Spécale PSI - Cours "Electromagnétsme" 1 Inducton électromagnétque Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque Objectfs: Coecents d nductance propre L et mutuelle M Blan énergétque 1. Inductance propre 1.1. Dénton, notatons Un crcut lforme (C) parcouru par un courant d ntensté crée un champ magnétque B que l on quale de propre, par opposton au champ extéreur dont l n est pas responsable mas dans lequel l peut-être plongé. Le $ux de ce champ propre à travers le crcut qu l a créé est appelé le ux propre. B r (S) ds (C) Comme B et donc sont proportonnels à (lo de Bot Savart), le rapport / ne dépend plus du courant qu parcourt le crcut et consttue donc une caractérstque ntrnsèque de celu-c ; on l appelle l nductance propre : L = propre = S B.dS L : Henry, symbole H Les untés du Système d Unté Internatonales sont : : Weber, symbole Wb (1Wb=1T. m 2 ) Remarques : 1) L nductance propre L est une grandeur toujours postve. 2) L nductance propre L dépend de la géométre du crcut et des proprétés magnétques du mleu dans lequel l est plongé. 3) Il n est pas nécessare qu un crcut sot parcouru réellement par un courant pour calculer son nductance propre, l su2t d magner l exstence d un courant quelconque et calculer le $ux propre correspondant. 1.2. Exemple N spres S l
Electromagnétsme. Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque 2 On consdère un solénoïde de longueur comportant N spres régulères, supposées jontves, de secton S. Le champ magnétque B à l ntéreur du solénoïde (champ propre) est N B = µ 0 ne z = µ 0 ez avec e z vecteur untare de l axe du solenoïde ; Le $ux propre propre est alors propre = N 0 = N (BS) =µ 0 N 2 S L nductance propre L du solénoïde est alors : L = propre Exercce n 01 : Inductance propre d un tore = µ 0N 2 S = µ 0 N 2 S b h N spres a On consdère un tore (de rayons nterne a et externe b) de secton rectangulare (hauteur h) comportant N spres. Détermner l nductance propre L du tore. 1.3. Lo d Ohm aux bornes d une porton de crcut présentant une nductance propre La lo d Ohm généralsée s écrt u AB = R AB e ABext e ABpropre La f.e.m. d auto nducton e ABpropre est donnée par la lo de Faraday : e ABpropre = d propre = d(l) S le crcut ne se déforme pas (bobne rgde) et s le mleu magnétque dans lequel l est plongé est lnéare (µ r constante, cette restrcton exclue les matéraux dts ferromagnétques), alors son nductance propre ne dépend pas du temps et : e ABpropre = L d u AB = R AB e ABext + L d Dans le cas où l n y a pas de phénomène d nducton externe (le champ magnétque externe est nulle : B ext = 0) on obtent: u AB = R AB + L d A R L B A R B d L
Electromagnétsme. Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque 3 1.4. Energe magnétque On étude la réponse d un solénoïde (longueur comportant N spres de secton S) de résstance R et d nductance L àun échelon de tenson. Pour cela on l almente par un générateur parfat délvrant une tenson u. On suppose qu l n y a pas de champ magnétque externe et que l nductance propre L est constante ; on a donc u = R+ L d 0 t <0 avec u(t) = E = cste t >0 (t) = E 1 exp t avec = L R R Pour fare un blan énergétque on multple l équaton d;érentelle par t 0 u () = R()+L d () u = R 2 + Ld t E R 2 énerge délvrée par le générateur = 0 énerge dsspée par e;et Joule + t Ld 0 énerge emmagasnée par la bobne Entre 0 et t 1 le solénoïde accumule une énerge magnétque W B avec W B = t=t1 t=0 Lydy = y= y=0 Lydy = 1 2 L2 Il reste à reler cette énerge à la densté volumque d énerge électromagnétque w = 0E2 2 + B2 2µ 0. Le champ propre du solénoïde (consdéré comme déal) est : nul à l extéreur N égale à µ 0 à l ntéreur l énerge magnétque emmagasnée est donc w B.V = B2 N µ0 S = 2 S = 1 2µ 0 2µ 0 2 µ N 2 S 0 2 l nductance propre du solénoïde est L = µ 0 N 2 S On a ben w B.V = 1 2 L2 = W B Le courant qu parcourt un crcut, d nductance propre L, crée un champ magnétque propre B propre auquel est assocé une énerge magnétque propre W B donnée par W B = 1 2 L2 = 1 2 propre = 1 2 espace B 2 propre µ 0 d Remarque : Cette dernère expresson permet d obtenr l nductance propre de crcuts non lformes pour lesquels, la relaton de dénton L = propre = Exercce n 02 : câble coaxal S B.d S est napplcable faute de pouvor calculer le $ux propre.
