Electricité n 1 : CONDENSATEUR ET CIRCUIT RC

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Elecricié n 1 : CONDENSATEUR ET CIRCUIT RC I) Convenion d'algébrisaion des grandeurs élecriques : 1) Inensié e ension : L inensié i du couran élecrique e la ension u aux bornes d un dipôle son des grandeurs algébriques don le signe dépend d une convenion. Dans la convenion des récepeurs, on a deux possibiliés pour la définir : * soi, on oriene géomériquemen le dipôle par une flèche : - si un couran circule réellemen de la gauche vers la droie, on dira que son inensié i() > 0, e inversemen. - la ension es mesurée en prenan le poeniel du poin par lequel on enre, moins le poeniel du poin par lequel on sor. Cee différence de poeniel (d.d.p.) es représenée par une flèche. * soi, on désigne les bornes du dipôle par des leres (A e B), l'inensié e la ension son algébrisées par l'ordre des leres placées en indice : si un couran circule réellemen de A vers B, on dira que son inensié i AB () > 0, e inversemen. De même pour la ension. 2) Rappel de la loi d Ohm : La relaion enre l inensié du couran qui raverse un conduceur ohmique e la ension appliquée à ses bornes es connue sous le nom de loi d Ohm. En convenion des récepeurs, e en couran coninu, elle s écri : U = R.I ou U AB = R.I AB Nous admerons que cee loi rese vraie en régime variable : A chaque insan u() = R.i() ou u AB () = R.i AB () 3) Cas du condensaeur : Un condensaeur es formé de deux plaques conducrices ( armaures) e séparées par un isolan (diélecrique). Les dimensions des plaques son grandes devan l'épaisseur de l'isolan. Le condensaeur es un dipôle, on le symbolise par : La charge q es, par convenion la charge porée par la plaque par laquelle on enre dans le condensaeur. La charge qui apparaî sur l'une des plaques es l'opposée de celle qui apparaî sur l'aure plaque en effe la conservaion de la charge élecrique s'écri : q + q = 0 d où q = q. 4) Relaion enre charge e inensié : L'inensié du couran es le débi de charges e es égale à la quanié de charges qui passen par unié de emps à ravers une secion de conduceur : On a I = Q On oriene le condensaeur de A vers B (par exemple). Si des charges posiives circulen de A vers B, alors l inensié i AB > 0. Ces charges viennen s accumuler sur la plaque A par q laquelle on enre : q A augmene. Si q A augmene alors la variaion de q A es A > 0. En passan à la limie δ e en convenion des récepeurs : i AB = dq A dq où i = Ecole Européenne de Francfor Page 101

II) Capacié d un condensaeur : 1) Condensaion de l élecricié : Condensaeur e circui RC On charge un élecroscope muni d'un plaeau par conac ou par influence. Avec une seule plaque, la charge porée par l'élecroscope es réparie sur ou le conduceur comme le monre la lame levée de l'élecroscope. Lorsqu'on approche une deuxième plaque, la déviaion de la lame de l'élecroscope diminue : les charges son venues s'accumuler ou se condenser sur les plaques. 2) Variaion de la charge avec la ension appliquée : On peu monrer, à l'aide d'un galvanomère balisique don la déviaion de l'aiguille es proporionnelle à la charge élecrique oale qui le raverse, que la charge qui s'accumule sur les plaques d'un condensaeur es proporionnelle à la ension qu'on applique à ses bornes. On a Q = C. U Algébriquemen, en convenion des récepeurs : Q = C.U Si Q es exprimé en coulomb (C) e U en vol (V) alors : L'unié légale fondamenale de mesure de la capacié d'un condensaeur es le farad (F). Ne pas confondre avec 1 faraday 1 F = N A.e = 96500 C Le farad éan une grande unié, on uilise souven des sous-muliples : 1 nf = 10 9 F, 1 pf = 10 12 F 3) Relaion algébrique insananée : On oriene géomériquemen le condensaeur de la borne A vers la borne B. Soi i AB l inensié algébrique du couran allan de A vers B e q A la charge qui apparaî sur la plaque par laquelle on enre dans le condensaeur. Nous admerons que la relaion algébrique Q = C.U es vraie à chaque insan. On a physiquemen donc : q A = q B = C.(V A V B ) En enan compe de la relaion enre i AB e q A, on a : dq Soi i AB = A d(v V ) = C. A B du = C. AB On reiendra les relaions algébriques dans la convenion des récepeurs : u() = C 1.q() e i() = dq() III) Réponse d un dipôle RC à un "échelon de ension" : 1) Expérience héorique : = C. du() Un dipôle RC es l associaion en série d un conduceur ohmique (conduceur ohmique) de résisance R e d un condensaeur de capacié C. Un échelon de ension es un signal élecrique de forme : u() = 0 si < 0 e u() = E si > 0. On considère un circui formé de deux mailles, don l'une compore un généraeur de ension coninue U PN = E e l'aure un conduceur parfai. Page 102 Chrisian BOUVIER

