Chapitre 4. Base et génératrice 1. Système lié ou libre Soient v 1,, v m un système de vecteurs. On se pose la question : Est-ce que le vecteur 0 est une combinaison linéaire des v i?
Chapitre 4. Base et génératrice 1. Système lié ou libre Soient v 1,, v m un système de vecteurs. On se pose la question : Est-ce que le vecteur 0 est une combinaison linéaire des v i? La réponse est facile : 0 v 1 + 0 v 2 + +0 v m = 0!
Chapitre 4. Base et génératrice 1. Système lié ou libre Soient v 1,, v m un système de vecteurs. On se pose la question : Est-ce que le vecteur 0 est une combinaison linéaire des v i? La réponse est facile : 0 v 1 + 0 v 2 + +0 v m = 0! Cette solution n est pas très intéressante. On s intéresse à des solutions plus intéressantes, c est-à-dire de coefficients non tous nuls. Ce genre de solutions peut exister ou ne pas exister selon le choix des v i. Ceci conduit à la définition suivante :
Chapitre 4. Base et génératrice 1. Système lié ou libre Soient v 1,, v m un système de vecteurs. On se pose la question : Est-ce que le vecteur 0 est une combinaison linéaire des v i? La réponse est facile : 0 v 1 + 0 v 2 + +0 v m = 0! Cette solution n est pas très intéressante. On s intéresse à des solutions plus intéressantes, c est-à-dire de coefficients non tous nuls. Ce genre de solutions peut exister ou ne pas exister selon le choix des v i. Ceci conduit à la définition suivante : Définition. On dit que le système des v 1,, v m est lié (ou dépendant) s il existe des coefficients a k non tous nuls tels que a 1 v 1 + a 2 v 2 + +a m v m = 0. Une telle relation est appelée une relation de dépendance linéaire.
Chapitre 4. Base et génératrice 1. Système lié ou libre Soient v 1,, v m un système de vecteurs. On se pose la question : Est-ce que le vecteur 0 est une combinaison linéaire des v i? La réponse est facile : 0 v 1 + 0 v 2 + +0 v m = 0! Cette solution n est pas très intéressante. On s intéresse à des solutions plus intéressantes, c est-à-dire de coefficients non tous nuls. Ce genre de solutions peut exister ou ne pas exister selon le choix des v i. Ceci conduit à la définition suivante : Définition. On dit que le système des v 1,, v m est lié (ou dépendant) s il existe des coefficients a k non tous nuls tels que a 1 v 1 + a 2 v 2 + +a m v m = 0. Une telle relation est appelée une relation de dépendance linéaire. Si Non, on dit que le système est libre.
Une autre formulation Soient v 1,, v m un système de vecteurs. La question qu on se pose ici est : Est-ce que l un d eux est une combinaison linéaire des autres? Théorème. Oui ssi le système est lié ; Non ssi le système est libre. Preuve : Soit k a k v k = 0, tel que l un des coefficients, par exemple a j, est non nul, alors v j est une combinaison linéaire des autres!
Une autre formulation Soient v 1,, v m un système de vecteurs. La question qu on se pose ici est : Est-ce que l un d eux est une combinaison linéaire des autres? Théorème. Oui ssi le système est lié ; Non ssi le système est libre. Preuve : Soit k a k v k = 0, tel que l un des coefficients, par exemple a j, est non nul, alors v j est une combinaison linéaire des autres! Pourquoi? Et réciproquement?
Comment répondre : Est-ce que v 1,, v m sont liés ou libres?
Comment répondre : Est-ce que v 1,, v m sont liés ou libres? On pose A = ( v 1,, v k ) : Théorème. Le système des v i est lié libre A Id échelonne B H si B a une zéro-colonne si B est sans zéro-colonne Preuve. On pose et résout un système linéaire sans second membre x 1 v 1 + x 2 v 2 + +x m v m = 0, ou bien A x = 0. L ensemble des solutions est S = {H u,b u = 0}. Si B n a pas de zéro-colonne, la seule solution pour B u = 0 est le vecteur 0. Dans le cas contraire, il y a d autres solutions.
