Sujets et corrigés des DS de mathématiques BCPST A Lycée Hoche 04-05 Sébastien Godillon Table des matières Sujet du DS n o Corrigé du DS n o 5 Exercice logique 5 Exercice nombres réels, sommes, suites 6 Exercice nombres réels, polynômes 8 Exercice 4 nombres réels, équations 9 Sujet du DS n o Corrigé du DS n o 4 Exercice nombres complexes, équations, sommes, produits 4 Exercice sommes 7 Exercice nombres complexes, équations 9 Exercice 4 sommes, nombres complexes, trigonométrie Exercice 5 sommes doubles Sujet du DS n o Corrigé du DS n o 5 Exercice suites, sommes 5 Exercice dénombrement, applications 6 Exercice dénombrement, suites 8 Exercice 4 équivalents, limites 0 Sujet du DS n o 4 Corrigé du DS n o 4 Exercice équations différentielles linéaires à coefficients constants Exercice matrices 5 Problème dénombrement, suites, sommes, limites 7 BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
Sujet du DS n o 5 4 Corrigé du DS n o 5 4 Exercice polynômes, nombres complexes 4 Exercice géométrie de l espace, systèmes d équations linéaires 44 Exercice polynômes 46 Exercice 4 géométrie du plan, calcul vectoriel, matrices 48 Sujet du DS n o 6 56 Corrigé du DS n o 6 58 Exercice probabilités, matrices, suites, limites 58 Exercice statistiques, fonctions de deux variables 6 Exercice polynômes, nombres complexes, trigonométrie 64 Sujet du DS n o 7 67 Corrigé du DS n o 7 69 Exercice étude de fonctions, continuité, suites, limites 69 Exercice applications, continuité 69 Exercice étude de fonctions, continuité, limites 70 Exercice 4 probabilités, sommes, suites, matrices, limites 7 Sujet du DS n o 8 76 Corrigé du DS n o 8 78 Exercice étude de fonctions, continuité, applications, logique, équivalents 78 Exercice étude de fonctions, dérivabilité, développements limités, suites, limites 8 Exercice développements limités 86 Sujet du DS n o 9 88 Corrigé du DS n o 9 90 Problème variables aléatoires, probabilités, équivalents 90 Exercice dérivabilité, développements limités 9 Exercice espaces vectoriels, applications linéaires 95 BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
DS n o de mathématiques durée : h, calculatrice interdite Exercice Dans un haras, un test génétique de couleur de robe alezane, baie ou noire est pratiqué sur les chevaux de trait de deux races différentes : comtoise et percheronne On considère les deux propositions suivantes : P : «Il existe un percheron dont l échantillon d ADN est porteur du gène noir» Q : «Si l analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d ADN est porteur du gène alezan et du gène bai» On note H l ensemble des chevaux analysés du haras ; A, B et N les sous-ensembles de chevaux dont les échantillons d ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir respectivement ; et enfin C et P les sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne respectivement On pourra utiliser la lettre h pour désigner un cheval analysé du haras c est-à-dire un élément générique de H Réécrire les propositions P et Q en langage mathématique à l aide de quantificateurs et d opérateurs logiques Réécrire la proposition Q en langage mathématique à l aide d opérations sur des ensembles Donner, en français, la négation de P et la négation de Q 4 Donner, en français, la contraposée et la réciproque de Q 5 Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse les justifications ne sont pas demandées : a Pour prouver que P est vraie, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d ADN du haras sont porteurs du gène noir b Pour prouver que P est fausse, il est nécessaire de prouver l existence d un percheron dont l échantillon d ADN n est pas porteur du gène noir c Pour prouver que Q est fausse, il est suffisant de prouver que tous les échantillons d ADN des comtois sont porteurs du gène noir d Pour prouver que Q est vraie, il est nécessaire de prouver que tous les échantillons d ADN neutres c est-à-dire porteurs d aucun gène : ni alezan, ni bai, ni noir ont été prélevés sur des percherons Exercice On considère la série harmonique H m m définie pour tout nombre entier m par : H m + + + 4 + 5 + + m + m m k On propose de démontrer que la suite H m m diverge vers + Démontrer que la suite H m m est strictement croissante Pour tout nombre entier m, on considère le nombre entier N m défini par : lnm N m ln a Montrer que lim m + N m + b Montrer que m, m < Nm m et en déduire que m, H m H Nm k BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
c Démontrer qu il est suffisant de prouver que la suite H n n 0 tend vers + pour prouver que la suite H m m tend vers + Pour cette question, on fixe un nombre entier n 0 a Donner le nombre d éléments de l ensemble E n {k N / k n + et k n+ } b Montrer que k E n, k n+ c En déduire l inégalité suivante : 4 Démontrer que n 0, H n + n 5 Conclure n+ k n + k Exercice On considère les nombres réels α + 5 et β 5 on rappelle que pour tout nombre réel y, on note y l unique solution de l équation x y d inconnue x R On propose de simplifier l expression de α et β a Calculer αβ et α + β b Vérifier que a, b R, a + b a + a b + ab + b c En déduire une expression simple de α + β en fonction de α et β On pose u α + β et on considère la fonction polynomiale P : x P x x + x 4 a A l aide de la question précédente, montrer que u est une racine de P, c est-à-dire que P u 0 b Trouver une racine évidente de P c Trouver trois nombres réels a, b et c tels que x R, P x x ax + bx + c d Résoudre l équation P x 0 d inconnue x R e En déduire la valeur de u On considère la fonction polynomiale Q : x Qx x αx β a A l aide des questions précédentes, développer et simplifier Qx pour tout nombre réel x b En déduire que α et β sont solutions de l équation x x 0 d inconnue x R c Déterminer des expressions plus simples de α et β Exercice 4 On considère l équation E d inconnue x [0, π ] définie par : cosx + sinx E On propose de résoudre cette équation de deux manières différentes Les questions A et B suivantes sont donc totalement indépendantes A Première méthode : Vérifier que a, b R, a + b 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 Démontrer que l équation E est équivalente à l équation E suivante : cosx sinx cosx + cosx sinx + sinx 0 E Justifier que x [0, π ], cosx + cosx sinx + sinx > 0 4 En déduire les solutions de l équation E B Deuxième méthode : Démontrer que a ]0, [, a > a En déduire que x ]0, π [, cosx + sinx > Retrouver les solutions de l équation E BCPST A lycée Hoche 04-05 4 sur 97 Sébastien Godillon
