Éocé TD 3 : quelques exercices sur la récurrece Exercice 1 Soit (a ) 0 ue suite de ombres réels ou complexes. O pose b 0 = 1 et b = (1 a k ) pour 1. Motrer que b +1 = 1 Exercice O défiit ue suite (u ) 1 par u 1 = 1 et u +1 = 1 + u pour tout 1. Motrer que < u < + 1 pour tout. Exercice 3 a k b k pour tout. O se doe ue applicatio f de N das N telle que f( + 1) f(f()) + 1 pour tout de N. 1. Par récurrece sur, motrer m f(m) (et e particulier f().). E déduire que f est strictemet croissate. 3. Motrer que f() < + 1 pour tout, et e déduire l uique solutio f du problème. Exercice 4 Pour tout de N, calculer S = Exercice 5 Pour tout de N, calculer S = Exercice 6 (oli résultat) ( 1) k k. k (k + 1)!. Pour toute partie A fiie o vide de N, o ote p(a) l iverse du produit des élémets de A. Calculer u = p(a), où la somme est étedue aux parties o vides de E = 1,,..., }. Exercice 7 (astucieux) Soit u etier supérieur ou égal à. O choisit + ombres disticts das E = 1,..., }. Motrer que l au au mois est égal à la somme de deux autres. Est-ce ecore vrai si o e choisit seulemet + 1? Exercice 8 (les questios et 3 sot très difficiles!) O pose A0 = 1} B 0 = 0} et, pour tout 1 de N, A = A b +, b B } B = B a +, a A } 1. Écrire e Pytho deux foctios A et B permettat de former les esembles A et B. A4 = 1,, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 1,, 5, 6, 8, 31} Vérifier par exemple que B 4 = 0, 3, 5, 6, 9, 10, 1, 15, 17, 18, 0, 3, 4, 7, 9, 30} Touours e Pytho, et avec = 4, vérifier qu o a les égalités a k = b k, pour 0 k 4. a A 4 b B 4. Pour tout de N, établir que A et B formet ue partitio de 0, 1,..., +1 1} e deux parties de cardial, et qu o a les égalités : a k = b k, pour 0 k. 3. Pour tout de N, calculer d = a +1 b +1. mathprepa.fr Page 1
TD 3 : corrigé des exercices de l exercice 1 : La propriété est vraie pour = 0 car elle se réduit à b 1 = 1 a 0. Supposos qu elle soit vraie au rag 1, avec 1, c est-à-dire que b = 1 a k b k. Alors b +1 = (1 a k ) = (1 a ) (1 a k ) = (1 a )b = b a b = 1 a k b k a b = 1 de l exercice : a k b k La propriété est vraie si = car u = doc < u < 1 +. ce qui prouve la propriété au rag et achève la récurrece. Supposos que la double iégalité < u < 1 + soit vraie pour u certai. Puisque u >, o a u +1 = 1 + u < 1 + < 1 + + 1. L iégalité + 1 < u +1 équivaut à + 1 < 1 + u Elle équivaut doc à u < ou ecore à u < + 1 + 1 (par utilisatio de la quatité couguée.) + 1 1 Mais cette derière est ue coséquece immédiate de l hypothèse u < + 1. O a aisi prouvé la propriété au rag + 1, ce qui achève la récurrece. de l exercice 3 : 1. La propriété est évidemmet vraie pour = 0 puisque f(m) 0 pour tout de N. Supposos qu elle soit vraie pour u etier aturel (hypothèse de récurrece H.) O se doe alors etier m + 1 et il s agit de prouver que f(m) + 1. O a m 1 doc (d après H ) f(m 1) puis f(f(m 1)) (à ouveau H.) E écrivat f(m) = f ( (m 1) + 1 ), o e déduit f(m) f(f(m 1)) + 1 + 1. Cela démotre la propriété au rag + 1 et achève la récurrece.. Pour tout etier, o a f( + 1) f(f()) + 1. D autre part f(f()) f() (c est u cas particulier de la questio précédete.) Aisi f( + 1) f() + 1 pour tout, ce qui prouve que f est strictemet croissate. 3. O a f(f()) < f( + 1) pour tout, et l applicatio f est strictemet croissate. Il e résulte f() < + 1 doc f(). Mais o sait que f() pour tout. Fialemet N, f() =, doc f = Id N (qui est bie solutio du problème posé.) de l exercice 4 O trouve S 0 = 0, S 1 = 1, S = 3, S 3 = 6, S 4 = 10. ( + 1) Les premiers termes laisset supposer que pour tout de N, o a S = ( 1). ( + 1) Effectivemet, si S = ( 1), alors : S +1 = S + ( 1) +1 ( + 1) = ( 1) +1 ( + 1) ( ) + + 1 +1 ( + 1)( + ) = ( 1). de l exercice 5 : O écrit S = (k + 1) 1 (k + 1)! = +1 1 k! 1 k! = 1 1 ( + 1)!. k=1 mathprepa.fr Page
