour symboliser les vecteurs d une base orthonormée de IR 3. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-16 Ammar Yahia, Génie Civil

Soit i, j et k trois vecteurs géométriques non coplanaires (et par conséquent linéairement indépendants) et soit O un point fixe de l espace qui sera appelé l origine. Traçons les axes Ox, Oy et Oz correspondant respectivement aux repères (O, i ), (O, j ) et (O, k ). Soient v un vecteur IR 3 et M le point tels que OM = v (voir figure). C z V M A k O i j B y x Le point M détermine d une seule manière un parallélépipède dont OM est une diagonale et dont trois arêtes reposent sur les axes. Les points A, B et C étant tels que le suggère la figure, on a : v = OA+ OB + OC où : OA xi OB y j OC z k Donc d une manière unique on a : v = OA+ OB + OC = x i + y j + z k. On dit que l ensemble ( i, j, k ) est une base pour l ensemble des vecteurs de l espace et que x, y et z sont respectivement la première, la deuxième et la troisième composante du vecteur v dans la base ( i, j, k ). On écrit en abrégé v = (x, y, z) pour signifier que v = x i + y j + z k. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-17 Ammar Yahia, Génie Civil

D autre part, tout point M de l espace géométrique s identifie de façon unique dans le repère (O, i, j, k ) par ses trois coordonnées appelées respectivement l abscisse, l ordonnée et la cote du point M. 1.6. Vecteurs orthogonaux Base orthonormée Définition 1: On dit de deux vecteurs géométriques non nuls qu ils sont orthogonaux si, issus d une même origine, ils sont perpendiculaires. Définition : On dit d une base qu elle est orthonormée si les vecteurs qui la composent sont orthogonaux deux à deux et de même norme, cette norme étant retenue comme unité de mesure. L utilisation d une base orthonormée facilite grandement les calculs des distances et des angles. Dans les graphiques, on dispose généralement les vecteurs de la base comme ci-dessous : à gauche pour le cas du repère (O; i, j ) de IR et à droite pour le cas du repère (O ; i, j, k ) de IR 3. Remarque Du fait que les vecteurs i, j, et k ont même norme et que celle-ci est retenue comme unité de mesure, on a donc par définition : i = j = k = l. 1.6.3 Composantes de vecteurs algébriques dans IR (plan) Définition 1: Un vecteur algébrique v, dans IR, est définie par v = (x, y), où x et y IR. Soit i et j deux vecteurs non parallèles de l espace vectoriel des vecteurs géométriques du GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-18 Ammar Yahia, Génie Civil

plan et soit O l origine du plan. Soit v un vecteur quelconque du plan et soit OM le vecteur d origine O, équipollent à v ( OM = v ). Après avoir disposé les vecteurs i et j de telle manière que leurs origines se confondent avec le point O, construisons le parallélogramme OAMB dont et dont deux côtés reposent sur les supports des vecteurs i et j. On a alors: v = OM = OA + OB OM soit une diagonale M B v A j o Et comme il existe deux réels précis x et y tels que v = x i + y j. i OA= x i et OB = y j, on peut écrire: Tout vecteur dans IR peut donc ainsi être exprimé, de façon unique, comme combinaison linéaire des vecteurs i et j. On dit que les vecteurs i et j constituent une base pour l ensemble des vecteurs géométriques du plan. Cette base se note ( i, j ). Les scalaires x et y sont respectivement appelés la première composante et la seconde composante du vecteur v dans la base ( i, j ). On identifie v en écrivant: v = (x, y) Ainsi donc l expression v = (x, y) se rapporte nécessairement à une base déterminée ( i, j ) et signifie que v = x i + y j. Remarque Les deux réels (x, y) sont en fait les coordonnées du point terminal de v, lorsque son point GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-19 Ammar Yahia, Génie Civil

