INTRODUCTION Conforme au programmes du LMD, ce fascicule s adresse au éudians de première année de l universié dans le domaine des Sciences de la Maière. Il es conçu de façon à aplanir au mieu les difficulés inhérenes au discours scienifique ou en conservan la rigueur nécessaire. Le cours qui présene les principales noions à comprendre e à connaîre es accompagné d illusraions e d applicaions direces afin d assimiler immédiaemen les noions raiées. Le premier chapire es consacré à des rappels sur l algèbre vecorielle e l analyse dimensionnelle. Les deu raien des grandeurs physiques de base qui son uilisées pour l epression des lois physiques. En plus des rappels nécessaires, l objecif de cee parie es d inroduire des définiions claires e des noaions appropriées. Le deuième chapire es dédié à la cinémaique. Son bu es de décrire les mouvemens d objes sans s inéresser au causes qui les produisen. Il raie uniquemen des mouvemens de poins maériels c es-à-dire eclusivemen des ranslaions. Le roisième chapire raie de la dynamique du poin maériel, dans le cadre de la mécanique de Newon avec ses rois lois ou principes indissociables: la loi d inerie, la loi fondamenale de la dynamique e la loi des acions réciproques. Nous y considérons les lois générales, dies lois de forces, éablies pour un cerain nombre d ineracions avec des applicaions desinées à la prévision des mouvemens des corps. La noion de momen cinéique d une paricule par rappor à l origine e celle des pseudo-forces y son égalemen raiées. Le quarième chapire concerne la roisième méhode d analyse qui es celle du ravail e de l énergie. Cee approche élimine le calcul de l accéléraion en relian direcemen la force, la masse, la viesse e le déplacemen. Nous considérons d abord le ravail d une force e l énergie cinéique d une paricule. Nous raions ensuie les noions d énergies poenielle e oale que nous appliquons au principe de conservaion de l énergie dans diverses siuaions praiques. Dans le cinquième chapire on passe à l éude de la dynamique d un sysème composé de plusieurs poins maériels considérés ensembles. Nous eaminons d abord le choc de deu corps pour monrer les relaions qui eisen enre les viesses des deu objes enran en collision, avan e après le choc. Le cenre de masse d un sysème de paricules es ensuie défini ainsi que les caracérisiques cinémaiques e dynamiques de son mouvemen. Les lois de Newon son alors formulées pour le cas de sysèmes de poins maériels.
BIBLIOGRAPHIE J.L. Caubarrere, H. Djellouah, J. Fourny, F.Z. Khelladi : Inroducion à la mécanique. R. Resnick, D. Halliday : Mécanique Physique Tome 1. M. Alonso, E.J. Finn : Physique générale Tome 1-Mécanique e Thermodynamique. M.A. Ruderman, W.D. Knigh, C. Kiel : Cours de physique de Berkeley Tome 1 - Mécanique. M.S. Maalem : Mécanique-Cours e Eercices. 3
SOMMAIRE INTRODUCTION BIBLIOGRAPHIE CHAPITRE I VECTEURS ET ANALYSE DIMENSIONNELLE I. GRANDEUR SCALAIRE- GRANDEUR VECTORIELLE..7 II- VECTEUR 7 II.1. Veceurs II.. Propriéés II.3. Inensié Module II.4. Mesure algébrique III. OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES VECTEURS..10 III.1. Addiion vecorielle III.. Sousracion vecorielle III.3. Relaion de Chasles III.4. Produi d un veceur par un scalaire IV. SYSTEME DE COORDONNEES CARTESIENNES..11 IV.1. Sysème carésien orhonormé bidimensionnel IV.. Sysème carésien orhonormé ridimensionnel V. PRODUIT SCALAIRE 15 V.1. Définiion IV.3. Composanes d un veceur V.. Forme géomérique V.3. Forme analyique V.4. Propriéés V.5. Condiion d orhogonalié de deu veceurs V.6. Applicaions du produi scalaire en géomérie VI. PRODUIT VECTORIEL 17 VI.1. Définiion VI.. Forme analyique VI.3. Propriéés VI.4. Condiion pour que deu veceurs soien parallèles VI.5. Applicaions du produi vecoriel en géomérie 4
VI.6. Applicaions du produi vecoriel en physique VI.7. Orienaion de l'espace VII. LE PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS..19 VII.1. Définiion VII.. Propriéé VII.3. Applicaion du produi mie en physique VIII. ANALYSE DIMENSIONELLE.1 VIII.1. Dimension Equaion au dimensions VIII.. Erreur e inceriude CHAPITRE II CINEMATIQUE I.INTRODUCTION 5 I.1. Sysème de référence I.. Noion de poin maériel I.3.Trajecoire II. MOUVEMENT RECTILIGNE...6 II.1. Définiion II.. Diagramme des espaces II.3. Veceur déplacemen II.4. Viesse II.5. Accéléraion II.6. Relaions inégrales II.7. Eude cinémaique de mouvemens recilignes pariculiers III. MOUVEMENT DANS L ESPACE... 40 III.1. Repérage de la posiion III.. Veceur déplacemen III.3. Veceur viesse III.4. Veceur accéléraion III.5. Passage de l accéléraion à la viesse e à la posiion III.6. Approimaion des grandeurs insananées à l aide des grandeurs moyennes III.7. Abscisse, viesse e accéléraion curvilignes III.8. Composanes inrinsèques de l accéléraion III.9. Eude du mouvemen en coordonnés polaires 5
III.10. Eude du mouvemen en coordonnées cylindriques III.11. Complémen sur le mouvemen circulaire III.1. Le mouvemen harmonique simple III.13. Le mouvemen relaif CHAPITRE III DYNAMIQUE D UNE PARTICULE I. CONCEPT DE FORCE.69 I.1. Noion de force I.. Le veceur force I.3. Ineracions fondamenales II. PRINCIPE D INERTIE...7 II.1. Epérience II.. Enoncé du principe d inerie II.3. Corps isolé mécaniquemen II.4. Référeniel d inerie ou galiléen II.5. Concep de masse III. LA QUANTITE DE MOUVEMENT 76 III.1. Définiion III.. Conservaion de la quanié de mouvemen IV. LES LOIS DE NEWTON...80 IV.1. La première loi IV.. La deuième loi IV.3. La roisième loi IV.4. Validié des lois de Newon V. PREVISION DES MOUVEMENTS DES CORPS - LOI DE FORCE..83 V.1. Le poids V.. Loi de graviaion universelle V.3. Les forces de conac ou forces de liaison V.4. Les forces élasiques VI. MOMENT CINÉTIQUE D UNE PARTICULE..104 VI.1. Momen cinéique d une paricule VI.. Théorème du momen cinéique pour une paricule VI.3. Conservaion du momen cinéique - Forces cenrales VI.4. Applicaion : démonsraion de la deuième loi de Kepler 6
