COURS : COMPOSNTES D UN VECTEUR Dans toute la suite de ce cous, nous considéeons le plan muni d un epèe ( O, I, J ). Sauf avis contaie, ce epèe est quelconque. Pou plus de facilité, nous pésenteons les difféentes popiétés dans un epèe othonomal. Intoduction : Considéons, dans un epèe ( O, I, J ) les vecteus, CD, EF et GH. Cas du vecteu : Pou «alle» du point ( oigine du vecteu ) au point ( extémité du vecteu ), nous devons : - paallèlement à l axe (OI), c est à die en suivant l axe des abscisses, effectue un déplacement ves la doite ( sens positif ) de 3 unités, - paallèlement à l axe (OJ), c est à die en suivant l axe des odonnées, effectue un déplacement ves le haut ( sens positif ) de 2 unités. Nous dions que les composantes ( ou les coodonnées ) du vecteu sont ( 3 ; 2 ) et nous noteons : ( 3 ;2 ) Cas du vecteu CD :
Pou «alle» du point C ( oigine du vecteu ) au point D ( extémité du vecteu ), nous devons : - paallèlement à l axe (OI), c est à die en suivant l axe des abscisses, effectue un déplacement ves la doite ( sens positif ) de unités, - paallèlement à l axe (OJ), c est à die en suivant l axe des odonnées, effectue un déplacement ves le bas ( sens négatif ) de 1 unités. Pa suite, les coodonnées du vecteu CD sont ( ; - 1 ) Cas du vecteu EF : Pou «alle» du point E ( oigine du vecteu ) au point F ( extémité du vecteu ), nous devons : - paallèlement à l axe (OI), c est à die en suivant l axe des abscisses, effectue un déplacement ves la gauche ( sens négatif ) de 1 unités, - paallèlement à l axe (OJ), c est à die en suivant l axe des odonnées, effectue un déplacement ves le haut ( sens positif ) de unités. Pa suite, les coodonnées du vecteu EF sont ( - 1 ; ) Cas du vecteu GH : Pou «alle» du point C ( oigine du vecteu ) au point D ( extémité du vecteu ), nous devons : - paallèlement à l axe (OI), c est à die en suivant l axe des abscisses, effectue un déplacement ves la gauche ( sens négatif ) de unités, - paallèlement à l axe (OJ), c est à die en suivant l axe des odonnées, effectue un déplacement ves le bas ( sens négatif ) de 3 unités. Pa suite, les coodonnées du vecteu GH sont ( - ; - 3 ) Remaque : Comment détemine les coodonnées d un vecteu à pati des coodonnées des deux points ( extémités )? Dans note exemple, nous avons ( 2 ; 2 ) et ( 5 ; ). Comment obteni les coodonnées ( 3 ;2 ) que nous avons lues su le dessin? ( 5-2 ; - 2 ) ( 3 ;2 ) Popiété : Soit ( O, I, J ) un epèe du plan Soient et deux points du plan de coodonnées espectives ( x ; y ) et ( x ; y ). Les composantes ou coocdonnées du vecteu sont Remaque : ( x - x ; y Dans un epèe, un point est déteminé pa un couple de nombes appelé coodonnées. Pa conte un vecteu est défini pa un couple de nombes appelé composantes. Pou simplifie le vocabulaie, nous pouons cependant utilise le mot coodonnées pou un vecteu. - y )
ttention cependant à cetaines confusions possibles. utes notations : x - x x - x ( ente paenthèses ) ou ( un seul tait vetical ) y - y y - y Cette notation en colonne ( avec des paenthèses ou avec un seul tait vetical ), plus igoueuse que la notation en ligne, est peu utilisée à note niveau. Pa exemple, les vecteus, CD, EF et GH pésentés dans l intoduction ont pou composantes ou coodonnées : 3 2, CD -1, EF -1 et Remaque : Si un point a pou coodonnées ( 3 ; - 2 ), le nombe 3 s appelle l abscisse du point et le nombe 2 s appelle l odonnée du point. Pa conte, si un vecteu a pou composantes ou coodonnées ( 2 ; ), le nombe 2 s appelle, non pas abscisse, mais pemièe coodonnée ( ou pemièe composante ) et le nombe 3 s appelle, non pas odonnée, mais seconde coodonnée ( ou seconde composante ). Remaque : TTENTION L ORDRE! Remaque : Soit