initial est confondu avec l origine O. Vecteurs algébriques particuliers dans IR Définition 1: Le vecteur nul, noté 0, se définit ainsi dans IR : 0 = (0, 0) Définition : Les vecteurs i et j se définissent ainsi dans IR : i = (1, 0) et j = (0, 1) Définition 3: Soit u = (u 1, u ) et v = (v 1, v ) deux vecteurs rapportés à une même base. Les vecteurs u et v sont équipollents ou égaux si et seulement si leurs composantes respectives sont égales, c est-à-dire que : u = v si et seulement si u1 = v 1 et u = v Définition 4: Soit u = (u 1, u ). Le vecteur opposé à u, noté - u, se définit ainsi: - u = (-u 1, - u ). Exemple Soit les points A(, 3) et B(7, 5). 1. Représenter le vecteur. Déterminer les composantes de 3. Déterminer un vecteur AB dans le plan AB OC équipollent à AB Définition 5: Soit A(x a, y a ) et B(x b, y b ) deux points dans IR. Les composantes du vecteur Exemple AB sont : x b - x a et y b - y a, ainsi AB = (x b - x a, y b - y a ). Soit les points A(1, -3), B(-4, ), C(5, -) et D(0, 3). 1. Représenter les vecteurs. Déterminer les vecteurs AB et CD dans le plan cartésien AB et CD. Addition de vecteurs algébriques dans IR GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-0 Ammar Yahia, Génie Civil

Soit les vecteurs u = (5, 1) et v = (, 3). Représenter graphiquement et déterminer les composantes du vecteur r = u + v. Définition: Soit les vecteurs u = (u 1, u ) et v = (v 1, v ). La somme des vecteurs u et v, notée u + v, est définie u + v = (u1 + v 1, u + v ). Exemples 1) u = (-1, 4) et v = (, -7), alors : u + v = (-1, 4) + (, -7) = (-1+, 4-7) = (1, -3) ) Soit les points A(, 3) et B(7, 5). Déterminer les composantes de AB. AB = AO + OB = OB - OA= (7, 5) + (-, -3) = (5, ). Produit d un vecteur algébrique dans IR par un scalaire Définition: Soit le vecteur u = (u 1, u ) et le scalaire k, où k un réel. Le produit du vecteur u par le scalaire k, noté k u, est définie par : k u = (ku 1, ku ) Exemples 1) Soit u = (4, -6). Calculer 3 u et - u 3 u = 3(4, -6) = (3x4, 3x-6) = (1, -18) - u = -(4, -6) = (-x4, -x-6) = (-8, 1) ) Soit u = (3, -5), v = (-4, 0) et w = (-3, ). Calculer u + 4 v, 3 u - 5 w, et 5 u + ( v +3 w ). Norme d un vecteur algébrique dans IR Pour calculer la norme d un vecteur algébrique, il suffit de calculer la longueur du vecteur qui le représente. Considérons dans le plan, rapporté à la base orthonormée ( i, j ), un vecteur quelconque v = (x, y) = x i + y j. Disposons v de telle manière que son origine se confonde avec l origine O (figure). GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-1 Ammar Yahia, Génie Civil

En vertu du théorème de Pythagore, on peut écrire : v = x i + y j x i = x i = x et y j = y j = y, il résulte alors : v = x + y (dans R, x = x ). v = x y Théorème 1: si u = (u 1, u ), alors u = 1 u u Corollaire 1: si, dans le repère (O; i, j ) de IR on connaît deux points A(a 1, a,) et B(b 1, b ), alors AB = (b 1 a 1, b a ) et, par conséquent: AB = ( b a. 1 a1) ( b ) On retrouve donc ici la formule familière pour le calcul de la distance de deux points (les points A(a 1, a,) et B(b 1, b ), en l occurrence). Exemple La norme de v = ( 5, 4) rapporté à la base ( i, j ) est: v = ( 5) (4) = 41 Définition 1: Un vecteur algébrique v dans IR est un vecteur unitaire si v = 1 Exemple Soit u = (1, 1), 1 3 v = (, ), i = (1, 0) et vecteurs unitaires parmi ces vecteurs. 7 AB où A(, 5 1 5 4 ) et B(, 1). Identifier les 5 Théorème : Soit v, un vecteur algébrique non nul dans IR. Si u = v 1 v, alors u est un GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1 - Ammar Yahia, Génie Civil

vecteur unitaire parallèle à v. Direction d un vecteur résultant dans IR Voyons maintenant comment déterminer le module et la direction du vecteur résultant de deux vecteurs u et v, c est à dire la somme de ces deux vecteurs. On note l angle entre les vecteurs u et v, l angle entre les vecteurs u et ( u + v ) et la direction du vecteur u. En appliquant la loi des cosinus au triangle OAB, on obtient: OB = OA + AB (OA)(AB) cos (- ) On en déduit que: OB = OA AB ( OA)( AB)cos( ) Si on exprime la longueur des segments de droite en fonction des normes (modules) des vecteurs correspondants, alors la longueur du vecteur résultant est : u + v = u v u v cos( ) Comme cos(- ) = - cosla longueur du vecteur résultant est donnée par: u + v = u v u v cos Si on applique à nouveau la loi du cosinus pour l angle du même triangle, on obtient : GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-3 Ammar Yahia, Génie Civil

