CHAPITRE V INEGALITES

CHAPITRE V INEGALITES COURS 1) Inégalités... p 1 ) Inéquations du premier degré à une inconnue. p ) Systèmes d inéquations... p 5 4) Encadrements.... p 6 EXERCICES.. p 10 COURS 1) Inégalités Rappelons quelques propriétés des inégalités dans vues en classe de 5 e. Il existe quatre sortes d inégalités entre deux nombres réels a et b : (1) a < b () a b () a > b (4) a b Une inégalité a un membre gauche (représenté ici par a) et un membre droit (représenté par b). Une inégalité peut être vraie ou fausse, p.ex. les inégalités 5< 7, 17, 6 54,1, 1, 8 8 sont vraies, alors que les inégalités 45 < 67, 9> 9, 4 > 5 sont 7 9 5 4 fausses. - 1 -

Deux inégalités équivalentes (on note : ssi ou ) sont deux inégalités qui sont ou bien simultanément vraies ou bien simultanément fausses. Exemples : o 7 < 10 7 < 10 (les deux inégalités sont vraies) o 8 1 8 1 (les deux inégalités sont fausses) Voici un exemple simple mais très utile d inégalités équivalentes : a,b a b b a 0 Ajoutons (ou retranchons) un même nombre aux deux membres d une inégalité : Exemples o 5 < 1 vraie et 5 7< 1 7, 5 10 < 1 10 vraies aussi o 19 5 vraie et 19 5, 19 7 5 7 vraies aussi o 9< 5 fausse et 9 7 < 5 7, 9 1 < 5 1 fausses également! Propriétés 1 a, b, c a b a c b c a b a c b c En ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres d une inégalité on obtient une inégalité équivalente. Remarques : o Cette propriété reste évidemment valable pour les autres inégalités : <, et >. o On peut facilement démontrer cette propriété de la manière suivante : ( ) ( ) a c b c b c a c 0 b c a c 0 a b ( ) ( ) a c b c b c a c 0 b c a c 0 a b Multiplions (ou divisons) les deux membres d une inégalité par un même nombre positif non nul : Exemples o 8 < 1 vraie et 8 < 1, 8:4< 1 : 4 vraies aussi o 1 56 vraie et 1 56, 1 :7 56 : 7 vraies aussi o 9 < 15 fausse et 9 5< 15 5, 9 : < 15: fausses également! Propriétés * a, b c a b a c b c a b a:c b:c - -

En multipliant ou en divisant les deux membres d une inégalité par un même nombre réel strictement positif on obtient une inégalité équivalente. Démonstration : ( ) ( ) a c b c bc ac 0 c b a 0 b a 0 car c > 0 a b 1 1 1 a:c b:c a b a b car > 0 c c c Multiplions (ou divisons) les deux membres d une inégalité par un même nombre négatif non nul : Exemples o 8 1 < vraie et 8 ( ) > 1 ( ), 8: ( 4 ) 1 :( 4) o 1 56 > vraies vraie et 1 ( ) 56 ( ), 1: ( 7 ) 56 :( 7) o 9 15 vraies < fausse et 9 ( 5) > 15 ( 5), 9: ( ) 15 :( ) Propriété a, b a b b > fausses également! * c a c c a b a :c b: c En multipliant ou en divisant les deux membres d une inégalité par un même nombre réel strictement négatif on obtient une inégalité équivalente à condition de changer le sens de l inégalité. Démonstration : ( ) ( c 0) a c b c a c b c 0 c a b 0 a b 0 car < b a 0 a b 1 1 1 a : c b : c a b a b car < 0 c c c ) Inéquations du pemier degré à une inconnue Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle un nombre est «caché» (ou «représenté») par une lettre appelée inconnue de l inéquation. Si en plus cette lettre n a pas d exposant (c est-à-dire a pour exposant 1) on dit que c est une inéquation du premier degré. Résoudre une telle inéquation revient à trouver toutes les valeurs de l inconnue pour lesquelles on obtient une inégalité vraie! Ces nombres sont appelés solutions de l inéquation et l ensemble des solutions est noté S. - -

