L2PC 2/22 Aide-mémoire et exercices corrigés USTV M33 Algèbre linéaire G Faccanoni Dernière mise-à-jour Lundi 9 janvier 22
Attention, ce polycopié est encore en cours de développement, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs Merci de me les communiquer Gloria Faccanoni IMATH Bâtiment U-38 T 33 ()4 94 4 23 8 Université du Sud Toulon-Var Avenue de l université B gloriafaccanoni@univ-tlnfr 83957 LA GARDE - FRANCE i http://faccanoniuniv-tlnfr 2
Table des matières Matrices 5 2 Systèmes linéaires 2 3 Espaces vectoriels 43 4 Applications linéaires 69 3
Définition : matrice Matrices On appelle matrice m n (ou d ordre m n) à coefficients dans K tout tableau de m lignes et n colonnes d éléments de K L ensemble des matrices m n à coefficients dans K est noté M m,n (K) Si m = n on dit qu on a une matrice carrée L ensemble des matrices carrées n à coefficients dans K est noté M n (K) Une matrice m est appelée vecteur-colonne et une matrice n est appelée vecteur-ligne On convient de noter a ij l élément de la matrice situé sur la i-ème ligne et j-ème colonne ( i m et j n) Une matrice A est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets : a a j a n a a j a n A = a i a ij a in ou A = a i a ij a in a m a mj a mn a m a mj a mn ou encore A = (a ij ) i m j n ou A = [a ij ] i m j n Nous travaillerons avec K = R, Q ou Z La matrice est carrée et d ordre 3 4 2 A = 3 4 5 Définition : addition de matrices Si A = (a ij ) i m et B = (b ij ) i m sont deux matrices m n, on définit l addition des matrices par j n j n A + B = (a ij + b ij ) i m j n La matrice nulle, notée O m,n, est la matrice dont tous les éléments sont nuls La matrice opposée d une matrice A est notée A Si A = (a ij ) i m alors A = ( a ij ) i m j n j n La somme de deux matrices d ordres différents n est pas définie Soient les matrices On obtient A = C = A + B = 3 4 2, B = 3 5 3 + 6 4 + 2 + 9 = + 2 3 + 5 + 3 6 9 2 3 9 5 3 3 8 5
Matrices Lundi 9 janvier 22 Propriété Si A, B et C sont des matrices de même ordre, alors nous avons A + B = B + A (commutativité), A + (B + C) = (A + B) + C (associativité) Soient les matrices On a alors et A = A + B = B + A =, B = 3 + 6 5 = 3 + 2 + 6 + 5 = 2 + 3 + 6 5 2 7 6 5 7 6 5 Soient les matrices On obtient On obtient aussi A = A + B = B + C =, B = 3 7 6 5 6 3 4 5 6 5 2 C = et (A + B) + C = et A + (B + C) = 2 2 4 7 4 7 5 7 4 7 5 Définition On appelle matrice diagonale toute matrice carrée D = (d ij ) i,j n telle que i j = d ij = Si on note d i = d ii, une matrice diagonale est de la forme d d 2 D n = d n d n On la note Diag(d, d 2,, d n ) La matrice identité d ordre n, notée I n, est la matrice diagonale Diag(,,, ) Définition On dit qu une matrice carrée A = (a ij ) i,j n est triangulaire supérieure (resp inférieure) si i > j = a ij = (resp si i < j = a ij = ) Une matrice triangulaire supérieure et inférieure est une matrice diagonale Définition : produit d une matrice par un scalaire Si A = (a ij ) i m est une matrice m n et si α K, on définit le produit d une matrice par un scalaire par j n α A = (α a ij ) i m j n 6 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 Matrices Propriété Soient A et B deux matrices de même ordre et α K un scalaire, on a α (A + B) = α A + α B (distributivité) On obtient A = 3 4 2, α = 3 5 2 3 /2 2 C = α A = /2 3/2 5/2 Définition : produit de matrices Si A = (a ik ) i m matrices par k n est une matrice m n et si B = (b kj ) k n est une matrice n p, on définit le produit des j p ( n ) A B = a ik b kj k= i m j p C est une matrice m p B : n lignes p colonnes a i b j a ik b kj b b j b p b k b kj b kp b n b nj b np + + + + a in b nj a a k a n a i a ik a in a m a mk a mn c c j c p c i c ij c ip c m c mk c mp A : m lignes n colonnes C = A B : m lignes p colonnes G Faccanoni 7
Matrices Lundi 9 janvier 22 Soient les deux matrices A = ( 3 ) 2 2 et B = 2 3 2 La matrice A est d ordre 2 3, la matrice B est d ordre 3 3, donc la matrice produit A B est une matrice d ordre 2 3 : + 3 + 2 + 3 2 + ( ) + 3 3 + ( 2) 7 9 A B = = + + 2 2 + 2 + 2 ( ) + 3 + 2 ( 2) 2 Propriété Si A M m,n (K), B M n,p (K), C M p,q (K), alors A (B C) = (A B) C (associativité) ; A( (B + C) = A B + A C (distributivité) ; Si A M n (K) alors A I n = I n A = A Attention A B B A en général (non commutativité) Prenons le cas général avec A d ordre m p et B d ordre p n Le produit A B est défini, c est une matrice d ordre m n Qu en est-il du produit B A? Il faut distinguer trois cas : si m n le produit B A n est pas défini ; si m = n mais p n, le produit A B est défini et c est une matrice d ordre m n tandis que le produit B A est défini mais c est une matrice d ordre p p donc A B B A ; si m = n = p, A et B sont deux matrices carrées d ordre m Les produits A B et B A sont aussi carrés et d ordre m mais là encore, en général, A B B A ; Soient les matrices On obtient A B = A =, B = 3 ( 4 ) 6 8 5 6 5 2 et B A = 9 6 5 2 Définition : matrice transposée Si A = (a ij ) i m j n est une matrice m n, on définit la matrice transposée de A, notée A T, par A = (a ji ) j n i m C est donc une matrice n m obtenue en échangeant lignes et colonnes de la matrice initiale Soit la matrice A d ordre 2 3 suivante A = 5 3 7 8 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 Matrices Sa transposée est la matrice A T d ordre 3 2 suivante 3 A = 5 7 Propriété (A T ) T = A si A M m,n (K), (αa) T = αa T si α K et A M m,n (K), (A + B) T = A T + B T si A, B M m,n (K), (A B) T = B T A T si A M m,n (K) et B M n,p (K) Définition : matrice symétrique, matrice anti-symétrique Une matrice A est dite symétrique si A T = A Une matrice A est dite anti-symétrique si A T = A 5 9 A = 5 4 9 7 5 9 B = 5 4 9 7 est une matrice symétrique est une matrice anti-symétrique Définition : matrice inversible, matrice singulière Une matrice carrée A M n (K) est dite inversible ou régulière si elle est symétrisable pour le produit matriciel, autrement dit s il existe une matrice B M n (K) telle que A B = B A = I n Une matrice non régulière est dite singulière L inverse, s il existe, d une matrice A est noté A Proposition Soit A et B deux matrices inversibles, alors A l est aussi et ( A ) = A, A T l est aussi et ( A T ) = ( A ) T, A B l est aussi et (A B) = B A Définition : trace Si A est une matrice carrée d ordre n, on définit la trace de A comme la somme des éléments de la diagonale principale : n tr(a) = a ii i= La trace de la matrice A suivante est tr(a) = a + a 22 + a 33 = + 2 + ( ) = 2 2 2 3 2 G Faccanoni 9