v = u + v + u - u u + v cos Donc, l'angle entre les vecteurs u et u + v est donné par : u v u v arccos( ) u u v est +. On tire également du graphique précédent que la direction du vecteur résultant u + v Remarque Il n est pas nécessaire de retenir ces formules, mais il est important de comprendre la démarche à suivre pour trouver la norme et la direction de la somme de deux vecteurs. Exemple Trouver la longueur et la direction du vecteur résultant des vecteurs u et v suivants. y u o u + v x v Pour trouver la norme et la direction du vecteur u + v, il faut d abord calculer la longueur des vecteurs u et v. Or, u cos45 = u =,88 cos 45 et de manière analogue, GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-4 Ammar Yahia, Génie Civil

4 8 v cos30 = 4 v 3 = 4,618 cos30 3 On en déduit que : u + 64 8 v = u v u v cos = 8 ( ) ( 3 )cos 75 6 3 3 L angle entre les vecteurs u et u + u v u v v est : arccos( ) 48 u u v Par conséquent, la direction du vecteur résultant u + v est d environ 357 (soit 45-48 = - 3, ou 357 ). 1.5.4 Composantes de vecteurs algébriques dans IR 3 (espace) Tous les points et les vecteurs de cette section sont donnés en fonction d un système tridimensionnel d axes à angle droit. Avant d aborder l étude des vecteurs dans IR 3, il est utile de se familiariser avec la représentation graphique dans l espace. Exemple Représenter les points A(3,0,0), B(0,7,0), C(0,0,5), D(3,7,5). Définition 1: Un vecteur algébrique v, dans IR 3, est définie par v = (x, y, z), où x, y et z IR. Remarques 1) Bien remarquer qu ici encore les coordonnées du point M dans le repère (O, i, j, k ) et les composantes du vecteur OM dans la base (O, i, j, k ) prennent respectivement les mêmes valeurs, c est-à-dire qu on a la règle : M = (x, y, z) ~ OM = (x, y, z) ) Le repère (O, i, j, k ) sert à identifier les points (à l aide de leurs coordonnées), alors que la base ( i, j, k ) sert à identifier les vecteurs (à l aide de leurs composantes). Ajoutons que, dans une base donnée, deux vecteurs équipollents ont nécessairement les mêmes composantes (et ceci même s ils occupent des endroits géométriquement différents) alors que, dans un repère donné, deux points n ont les mêmes coordonnées (disposées dans le même ordre, bien GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-5 Ammar Yahia, Génie Civil

sûr) que s ils sont confondus. 3) Signalons qu il est de rigueur de tenir compte de l ordre dans lequel les vecteurs sont énumérés (ce qui n est généralement pas le cas quand on énumère les éléments d un ensemble ordinaire). Par exemple si, par référence à la base ( i, j, k ) on écrit w = (3,, 5), cela signifie que w = 3 i + j + 5 k et non pas, par exemple, 3 j + k + 5 i, (où l ordre des vecteurs i, j, k n est plus le même). Vecteurs algébriques particuliers dans IR 3 Définition 1: Le vecteur nul, noté 0, se définit ainsi dans IR 3 : 0 = (0, 0, 0) Définition : Les vecteurs i, j et k de la base se définissent ainsi dans IR 3 : i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) et k = (0, 0, 1) Définition 3: Soit u = (u 1, u, u 3 ) et v = (v 1, v, v 3 ) deux vecteurs rapportés à une même base. Les vecteurs u et v sont équipollent ou égaux si et seulement si leurs composantes respectives sont égales, c est-à-dire que : u = v si et seulement si u1 = v 1, u = v et u 3 = v 3 Définition 4: Soit u = (u 1, u, u 3 ). Le vecteur opposé à u, noté - u, se définit ainsi: - u = (-u 1, - u, -u 3 ). Définition 5: Soit A(x a, y a, z a ) et B(x b, y b, z b ) deux points dans IR 3. Les composantes du Exemple vecteur AB sont : x b - x a, y b - y a et z b - z a ainsi AB = (x b - x a, y b - y a, z b - z a ). Soit les points A(3, 0, -7), B(-, 3, 4) et C(5, -6, 1). Déterminer les composantes des vecteurs AB, BC, CA et AC. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-6 Ammar Yahia, Génie Civil