Corrigé du DS n o de mathématiques Exercice On considère les deux propositions suivantes : P : «Il existe un percheron dont l échantillon d ADN est porteur du gène noir» Q : «Si l analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d ADN est porteur du gène alezan et du gène bai» On a en langage mathématique avec des quantificateurs et des opérateurs logiques : P h P, h N h H, h P et h N Q h H, h C h A et h B h C, h A et h B Attention : la proposition «h A B» est équivalente à «h A et h B» mais elle utilise une opération sur des ensembles l intersection et non un opérateur logique le «et» comme demandé par l énoncé On a en langage mathématique avec des opérations sur des ensembles : Q h C, h A B C A B On a en langage mathématique : non P h P, non h N h P, h / N h H, non Q h H, non h C h A et h B h / P ou h / N h H, h C et non h A et h B h H, h C et h / A ou h / B h C, h / A ou h / B Ecrire les négations de P et Q en langage mathématique n est pas demandé, mais ça aide pour les traduire ensuite en français On en déduit donc en français que la négation de P est «Aucun échantillon d ADN des percherons n est porteur du gène noir», et la négation de Q est «Il existe un échantillon d ADN qui, d une part, a été prélevé sur un comtois et, d autre part, n est pas porteur du gène alezan ou n est pas porteur du gène bai ou n est pas porteur des deux gènes» 4 La contraposée de Q est donnée en langage mathématique par : h H, non h A et h B non h C h H, h / A ou h / B h / C ce qui donne en français : «Si un échantillon d ADN n est pas porteur du gène alezan ou n est pas porteur du gène bai ou n est pas porteur des deux gènes, alors l analyse n a pas été pratiquée sur un comtois» La réciproque de Q est donnée en langage mathématique par : h H, h A et h B h C ce qui donne en français : «Si un échantillon d ADN est porteur du gène alezan et du gène bai, alors l analyse a été pratiquée sur un comtois» BCPST A lycée Hoche 04-05 5 sur 97 Sébastien Godillon
5 a Vraie b Vraie c Fausse d Vraie En toute rigueur, les propositions 5a et 5b sont fausses si l ensemble des percherons est vide dans ce cas, la proposition P est toujours fausse Mais la première phrase de l énoncé sous-entend qu il existe au moins un percheron Exercice On considère la série harmonique H m m définie pour tout nombre entier m par : H m + + + 4 + 5 + + m + m m k On a pour un entier m fixé : H m+ H m + + + + m + + m + + + + m m + > 0 Inutile de perdre du temps à justifier que m+ > 0 quand m, c est évident Par conséquent H m+ > H m pour tout entier m et donc la suite H m m est strictement croissante Pour tout nombre entier m, on considère le nombre entier N m défini par : lnm N m ln a D après la définition de la partie entière, on a pour tout entier m : ce qui peut aussi s écrire : N m lnm ln < N m + lnm ln < N m lnm ln Or lim m + lnm ln + car lim m + lnm + et ln > 0 D après le théorème de comparaison, on en déduit que N m tend vers + quand m tend vers + Attention de ne pas oublier de préciser que ln > 0 Par contre, il est inutile de justifier que le membre de droite des inégalités tend aussi vers + quand m + b En multipliant les inégalités par ln > 0, on obtient pour tout entier m : k lnm ln < N m ln lnm ln m < ln Nm lnm Puis en utilisant le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante, on a pour tout entier m : exp ln m < expln N m explnm m < Nm m Les justifications nécessaires et suffisantes ici sont ln > 0 et x expx strictement croissante Elles doivent apparaître explicitement En utilisant l inégalité à droite ci-dessus, et la croissance de la suite H m m démontrée à la question, on en déduit que H m H Nm pour tout entier m BCPST A lycée Hoche 04-05 6 sur 97 Sébastien Godillon
c Supposons que la suite H n n 0 tende vers +, c est-à-dire que lim n + H n + Puisque lim m + N m + d après le résultat de la question a, on obtient avec le changement de variable n N m que lim m + H Nm + Et puisque m, H Nm H m d après le résultat de la question b, on en déduit que lim m + H m + en utilisant le théorème de comparaison Finalement, on a montré que : lim H n + lim H m + n + m + La condition «H n n 0 tend vers +» est donc suffisante pour prouver que «H m m tend vers +» Attention à la rédaction ici Il ne s agit pas de démontrer que la proposition «H n n 0 tend vers +» est vraie questions suivantes mais de démontrer que si elle est vraie alors «H m m tend vers +» est aussi vraie, c est-à-dire que l implication ci-dessus est vraie Pour cette question, on fixe un nombre entier n 0 a L ensemble E n {k N / k n + et k n+ } peut aussi s écrire en décrivant ses éléments par une liste croissante : E n { n +, n +, n +, n + 4,, n+ } Or n+ n n n + n Donc : E n { n +, n +, n +, n + 4,, n + n } { n + k / k {,,,, n }} On en déduit que E n a le même nombre d éléments que {,,,, n }, c est-à-dire n éléments On verra bientôt en cours qu on peut tout simplement dire qu entre n + et n+, il y a exactement n+ n + + n n n éléments b Soit k E n On a en particulier 0 < k n+, donc en inversant cette inégalité : k n+ On en déduit le résultat pour tout k E n car n+ n+ n+ c En utilisant les résultats des deux questions précédentes, on obtient : n+ k n + k k k E n } {{ } question b n+ n+ } {{ } k E n k E n question a n+ n Or n+ n n +n Finalement, on a bien l inégalité : n+ k n + k Inutile de quantifier l entier n dans les questions a, b et c puisqu il est fixé par l énoncé pour toute la question 4 On procède par récurrence Pour n 0 on a H 0 H et + 0 Donc la proposition «H n + n» est vraie au rang n 0 On suppose maintenant la proposition «H n + n» vraie pour un certain rang n 0 fixé On cherche à démontrer qu elle est également vraie au rang n + On a : H n+ + + + + n+ + + + + n H n + n+ k n + k + n + + n + + n + + + n+ BCPST A lycée Hoche 04-05 7 sur 97 Sébastien Godillon
