HPITRE 04 Les vecters. Objectif Le chapitre sr les vecters est en général n chapitre difficile por les élèves. Novel objet mathématiqe, le vecter apparaît natrellement en physiqe et pls précisément en mécaniqe : il permet en effet de représenter très rapidement le déplacement d n objet o bien les forces axqelles il est somis. Spposons en effet q à n instant donné, n atome soit somis à dex forces : comment alors prévoir le movement de l atome? Première force atome Dexième force Il apparaît natrellement plsiers notions : Dans qelle direction s exerce la force? Dans qelle sens? vec qelle intensité? L avantage des vecters sera de regroper ces trois informations en n sel objet, noté F. Nos apprendrons dans ce chapitre à manipler cet objet, à additionner des vecters, les sostraire nimation liée sr le site : Somme de vecters : ne petite animation qi pet aider à visaliser la somme de dex vecters. http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/somme-vecters/index.php Testez vos! l aide de ce fichier excel, testez réglièrement votre compréhension d cors : coordonnées, relation de hasles, points alignés, vecters colinéaires http://mathemitec.free.fr/animations/se-tester/vecters/activite-vecter.xls - 1 -
Note Tos les exercices o les démonstrations des propriétés de ce chapitre se trovent à la fin de ce docment. ctivité d introdction. ctivité 1. Dans n hypermarché, ne mère posse n caddie sivant la force F mais son enfant li oppose la résistance R sivant le schéma ci-dessos : 1 1 R addie F a. Le chariot avance-t-il (vers la droite) o recle t-il? b. vec qelle intensité se déplace-t-il (en fonction des nités d repère)? c. total, qelle force bilan sbit le chariot? d. Si la résistance de l enfant était trois fois pls élevée, qe se passerait-il? ctivité 2. On jette ne boteille dans ne rivière. haqe seconde, le corant entraîne la boteille sivant le vecter et le vent la déplace sivant le vecter V. a. «En gros», dans qelle direction va aller la boteille (répondre en tilisant les mots en bas, en hat, à gache o à droite)? boteille V Nos cherchons dans la site à être pls précis. b. 1. En spposant qe sel le corant s exerce, où se trovera la boteille a bot d ne seconde? 2. En li appliqant ensite la force vent, où se trovera la boteille? c. 1. En spposant qe sel le vent s exerce, où se trovera la boteille a bot d ne seconde? 2. En li appliqant ensite la force corant ne seconde, où se trovera la boteille? d. onclre sr la force bilan à l iss de chaqe seconde. - 2 -
Un petit rappel qi s avèrera tile par la site : Rappel sr les parallélogrammes : Les qatre propriétés sivantes sont éqivalentes : Soit D n qadrilatère non croisé. (1) D est n parallélogramme (2) ses diagonales se copent en lers miliex. (3) les cotés opposés sont parallèles. (4) les cotés opposés sont parallèles et de même longer. (5) dex cotés opposés sont parallèles et de même longer. I. Vecters - Généralités.. Définitions. Un vecter est n objet mathématiqe qi a 3 caractères : 1. Sa direction : c est-à-dire la droite qi le porte (o tote parallèle) 2. Son sens : c est-à-dire vers où se dirige-t-il sr cette droite qi le porte? Il n y a qe 2 sens possibles. 3. Sa norme : «la longer d vecter», notée (norme de ). Les vecters sont notés, v,... Exemple. Soit et dex points distincts d plan : le vecter a por direction la droite () [o tote parallèle], por sens celi de vers, por norme la longer. est appelé l origine de et son extrémité. Le vecter vers ). a même direction, même norme, mais sens opposé (de Dex vecters sont égax si et selement si (SSI) ils ont même direction, même sens et même norme. pplication Importante. D Le vecter ci-contre a plsiers représentants : par exemple = = D. En effet, ces 3 vecters ont même direction, même sens et même norme donc ils sont égax, même si il sont sités à des endroits différents. L avantage est qe por représenter n vecter, on pet choisir l origine (o l extrémité) où ça nos arrange! v Exercice I-1. Soit v le vecter ci-contre, et dex points d plan. Déterminer dex représentants de v, l n d origine, l atre d extrémité. - 3 -
Théorème II-2. Soit,, et D qatre points d plan. = D SSI D est n parallélogramme (attention à l ordre). e théorème est important : il nos dit qe por choisir les représentants d n vecter donné, il sffit de tracer des parallélogrammes. Le vecter nl, noté 0, est par définition le vecter de norme nlle. On ne parle pas de sa direction, ni de son sens. onséqence. est le vecter nl ssi la longer est nl ssi =. Voici ne application qi nos sera tile dans les exercices : pplication II-3. = M = M. Somme de vecters. Nos allons voir comment additionner des vecters. est PUISSNT (si si!) : on est en train «d additionner des directions»! Propriété (admise). On admettra assez facilement ce résltat : Por tot vecter, + 0 = 0 + =. Propriété (admise) : Relation de hasles. Por tot point,, on a : + =. - 4 -