VII. PSEUDO-FORCES OU FORCES D INERTIE 108 VII.1. Cas d un mouvemen circulaire VII.1. Cas d un mouvemen reciligne CHAPITRE IV TRAVAIL ET ÉNERGIE INTRODUCTION I. TRAVAIL D UNE FORCE 113 I.1. Définiions I.. Uilisaion des coordonnées carésiennes I.3. Noion de puissance II. ENERGIE CINETIQUE.117 II.1. Définiion II..Théorème de l énergie cinéique III. FORCES CONSERVATIVES ET ENERGIE POTENTIELLE..118 III.1. Forces conservaives III.. Concep d énergie poenielle III.3. Energie mécanique oale III.4. Déerminaion de l énergie poenielle III.5. Forces conservaives e énergie poenielle III.6. Les diagrammes d énergie poenielle IV. ENERGIE MECANIQUE ET FORCES NON CONSERVATIVES...13 CHAPITRE V SYSTEMES A PLUSIEURS PARTICULES I. INTRODUCTION...135 II. L IMPULSION ET LA QUANTITE DE MOUVEMENT 136 III. COLLISIONS DE PARTICULES ISOLEES...137 III.1. Collisions élasiques III.. Collisions parfaiemen inélasiques (ou chocs mous) IV. MOUVEMENT D UN SYSTEME DE PARTICULES...146 IV.1. Le cenre de masse IV.. Viesse e accéléraion du cenre de masse IV.3. La deuième loi de Newon pour un sysème de paricule 7
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CHAPITRE I VECTEURS ET ANALYSE DIMENSIONNELLE I. GRANDEUR SCALAIRE- GRANDEUR VECTORIELLE En physique, on uilise deu ypes de grandeurs : les grandeurs scalaires e les grandeurs vecorielles. Les grandeurs physiques scalaires son enièremen définies par un nombre e une unié appropriée. On peu cier comme eemples : la masse m d un corps, la longueur l d un obje, l énergie E d un sysème, la charge élecrique q Une grandeur physique vecorielle es une quanié spécifiée par un nombre e une unié appropriée plus une direcion e un sens. Géomériquemen, elle es représenée par un veceur ayan la même direcion, le même sens e un module mesuré en choisissan une unié graphique correspondane, c es-à-dire l échelle. On peu cier comme grandeurs vecorielles la viesse v d un mobile, le poids P d un corps, les champs élecrique E e magnéique B Eemple : Le poids d un corps de masse 1kg peu êre représené par un veceur ayan les caracérisiques suivanes : - origine : le cenre de gravié de l obje ; - direcion : vericale ; - sens : du hau vers le bas ; - module : le poids éan de 9,8 N, si on choisi une échelle qui fai correspondre 1cm à N ( 1cm N ) le veceur aura une longueur de 4.9 cm. II- VECTEUR II.1. Veceur Un veceur MN (figure I.1) es un segmen oriené qui possède: - une origine M ; 9
- un module MN : la longueur du segmen MN ; N - une direcion : celle de la droie ( MN ) ; - un sens : de M vers N. Remarque : On peu désigner un veceur par une seule lere, par eemple : A=MN. M A Figure I.1 II.. Propriéés Un veceur es di «veceur libre» s il es défini par sa direcion son sens e sa longueur sans fier son poin d applicaion. V A D B F Eemple: Les veceurs AB, CD e EF représenans du veceur libre V (figure I.). son des E C Figure I. Un veceur es nommé "veceur glissan" si l'on impose sa droie suppor (Δ) sans fier son poin d applicaion. D C B A Eemple : Les veceurs AB e CD son des représenans du veceur glissan V ( figure I.3). Un veceur AB es appelé "veceur lié" si l'on fie son origine A (figure I.4). V A Figure I.3 B Figure I.4 (Δ) (Δ) Deu veceurs liés AB différenes son: e CD d'origines égau s'ils on même direcion, même sens e même module (figure I.5 ( a )) ; opposés s'ils on même direcion, même module mais des sens opposés ( figure I.5 ( b )); ils son dis "direcemen opposés" s'ils on même suppor (Δ) (figure I.5 ( c )). A A C D A B C C B B D D ( a ) ( b ) (Δ) ( c ) Figure I.5 10
II.3. Inensié Module Une unié de longueur ayan éé choisie sur la droie (Δ), suppor du veceur AB, on appelle module du veceur AB, désigné par AB, la longueur AB. Si AB représene une grandeur physique F, la mesure, noée F, de cee grandeur avec l unié adéquae es son inensié. Cas pariculier : si AB = 1, le veceur es di uniaire. Il peu êre uilisé pour mesurer ou veceur qui lui es parallèle. Eemple : Sur la figure I.6, V éan parallèle à u, on peu définir u comme veceur uniaire, on aura alors : V=3u. II.4. Mesure algébrique On appelle ae (Δ) une droie suppor orienée (Δ) (figure I.7). u V=3u Figure I.6 La mesure algébrique, noée AB, d'un veceur AB de longueur AB es définie par : AB AB= si AB a pour sens le sens posiif de l'ae oriené. AB = AB si AB a pour sens le sens négaif de l'ae oriené. Deu veceurs AB e CD son dis opposés si leurs suppors son parallèles e leurs mesures algébriques compées sur le même ae (Δ) son opposées. A A B B Figure I.7 (Δ) (Δ) Cas pariculier : AB e BA son deu veceurs opposés. Soi un ae poran un poin A e un poin O que l'on choisi pour origine ( figure I.8). L'abscisse du poin A es la mesure algébrique du veceur OA. O A Figure I.8 (Δ) 11
III. OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES VECTEURS III.1. Addiion vecorielle La somme de deu veceurs libres U e V, noée U+V, es un veceur libre W, obenu par la "règle du parallélogramme"(figure I.9). Lorsque le nombre de veceurs à addiionner es supérieur à deu on applique la méhode géomérique qui consise à les placer bou à bou comme indiqué sur la figure I.10. U V W= U + V R U V Figure I.9 W Propriéés : D Commuaivié : A+B=B+A Disribuivié par rappor à l addiion des veceurs : A+B +C =A+ B+C III.. Sousracion vecorielle A B R=A+ B+C+D Figure I.10 C Ean donné deu veceurs U e V, la différence W=V U peu s écrire : W=V + ( U ). On peu alors appliquer la règle du parallélogramme (figure I.11). U A W V Aure méhode : Dans l illusraion de la figure I.1, W es consrui de façon que M soi son milieu e celui de AB. W = V U Figure I.11 C V B III.3. Relaion de Chasles Ean donné rois poins A,B e C, AB = AC + CB A U M W Figure I.1 Cas pariculier : Si les rois poins A, B e C son alignés sur un ae, alors nous obenons la relaion de Chasles pour les mesures algébriques : AB = AC + CB 1
III.4. Produi d un veceur par un scalaire que: Le produi d'un veceur V par un scalaire α es un veceur, noé α V (figure I.13), el sa direcion es celle de V ; son sens : celui de V si α > 0, celui de V si α < 0 ; son module es égal au produi de celui de V par la valeur absolue de α : α V = α V. V α V α > 0 Figure I.13 α V α<0 V Propriéés : La muliplicaion d'un veceur par un scalaire vérifie les propriéés suivanes: Disribuivié par rappor à l'addiion des veceurs : α (U+V)=α U+α V ; Disribuivié par rappor à l'addiion des scalaires : (α +β)u=α U+β U ; Associaivié : α(β U)=(αβ)U ; IV. SYSTEME DE COORDONNEES CARTESIENNES IV.1. Sysème carésien orhonormé bidimensionnel Ce sysème es uilisé pour repérer un poin dans un plan. Il es composé de deu aes orhogonau du y plan, O e Oy, munis des veceurs uniaires i e j orienés posiivemen (figure I.14). M y M(,y) La posiion d un poin M du plan es caracérisée par le veceur OM. Soien M e Myles projecions de j M sur les aes O e Oy, respecivemen. Remarquons que, par consrucion : O i M OM = OM + OM y Figure I.14 13