Comment répondre : Est-ce que v 1,, v m sont liés ou libres? On pose A = ( v 1,, v k ) : Théorème. Le système des v i est lié libre A Id échelonne B H si B a une zéro-colonne si B est sans zéro-colonne Preuve. On pose et résout un système linéaire sans second membre x 1 v 1 + x 2 v 2 + +x m v m = 0, ou bien A x = 0. L ensemble des solutions est S = {H u,b u = 0}. Si B n a pas de zéro-colonne, la seule solution pour B u = 0 est le vecteur 0. Dans le cas contraire, il y a d autres solutions. Problème : Expliciter une relation de dépendance linéaire des v i si le système est lié Réponse : Prendre pour x une colonne de H sous une zéro-colonne de B. (pourquoi ça marche?)
2. Famille génératrice de R n Une famille de vecteurs en dimension n est un système générateur (ou une famille génératrice) de R n si tout autre vecteur de R n s exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système. Comment répondre : Est-ce que v 1,, v m forment une famille génératrice?
2. Famille génératrice de R n Une famille de vecteurs en dimension n est un système générateur (ou une famille génératrice) de R n si tout autre vecteur de R n s exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système. Comment répondre : Est-ce que v 1,, v m forment une famille génératrice? On prend un vecteur quelconque. dans R n. On pose un système linéaire b 1 b n b 1 b n x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x m v m =. (il faut traiter les b i comme des paramètres). On le résout pour voir s il existe toujours une solution (indépendant des valeurs des b i ).
2. Famille génératrice de R n Une famille de vecteurs en dimension n est un système générateur (ou une famille génératrice) de R n si tout autre vecteur de R n s exprime en combinaison linéaire des vecteurs de ce système. Comment répondre : Est-ce que v 1,, v m forment une famille génératrice? On prend un vecteur quelconque. dans R n. On pose un système linéaire b 1 b n b 1 b n x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x m v m =. (il faut traiter les b i comme des paramètres). On le résout pour voir s il existe toujours une solution (indépendant des valeurs des b i ). Oui = génératrice.
3. Base de R n Une famille de vecteurs v 1,, v m est une base de R n si la famille est à la fois libre et génératrice. Théorème : Dans ce cas tout vecteur b de R n s exprime en a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a m v m = b. et l expression est unique. Les a i sont les coordonnées de b dans cette base.
3. Base de R n Une famille de vecteurs v 1,, v m est une base de R n si la famille est à la fois libre et génératrice. Théorème : Dans ce cas tout vecteur b de R n s exprime en a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a m v m = b. et l expression est unique. Les a i sont les coordonnées de b dans cette base. Preuve. On prend un vecteur quelconque b R n. Puisque la famille est une famille génératrice, ce b s exprime en combinaison linéaire des v i. Unicité : Si jamais on a deux expressions a 1 v 1 + a 2 v 2 + +a m v m = b. a 1 v 1 + a 2 v 2 + +a m v m = b. on soustrait l une à l autre : (a 1 a 1 ) v 1 +(a 2 a 2 ) v 2 + +(a m a m) v m = 0. Comme le système est libre, tous les coefficients sont nuls. Donc a i = a i pour tout i. Donc les deux expressions sont en effet identiques. Fin de la preuve.
4. Comptage Théorème fondamental : Dans R n : 1. Un système de n 1 vecteurs ou moins n est jamais générateur (il manque des pivots) 2. Un système de n+1 vecteurs ou plus n est jamais libre 3. Une base a exactement n vecteurs. 4. Tout système libre se complète (facilement) en une base. 5. De tout système générateur on peut constituer une base (avec ou sans combinaison linéaires).