Or H n + n d après l hypothèse de récurrence, et on a démontré n+ k n + k à la question précédente Donc : H n+ + n + + n + Ainsi, la proposition «H n + n» est héréditaire pour tout entier n 0 On conclut par récurrence que H n + n pour tout entier n 0 5 On vient de démontrer n 0, + n H n Or lim n + + n +, donc lim n + H n + en utilisant le théorème de comparaison De plus on a démontré à la question c que l implication lim H n + lim H m + n + m + est vraie Par conséquent, la suite H m m diverge vers + Inutile de perdre du temps à détailler le calcul de la limite lim n + + n + qui est évident Exercice On considère les nombres réels α + 5 et β 5 a On a y > 0, y y / et y < 0, y y / Comme + 5 > 0 et 5 < 0, on obtient α + 5 / et β + 5 /, puis : αβ + 5 / + [ 5 / + 5 + ] / 5 [ 5 + ] / [ 5 5 ] / [] / α + β [ + 5 /] [ + + 5 /] + 5 / + 5 / + 5 + 5 4 Attention : y / exp lny est défini seulement pour y > 0, alors que y est défini pour tout y R On peut également faire les calculs en gardant la notation y et sans utiliser la notation y / dans ce cas, il n y a pas de problème de signe b Soient a et b deux nombres réels On a en développant : a + b a + b + a + b a + b a + ba + ab + b c En utilisant le résultat précédent on a : a + a b + ab + ba + bab + b a + a b + ab + b α + β α + α β + αβ + β α + β + αβα + β Puis en utilisant les résultats de la question a on obtient : α + β 4 α + β N oubliez pas d utiliser vos résultats des questions précédentes Quand l énoncé demande de simplifier, il faut le faire au maximum On pose u α + β et on considère la fonction polynomiale P : x P x x + x 4 a D après le résultat de la question précédente : u 4 u et donc P u u +u 4 0 b On a P + 4 0 donc est une racine de P N oubliez pas de justifier rapidement pourquoi est racine de P BCPST A lycée Hoche 04-05 8 sur 97 Sébastien Godillon
c Analyse : On suppose qu il existe un triplet a, b, c R tel que x R, P x x ax + bx + c On a alors en développant : x R, P x x + x 4 x ax + bx + c ax + bx + cx ax bx c ax + b ax + c bx c On en déduit que a, b a 0, c b et c 4, c est-à-dire a, b, c,, 4 Synthèse : On pose a, b et c 4 On a alors en développant : x R, x ax + bx + c x x + x + 4 D où le résultat avec a, b, c,, 4 x + x + 4x x x 4 x + x 4 P x La synthèse est suffisante, on peut faire l analyse sur un brouillon et ne pas l écrire sur sa copie Par contre, la synthèse est nécessaire : elle doit apparaître explicitement d D après le résultat précédent, on a pour tout x R : P x 0 x x + x + 4 0 x ou x + x + 4 0 Pour la deuxième proposition, on reconnait un polynôme de degré de discriminant 4 4 5 < 0 L équation x + x + 4 0 n a donc pas de solution réelle, et l équation P x 0 admet pour unique solution e D après le résultat de la question a, u est solution de l équation P x 0 Or on vient de démontrer que cette équation n a qu une seule solution qui est Par conséquent, α + β u On considère la fonction polynomiale Q : x Qx x αx β a On a pour tout x R en développant : Qx x αx β x αx βx + αβ x α + βx + αβ Or α + β u d après le résultat de la question précédente, et αβ d après un des résultats de la question a Donc : x R, Qx x x b α est solution de l équation Qx 0 car Qα α αα β 0 α β 0 Puisque Qx x x pour tout x R d après le résultat précédent, α est bien solution de l équation x x 0 On obtient la même chose pour β c On commence par résoudre l équation x x 0 d inconnue x R On reconnait un polynôme de degré de discriminant 4 5 Cette équation a donc exactement deux solutions : x 5 et x + + 5 D après le résultat précédent, ces deux solutions correspondent à α et β, il suffit donc de les identifier Or 5 < 0 < + 5 et β 5 < 0 < + 5 α Par conséquent : α + 5 et β 5 Attention de bien justifier l identification A priori, on a seulement démontré que {α, β} {x, x } mais on ne sait pas si α, β x, x ou si α, β x, x BCPST A lycée Hoche 04-05 9 sur 97 Sébastien Godillon
Exercice 4 On considère l équation E d inconnue x [0, π ] définie par : cosx + sinx E A Première méthode : Soient a et b deux nombres réels On a en utilisant le résultat de la question b de l exercice et en développant : a + b 4 a + ba + b a + ba + a b + ab + b a 4 + a b + a b + ab + a b + a b + ab + b 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 On pourra bientôt s épargner ces calculs pénibles à l aide de la formule du binôme de Newton L équation est bien définie pour tout x [0, π ] car cosx 0 et sinx 0 On a donc pour tout x [0, π ] en élevant l équation E à la puissance 4 d après le résultat précédent : E cosx + sinx 4 4 cosx 4 + 4 cosx sinx + 6 cosx sinx + 4 cosx sinx + sinx 4 cos x + 4 cosx cosx sinx + 6 cosx sinx + 4 cosx sinx sinx + sin x cosx sinx cosx + cosx sinx + sinx + cos x + sin x Le plus important ici est de bien organiser ces calculs pour ne pas perdre de temps Or x R, cos x + sin x d après le théorème de Pythagore, donc on obtient pour tout x [0, π ] que l équation E est équivalente à : cosx sinx cosx + cosx sinx + sinx 0 E On raisonne par disjonction des cas de x [0, π ] {0} ]0, π [ { π } Premier cas : x 0 Alors cosx et sinx 0, donc : cosx + cosx sinx + sinx + 0 + 0 > 0 Deuxième cas : x ]0, π [ Alors cosx > 0 et sinx > 0, donc : cosx + cosx sinx + sinx > 0 + 0 + 0 0 Troisème cas : x π Alors cosx 0 et sinx, donc : cosx + cosx sinx + sinx 0 + 0 + > 0 Dans tous les cas on a cosx + cosx sinx + sinx > 0, donc cette inégalité est vraie pour tout x [0, π ] BCPST A lycée Hoche 04-05 0 sur 97 Sébastien Godillon
4 Pour tout x [0, π ], l équation E est équivalente à : cosx sinx 0 ou cosx + cosx sinx + sinx 0 D après le résultat précédent cosx+ cosx sinx+ sinx 0 pour tout x [0, π ] De plus on a : [ x 0, π ], cosx sinx 0 cosx 0 ou sinx 0 x π ou x 0 Par conséquent, l équation E d inconnue x [0, π ] admet deux solutions : 0 et π Et puisque l équation E est équivalente à l équation E voir question, l ensemble des solutions est le même B Deuxième méthode : Pour tout a > 0, on a : a > a a > a 4 > a pour la première équivalence : le sens direct est vrai car x x est strictement croissante sur R + et la réciproque est vraie car x x est strictement croissante sur R +, pour la deuxième équivalence : on simplifie par a > 0 Or pour a ]0, [, a < est toujours vraie car x x est strictement croissante sur R Finalement, a > a pour tout a ]0, [ Il y a de nombreuses manières de démontrer cette inégalité Mais quelle que soit la méthode choisie, les justifications doivent être précises Soit x ]0, π [ Puisque cosx ]0, [ et sinx ]0, [, on a en utilisant le résultat de la question précédente : cosx + sinx > cos x + sin x Or le membre de droite est égal à d après le théorème de Pythagore D où cosx + sinx > pour tout x ]0, π [ N oubliez pas de justifier que cosx ]0, [ et sinx ]0, [ pour pouvoir utiliser la question précédente D après le résultat précédent, l équation E d inconnue x [0, π ] n a pas de solution dans ]0, π [ Il reste donc à vérifier les cas x 0 et x π Or on a : { x 0 cosx et sinx 0 cosx + sinx + 0 x π cosx 0 et sinx cosx + sinx 0 + Par conséquent, l équation E d inconnue x [0, π ] admet deux solutions : 0 et π BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
