. GENERALITES SUR LES FONCTIONS. Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles.. Fonction et ensemble de déinition On appelle onction d'une variable réelle à valeurs réelles une application qui à tout élément d'une partie D de R associe un réel et un seul noté ( ) Le réel ( ) est appelé image de par La partie D est appelée ensemble de déinition de la onction Notation : D R a ( ) La onction identité a est déinie sur D = R La onction élévation au carré a est déinie sur D = R La onction inverse a est déinie sur D = R = R { 0 } La onction racine carrée a est déinie sur = R = [ 0; + [ D +
Il ne aut pas conondre l'être mathématique appelé onction (et désigné par ) avec l'être mathématique (désigné par ( ) ou par y) qui est le réel associé par à un élément donné de... Courbe représentative d'une onction Soit une onction déinie sur D La courbe représentative de dans un repère est l'ensemble des points M (, ( )) avec D On dit que y = ( ) est une équation de cette courbe dans le repère considéré.3. Restriction de Soit une onction déinie sur D, et A une partie de R telle que A R On appelle restriction de à A la onction g telle que A D R a g( ) telle que A, g( ) = ( ) Soit la onction ] ;0[ ] 0; [ R = + R a et g la onction déinie sur A = ] 0; [ + par g ( ) = Nous dirons que g est la restriction de à A = ] 0; + [
.4. Image et antécédent Soit une onction déinie sur D, et A une partie contenue dans D, alors ( A ) désigne l'ensemble des images des éléments de A. Si y = ( ), on dit que y est l'image de par, mais aussi que est un antécédent de y.. Opérations sur les onctions.. Egalité de deu onctions et g sont deu onctions déinies respectivement sur D et D g Les deu onctions et g sont égales D = Dg D, ( ) = g( ).. Somme de deu onctions et g sont deu onctions déinies respectivement sur D et On déinit sur D= D Dg la somme + g par D + g : a ( ) + g( ) D g On peut aussi écrire la somme de deu onctions D ( + g)( ) = ( ) + g( ) 3
.3. Produit d une onction par un réel une onction déinie sur D et pour tout réel k, le produit d'un réel k par la onction est noté : k et se déinit par k R k : a k( ) D On peut aussi écrire le produit k d'un réel k par une onction k R ( k )( ) = k ( ) D Dans le cours d algèbre, on dira que : Muni de ces deu lois, l'ensemble (E) des onctions numériques d'une variable réelle déinies sur une partie D de R possède une structure d'espace vectoriel sur R..4. Produit de deu onctions On déinit sur D= D Dg le produit g par D g: a ( ) g( ) On peut aussi écrire le produit de deu onctions D ( g)( ) = ( ) g( ) Toujours dans le cours d algèbre, on dira : L'ensemble (E) possède une structure d'anneau commutati unitaire (l'élément neutre étant la onction constante égale à sur D). 4
Attention (E) n'est pas un anneau d'intégrité ( c est-à-dire que le produit de deu onctions peut être nul sans qu aucune des deu onctions soit identiquement nulle) comme le montre l'eemple suivant : [ ] ] ;] 0 si 0 ; : a et si [ 0;] ] ] si g : a 0 si ; Le produit g a 0 si [ 0 ; ] est la onction nulle sur [ ] ne soit la onction nulle. 0; bien que ni ni g.5. Quotient de deu onctions On déinit sur D = D Dg le quotient g tel que pour tout de D tel que g ( ) 0 par ( ) : a g g ( ) On peut aussi écrire le quotient de deu onctions tel que pour tout de D tel que g ( ) 0 par ( ) = g ( ) g ( ) Soit : a et g : + a deu onctions déinies sur l'intervalle ] ;[ + + La somme + g : + = = + ( + )( ) Le produit g:. = + Le quotient : g a est déinie sur ] ;[ a est déini sur ] ;[ + = + a est déini sur ] ;[ 5
le quotient : a est même déini sur ; g + ] ] 3. Composition de deu onctions et g sont deu onctions déinies respectivement sur D et D g On appelle D l'ensemble des éléments de D tels que ( ) Dg La composée gο ("g rond ") est la onction d'ensemble de déinition D telle que [ ] ( g o )( ) = g ( ) Dans l écriture go la première application est et la seconde est g Soit : a et g : a On a = R = R 0 D = R et { } D g Pour tout R tel que 0 c'est-à-dire pour D= R { ;} la composée des deu applications et g dans cet ordre est ( go )( ) = g[ ( ) ] = g ( ) = go et donc { } : R, R a 6
