Pavage du plan Lycée Louis Lapicque EPINAL BOULAY Florian REMY Quentin ETIENNE Maxime NESTI Valentin celui qui lit cette phrase appelle le numéro 06-80-56-7-59!!!
Sommaire Introduction...3 I Définition...4 A - Définition du pavage...4 B - Pavages de parallélogrammes...4 C - Travail sur les polygones réguliers...5 II Présentation de figures...8 A - Quadrilatères...8 Quadrilatères concaves...9 Quadrilatères convexes...0 3 Quadrilatères croisés... B - Hexagones... C - Pentagones...4 Pentagones réguliers...4 Pentagones avec lesquels il est possible de paver...5 Conclusion...7
Introduction Le projet MATh EN JEANS nous fut présenté par Stéphane Gaussent et nos travaux ont été dirigés par Stéphane Passerat. Nous avons choisi le pavage du plan car c'est un problème concret auquel on peut trouver des applications au quotidien, par exemple lorsque l'on tente de carreler une pièce. Nous avons travaillé une heure par semaine jusqu'en Mai. De plus ce problème ne nécessite pas de grandes connaissances mais plutôt une logique surhumaine =). Seules les bases géométriques et mathématiques sont nécessaires. Le voyage à Paris nous a également motivé pour rencontrer d'autres «chercheurs» comme nous et voir leurs travaux. Nous avons fait deux animations à Paris devant une trentaine de personnes à chaque fois. Nous avons tout d abord trouvé une relation permettant de paver avec des polygones réguliers. Puis, nous avons démontré que l on pouvait paver avec n importe quel quadrilatère (convexe et concave). Ensuite, nos recherches se sont portées sur quelques hexagones et pentagones. Enfin, nous avons remarqué qu un pavage de parallélogrammes peut-être pris comme un repère. 3
I Définition A - Définition du pavage Un pavage est une façon de remplir un espace à l aide d un motif répétitif sans trou ni débordement. B - Pavages de parallélogrammes À partir d un parallélogramme ABCD, on crée un repère (A; AB ; AD ). Les autres parallélogrammes pavant le plan s obtiennent par des translations de vecteurs X AB et Y AD avec X et Y des valeurs entières. Soit P x ; y dont les coordonnées sont données dans le repère (A; AB ; AD ) (voir figure page suivante). Nous allons essayer de déterminer les translations nécessaires pour obtenir le parallélogramme recouvrant P. La partie entière de x correspond à la valeur de X. La partie entière de y correspond à la valeur de Y. Dans le cas particulier où x et/ou y sont entiers, la valeur de X et/ou de Y auront deux valeurs possibles : soit la valeur de x et/ou de y, soit x- et/ou y-. 4
C - Travail sur les polygones réguliers Théorème : - Autour d un point au centre d un polygone on obtient une addition de triangle isocèle. Avec p le nombre de triangles isocèles et n le nombre de côtés du polygone, on a la relation : p n = équivaut à = p n - Avec x l angle entre les côtés qui se touchent et n le nombre de côtés des polygones : =x n 5
Démonstrations : Tout polygone régulier s inscrit dans un cercle et peut se diviser en plusieurs triangles isocèles ; on obtient : x= n y =y y x = (d après la relation qui dit que la somme des angles d un triangle est égale à π) 6
y= n Pour pouvoir paver avec un polygone régulier on doit avoir la relation : y p =, donc : p = n p = n = n p = p n = p n ---------------Avec n le nombre de côtés d un polygone : n est forcément supérieur ou égal à 3. Donc la valeur minimale de n est 3 et la valeur maximale de est. 3 n Pour trouver p le nombre de polygones réguliers qui puisse faire un angle de lorsqu on les accole, on a l équation suivante : = p n n 3 donc d après la décroissance de la fonction inverse : n 3 Et on résout l inéquation suivante permettant de déterminer la valeur de p maximale : 7
n p 3 p 3 p 3 p 6 p D après la décroissance de la fonction inverse : 6 p Il peut seulement y avoir 6 polygones au maximum de placer autour d un point pour former un angle de π. p / n 3 4 5 6 3 4 5 6 0,6666 0,5833 0,5333 6667 3333 3333 0,5 0,5833 0,4666 3333 0,5 0,45 667 0,5333 0,3666 3333 0,45 0,4 6667 0,4666 0,3666 0,3333 0,5 667 6667 3333 II Présentation de figures A - Quadrilatères 8
Quadrilatères concaves Pour tracer une frise avec des quadrilatères concaves : Tracer un quadrilatère ABCD concave et quelconque. Effectuer des symétries centrales de centre les milieux de chaque cotés du quadrilatère pour paver le plan. ---------------Lorsqu on fait une symétrie centrale de 80 pour chaque côté on peut reconnaître la forme de la frise. Puisque la figure initiale 0 ne bouge pas suivant n importe quelle symétrie, la figure obtenue par symétrie (quel que soit le centre, milieu d'un des quatre côtés) n est pas transformée. De plus la symétrie centrale ne déforme ni les 9