DS n o de mathématiques durée : h, calculatrice interdite Exercice Soit un n N fixé pour tout l exercice On rappelle que les racines n-ièmes de l unité sont les solutions de l équation z n d inconnue z C On propose de calculer la somme et le produit des racines n-ièmes de l unité a Résoudre l équation z n en exprimant les solutions sous forme exponentielle b En déduire la liste des racines n-ièmes de l unité sous forme algébrique pour n, n, n et n 4 On pose w n e iπ/n a Montrer que w n n b Montrer que w n est une racine n-ième de l unité c Donner la liste des racines n-ièmes de l unité en fonction de w n a Calculer n k0 w n k b En déduire la somme des racines n-ièmes de l unité c Vérifier le résultat précédent pour n, n, n et n 4 sous forme algébrique 4 Calculer n k0 w n k 5 a Montrer que n k0 w n k est une racine -ième de l unité b Que peut-on en déduire pour le produit des racines n-ièmes de l unité? c Calculer n k0 w n k dans le cas où n est impair, c est-à-dire si n l avec l N d Calculer n k0 w n k dans le cas où n est pair, c est-à-dire si n l avec l N e En déduire le produit des racines n-ièmes de l unité dans le cas général f Vérifier le résultat précédent pour n, n, n et n 4 sous forme algébrique 6 Calculer n k0 w n k Exercice Pour tout n, p N N on définit S p n n k kp Le but de cet exercice est de présenter une méthode pour calculer S p n Soit n N Rappeler les expressions de S 0 n, S n et S n Montrer que n N, S n n n+ 4 On fixe n, p N pour cette question a Montrer que n k k + p+ S p+ n + n + p+ b Soit k N Développer l expression k + p+ en vous servant du symbole c En déduire que n k k + p+ S p+ n + p l0 d A l aide des questions précédentes, montrer que S p n n + p+ p + p+ l S l n p p + l l0 S l n 4 Soit n N Utiliser le résultat précédent pour retrouver l expression de S n donnée à la question puis donner une expression simplifiée de S 4 n BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
Exercice On propose de résoudre l équation suivante d inconnue z C : z 6z + 4 0 E On considère z C une solution de E Soient u, v C tel que u + v z et uv a Calculer u + v de deux manières différentes b En déduire les valeurs de u + v et u v c Montrer que u et v sont solutions de l équation Z + 4Z + 8 0 d inconnue Z C d Résoudre l équation Z + 4Z + 8 0 On pose w + i a Ecrire w sous la forme exponentielle b Résoudre l équation Z w d inconnue Z C en exprimant les solutions sous forme exponentielle c On pose j e iπ/ Montrer que l ensemble des solutions de l équation Z { + i, + ij, + ij } w est En utilisant les questions précédentes, déterminer les valeurs possibles de u et v, puis de z 4 En déduire les solutions de E Exercice 4 Soit n N et x R On propose de calculer les sommes A n n k0 cos kx et B n n k0 sin kx Calculer A n + B n a Montrer que A n B n n k0 coskx b Rappeler et démontrer l expression de n k0 coskθ pour tout θ R c En déduire une expression simplifiée de A n B n on distinguera plusieurs cas selon les valeurs de x R En déduire des expressions simplifiées de A n et B n on distinguera plusieurs cas selon les valeurs de x R Exercice 5 Soit n N On propose de calculer la somme double j i,j n i Montrer que j i,j n i j i j n i Pour cette question, on fixe i {0,,,, n} Montrer que n on pourra raisonner par récurrence Calculer i,j n j i de deux manières différentes ji j i n+ i+ indication : BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
Corrigé du DS n o de mathématiques Exercice Soit n N a 0 n est pas solution de z n Pour z C, on écrit z sous forme exponentielle : z re iθ avec r > 0 et θ [0, π[ On a alors : z n re iθ { n r n e inθ r nθ 0 [π] θ 0 [ ] π n si et seulement si θ kπ n dans [0, π[, l ensemble des θ tel que θ 0 [ π { r θ 0 [ ] π n où k Z Mais puisqu on a choisi l argument θ ] } n est {0, π n, 4π n,, n π n, c est-à-dire { kπ n k {0,,,, n }} On en déduit l ensemble des solutions de z n : {e ikπ/n k {0,,,, n } } N oubliez pas de justifier que z 0 avant d utiliser la forme exponentielle Le choix de l intervalle [0, π[ pour l argument principal est arbitraire, on peut très bien choisir ] π, π] choisissez l intervalle avec lequel vous êtes le plus à l aise pour ne pas perdre de temps Les racines n-ièmes de l unité ne sont pas au programme de BCPST, mais l exercice est tellement classique qu il faut le connaître par cœur b La liste des racines n-ièmes de l unité est pour n : {e ikπ/ k {0} } { e i0} {} ; pour n : } {e ikπ/ k {0, } { e i0, e iπ} {, } ; pour n : } {e ikπ/ k {0,, } { { e i0, e iπ/, e 4iπ/}, + i, i } ; et pour n4 : } { {e ikπ/4 k {0,,, } e i0, e iπ/, e iπ, e iπ/} {, i,, i} On pose w n e iπ/n a Si w n alors π n 0 [π] en identifiant les arguments Or π n ]0, π] car n N Donc π n π et n Réciproquement, si n alors w n e iπ/ e iπ D où l équivalence N oubliez pas de justifier les deux sens de l équivalence b On a : w n n e iπ/n n e inπ/n e iπ Donc w n est solution de l équation z n, par conséquent w n est bien une racine n-ième de l unité BCPST A lycée Hoche 04-05 4 sur 97 Sébastien Godillon
c D après le résultat de la question a, les racines n-ièmes de l unité sont de la forme e ikπ/n e iπ/n k wn k où k {0,,,, n } Donc la liste des racines n-ièmes de l unité est donnée par : w n 0, w n, w n,, w n n a n k0 w n k est une somme des termes d une suite géométrique de raison w n Pour n, on a w n et donc n k0 w n k 0 Pour n, on a w n d après le résultat de la question a, et donc : n w n k w n n + w n k0 w n n w n w n 0 car w n est une racine n-ième de l unité question b Il ne faut pas oublier de séparer le cas où la raison est égale à Pensez à utiliser les résultats des questions précédentes, le sujet suit toujours une progression logique b D après le résultat de la question c, la somme des racines n-ièmes de l unité est donnée par n k0 w n k En utilisant le résultat précédent, la somme des racines n-ièmes de l unité est donc égale à pour n et à 0 pour n c En utilisant le résultat de la question b, la somme des racines n-ièmes de l unité est pour n : ; pour n : pour n : + + i + + 0 ; i + i 0 ; et pour n4 : + i + + i + i 0 4 Puisque w n e iπ/n, on a w n wn w n w n On en déduit que n k0 n w n k k0 w n k n n n w n k w n k w n k k0 car la somme de conjugués de nombres complexes est égale au conjugué de la somme de nombres complexes D après le résultat de la question b, n k0 w n est donc égale à k pour n et à 0 pour n Un exemple type de question astucieuse où on peut perdre énormément de temps si on n a pas la bonne idée Il ne faut surtout pas hésiter à laisser des questions de côté pour aller chercher des points ailleurs au lieu de perdre son temps à s obstiner Parfois, l astuce peut même surgir à notre esprit pendant qu on est en train de faire quelque chose de complètement différent k0 k0 BCPST A lycée Hoche 04-05 5 sur 97 Sébastien Godillon