Si alors OM = i OM y = y j OM = i + y j Les grandeurs algébriques e y son les coordonnées carésiennes du poin M dans O,, y ; le sysème ( ) Les veceurs uniaires iej formen une base orhonormée (leur module es égal à 1 e ils son perpendiculaires enre eu). IV.. Sysème carésien orhonormé ridimensionnel Ce sysème es uilisé pour repérer un poin M quelconque de l espace (figure I.15). Il es composé de rois aes, O, Oy e Oz, munis des veceurs uniaires i, j e k orienés posiivemen. La posiion d un poin M de l espace es caracérisée par le veceur OM. Soien M, My e M z les projecions de M sur les aes O, Oy e Oz, respecivemen. M éan sa z. projecion sur le plan ( O,, y ), remarquons que, par consrucion : OM = OM +OM Remarquons égalemen que, par consrucion : OM = OM + OM y z +OM Soi OM = OM + OM y z M z Si OM = i OM y = y j OM z = z k M k O i OM j M(,y,z) M M y y Alors OM = i + y j + z k Figure I.15 Les grandeurs algébriques, y e z son les coordonnées carésiennes du poin M dans le O,, y, z. sysème ( ) 14
Les veceurs uniaires i, j, k formen une base orhonormée. IV.3. Composanes d un veceur Soi A un veceur, A, A y e A z ses projecions direces sur les aes d un sysème de O,, y, z ( figure I.16). coordonnées carésiennes ( ) z z A z A A z A O A y y A i k O j A y y A Figure I.16 A' Figure I.17 A' Ramenons A e ses projecions à l origine O (figure I.17). On consaera alors que : z A=A'+A A'=A +Ay A=A +A y +Az (I.1) si, de plus : A = A i A y = Ay j A = A k z z alors : A=A i+ay j+azk (I.) 15
A, A y e A z son les composanes du veceur A sur les aes des coordonnées. ; ce son ses projecions algébriques A A, A y, A z ou A Ay Noaions : ( ) A A A, A y e Az son ses projecions géomériques sur les aes des coordonnées. Le module de A es donné par : z A= A +A y+az (I.3 ) Remarques : a) Ean donné les poins M( M, y M,z M ) e N(, y N,z N ) N dans ( O,, y, z) les composanes du veceur MN s obiennen en écrivan : MN = MO+ ON = ON OM = ( ) i +(y y ) j +(z z ) k (I.4 ) N M N M N M MN ( ),(y y ),(z z ) Soi ( ) N M N M N M le module de MN es défini par : ² ² ² MN = ( ) +(y y ) +(z z ) (I.5 ) N M N M N M le milieu I de MN a pour coordonnées : M + N ym + y N z M +,, b) Ean donné les veceurs A( A, A y, A z) e B( B, B y, Bz) C =A +B Si C=A+B, il aura pour composanes C C y=a y+by C=A+B z z z z N, B Si D = A, il aura pour composanes D =A B D D =A B D=A B y y y z z z 16
V. PRODUIT SCALAIRE V.1. Définiion Le produi scalaire de deu veceurs U e V, noé U V, es le scalaire défini par : UV = U V cosθ (I.6 ) où θ es l'angle U, V. Le produi scalaire es donc posiif pour θ aigu, négaif pour θ obus. V.. Forme géomérique Par définiion du produi scalaire UV : V UV = U Vcosθ= U V V U VU es la projecion algébrique de V sur U (figure I.18) U V U Figure I.18 U Le produi scalaire de deu veceurs es égal au produi du module de l'un par la mesure algébrique de la projecion de l'aure sur sa droie suppor. V.3. Forme analyique En posan U, U, y Uz e V, V, y V z les composanes respecives de U e V dans la base orhonormée i, j, k, le produi scalaire de ces deu veceurs es le scalaire défini par la relaion : U V= U i+uy j+uz k V i+vy j+vz k UV = UV+UV+UV (I.7 ) y y z z car : i i = j j = k k = 1 i j = j k= k i = 0 17
V.4. Propriéés Commuaivié : UV=VU ; Disribuivié par rappor à l'addiion : U+V W = U W+V W ; Linéarié : α U β V = ( αβ) UV ( α e β éan des scalaires) V.5. Condiion d orhogonalié de deu veceurs. U V cos U,V = 0 U V=0 U V U V +U V +U V =0 y y z z ( I.8) V.6. Applicaions du produi scalaire en géomérie Déerminaion du cosinus de l'angle enre deu veceurs U ( U,U y,uz) V( V,V y,vz). e Par applicaion du produi scalaire : UV UV+UV+UV y y z z cos U, V = = U V U +U +U V +V +V y z y z (I.9) Relaion mérique dans un riangle quelconque (figure I.19) Nous avons BC = BA + AC A d'où a θ b Soi BC = BA + AC + BA AC = BA + AC AB AC c = a +b B c Figure I.19 ab cosθ (I.10) C Remarque : dans le cas d un riangle recangle en A, on rerouve le héorème de Pyhagore : c = a +b. 18
VI. PRODUIT VECTORIEL VI.1. Définiion Le produi vecoriel de deu veceurs U e V, es un veceur W, noé W= U V: de direcion elle que: W U ew V (W es perpendiculaire au plan conenan les C veceurs U e V ) ( figure I.0). O de sens el que le rièdre U,V,W soi direc. U A Figure 1.0 de module : W=U.Vsin U,V. (I.11 ) W V B W mesure l'aire du parallélogramme OABC consrui sur les représenans OA e OB des veceurs U e V. En effe, H éan la projecion de A sur OB, on a AH = OA sin U,V = U.sin U,V (I.1) e l'aire du parallélogramme devien OB AH= U V sin U,V = W (I.13) Remarque : VI.. Forme analyique i j = k ; j k= i ; k i = j i i = j j = k k = 0 En posan U, U, y Uze V, V, y Vles z composanes respecives de U e V dans la base orhonormée i, j, k, le produi vecoriel de ces deu veceurs es le veceur défini par la relaion: 19
i j k ( ) ( ) ( ) W =U V= U Uy U z = UyVz UzVy i+ UzV UVz j+ UVy UyV k V V V W y z W Wy z (I.14) Pour obenir les composanes du produi vecoriel on effecue la différence classique des "produis en croi" des composanes pour W e on en dédui W y e Wz successivemen en effecuan une permuaion circulaire sur les indices : yz. VI.3. Propriéés Non commuaivié : U V = V U ; Disribuivié par rappor à l'addiion U+V W=U W+V W; Linéarié : α U β V = ( αβ) U V ( α e β éan des scalaires) VI.4. Condiion pour que deu veceurs soien parallèles. soi U//V U Vsin U,V = 0 ( I.15) U V=0 ( I.16) VI.5. Applicaions du produi vecoriel en géomérie - Sachan que l aire du parallélogramme (ABCD) es donnée par AB AD ; l aire du riangle (ABC) es par conséquen égale à 1 AB AD ; - Equaion carésienne d'une droie (D) passan par deu poins A e B d'un plan Oy : Si un poin M (D) alors AM AB =0. VI.6. Applicaions du produi vecoriel en physique - Par définiion, le momen d'un veceur AB par rappor à un poin O (figure I.1) es : 0
P O M H A Figure I.1 B Soi M ( AB / O) =OA AB (I.17 ) Son module es (AB/O) M =OA ABsin(OA,AB) = OA sin( OA, AB ) AB OH M (AB/O) = OH AB (I.18 ) VI.7. Orienaion de l'espace - "Règles des rois doigs" de la main droie ( figure I.). On associe les veceurs de base i, j, k au aes d'un rièdre recangle formé par les rois doigs de la main droie. Pour former un rièdre direc, on oriene - i dans la direcion du pouce. - j dans la direcion de l'inde. - k dans la direcion du majeur. Figure I. VII. LE PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS VII.1. Définiion Soi rois veceurs A, B e C, le produi mie de ces rois veceurs es le scalaire : a=a(b C) C es le produi scalaire de l un des veceurs par le produi vecoriel des deu aures. L ordre des veceurs es imporan. En posan A, A y, A z ; B, B y, B z e C, C y, C z les composanes respecives de A,B e C dans la base orhonormée i, j, k, le produi mie de ces rois veceurs es le scalaire défini par la relaion: 1