Matrices Lundi 9 janvier 22 Propriété Si A et B sont deux matrices carrées d ordre n, alors tr(a T ) = tr(a), tr(a + B) = tr(a) + tr(b) Si A est une matrice m n et B une matrice n m, alors tr(a B) = tr(b A) Définition Opérations élémentaires sur les matrices Les opérations (ou manipulations) élémentaires sur les lignes d une matrices sont la multiplication d une ligne par un scalaire non nul : l addition d un multiple d une ligne à une autre ligne : L i αl i ; L i L i + αl j ; l échange de deux lignes : L i L j Ces transformations sont équivalentes à la multiplication à gauche (pré-multiplication) par la matrice inversible obtenue en appliquant à la matrice identité la transformation correspondante Les opérations analogues sur les colonnes sont la multiplication d une colonne par un scalaire non nul : C i αc i ; l addition d un multiple d une colonne à une autre colonne : C i C i + αc j ; l échange de deux colonnes : C i C j Elles sont équivalentes à la multiplication à droite (post-multiplication) par la matrice inversible obtenue en appliquant à la matrice identité la transformation correspondante Théorème En partant d une matrice A, l utilisation d un nombre fini d opérations élémentaires conduit à une matrice équivalente Calcul pratique d un déterminant Définition : déterminant d une matrice d ordre n Soit A une matrice carrée d ordre n Étant donné un couple (i, j) d entiers, i, j n, on note A ij la matrice carrée d ordre n obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A On défini le déterminant de A, et on le note det(a), par récurrence sur l ordre de la matrice A : si n = : le déterminant de A est le nombre si n > : le déterminant de A est le nombre det(a) = det(a) = a, n ( ) i+j a ij det(a ij ) quelque soit la ligne i, i n, j= G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 Matrices ou, de manière équivalente, le nombre det(a) = n ( ) i+j a ij det(a ij ) quelque soit la colonne j, j n i= Astuce Pour se souvenir des signes de ces deux formules, on peut remarquer que la distribution des signes + et avec la formule ( ) i+j est analogue à la distribution des cases noirs et blanches sur un damier : + + + + + + Soit la matrice alors a a A = 2 a 2 a 22 det(a ) = a 22, det(a 2 ) = a 2, det(a 2 ) = a 2, det(a 22 ) = a, donc on peut calculer det(a) par l une des formules suivantes : a det(a ) a 2 det(a 2 ) = a a 22 a 2 a 2 (développement suivant la ligne i = ) a 2 det(a 2 ) + a 22 det(a 22 ) = a 2 a 2 + a 22 a (développement suivant la ligne i = 2) a det(a ) a 2 det(a 2 ) = a a 22 a 2 a 2 (développement suivant la colonne j = ) a 2 det(a 2 ) + a 22 det(a 22 ) = a 2 a 2 + a 22 a (développement suivant la colonne j = 2) Ces formules donnent bien le même résultat Soit la matrice alors a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a22 a det(a ) = det 23 = a a 32 a 22 a 33 a 23 a 32, 33 a2 a det(a 2 ) = det 23 = a a 3 a 2 a 33 a 23 a 3, 33 a2 a det(a 3 ) = det 22 = a a 3 a 2 a 32 a 22 a 3, 32 a2 a det(a 2 ) = det 3 = a a 32 a 2 a 33 a 3 a 32, 33 a a det(a 22 ) = det 3 = a a 3 a a 33 a 3 a 3, 33 a a det(a 23 ) = det 2 = a a 3 a a 32 a 2 a 3, 32 a2 a det(a 3 ) = det 3 = a a 22 a 2 a 23 a 3 a 22, 23 a a det(a 32 ) = det 3 = a a 2 a a 23 a 3 a 2, 23 a a det(a 33 ) = det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2, 22 donc on peut calculer det(a) par l une des formules suivantes : a det(a ) a 2 det(a 2 ) + a 3 det(a 3 ) (développement suivant la ligne i = ) G Faccanoni
Matrices Lundi 9 janvier 22 a 2 det(a 2 ) + a 22 det(a 22 ) a 23 det(a 23 ) (développement suivant la ligne i = 2) a 3 det(a 3 ) a 32 det(a 32 ) + a 33 det(a 33 ) (développement suivant la ligne i = 3) a det(a ) + a 2 det(a 2 ) a 3 det(a 3 ) (développement suivant la colonne j = ) a 2 det(a 2 ) a 22 det(a 22 ) + a 32 det(a 32 ) (développement suivant la colonne j = 2) a 3 det(a 3 ) + a 23 det(a 23 ) a 33 det(a 33 ) (développement suivant la colonne j = 3) Quelques calculs montrent que ces formules donnent bien le même résultat Astuce Il convient d utiliser cette définition après avoir fait apparaître sur une même rangée le plus possible de zéro sachant que si deux colonnes (resp deux lignes) sont identiques ou proportionnelles, alors det(a) = ; si on échange deux colonnes (resp deux lignes), alors le déterminant est changé en son opposé ; on ne change pas un déterminant si on ajoute à une colonne (resp une ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (resp lignes) Soit la matrice alors A = 2 3 5 2 2 det(a ) = det =, det(a 3 5 2 ) = det =, det(a 5 3 ) = det =, 3 det(a 2 ) = det = 3, det(a 3 5 22 ) = det = 5, det(a 5 23 ) = det = 3, 3 det(a 3 ) = det = 2, det(a 2 32 ) = det =, det(a 33 ) = det = 2, 2 donc on peut calculer det(a) par l une des formules suivantes : det(a ) + det(a 2 ) + det(a 3 ) = + + = det(a 2 ) + 2 det(a 22 ) + det(a 23 ) = + 2 5 + = formule pratique car il n y a qu un déterminant à calculer det(a 3 ) + 3 det(a 32 ) + 5 det(a 33 ) = + + 5 2 = det(a ) + det(a 2 ) + det(a 3 ) = + + = formule pratique car il n y a qu un déterminant à calculer det(a 2 ) + 2 det(a 22 ) + 3 det(a 32 ) = + 2 5 + = det(a 3 ) + det(a 23 ) + 5 det(a 33 ) = + + 5 2 = Déterminant d une matrice d ordre 2 Soit A une matrice carrée d ordre n = 2 a a det(a) = det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22 + a a 2 a 2 a 22 Soit la matrice alors A = 5 7 4 3 det(a) = 5 3 7 4 = 5 28 = 3 2 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 Matrices Règle de Sarrus Soit A une matrice carrée d ordre n = 3 a a 2 a 3 det(a) = det a 2 a 22 a 23 = a a 22 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 33 a3 a 22 a 3 + a 23 a 32 a + a 33 a 2 a 3 a 3 a 32 a 33 + + + a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 3 Soit la matrice alors A = 2 3 5 det(a) = ( 2 5 + + ) ( 2 + 3 + 5 ) = Soit la matrice alors 5 7 A = 4 3 2 2 6 det(a) = (5 3 6 + 4 + 2 7 2) ( 3 2 + 2 5 + 7 4 6) = 62 Propriété Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux Théorème A est inversible si et seulement si det(a) Propriété det(a T ) = det(a), det(a ) = det(a), det(a B) = det(a) det(b) G Faccanoni 3