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne 2) "Charge" du condensaeur : a) Eablissemen de l équaion différenielle : Le condensaeur éan déchargé, on bascule l'inerrupeur en posiion 1 (généraeur). A chaque insan > 0, on a : V A V B = u R () + u C () = R.i() + u C () = E dq() du On a i() = e q() = C.u C () donc i() = C. C () du soi. C () + uc () = E D où l'équaion : du C () 1 +.uc () = On di que u C () saisfai à une équaion différenielle non homogène du premier ordre. E Avec q() = C.u C (), on a dq() + 1 E.q() = R b) Soluion de l équaion différenielle : On cherche l'allure de la courbe représenaive de l'évoluion de u C () au cours du emps. duc A = 0, le condensaeur es déchargé e q(0) = C.u C (0) = 0, on en dédui : E = = 0 On a donc un poin de la courbe représenaive de u C () : (0 ; 0) ainsi que la valeur de la pene de la angene à cee courbe à l'origine des daes. Au bou d'un emps assez long ( = ) on peu considérer que le condensaeur es chargé dq duc e qu'il ne passe plus de charge dans le circui : = C. duc = 0 donc = 0 = = De l'équaion différenielle, on ire : u C ( ) = E ension aux bornes du généraeur. La courbe représenaive de u C () end vers la valeur E qui représene une asympoe avec une pene nulle. La courbe end exponeniellemen vers cee valeur. Résoluion mahémaique : les soluions de l équaion différenielle son de la forme : u C () = A.e m. + B où m > 0, m e B consanes d inégraion, A consane non définie. m. d(a. e + B) Inroduisons cee expression dans l équaion : + 1.(A.e m. + B) = D où : m.a.e m. A +.e m. B E + = Cee équaion doi êre vérifiée à chaque insan, on en dédui : B = E D où : m.a.e m. A +.e m. 1 = 0 e m = La soluion générale de l équaion différenielle s écri : u C () = A. e + E A es une consane qui dépend des condiions iniiales. Ici, à = 0, le condensaeur es déchargé, donc : u C (0) = 0 = A.e 0 + E d où A = E Compe enu des condiions iniiales imposées par l expérience, la soluion es : = E u C () = E.(1 e ) On rerouve l allure prévue. En pariculier, au bou d un emps long : u C ( ) = E Ecole Européenne de Francfor Page 103