i j k a=a(b C) = (A i +A j +A k)b B B y z y z C C C y z ( I.19 ) B B B B B B = A A A y z z y + y + z Cy Cz Cz C C Cy Inerpréaion géomérique : Considérons le veceur V = ( B C) don le module es égal à la surface du parallélogramme consrui sur les représenans de B e C. Remarquons que AV = OH V où OH es la V H θ A C projecion de A sur le suppor de V. En conséquence, la valeur absolue du produi mie a = A.( B C) mesure le volume du parallélépipède ( figure I.3). O B Figure I.3 VII.. Propriéé Une permuaion circulaire des veceurs ne modifie pas la valeur du produi mie : a = A.(B C) = C.(A B) = B.(C A) (I.0 ) VII.3. Applicaion du produi mie en physique Le momen d une force F, appliquée au poin M de l espace, par rappor à un ae ( Oz) muni du veceur uniaire k (figure I.4) es donné par la relaion: M (F/O) i 0 z k j F M y M (F/Oz) = k OM F Figure I.4
VIII. ANALYSE DIMENSIONELLE VIII.1. Dimension Equaion au dimensions Toue grandeur physique es caracérisée par sa dimension qui es une propriéé associée à une unié. La dimension de la grandeur G se noe [G]. Elle nous informe sur la naure physique de la grandeur. Par eemple, si G a la dimension d une masse, on di qu'elle es homogène à une masse. La relaion [G] = M correspond à l'équaion au dimensions de la grandeur G. Il eise sep grandeurs fondamenales : - la longueur (L) - la masse (M) - le emps (T) - l inensié du couran élecrique (I) - la empéraure (θ) - l inensié lumineuse (J) - la quanié de maière (N) Toues les aures son liées à ces grandeurs fondamenales. Par eemple, une aire A éan le produi de deu longueurs, sa dimension es [A] = L. Toue relaion doi êre homogène en dimension, c'es-à-dire que ses deu membres on la même dimension. Ainsi l équaion A = B + C.D n a de sens que si les dimensions de A e de (B + C.D) son ideniques. Pour obenir la dimension du second membre on doi appliquer les règles suivanes : la dimension du produi C.D es le produi des dimensions de chacune des grandeurs C e D : [C.D] = [C].[D]; la dimension de la somme B + C.D es la somme des dimensions de chacun des deu ermes B e C.D : [B + C.D] = [B] + [C.D]. Remarques : Toue équaion au dimensions d une grandeur G peu se mere sous la forme : [G] = L a M b T c I d θ e J f N g (I.1) Pour les foncions sin(f), cos(f), an(f), log(f) e e f, l argumen f es sans dimension. Applicaion : période d un pendule simple Inuiivemen, on peu penser que la période P d un pendule simple (figure I.5) pourrai dépendre de la longueur l du fil, de la masse m du corps e de l accéléraion de la pesaneur g. Eablissons la relaion qui décri cee dépendance. 3
Epression de P en foncion des aures grandeurs : α β γ P=k m l g (I.) où k es une consane sans dimension e α, β e γ son des eposans à déerminer. Remarquons que : [ P] = T; m = M ; l = L ; g = (LT ) = L T α α β β γ γ γ γ L équaion au dimensions de (I.) es alors : T= M L L T = M L T α β γ γ α β+γ γ L équaion devan êre homogène, il en résule les relaions suivanes La relaion (I.) devien alors : α= 0 β+γ= 0 β= γ 1 1 γ= 1 γ= β= l P=k g l m Figure I.5 Cee analyse monre que la période du pendule ne dépend pas de la masse m. VIII.. Erreur e inceriude Dans oue epérience, il n eise pas de mesures eaces. Celles-ci son oujours enachées d erreurs plus ou moins imporanes selon la méhode de mesure adopée, la qualié des insrumens uilisés e le rôle de l opéraeur. L insrumen de mesure, même consrui sur un éalon, possède aussi une ceraine précision communiquée par le fabrican. Les mesures son donc réalisées avec des approimaions. L esimaion des erreurs commises sur les mesures e de leurs conséquences es alors indispensable. a. Erreur absolue e erreur relaive L erreur absolue d une grandeur G mesurée es la différence ΔG enre la valeur epérimenale e une valeur de référence suscepible d êre considérée comme eace. Dans la praique, la valeur eace éan inaccessible, on l approche en effecuan la moyenne d une série de mesures de la grandeur G Δ G = G G mes ref 4
G ref = G = moy n 1 n G i où les G i son les valeurs obenues lors de la série des n mesures effecuées. L erreur relaive es le quoien de l erreur absolue à la valeur de référence. L erreur relaive es sans dimension; elle nous indique la qualié (la précision) du résula obenu. Elle s eprime en ermes de pourcenage. Erreur relaive = ΔG G ref b. Inceriude absolue e inceriude relaive Lors des mesures physiques, nous ne possédons pas en général de valeur de référence, comme celle don nous venons de parler. Lorsque nous mesurons la disance enre deu poins, l inervalle de emps qui sépare deu événemens, la masse d un obje ou l inensié d un couran nous ne savons pas quelle es la valeur eace de la grandeur mesurée. Touefois, par une analyse des moyens uilisés pour faire la mesure, nous pouvons inroduire les noions suivanes : L'inceriude absolue sur la mesure de G es l'erreur maimale suscepible d êre commise dans l évaluaion de G. L'inceriude relaive es le rappor enre l inceriude absolue e la valeur de référence de G. Elle s eprime égalemen en ermes de pourcenage e c es une manière commode de chiffrer la précision d'une mesure. La déerminaion de l inceriude absolue nécessie l idenificaion préalable des sources d erreurs pouvan affecer la qualié de la mesure e de quanifier les inceriudes qui leur son associées. En général ces inceriudes son aribuées au insrumens e à l opéraeur. Dans le premier cas, le consruceur fourni une noice indiquan l inervalle de confiance cenré sur la valeur affichée. Pour le second cas, l opéraeur doi êre en mesure d esimer l inceriude de la mesure en foncion de ses propres capaciés. La valeur de la grandeur G peu êre obenue par mesure direce. Dans ce cas, son inceriude es la somme des deu inceriudes précédemmen ciées. Par eemple pour mesurer une résisance R on peu uiliser un ohmère. Une aure possibilié consise à mesurer la différence de poeniel V à ses bornes e l inensié I du couran qui la raverse à l aide d un volmère e d un ampèremère. On uilise alors la relaion R = V/I e la mesure es ainsi indirece. Dans le cas d une mesure indirece d une grandeur G eprimée en foncion de grandeurs indépendanes, la déerminaion de son inceriude obéi au règles suivanes : 5