Soit Calculer ] ] : ; R a + o = + + ] ; [ ( ) = ( ο )( ) = + + = = = + + + + + + et donc ] ] : ; R a Propriété La composition des applications est associative ( hog) o = ho ( go ) mais attention! elle n'est pas commutative go o g Soit : R g : R R et ar + 3 a alors [ ] R, ( go )( ) = g + 3 = (+ 3) = 4 + + 9 et R ( o g)( ) = = + 3 et donc g o : R R et ο g : 4 + + 9 a R R a + 3 par conséquent g o o g (même si les deu compositions eistent) Attention Il ne aut pas conondre le produit de deu onctions et la composition de ces deu onctions. 7
Considérons les deu onctions : a et g: a, ces deu onctions sont déinies + sur D = R La onction produit g est la onction g: a + La onction composée g Soit g o : R R a + ( g )( ) g ( ) g ( ) ( ) + o est la onction ο = [ ] = [ ] = 4. Les ormules de changement de repère (par translation) r r Le plan est muni d'un repère ( O; i ; j) et (C) est la courbe représentative de y=() dans ce r r repère. Soit Ω le point de coordonnées ( ab, ) dans le repère ( O; i ; j). alors O r r Ω = ai + b j Quelle est l'équation de la courbe (C) dans le nouveau repère ( Ω; i r ; r j )? r r Désignons par ( y, ) les (anciennes) coordonnées d'un point M du plan dans le repère ( O; i ; j ) r r Vectoriellement, on peut écrire OM = i + yj et par ( X, Y ) les (nouvelles) coordonnées du même point M dans le repère ( Ω; i r ; r j ) r r De même, vectoriellement Ω M = Xi + Y j La relation de Chasles OM = OΩ + Ω M donne par passage au coordonnées = X + a y = Y + b X = a ou encore Y = y b 8
qui sont les ormules de changement de repère (par translation) 5. Propriétés particulières de certaines onctions (réduction de l'intervalle d'étude) 5.. Imparité (Centre de symétrie) Une onction est dite impaire si : D D ( le domaine D doit être symétrique par rapport à l ' origine) ( ) = ( ) D La courbe représentative de admet l'origine comme centre de symétrie ) Pour étudier une onction impaire, il suit de l'étudier sur E = D [ 0; + [ Si ( Γ ) est la courbe représentative de la restriction de à E, la courbe ( C ) représentant les variations de la onction, s'obtient en complétant ( Γ ) par symétrie par rapport à l origine O. ) Si D = R, alors la condition D D est automatiquement vériiée Les onctions suivantes sont impaires : a (identité) 3 a (élévation au cube) a sur D= R (inverse) π a sin (sinus) a tan sur D= R + kπ, k Z (tangente) Plus généralement le point I ( a; b ) est centre de symétrie de la courbe représentative de si : 9
a + D a D ( le domaine D doit être symétrique par rapport à a) ( a+ ) + ( a ) = b D Pour étudier une onction admettant le point I( ab ; ) comme centre de symétrie, il suit de l'étudier sur E = D [ a; + [ Si ( Γ ) est la courbe représentative de la restriction de à E, la courbe ( C ) représentant les variations de la onction, s'obtient en complétant ( Γ ) par symétrie par rapport au point I( ab ; ) La onction point En eet + 5 : a est déinie sur D = R. Sa représentation graphique admet le 3 5 3 5 I ( ; ) comme centre de symétrie. 3 3 5 5 3 3 ( + ) + ( ) + + 5 5 3 3 3 3 4 ( + ) + ( ) = + = + = 3 3 5 5 3( + ) 5 3( ) 5 3 3 3 3 3 L étude de cette onction s eectue seulement sur l intervalle E 5 =, + 3 0
Représentation graphique de la onction : 5.. Parité (Ae de symétrie) Une onction est dite paire si : D D ( le domaine D doit être symétrique par rapport à l ' origine) ( ) = ( ) D En repère orthogonal,la courbe représentative de admet l'origine comme centre de symétrie Pour étudier une onction paire, il suit de l'étudier sur E = D [ 0; + [