Matrices Lundi 9 janvier 22 Définition : rang Le rang d une matrice quelconque A est égal au plus grand entier s tel que l on puisse extraire de A une matrice carrée d ordre s inversible, c est-à-dire de déterminant non nul Les opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d une matrice ne modifient pas le rang Soit A la matrice suivante A = 3 2 3 Le rang de A est 2 : A est d ordre 2 3 donc s min{2, 3} donc s =, ou 2 ; comme le déterminant de la sous-matrice composée de la première et de la deuxième colonne est nul, on ne peut pas conclure ; comme le déterminant de la sous-matrice composée de la première et de la troisième colonne est non nul, alors s = 2 Soit A la matrice suivante A est d ordre 3 3 donc s 3 le déterminant de A est donc s ( 3 le déterminant de la sous-matrice 5 A = 5 ) est 5, donc s = 2 4 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 Matrices Exercice Soient les matrices Solution A = Trouver une matrice C telle que A 2B C = O Exercices 3 2 4 et B = 2 2 Trouver une matrice D telle que A + B + C 4D = O On cherche C telle que C = A 2B, ie c c 2 c 2 c 22 = 3 2 4 2 2 = 3 2 2 2 2 2 4 2 = c 3 c 32 2 2 A 2B C = O 5 2 2 3 2 On cherche D telle que D = 4 (A + B + C) = 4 (A + B + A 2B) = 2 A 4B, ie d d 2 d 2 d 22 = 3 2 4 2 2 ( 3) 4 2 2 4 2 7/4 /2 = 2 4 2 4 2 4 4 = 7/4 d 3 d 32 2 4 2 ( ) 4 /4 3 /4 Exercice 2 Effectuer les multiplications suivantes 2 3 5 3 8 2 7 5 3 4 Solution 2 ( 3 5 ) 2 4 3 2 3 4 ( 3 5 ) 3 3 4 2 3 ({}}{ {}} { ) 2 3 5 3 8 2 7 5 3 4 2 4 ({}} ){ 3 2 + 3 + 5 3 + + 5 ( 5) 3 ( ) + + 5 3 3 + 8 + 5 4 = 2 2 + 7 3 + 2 + 7 + ( 5) 2 ( ) + 7 + 3 2 + 7 8 + 4 9 22 3 28 = 25 2 5 56 3 3 {}} { {( }} ){ 2 {( }} ){ 3 5 4 = 3 2 + ( 4) + 5 ( 3) = 2 3 3 { }} {{ 3 }} { 2 ({}} ){ 2 ( 3) 2 2 5 6 4 3 5 = 4 ( 3) 4 4 5 = 2 2 3 3 ( 3) 3 3 5 9 5 3 3 G Faccanoni 5
Matrices Lundi 9 janvier 22 Exercice 3 On dit que deux matrices A et B commutent si A B = B A Trouver toutes les matrices qui commutent avec A : A = 3 5 Solution Comme et il faut que On cherche B telle que 3 b b 2 b 3 b b 2 b 3 b 2 b 22 b 23 = b 2 b 22 b 23 3 5 b 3 b 32 b 33 b 3 b 32 b 33 5 b = b, b 2 = 3b 2, b 3 = 5b 3, 3b 2 = b 2, 3b 22 = 3b 22, 3b 23 = 5b 23, 5b 3 = b 3, 5b 32 = 3b 32, 5b 33 = 5b 33, 3 b b 2 b 3 b 2 b 22 b 23 = b b 2 b 3 3b 2 3b 22 3b 23 5 b 3 b 32 b 33 5b 3 5b 32 5b 33 b b 2 b 3 b 3b 2 5b 3 b 2 b 22 b 23 3 = b 2 3b 22 5b 23 b 3 b 32 b 33 5 b 3 3b 32 5b 33 κ B = κ 2 avec κ, κ 2, κ 3 R κ 3 Exercice 4 Pour quelle valeur de x la trace de la matrice A est minimale? Et pour quelle valeur de x est-elle maximale? A = 2x3 4 3x 2 2 5 6 2x Solution Notons y: x tr(a) ; on a y(x) = 2x 3 + 3x 2 2x Une brève étude de la fonction montre que lim x ± y(x) = ± y (x) = 6(x 2 + x 2) y est croissante pour x < 2 et x >, décroissante pour 2 < x <, par conséquent on a un maximum local pour x = 2 et un minimum local pour x = E 6 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 Matrices Calculer a, b, c et d tels que 3 2 8 a b = I c d 2 Solution Comme 3 2 8 il faut que a + 3c =, b + 3d =, 2a + 8c =, 2b + 8d =, a b a + 3c b + 3d = c d 2a + 8c 2b + 8d a b = c d Exercice 6 Janvier 2 Trouver pour quelles valeurs de t la matrice suivante est inversible t + 3 5 t 3 6 6 t + 4 4 3/2 /2 Solution t + 3 det 5 t 3 ( 6 6 t + 4 ) ( ) = (t + 3) (t 3) (t + 4) + 5 ( 6) + 6 ( ) (t 3) 6 + ( 6) (t + 3) + (t + 4) ( ) 5 La matrice est inversible pour tout t R \ { 4, 2, 2 } Exercice 7 Calculs de déterminants Soit a, b et c trois réels quelconques, calculer les déterminants suivants : D = det a b c a 2 b 2 c 2 2 D 2 = det + a + a + a = t 3 + 4t 2 4t 6 = (t + 4)(t 2)(t + 2) Solution Pour calculer un déterminant comportant des paramètres, il est souvent intéressant de faire apparaître des zéros dans une ligne ou une colonne (ne pas oublier que si l on permute deux lignes ou deux colonnes d un déterminant, on change le déterminant en son opposé) C 2 C 2 C C D = det a b c 3 C 3 C det a b a c a b a c a = det a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 ( ) = (b a)(c 2 a 2 ) (c a)(b 2 a 2 ) = (b a)(c a) (c + a) (b + a) = (b a)(c a)(c b); + a D 2 = det + a = ( + a) 3 + + ( + a) ( + a) ( + a) = ( + a) 3 3( + a) + 2 + a ( ) = ( + a) ( + a) 2 + ( + a) 2 = ( + a) ( + a) + 2 ( + a) = a 2 (3 + a) G Faccanoni 7
Matrices Lundi 9 janvier 22 Exercice 8 Calculer les ( déterminants ) des matrices suivantes : 3 A = 7 5 2 B = 2 3 3 5 5 7 2 2 3 4 3 C = 2 4 5 2 4 3 3 Solution det(a) = 5 3 ( 7) = 26 2 En développant par rapport à la dernière ligne qui contient deux zéros on trouve det(b) = ( ) 3+2 2 3 ( 2) det = 2 (2 7 3 5) = 2 5 7 3 On fait apparaître des zéros par opérations élémentaires : 2 3 4 2 3 4 L det(c) = det 2 4 5 2 L 2 L L 3 L 3 +L 2 4 3 det = 3 6 3 3 3 = ( ) + (2) det 3 6 3 = 2 det 3 6 3 3 3 ( ) = 2 ( ) + 3 det = 2 (3 ( 4) 4) = 24 4 4 L 2 L 2 3L L 3 L 3 +3L = 2 det 3 4 4 Exercice 9 Octobre 2 κ Pour quelles valeurs de κ R la matrice A = est inversible? 2 3 2 Calculer le rang de la matrice B = 2 3 8 4 2 2 2 8 3 Calculer le rang de la matrice C = 2 4 3 2 4 Calculer le déterminant de la matrice D = 2 3 7 4 3 2 4 5 2 3 4 5 Calculer le déterminant de la matrice E = 7 2 5 3 4 Solution La matrice A est inversible pour κ 3 2 car det(a) = 3 2κ 2 Sans faire de calcul on peut déjà affirmer que rg(b) 3 ( Comme ) det(b) = (sans faire de calcul, il suffit 2 de remarquer que C 3 = 4C 2 ), alors rg(b) 2 Comme det = 3, on conclut que rg(b) = 2 2 8 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 Matrices 3 Sans faire de calcul on peut déjà affirmer que rg(c) 3 ( Comme ) det(c) = (sans faire de calcul, il suffit 2 de remarquer que L 2 = 4L ), alors rg(c) 2 Comme det = 3, on conclut que rg(c) = 2 2 4 det(d) = det 2 3 7 4 2 3 4 3 2 = det 3 3 4 = 4 det = 6 4 4 5 2 3 4 5 det(e) = det 7 2 5 2 3 4 3 = det 3 3 4 = 4 det = 6 4 4 G Faccanoni 9
2 Systèmes linéaires Définition : système linéaire Soit n, p, des entiers Un système linéaire n p est un ensemble de n équations linéaires à p inconnues de la forme a x + + a p x p = b, (S) a n x + + a np x p = b n Les coefficients a ij et les secondes membres b i sont des éléments donnés de K Les inconnues x, x 2,, x p sont à chercher dans K Le système homogène associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les b i par Une solution de (S) est un p-uplet (x, x 2,, x p ) qui vérifie simultanément les n équations de (S) Résoudre (S) signifie chercher toutes les solutions Un système est impossible, ou incompatible, s il n admet pas de solution Un système est possible, ou compatible, s il admet une ou plusieurs solutions Deux systèmes sont équivalents s ils admettent les mêmes solutions Écriture matricielle Si on note x = x x p b = b b n le système (S) est équivalent à l écriture matricielle Ax = b A = a a p a n a np Méthodes de résolution Définition : système échelonné Un système (S) est en escalier, ou échelonné, si le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant Autrement dit, un système est échelonné si les coefficients non nuls des équations se présentent avec une sorte d escalier à marches de longueurs variables marquant la séparation entre une zone composée uniquement de zéros et une zone où les lignes situées à droite de l escalier commencent par des termes non nuls, comme dans l exemple suivant de 5 équations à 6 inconnues : 5x x 2 x 3 +2x 4 +x 6 = b 3x 3 x 4 +2x 5 = b 2 x 5 +x 6 = b 3 5x 6 = b 4 = b 5 Réduction Quand un système contient une équation du type x + + x p = b, 2