u un vecteu de coodonnées ( 3 ; 2 ). ( Notation : u ( 3 ;2 ) ) los que l emplacement d un point est pafaitement défini pa ses coodonnées, comment tace ce vecteu u dans un epèe? Contaiement à un point, un vecteu n est pas un objet géométique habituel. Il n a pas d emplacement défini comme un point. Le vecteu u peut donc ête placé à tout endoit du plan. Comme le choix nous est laissé, nous pouvons également le lie au point O ou à tout aute point intéessant pou la constuction que nous désions faie ( cf. application 2 et application 3 ) GH - - 3 Exemple : Soit, dans un epèe ( O, I, J ), les points ( - 1 ; 3 ), ( ; 1 ) et C( - 2 ; - 1 ). Quelles sont les coodonnées des vecteus, C et C? Coodonnées de : ( - ( -1 ) ;1-3 ) ( 5 ;-2 ) Coodonnées de C : C ( - 2 - ; -1-1 ) Coodonnées de C : - 1 - ( - 2 ) C 3 - ( -1 ) Toujous véifie su le dessin apès ( ou avant ) le calcul! C ( - 6 ;-2 ) C 1 ou Pas de signe d égalité C( 1 ; )
pplications : pplication 1 : Soit, dans un epèe ( othonomal ) ( O, I, J ), les points,, C et D de coodonnées : ( - 2 ; 3 ), ( 3 ; ), C( 2 ; 1 ) et D( - 3 ; 0 ). Monte que le quadilatèe CD est un paallélogamme. Pou démonte qu un quadilatèe est un paallélogamme, nous pouvons - démonte que les côtés opposés sont paallèles. - démonte que les diagonales ont même milieu.. - démonte que deux vecteus ( bien choisis ) sont égaux. ( - 2 ; 3 ) ( 3 ; ) C( 2 ; 1 ) D( - 3 ; 0 ). En utilisant cette denièe méthode, nous savons que : Si = DC ( ou D= C ;ou = CD ;ou D = C ) alos CD est un paallélogamme. Coodonnées de : ( 3 - ( - 2 ) ; - 3 ) ( 5 ;1 ) ( Véifiez su le dessin ) Coodonnées de DC : Nous avons DC ( 2 - ( - 3 ) ;1-0 ) DC ( 5 ;1 ) ( Véifiez su le dessin ) Donc = DC ( mêmes coodonnées ) CD est un paallélogamme. pplication 2 : Soit, dans un epèe ( othonomal ) ( O, I, J ), le point de coodonnées ( 3, - 1 ). Soit u le vecteu de coodonnées ( 2 ; ). Détemine les coodonnées du point M véifiant M = u Il est péféable, dans cet exemple, de place le vecteu u «à pati» du point. Nous désions détemine les coodonnées du point M. Pou l instant ces coodonnées sont inconnues. Nous les appelleons alos x et y. Soient ( x ; y ) les coodonnées du point M. Coodonnées du vecteu M : M ( x - 3 ; y - ( -1 ) ) M ( x - 3 ; y + 1 ) Coodonnées du vecteu u : u ( 2 ; ) ( coodonnées données pa le texte ) M u = donc x 3 = 2 et y + 1 = donc x = 2 + 3 et y = 1 donc x = 5 et y = 3 Les coodonnées du point M sont M( 5 ; 3 ) Véifiez su le dessin
pplication 3 : Soit, dans un epèe ( othonomal ) ( O, I, J ), le point de coodonnées ( - 3 ; ) et le vecteu u de coodonnées ( 5 ; - 1 ) ; Quelles sont les coodonnées de image de dans la tanslation de vecteu u? est l image de dans la tanslation de vecteu u. Donc ' = u Soient ( x ; y ) les coodonnées du point. Coodonnées du vecteu ' : ' ( x - ( - 3 ) ; y - ) '( x + 3 ; y - ) Coodonnées de u : ( données dans le texte ) u ( 5 ; -1 ) ' = u donc x + 3 = 5 et y = - 1 donc x = 5 3 = 2 et y = - 1 + = 3 Les coodonnées du point sont : ( 2 ; 3 ) Véifiez su le dessin Remaque : Tous les poblèmes de ce chapite ( détemination des coodonnées d un point ) auont une ésolution qui suiva un plan commun : Texte géométique est l image de dans la tanslation de vecteuu. donc Egalité vectoielle ' = u Taduction à l aide des coodonnées Soient ( x ; y ) les coodonnées du point. ' ( x - ( - 3 ) ; y - ) '( x + 3 ; y - ) u ( 5 ; -1 ) ' = u donc x + 3 = 5 et y = - 1 donc x = 5 3 = 2 et y = - 1 + = 3 Les coodonnées du point sont : ( 2 ; 3 ) pplication : Soient, dans un epèe ( othonomal ) ( O, I, J ), les points, et C de coodonnées : ( 2 ; ), ( - 3 ; 2 ) et C( - 2 ; - 1 ) Détemine les coodonnées du point D afin que CD un paallélogamme.