c) Charge e inensié du couran : Condensaeur e circui RC du En appliquan les relaions : q() = C.u C () e i() = C. C () On a : q() = C.E.(1 E e ) e i() =. e R Au bou d un emps long : q( ) = C.E = Q 0 le condensaeur es chargé E : i( ) = 0 il n y a plus de couran 3) Décharge du condensaeur dans une résisance : a) Eablissemen de l équaion différenielle : Le condensaeur éan chargé (q(0) = Q 0 ), on bascule K en 1 (cour-circui). A chaque insan > 0, on a : V A V B = u R () + u C () = R.i() + u C () = 0 dq() du On a i() = e q() = C.u C () donc i() = C. C () du soi. C () + uc () = 0 D où l'équaion : du C () 1 +.uc () = 0 On di que u C () saisfai à une équaion différenielle homogène du premier ordre. Avec q() = C.u C (), on a dq() + 1.q() = 0 b) Soluion de l équaion différenielle : Cherchons l'allure de la courbe représenaive de l'évoluion de u C () au cours du emps. Pour cela, on considère que l'équaion différenielle es vraie à chaque insan. duc A = 0, le condensaeur es chargé q(0) = C.u C (0) = C.E, on en dédui : E = = 0 On a donc un poin de la courbe représenaive de u C () : (0 ; E) ainsi que la valeur de la pene de la angene à cee courbe à l'origine des daes. Au bou d'un emps assez long ( = ) on peu considérer que le condensaeur es dq duc déchargé e qu'il ne passe plus de charge dans le circui : = C. = 0 donc = duc = 0 de l'équaion différenielle, on ire : u C ( ) = 0 ension nulle. = La courbe représenaive de u C () end vers 0 qui représene une asympoe avec une pene nulle. La courbe end exponeniellemen vers 0. Résoluion mahémaique : les soluions de l équaion différenielle son de la forme : u C () = A.e m. + B où m > 0, m e B consanes d inégraion, A consane non définie. m. d(a. e + B) Inroduisons cee expression dans l équaion : + D où : m.a.e m. A +.e m. B + = 0 Cee équaion doi êre vérifiée à chaque insan, on en dédui : B = 0 D où : m.a.e m. A +.e m. 1 = 0 e m = La soluion générale de l équaion différenielle s écri : u C () = A. Page 104 Chrisian BOUVIER = 1.(A.e m. + B) = 0 e

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Là encore A es une consane qui dépend des condiions iniiales. Ici, à = 0, le condensaeur es chargé, donc : u C (0) = E = A.e 0 d où A = E Compe enu des condiions iniiales imposées par l expérience, la soluion es : u C () = E. On rerouve l allure prévue. En pariculier, au bou d un emps long : u C ( ) = 0 c) Charge e inensié du couran : e En appliquan les relaions : q() = C.u C () e i() = C. du C () On a : q() = C.E. E e e i() =. e R Au bou d un emps long : q( ) = 0 le condensaeur es déchargé E : i( ) = 0 il n y a plus de couran 4) Consane de emps du dipôle RC : a) Analyse dimensionnelle : Le produi : τ = es homogène à un emps, appelé consane de emps du dipôle RC. La résisance R = u/i es homogène à On en dédui que R es homogène à [Tension] dq [Charge], or i = es homogène à [Inensié] [Temps] Tension] [Temps] [Charge] [ x [Charge] La capacié du condensaeur C = q/u es homogène à [Tension] [ Tension] x[temps] La consane de emps τ = es homogène à [Charge] b) Déerminaion de la consane de emps : [Charge] x [Tension] = [Temps] - Si on dispose de l oscillogramme u C () = E.(1 C ). On race la angene à la courbe à l origine : elle coupe l asympoe y = E au poin d abscisse = τ. En effe, la angene à la courbe représenaive de u C (), à l origine des daes, a pour équaion : d[uc()] y =. = E.( R 1 ). =.C R E..C = 0 Elle coupe l asympoe y = E en un poin d abscisse : E/(). = E soi = = τ - Si on dispose de l oscillogramme u C (), on se place à la dae = τ : * Lors de la charge : u C () = E.(1 e ) On déermine : u C (τ) = E.(1 e 1 ) 0,63.E. Par lecure graphique de l abscisse du poin de la courbe don l ordonnée es égale à 0,63.E, on obien la valeur de τ. e R. Ecole Européenne de Francfor Page 105