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 si b le système est impossible, si b =, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit à un système équivalent à (S) dit système réduit Définition : matrice augmentée Si on ajoute le vecteur-colonne des seconds membres b à la matrice des coefficients A, on obtient ce qu on appelle la matrice augmentée que l on note [A b] Méthode du pivot de Gauss Soit A = (a ij ) i n la matrice des coefficients du système (S) En permutant éventuellement deux lignes du j p système, on peut supposer a ii (appelé pivot de l étape i) Étape j : pour i > j, les transformations L i L i a ij L j a jj éliminent l inconnue x j dans les lignes L i En réitérant le procédé pour i de à n, on aboutit à un système échelonné Soit le système linéaire Résolution par la méthode du pivot de Gauss : x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 2x +3x 2 +4x 3 +x 4 = 2 3x +4x 2 +x 3 +2x 4 = 3 4x +x 2 +2x 3 +3x 4 = 4 x +2x 2 +3x 3 +4x 4 =, 2x +3x 2 +4x 3 +x 4 = 2, 3x +4x 2 +x 3 +2x 4 = 3, 4x +x 2 +2x 3 +3x 4 = 4 L 2 L 2 2L x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L x 2 2x 3 7x 4 = 2x 2 8x 3 x 4 = 7x 2 x 3 3x 4 = x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 x 2 2x 3 7x 4 = 4x 3 +4x 4 = 4x 3 +36x 4 = x +2x 2 +3x 3 +4x 4 = L 4 L 4 +L 3 x 2 2x 3 7x 4 = 4x 3 +4x 4 = 4x 4 = donc x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = 2 Résolution par la méthode du pivot de Gauss en écriture matricielle : [A b] = 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 2 3 4 2 7 2 8 7 3 2 3 4 2 7 4 4 4 36 L 4 L 4 +L 3 2 3 4 2 7 4 4 4 donc x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = Définition : rang Le nombre d équations du système réduit en escalier obtenu par la méthode de Gauss est le rang r de la matrice A, ou du système (S) 22 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires Théorème Un système Ax = b de m équations à n inconnues est compatible si et seulement si rg(a) = rg([a b]) Si le système a n équations et n inconnues, la matrice A est carrée d ordre n Si rg(a) = n (ie si det(a) ) alors rg(a) = rg([a b]) et la solution est unique 2 Si rg(a) = rg([a b]) < n il y a une infinité de solutions 3 Si rg(a) rg([a b]) il n y a pas de solution 2 Si le système a m équations et n inconnues avec m > n alors 2 Si rg(a) = rg([a b]) = n la solution est unique 22 Si rg(a) = rg([a b]) < n il y a une infinité de solutions 23 Si rg(a) rg([a b]) il n y a pas de solution 3 Si le système a m équations et n inconnues avec m < n alors 3 Si rg(a) = rg([a b]) m < n il y a une infinité de solutions 32 Si rg(a) rg([a b]) il n y a pas de solution Remarque Soit A = (a ij ) i n la matrice des coefficients du système (S) Alors j p rg(a) min { n, p } rg(a) rg([a b]) min { n, p + } n équations et n inconnues : 2 3 2 A = 3 7, b = 26 On a rg(a) = 3 (car det(a) ) donc rg(a) = rg([a b]) et la solution est 6 4 2 4 unique 2 3 4 2 A = 3 7, b = 26 On a rg(a) = rg([a b]) = 2 < 3 donc il y a une infinité de solutions 3 2 7 22 2 3 4 3 A = 3 7, b = 26 On a rg(a) = 2 rg([a b]) = 3 donc il n y a pas de solution 3 2 7 2 2 m équations et n inconnues avec m > n : 2 4 4 2 A = 2 3, b = 8 On a rg(a) = rg([a b]) = 2 donc la solution est unique 4 4 2 2 2 6 22 A = 2 3 4, b = 3 On a rg(a) = rg([a b]) = 2 < 3 donc il y a une infinité de solutions 2 3 2 3 2 2 2 6 23 A = 2 3 4, b = 4 On a rg(a) = 2 rg([a b]) = 3 donc il n y a pas de solution 2 3 2 3 3 m équations et n inconnues avec m < n : 2 2 2 3 A =, b = On a rg(a) = rg([a b]) = 2 < 3 donc il y a une infinité de solutions 2 2 2 2 32 A =, b = On a rg(a) = rg([a b]) = 2 donc il n y a pas de solution 4 2 2 4 G Faccanoni 23
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 Méthode de Gauss-Jordan Dans cette variante de la méthode du pivot de Gauss, à chaque étape on fait apparaître des zéros à la fois au-dessus et en-dessous du pivot Étape j : pour i j, les transformations L i L i a ij a jj L j éliminent l inconnue x j dans les lignes L i En réitérant le procédé pour i de à n, on aboutit à un système diagonal Résoudre le système linéaire par la méthode de Gauss-Jordan [A b] = 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L 2 3 4 x 2 3 4 x 2 3 4 2 x 3 = 2 3 4 2 3 x 4 4 L L L 3 /4 L 2 L 2 L 3 /2 L 4 L 4 +L 3 2 3 4 2 7 2 8 7 3 4 7 4 4 4 L L +2L 2 L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 L L +L 4 /4 L 2 L 2 +9L 4 /4 L 3 L 3 +4L 4 /4 2 7 4 4 4 36 4 4 donc x =, x 2 =, x 3 =, x 4 = Définition : système de Cramer Un système est dit de Cramer s il a une solution, et une seule Propriété Considérons un système carré d ordre n à coefficients réels Le système est de Cramer si une des conditions équivalentes suivantes est remplie : A est inversible ; 2 rg(a) = n ; 3 le système homogène Ax = admet seulement la solution nulle Méthode de Cramer La solution d un système de Cramer d écriture matricielle Ax = b est donnée par x j = det(a j) det(a), j n où A j est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la j-ème colonne par la colonne des seconds membres b Cette formule est cependant d une utilité pratique limitée à cause du calcul des déterminants qui est très couteux E 24 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires On veut résoudre le système linéaire a a 2 x = a 2 a 22 x 2 par la méthode de Cramer On a a a A = 2, det(a) = a a 2 a a 22 a 2 a 2, 22 b a A = 2, det(a b 2 a ) = b a 22 a 2 b 2, 22 a b A 2 =, det(a a 2 b 2 ) = a b 2 b a 2, 2 donc ( b x = b a 22 a 2 b 2 a a 22 a 2 a 2, x 2 = a b 2 b a 2 a a 22 a 2 a 2 b 2 ) On veut résoudre le système linéaire 2 x 2 2 y = 3 2 z par la méthode de Cramer On a 2 A = 2, det(a) = 2, 3 2 2 2 A =, det(a ) = 6, 2 2 2 A 2 = 2, det(a 2 ) =, 3 2 A 3 = 2, det(a 3 ) =, 3 2 donc x = 6 2 = 3, y = 2 = 5, z = 2 = 5 Définition : cofacteur Soit A une matrice carrée d ordre n Étant donné un couple (i, j) d entiers, i, j n, on note A ij la matrice carrée d ordre n obtenue en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A On appelle cofacteur de l élément a ij le nombre ( ) i+j det(a ij ) Soit A = ( a c d b ) Alors la matrice des cofacteurs de A est la matrice ( d c b a ) Calcul de A A étant inversible, pour obtenir A il suffit de résoudre le système Ax = b qui admet pour solution x = A b On peut alors calculer A en résolvant n systèmes linéaires de termes sources (,,,, ), (,,,, ),, G Faccanoni 25