Deux règles Pour résoudre une inéquation, on utilise les trois propriétés des inégalités que nous venons de voir pour trouver une inéquation équivalente aussi simple que possible. Ces propriétés peuvent s énoncer en deux règles très simples : Règle 1 On peut faire passer un terme d un membre à l autre d une inéquation à condition de changer son signe. Règle On peut multiplier ou diviser tous les termes des deux membres d une inéquation par un même nombre non nul à condition de changer le sens de l inégalité si ce nombre est négatif. Remarque Ce sont les mêmes règles que pour les équations, la seule différence étant qu il faut changer le sens de l inégalité si on la multiplie par un nombre négatif! Exemples o 4x 5 < 4x < 5 (règle1) 4x < 8 : 4 (règle ) o x< S = ], ) ou (, [ ou ], [ y 7 y 1 6 (règle ) y 6 14 y y y 14 6 (règle 1) 5y 0 : 5 (règle ) y 4 S = [ 4, ) ou [ 4, [ o 5( 7 v) < v 4( v 1) 5 5v < v 8v 4 ( ) 5v v 8v < 4 5 règle 1 0v < 9 faux pour tout v doncs= o 5( 7 v) v 4( v 1) 5 5v v 8v 4 ( ) 5v v 8v 4 5 règle 1 0v 9 vrai pour tout v donc S =. Ces exemples montrent que l ensemble S des solutions d une telle inéquation est en général une demi-droite (donc une infinité de solutions) et parfois (mais rarement!) l ensemble vide (aucune solution) ou l ensemble (tous les réels sont solutions). Exercices 1 à 8-4 -

) Systèmes d inéquations Un système d inéquations (du premier degré à une inconnue) est un ensemble de plusieurs inéquations dont on cherche les solutions communes. Exemples o ( ) ( ) x 1 5 7x 1 5x 9 x 1 Résolvons les deux inéquations séparément : 1 x 7x 5 1 4x 6 : 4 < 0 x ( ) ( ) ( ) 5x x 1 9 x 8 : x 4 o o o x est solution du système ssi ( ) ( ) ( ) ( ) > ( ) ( ) 19 11 x < x x 14 1 7 x 11 5 x x et x 4, donc S =,4 ( 1) 19 11 x < x x 8 x x x < 19 11 8 4x < 6 : 4 x < 9 ( ) 14 x > 11 5x 15 5x x > 11 15 14 x > 1 : x > 4 Or on ne peut pas avoir à la fois x < 9 et x > 4 donc S = ( ) ( ) ( ) 8( y 1) y 17 ( ) 11 7 y 9 4 1y 1 ( 1) 11 14y 1 9 4 1y 14y 1y 9 4 11 1 y 5 ( 1) y 5 ( ) 8y 8 y 17 8y y 17 8 5y 5 : 5 y 5 = donc S= { 5} ( ) ( ) ( ) 6x 7 > 8 x ( ) Or y 5et y 5 y 5 1 9 x 8 x 16 x 1 ( 1) 1 9x 7 x 6x 9x x 6x 7 1 4x 5 : ( 4) x 1 ( ) 6x x > 8 7 7x > 5 : 7 x > 5 > donc S = [ 1, ) Or x 1 et x 5 x 1 Sur ces exemples on constate que l ensemble des solutions d un tel système peut être un segment, une demi-droite, un singleton, l ensemble vide ou si toutes les inéquations du système ont comme ensemble des solutions. Exercices 9-1 - 5 -