* Lors de la décharge : u C () = E. e, on déermine u C (τ) = E.e 1 ) 0,37.E. Par lecure graphique de l abscisse du poin de la courbe don l ordonnée es égale à 0,37.E : on obien la valeur de τ. Condensaeur e circui RC - Si on connaî R e C, on peu calculer : τ = Exemple : Pour un circui formé d un conduceur ohmique de résisance R = 100 Ω e d un condensaeur de capacié C = 1 µf, on a : τ = = 10 4 s = 0,1 ms. c) Influence de la consane de emps : Pendan une durée de quelques τ (de l ordre 5.τ) le condensaeur se charge ou se décharge : c es le régime ransioire du phénomène. Au bou de quelques τ (de l ordre 5.τ), le condensaeur es chargé ou déchargé e l inensié du couran es nulle : c es le régime permanen du phénomène. 5) Eude expérimenale : On considère le monage suivan : Le bouon +/- B es enfoncé. Aenion aux précauions à prendre au niveau du signe des grandeurs visualisées! Page 106 Chrisian BOUVIER

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne Soien A e B les bornes de la "branche" conduceur ohmique-condensaeur. On veu vérifier les résulas héoriques : On veu visualiser la charge q() porée par le condensaeur e l inensié i() du couran. - Pour avoir l allure de q(), on peu visualiser u C () = C 1.q() qui nous donne q() à 1/C près. - Pour visualiser i(), il fau se placer aux bornes du conduceur ohmique, on a en effe : u R () = R.i() IV) Energie emmagasinée par le condensaeur : On sai que la puissance élecrique dissipée, à un insan donné, dans un dipôle raversé par un couran d inensié i() e aux bornes duquel règne une ension u(), es : p() = u().i() Considérons la charge du condensaeur, on a : u R () + u C () = R.i() + C 1.q() = E Chaque erme éan homogène à une ension, muliplions le par i() : 1 R.i().i() +.q().i() = E.i() ou R.[i()] 2 1 dq() +.q(). = E.i() C C Chaque erme représene une puissance. Une parie de la puissance fournie par le généraeur (E.i()) es dissipée par effe Joule (R.[i()] 2 ) dans le conduceur ohmique e une parie ser 1 dq() augmener l énergie sockée par le condensaeur (.q(). ) (dérivée oale exace). C 2 1 [q()] d(. ) dw () On a donc p C = C = 2 C, on voi que l énergie insananée sockée par le 2 1 [ q()] 1 condensaeur es : W C () =. =.C.[u()] 2 2 C 2 W C en J, q en C, u en V e C en F. Ecole Européenne de Francfor Page 107

I) Rappels : Algébrisaion des grandeurs élecriques : Condensaeur e circui RC A RETENIR Rappel de la loi d Ohm : A chaque insan u() = R.i() ou u AB () = R.i AB () Cas du condensaeur : Le condensaeur es un dipôle, on le symbolise par : La charge q es, par convenion la charge porée par la plaque par laquelle on enre dans le condensaeur. Relaion enre charge e inensié : i AB = dq A dq où i = II) Capacié d un condensaeur : Variaion de la charge avec la ension appliquée : Algébriquemen, en convenion des récepeurs : Q = C.U L'unié légale fondamenale de mesure de la capacié d'un condensaeur es le farad (F). Relaion algébrique insananée : On reiendra les relaions algébriques dans la convenion des récepeurs : Associaion de condensaeurs : Condensaeurs en parallèle : u() = C 1.q() e i() = dq() = C. du() Le condensaeur équivalen aux deux condensaeurs en parallèle es celui qui pore sur sa plaque d'enrée la même charge que la somme des charges porées par les deux plaques d'enrée des condensaeurs lorsqu'on applique à ses bornes la même ension u() qu'aux bornes des deux condensaeurs : C = C 1 + C 2 b) Condensaeurs en série : Le condensaeur équivalen aux deux condensaeurs en série es celui qui pore sur sa plaque d'enrée la même charge q() que celle porée par la plaque d'enrée du premier condensaeur lorsqu'on applique à ses bornes la même ension u() que celle appliquée aux 1 bornes des deux condensaeurs : = C C1 1 1 + C 2 Page 108 Chrisian BOUVIER