4. Comptage Théorème fondamental : Dans R n : 1. Un système de n 1 vecteurs ou moins n est jamais générateur (il manque des pivots) 2. Un système de n+1 vecteurs ou plus n est jamais libre 3. Une base a exactement n vecteurs. 4. Tout système libre se complète (facilement) en une base. 5. De tout système générateur on peut constituer une base (avec ou sans combinaison linéaires). Ainsi, dans R 2, deux vecteurs quelconques non co-linéaires constituent une base. Exemples.
4. Comptage Théorème fondamental : Dans R n : 1. Un système de n 1 vecteurs ou moins n est jamais générateur (il manque des pivots) 2. Un système de n+1 vecteurs ou plus n est jamais libre 3. Une base a exactement n vecteurs. 4. Tout système libre se complète (facilement) en une base. 5. De tout système générateur on peut constituer une base (avec ou sans combinaison linéaires). Ainsi, dans R 2, deux vecteurs quelconques non co-linéaires constituent une base. Exemples. Et dans R 3?
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v.
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v. Un plan P passant par 0
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v. Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs.
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v. Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Et n importe quel couple de vecteurs v 1, v 2 du plan, tant qu ils
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v. Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Et n importe quel couple de vecteurs v 1, v 2 du plan, tant qu ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On a P = v 1, v 2.
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v. Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Et n importe quel couple de vecteurs v 1, v 2 du plan, tant qu ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On a P = v 1, v 2. Dans R n, on a des objets ayant 1,2,3,4,5... vecteurs directeurs. Ces objets sont appelé des sous espaces vectoriels et ces vecteurs directeurs sont appelés bases.
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v. Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Et n importe quel couple de vecteurs v 1, v 2 du plan, tant qu ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On a P = v 1, v 2. Dans R n, on a des objets ayant 1,2,3,4,5... vecteurs directeurs. Ces objets sont appelé des sous espaces vectoriels et ces vecteurs directeurs sont appelés bases. Définition. Un sous espace vectoriel de R n est un sous ensemble E tel que pour tout v 1, v 2 E on a v 1 + v 2 E et pour tout v E et k R on a k v E. Autrement dit toute combinaison linéaires de vecteurs de E reste dans E. Une base de E est une famille de vecteurs v 1,, v k E telle que
5. famille génératrice et base dans un sous espaces vectoriel Une droite D passant par 0 admet un vecteur directeur. Et n importe quel vecteur v non-nul de la droite sert comme un vecteur directeur. On a D = v. Un plan P passant par 0 admet deux vecteurs directeurs. Et n importe quel couple de vecteurs v 1, v 2 du plan, tant qu ils ne sont pas co-linéaires, autrement dit qu ils sont libres, peuvent être utilisés comme vecteurs directeurs. On a P = v 1, v 2. Dans R n, on a des objets ayant 1,2,3,4,5... vecteurs directeurs. Ces objets sont appelé des sous espaces vectoriels et ces vecteurs directeurs sont appelés bases. Définition. Un sous espace vectoriel de R n est un sous ensemble E tel que pour tout v 1, v 2 E on a v 1 + v 2 E et pour tout v E et k R on a k v E. Autrement dit toute combinaison linéaires de vecteurs de E reste dans E. Une base de E est une famille de vecteurs v 1,, v k E telle que elle soit à la fois libre et génératrice. Et dimension(e) = k.
Exemple et Comptage Exemple. On peut bien sur prendre E = R n ou E = {0}. Question Est-ce qu un cercle ou une demi-droite est un sous espace vectoriel? Théorème fondamental : Dans 1. Un système de générateur, 0 1 k 1 une droite D un plan P un sev E, avec dim(e)=k vecteurs ou moins n est jamais 2 2. Un système de 3 vecteurs ou plus n est jamais libre. k + 1 3. Une base V a exactement k vecteurs v 1,, v k, et constitue un système de repère : Tout vecteur b de E s exprime en combinaison linéaire a 1 v 1 + a 2 v 2 + +a k v k = b et l expression est unique. Les a i sont les coordonnées de b dans cette base. :
Exo L ensemble des solutions de l équation x y 2z = 0 forme-il un sous espace vectoriel? Si oui en donner une base et determiner sa dimension.