Addition de vecteurs algébriques dans IR 3 Définition: Soit les vecteurs u = (u 1, u, u 3 ) et v = (v 1, v, v 3 ). La somme des vecteurs u et v, notée u + v, est définie par u + v = (u 1 + v 1, u + v, u 3 + v 3 ). Exemple Si les vecteurs u = (4, -5, ) et v = (-3, -1, 6), alors : u + v = (4, -5, ) + (-3, -1, 6) = (4-3, -5-1, +6) = (1, -6, 8) Multiplication d un vecteur algébrique dans IR 3 par un scalaire Définition: Soit le vecteur u = (u 1, u, u 3 ) et le scalaire k, où k un réel. Le produit du vecteur u par le scalaire k, noté k u, est définie par : k u = (ku1, ku, ku 3 ) Exemple 1 1) Soit u = (4,-5, 3). Calculer -4 u. -4 u = -4(4,-5, 3) = (-4x4, -4x-5, -4x3) = (-16, 0, -1) ) Soit u = (4, 0, -3) et v = (-, 3, 4). Calculer u - 4 v et u + 5 v 3) Calculer 3 i - j + 5 k Norme d un vecteur algébrique dans IR 3 Théorème: si u = (u 1, u, u 3 ), alors u = u 1 u u3 Preuve: Considérons le vecteur u = (u 1, u, u 3 ) rapporté à la base orthonormée ( i, j, k ). Disposons u de telle manière que son origine se confonde avec l origine O (figure). z u 3 u o u y x u 1 A GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-7 Ammar Yahia, Génie Civil

En vertu du théorème de Pythagore, on peut écrire: u = OA u3 = u 1 u u3 (car OA u u 1 ). Corollaire: Si, dans le repère (O; i, j, k ) on connaît deux points A(a 1, a, a 3 ) et B(b 1, b, b 3 ), alors AB = (b 1 a 1, b a, b 3 a 3 ) et, par conséquent: AB = ( b a. 1 a1 ) ( b a) ( b3 3) On retrouve donc ici la formule pour le calcul de la distance de deux points (les points A(a 1, a, a 3 ) et B(b 1, b, b 3 ), en l occurrence. Exemples 1) Soit A(-4, 3, 0) et B(-5, 1, -), deux points de l espace. Calculer AB. AB = ( 5 4) (1 3) ( 0) = 9 = 3 ) Si, dans le repère (O; i, j, k ) on a les points A(1,, 3) et B(0, 1, ), alors la distance de A à B, notée d(a,b), est : d(a,b) = AB = ( 0 1) ( 1 ) ( 3) = 11 Application: équation d une sphère Soit une sphère dont le centre C a pour coordonnées orthogonales x 0, y 0, z 0, et de rayon R. Les coordonnées orthogonales x, y, z de tout point M de la sphère devront satisfaire la relation CM = R, soit : (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = R Remarque Quand on fait le calcul de la norme d un vecteur, il est parfois avantageux de faire intervenir la règle r v = r v. Par exemple, si v = ( 5, 50, 75), alors on peut écrire v = 5(1,, 3), et par suite la norme de v peut se calculer comme suit : GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-8 Ammar Yahia, Génie Civil

v = -5 (1, -, 3) = -5 (1, -, 3) = 5 ( 1) ( ) 3 = 5 14 Définition: Un vecteur algébrique v dans IR 3 est un vecteur unitaire si v = 1 Applications 1) Si, dans un repère (O; i, j, k ), on a les deux points A(, 5, -1) et B(-4, 0, 5). Calculer les composantes du vecteur AB Solution: AB = OB - OA = (-4-, 0-5, 5+1) = (-6, -5, 6). ) Si, dans un repère (O ; i, j, k ), on a les deux points A(, -5, 1) et B(-4, 0, 5). Calculer les composantes du vecteur AB et BA Solution: AB = OB - OA = (-4-, 0+5, 5-1) = (-6, 5, 4). BA = OA- OB = (+4, -5-0, 1-5) = (6, -5, -4) = - AB 3) Soit un repère (O; i, j, k ) et les points A(1,, 3), B(1, -1, 4) et C(4, 5, ). Trouver le point D tel que : CD = AB Solution: Une bonne manière de trouver les coordonnées du point D est de trouver les composantes du vecteur OD = OC + CD = OD. OC + AB ( CD = AB ) OD = (4, 5, ) + (1-1, -1-, 4-3) = (4,, 3). 4) Soit le point A = (, 4, 1) ainsi que le vecteur v = (1, 1, 1) dans le repère (O ; i, j, k ). Trouver un point B tel que AB ait même orientation que v et soit de norme. Solution: Pour connaître le point B demandé, évaluons le vecteur OB, O étant l origine. On a (figure): GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-9 Ammar Yahia, Génie Civil