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 (,,,, ) Les méthodes suivantes résolvent ces n systèmes linéaires simultanément Première méthode On calcul la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A ; 2 on transpose la comatrice de A ; 3 on divise par det(a) Cette méthode est quasi-impraticable dès que n > 3 Deuxième méthode La matrice A est inversible si et seulement si on obtient par opérations élémentaires sur les lignes de A une matrice triangulaire sans zéros sur la diagonale ; non inversible si et seulement si on obtient une matrice triangulaire avec un zéro sur la diagonale Si A est inversible, on effectue les mêmes opérations sur la matrice [A I n ] jusqu à obtenir [I n A ] : [A I n ] Opérations élémentaires [I n A ] Soit A = ( a c d b ) avec det(a) = ad bc Alors A = ad bc ( d b c a ) Calculer l inverse de la matrice Première méthode A = On calcule la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice de A : ( ) + ( ) +2 ( ) +3 comatrice = ( ) 2+ ( ) 2+2 ( ) 2+3 2 2 = 2 2 ; ( ) 3+ ( ) 3+2 ( ) 3+3 2 2 2 on transpose la comatrice de A : 3 on divise par det(a) : Deuxième méthode [A I 3 ] = L 2 L 2 /2 2 2 comatrice T = 2 2 ; 2 2 A = 2 2 2 2 = 4 2 2 L 2 L 2 +L L 3 L 3 L /2 /2 /2 /2 /2 /2 2 2 2 /2 /2 2 2 L 3 L 3 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 L L L 2 L 3 L 3 +2L 2 L L +L 3 /2 /2 /2 /2 2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 = [I 3 A ] 26 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires Factorisation LU La méthode du pivot de Gauss transforme le système Ax = b en un système équivalent (c est-à-dire ayant la même solution) de la forme Ux = y, où U est une matrice triangulaire supérieure et y est un second membre convenablement modifié Enfin on résout le système triangulaire Ux = y Si on a plusieurs systèmes dont seul le second membre change, il peut être utile de factoriser une fois pour toute la matrice A et résoudre ensuite des systèmes triangulaires On factorise la matrice A M n (R) sous la forme d un produit de deux matrices A = LU ainsi calculées for k = to n do for i = k + to n do l ik a(k) ik a (k) kk for j = k + to n do a (k+) ij end for end for end for a (k) ij l (k) ik a(k) kj À la fin de la procédure les éléments de la matrice triangulaire supérieure U sont donné par u ij = a ij pour i =,, n et j = i,, n Dans l algorithme on n a pas calculé les éléments diagonaux de L car ils sont tous égaux à 2 Une fois calculées les matrices L et U, résoudre le système linéaire consiste simplement à résoudre successivement 2 le système triangulaire inférieur Ly = b par l algorithme y = b, y i = i b i l ij y j, l l j=i+ j= i = 2,, n 22 le système triangulaire supérieure Ux = y par l algorithme x n = y n, x i = n y i u nn u nn u ij x j, j = n,, Attention Dans cet algorithme les pivot a (k) kk, doivent être différents de zéro Si la matrice est inversible mais un pivot est zéro, on peut permuter deux lignes avant de poursuivre la factorisation L algorithme modifié s écrit alors for k = to n do for i = k + to n do Chercher r tel que a (k) rk = max r=k,,n a (k) et échanger la ligne k avec la ligne r l ik a(k) ik a (k) kk for j = k + to n do a (k+) ij a (k) ij l (k) ik a(k) kj rk end for end for end for Une fois calculées les matrices L et U et la matrice des permutations P (ie la matrice telle que PA = LU), résoudre le système linéaire consiste simplement à résoudre successivement le système triangulaire inférieur Ly = Pb puis le système triangulaire supérieure Ux = y P G Faccanoni 27
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 La factorisation LU permet de calculer le déterminant de A facilement : n det(a) = det(l) det(u) = u kk k= Proposition Le calcul explicite de l inverse d une matrice peut être effectué en utilisant la factorisation LU comme suit En notant X l inverse d une matrice régulière A M n (R), les vecteurs colonnes de X sont les solutions des systèmes linéaires Ax i = e i, pour i =,, n En supposant que PA = LU, où P est la matrice de changement de pivot partiel, on doit résoudre 2n systèmes triangulaires de la forme Ly i = Pe i, Ux i = y i, pour i =,, n c est-à-dire une suite de systèmes linéaires ayant la même matrice mais des seconds membres différents Soit les systèmes linéaires 2 3 4 x 2 3 4 x 2 3 4 2 x 3 = 2 3 4 2 3 x 4 4 et 2 3 4 x 2 3 4 x 2 3 4 2 x 3 = 4 2 3 x 4 Résoudre les systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss 2 Factoriser la matrice A (sans utiliser la technique du pivot) et résoudre les systèmes linéaires 3 Calculer le déterminant de A Résolution par la méthode du pivot de Gauss du premier système [A b] = 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L L 4 L 4 +L 3 2 3 4 2 7 2 8 7 3 2 3 4 2 7 4 4 4 L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 2 3 4 2 7 4 4 4 36 donc x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = Résolution par la méthode du pivot de Gauss du second système (A b) = 2 3 4 2 3 4 3 4 2 4 2 3 L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L L 4 L 4 +L 3 2 3 4 2 7 2 8 2 7 3 3 2 3 4 2 7 4 4 4 4 L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 2 3 4 2 7 4 4 4 36 4 donc x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = x 2 2x 3 7x 4 = 4x 3 + 4x 4 = 4x 4 = 4 = x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = 28 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires 2 Factorisation de la matrice A : 2 3 4 L 2 L 2 2L 2 3 4 L 2 3 4 3 L 3 3L L L 4 L 4 4L 3 4 2 2 2 7 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 3 2 8 2 4 2 3 4 7 3 2 3 4 2 3 4 2 2 7 3 2 4 4 L 4 L 4 +L 3 2 2 7 3 2 4 4 4 7 4 36 4 7 4 donc 2 3 4 L = 2 3 2 U = 2 7 4 4 4 7 4 Pour résoudre le premier système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b y 2 y 2 3 2 y 3 = 2 3 = y =, y 2 =, y 3 =, y 4 = 4 7 y 4 4 et Ux = y 2 3 4 x 2 7 x 2 4 4 x 3 = = x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = 4 x 4 Pour résoudre le second système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b y 2 y 2 3 2 y 3 = = y =, y 2 =, y 3 =, y 4 = 4 4 7 y 4 et Ux = y 2 3 4 x 2 7 x 2 4 4 x 3 = = x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = 4 x 4 4 3 Le déterminant de A est u u 22 u 33 u 44 = ( ) ( 4) 4 = 6 UUUUUUUUUUUUUUUU Astuces UUUUUUUUUUUUUUU Astuce Soit r le rang du système (S) et p le nombre d inconnues Si r = p, (S) a une unique solution, si r < p, (S) a une infinité de solutions Les r inconnues qui figurent au début des r équations issues de la méthode du pivot de Gauss sont les inconnues principales Elles peuvent se calculer de façon unique en fonction des p r inconnues Le choix des inconnues principales d un système est arbitraire, mais leur nombre est toujours le même Astuce Pour résoudre un système (S) de m équations à n inconnues où m > n on considère un sous-système carré (S ) de n équations à n inconnues et on résout ce système : si (S ) n admet pas de solution, alors (S) non plus ; si (S ) admet une unique solution (c, c 2,, c n ), alors on vérifie si cette solution vérifie les autres m n équations du système (S) : si oui, alors (S) admet l unique solution (c, c 2,, c n ), si non, alors (S) n admet pas de solution ; si (S ) admet une infinité de solutions, on cherche parmi ces solutions celles qui vérifient également les autres équations de (S) G Faccanoni 29