de l exercice 6 : La seule partie o vide de E 1 = 1} est A = 1} avec p(a) = 1. Doc u 1 = 1. Les seules parties o vides de E = 1, } sot A = 1}, B = } et C = 1, }. O a p(a) = 1, p(b) = p(c) =, doc u = 1 + 1 + 1 =. Les parties o vides de E 3 sot 1}, }, 3}, 1, }, 1, 3},, 3} et 1,, 3}. O e déduit u 3 = 1 + 1 + 1 3 + 1 + 1 3 + 1 6 + 1 6 = 3. Il semblerait qu o ait l égalité u = pour 1. O va le motrer par récurrece. La propriété est déà vraie au rag 1. Supposos qu elle le soit au rag. Les parties o vides A de E +1 se répartisset e trois catégories disoites : La partie A réduite à + 1}, pour laquelle o a p(a) = 1 + 1. Les parties o vides A de 1,..., } c est-à-dire de E. La somme des p(a) correspodates vaut bie sûr u =. Les A = B + 1}, où B E. Das ce cas p(a) = p(b) + 1. O e déduit que la somme des quatités p(a) correspodates est égale à Aisi u +1 = 1 + 1 + + = + 1, ce qui achève la récurrece. + 1 de l exercice 7 : La propriété est vraie si = (o choisit 4 ombres das 1,, 3, 4}). u + 1 = + 1. O suppose doc qu elle l est au rag, et o choisit + 3 etiers das E +1 = 1,,...,, + 1, + }. Supposos que + e fasse partie des etiers choisis. Alors o a choisi + 3 etiers das 1,,..., + 1} doc au mois + etiers das E. L hypothèse de récurrece ous dit que l u d eux est la somme des deux autres. Supposos que + fasse partie des etiers choisis. O costate que tous les etiers de 1,,..., + 1} sot das l u et l u seulemet des + 1 esembles suivats : 1, + 1},, },...,, + }, et + 1}. Comme il reste + etiers à désiger, o doit écessairemet choisir les deux élémets d au mois ue des paires précédetes. Là ecore o voit que deux des etiers choisis o ue somme égale à l u des detiers choisis (e l occurece +.) La propriété est fausse si o choisit + 1 etiers : peser à, + 1,..., }. de l exercice 8 : 1. L écriture des deux foctios A et B est très simple et repose sur ue récurrece croisée qui traduit exactemet la défiitio doée das l éocé. def A(): if == 0: retur 1} else: retur A(-1) b + ** for b i B(-1)} def B(): if == 0: retur 0} else: retur B(-1) a + ** for a i A(-1)} mathprepa.fr Page 3
O effectue la vérificatio demadée par l éocé : >>> A4 = A(4); A4 set([1,, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19, 1,, 5, 6, 8, 31]) >>> B4 = B(4); B4 set([0, 3, 5, 6, 9, 10, 1, 15, 17, 18, 0, 3, 4, 7, 9, 30]). O costate que les esembles A 4 et B 4 formet ue partitio de 0, 1,..., 5 1 = 31} e deux parties de cardial 4 = 16 : >>> le(a4), le(b4) (16, 16) >>> A4 B4 == set(rage(0,**5)) True >>> A4 & B4 set([]) L istructio suivate motre qu o a les égalités a A 4 a k = b B 4 b k, pour 0 k 4. [[sum(a**k for a i A4), sum(b**k for b i B4)] for k i rage(5)] [[16, 16], [48, 48], [508, 508], [13008, 13008], [3098760, 3098760]] E revache, ça e marche plus pour k = 5 : sum(a**5 for a i A4), sum(b**5 for b i B4) (8136978, 8146848) sum(a**5 for a i A4) - sum(b**5 for b i B4) 1880 Ce qui précède peut bie sûr être gééralisé à d autres valeurs de. O vérifie par exemple ici que la somme des puissaces k-ièmes des élémets de A(7) est égale à la somme des puissaces k-ièmes des élémets de B(7) pour tout k de 0, 1,..., 7}. def test(): A = A(); B = B() for k i rage(+): prit([k,sum(a**k for a i A), sum(b**k for b i B)]) >>> test(7) [0, 18, 18] [1, 1630, 1630] [, 779840, 779840] [3, 53684800, 53684800] [4, 1088801715, 1088801715] [5, 31864934400, 31864934400] [6, 507687713504030, 507687713504030] [7, 113498903395600, 113498903395600] [8, 577660100413368019, 57766031874516611] 3. La démostratio se fait par récurrece sur. La propriété est évidete si = 0. O se doe maiteat das N et o suppose que la propriété est vraie au rag 1. A = A B A = a +, a A } O sait que avec B = B A B = b +, b B } mathprepa.fr Page 4
Par hypothèse, A et B sot de cardial et partitioet E = 0,..., 1}. Aisi A et B sot ecore de cardial, et ils partitioet E =,..., +1 1}. O e déduit que les esembles A = A B et B = B A sot de cardial et qu ils formet ue partitio de E = E E = 0,..., +1 1}. D autre part, pour tout k de 0,..., } : ( ) ( ) a k b k = a k + (b + ) k b k + (a + ) k a A b B b B a A k ( ) ( k ) ( ) = (k ) b a b k a k b B a A b B a A Si 0 k <, cette expressio se réduit à 0 e vertu de l hypothèse de récurrece. k ( ) ( k ) Si k =, la somme (k ) b a se réduit à b b B a A b B O a doc l égalité a b = 0, ce qui achève la récurrece. 4. O repred le calcul précédet. Pour tout de N, o a : d = a +1 b +1 +1 ( ) ( + 1 ) ( = (+1 ) b a b +1 b B a A b B } } Notos S cette somme O sait que les différeces b a sot ulles pour 0 <. b B a A ( ) ( ) Aisi S = ( + 1) b a + b +1 a +1. b B a A b B a A } } } } pour = pour = + 1 Il reste d = ( + 1) d. a A a Avec d 0 = 1, ue récurrece évidete doe d = ( 1) ( + 1)! (+1)/ pour tout de N. a A a +1 ) mathprepa.fr Page 5