Nos allons en dédire dex méthodes de constrction d n vecter somme : Soient et v dex vecters qelconqes : on cherche à tracer le vecter w = + v. v Méthode 1 : Relation de hasles. (1) on choisit n représentant v ' de v dont l origine est l extrémité de (en traçant n parallélogramme) (2) On appliqe la relation de hasles por tracer w = + v ' = + v pisqe v ' = v. v' Méthode 2 : Méthode d parallélogramme. (1) on choisit n représentant v ' de v de même origine qe celle de. (2) On trace n parallélogramme donc «et v» sont dex cotés conséctifs. (3) le vecter w est alors porté par la diagonale iss de ce sommet commn. w v v' w v. Vecters k., k réel. - Le vecter opposé à, noté, est le vecter de même direction, de même norme mais de sens contraire de. Exercice III-3. Soient et dex points distincts. (1) Tracer et. Qe remarqe-t-on? (2) Placer le point I tel qe I + I = 0. Qe remarqe-t-on? - 5 -
Propriété III-4. Por tot point, on a : = Por sostraire n vecter, on additionne son opposé : ainsi v = + ( v ).. Exercice III-4. Soit, et trois points non alignés d plan. (1) Tracer le vecter = (2) Placer le point D ter qe = D (3) Montrer qe est le milie de [D]. Soit k n nombre positif. Le vecter k de même direction, de même sens Si k est négatif, est le vecter Le vecter k est le vecter de même direction, de sens contraire et de norme k. de norme k = k. -2 4 Remarqe. On sait additionner o sostraire des vecters, on vient d apprendre à les mltiplier par n nombre, mais en acn cas, on ne sait les mltiplier o les diviser entre ex. On en dédit assez facilement qe : Propriété III-6. I milie de [] SSI I + I = 0 SSI 1 I = 2 ssi 1 I = 2. - 6 -
D. Vecters colinéaires. On dit qe dex vecters sont colinéaires s ils ont la même direction. Par convention, le vecter nl est colinéaire à tos les vecters. Par exemple, tos ces vecters sont colinéaires entre ex. POINT METHODE : (1) les vecters et sont colinéaires SSI () // () (2) les vecters et sont colinéaires SSI les points, et sont alignés. Propriété (admise). Dex vecters et v sont colinéaires SSI il existe n réel k tel qe = kv. II. Les Vecters Repérés. Nos travaillerons désormais dans n repère d plan. L objectif de cette section est dans n premier temps de simplifier la partie précédente à l aide de règle de calcl, pis le travail sr les coordonnées nos permettra d obtenir des résltats beacop pls exploitables dans les calcls. L objectif d n repère est de povoir se repérer!. Les Repères. onsidérons par exemple ne droite D : comment «préciser» la position d n point sr cette droite? Il sffit de considérer por cela dex points (O,) o n point et n vecter (O, i ). i O (O, i ) est n repère de D. Soit donc M n point de la droite : OM est donc colinéaire à i et d après la partie précédente, il existe n réel x tel qe OM = xi. On dit qe x est l abscisse de M (o d vecter OM ) et on dira qe - 7 -
onsidérons maintenant le plan P : comment «préciser» la position d n point dans ce plan? Sivant le même schéma de raisonnement, on obtient la définition sivante : Un repère (d plan) est n triplet (O, i, j ) où O est n point qelconqe d plan appelé origine d repère, i et j dex vecters non colinéaires (donc non nls). Remarqons qe por définir n repère, il sffit assi de se donner n triplet (,, ) de trois points non alignés. Repères particliers. - Repère orthogonal : (O, i, j ) où les vecters i et j sont orthogonax (cad lers directions sont perpendiclaires) - Repère orthonormé (o orthonormal) : c est n repère orthogonal où en pls, les vecters i et j ont la même norme.. oordonnées d n point o d n vecter. y j M a. Dans n repère (O, i, j ), dire qe M a por coordonnées (x ;y) o x signifie q on a l égalité vectorielle OM xi y j y = +. b. Dans n repère (O, i, j ), dire qe a por coordonnées (x ;y) o x signifie q on a l égalité vectorielle xi y j y = + O i x Propriété (admise). Dex vecters sont égax ssi ils ont les mêmes coordonnées. Propriété II-1. Soit R n repère d plan. a. Si x est de coordonnée y et v x ' de coordonnée y ' alors, + v a por coordonnée x x x b. Soit et. lors le vecter a por coordonnées x. y y y y x kx c. Soit et k n réel. lors k. y ky x + x y + y d. Le milie de [] a por coordonnées I ; 2 2. x + x ' y + y ' Propriété II-2. Soit R n repère orthonormé d plan. - 8 -