angles, ni les longueurs et donc à chaque fois la figure initiale est juste déplacée. Quadrilatères convexes Pour paver le plan avec des quadrilatères convexes : tracer un quadrilatère ABCD convexe et quelconque. tracer par symétrie centrale de centre le milieu de [ AB ], puis celle de centre le milieu de [ BC ], puis celle de centre le milieu de [ BD ' ' ] 0
Démontrons que EFGH est un parallélogramme : Soit G le milieu de [ AD ], H le milieu de [ AB ], E le milieu de [ BC ] et F celui de [ CD ] : GH= GA AH FE= FC CE GH= DA AB FE= DC CB GH= DA AB FE= DC CB GH= DB FE= DB Les vecteurs GH et FE sont égaux, donc le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. ----------------Cette démonstration est aussi valable pour les quadrilatères concaves : ainsi du pavage du plan à l'aide de quadrilatères concaves ou convexes, on se ramène toujours au pavage du plan à l'aide de parallélogrammes. 3 Quadrilatères croisés
Après quelques essais, je me suis rendu compte qu on peut paver un plan avec des quadrilatères croisés. Explications : on aligne ces parallélogrammes en accolant leurs côtés de même longueur. On se rend compte à un certain moment que l on obtient des hexagones à côtés opposés parallèles, comme le montre le dessin. En effet pour pouvoir paver un plan avec ces parallélogrammes, il faut avoir des côtés de même longueur ; j ai essayé avec des côtés de longueurs différentes ce fut un échec.
B - Hexagones On peut paver le plan avec ces deux différents types d'hexagones : Hexagone avec 4 cotés opposés égaux et parallèles deux à deux. Hexagone avec les cotés égaux deux à deux avec un angle de 0 entre. Démonstration : Soit un hexagone ABCDEF avec 4 cotés opposés parallèles et égaux deux à deux. Effectuer des symétries centrales ayant pour centre les milieux de chaque coté de l hexagone pour paver le plan. 3
Soit un hexagone ABCDEF avec des cotés égaux deux à deux avec un angle de 0 entre. Donc l angle A=0. Pour obtenir un pavage du plan avec de tels hexagones, il faut faire des symétries centrales de 0 à chaque point ayant un angle de 0 dans l hexagone. Comme les côtés autour de l angle de 0 sont égaux, les côtés et les angles correspondent et le pavage du plan est possible. On retrouve dans ce pavage un parallélogramme. On a trouvé d autre type d hexagones pouvant paver le plan mais sans trouver toutes les conditions requises à ce pavage : 4
Hexagones avec cotés opposés égaux et parallèles. Hexagones à angles droits opposés. C - Pentagones Pentagones réguliers Selon la formule précédemment établie : x = 80 360 5 5
= 08 360 3,33, le résultat n est pas entier, on en déduit qu on 08 ne peut pas paver le plan avec des pentagones réguliers. Et comme Pentagones avec lesquels il est possible de paver Il est possible de paver avec des pentagones si la somme de deux angles adjacents est égale à 80. Ceci est valable dans le cas de pentagones concaves mais aussi de pentagones convexes, car lorsqu on accole deux de ces pentagones au niveau de chaque côté dont la somme des deux angles adjacents est égale à 80, on obtient un hexagone dont les côtés opposés sont égaux parallèles (on a déjà étudier le pavage à l'aide de ce type d hexagones). 6
Si un pentagone a quatre cotés égaux, deux angles droits et que chacun de ces cotés touche un angle droit, on peut paver en effectuant des rotations de depuis un point où il y a un angle droit. On peut paver avec des pentagones issus d un hexagone régulier, sachant qu il est possible de paver avec ces derniers : il faut tracer trois segments partant du centre du cercle dans lequel est inscrit l hexagone, qui ne passeront pas par l un des sommets de l hexagone et dont les angles les séparant les uns des autres sont tout trois égaux à 0. 7
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Conclusion L'atelier MATh EN JEANS nous a apporté beaucoup en méthode et en rigueur de travail. De plus nous avons travaillé depuis le début dans la détente ce qui a permis d'avancer tranquillement dans nos recherches. Les relations avec les professeurs ne sont pas les mêmes qu'en cours ce qui est plus agréable pour travailler. Une magnifique expérience que nous allons réitérer l'année prochaine, si les professeurs nous acceptent. Merci aux professeurs =) 9