Electromagnétsme. Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque 4 R 1 R2 I r I h B r ( r) Sot un câble consttué de deux cylndres coaxaux et supposé de longueur nne. On suppose que le courant crcule en pérphére du conducteur central (âme du coaxal), le retour étant assuré par le conducteur externe. Les denstés de courants surfacques sont unformes. Détermner le champ magnétque B. Endédurew B et W B. Montrer alors que L = µ 0 h R2 4 ln R 1. 2. Inductance mutuelle 2.1. Flux de mutuelle nductance Soent deux crcuts orentés repérés par (1) et (2) tels que : quand le crcut (1) est parcouru par une ntensté de courant 1, le crcut (2) embrasse une parte (ou la totalté) du champ magnétque B 1 crée par (1), quand le crcut (2) est parcouru par une ntensté de courant 2, le crcut (1) embrasse une parte (ou la totalté) du champ magnétque B 2 crée par (2). 1 2 B r 2 2 1 1 B r 1 2 On désgne par : 12 le $ux du champ magnétque B 1 à travers le crcut (2) : 21 le $ux du champ magnétque B 2 à travers le crcut (1) : Ces $ux sont appelés les ux de mutuelle nductance. 12 = (2) B 1.dS 21 = (1) B 2.dS 2.2. Expresson de l nductance mutuelle Les champs B 1 et B 2 étant respectvement proportonnels aux courants 1 et 2,les$ux de mutuelle nductance peuvent s écrre : 12 = M 12 1 et 21 = M 21 2
Electromagnétsme. Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque 5 Nous admettrons que les deux coe2cents M 12 et M 21 sont égaux et désgnerons par nductance mutuelle M leur valeur commune : M = 12 1 = 21 2 La dmenson d une nductance mutuelle est celle d une nductance propre et M se mesure donc en Henry. Remarques : 1) Comme l nductance propre L, l nductance mutuelle M dépend de la géométre des deux crcuts et des proprétés magnétques du mleu dans lequel ls sont plongés. 2) Contrarement à l nductance propre L toujours postve, l nductance mutuelle M est une grandeur algébrque dont le sgne dépend de l orentaton des deux crcuts. S l on nverse l orentaton d un des deux crcuts l nductance mutuelle M est changée en son opposé. 3) Nul beson que les crcuts soent parcourus réellement par des courants pour calculer leur nductance mutuelle, l su2t d magner l exstence d un courant quelconque ( 1 ou 2 )etcalculerle$ux de mutuelle correspondant. 4) En général l nductance mutuelle de deux crcuts n a de valeur notable que lorsqu l s agt de partes bobnées vosnes. Exercce n 03 : Inductance mutuelle entre deux spres Sot deux spres, l une de rayon R et d axe (Oz), et une seconde spre de même axe et de rayon a très pett par rapport à R. Ces deux spres sont à une dstance d l une de l autre. Calculer les coe2cents M 12 et M 21, pus montrer que M = M 12 = M 21. On prendra les orentatons choses sur le schéma c-dessous. 2.3. Couplage magnétque entre deux crcuts 2.3.1. Lo d Ohm aux bornes d une porton de crcut présentant une nductance propre et une nductance mutuelle S deux crcuts sont en nductance mutuelle et en supposant qu l n y a pas d autre source de champ magnétque, les $ux totaux à travers chacune des deux bobnes s écrvent : 1 = 11 + 21 = L 1 1 + M 2 2 = 22 + 12 = L 2 2 + M 1 D où les f.e.m. ndutes : e 1 = d1 d = L 1 1 M d2 e 2 = d 2 d = L 2 2 M d 1 L 2 1 R 2 2 R 1 L 1 M A B C D R 1 1 2 R 2 A B C D e 1 e 2