5 a On a : n w n k w n 0 w n w n w n n k0 w n 0+++ +n w n n k0 k w n n n car n k0 nn+ w n n n w n nn w n n n n d après la question b Les détails de la transformation du produit en somme n ont pas besoin d être indiqués On peut directement écrire l égalité de la troisième ligne Par conséquent n k0 w n k est une solution de l équation z, c est donc une racine -ième de l unité b D après le résultat de la question b, les racines -ièmes de l unité sont et Et d après le résultat de la question c, le produit des racines n-ièmes de l unité est donné par n k0 w n k En utilisant le résultat précédent, le produit des racines n-ièmes de l unité est donc égal à ou à c On suppose que n est impair, donc que n l avec l N En procédant comme pour la question 5a, on obtient : n w n k k0 l k0 w n k w n l k0 k w n l l w n n l d On suppose que n est pair, donc que n l avec l N En procédant comme pour la question 5a, on obtient : n w n k k0 l k0 w n k w n l k0 k w n l l w n l l Or w n l w l l e iπ/l l e ilπ/l e iπ, donc n k0 w n k l car l est impair e En utilisant les résultats précédents, le produit des racines n-ièmes de l unité est donc égal à si n est impair et à si n est pair f En utilisant le résultat de la question b, le produit des racines n-ièmes de l unité est pour n : ; pour n : pour n : + i ; i 4 + + i 4 4 ; 4 et pour n4 : i i i BCPST A lycée Hoche 04-05 6 sur 97 Sébastien Godillon
6 On a : n n n w n k k w n k n k0 k0 k0 n k0 k w n k n n k0 n w n k D après le résultat de la question 5e, n k0 w n k est donc égal à nn / si n est impair et à nn / si n est pair On peut encore simplifier ce résultat en fonction des congruences modulo 4 de n mais ce n est pas au programme de BCP ST k0 Exercice Pour tout n, p N N on définit S p n n k kp Soit n N On a : S 0 n n k n S n n k k nn+ S n n k k nn+n+ 6 On va démontrer par récurrence que n N, S n n n+ 4 Pour n, on a S k k et + 4 4 4 Donc la formule est vraie pour n On suppose maintenant la formule vraie pour un n N fixé On a alors : S n + n+ k n + + k n + 4 n + n + 4 k n + + n n + 4 k 4n + + n n + 4 n + 4n + 4 Par conséquent la formule est vraie au rang n + On conclut par récurrence La récurrence est le moyen le plus rapide pour démontrer ce résultat à condition de connaitre la formule ou qu elle soit donnée dans l énoncé comme ici Il faut désormais savoir rédiger précisément et rapidement ce type de récurrence non difficile On fixe n, p N pour cette question a On a en utilisant un décalage d indice : n+ k + p+ k p+ k k k p+ + n + p+ p+ S p+ n + n + p+ k b Soit k N On a en utilisant la formule du binôme de Newton : p+ p + p+ p + k + p+ k l p+ l k l l l l0 l0 BCPST A lycée Hoche 04-05 7 sur 97 Sébastien Godillon
c On a en sommant le résultat précédent de k à k n : p+ p + k + p+ k l on reconnait une somme double l k k l0 p + k l l k n 0 l p+ p+ l0 k p+ p + l k l p + k l l l0 k p+ p + k l l l0 p+ k p + S l n l l0 p p + p + S l n + S p+ n l p + l0 p p + S p+ n + S l n l k l0 d En égalisant les résultat des questions a et c on obtient : p p + S p+ n + n + p+ k + p+ S p+ n + S l n l et donc : n + p+ l0 l0 l0 p p + p p + S l n S l n + l l Or p+ p p+! p!p+ p! p+! p! p + Par conséquent, on a bien : S p n p + p p + n + p+ l l0 S l n p + p S p n 4 Soit n N En utilisant le résultat précédent pour p, on a : S n 4 n + 4 S l n 4 l l0 4 4 4 n + 4 S 0 n S n S n 4 0 n + 4 nn + nn + n + n 4 6 4 6 n + 4 n + nn + nn + n + 4 n + n + n + n + n n n 4 n + n + n 4 n n + 4 BCPST A lycée Hoche 04-05 8 sur 97 Sébastien Godillon
En utilisant maintenant le résultat de la question précédente pour p 4, on obtient : S 4 n 5 n + 5 S l n 5 l l0 5 5 5 5 n + 5 S 0 n S n S n S n 5 0 n + 5 nn + nn + n + n 5 0 5 6 0 n n + 4 n + 5 n + 5 5 nn + 5 nn + n + 5 n n + n + n 4 + 4n + 6n + 4n + 5 5 n 0 n 5 n 5 n 5 n n + n 4 + 5 n + 6 n 6 n nn + 6n + 9n + n 0 Ces calculs ne sont pas si difficiles si on s organise bien Ecrivez soigneusement, aérez votre copie et organisez vos calculs On perd un peu de temps à mettre des calculs en forme, mais on en gagne énormément si tout est clair De même, évitez le plus possible les calculs de tête qui sont très chronophages Exercice On considère l équation E : z 6z + 4 0 d inconnue z C Soit z C une solution de E et soient u, v C tel que u + v z et uv a En utilisant l équation E, on a : u + v z 6z 4 6u + v 4 De plus, d après la formule du binôme de Newton et car uv, on a : u + v u + u v + uv + v u + 6u + 6v + v u + v + 6u + v b En égalisant les deux résultats précédents, on obtient 6u + v 4 u + v + 6u + v et donc u + v 4 De plus, u v uv 8 c u et v sont solutions de l équation Z u Z v 0 d inconnue Z C Or pour tout Z C, on a Z u Z v Z u + v u v Z + 4Z + 8 d après les résultats de la question précédente Donc u et v sont solutions de l équation Z + 4Z + 8 0 d inconnue Z C d L équation Z + 4Z + 8 0 est une équation du second degré de discriminant 4 4 8 6 < 0 Donc elle admet deux solutions complexes conjuguées qui sont : 4 + i 4 + 4i + i et 4 i i On pose w + i a On a w + 8 Puisque Imw > 0, on obtient un argument de w par arccos Rew w arccos arccos π 4 Finalement, w e iπ/4 BCPST A lycée Hoche 04-05 9 sur 97 Sébastien Godillon
b 0 n est pas solution de Z w car w 0 On écrit donc Z C sous forme exponentielle : Z re iθ avec r > 0 et θ [0, π[ On a alors : Z w r e iθ { e iπ/4 r { r θ π 4 [π] θ π [ π ] 4 Or π 4 π < 0, π 4 + π π, π + π 9π 9π et + π 9π 4 solutions de Z w est donc { e iπ/4, e iπ/, e 9iπ/} c On a + i + et arccos Re+i +i arccos arccos > π L ensemble des + i e iπ/4 car Im + i > 0 On en déduit en posant j e iπ/ que + ij e iπ/4 e iπ/ e i π 4 + π e iπ/ et + ij e iπ/4 e 4iπ/ e i π 4 + 4π e 9iπ/ π 4, donc D après le résultat de la question précédente, l ensemble des solutions de Z w est donc bien { + i, + ij, + ij } D après les résultats des questions c et d, on a u + i w ou u i w Dans le premier cas, u est solution de l équation Z w et donc, d après le résultat de la question c, u + i, u + ij ou u + ij Dans le deuxième cas, u est solution de l équation Z w Z w donc u est solution de Z w On en déduit que u + i i, u + ij ij car j e iπ/ e 4iπ/ j ou u + ij ij car j j j On obtient