OB = OA+ AB v v v Mais on veut que la norme de AB = (puisque étant de norme 1, sera de v v v norme en plus d avoir même orientation que v). Alors, v = OA+ v v 111 = (, -4, -1) + (1, 1, 1) = ( + 3 OB = OA+ Note: Vecteur unitaire (ou normé), -4 +, -1 + ) 3 3 3 On dit d un vecteur géométrique dont la norme égale l unité qu il est unitaire (ou normé). Par exemple, les vecteurs de la base orthonormée ( i, j, k ) sont unitaires. Étant donné un vecteur non nul quelconque v, on trouve souvent avantage à le comparer à un autre vecteur, v o, qui, tout en ayant même orientation que v, soit unitaire. Pour obtenir ce vecteur, il suffit de déterminer v. v 1.5.5 Vecteurs algébriques dans IR n Définition 1: Un vecteur algébrique v, dans IR n, est définie par v = (x 1, x, x 3,., x n ), où les x i IR n. Définition : La dimension d un vecteur algébrique est donnée par le nombre de composantes du vecteur. Exemples 1) Le vecteur u = (1, -3,, 5) est un vecteur de dimension 4. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-30 Ammar Yahia, Génie Civil

) Le vecteur u = (0, 0, 0, 0, 5) est un vecteur de dimension 5. Vecteurs algébriques particuliers dans IR n Définition 1: Le vecteur nul, noté 0, se définit ainsi dans IR n : 0 = (0, 0, 0,.,0) Définition : Les vecteurs e 1, e, e 3, e n se définissent ainsi dans IR n : e = (1, 0, 0,,0) (ou i ) 1 e = (0, 1, 0,,0) (ou j ) e = (0, 0, 1,,0) (ou k ) 3 e = (0, 0, 0,,1) n Définition 3: Soit u = (u 1, u, u 3,.u n ) et v = (v 1, v, v 3,..., v n ) deux vecteurs de même dimension. Les vecteurs u et v sont équipollents ou égaux si et seulement si les composantes respectives sont égales, c est-à-dire: u 1 = v 1, u = v, u 3 = v 3, u n = v n Addition de vecteurs algébriques dans IR n Définition: Soit les vecteurs u = (u 1, u, u 3,.u n ) et v = (v 1, v, v 3,.v n ). La somme des vecteurs u et v, notée u + v, est définie par u + v = (u 1 + v 1, u + v, u 3 + v 3, u n + v n ). Exemple Si les vecteurs u = (4, -5,, 1, 5) et v = (-3, -1, 6, 0, -1), alors : u + v = (4, -5,, 1, 5) + (-3, -1, 6, 0, -1) = (4-3, -5-1, +6, 1+0, 5-1) = (1, -6, 8, 1, 4) Produit d un vecteur algébrique dans IR n par un scalaire Définition: Soit le vecteur u = (u 1, u, u 3,.u n ) et le scalaire k, où k un réel. Le produit du vecteur u par le scalaire k, noté k u, est définie par : k u = (ku 1, ku, ku 3,, ku n ) GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-31 Ammar Yahia, Génie Civil

Norme d un vecteur algébrique dans IR n Théorème: si u = (u 1, u, u 3,., u n ), alors u = 3 u1 u u... un 1.7 Produit scalaire et angle entre deux vecteurs En physique, on représente les forces et les translations par des vecteurs. Pour calculer le travail d une force constante, par exemple, qui déplace un objet d un point à un autre en ligne droite, il faut multiplier la composante de la force dans la ligne de la translation par la longueur de la translation. Cette multiplication est à l origine de la définition suivante dans laquelle on considère le vecteur u comme une force (par exemple), le vecteur v comme une translation et l angle ( u, v ) = comme l angle entre la force et la translation. On appelle produit scalaire des deux vecteurs u et v, noté u. v (lire «u scalaire v», le scalaire défini par : u. v = u v cos = u v cos ( u, v ). (i.e. est l angle entre les deux vecteurs u et v ). Remarques 1) Si le produit scalaire de vecteurs non nuls est nul, ces deux vecteurs sont orthogonaux: on aura en effet cos ( u, v ) = 0. ) La formule du produit scalaire sert également à calculer l angle entre deux vecteurs non nuls dont on connaît les modules et le produit scalaire. Valeur algébrique d un produit scalaire On peut calculer directement le produit scalaire de deux vecteurs à partir des composantes orthogonales de chacun des vecteurs : u. v = (u1 i + u j + u3 k ).(v1 i + v j + v3 k ). En tenant compte, dans le développement du produit, des relations telles que: i. i = 1 et i. j = 0, on obtient: u. v = (u1 v 1 + u v + u 3 v 3 ). GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-3 Ammar Yahia, Génie Civil