4) Encadrements Exemple Quand on mesure la longueur x et la largeur y d une feuille de papier rectangulaire avec une équerre on obtient des mesures «au millimètre près». Par exemple on peut obtenir, en mm : 95 x 96 et 09 y 10. Ces doubles inégalités sont appelées encadrements de x et de y. La différence entre la plus petite valeur et la plus grande valeur possible qui vaut 1 dans les deux cas exprime la précision de ces encadrements (ici les mesures ont donné des encadrements à 1 mm près). Que peuton alors dire du périmètre p et de l aire A de cette feuille? On sait que p = x y et A= x y donc en remplaçant x et y par les plus petites valeurs possibles (95 et 09) on obtient les plus petites valeurs possibles pour p et A : 95 09 = 1008 p et 95 09 = 61655 A. De même en remplaçant x et y par les plus grandes valeurs possibles (96 et 10) on obtient les plus grandes valeurs possibles pour p et A : 96 10 = 101 p et 96 10 = 6160 A. On obtient ainsi les encadrements suivants de p et de A : 1008 p 101 et 61655 A 6160 On voit que ces calculs donnent des encadrements bien moins précis que les mesures : p est donné à 101 1008 = 4 mm près et A à près! 6160 61655 = 505 mm Définitions Soient a, b et x trois nombres réels tels que a x b. Cette double inégalité est appelée encadrement de x par les nombres a et b. La différence b a est appelée amplitude de cet encadrement et exprime la précision de celui-ci. Remarque Aucune mesure dans la nature n est précise à 100% puisqu elle dépend toujours de la qualité des instruments de mesure qui ne sont jamais parfaits ni d une précision absolue! Le résultat d une mesure n est donc jamais un nombre mais toujours un encadrement de la grandeur mesurée. De plus, comme le montre notre exemple, les calculs qu on fait avec ces encadrements tendent généralement à augmenter l amplitude, c est-à-dire l imprécision, de ces encadrements! Nous allons voir maintenant comment calculer avec des grandeurs dont on ne connaît que des encadrements. - 6 -

Addition de deux encadrements quelconques Supposons que a b et c d, alors b a 0 et d c 0 donc : b a d c 0 ( b d) ( a c) 0 a c b d. D où : ( ) a, b, c, d a b et c d a c b d Attention : il n y a pas d équivalence dans cette formule mais une simple implication! En effet si a b et c d alors a c b d, mais la réciproque est fausse : si a c b d alors on n a pas nécessairement a b et c d, p. ex. pour a = 5, b = 8, c = 1 et d = 11. En appliquant deux fois la formule que nous venons de montrer, on a. ( ) a, b,c,d, x, y a x b et c y d a c x y b d Soustraction de deux encadrements quelconques Supposons que a x b et c y d et cherchons un encadrement de x y. Comme x y= x ( y) et que ( ) c y d 1 c y d d y c on a d près ce qui précède : a ( d) x ( y) b ( c) a d x y b c. Remarque Plutôt que de retenir cette formule par cœur, essayez de vous rappeler la méthode qui consiste à remplacer la soustraction x y par l addition x ( y). Exemple Encadrez x y sachant que 9 x 11 et 5 y 8 : 5 y 8 5 y 8 8 y 5, donc 9 ( 8) x ( y) 11 ( 5) 1 x y 6. Multiplication de deux encadrements positifs Supposons que 0< a b et 0< c d, alors 0< ac bc et 0< cb db et par conséquent 0< ac bc db, d où ac bd. Ainsi : ( ) a, b,c,d a b et c d a c b d Ici encore on a une simple implication (pas d équivalence!) comme on le voit facilement en prenant p. ex. a = 5, b = 6, c = 11et d = 10 : On a bien ac bd et a b, mais c d! 55 60-7 -

En appliquant deux fois la formule que nous venons de montrer, on a : ( ) a, b,c,d, x, y a x b et c y d a c x y b d Attention : la formule sur la multiplication de deux encadrements ne marche pas Exemples avec des réels quelconques! Si 5 x et 10 y 4 alors on n a pas : ( )( ) 50 8 5 10 xy 4!! Si 7 x 5 et 6 y 9 7 6 xy 5 9 alors on n a pas : ( ) 4 45!! Puissance d un encadrement positif En appliquant la formule précédente avec a et de proche en proche: = c, x = y et b= d on obtient : a, b, x a x b a x b a, b, x a x b a x b, a, b, x a x b a x b 4 4 4, * n n n., n a, b, x a x b a x b. Vous verrez plus tard la raison pour laquelle, contrairement à ce qui se passe pour les formules précédentes, la réciproque de cette implication est vraie, c est-à-dire: n a, b, x a x b a x b * n n n Racine carrée d un encadrement positif Exemple 4 9 et 4 9 ( car ) Cas général Soient a, b deux réels strictement positives, alors: a b a b 0 a b 0 ( a b)( a b) 0 a b 0 ( car a b 0) a b Ainsi: a,b a b a b - 8 -