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 Exercices Exercice 2 Vrai ou faux? Un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues dont les secondes membres sont nuls a des solutions non nulles 2 Un système linéaire de 4 équations à 3 inconnues dont les secondes membres sont nuls n a que la solution nulles Solution Vrai : le système est de rang 3 2 Faux Contrexemple : un système linéaire où toutes les équations sont identiques Exercice 22 Résoudre le système linéaire x + 2x 2 x 3 = 2, x 2x 2 3x 3 = 6, x + 4x 2 + 4x 3 = 3 Solution x +2x 2 x 3 = 2, L 2 L 2 L x +2x 2 x 3 = 2, x +2x 2 x 3 = 2, L x 2x 2 3x 3 = 6, 3 L 3 L L 4x 2 2x 3 = 8, 3 L 3 +L 2 /2 4x 2 2x 3 = 8, x +4x 2 +4x 3 = 3 2x 2 +5x 3 = 4x 3 = 3 donc x 3 = 3 4, x 2 = 9 8 et x = 7 2 Exercice 23 Résoudre le système linéaire x + x 2 + 3x 3 = 2, 2x x 2 + 2x 3 = 8, 4x + x 2 4x 3 = 5 Solution x +x 2 +3x 3 = 2 L 2 L 2 +2L x +x 2 +3x 3 = 2 x +x 2 +3x 3 = 2 L 2x x 2 +2x 3 = 8 3 L 3 +4L L x 2 +8x 3 = 6 3 L 3 5L 2 x 2 +8x 3 = 6 4x +x 2 4x 3 = 5 5x 2 +8x 3 = 63 32x 3 = 7 donc x 3 = 7 32, x 2 = 47 4 et x = 43 32 Exercice 24 Résolution d un système 2 2 avec paramètre Discuter et résoudre le système { (4m 2 )x + (2m ) 2 y = (2m + ) 2, (S m ) (2m + )x + (4m )y = 4m 2, d inconnue (x, y) R 2 et de paramètre m R 3 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires Solution Comme le système contient un paramètre, on commence par calculer le déterminant de la matrice associée : 4m 2 (2m ) 2 2m + 4m = (4m2 )(4m ) (2m ) 2 (2m + ) = 2m(2m )(2m + ) Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc (S m ) est un système de Cramer si et seulement si m R \ { 2,, } 2 Étude du cas m = 2 Le système s écrit { 4y =, (S /2) 3y =, Étude du cas m = Le système s écrit { x + y =, (S ) x y =, { x R, y = { y R, x = + y Étude du cas m = 2 Le système s écrit (S/2) { = 4, 2x + y =, qui n admet pas de solutions Étude du cas m R \ { 2,, } 2 On utilise la méthode de Cramer : l unique solution est donnée par x = 2m(2m )(2m + ) (2m + )2 (2m ) 2 4m 2 4m = 2(2m2 5m +, 2m y = 2m(2m )(2m + ) 4m2 (2m + ) 2 2m + 4m 2 (2m + )(2m 3) = 2m Donc si on note S l ensemble des solutions, { (x, ) x R } si m = /2, { ( + y, y) y R } si m =, S = { } si m =, 2(2m 2 5m+ sinon 2m, (2m+)(2m 3) 2m Exercice 25 Résoudre le système linéaire 2u 4v+3w= 2v w= u +v 3w= 6 Solution On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2u 4v+3w= 2u 4v +3w= 2u 4v+3w= L 2v w= 3 L 3 +L /2 L 2v w= 3 L 3 +L 2 /2 2v w= u +v 3w= 6 v 3 2 w= 3/2 2w= 6 donc w = 3, v = 2 et u = E G Faccanoni 3
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 Résoudre le système linéaire 2x y +z= x 2y +z= x +y 2z= Solution On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2x y +z= L 2 L 2 +L /2 2x y +z= 2x y +z= L x 2y +z= 3 L 3 +L /2 L 3/2y+3/2z= 3 L 3 +L 2 5/2y+3/2z= x +y 2z= 3/2y 3/2z= z= donc z = κ R, y = z et x = z Exercice 27 Résoudre le système linéaire 2x y +4t=2 2x+3y+3z+2t=4 x+2y +z +t=7 x z +t= Solution On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2x y +4t=2 L 2 L 2 +L 2x y +4t=2 L 3 L 3 +L /2 2x+3y+3z+2t=4 L 4 L 4 L /2 2y+3z+6t=6 3 x+2y +z +t=7 2 y +z+3t=8 x z +t= 2y z t= 2 2x y L 3 L 3 3L 2 /4 L 4 L 2 L 2 /4 donc t = 4, z = 2, y = 2 et x = +4t=2 2y +3z +6t=6 5 4 z 3 2 t= 4 7 4 z 5 2 t= 6 L 4 L 4 7L 3 /5 2x y +4t=2 2y +3z +6t=6 5 4 z 3 t= 4 2 5 t= 2 5 Exercice 28 Résoudre le système linéaire par la méthode du pivot de Gauss 2 3 4 x 2 3 4 x 2 3 4 2 x 3 = 4 2 3 x 4 Solution [A b] = 2 3 4 2 3 4 3 4 2 4 2 3 L 2 L 2 2L L 3 L 3 3L L 4 L 4 4L L 3 L 3 2L 2 L 4 L 4 7L 2 2 3 4 2 7 2 8 2 7 3 3 2 3 4 2 7 4 4 4 36 4 32 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires donc x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = x 2 2x 3 7x 4 = 4x 3 + 4x 4 = 4x 4 = 4 L 4 L 4 +L 3 2 3 4 2 7 4 4 4 4 = x 4 =, x 3 =, x 2 =, x = Exercice 29 Résolution d un système 3 3 avec paramètre Discuter et résoudre le système ( + a)x + y + z =, (S a ) x + ( + a)y + z =, x + y + ( + a)z =, d inconnue (x, y, z) R 3 et de paramètre a R Solution Comme le système contient un paramètre, on commence par calculer le déterminant de la matrice associée : + a + a + a = ( + a)3 + + ( + a) ( + a) ( + a) = ( + a) 3 3( + a) + 2 ( ) = ( + a) ( + a) 2 + ( + a) 2 = ( + a) ( + a) + 2 ( + a) = a 2 (3 + a) Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc (S a ) est de Cramer si et seulement a R \ { 3, } Notons S l ensemble des solutions Étude du cas a = 3 Le système s écrit (S 3 ) 2x + y + z =, x 2y + z =, x + y 2z =, On utilise la méthode du pivot de Gauss : 2x y +z= L 2 L 2 +L /2 2x L x 2y +z= 3 L 3 +L /2 x y 2z= donc z = κ R, y = z et x = z, ainsi Étude du cas a = Le système s écrit y +z= 3 2 y+ 3 2 z= 3 2 y 3 2 z= S = { (κ, κ, κ) κ R } (S ) donc z = κ R, y = κ 2 R et x = κ κ 2, ainsi x + y + z =, x + y + z =, x + y + z =, L 3 L 3 +L 2 S = { ( κ κ 2, κ 2, κ ) (κ, κ 2 ) R 2 } 2x y +z= 5 2 y+ 3 2 z= z= Étude du cas a R \ { 3, } Il s agit d un système de Cramer homogène, donc l unique solution est (,, ) : S = { (,, ) } G Faccanoni 33