y F d x Exemples 1) Dans IR, une force constante F 5 j est appliquée à un point mobile P contraint à se déplacer en ligne droite du point (-, 0) au point (1, 3). On cherche le travail T fait par la force F lors de cette translation. T = F. d = F d cos = 5 j ( 3,3) cos x x unités d'énergie 4 ) Si l angle entre deux vecteurs u et v est de 60 et si les modules de ces deux vecteurs sont respectivement de 4 et de 7, calculer alors le produit scalaire de ces deux vecteurs. u. v = u v cos 4 x 7 x cos 60 = 4 x 7 x 0,5 = 14 3) Soit u = (, -7, 0) et v = (-3, -1, 4) deux vecteurs de l espace. Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs. u. v = (u1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) = ( x -3 + -7 x -1 + 0 x 4) = -6 + 7 + 0 = 1 Propriétés du produit scalaire Le produit scalaire possède des propriétés que nous avons résumées en ce qui suit. Soit trois vecteurs u, v et w et soit a un scalaire. Propriété 1 : u. v = v. u (commutativité) Propriété : u. ( v + w ) = ( u. v ) + ( u. w ) (distributivité du produit scalaire par rapport à l addition de vecteurs. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-33 Ammar Yahia, Génie Civil

Propriété 3 : a ( u. v ) = (a u ). v = u. (a v ) Propriété 4 : u. 0 = 0 Propriété 5 : u. u = u Propriété 6 : Deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires si set seulement si u. v = 0 1.8 Produit vectoriel Dans cette section nous définissons un autre produit de deux vecteurs u et v, appelé produit vectoriel, dont le résultat est un vecteur w. Le vecteur w est perpendiculaire à la fois à u et v. Définition d un produit vectoriel Soit deux vecteurs u (a, b, c) et v (d, e, f) de IR 3. Nous cherchons un vecteur w (x, y, z) perpendiculaire à la fois à u et v. Il est facile de constater qu il existe une infinité de vecteurs ayant cette caractéristique. w w 1 u u u v v v w 3 En appliquant le théorème du produit scalaire, on aura: u. w = 0 et v. w = 0. Un système ax by cz 0 d équations peut être alors établi: dx ey fz 0 Dans ce système homogène d équations linéaires, le nombre d inconnu est supérieur au nombre d équations. Par conséquent ce système admet une infinité de solutions. Nous allons voir dans le chapitre 3 comment résoudre ce système d équations. Une solution particulière de ce système est donnée par : GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-34 Ammar Yahia, Génie Civil

x = bf ce, y = cd af et z = ae bd, alors le vecteur w est donné par : b c a c a b w ( x, y, z),, e f d f d e Définition: Soit u (u 1, u, u 3 ) et v (v 1, v, v 3 ), deux vecteurs de IR 3. Le produit vectoriel des vecteurs u et v, noté u x v, est défini par : u x v = u v u3 u1, v v 3 1 u3 u1, v v 3 1 u v Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur, d où le nom de produit vectoriel. Voilà un moyen de retenir facilement la formule du produit vectoriel: u = (u1, u, u 3 ) et v = (v 1, v, v 3 ), alors u x v = u1 u u3, u1 u u3, u v1 v v3 v1 v v3 v Notons que la première, la deuxième et la troisième colonne doivent être enlevées successivement. Exemples 1) Si u = (, -1, 3) et v = (-4, 6, 5), calculer le produit vectoriel u x v Réponse: u x v = (-3, -, 8) Remarque À l aide du produit scalaire, il est facile de vérifier que ( u x v ) est perpendiculaire à la fois à u et à v. En effet, (-3, -, 8).(, -1, 3) = (-3, -, 8).(-4, 6, 5) = 0 ) Soit u = (-, 1, 3) et v = (4, 0, 5). À l aide du produit vectoriel, déterminer un vecteur 1 1 u v v u 3 3 perpendiculaire à la fois à u et à v. Réponse: (5,, -4). Une autre façon de mémoriser cette définition est de l associer au calcul du déterminant GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-35 Ammar Yahia, Génie Civil