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne 5) Capacié du condensaeur plan : S Si l'isolan es le vide (ou l'air) on a : C 0 = ε 0. d ε 0 es la permiivié diélecrique du vide, avec ε 0 = 1 S.I. = 8,84.10 12 S.I. 4. π.9.10 9 Si l'isolan es un maériau : C = ε.s/d où ε es la permiivié diélecrique du maériau. On pose ε = ε r.ε 0 où ε r es la permiivié relaive du maériau par rappor au vide (ou à l'air). III) Réponse d un dipôle RC à un "échelon de ension" : Expérience héorique : Un dipôle RC es l associaion en série d un conduceur ohmique (conduceur ohmique) de résisance R e d un condensaeur de capacié C. "Charge" du condensaeur : Eablissemen de l équaion différenielle : du () Equaion : C 1 E +.uc () = On di que u C () saisfai à une équaion différenielle non homogène dq() 1 E Avec q() = C.u C (), on a +.q() = R du premier ordre. Soluion de l équaion différenielle : La soluion générale de l équaion différenielle s écri : u C () = A. e + E A es une consane qui dépend des condiions iniiales. Si, à = 0, le condensaeur es déchargé, donc : u C (0) = 0 = A.e 0 + E d où A = E u C () = E.(1 e ) Charge e inensié du couran : q() = C.E.(1 E e ) e i() =. e R Décharge du condensaeur dans une résisance : Eablissemen de l équaion différenielle : du C () 1 +.uc () = 0 On di que u C () saisfai à une équaion différenielle homogène dq() 1 +.q() = 0 Soluion de l équaion différenielle : du premier ordre. La soluion générale de l équaion différenielle s écri : u C () = A. Là encore A es une consane qui dépend des condiions iniiales. Si, à = 0, le condensaeur es chargé, donc : u C (0) = E = A.e 0 d où A = E u C () = E. e Ecole Européenne de Francfor Page 109 e

Condensaeur e circui RC Charge e inensié du couran : q() = C.E. E e e i() =. e R Consane de emps du dipôle RC : Le produi : τ = es homogène à un emps, appelé consane de emps du dipôle RC. * Lors de la charge : u C () = E.(1 e ) On déermine : u C (τ) = E.(1 e 1 ) 0,63.E. Par lecure graphique de l abscisse du poin de la courbe don l ordonnée es égale à 0,63.E, on obien la valeur de τ. * Lors de la décharge : e u C () = E., on a u C (τ) = E.e 1 ) 0,37.E. Par lecure graphique de l abscisse du poin de la courbe don l ordonnée es égale à 0,37.E : on obien la valeur de τ. - Si on connaî R e C, on a : τ = Pendan une durée de quelques τ (de l ordre 5.τ) le condensaeur se charge ou se décharge : c es le régime ransioire du phénomène. Au bou de quelques τ (de l ordre 5.τ), le condensaeur es chargé ou déchargé e l inensié du couran es nulle : c es le régime permanen du phénomène. Eude expérimenale : On considère le monage suivan : - Pour avoir l allure de q(), on peu visualiser u C () = C 1.q() qui nous donne q() à 1/C près. - Pour visualiser i(), il fau se placer aux bornes du conduceur ohmique, on a en effe : u R () = R.i() IV) Energie emmagasinée par le condensaeur : W C en J, q en C, u en V e C en F. W C () = 2 1 [ q( 1 2. =.C.[u()] 2 C)] 2 Page 110 Chrisian BOUVIER