En appliquant cette formule aux encadrements on obtient: a, b, x a x b a x b Inverse d un encadrement positif En supposant que 0< a b, que peut-on dire des nombres 1 a et 1 b? Exemples o < 5 et 1 < 1 5 7 o < et 5 < 5 7 Cas général 1 a b 1 1 1 1 (0 < )a < b > 0 < < >, ainsi : ab ab ab b a a b * 1 1 a,b a b a b En appliquant cette formule aux encadrements on obtient: * 1 1 1 1 1 1 a, b, x a x b a x b b x a Division de deux encadrements positifs Soient x et y deux nombres donnés par les encadrements positifs ( 0 < ) a x b et ( 0 < ) c y d. Cherchons un encadrements de x y : Comme x = x 1 on cherche d abord un encadrement de 1 y y y où les inégalités vont dans le même sens que celles de l encadrement de x : 1 1 1 puis on multiplie d y c les encadrements de x e t de 1 y : 1 1 1 a x b a x b. d y c d y c Remarque Comme pour la soustraction il vaut mieux retenir la méthode que la formule c est-àdire remplacer la division x y par la multiplication 1 x! y - 9 -

Exemple Soient x et 5 y 6 deux encadrements de x et de y, alors 1 1 1 et 6 y 5 par conséquent : Exercices 14-45 1 1 1 x, donc 1 x. 6 y 5 y 5 EXERCICES 1) Représentez sur une droite graduée les ensembles suivants, écrivez-les ensuite plus simplement et précisez s il s agit d intervalles ou non. Rappelons les différents types d intervalles (c est un ensemble qu on peut dessiner sans lever la plume) : [ ab, ], ] ab, [, [ ab, [, ] ab, ] avec a b [ a, [, ] a, [, ], a], ], a[ Cas particuliers :, ], [, { a} a) A { x / x } b) B { x / x 1} c) C { x / 6 x } d) D { x / x 7 et x 4} e) E { x / x 9} 19 f) F x x { / } g) G { x / 4 x ou x 5} h) H, 7, 5 i) I, 7, 5 j) J, 7 \, 5 k) K, 5 \, 7 l) L, 5 5, m) M, 5 5, n) N, 5 \ 5, o) L A B p) M A B q) N C G r) O C G ) Reprenez l exercice page 5 de : 5 e chapitre VI Equations et Inéquations. ) Résolvez les inéquations : Conseil pratique Quand une équation ou une inéquation contient des fractions et des parenthèses, effectuez d abord les parenthèses avant de multiplier tous les termes par le dénominateur commun pour éliminer les fractions! 1 re série a) 5 ( x 7) 4 x - 10 -

b) c) d) e) f) 4 y 7 e série x 7 5x < 5 6 y 5 > 7 6 5x 1 x 0 6 5y 1 y 1 1 4 8 a) x ( 11 5x) > 4( 7x ) 5( x 8) x 7 4 b) 1 9 8 ( 1 6x) c) d) e) f) y 5y 7 4y 1 > 1 6 8 x 1 x x x 5 4 ( ) 8 x 1 1 9x < x 7 7 4x 1 7 x 11x 5 9 x 9 1 18 4 4) Jenny prend un nombre, multiplie ce nombre par 5, retranche 4 du produit, divise le reste par 6 puis ajoute 1 au quotient pour obtenir finalement un nombre plus grand que celui qu elle avait au départ. Que peut-on dire de celui-ci? 5) David et Elena ont partagé 50. On sait qu Elena a reçu au moins deux fois plus que David. Que peut-on dire de la part de chacun? 6) Deux côtés d un triangle mesurent respectivement 7 cm et 10 cm. Que peut-on dire de la longueur du e côté? 7) L angle principal d un triangle isocèle mesure moins de 4. Que peut-on dire alors des deux autres angles? - 11 -

8) La largeur d un pré rectangulaire est égale aux 5 de la longueur. Quelle est la longueur maximale possible du pré sachant qu on peut l entourer complètement par une clôture longue de 0 m? 9) Résolvez les systèmes suivants : 1 re série a) b) c) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 79 4x 17x 1 18 5 x < 6 1 x 11 1 x ( ) ( ) 45 x > 5x x x 17 x 6 < 10 5 14y 1y 8y 66 5 5 1 7y 1 y > y 6 4 ( ) 9 x 1 17x 8 4 x 7 5x 1 < 4 x 4 6 e) f) x 7 x 1 x 5 4 8 x 14 x x 1 < 1 4 x 1 11 7( x ) 5 9x x 7 x 1 1 5 7 e série a) x x 4x > 4 x 1 x 1 5 8-1 -