(notion à étudier au chapitre 4). u x v i u v 1 1 j u v k u v 3 3 3) Soit u = (-, 4, 5) et v = (0, -, 7). Calculer u x v et v x u Réponses: 1) (38, 14, 4), ) (-38, -14, -4) Théorème 1: Si u et v deux vecteurs de IR 3, alors u x v = u v ( u. v ) Aide : Considérer deux vecteurs u (a, b, c) et v (e, f, g) et développer les deux membres de l égalité Théorème : Si u et v deux vecteurs non nuls de IR 3, alors : u x v = u v sinoùformé par les vecteurs u et v. Preuve Nous savons que : u x v = u v ( u. v ) = u v ( u v cos) = u v u v cos u v (1 cos factorisation) u v sin 1-cos sin d'où u x v u v sincar Remarque Il est facile de vérifier que le produit u x v, u et v sont deux vecteurs non nuls, est maximale pour Définition: Soit u (u 1, u, u 3 ) et v (v 1, v, v 3 ) deux vecteurs non nuls de IR 3. Le produit vectoriels u x v peut être défini comme suit: u x v = u. v sin U est l'angle formé par les vecteurs u et v GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-36 Ammar Yahia, Génie Civil

U est un vecteur unitaire et perpendiculaire à u, à v et au plan engendré par u et v. Le sens de U est déterminé par la règle de la main droite ou règle de la vis. Exemples 1) Calculer les produits vectoriels i x j, k x j et i x k a) i x j = i j sin U = 1 x 1 x1 k ( U = k ) = k b) k x j = k j sin U = 1 x 1 x1(- i ) ( U = - i ) = - i b) i x k = i k sin U = 1 x 1 x1(- j ) ( U = - j ) = - j ) À l aide du produit vectoriel, démontrer que sin(a B) = sina cosb cosa sin B Soit u (cos B, sin B, 0) et v (cos A, sin A, 0) deux vecteurs unitaires u x v = (0, 0, cosb sina cosasinb) De plus u x v = u v sin(a - B) k (définition) = 1 x 1 sin(a - B) k = (0, 0, sin(a - B)) D où sin (A B) = sina cosb cosa sinb Interprétation physique du produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs dans IR 3 est utilisé pour analyser le comportement de certains phénomènes physiques, par exemple : - le taux d écoulement de l énergie à travers une unité d air est donné par le vecteur de Poynting S tel que : S = 1 0 E x B, où 0 est une constante, E est le champ électrique le long d un fil et B est le champ magnétique total créé en un point quelconque par un conducteur de dimension finie. - lorsqu on veut changer un pneu, on desserre d abord les boulons de la roue au moyen d une clé. Plus le manche à clé est long, plus le travail est facile parce que le moment de force dépend de la force appliquée et de la distance entre le boulon et le point d application de cette force. Soit le moment de force d une force F qui agit à une distance r de son point d application, où r représente le rayon vecteur issu de l axe GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-37 Ammar Yahia, Génie Civil

de rotation. Le moment de force est donné par l expression r x F et son intensité est. L intensité du moment est égale au module du produit vectoriel : = r F sin Exemple: L intensité du moment de force qu exerce une force de 50 N appliquée à l extrémité d une clé de 1 m de longueur et faisant un angle de 60 avec la clé est donnée par : = r F sin1 x 50 x sin60 = 43.3 N.m sur un boulon Propriétés du produit vectoriel Soit u, v et w des vecteurs de IR 3 et soit k et m deux scalaires de IR. Propriété 1: u x v = - ( v x u ) (anticommutativité) Propriété : u x ( v + w ) = ( u x v ) + ( u x w ) (distributivité à gauche) Propriété 3: ( u + v ) x w = ( u x w ) + ( v x w ) (distributivité à droite) Propriété 4: (k u ) x (m v ) = km( u x v ) Propriété 5: u x u = 0 Application du produit vectoriel Le produit vectoriel peut être utilisé pour calculer l air des figures géométriques. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-38 Ammar Yahia, Génie Civil