donc six valeurs possibles pour u Pour chacune des six valeurs possibles de u, on obtient une seule valeur possible de v car uv v u On calcule les valeurs possibles de v grâce aux relations +i i, i + i, j e iπ/ j j et e 4iπ/ e iπ/ j j Pour chacun des six couples possibles u, v, on en déduit la valeur possible de z u + v grâce aux relations j + j j + j Rej cos π et j j j j iimj i sin π i Finalement, les valeurs possibles de u, v et z sont résumées dans le tableau suivant Il y a donc trois valeurs possibles de z u v u + v z + i i + ij ij + ij ij + i + i ij + ij ij + ij + 4 D après le résultat précédent, si z C est solution de E alors z, z ou z + Réciproquement, on a en utilisant la formule du binôme de Newton : 6 + 4 8 + 4 0, 6 + 4 + 6 + 6 + 4 0 et + 6 + + 4 + + + 6 6 + 4 0 Donc l ensemble des solutions de E est {,, + } Cet exercice n était pas difficile mais on peut perdre du temps à le rédiger si on manque d organisation Beaucoup de calculs sont identiques ou diffèrent seulement de quelques signes, il ne faut surtout pas perdre du temps à refaire plusieurs fois le même BCPST A lycée Hoche 04-05 0 sur 97 Sébastien Godillon
Exercice 4 Soit n N et x R On pose A n n k0 cos kx et B n n k0 sin kx En utilisant le théorème de Pythagore, on a : A n + B n cos kx + k0 sin kx k0 cos kx + sin kx k0 n + a D après la formule de duplication du cosinus, on a k N, cos kx cos kx sin kx Donc : A n B n cos kx k0 sin kx k0 k0 cos kx sin kx k0 coskx b Soit θ R On a n k0 coskθ n k0 Reeikθ Re n k0 eiθ et on reconnait la somme des termes d une suite géométrique de raison e iθ Si e iθ, c est-à-dire si θ 0 [π], alors n k0 eiθ n k0 n + et donc n k0 coskθ Ren + n + Sinon e iθ, c est-à-dire θ 0 [π], et alors : e in+θ coskθ Re e iθ k0 e in+θ/ Re ein+θ/ e in+θ/ e iθ/ Re e inθ/ cos n θ sin n + θ sin θ e iθ/ e iθ/ i sin n + θ/ i sin θ/ c En remplaçant θ dans le résultat précédent par x, on obtient : { n + si x 0 [π] x 0 [π] A n B n cosnx sinn+x sinx si x 0 [π] x 0 [π] Pour obtenir des expressions de A n et B n, on écrit A n A n + B n + A n B n et B n A n + B n A n B n puis on utilise les résultats des questions et On obtient donc si x 0 [π] : A n n + + n + n + et B n n + n + 0, k0 et si x 0 [π] : A n n + + cosnx cosn + x sinx et B n n + cosnx cosn + x sinx Exercice 5 Soit n N D après la définition des coefficients binomiaux, on a j i 0 dès que j < i Donc : j j + j j + 0 j i i i i i i,j n i j n j<i n i j n j<i n i j n BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
On va démontrer par récurrence que n N, i {0,,,, n}, n j ji i n+ i+ Si n 0 alors i {0} c est-à-dire i 0, n j ji i 0 j j0 0 0 0 et n+ i+ 0+ Donc l égalité est vraie pour n 0 On suppose maintenant l égalité vraie pour un certain n N et on veut la démontrer au rang n+ Soit i {0,,,, n, n+} On distingue deux cas : i {0,,,, n} ou i n + Dans le deuxième cas, n+ j ji i n+ j jn+ n+ n+ n+ et n++ i+ n+ n++ n+ donc l égalité est vraie au rang n + Dans le premier cas, on utilise l hypothèse de récurrence : n+ j i ji ji j + i n + i n + + i + n + i n + i + n + + i + d après la formule de Pascal Donc l égalité est vraie au rang n + On conclut d après le principe de récurrence En utilisant les deux questions précédentes, on obtient en sommant sur les lignes : Or n+ i0 i,j n i,j n j j i i i j n i ji j i i n + i + n+ n + i n+ i + n+ n+ d après la formule du binôme de Newton Donc : j i n+ n + i i0 n + 0 i n + n+ n + n+ n De même, on obtient en utilisant la question et sommant sur les colonnes : i,j n j i i j n j j i0 j j n+ j i j i j j j i j 0 j i j j j 0 n j0 n n+ n n+ n BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
DS n o de mathématiques durée : h45, calculatrice interdite Exercice On désigne par E l ensemble des suites u n n N définies par la donnée de trois réels u 0, u et u, et par la relation suivante : n N, u n+ u n+ + u n 0 R Dans cette question, on considère la suite u n n N de E telle que u 0 4, u 5 et u Soit v n n N la suite de terme général v n u n+ + u n a Calculer v 0 et v b Exprimer v n+ en fonction de v n+ et v n c Montrer par récurrence que v n n N est constante En déduire : n N, u n+ u n + d Exprimer u n en fonction de n N e Pour tout n N, calculer n k0 u k Dans cette question, on considère la suite u n n N de E telle que u 0, u et u Soit w n n N la suite de terme général w n u n n a Vérifier que w w + w 0 0 b Montrer que n N, w n+ w n+ + w n 0 c Exprimer w n en fonction de n N d En déduire l expression de u n en fonction de n N e Pour tout n N, calculer n k0 u k Exercice Soient n et p deux entiers strictement positifs On dit qu une p-liste d entiers a, a,, a p est : croissante si k {,,, p }, a k a k+ ; strictement croissante si k {,,, p }, a k < a k+ On désigne par E l ensemble des p-listes croissantes d éléments de {,,, n} et par F l ensembles des p-listes strictement croissantes d éléments de {,,, n + p } Déterminer le cardinal de F Si a, a,, a p est une p-liste d éléments de {,,, n}, on définit la p-liste b, b,, b p par k {,,, p}, b k a k + k Montrer que si a, a,, a p E alors b, b,, b p F Si b, b,, b p est une p-liste d éléments de {,,, n + p }, on définit la p-liste a, a,, a p par k {,,, p}, a k b k k + Montrer que si b, b,, b p F alors a, a,, a p E BCPST A lycée Hoche 04-05 sur 97 Sébastien Godillon
4 Montrer que l application est bijective ϕ : E F a, a,, a p ϕa, a,, a p b, b,, b p définie par 5 En déduire le nombre de p-listes croissantes d éléments de {,,, n} Exercice On considère une protéine constituée de la succession linéaire d acides aminés de cystéine, d aspartate et de glutamate que l on désignera respectivement par les lettres C, D et E Cette protéine vérifie de plus la propriété suivante : sa structure primaire peut-être représentée par des séquences successives de lettres telles que chaque séquence commence par la lettre C et ne comporte jamais deux lettres consécutives identiques Pour chaque entier n, on note S n l ensemble des séquences possibles de n lettres et on considère les sous-ensembles C n, D n et E n de séquences de S n qui se terminent respectivement par C, D et E On pose c n cardc n, d n cardd n et e n carde n a Justifier que c, d 0 et e 0 b Justifier que c 0, d et e c Déterminer c, d et e Déterminer cards n et en déduire que c n + d n + e n n a En étudiant l avant-dernière lettre des séquences de C n+, démontrer que c n+ d n + e n b En s inspirant de la question précédente, démontrer deux autres relations 4 Justifier que d n e n 5 A l aide des questions précédentes, démontrer que n, c n+ c n+ + c n 6 En déduire l expression de c n en fonction de n puis celles de d n et e n 7 On remarque que le résultat précédent permet de calculer c 8 4 et d 8 4 Pour la question suivante, donner les résultats sous forme de produits d entiers, de factorielles et/ou de coefficients binomiaux sans chercher à les calculer Combien existe-t-il de structures primaires différentes formées par la succession de : a cinq séquences identiques de C 8? b cinq séquences différentes de C 8? c trois séquences identiques de C 8 et deux séquences identiques de D 8 pas nécessairement dans cet ordre? d trois séquences différentes de C 8 et deux séquences différentes de D 8 pas nécessairement dans cet ordre? Exercice 4 Déterminer un équivalent et calculer la limite de chacune des suites suivantes : u n n + 4n + 5 n + u n cos n n u n 7 sin e n + n5 6 5 lnn n n + tan n BCPST A lycée Hoche 04-05 4 sur 97 Sébastien Godillon