Electromagnétsme. Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque 6 On en dédut les d;érences de potentel aux bornes de chacun des deux crcuts : d 1 u AB = v 1 = R 1 1 e 1 = R 1 1 + L 1 + M d 2 d 2 u CD = v 2 = R 2 2 e 2 = R 2 2 + L 2 + M d 1 Les équatons électrques de chacune des deux branches sont couplées par nductance mutuelle. En régme snusoïdal permanent à la pulsaton $ ces équatons devennent (cf cours sur les transformateurs) : v 1 = R 1 1 + j$l 1 1 + j$m 2 v 2 = R 2 2 + j$l 2 2 + j$m 1 2.3.2. Coe(cent de couplage entre deux crcuts Lorsque chaque crcut enlace la totalté des lgnes de champ de l autre (exemple des deux solénoïdes emboîtés l un dans l autre lorsqu ls ont le même rayon), la mutuelle nductance de deux crcuts donnés prend alors sa valeur maxmale qu est : M max = L 1 L 2 Quand une parte des lgnes de champ correspondant à un crcut n est pas enlacée par l autre, alors : M< L 1 L 2 On dént le coe(cent de couplage (magnétque) de deux crcuts par la quantté sans dmenson : 0 k = M L1L 2 1 2.4. Energe magnétque 2.4.1. Expresson de l énerge magnétque Soent deux crcuts en nductance mutuelle. On suppose qu l n y a pas d autre source de champ magnétque. Recherchons l énerge stockée sous forme magnétque quand l ntensté du courant vaut 1 dans le crcut (1) et 2 dans le crcut (2): 1 L 2 R 2 2 R 1 L 1 M u 1 u 2 On procède comme au paragraphe 1.4. ; un blan d énerge applqué au système {L 1,R 1 ; L 2,R 2 } donne : d v1 = R 1 1 + L 1 1 + M d2 d v 2 = R 2 2 + L 2 2 + M d1 d v1 ( 1 ) =R 1 1 ( 1 )+L 1 1 ( 1)+M d 2 ( 1) d v 2 ( 2 ) =R 2 2 ( 2 )+L 2 2 ( 2)+M d1 ( 2) v1 1 R 1 2 1 = L 1 1 d 1 + M 1 d 2 v 2 2 R 2 2 2 = L 2 2 d 2 + M 2 d 1 d où une énerge magnétque élémentare dw B = dw Bcrcut 1 + dw Bcrcut 2 = v 1 1 R 1 2 1 + v 2 2 R 2 2 2 = (L 1 1 d 1 + M 1 d 2 )+(L 2 2 d 2 + M 2 d 1 ) = L 1 1 d 1 + L 2 2 d 2 + Md( 1 2 )
Electromagnétsme. Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque 7 L énerge magnétque d un système de deux crcuts couplés est, en l absence d autres sources de champ magnétque : W B = 1 2 L 1 2 1 + 1 2 L 2 2 2 + M 1 2 Remarque : en désgnant par 1 et 2 les $ux totaux on a : 1 = 11 + 21 = L 1 1 + M 2 2 = 22 + 12 = L 2 2 + M 1 W B = 1 2 ( 1 1 + 2 2 ) 2.4.2. Coe(cent de couplage Revenons sur le coe2cent de couplage ntrodut au 2.3.2. en remarquant que l encadrement annoncé pour la mutuelle nductance, 0 k = 1, peut être relé au fat que l énerge magnétque stockée est une forme quadratque postve. M L1L 2 En e;et, en factorsant 2 2 dans l expresson de l énerge et en posant X = 1 2 : W B = 1 2 L 1 2 1 + 1 2 L 2 2 2 + M 1 2 = 1 2 2 2 L1 X 2 +2MX + L 2 X W B > 0 X L 1 X 2 +2MX + L 2 > 0 = dscrmnant de L 1 X 2 +2MX + L 2 < 0 = M 2 L 1 L 2 < 0 sot M < L 1 L 2
Electromagnétsme. Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque 8 Exercce n 04 : Couplage entre un solénoïde et une bobne Une bobne de N 2 spres enlace un solénoïde déal de N 1 spres, de longueur et de secton S. 1) Calculer l nductance mutuelle M de ces deux crcuts, avec les orentatons du schéma c-dessus. 2) La bobne de résstance R est fermée sur elle-même. Le solénoïde est parcouru par le courant 1 = 0 cos $t. On suppose de plus que N 2 N 1. Montrer que l nductance L 2 est néglgeable et détermner le courant 2 dans la bobne. 3) Proposer une méthode smple, utlsant un générateur B.F. et un osclloscope pour mesurer M. Exercce n 05 : Energe magnétque et nductance mutuelle de deux solénoïdes coaxaux Le solénode S 1 de longueur 1 pénètre dans le solénode S 2 coaxal de longueur 2 d une quantté varable x (x < 1 ). Les solénodes, ayant N 1 spres et N 2 spres régulèrement répartes sur une couche, sont parcourus par les courants I 1 et I 2 contnus. Les rayons de S 1 et S 2 sont R 1 1 et R 2 2. Détermner, pour ce système de deux solénodes : 1) l énerge magnétque W (x) ; 2) l nductance mutuelle M(x) et vérer l néquaton M (x) < L 1 L 2 ; 3) la force électromagnétque d nteracton de S 1 et S 2.