x a. La norme d vecter est donné par = x 2 + y 2. y x x b. Soit et. lors le vecter y y a por norme = ( x x ) ( y y ) 2 2 +.. oordonnées et colinéarité Propriété II-3. Dex vecters et v sont colinéaires si et selement si l ne des propriétés sivantes est vérifiée : (1) ils ont la même direction (2) il existe n réel k tel qe = k v (3) les coordonnées des vecters et v sont proportionnelles x x ' (4) on a x y x y = 0 avec et v : le nombre x y - yx s appelle le déterminant des y y ' dex vecters. Un petit ilan Utile OORDONNES DE FORMULTION MTHEMTIQUES x x y y EST DIRE oordonnées de l extrémité moins coordonnées de l origine. OORDONNEES DU MILIEU DE [] x + x ; y + y 2 2 On calcle la moyenne des coordonnées de et. EGLITE = v <=> x = x y = y Dex vecters sont égax si et selement si ils ont les mêmes coordonnées. MULTIPLITION PR UN REEL k kx ky Si on mltiplie n vecter par n réel k, alors ses coordonnées sont mltipliées par k. DDITION + v x + x y + y Por avoir les coordonnées de la somme de 2 vecters, on fait la somme des coordonnées de chacn. - 9 -
HPITRE 04 - Les vecters orrigé des démonstrations et des exercices. ctivité d introdction. orrigé ctivité 1. a. Le chariot avance vers la droite pisqe la force F q exerce la mère est pls grande qe la résistance R de l enfant. b. V qe F a ne intensité de 3 carreax et qe R a ne intensité opposée d n carrea, l intensité globale est de dex carreax vers la droite. c. On a le schéma sivant où est la force bilan qe sbit le chariot. addie d. Le chariot resterait immobile pisqe résistance et force R F de possée seraient de même intensité, de même direction mais de sens contraires. R F orrigé ctivité 2. a. En gros, la boteille ira en bas à droite. b1. On obtient la figre sivante : b2. On obtient à présent : V V c1. On obtient la figre sivante : b2. On obtient à présent : V V d. final, dans les dex cas, la force bilan est la sivante V - 10 -
v orrigé Exercice I-1. Voici ci-contre trois représentants d vecter v : ces 3 vecters ont même direction, même sens et même norme. Démonstration I-2. D Spposons qe = D : les droites () et (D) sont donc parallèles. Dans le qadrilatère (non croisé) D, les dex cotés opposés [] et [D] sont parallèles et de même longer donc d après le rappel, D est n parallélogramme. Spposons qe D soit n parallélogramme. Les dex cotés opposés [] et [D] sont parallèles et de même longer donc les vecters même direction, ont même sens et sont de même longer. insi, = D. et D e théorème est important : il nos dit qe por choisir les représentants d n vecter donné, il sffit de tracer des parallélogrammes. Démonstration I-3. évident. si = M = M omme milie de [M]. Enfin, et M alors ()//(M) donc M est sr la droite ()., on sait qe = M donc il y a dex points possibles : soit =M, soit est le ont le même sens donc M =. ont. Vecters k., k réel. Démonstration I-3. (1) On remarqe qe = : en effet ces dex vecters ont même direction (), même sens et même norme. I (2) omme I + I = 0 on a I = I I = I : par conséqent, (I) et (I) sont parallèles avec le point I en commn donc I est sr (). Par aillers, I = I donc I est le milie de []. - 11 -
Démonstration I-4. (1) On a = = + : on place le vecter avec comme origine pis on appliqe la relation de hasles por tracer (voir figre). (2) D est placé sr la figre, on traçant à partir de. (3) On a = D = + donc D = cad D + = soit encore + D =. D après la relation de hasles, on obtient D = donc est sr (D) et D = : est bien le milie de [D]. D II. Les Vecters Repérés. Démonstration II-1. a. Si x est de coordonnée y et v de coordonnée v = x ' i + y ' j + v = x + x ' i + y + y ' j. donc ( ) ( ) On a donc, par définition, + v de coordonnées b. On a = O + O = O O donc si x et y x ' y ' x + x ' y + y '. x, alors y alors, par définition = xi + y j et x = xbi + y j ( xi + y j) = ( xb x ) i + ( y y ) j donc a por coordonnées x. y y c. Repartir à novea de la définition. d. Partir de l égalité 1 I = et identifier les coordonnées de chaqe vecter. 2 Démonstration II-2. y j M a. Qitte à déplacer le vecter sr l origine d repère, on pet choisir OM comme représentant de. On appliqe alors le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d hypoténse [OM] et de cotés adjacents de longer x et y. b. Le résltat est immédiat d après le a et le fait qe a por x x coordonnées. y y O i x - 12 -
Démonstration II-3. (1) et (2) ont déjà été ves (3) d après le (2), = k v x = kx ' donc cad qe les coordonnées des dex vecters sont y = ky ' proportionnelles. x = kx ' x x ' (4) d après le (3) donc est n tablea de proportionnalité ce qi éqivat à dire y = ky ' y y ' qe le prodit en croix xy -yx est nl. - 13 -