Corrigé du DS n o de mathématiques Exercice On désigne par E l ensemble des suites u n n N définies par la donnée de trois réels u 0, u et u, et par la relation suivante : n N, u n+ u n+ + u n 0 R Dans cette question, on considère la suite u n n N de E telle que u 0 4, u 5 et u Soit v n n N la suite de terme général v n u n+ + u n a On a v 0 u + u 0 5 + 4 et v u + u + 5 b Soit n N En utilisant la définition de la suite v n n N et la relation R, on obtient : v n+ u n+ + u n+ u n+ u n+ + u n + u n+ u n + u n+ 0 + u n+ + u n+ u n+ + u n v n+ v n c On démontre le résultat par récurrence double Plus précisément, on considère pour tout n N la proposition Pn : «v n et v n+» P0 est vraie d après le résultat de la question a On suppose maintenant que Pn est vraie pour un certain n N fixé Alors v n et v n+ par hypothèse de récurrence D après le résultat de la question précédente, on obtient : v n+ v n+ v n Ainsi v n+ et v n+, donc Pn + est vraie On conclut d après le principe de récurrence que Pn est vraie pour tout n N Par conséquent v n n N est la suite constante égale à Rédigez précisément et soigneusement vos raisonnements par récurrence, a fortiori les récurrences doubles On en déduit pour tout n N que u n+ + u n v n et donc u n+ u n + d D après le résultat précédent, u n n N est une suite arithmético-géométrique On cherche donc α R tel que la suite u n α n N soit une suite géométrique Or on a : n N, u n+ α u n + α u n α α + α u n α α + En posant α, on a α+ 0 et donc u n n N est une suite géométrique de raison On en déduit pour tout n N que u n u 0 n 4 n n Finalement, n N, u n + n e D après le résultat précédent, on a pour tout n N : u k k0 k0 + k + k0 k n + + n+ k0 n + n+ n + n+ BCPST A lycée Hoche 04-05 5 sur 97 Sébastien Godillon
Dans cette question, on considère la suite u n n N de E telle que u 0, u et u Soit w n n N la suite de terme général w n u n n a On a w 0 u 0 0, w u + 0 et w u 4 Donc w w + w 0 0 + 0 b On démontre le résultat par récurrence Le résultat de la question précédente justifie que la proposition est vraie pour n 0 On suppose que w n+ w n+ + w n 0 pour un certain n N fixé En utilisant l hypothèse de récurrence puis la définition de la suite w n n N et la relation R, on obtient : w n+ w n+ + w n+ w n+ w n+ w n+ + w n 4w n+ + w n + w n+ w n+ + 0 w n+ + w n u n+ n+ u n+ n+ + u n n u n+ u n+ + u n + 0 n 0 8 + 6 + n 0 On conclut d après le principe de récurrence que n N, w n+ w n+ + w n 0 c D après le résultat précédent, w n n N est une suite récurrente linéaire d ordre L équation caractéristique associée est l équation r r + r r 0 d inconnue r C Cette équation a pour unique solution r 0 Le terme général de la suite w n n N est donc de la forme : n N, w n λ + µnr 0 n λ + µn où λ et µ sont deux nombres réels On obtient pour n 0 : λ λ+µ 0 w 0, et pour n : λ + µ λ + µ w 0 donc µ λ Finalement, n N, w n n d Puisque w n n N a pour terme général w n u n n, on en déduit que : n N, u n n + n e D après le résultat précédent, on a pour tout n N : u k k0 k + k k0 n + nn + k0 k + k0 + n+ k k0 nn + + n+ Exercice Soient n et p deux entiers strictement positifs On désigne par E l ensemble des p-listes croissantes d éléments de {,,, n} et par F l ensembles des p-listes strictement croissantes d éléments de {,,, n + p } Puisqu il n y a qu une seule façon d ordonner par ordre croissant les éléments d une partie de {,,, n + p }, le nombre de p-listes strictement croissantes de {,,, n + p } est égal au nombre de parties à p éléments de {,,, n + p } Autrement dit, n + p cardf p Si a, a,, a p est une p-liste d éléments de {,,, n}, on définit la p-liste b, b,, b p par k {,,, p}, b k a k + k On suppose que a, a,, a p E, c est-à-dire que a, a,, a p est une p-liste croissante d éléments de {,,, n} Soit k {,,, p } Puisque a, a,, a p est croissante, on a a k a k+ Par conséquent, b k a k + k a k+ + k a k+ + k + b k+ < b k+ BCPST A lycée Hoche 04-05 6 sur 97 Sébastien Godillon
c est-à-dire b k < b k+ pour tout k {,,, p } Soit maintenant k {,,, p} Puisque a k n et k p, on a + b k a k + k n + p c est-à-dire b k {,,, n + p } pour tout k {,,, p} Ainsi b, b,, b p est une p-liste strictement croissante d éléments de {,,, n+p }, c est-à-dire b, b,, b p F Si b, b,, b p est une p-liste d éléments de {,,, n + p }, on définit la p-liste a, a,, a p par k {,,, p}, a k b k k + On suppose que b, b,, b p F, c est-à-dire que b, b,, b p est une p-liste strictement croissante d éléments de {,,, n+p } Soit k {,,, p } Puisque b, b,, b p est strictement croissante, on a b k < b k+ Par conséquent, a k b k k + < b k+ k + b k+ k + + + a k+ + Or a k et a k+ sont des nombres entiers, donc a k < a k+ + a k a k+ Ainsi a, a,, a p est croissante Montrons maintenant que a, a,, a p est une p-liste d éléments de {,,, n} On a a b + b et a p b p p+ n+p p+ n Puisque a, a,, a p est croissante, on a a a k a p et donc a k {,,, n} pour tout k {,,, p} Finalement a, a,, a p E 4 On considère l application ϕ : E F a, a,, a p ϕa, a,, a p b, b,, b p définie par Montrons tout d abord que ϕ est injective Soient a, a,, a p et a, a,, a p deux p- listes de E On note ϕa, a,, a p b, b,, b p et ϕa, a,, a p b, b,, b p leurs images par ϕ On suppose que ϕa, a,, a p ϕa, a,, a p, d où b, b,, b p b, b,, b p Soit k {,,, p} On a donc b k b k et d après : a k + k b k b k a k + k a k a k Donc a, a,, a p a, a,, a p et ϕ est injective Montrons maintenant que ϕ est surjective Soit b, b,, b p une p-liste de F On considère la p-liste a, a,, a p définie par et on va prouver que a, a,, a p est un antécédent de b, b,, b p par ϕ Tout d abord a, a,, a p est bien une p-liste de E d après le résultat de la question précédente On note donc ϕa, a,, a p b, b,, b p son image par ϕ et on a : k {,,, p}, b k d après a k + k d après b k k + + k b k Ainsi ϕa, a,, a p b, b,, b p b, b,, b p, autrement dit a, a,, a p est un antécédent de b, b,, b p, et ϕ est surjective Finalement, ϕ est injective et surjective, donc bijective Une autre méthode possible est de considérer l application ψ : F E définie par et de prouver que ψ ϕ Id E et ϕ ψ Id F Dans ce cas, on montre que ϕ : E F est bijective et de plus que ψ : F E et sa bijection réciproque 5 D après le résultat précédent on a carde cardf Or E désigne l ensemble des p-listes croissantes d éléments de {,,, n} et cardf a été déterminé à la question Donc le nombre de p-listes croissantes d éléments de {,,, n} est n + p carde p BCPST A lycée Hoche 04-05 7 sur 97 Sébastien Godillon