b) c) d) e) f) x x 1 x 1 x 5 x x 4> 5 1 1 16 x x 1 > x 7 x 5 15 x x x 1 x 7 7 ( ) x x 1 71 x 1 18 5 0 x 1 4x > 0 7 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 5x x 6 x 4x x 5 x 1 x 5 x x 1 < 1 x 7x x 10 x 10 5 6 x x 15 6 x > 1 4 5 6 7 5 8 e série a) b) c) 1 5x 1x ( 17 x) x 11 x 0 x x 4 ( ) ( ) x 8x ( 1 5x) > 4 6 7x 1 8 5x 9 ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 4x 5 1 x x 6 1x ( x 1) x 1> 4 5 10-1 -

d) e) f) x 4 x 41x 48 1 ( x) 4 1 ( x ) x < 9 ( x) y 1 y 7 1 < 6 1 5 1 9 y x 4 8 x 1 x 5x 6 > 1 4 1 8 x 5 x 5 10) Nicole veut acheter deux sortes de gâteaux dont les uns coûtent 50% plus chers que les autres. Elle a calculé qu avec les 8 qu elle a en poche, elle peut acheter 7 gâteaux simples et 4 gâteaux plus chers alors qu elle n aurait pas assez d argent pour acheter 5 gâteaux simples et 6 gâteaux plus chers. Trouvez un encadrement (en nombres entiers de centimes) du prix d un gâteau simple. 11) La longueur d un rectangle vaut 8 cm et sa largeur 5 cm. On prolonge l une des deux largeurs d une certaine distance et on obtient un trapèze dont l aire est comprise entre 48 cm et 50 cm. Quelle peut être la distance ajoutée à la largeur initiale? 1) Anne a reçu une certaine somme de son grand-père pour son anniversaire. Avec cet argent elle a d abord acheté deux CD à 15 la pièce, puis elle a dépensé les deux tiers de ce qui lui restait à la foire. A la fin elle veut s acheter un pull et constate qu elle a encore assez pour acheter celui à 45, mais pas assez pour celui qui coûte 6. Que peut-on dire de la somme qu elle a reçue de son grand-père? 1) Aujourd hui Jacques, qui fête son 9 e anniversaire, fait le calcul suivant : mon père a 6 ans, ma mère 1 ans et la somme de mon âge et de ceux de mes deux sœurs est de 0 ans. Combien de fois va-t-il fêter son anniversaires où cette somme sera plus grande que l âge de sa mère et plus petite que celui de son père? Quels sont ces anniversaires? 14) Soient x, y avec x > y. Soient a) x m y m * m,p. Compléter par < ou > : d) m p x m p y b) x m y m e) p x m p y m c) m x m y - 14 -

15) Sachant que 1 x 18, 4 y 7 et 16 z 0, trouvez des encadrements de : a) x y b) x y c) z x d) x y e) f) g) x x 187 x y z x 4y 5 16) Sachant que 8 a 9, 14 b < 15 et 5 c < trouvez des encadrements de : a) b 5a b) c a b c) c a 17) Sachant que 4 < x < 10, 1 < y < 15 et a) x z b) y z 1 c) d) y z x y d) e) a 7a 1 a b c 6 0 > z >, trouvez des encadrements de : 5 e) f) g) x z y z y x y xy x Pour l exemple g) vous pouvez utiliser deux méthodes différentes (soit vous encadrez d abord les trois termes, soit vous commencez par factoriser l expression) qui ne donnent pas le même encadrement final! Essayez de comprendre pourquoi on n obtient pas le même résultat alors que les deux méthodes sont correctes! 18) Avec des encadrements négatifs : Sachant que 8 a des encadrements de : a) 15 ab b) a b c) 4a 5b 1 et 4 b 6, trouvez b 8 e) a f) a b d) 1 a 1 b 10-15 -