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 Exercice 2 Résolution d un système 3 3 avec paramètre Discuter et résoudre le système x + ay + (a )z =, (S a ) 3x + 2y + az = 3, (a )x + ay + (a + )z = a, d inconnue (x, y, z) R 3 et de paramètre a R Solution Comme le système contient un paramètre, on commence par calculer le déterminant de la matrice associée : a a 3 2 a a a a + = 2(a + ) + a2 (a ) + 3a(a ) 2(a ) 2 a 2 3a(a + ) = a 2 (a 4) Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc Notons S l ensemble des solutions Étude du cas a = Le système s écrit donc z = κ R, y = 3 3κ 2 et x = κ, ainsi (S a ) est de Cramer si et seulement a R \ {, 4 } (S ) { ( S = x z =, 3x + 2y = 3, x + z =, κ, 3 3κ, κ) κ R 2 } Étude du cas a = 4 Le système s écrit (S 4 ) x + 4y + 3z =, 3x + 2y + 4z = 3, 3x + 4y + 5z = 4, On utilise la méthode du pivot de Gauss : x+4y+3z=, L 2 L 2 3L x +4y+3z=, x +4y+3z=, L 3x+2y+4z=3, 3 L 3 3L L y 5z=3, 3 L 3 8L 2 y 5z=3, 3x+4y+5z=4, 8y 4z=4, =6 La dernière équation est impossible donc S = Étude du cas a R \ { 3, } On utilise la méthode du pivot de Gauss : x+ay+(a )z=, L 2 L 2 3L x +ay +(a )z=, L 3 L 3 (a )L 3x +2y +az=3, (2 3a)y +(3 2a)z=3, (a )x+ay+(a + )z=a, (2 a)ay+(3 a)az=a, L 3 L 3 (2 a)a (2 3a) L x +ay +(a )z=, 2 (2 3a)y+(3 2a)z=3, On obtient z = 4 a(a 4), y = a 6 a(a 4), x = a2 2a 4 a(a 4), ainsi S = a2 (a 4) 3a 2 { ( a 2 2a 4, a 6 ) } a(a 4) a(a 4), 4 a(a 4) 4a z= 3a 2 34 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires Exercice 2 Résolution de systèmes non carrées Résoudre le système x + y + z = 3, x + 2y + 3z = 6, (S) x y + 2z =, 3x + 2y 4z =, d inconnue (x, y, z) R 3 Solution (S) étant un système de 4 équations à 3 inconnues, on considère le sous-système carré d ordre 3 x + y + z = 3, (S ) x + 2y + 3z = 6, x y + 2z =, qu on peut résoudre par la méthode du pivot de Gauss x +y +z=3, x+2y+3z=6, x y+2z=, L 2 L 2 L L 3 L 3 +L x+y +z=3, y+2z=3, 3z=3, qui admet l unique solution (,, ) On étudie alors si elle est aussi solution de l équation de (S) qui n apparaît pas dans (S ) : pour (x, y, z) = (,, ) on a 3x + 2y 4z = donc le triplet (,, ) est solution de (S) et c est l unique Exercice 22 Résolution de systèmes non carrées Résoudre le système x + 2y + z =, 2x + y z =, (S) x + y + 2z = 2, x + y + z = 4, d inconnue (x, y, z) R 3 Solution (S) étant un système de 4 équations à 3 inconnues, on considère le sous-système carré d ordre 3 x + 2y + z =, (S ) 2x + y z =, x + y + 2z = 2, qu on peut résoudre par la méthode du pivot de Gauss x+2y +z=, L 2 L 2 2L x+2y +z=, L 2x +y z=, 3 L 3 +L 3y 3z=3, x +y+2z= 2, 3y+3z= 3, x+2y +z=, L 3 L 3 +L 2 3y 3z=3, =, qui admet une infinité de solutions de la forme ( + κ, κ, κ) pour κ R Cherchons parmi ces solutions celles qui vérifient l équation de (S) qui n apparaît pas dans (S ) : pour (x, y, z) = ( + κ, κ, κ) on a x + y + z = + κ κ + κ = κ donc x + y + z = 4 si et seulement si κ = 4 ainsi (S) admet l unique solution (5, 5, 4) Exercice 23 Résolution de systèmes non carrées Résoudre le système { 2x + y + z =, (S) x 2y + z =, G Faccanoni 35
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 d inconnue (x, y, z) R 3 Solution (S) est équivalent au système { 2x + y + z =, 3y + 3z =, qui admet une infinité de solutions de la forme (κ, κ, κ) pour κ R Exercice 24 Soit le système linéaire (S) Pour quelle valeur de b le système est-il possible? { x + x 2 2x 3 + 4x 4 = 6, 3x 3x 2 + 6x 3 2x 4 = b 2 Donner à b la valeur trouvée au point précédent et calculer la solution complète du système Solution (S) est équivalent au système { x + x 2 2x 3 + 4x 4 = 6, = b 8 (S) est possible si et seulement si b = 8 2 Si b = 8, (S) admet 3 solutions de la forme (x, x 2, x 3, x 4 ) = (6 a + 2b 4c, a, b, c) avec a, b, c R Exercice 25 Soit le système linéaire (S) 2x x 2 3x 3 =, x + 2x 3 =, 2x 3x 2 x 3 = Ce système est-il compatible? Possède-t-il une solution unique? Solution 2x x 2 3x 3 =, x + 2x 3 =, 2x 3x 2 x 3 = L 2 L 2 +L /2 L 3 L 3 L 2x x 2 3x 3 =, /2x 2 + /2x 3 =, 2x 2 + 2x 3 =, L 3 L 3 4L 2 2x x 2 3x 3 =, /2x 2 + /2x 3 =, =, Le système est compatible car le rang du système est 2 au nombre d inconnues 3 et la solution n est pas unique car rg(s) < 3 Il admet une infinité de solutions de la forme (2κ, κ), κ R Exercice 26 Trouver toutes les solutions du système linéaire homogène 3x + x 2 + 2x 3 =, (S) 2x + 2x 3 =, x + 6x 2 + 5x 3 = 36 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires Solution 3 2 2 2 6 5 L 2 L 2 2L /3 L 3 L 3 L /3 3 2 2 /3 2/3 7/3 7 /3 L 3 L 3 +7L 2 /2 3 2 2 /3 2/3 Le système admet une infinité de solutions de la forme (κ, κ) avec κ R Exercice 27 Trouver toutes les solutions du système linéaire homogène x + x 2 + 3x 3 + x 4 =, (S) x + 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 =, 2x + x 3 x 4 = Solution 3 L 2 L 2 L 3 3 L 3 2 4 3 L 3 2L 2 3 L 3 L 3 +L 2 2 3 2 2 5 3 6 Le système admet une infinité de solutions de la forme ( 2 κ, 3 2κ,, κ) avec κ R Exercice 28 Octobre 2 Soit le système linéaire (S) x + y z =, 2x + 3y + βz = 3, x + βy + 3z = 3 Déterminer les valeurs de β de telle sorte que ce système possède : aucune solution ; 2 une solution unique ; 3 une infinité de solutions Solution 2 3 β 3 β 3 3 L 2 L 2 2L L 3 L 3 L β + 2 β 4 4 Comme 6 β β 2 = (2 β)(3 + β) on conclut que (S) ne possède aucune solution si et seulement si β = 2 L 3 L 3 +( β)l 2 2 (S) possède une solution unique si et seulement si β { 2; 3 } 3 (S) possède une infinité de solutions si et seulement si β = 3 β + 2 (6 β β 2 ) (3 + β) Exercice 29 Septembre 29 Déterminer si le système suivant a une solution non nulle Dans le cas affirmatif trouver la(les) solution(s) et expliquer pourquoi : x 2y + 2z =, 2x + y 2z =, (S) 3x + 4y 6z =, 3x y + 2z = G Faccanoni 37
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 Solution (S) étant un système de 4 équations à 3 inconnues, on considère le sous-système carré d ordre 3 x 2y + 2z =, (S ) 2x + y 2z =, 3x + 4y 6z =, qu on peut résoudre par la méthode du pivot de Gauss x 2y+2z=, L 2 L 2 2L x 2y +2z=, L 2x +y 2z=, 3 L 3 3L 5y 6z=, 3x+4y 6z=, y 2z=, x 2y+2z=, L 3 L 3 2L 2 5y 6z=, =, qui admet une infinité de solutions de la forme (2κ, 6κ, 5κ) pour κ R Cherchons parmi ces solutions celles qui vérifient l équation de (S) qui n apparaît pas dans (S ) : pour (x, y, z) = (2κ, 6κ, 5κ) on a 3x y + 2z = 6κ 66κ + 6κ = donc 3x y + 2z = pour tout κ R ainsi (S) admet une infinité de solutions de la forme (2κ, 6κ, 5κ) pour κ R Exercice 22 Résoudre le système linéaire suivant par la méthode du pivot de Gauss : 6 x 2 2 4 x 2 = 2 6 x 3 6 Solution donc [A b] = 6 2 2 4 2 6 6 L 2 L 2 2 6 L L 3 L 3 6 L 6x + x 2 + x 3 = 2, 3 x 2 3 x 3 = 4 6x 3 = 6 6 2 3 3 4 L 3 L 3 6 L 2 6 2 3 3 3 4 6 6 6 35 6 4 = x 3 =, x 2 =, x = 2 Exercice 22 Octobre 2 Calculer A où A est la matrice 4 2 2 Solution [A I 3 ] = 4 2 2 L 2 L 2 L 3 L 3 L 2 L 2 4L L 3 L 3 +2L 2 4 2 2 4 2 L L +L 3 L 2 L 2 +2L 3 2 2 = [I 3 A ] E 38 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires Calculer A où A est la matrice 2 2 Solution [A I 3 ] = 2 2 L 3 L 3 L 3 L 3 2L 2 2 2 2 L L L 3 L 2 L 2 2L 3 4 2 2 = [I 3 A ] Exercice 223 Calculer les inverses des matrices suivantes (si elles existent) : 5 3 5 3 2 3 a b A =, B =, C = 2, D = 2 4 5 c d 2 9 4 Solution det(a) = 22 donc A est inversible et on trouve A = 22 ( 5 3 4 2 ) B est inversible si et seulement si ad bc et on a B = ad bc ( d b c a det(c) = 2 donc C est inversible et on trouve C = 3 28 38 24 5 7 2 4 det(d) = donc D n est pas inversible ) Exercice 224 Résoudre les systèmes linéaires suivants : x 5y 7z = 3 x 5y 7z = 6 2x 3y 8z = 3 et 2x 3y 8z = 3x 27y 36z = 3 3x 27y 36z = 3 et x 5y 7z = 2x 3y 8z = 3 3x 27y 36z = 6 G Faccanoni 39