Cas d une somme ou d une différence Si G = A + B ΔG = ΔA + ΔB, e Si G = A B ΔG = ΔA + ΔB Auremen di, l'inceriude absolue sur la somme ou la différence de deu grandeurs es égale à la somme des inceriudes absolues de ces grandeurs. Cas d un produi, d un rappor ou d une puissance Supposons mainenan que la grandeur cherchée G soi le résula du calcul suivan : G=k α A.B γ C β où A, B e C son des grandeurs que l on mesure e k es une consane. Dans ce cas l inceriude relaive sur le résula s obien selon la démarche suivane : Nous appliquons la foncion logarihme au deu membres de la relaion α β A.B log G = log k = log k +αloga + βlog B γlogc γ C ( I.3) La différenielle de l epression donne : dg da db dc = α + β γ (I.4 ) G A B C Sachan que les erreurs absolues ou relaives s addiionnen, nous obenons : ΔG ΔA ΔB ΔC = α + β + γ (I.5 ) G A B C Auremen di, l'inceriude relaive sur un produi ou un rappor de deu grandeurs es égale à la somme des inceriudes relaives de ces grandeurs. La valeur corrigée de G serai donc : G corrigée =G ± ΔG Dans le cas de la déerminaion d une résisance R par la méhode indirece, V ΔR ΔV ΔI R = = + I R V I 6
CHAPITRE II CINEMATIQUE I. INTRODUCTION La cinémaique es la branche de la mécanique qui décri le mouvemen d un corps, c es-à-dire la modificaion apparene de sa posiion avec le emps, en ignoran les agens qui en son la cause. La plupar des corps éudiés par les physiciens son en mouvemen. Le mouvemen apparaî à oues les échelles de l univers, depuis les paricules els que les élecrons, les proons e les neurons qui consiuen les aomes, jusqu au galaies. Il es esseniel de bien définir le mouvemen pour pouvoir comprendre beaucoup de phénomènes que nous observons auour de nous. Un corps peu avoir un mouvemen : de ranslaion : mouvemen d une voiure sur une roue ; de roaion : celle de la erre sur elle-même ; de vibraion : peies oscillaions d un sysème masse-ressor ; combinan plusieurs de ces mouvemens. I.1. Sysème de référence Le repos e le mouvemen son deu noions relaives. En effe, un observaeur A immobile voi un arbre dans une posiion fie alors que le conduceur B d une voiure roulan à proimié le voi en mouvemen vers l arrière. Ce eemple monre que la descripion d un mouvemen doi préciser la naure de l observaeur. En physique, l éude d un mouvemen es effecuée en remplaçan l observaeur par un sysème de coordonnées appelé égalemen repère ou sysème de référence. Un repère peu êre fie ou mobile: le sysème lié à A es fie e celui lié à B es mobile. Pour eprimer les noions de repos e de mouvemen par rappor à un référeniel, considérons un repère orhonormé R(O,, y, z ) dans lequel es repérée la posiion M(,y,z) d un corps. Le corps es au repos par rappor à ce repère si ses coordonnées son consanes au cours du emps. Cependan, si au moins l une d elles varie le corps es en mouvemen par rappor à R. 7
I.. Noion de poin maériel Les mouvemens des corps son souven rès complees. Lorsque, dans l éude du mouvemen d un mobile, on ne considère que sa posiion, on peu, pour simplifier, réduire ce corps à un poin maériel ayan la même masse e localisé en son cenre de gravié. Cela revien à négliger ou effe de roaion du solide sur lui-même ou son eension spaiale. Eemple : Sysème masse-fil-poulie de la figure II.1: A peu êre rédui à un poin maériel ; B e le fil ne peuven pas l êre. I.3.Trajecoire B Figure II.1 A C es le lieu géomérique des posiions successives occupées par le poin maériel au cours du emps e par rappor au sysème de référence choisi. La rajecoire peu êre une réalié maérielle (roue, voie ferrée.) ou une réalié physique qui n es pas maérialisée (rajecoire d un projecile). II. MOUVEMENT RECTILIGNE Le choi de ce mouvemen es moivé par sa simplicié : sa descripion es facile e il es décri par des équaions simples. II.1. Définiion C es un mouvemen pour lequel la rajecoire suivie es droie. Le repère peu alors êre rédui à une origine O e un ae O poré par la rajecoire (figure II.). La posiion M du mobile es repérée par le veceur posiion : II.. Diagramme des espaces OM = i (II.1) La posiion M d un mobile dépend du emps. Par conséquen, à chaque insan elle peu êre repérée par le veceur : O Figure II. OM() = () i (II.) i M 8
La relaion = f() es l équaion horaire du mouvemen. Eemple : une chue libre d un corps lâché à l origine O d un ae verical oriené vers le bas. Le graphe de () consiue le diagramme des espaces. 1 = g pour Remarque : le diagramme des espaces n es pas nécessairemen une droie même dans le cas d un mouvemen reciligne. Il ne fau pas confondre le diagramme des espaces avec la rajecoire. Eemple : Diagramme des espaces pour la chue libre: 5 4 (m) 3 1 II.3. Veceur déplacemen 0 0,0 0,3 0,6 0,9 1, (s) Figure II.3 Soien M e i M f deu posiions d un mobile sur l ae (O) au insans i e f. respecivemen. Le veceur MM i f es appelé veceur déplacemen enre i e f.. i f O M i MM i f M f Figure II.4 D après la relaion de Chasles : MM = MO+ OM (II.3) i f i f La relaion enre ce veceur déplacemen e les veceurs posiions es alors: 9
M M =Δ OM = OM OM (II.4) i f f i En conséquence, sa composane sur l ae (O) es: Δ = (II.5) f i Remarque : il ne fau pas confondre son module avec la disance parcourue. En effe, si nous considérons le déplacemen M O M d un mobile en mouvemen sur un ae O, i MM i f = f i e la disance parcourue es donnée par d= MiO + OMf = i + f. f II.4. Viesse a. Définiion Considérons le mouvemen de chue libre d une bille décri par les mesures relevées dans le ableau II.1 : posiion M 0 M 1 M M 3 M 4 M 5 (s) 0 1 3 4 5 (m) 0 5 0 45 80 15 Tableau II.1 Remarquons que pour les posiions successives l inervalle de emps es consan, soi Δ = 1s, mais les déplacemens correspondans son de plus en plus grands : MM < MM < MM < MM < MM 0 1 1 3 3 4 4 5 Cela veu dire que le mobile va de plus en plus vie e pour caracériser cee propriéé on inrodui la noion de viesse : Le veceur viesse V d une paricule radui le au de variaion de son veceur posiion OM par rappor au emps. - Cee variaion peu concerner la direcion de OM, son module ou les deu. - L unié de la viesse dans le sysème inernaional (SI) es le mère par seconde (m/s). 30