Si ( Γ ) est la courbe représentative de la restriction de à E, la courbe ( C ) représentant les variations de la onction, s'obtient en complétant ( Γ ) par symétrie par rapport à l ae y Oy Les onctions suivantes sont paires : 4 a (élévation au carré) a (élévation à la puissace 4) si 0 a = (valeur absolue) a cos (cosinus) si < 0 Plus généralement, en repère orthogonal, la droite d'équation = a est ae de symétrie de la courbe représentative de si : a + D a D ( le domaine D doit être symétrique par rapport à a ) ( a+ ) = ( a ) D Pour étudier une onction admettant la droite d'équation courbe représentative de, il suit de l'étudier sur E = D [ a; + [ = a comme ae de symétrie de la Si ( Γ ) est la courbe représentative de la restriction de à E, la courbe ( C) représentant les variations de la onction, s'obtient en complétant ( Γ ) par symétrie par rapport à l ae = a. Pour un ae de symétrie, il est nécessaire que le repère soit orthogonal La onction : a 5+ est déinie sur D = R. Sa représentation graphique admet la droite d'équation En eet 5 = comme ae de symétrie 4 5 5 5 5 5 7 ( + ) = ( + ) 5( + ) + = + 5+ 5+ = + 4 4 4 8 4 8
et 5 5 5 5 5 7 ( ) = ( ) 5( ) + = 5+ + 5+ = + 4 4 4 8 4 8 5 5 5 Puisque ( + ) = ( ), R, la droite d équation = est bien ae de symétrie de la 4 4 4 courbe représentative de, et l étude de cette onction s eectue seulement sur l intervalle E 5 =, + 4 Représentation graphique de la onction : Attention La plupart des onctions ne sont ni paires, ni impaires et donc n admettent ni ae de symétrie, ni centre de symétrie. 3
Une calculette graphique permet de visualiser la représentation de la onction 3 + 0 8 : a déinie sur R {,3} qui n admet ni ae de symétrie, ni centre de 4+ 3 symétrie. Toute onction déinie sur une partie E de R admettant le point 0 pour centre de symétrie est la somme d'une onction paire et d'une onction impaire et cette décomposition est unique. En eet : si = g+ h où g est paire et h est impaire, on a ( ) = g( ) + h( ) et ( ) = g( ) h( ) d'où g( ) = [ ( ) + ( ) ] et h( ) = [ ( ) ( ) ] Réciproquement, les onctions g et h ainsi déterminées à partir de sont respectivement paire et impaire et vériient = g+ h 3 La onction : a + 5 + est déinie sur D = R Cette onction est la somme de la onction g paire g a + : 5 et de la onction h impaire a 3 h : 5.3. Périodicité Une onction est dite périodique de période T ( ou T-périodique) s'il eiste un nombre T positi tel que : D + T D ( + T) = ( ) D 4
Si T est une période pour, tout multiple de T non nul (c est à dire T, 3T,4T...) est aussi une période pour. Dans les cas usuels, l'une des périodes positives est plus petite que toutes les autres; c'est ce nombre qui est appelé plus précisément période de la onction et sera noté T (et par conséquent T doit être le plus petit possible) Il aut connaître la période des onctions trigonométriques suivantes : Si ω 0 la onction a cos( ω +ϕ) admet pour périodet la onction a sin( ω +ϕ) admet pour période T π = ω π = ω la onction a tan( ω +ϕ) admet pour période T π = ω La onction : sin(3 π ) π a + admet pour période T = 5 3 Pour déterminer la période de la onction : a cos, il est nécessaire de linéariser cette + cos epression trigonométrique, puisque cos =, la onction admet pour période T =π De même la onction : cos( ) 3 a admet pour période T = 6π 3 E = D α; α+ T Pour étudier une onction de période T, il suit de l'envisager sur [ [ avec α réel quelconque. Si ( Γ ) est la courbe représentative de la restriction de à E, la courbe ( C ) représentant les variations de la onction, s'obtient en complétant ( Γ ) par les arcs de courbe qui s'en déduisent par les translations de vecteur kv r r avec k R et V ( T; 0) 5
6. Propriétés globales d'une onction Toutes les onctions considérées dans ce paragraphe sont déinies sur D Soit I un intervalle contenu dans D 6.. Fonction croissante est croissante si I (, ') ' ( ) ( ') si 0 < : a si < si 3 6
Cette onction est croissante sur [ 0,3 ] mais elle est discontinue en 0 = 6.. Fonction décroissante est décroissante si I (, ') ' ( ) ( ') 6.3. Fonction strictement croissante est strictement croissante si (, ') I < ' ( ) < ( ') 7
si 0 < : a ( ) + si < si 3 Cette onction est strictement croissante et continue sur [ 0,3 ] 6.4. Fonction strictement décroissante est strictement décroissante si (, ') I < ' ( ) > ( ') 8
6.5. Fonction monotone est monotone si est croissante ou décroissante 6.6. Fonction strictement monotone est strictement monotone si est strictement croissante ou strictement décroissante Sur un intervalle donné, une onction peut être ni croissante ni décroissante La onction : + sur [ 5 ; 3] a n est ni croissante, ni décroissante 9