Emplacement du point D ( Texte géométique ) CD est un paallélogamme Donc ( Egalité vectoielle ) = DC ( ou D= C ;ou = CD ;ou D = C ) ( Taduction à l aide des coodonnées ) Coodonnées de : ( - 3-2 ;2 - ) ( 5 ; - 2 ) Coodonnées de DC : Soient ( x ; y ) les coodonnées du point D. DC ( - 2 - x ;-1 - y ) = DC donc - 2 x = - 5 et - 1 y = - 2 donc - x = - 5 + 2 = - 3 et - y = - 2 + 1 = - 1 donc x = 3 et y = 1 Les coodonnées du point D sont : D ( 3 ; 1 ) Véifiez su le dessin donc - 2 x = - 5 et - 1 y = - 2 donc - 2 + 5 = x et - 1 + 2 = y donc 3 = x et 1 = y pplication 5 : Soient, dans un epèe ( othonomal ) ( O, I, J ), les points et M de coodonnées ( - 2 ; 3 ) et M ( 1 ; 2 ) Détemine les coodonnées de symétique du point pa appot à M. M ( 1 - ( - 2 ) ;2-3 ) Coodonnées de M' : M ( 3 ;-1 ) ( Texte géométique ) est le symétique du point pa appot à M donc M est le milieu de [ ] Donc ( Egalité vectoielle ) M = M' ( Taduction à l aide des coodonnées ) Coodonnées de M :
Soient ( x ; y ) les coodonnées du point. M' ( x -1 ; y - 2 ) M = M' donc x 1 = 3 et y 2 = - 1 donc x = 3 + 1 = et y = - 1 + 2 = 1 Les coodonnées du point sont : ( ; 1 ) Véifiez su le dessin Popiété : Coodonnées de la somme de deux vecteus : Considéons deux vecteus u et v de composantes ( ou coodonnées ) u ( 2 ; ) v ( 3 ; - 2 ) Le vecteu u + v a pou composantes u + v ( 2 + 3 ; + ( - 2 ) ) u + v ( 5 ; 2 ) Popiété : Soit ( O, I, J ) un epèe du plan Soient u et v deux vecteus de coodonnées espectives ( x ; y ) et ( x ; y ). Les coodonnées du vecteu somme u + v sont : u + v ( x + x ; y + y ) pplication 6 : Soient, dans un epèe ( othonomal ) ( O, I, J ), les points,, C et D de coodonnées : ( - 1 ; 2 ) ; ( 3 ; 1 ), C( 1 ; - 2 ) et D( ; - 1 ) Détemine les coodonnées du point M véifiant M + M = CD ( Texte géométique ) ( Le poblème founit l égalité vectoielle ) ( Egalité vectoielle ) M + M = CD ( Taduction à l aide des coodonnées ) Soient ( x ; y ) les coodonnées du point M. Coodonnées de M : M ( x - ( -1 ) ; y - 2 ) M ( x + 1 Coodonnées de M : M ( x - 3 ; y -1 ) Coodonnées de M + M : M + M ( ( x + 1) + (x - 3 ) ;( y - 2 ) + ( ; y - 2 ) y -1 ) ) M + M ( x + 1 + x - 3 ; y - 2 + y -1 ) M + M ( 2 x 2 ; 2y - 3 ) Coodonnées de CD : CD ( 1 ; -1 - ( - 2 ) ) CD ( 3 ;1 ) M + M = CD donc 2x 2 = 3 et 2y 3 = 1 donc 2x = 3 + 2 et 2y = 1 + 3 5 donc x = et y = = 2 2 2 5 Les coodonnées du point M sont ( ; 2 ) 2