b. Viesse moyenne La viesse moyenne d un mobile enre deu insans i e f correspondan au posiions M i e M f es définie par le rappor : V m f i Δ OM OMf OM = = Δ En valeurs algébriques, e dans le cas d un mouvemen reciligne sur un ae (O): f i i (II.6) V m f i Δ f = = Δ f i i (II.7) Eemple: Considérons le mouvemen de chue libre d une bille décri par le ableau II.1 5s 5s 5 3 15 45 Vm = = = 40 (m s) Vm = 40 i m s 3s 5 3 5 3 3s ( ) 5s 5s 5 0 15 0 Vm = = = 5 (m s) Vm = 5 i m s 0s 5 0 5 0 0s ( ) Remarque 1: dans le diagramme des espaces de la figure II.5 V m B A Δ = = pene de la sécane (le segmen) AB Δ (m) 10 B 5 A Δ Δ 4 6 8 10 (s) Figure II.5 31
Remarque : la viesse moyenne scalaire es donnée par le rappor : disance parcourue d V = emps mis = Δ (II.8) Remarque 3 : une viesse moyenne V m f i caracérise l inervalle de emps [ ] lequel elle es déerminée. Dans l eemple précéden de la chue libre :, dans i f 5s 5s 5s 4s m m m m 0s 1s s 0s V V V V. Viesse insananée α. Définiion Il arrive que l on s inéresse à la viesse d une paricule à un insan pariculier correspondan à une posiion donnée. Considérons l eemple de diagramme des espaces de la figure II.6. La viesse moyenne V m B A caracérise l inervalle [, ] A B. Pour avoir une viesse qui se réfère à l insan A, inuiivemen il convien de réduire l inervalle [ A, B ] [, ]. Cela revien à faire endre B vers A, soi : A A à ( ) Δ d V A = lim = Δ 0 Δ d = A (II.9) (m) 30 0 B B B B 10 A i 4 6 8 10 Figure II.6 (s) Ainsi, la pene du segmen AB endra vers celle de la angene au graphe, au poin A (voir figure II.6). Comme es la projecion algébrique du veceur posiion sur l ae, ceci nous suggère la définiion suivane : le veceur viesse insananée d un mobile, au emps, es donné par la relaion 3
Δ OM d OM V() = lim = Δ 0 Δ d (II.10) Algébriquemen, dans le cas d un mouvemen reciligne suivan (O) : d V() = = pene de la angene au diagramme des espaces d au poin correspondan à l insan. Le graphe de V () es appelé diagramme de la viesse. β. Mesure de la viesse Première méhode: si nous disposons du diagramme des espaces, nous pouvons obenir les valeurs algébriques, V, en mesuran les penes des angenes au graphe au poins considérés. Il es imporan de faire aenion au uniés e au signes Eemple (m) (km) Δ 65 30 Δ 45 Δ 0 5 Δ 10 4 6 8 10 (s) 4 6 8 10 (h) V km/h < 0 VX ( m/s) > 0 X ( ) Figure II.7 33
Deuième méhode : lorsqu on dispose d un nombre suffisan de couples de valeurs (, V () ), on peu racer le graphe de V ( ) e obenir les valeurs inconnues par erapolaion ou inerpolaion comme l illusre la figure II.8. V (m/s) V =5m/s (viesse iniiale) es une valeur erapolée 5 0 15 10 V =1,75m/s es une valeur inerpolée =5s (insan d'arrê) es une valeur erapolée 5 0 Valeurs connues 0 1 3 4 5 (s) Figure II.8 Troisième méhode: on peu confondre la viesse moyenne e la viesse insananée dans deu cas : 1 er cas: lorsque la viesse es consane (mouvemen uniforme) e on a : f V() = V m, i e f (II.11) i ème cas: lorsque l écar Δ = f i es suffisammen pei on peu confondre la viesse moyenne Remarques: V - = f i m Δ f i avec la viesse insananée V() au milieu de l inervalle: [, ] f i + f = f i < ε(pei) V() = V m avec = (II.1) i V Δ es suffisammen pei lorsque la différence enre ( ) n es pas significaive par rappor au erreurs de mesure. - le milieu de l inervalle [, ] segmen M i M f. i f e i f V m ne correspond pas nécessairemen au milieu du f i 34
II.5. Accéléraion La viesse pouvan varier avec le emps, on caracérise ce changemen en inroduisan la noion d accéléraion. Le veceur accéléraion a radui le au de variaion du veceur viesse V en foncion du emps. - Cee variaion peu concerner la direcion de la viesse, son module ou les deu ; - L unié de l accéléraion dans le sysème inernaional es le m/s. a. Définiions En adopan la démarche suivie dans le cas de l inroducion de la viesse nous pouvons définir les grandeurs suivanes: α. Accéléraion moyenne L accéléraion moyenne d un mobile enre deu insans i e f es donnée par le rappor : f ΔV Vf V a m = = Δ i f i i (II.13) En valeurs algébriques, e dans le cas d un mouvemen reciligne sur (O), a m f i ΔV V V = = Δ f i f i (II.14) β. Accéléraion insananée : L accéléraion moyenne caracérise l inervalle de emps [, ] i f. Le passage à la grandeur insananée s effecue de façon analogue à celui de la viesse. L accéléraion, à un insan donné, es alors définie par : Δ V dv a() = lim = Δ 0 Δ d (II.15) Algébriquemen, dans le cas d un mouvemen reciligne suivan (O) : a () dv d pene de la angene au diagramme de la viesse = = (II.16) 35
Remarque: noons que dv d a () = d = d (II.17) Ainsi, l orienaion de la concavié du diagramme des espaces donne le signe de a : a > 0 concavié vers le sens posiif de l ae (O) ; a < 0 concavié vers le sens négaif de l ae (O). Eemple: Pour le mouvemen décri par le diagramme des espaces de la figure II.9 : a ( ) 0 A > B a ( ) 0 < C a ( ) = 0 A B C Figure II.9 b. Mesure de l accéléraion Comme pour la viesse, on peu déerminer l accéléraion : - en mesuran les penes des angenes au diagrammes des viesses ; - en procédan par inerpolaion ou erapolaion sur les graphes des accéléraions ; a() - en confondan l accéléraion moyenne au milieu de l inervalle de emps [, ] II.6. Relaions inégrales i f a m f i avec l accéléraion insananée si celui-ci es suffisammen pei : f + i Δ= f i <ε(pei) a () = a m avec = Dans ce qui précède il apparaî que l on peu passer de la posiion à la viesse e de la viesse à l accéléraion par dérivaion. Dans cee parie on monrera que le passage en sens inverse peu êre effecué par inégraion. i f 36
a. Passage de la viesse à la posiion La posiion e la viesse son reliées par : d V() = d soi : d = V ()d e, par inégraion enre deu insans i e f, on obien : f ( ) ( ) ( ) f i i = V d (II.18) Conséquence : si nous connaissons la posiion 0 d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression de sa viesse en foncion du emps, il es alors possible de déerminer sa posiion () à n impore quel insan en écrivan : () () = + V d (II.19) 0 0 Eemple: Un mobile, animé d un mouvemen sur l ae (O) avec une viesse () ( ) V = + 1 m/s passe au poin d abscisse 0 = m au emps 0 = 0s. Déerminez l équaion horaire de la posiion. Réponse: () () ( ) = + V d = + + 1 d = + + (m) 0 0 0 Graphiquemen, l équivalence enre la valeur de l inégrale d une foncion e l aire siuée enre la courbe de son graphe e l ae des abscisses nous perme d écrire : f ( ) ( ) ( ) f i i = V d (II.0) V = aire algébrique délimiée par la courbe de V ( ),l ae des emps e les droies = i e = f f i i f Figure II.10 37