Exercice On considère une protéine constituée de la succession linéaire d acides aminés de cystéine, d aspartate et de glutamate que l on désignera respectivement par les lettres C, D et E Cette protéine vérifie de plus la propriété suivante : sa structure primaire peut-être représentée par des séquences successives de lettres telles que chaque séquence commence par la lettre C et ne comporte jamais deux lettres consécutives identiques Pour chaque entier n, on note S n l ensemble des séquences possibles de n lettres et on considère les sous-ensembles C n, D n et E n de séquences de S n qui se terminent respectivement par C, D et E On pose c n cardc n, d n cardd n et e n carde n a Il existe une seule séquence possible de une lettre qui est «C» car chaque séquence doit commencer par la lettre C Puisque cette séquence finit par C, on a c, d 0 et e 0 b Il existe deux séquences possibles de deux lettres qui sont «CD» et «CE» car la lettre C ne peut pas apparaitre deux fois consécutivement Donc c 0, d et e c Il existe quatre séquences possibles de trois lettres : «CDC», «CDE», «CEC» et «CED» Donc c, d et e Chaque séquence de S n est une n-liste de lettres l, l,, l n telle que l C et k {,,, n}, l k l k Il y a donc deux choix possibles pour chaque lettre l k où k {,,, n} Puisque card{,,, n} n, on obtient : cards n } {{ } n n fois Or S n est l union disjointe des séquences possibles qui se terminent par C, D ou E Donc n cards n cardc n D n E n cardc n + cardd n + carde n c n + d n + e n a L avant-dernière lettre des séquences de C n+ est D ou E, mais pas C car sinon la lettre C apparaitrait deux fois consécutivement à la fin de la séquence Chaque séquence de C n+ est donc formée par une séquence de D n ou de E n à laquelle on ajoute la lettre C finale Puisque D n et E n sont des ensembles disjoints, on obtient : c n+ cardc n+ cardd n E n cardd n + carde n d n + e n Plus précisément, on peut montrer que l application ϕ : C n+ D n E n qui à chaque séquence de C n+ associe la séquence de n lettres obtenue par suppression de la dernière lettre est une bijection b En étudiant l avant-dernière lettre des séquences de D n+ et celle des séquences de E n+, on obtient de même que d n+ c n + e n et e n+ c n + d n 4 Les lettes D et E jouent un rôle symétrique dans les séquences de S n Donc d n cardd n carde n e n Plus précisément, on peut montrer que l application ψ : D n E n qui à chaque séquence de D n associe la séquence de E n obtenue en remplaçant chaque lettre D par une lettre E et chaque lettre E par une lettre D est une bijection On peut également démontrer le résultat par récurrence en utilisant les deux résultats de la question précédente 5 En utilisant les résultats de la question, on a pour tout n : c n+ d n+ + e n+ c n + e n + c n + d n c n + d n + e n c n + c n+ BCPST A lycée Hoche 04-05 8 sur 97 Sébastien Godillon
6 D après le résultat précédent, c n n est une suite récurrente linéaire d ordre L équation caractéristique associée est l équation r r 0 d inconnue r C Cette équation a pour discriminant 4 9 > 0, et admet donc deux solutions réelles r 9 et r + 9 Par conséquent, le terme général de la suite c n n est de la forme : n, c n λ r n + λ r n λ n + λ n où λ et λ sont deux nombres réels Or c et c 0 d après les résultats des questions a et b, donc { { { λ + λ λ λ 0 λ + 4λ 0 λ + 4λ 6λ λ λ 6 Par conséquent : n, c n n + n 6 De plus, en utilisant les résultats des questions et 4, on a n, n c n +d n c n +e n Donc : n, d n e n n c n n + n n 6 n + n n 6 + n 6 On peut également déterminer les expressions de d n et e n à l aide de suites récurrentes linéaires d ordre de la même manière que pour l expression de c n, mais cette méthode est plus longue 7 On remarque que le résultat précédent permet de calculer c 8 4 et d 8 4 a Pour construire une structure primaire formée par la succession de cinq séquences identiques de C 8, il suffit de choisir une séquence de C 8 parmi cardc 8 c 8 4 séquences D où 4 structures primaires possibles b Pour construire une structure primaire formée par la succession de cinq séquences différentes de C 8, il suffit de compter le nombre de 5-listes sans répétition d éléments de C 8 4 4 40 9 8 structures primaires possibles D où 4! 4 5! c Pour construire une structure primaire formée par la succession de trois séquences identiques de C 8 et deux séquences identiques de D 8 pas nécessairement dans cet ordre, il suffit de choisir une séquence de C 8 parmi cardc 8 c 8 4 séquences et une séquence de D 8 parmi cardd 8 d 8 4 séquences, puis de placer les trois séquences identiques de C 8 dans la succession des cinq séquences, ce qui donne 5 choix possibles, et enfin de placer les deux séquences identiques de D 8 dans les deux places restantes de la succession des cinq séquences D où 4 4 5 structures primaires possibles d Pour construire une structure primaire formée par la succession de trois séquences différentes de C 8 et deux séquences différentes de D 8 pas nécessairement dans cet ordre, il 4! suffit de choisir une -liste sans répétition d éléments de C 8 parmi 4! 4 4 40 4! et une -liste sans répétition d éléments de D 8 parmi 4! 4 4, puis de placer la -liste sans répétition d éléments de C 8 dans la succession des cinq séquences, ce qui donne 5 choix possibles, et enfin de placer la -liste sans répétition d éléments de D8 dans les deux places restantes de la succession de cinq séquences D où 4 4 40 4 4 5 structures primaires possibles BCPST A lycée Hoche 04-05 9 sur 97 Sébastien Godillon