Exo L ensemble des solutions de l équation x y 2z = 0 forme-il un sous espace vectoriel? Si oui en donner une base et determiner sa dimension. L ensemble des solutions s écrit { y + 2z } S = y,y,z R = z 1 2 = 1, 0. 0 1 { y 1 2 } 1 +z 0,y,z R 0 1 Une base de S se constitue simplement des deux vecteurs 1 2 1, 0, et la dimension est deux (c est un plan dans R 3 ). 0 1 Même exo. pour x + y z = 0.
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples :
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples (: ) ( ) 1 2 U = { e 1, e 2 } la base canonique, et V = { v 1, v 2 } = {, }. 2 3
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples (: ) ( ) 1 2 U = { e 1, e 2 } la base canonique, et V = { v 1, v 2 } = {, }. 2 3 Il existe une matrice de passage d une base à une autre (un changement de repère), elle est obtenue de la manière suivante : Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples (: ) ( ) 1 2 U = { e 1, e 2 } la base canonique, et V = { v 1, v 2 } = {, }. 2 3 Il existe une matrice de passage d une base à une autre (un changement de repère), elle est obtenue de la manière suivante : Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples (: ) ( ) 1 2 U = { e 1, e 2 } la base canonique, et V = { v 1, v 2 } = {, }. 2 3 Il existe une matrice de passage d une base à une autre (un changement de repère), elle est obtenue de la manière suivante : Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3 ( ) 1 2 = ( e 1 e 2 ) 2 3
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples (: ) ( ) 1 2 U = { e 1, e 2 } la base canonique, et V = { v 1, v 2 } = {, }. 2 3 Il existe une matrice de passage d une base à une autre (un changement de repère), elle est obtenue de la manière suivante : Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3 ( ) ( ) 1 2 1 2 = ( e 1 e 2 ) = U 2 3 2 3
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples (: ) ( ) 1 2 U = { e 1, e 2 } la base canonique, et V = { v 1, v 2 } = {, }. 2 3 Il existe une matrice de passage d une base à une autre (un changement de repère), elle est obtenue de la manière suivante : Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3 ( ) ( ) 1 2 1 2 = ( e 1 e 2 ) = U = UP 2 3 2 3 U,V.
6. Changement de bases, matrice de passage R 2 possède beaucoup de bases. Voici deux exemples (: ) ( ) 1 2 U = { e 1, e 2 } la base canonique, et V = { v 1, v 2 } = {, }. 2 3 Il existe une matrice de passage d une base à une autre (un changement de repère), elle est obtenue de la manière suivante : Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3 ( ) ( ) 1 2 1 2 = ( e 1 e 2 ) = U = UP 2 3 2 3 U,V. ( 3. La matrice ) de passage P U,V de la base U vers la base V est donc 1 2. 2 3
Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3
Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3
Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3 ( ) 1 2 = ( e 1 e 2 ) 2 3
Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ) ( ) 1 2 = ( e 1 e 2 ) = U 2 3,( e 2 1 e 2 ) ) ( 1 2 2 3 3
Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ) ( ) 1 2 = ( e 1 e 2 ) = U 2 3 2 ( 1 2 2 3,( e 1 e 2 ) 3 ) = UP U,V.
Par exemple on veut passer de U à V : 1. On exprime chaque vecteur dans V en combinaison linéaire des vecteurs dans U : ( ) ( ) 1 2 v 1 = 1 e 1 + 2 e 2 = ( e 1 e 2 ) ; v 2 2 = ( e 1 e 2 ). 3 2. On les assemble en { une matrice ( ) : ( ) 1 2 } V = { v 1, v 2 } = ( e 1 e 2 ),( e 2 1 e 2 ) 3 ( ) ( ) 1 2 1 2 = ( e 1 e 2 ) = U = UP 2 3 2 3 U,V. ( 3. La matrice ) de passage P U,V de la base U vers la base V est donc 1 2. 2 3 Un autre exemple U = { u 1, u 2 } et V = { v 1, v 2 } avec v 1 = u 1 + u 2 et v 2 = u 1 u 2. Quelle est la matrice de passage de U à V, et celle de V à U?