19) La base b et la hauteur h d un triangle sont données en cm par les encadrements suivants : 7,4 b 7,4 et 4, 9 h 4,. Que peut-on dire de l aire de ce triangle? 0) La base d un triangle est comprise entre 8 mm et 9 mm et son aire entre 0,6 cm et 0,7 cm. Que peut-on dire de sa hauteur? 1) La longueur de la base d un parallélogramme # est comprise entre 9,5 dm et 9,54 dm et la hauteur correspondante entre 1598 mm et 1599 mm. Que peut-on dire de l aire de ce #? ) La longueur a, la largeur b et la hauteur c d un pavé (ou parallélépipède rectangle) sont données en m par : 15 a 16, 9 b 10 et 7 c 8. Que peut-on dire : a) du volume de ce pavé? b) de l aire de ce pavé? ) L aire d un carré est comprise entre 54 cm et aussi précis que possible en nombres entiers de mm de son périmètre. 4) Anna a mesuré deux angles et 68 cm. Trouvez un encadrement α β d un triangle et a trouvé que 47 α 48 et 8 β 84. Que peut-on dire du troisième angle γ de ce triangle? 5) Un champ rectangulaire a une longueur comprise entre 157 m et 158 m et une aire comprise entre 1,94 ha et 1,95 ha. Que peut-on dire de sa largeur (en m)? 6) La largeur d un champ rectangulaire est à 4 fois plus petite que sa longueur. Que peut-on dire du périmètre et de l aire de ce champ sachant que sa longueur est comprise entre 18 m et 18 m? 7) L aire d un triangle est comprise entre 7,51 m et 7,58 m et une base comprise entre 16 dm et 18 dm. Calculez un encadrement aussi précis que possible en nombres entiers de cm de la hauteur correspondante. 8) La longueur a, la largeur b et la hauteur c d un pavé sont données par les encadrements suivants en m : 15 a 16, 9 b 10 et 7 c 8. Que peut-on dire : a) du volume de ce pavé? b) de l aire de ce pavé? 9) La longueur a d un immeuble en forme de pavé est 4 à 5 fois plus longue que sa largeur b. Que peut-on dire du volume de cet immeuble sachant que sa largeur b est comprise entre 0 m et 1 m et sa hauteur c entre 45 m et 46 m? 0) Une pyramide à base carrée a une hauteur comprise entre 1 cm et 14 cm et le côté de la base est compris entre 5 cm et 6 cm. Trouvez un encadrement aussi précis que possible en nombres entiers de mm de son volume. - 16 -

1) Sachant que le volume d une pyramide à base carrée est compris entre 1,4 litres et 1,5 litres et que la hauteur est comprise entre 5 cm et 5,5 cm, calculez un encadrement aussi précis que possible en nombres entiers de cm de la longueur des côtés de la base. ) Sachant que le volume d une pyramide à base carrée est comprise entre,1 et,4 litres et que la hauteur est comprise entre 7 cm et 7, cm, calculez un encadrement aussi précis que possible en nombres entiers de cm de la longueur des côtés de la base. ) Le nombre π Rappelons que ce nombre intervient dans les formules donnant le périmètre p et l aire A d un cercle de rayon r : p= π r et A = π r. On a démontré que le développement décimal de ce nombre comporte une infinité de décimales qui commence par : π=,141596558979846648... Dans les calculs courants on prend souvent la valeur,14 pour π «parce qu on on se contente d une précision au centième près» dans les calculs. Nous allons maintenant analyser la valeur de cette affirmation! a) Calculez le périmètre et l aire des cercles de rayons 1 m, m, m, 4m, 5 m, 10 m, 0 m et 50 m en prenant π=,14. b) Même question en prenant pour π le maximum de décimales données par votre calculatrice (utilisez la touche «π»). Comparez les résultats obtenus avec ceux obtenus en a) : est-ce qu on a obtenu des résultats exacts au centième près? c) Calculez un encadrement de l aire d un disque de rayon 50 m en prenant successivement des encadrements de π d amplitudes 10, 10, 4 10, 5 10, 6 10, 7 10 8 et 10. Quel est le nombre minimal de décimales qu il faudrait prendre pour π si on voulait obtenir cette aire avec une précision d au moins un centième? Examinez la précision de l aire d un disque de rayon 150 m obtenue avec cette valeur de π. 4) Le diamètre d un cercle mesure entre 51 mm et 5 mm. Calculez un encadrement aussi précis que possible en nombres entiers de mm (respectivement de mm ) du périmètre et de l aire de ce cercle. 5) Pedro a mesuré en mm le diamètre d et la hauteur h d une boîte à conserves cylindrique et a trouvé : 16 d 18 et 15 h 154. Calculez un encadrement aussi précis que possible en nombres entiers de ml du volume de cette boîte. - 17 -