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne POUR S'ENTRAÎNER I) Condensaeur variable. Un condensaeur à lame d'air es formé de deux armaures semi-circulaires de rayon R = 6 cm disanes de d = 2 mm. Les deux armaures, don l'une es mobile auour de l'axe du demi-cercle, e l'aure fixe, se recouvren pariellemen. Soi α l'angle correspondan à leur surface en regard. a) Donner l'expression liérale de la capacié C en foncion des données, puis la calculer pour α = 0, α = 90 e α = 180. b) On fixe α = 90 e on charge le condensaeur sous une ension de U 0 = 100 V. Calculer la charge Q 0 du condensaeur e le nombre d'élecrons ayan migré lors de la charge (α = 90 ). c) Calculer W 0 l'énergie emmagasinée par le condensaeur. d) On branche alors ce condensaeur (α = 90 ) aux bornes d'un deuxième condensaeur de capacié C' = 10 pf iniialemen déchargé. Les deux condensaeurs son ainsi associés en parallèle. i. Calculer la ension U aux bornes des condensaeurs, en régime permanen. ii. Calculer les charges Q e Q' de chaque condensaeur en régime permanen. iii. Calculer l'énergie W T de l'associaion e la pere d'énergie enre le momen où le condensaeur C porai seul la charge Q 0 e le nouvelle équilibre résulan de l'associaion des deux condensaeurs. iv. Qu'es devenue cee énergie perdue? Expliquez On donne : charge élémenaire e = 1,6.10 19 C permiivié diélecrique du vide (ou de l'air) ε 0 = 8,84.10 12 S.I. II) Principe de foncionnemen d une minuerie. Le généraeur a une f.é.m. E = 15 V. M es un monage élecronique qui commande l allumage de la lampe L lorsque la ension aux bornes du condensaeur es inférieure à la valeur U C1 = 8 V. La capacié du condensaeur es C = 100 µf e la résisance du résisor es R = 150 kω. P es un bouon poussoir qui perme de mere en cour-circui le condensaeur. X e Y repèren les bornes du résisor, Y e Z repèren celles du condensaeur. a) Pourquoi la lampe L s allume--elle lorsqu on appuie brièvemen sur le poussoir P? b) Quelle es la valeur U C0 de la ension aux bornes du condensaeur quand celui-ci es complèemen chargé? c) Exprimer sans démonsraion u C () en foncion du emps. d) Représener l allure de la courbe de variaion de u C () en foncion du emps, en précisan les coordonnées de quelques poins fondamenaux. e) Quelle es la durée d allumage de la lampe L? f) Proposer rois méhodes permean de modifier (par exemple, allonger) la durée d allumage de la lampe L. Quelle es celle qui semble la plus simple à réaliser? Ecole Européenne de Francfor Page 111

Condensaeur e circui RC III) Durée de décharge. Un circui comprend un généraeur de f.é.m. E = 15 V e de résisance inerne négligeable, un inerrupeur, un condensaeur de capacié C = 47 µf d armaure A e B, e une résisance R. a) L inerrupeur éan fermé depuis longemps, déerminer : i. la ension U AB aux bornes du condensaeur, ii. la charge Q du condensaeur, iii. l énergie E emmagasinée par le condensaeur. b) A l insan de dae = 0, on ouvre l inerrupeur. Le condensaeur se décharge alors dans la résisance R. i. Eablir l équaion différenielle qui régi les variaions de la charge q A de l armaure A du condensaeur en foncion du emps. ii. Monrer que cee équaion différenielle adme une soluion de la forme q A = K.e λ. e exprimer liéralemen les consanes K e λ en foncion de Q, R e C. On prendra comme condiion iniiale q A = Q. iii. Donner l expression de la ension u AB aux bornes du condensaeur en foncion du emps. iv. Déerminer la valeur qu il fau donner à R pour que u AB = 1,0 V à = 1,0 min. Page 112 Chrisian BOUVIER