Eemple: considérons le diagramme de viesse de la figure II.11 ; connaissan ( 0s) déerminons ( s) e ( 5s). = 1m, V (m/s) 0 A 1 A A 1 4 6 (s) - Figure II.11 ( ) ( ) ( ) 0 s = 0s + V d = 1+ aire A ( ) ( ) ( ) 5 1 ( ) 1 = 1+ = 0 m 5s = s + V d = 0+ aire A ( ) ( ) 5 3 + 5 1 = =,5 m Remarques: - Les aires éan algébriques, oue parie se rouvan sous l ae (O) es négaive e celle se rouvan au-dessus es posiive. Dans l eemple précéden : 1 0 () A = V d = 1m< 0 5 (). A = V d =,5 m> 0 - Pour calculer la disance parcourue enre 0s e 5s on fai la somme des valeurs absolues des aires considérées : 5s d = A + A = 1+,5= 3,5 m. 0s 1 38
b. Passage de l accéléraion à la viesse L accéléraion e la viesse son reliées par : dv a () = d soi : dv = a () d L inégraion enre deu insans i e f donne : f f i i () V() V() = a d (II.1) Conséquence: si nous connaissons la viesse V 0 d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression de son accéléraion a () en foncion du emps, il es possible de déerminer sa viesse V () à n impore quel insan, en écrivan : Graphiquemen, () () 0 0 V = V + a d (II.) f f i i V ( ) V ( ) = a () d (II.3) Cee epression représene l aire algébrique délimiée par la courbe de a ( ) emps e les droies = i e = f., l ae des Eemple: A parir du diagramme de l accéléraion de la figure II-1, déerminons V ( s) e V ( 6s), sachan que V ( 0s) = 1m/s. a (m/s ) A 0 0 A 4 6 1 (s) - Figure II.1 39
( ) ( ) ( ) V s = V 0s + a d = 1+ aire A 1 0 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) = 1+ -1 = 1 m s V 6s = V s + a d = 1+ aire A = 1+ 4 = 7 m s II.7. Eude cinémaique de mouvemens recilignes pariculiers a. Mouvemen reciligne uniforme On considère le mouvemen d un mobile comme éan uniforme lorsque la valeur algébrique de sa viesse es consane. C es un mouvemen sans accéléraion en veru de la relaion : dv = = d a () 0 A parir de la formule inégrale, pour ( 0) Diagrammes : () 0 =, on obien : 0 0 0 = + V d = V + (II.4) a V V > 0 V > 0 a =0 0 V < 0 V < 0 Figure II.13 b. Mouvemen reciligne uniformémen varié On di que le mouvemen es uniformémen varié lorsque l accéléraion du mobile es consane. En uilisan le calcul inégral, on obien 0 0 - pour la viesse : V () V a d = + = a + V 0 avec V0 = V ( 0) 40
- pour la posiion : () = 0 + = 0 + ( + 0) Eemples de diagrammes : Cas où a > 0 V d a V d 0 0 1 a V = + + avec = ( 0) 0 0 0 a X (m/s²) 6 V X (m/s) 6 (m) 0 4 (s) 4 * 0 0 1 3 4 5 - (s) -4 4 * 0 0 1 3 4 5 (s) - -4 Figure II.14 Cas où a < 0 a (m/s²) X 0 0 1 3 4 5 (s) - V 6 X (m/s) 4 * 0 0 1 3 4 5 - (s) -4 Figure II.15 6 (m) 4 * 0 0 1 3 4 5 - (s) -4-6 c. Formule indépendane du emps Cee formule es valable uniquemen pour le mouvemen uniformémen varié (a = consane). Par définiion dv a = d dv = a d 41
En muliplian les deu membres par V, on obien : V dv = a V d Comme il vien d V = V d = d d V dv = a d soi V VdV = V 1 1 a d a éan consan, on obien : V 1 ( ) V = a (II.5) 1 d. Naures pariculières du mouvemen reciligne V a = consane : le mouvemen es reciligne uniforme ; = consane : le mouvemen es reciligne uniformémen varié ; a V > 0: le mouvemen es reciligne accéléré (uniformémen si a = consane) ; a V < 0: le mouvemen es reciligne décéléré ou reardé (uniformémen si a = consane). III. MOUVEMENT DANS L ESPACE C es un mouvemen don la rajecoire es une courbe quelconque, c es-à-dire qu elle n es pas nécessairemen droie. III.1. Repérage de la posiion Pour décrire le mouvemen d un mobile, il fau choisir une origine O qui servira de poin de repère. Sa posiion P() es repérée à chaque insan par le veceur posiion r () OP () = (figure II.16). Pour analyser le mouvemen, il fau définir un sysème de coordonnées lié à l origine O. Le choi de ce sysème dépend des propriéés spécifiques du problème considéré. Figure II.16 4
Pour simplifier l éude du mouvemen dans l espace, nous choisirons dans un premier emps d uiliser le sysème de coordonnées carésiennes qui nous es familier. Nous en verrons d aures dans ce chapire. Le sysème de coordonnées carésiennes adopé es composé de rois aes (O, Oy, Oz), munis des veceurs uniaires i, j, k (figure II.17). Les élémens i, j, k formen une base orhonormée (ils son perpendiculaires enre eu e de modules égau à l unié). z z i k O OM j M(,y,z) y y M Figure II.17 Dans ce référeniel, le veceur posiion d un mobile M s écri comme sui : r = OM= i+ y j+ zk (II.6), y e z son les coordonnées du poin M dans nore référeniel. Comme la posiion varie avec le emps, ces coordonnées son des foncions de la variable. () () () = Les relaions y = y consiuen les équaions z = z paramériques du mouvemen. Eemple z La figure II.18 représene la rajecoire d un mouvemen hélicoïdal. A chaque insan, la posiion M du mobile es repérée par ses coordonnées carésiennes données par les équaions paramériques O ω M y 43 Figure II.18
= 0cos( ω) y = 0 sin( ω ) z = Vz où 0 e V z son des consanes. Remarques: - Dans le cas général, nous repérons une posiion en uilisan ses rois coordonnées dans un sysème à rois aes (ridimensionnel). Lorsque le mouvemen a lieu dans un plan (mouvemen plan), on peu réduire le repère à un sysème bidimensionnel composé, par eemple, des aes (O, Oy) conenus dans le plan du mouvemen. - L équaion de la rajecoire s obien en éliminan la variable enre les équaions paramériques. Par eemple, pour le mouvemen d un projecile lancé de l origine O avec une viesse iniiale, V 0, horizonale, les équaions paramériques son : = V0 1 y = g pour un ae (Oy) ascendan. On peu alors écrire : = V En subsiuan cee epression dans l équaion de y, on obien celle de la rajecoire : 0 0 1 g y= ² V Lorsque les équaions paramériques coniennen des foncions rigonomériques de la variable emps, il fau essayer de procéder en eploian ceraines relaions qui les caracérisen. Par eemple, si () () = cos y = sin Alors ( ) ( ) + y = cos + sin = 1 III.. Veceur déplacemen Si à l insan 1 un mobile se rouve en M1 el que : 44
OM = i + y j + z k (II.7) ( ) e à l insan il se rouve en M el que : 1 1 1 1 1 OM = i + y j + z k (II.8) ( ) le veceur déplacemen es le veceur MM 1 (figure II.19). M 1 OM 1 Δ OM M OM O Figure II.19 Sa relaion avec les veceurs posiions es alors: MM =Δ OM=Δ r= OM OM (II.9) 1 1 Dans le sysème de coordonnées carésiennes : III.3. Veceur viesse Δ r =Δ OM=Δ i+δ y j+δ zk avec Δ = Δy = y Δz = z y z 1 1 1 (II.30) a. Veceur viesse moyenne V m 1 Soien M 1 la posiion du mobile à l insan 1 e M celle à l insan. Dans ce cas aussi, nous définissons le veceur viesse moyenne enre ces deu insans par : V m 1 MM Δ 1 = = Δ OM Δ (II.31) 45