6) Le volume d un cylindre est compris entre 14 cl et 14 cl et le diamètre de sa base entre 10, cm et 10, cm. Trouvez un encadrement aussi précis que possible de sa hauteur en nombres entiers de mm. 7) La hauteur d un cône est 5 à 6 fois plus grande que le diamètre de sa base. Sachant que le rayon de sa base est compris entre 7 cm et 8 cm, calculez un encadrement aussi précis que possible du volume de ce cône. 8) Philomène, qui veut repeindre les murs de sa chambre à coucher, a mesuré que la surface à peindre mesure entre 70 m et 74 m. Sur la notice d emploi elle lit qu il faut compter entre 150 ml et 00 ml de peinture par m et qu il faut deux couches. La peinture est vendue en pots de l,5 l à 45 et en pots de 5 l à. Combien de pots de chaque taille lui faudra-t-il? Comment feriez-vous à sa place? 9) Sur la paroi d un récipient cylindrique est marquée une graduation qui indique le contenu du récipient en cl. Pierre y met une quantité d eau et constate que le niveau se situe entre 50 cl et 51 cl puis il y plonge un objet en métal. Le niveau de l eau si situe maintenant entre 85 cl et 86 cl. Donnez un encadrement du volume de cet objet en cm. 40) Un tuyau cylindrique a un périmètre extérieur compris entre 8, cm et 8,4 cm et l épaisseur de la paroi vaut entre mm et 4 mm. Combien d eau (en litres) peut contenir une section de ce tuyau longue de 1 m? 41) Le côté du carré sur la figure ci-contre mesure entre,9 cm et 4,1 cm. En utilisant un encadrement de π d amplitude jaune. 10, donnez un encadrement de l aire 4) En utilisant la méthode décrite à l exercice précédent, Jacques a trouvé que le volume d une petite pyramide mesure entre 0,7 dm et 0,8 dm. De plus le côté de la base carrée de la pyramide a une longueur comprise entre 9,7 cm et 9,8 cm. Calculez un encadrement en cm de la hauteur de cette pyramide. 4) Le tachymètre (du grec tachus = rapide) est l appareil qui sert à mesurer la vitesse et la distance parcourue par une voiture. En fait cet appareil «compte» le nombre de rotations de l axe pendant le trajet, ce qui lui permet de calculer la distance parcourue en multipliant ce nombre par le périmètre d une roue de la voiture. Le problème est que - 18 -

ce périmètre peut varier légèrement en fonction de l état des pneus (plus ou moins gonflés, ayant un profil plus ou moins épais, etc). Prenons une voiture dont le diamètre des roues est donné par l encadrement 57,85 cm d 60,89 cm : le tachymètre fait alors ses calculs en prenant la valeur moyenne d = ( 57,85 60,89 ) / = 59,7 cm. Encadrez le nombre réel de km parcourus par une voiture affichant au tachymètre 1456km. 44) On dispose d un grand nombre de petites billes identiques en acier et on veut mesurer le poids d une de ces billes. Pour cela on utilise une balance qui indique les poids à 1 g près, ce qui signifie que si elle indique un poids de 57 g par exemple, le poids réel de l objet est compris entre 56 g et 58 g. a) En pesant une bille, elle indique g. Que peut-on dire du poids réel d une bille? de 10 billes? de 100 billes? b) En pesant 10 billes, elle indique 4 g. Que peut-on dire du poids réel de ces 10 billes? d une bille? c) En pesant 100 billes, elle indique g. Que peut-on dire du poids réel de ces 100 billes? d une bille? d) Combien de billes faut-il peser au moins si on veut que l encadrement du poids d une bille ait une amplitude d au plus 0,01? e) Même question si on avoir une amplitude d au plus 0,005? 45) On dispose d un cube de longueur d arête a avec < a < 4 (en cm). On aimerait placer ce cube à l intérieur d une sphère creuse comme le montre la figure ci-dessous : Déterminez un encadrement du diamètre de la sphère. - 19 -