Théorème: Soit u et v deux vecteurs de R 3. L air A du parallélogramme engendré par les vecteurs u et v est donné par : A = u x v 1.7 Produit mixte Définition: Soit u, v et w trois vecteurs de R 3. Le produit mixte des vecteurs u, v et w est défini par u. ( v x w ). Exemple Soit u = (, -1, 4), v = (1, 0, 5) et w = (-3, 6, -8). Calculer le produit mixte u. ( v x w ). u. ( v x w ) = (, -1, 4).( (1, 0, 5) x (-3, 6, -8)) = (, -1, 4).(-30, -7, 6) = -9 Théorème: si u = (u 1, u, u 3 ), v = (v 1, v, v 3 ) et w = (w 1, w, w 3 ) sont trois vecteurs de IR 3, alors u. ( v x w ) = u v 1 1 w 1 u v w u v 3 w 3 3 (à étudier dans le chapitre 3) Application du produit mixte Le produit mixte peut être utilisé pour calculer u x v le volume de solides. Théorème: Soit u, v et w trois vecteurs de R 3. Le volume V du parallélépipède engendré par les vecteurs u, v et w est donné par V = u. ( v x w ), u w v c est-à-dire la valeur absolue du produit mixte. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-39 Ammar Yahia, Génie Civil

Preuve Soit la parallélépipède: V = air de la base x hauteur Air de la base = v x w Hauteur = u cos alors : V = v x w u cos = u v x w cos = u. ( v x w ) (définition du produit scalaire) GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-40 Ammar Yahia, Génie Civil

Exercices 1. Dire si les deux vecteurs sont égaux (ou semblent tels) :. Simplifier les expressions suivantes: (a) (b) (c) (d) (e) (f) AB + B C ; AB + B C + CD + AB CB + CD ; CD FE B C BA DA; ED (invoquer la commutativité de l addition des vecteurs); DC ; AB CB + BA. 3. Soient les vecteurs u, v, et w ci-contre, construire : (a) u + v + w ; (b) u v + w ; (c) u + v w. 4. Soit ABCD un parallélogramme. Si, comme l indique la figure, on pose AB = v et BV= w, exprimer les vecteurs AC, CD et BD en fonction des vecteurs v et w. GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-41 Ammar Yahia, Génie Civil

5. Démontrer la règle : MN = ON relation de Chasles: OM, M, N et O étant trois points quelconques. (Suggestion : Invoquer la MN = MX + XN ;) 6. Soient les points A(3, 4, 1), B(0,, 1) et C(3,, 1) dans le repère (O ; i, j, k ). (a) Déterminer (par leurs composantes disposées en triplets) les vecteurs AB, (b) Calculer AB, AC et BC. AC et BC. 7. Calculer la norme de chacun des vecteurs v 1 = (1,, 4), v = (36, 4, 48), v 3 = (100, 00, 300) et v 4 = ( 4, 14, 1) décrits dans la base ( i, j, k ). 8. Calculer la distance d(a,b) des points A et B de l espace (repère orthonormé) si : (a) A = (1,, -1) et B = (4,, 0) ; (b) A = (3,, 1) et B = (0,, -3). 9. Dans le repère (O ; i, j, k ). Considérons les points A(3, 4, 5) et B(0, 1, ). a. Donner le point milieu M du segment AB. b. Déterminer le point N du segment AB qui soit trois fois plus près de A que de B. 10. Trouver le vecteur unitaire v 0 ayant même direction et même sens que v = (4, 1, 3) (base orthonormée). 11. Trouver un vecteur w d orientation opposée à celle de v = (, 1, 3) (base orthonormée) et de norme 7. 1. Étant donné dans le repère (O ; i, j, k ) le point A(4,, 1), trouver un point B tel que AB soit parallèle à v = (1,, ) et de norme 5. (Attention : Deux solutions sont possibles.) 13. Soient ABC un triangle et O un point quelconque. Posons : v = AB et w = AC a. Exprimer les vecteurs AB, CB et AC en fonction des vecteurs v et w. b. Exprimer les vecteurs v, w et v + w en fonction des vecteurs OA, OB et OC. 14. Si ABCD est un quadrilatère tel que OB montrer que ABCD est un parallélogramme. OA= OC OD, O étant un point quelconque, 15. Sachant que, dans tout triangle, «un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence», prouver la règle (concernant les vecteurs géométriques): v + w «v + w. (Rappelons que la notation v représente la norme de v ). GIN 601 Introduction au calcul matriciel Chap. 1-4 Ammar Yahia, Génie Civil