Caracérisiques: son module es : V m 1 MM 1 = = Δ Δ OM Δ (II.3) il a la même direcion e le même sens que MM 1. c es un veceur glissan ; son poin d applicaion es un poin du segmen [ M M 1 ]. z M 1 MM 1 OM 1 OM 1 M V m 1 O y Figure II.0 Son epression analyique dans le sysème de coordonnées carésiennes es: Δ Δy Δz Vm = i+ j+ k Δ Δ Δ 1 = V i + V j + V k m my mz (II.33) b. Viesse insananée V() Comme pour le mouvemen reciligne, la viesse insananée, dans son sens général, donne des renseignemens plus précis que le veceur viesse moyenne : elle défini la viesse du mobile à chaque insan. 46
La viesse insananée s obien égalemen, à parir de la viesse moyenne en réduisan l inervalle de emps Δ jusqu à zéro. Ainsi, la viesse insananée V ( ) s obien en considéran la limie de V m 1 1 1 lorsqu on fai endre M vers M 1. Graphiquemen, la direcion du veceur déplacemen end vers celle de la angene en M 1. Mahémaiquemen, cela se radui par : () V lim Δ OM d OM = = Δ 0 Δ d (II.34) Caracérisiques: Le veceur viesse insananée es, à chaque insan, angen à la rajecoire; Son sens es celui du mouvemen. Composanes dans un sysème de coordonnées carésiennes: Dans la base O, i, j, k, V s eprime : d V() = i y j zk d + + d dy dz = i + j + k d d d = V i + V j + V k y z (II.35) soi d V = = pene de la angene au graphe de d dy V () Vy = = pene de la angene au graphe de y d dz Vz = = pene de la angene au graphe de z d () () () (II.36) e V = V + Vy + Vz (II.37) 47
Mouvemen plan: La base es réduie à i, j e V s eprime : V V i V j () = + y soi () V d V = d dy Vy = d e V = V + V y y V y M() V j O i Figure II.1 V III.4. Veceur accéléraion a. Veceur accéléraion moyenne a m La variaion relaive de la viesse au cours de l inervalle de emps Δ = 1 es donnée par le veceur accéléraion moyenne : 1 ΔV V V a m = = Δ Δ 1 1 (II.38) son module es : a m 1 Δ V = Δ (II.39) 48
il a même direcion e même sens que généralemen a m 1+ milieu de l inervalle, soi: = (figure II.). 1 Δ V ; es appliqué au poin M où le mobile se rouve à l insan y M() 1 1 V 1 = + 1 M( ) M() Δ V V Représenaion a m 1 Consrucion V 1 a m 1 O Figure II. D un poin de vue algébrique, ceci nous amène à écrire dans le repère carésien : ΔV ΔV y ΔVz a m = i+ j+ k 1 Δ Δ Δ = a i + a j + a k m my mz (II.40) b. Veceur accéléraion insananée a() Comme précédemmen, nous allons passer à la limie Δ 0 pour obenir l accéléraion insananée Δ V dv a() = lim = Δ 0 Δ d Son module, sa direcion e son sens ne peuven généralemen êre précisés qu en inroduisan ses composanes dans un sysème de référence. Touefois a es oujours oriené vers le côé concave de la rajecoire. 49
Dans le sysème de coordonnées carésiennes, a s écri : d a (V i V j V k) d dv dv y dv z = i + j + k d d d () = + y + z = a i + a j + a k y z (II.41) soi dv d a = = = pene de la angene au graphe de V d d dvy dy a () a y = = = pene de la angene au graphe de V y d d dvz dz a z = = = pene de la angene au graphe de V z d d () () () (II.4) e a = a + ay + az (II.43) III.5. Passage de l accéléraion à la viesse e à la posiion V e a Rappelons que () () s obiennen par dérivaion à parir de r () : () V () () dr dv = e a () = d d Il arrive que c es l accéléraion qui es connue. Il fau donc passer de celle-ci à la viesse e ensuie à la posiion, par inégraion. Pour ce faire, nous pouvons mere les deu relaions précédenes sous la forme : dr Algébriquemen ces relaions donnen : d () = V() d e dv() = () a d () = V () d ; dy( ) = V ( ) d ; dz( ) V ( ) y = () = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) dv a d ; dv a d ; dv a d y y z z L inégraion de ces équaions a pour conséquences : z d 50
si nous connaissons le veceur posiion OM (, y, z ) 0 0 0 0 pariculier 0, e l epression emporelle de sa viesse V()( V (),V y(),v z() ) de déerminer sa posiion à n impore quel insan, en écrivan : d un mobile, à un insan, il es possible () = + () V d 0 () = + () y y V d () = + () 0 0 0 0 y z z V d 0 z (II.44) si nous connaissons le veceur viesse V0 ( V 0,V y0,vz0 ) d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression emporelle de son accéléraion a()( a (),a y(),a z() ) possible de déerminer sa viesse à n impore quel insan, en écrivan :, il es () = + () V V a d 0 () = + () V V a d y y0 y () = + () V V a d z z0 z 0 0 0 (II.45) III.6. Approimaion des grandeurs insananées à l aide des grandeurs moyennes Comme pour le mouvemen reciligne, si Δ = f i es suffisammen pei on peu confondre : la viesse moyenne, ; l inervalle de emps [ ] i f V l accéléraion moyenne de l inervalle de emps[, ]. Soi i f m a f i m avec la viesse insananée Vm () f i avec l accéléraion insananée a() f V() = Vm f + i a() = am i f i (pei) avec f Δ = <ε = i au milieu de au milieu 51
III.7. Abscisse, viesse e accéléraion curvilignes Si la rajecoire d un mobile M es connue on peu: l oriener dans un sens arbiraire ; choisir un poin origine M 0, fie, sur cee rajecoire ; choisir une unié graphique. M 0 La valeur algébrique de l arc (M 0M) es l abscisse curviligne s du poin M Eemple: Sur une care rouière les disances son déerminées à parir des abscisses curvilignes. L origine es le poin kilomérique zéro e l unié le kilomère. On défini, respecivemen, la viesse e l accéléraion curvilignes par les relaions : O Figure II.3 () V () a ( ) ds = (II.46) d ( ) dv = (II.47) d Eemple: Mouvemen circulaire varié sur une rajecoire de rayon R: dθ d θ s = R θ ; V = R ; a = R d d Sens >0 M s θ M 0 Figure II.4 III.8. Composanes inrinsèques de l accéléraion a. Définiions Dans cerains cas, pour déerminer l accéléraion en un poin M, on uilise ses composanes inrinsèques qui son ses projecions algébriques (figure II.5): 5
- a sur un ae angeniel (MT) muni du veceur uniaire mouvemen. - n u, dirigé dans le sens du a sur un ae normal (MN) muni du veceur uniaire n, oriené vers le côé concave de la rajecoire. N u Trajecoire orienée a n a a u n M u a Figure II.5 T a a n a n D où l epression a = a + a n = a u + a u n n (II.48) a e a n son, respecivemen, les composanes angenielle e normale de l accéléraion. Remarque: les veceurs uniaires e u n u formen une base orhonormée appelée base de Frene. C es une base de projecion (ou repère) liée à la posiion M du mobile. En physique il ne fau pas confondre cee noion avec celle de référeniel qui, lui, es lié à un observaeur. b. Epressions des composanes angenielle e normale de l accéléraion Comme le veceur viesse es angeniel, il s écri dans le repère de Frene : V = Vu V éan le module. Dérivons cee epression par rappor au emps pour rouver l accéléraion : 53