2 Systèmes linéaires Lundi 9 janvier 22 Solution Le trois systèmes s écrivent sous forme matricielle 5 7 x 3 5 7 x 6 2 3 8 y = 3 et 2 3 8 y = 3 27 36 z 3 3 27 36 z 3 et 5 7 x 2 3 8 y = 3 3 27 36 z 6 On remarque que seul le seconde membre change On calcul alors d abord la décomposition LU de la matrice A : 5 7 L 2 L 2 2L 5 7 5 7 L 2 3 8 3 L 3 3L 3 4 L 3 L 3 4L 2 3 4 3 27 36 2 5 donc 5 7 L = 2 U = 3 4 3 4 Pour résoudre chaque système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ux = y Pour le premier système on a y 3 2 y 2 = 3 = y = 3, y 2 = 3, y 3 = 6; 3 4 y 3 3 5 7 x 3 3 4 x 2 = 3 = x 3 = 6, x 2 = 7, x = 6 x 3 2 Pour le seconde système on a y 6 2 y 2 = = y = 6, y 2 = 2, y 3 = 27; 3 4 y 3 3 5 7 x 6 3 4 x 2 = 2 = x 3 = 27, x 2 = 32, x = 35 x 3 27 3 Pour le dernier système on a 2 y y 2 = 3 = y =, y 2 = 3, y 3 = 6; 3 4 y 3 6 5 7 x 6 3 4 x 2 = 2 = x 3 = 6, x 2 = 7, x = 7 x 3 27 Exercice 225 Soit le système linéaire 6 2 4 2 6 x x 2 x 3 2 = 6 Résoudre les systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss 2 Factoriser la matrice A (sans utiliser la technique du pivot) et résoudre le système linéaire Solution Méthode du pivot de Gauss : [A b] = 6 2 2 4 2 6 6 L 2 L 2 2 6 L L 3 L 3 6 L 6 2 3 3 4 6 35 6 4 L 3 L 3 6 L 2 6 2 3 3 3 4 6 6 4 G Faccanoni
Lundi 9 janvier 22 2 Systèmes linéaires donc 6x + x 2 + x 3 = 2, 3 x 2 3 x 3 = 4 6x 3 = 6 = x 3 =, x 2 =, x = 2 2 Factorisation de la matrice A : L 6 2 L 2 2 6 L L 2 4 3 L 3 6 L 2 6 donc 6 2 6 2 6 2 6 6 3 L 3 L 3 6 L 2 3 3 35 6 6 6 2 6 3 3 6 6 L = 3 U = 3 3 6 Pour résoudre le système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b 3 y y 2 = 2 = y = 2, y 2 = 4, y 3 = 6 y 3 6 et Ux = y 6 3 x 3 x 2 = 4 = x 3 =, x 2 =, x = 2 6 x 3 6 6 6 3 G Faccanoni 4
3 Espaces vectoriels Espaces vectoriels, Sous-espaces vectoriels Définition : espace vectoriel Un espace vectoriel sur K est un ensemble E contenant au moins un élément, noté E, ou simplement, muni d une addition u + v E pour tout u, v E et d une multiplication par les scalaires α u E pour tout u E et pour tout α K avec les propriétés suivantes : pour tout u, v, w E et pour tout α, β K, ❶ u + (v + w) = (u + v) + w ❷ u + v = v + u ❸ u + E = E + u = u ❹ u + ( u) = ( u) + u = E en notant u = ( K ) u ❺ (α + β) u = α u + β u ❻ α (u + v) = α u + α v ❼ α (β u) = (αβ) u (associativité) (commutativité) (existence d un élément neutre pour l addition) (existence d un élément opposé) (compatibilité avec la somme des scalaires) (compatibilité avec la somme des vecteurs) (compatibilité avec le produit des scalaires) ❽ K u = u (compatibilité avec l unité) Les éléments de E sont appelés vecteurs, l élément neutre de l addition E est appelé vecteur nul, le symétrique d un vecteur u pour l addition est appelé vecteur opposé de u et est noté u L ensemble R 2 = { (x, y) x R, y R } est un espace vectoriel pour les opérations somme : (x, y) + (z, w) = (x + z, y + w) multiplication : α (x, y) = (αx, αy) Définition : sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F est un espace vectoriel et F E L ensemble { E } constitué de l unique élément nul est un sous-espace vectoriel de E, à ne pas confondre avec l ensemble vide qui n est pas un sous-espace vectoriel de E (il ne contient pas le vecteur nul) L ensemble E est un sous-espace vectoriel de E Pour montrer qu un ensemble F est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel E on utilise le théorème suivant Théorème F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F E 2 E F 3 u, v F = u + v F 4 u F, α R = α u F 43
3 Espaces vectoriels Lundi 9 janvier 22 L ensemble { } a b F = a + d = c d est un sous-espace vectoriel de l ensemble E = M 2 (R) En effet : F M 2 (R) ; 2 E = F car + = ; a b e f a + e b + f 3 si M = et N = appartiennent à F (c est-à-dire a+d = et e+h = ), alors M+N = c d g h c + g d + h appartient à F car (a + e) + (d + h) = (a + d) + (e + h) = + = ; a b αa αb 4 si M = appartient à F (c est-à-dire a + d = ) et si α R alors α M = appartient à F car c d αc αd αa + αd = α(a + d) = On note Fonct(R, R) l espace vectoriel des fonctions de R dans R et on considère les sous-ensembles suivants de Fonct(R, R) F = { f : R R f est paire } ; 2 F = { f : R R f est impaire } ; 3 F = { f : R R f( x) = f(x) + 2 } ; 4 F = { f : R R f(x) } ; 5 F = { f : R R f(x) = } ; 6 F = { f : R R f(x) = } ; 7 F = { f : R R f() = } On cherche lesquels forment des sous-espaces vectoriels : F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R) car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g)( x) = f( x) + g( x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x), 3 f F, α R = α f F car (α f)( x) = αf( x) = αf(x) = (α f)(x) ; 2 F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R) car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g)( x) = f( x) + g( x) = f(x) g(x) = (f + g)(x), 3 f F, α R = α f F car (α f)( x) = αf( x) = αf(x) = (α f)(x) ; 3 F n est pas un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R) car il ne contient pas la fonction nulle x ; 4 F n est pas un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R) car l opposé de la fonction f : x, qui est un élément de F, est la fonction f : x, qui n est pas un élément de F ; 5 F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R) car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g)(x) = f(x) + g(x) =, 3 f F, α R = α f F car (α f)(x) = αf(x) = ; 6 F n est pas un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R) car il ne contient pas la fonction nulle x ; 7 F = { f : R R f() = } ; F est un sous-espace vectoriel de Fonct(R, R) car x F, 2 f, g F = f + g F car (f + g)() = f() + g() =, 3 f F, α R = α f F car (α f)() = αf() = On note R n [x] l espace vectoriel des polynômes de degré n à coefficients dans R et on considère les sous-ensembles suivants de R n [x] F = { p R n [x] deg(p) = 7 } ; 2 F = { p R n [x] deg(p) 3 } ; 3 F = { p R n [x] p est pair } ; 4 F = { p R n [x] p() = p(2) = p(3) = } On cherche lesquels forment des sous-espaces vectoriels : 44 G Faccanoni