P U,V permet de convertir les coordonnées dans la base V aux coordonnées dans la base U Soit w un vecteur en dimension deux. Imaginons qu on connait ses coordonnées de w dans la base V, c est( à dire ) qu on connait les a valeurs a,b tel que w = a v 1 + b v 2 = V. b Comme U est une base, le vecteur w a aussi des coordonnées dans la base U. Comment les trouver? ( ) a Théorème Les coordonnées de w dans la base U sont P U,V. b ( ) ( ) c c Preuve. On cherche tel que w = c e d 1 + d e 2 = U. Or d ( ) a ( ) ( ) a ( ( a ) w = V = UP b U,V = U P b U,V. b)
P U,V permet de convertir les coordonnées dans la base V aux coordonnées dans la base U Soit w un vecteur en dimension deux. Imaginons qu on connait ses coordonnées de w dans la base V, c est( à dire ) qu on connait les a valeurs a,b tel que w = a v 1 + b v 2 = V. b Comme U est une base, le vecteur w a aussi des coordonnées dans la base U. Comment les trouver? ( ) a Théorème Les coordonnées de w dans la base U sont P U,V. b ( ) ( ) c c Preuve. On cherche tel que w = c e d 1 + d e 2 = U. Or d ( ) a ( ) ( ) a ( ( a ) w = V = UP b U,V = U P b U,V. b) ( ) ( ) c a Donc = P d U,V b
P U,V permet de convertir les coordonnées dans la base V aux coordonnées dans la base U Soit w un vecteur en dimension deux. Imaginons qu on connait ses coordonnées de w dans la base V, c est( à dire ) qu on connait les a valeurs a,b tel que w = a v 1 + b v 2 = V. b Comme U est une base, le vecteur w a aussi des coordonnées dans la base U. Comment les trouver? ( ) a Théorème Les coordonnées de w dans la base U sont P U,V. b ( ) ( ) c c Preuve. On cherche tel que w = c e d 1 + d e 2 = U. Or d ( ) a ( ) ( ) a ( ( a ) w = V = UP b U,V = U P b U,V. b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) c a 1 2 a a+2b Donc = P d U,V = =. b 2 3 b 2a+3b Par exemple w vaut deux fois v 1 plus trois fois v 2. Quelles sont ses coordonnées dans U?
Cas général Base U = ( u 1,, u n ) Base V = ( v 1,, v n ) matrice UP U,V = V de passage ( u 1,, u n )P U,V = ( v 1,, v n ) x 1 conversion Coor U w =. = P U,V. = P U,V Coor V w x n De plus, P 1 U,V est la matrice de passage de V à U, autrement dit P 1 U,V = P V,U. On peut ainsi convertir les coordonnées d un vecteur dans la base U aux coordonnées du même vecteur dans la base V. Exo. Choisir deux vecteurs u 1, u 2 non-colinéaires en dimension deux (ils forment donc une base U). Puis former deux autres vecteurs v 1, v 2 à l aide des combinaisons linéaires des deux premiers, en prenant soin qu ils ne sont par co-linéaires (ils forment une nouvelle base V). y 1 y n
Exo. Choisir deux vecteurs u 1, u 2 non-colinéaires en dimension deux (ils forment donc une base U). Puis former deux autres vecteurs v 1, v 2 à l aide des combinaisons linéaires des deux premiers, en prenant soin qu ils ne sont par co-linéaires (ils forment une nouvelle base V). Demander à votre voisin de retrouver la matrice de passage de U vers V, et de trouver les coordonnées dans la base U du vecteur w ayant pour coordonnées 1 et -1 dans la base V. Même exo dans le SEV x y 2z = 0.