Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle, nous présentons et publions en nnexe un importnt mémoire inédit de Chrles Hermite sur les fonctions elliptiques dté de 1849. Replçnt ce trvil dns l œuvre du mthémticien, nous nlysons s contribution u développement de l théorie élémentire des fonctions elliptiques. Avec Liouville, Hermite jette les bses d une théorie générle des fonctions méromorphes doublement périodiques dns les nnées 1840, introduisnt à cette occsion les méthodes de Cuchy dns l étude des fonctions elliptiques. Dns les cours qu il donne près 1868 àl École polytechnique et àlfculté des sciences de Pris, il enseigne l théorie selon le point de vue de Jcobi, en prtnt des fonctions thêt. Ces leçons constituent sns doute l meilleure présenttion de l théorie vnt que ne s impose le point de vue de Weierstrss. ABSTRACT. ON AN UNPUBLISHED PAPER : HERMITE S CONTRIBUTION TO THE DEVELOPMENT OF THE THEORY OF ELLIPTIC FUNCTIONS. Thispper presents mjor unpublished memoir written by Chrles Hermite on elliptic functions, nd dting from 1849: the text is ppended. Looking t this contribution in the overll context of tht mthemticin s work, its import for the development of the elementry theory of elliptic functions is exmined. Along with Liouville, in the 1840 s Hermite lid the foundtions of generl theory of doubly periodic meromorphic functions, bringing to ber in this context the generl pproch propounded by Cuchy for the theory of complex vrible functions. In his lectures from 1868 on t the École polytechnique, nd eqully t the Pris science fculty, he pproched this theory long the lines set by Jcobi, with thet functions s strting point. These lectures probbly provide the best presenttion of tht theory, prior to the widespred cceptnce of the Weierstrss pproch. INTRODUCTION L théorie des fonctions elliptiques occupe une plce de choix dns (*) Texte reçu le 24 octobre 1995, révisé le 19 jnvier 1996. Bruno BELHOSTE, Institut ntionl de recherche pédgogique (Service d histoire de l éduction), 29 rue d Ulm, 75005 Pris (Frnce). Courrier électronique : belhoste@inrp.fr. C SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE, 1996
2 B. BELHOSTE l œuvre de Chrles Hermite. Lui-même, dns une lettre à Stieltjes, écrivit en 1892 : Je ne puis sortir du domine elliptique ; là oùlchèvre est ttchée, dit le proverbe, il fut qu elle broute [Billud et Bourguet 1905, t. 2, p. 270]. L théorie des fonctions elliptiques été eneffetpourher- mite une source intrissble d inspirtion et l pluprt de ses trvux ont quelque rpport vec elle, qu il s gisse de théorie des nombres, d lgèbre, d nlyse ou de mécnique. Aucune théorie n présenté une succession de points de vue différents et de méthodes vriées, qui donne l idée de l richesse en nlyse, comme l théorie des fonctions elliptiques [Hermite 1897, p. 464] 1. Il ne peut être question dns cet rticle de rendre compte de toutes ces recherches. Je n exmineri donc ni l extension donnée pr Hermite à certines méthodes de l théorie des fonctions elliptiques ux fonctions béliennes, extension qui est d illeurs à l origine de son intérêt pour les fonctions elliptiques, ni les nombreuses pplictions qu il pu en fire à tous les domines des mthémtiques. Plus modestement, je voudris étudier ici comment Hermite présentit l théorie des fonctions elliptiques. Il vit à cœur d en fciliter l exposition, cr il voulit l introduire dns l enseignement, à l exemple de Jcobi lui-même qui dès 1832 prévoyit pour elle un bel venir àl École polytechnique [Jcobi GW, t. 1, p. 459]. L préoccuption pédgogique, sensible chez Hermite dès son premier cours sur les fonctions elliptiques u Collège de Frnce en 1849, s ffirm, comme on verr, à prtir des nnées 1860, qund il donn un enseignement régulier, d bord àl École normle supérieure, puis àl École polytechnique, enfin àlfculté des sciences de Pris. Je focliseri mon ttention dns cet rticle sur trois moments prticulièrement importnts pour notre sujet. Je m intéresseri d bord ux premières recherches d Hermite sur les fonctions elliptiques, entreprises dès 1844 sous l influence de Jcobi et en liison vec ses recherches sur les intégrles béliennes, et j exmineri plus prticulièrement leurs rpports vecles recherches menées pr Liouville àlmême époque sur les fonctions méromorphes doublement périodiques 2. Je conscreri ensuite une étude spécifique àunmémoire inédit de 1849, reproduit en nnexe, dns lequel 1 L pgintion donnée dns les références est toujours celle des Œuvres du mthémticien cité, qund elles existent. 2 Dns cet rticle, nous ppellerons fonctions elliptiques les fonctions sn x, cnx et dn x obtenues à prtir de l inversion de l intégrle elliptique de première espèce, comme l
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 3 Hermite ppliquit pour l première fois les méthodes de Cuchy àl théorie des fonctions elliptiques. Enfin, dns l dernière prtie de l rticle, j nlyseri les leçons sur l théorie des fonctions elliptiques données pr Hermite àl École polytechnique et àlfculté des sciences de Pris. Mis il convient d bord d exminer succinctement quel étit l étt de développement de l théorie àl époque où lemthémticien commençit s crrière 3,c est-à-dire u début des nnées 1840. LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES AVANT HERMITE C est seulement dns les nnées 1820, grâce àabeletà Jcobi, que les fonctions elliptiques ont été introduites dns l nlyse, comme fonctions inverses des intégrles elliptiques. Les mthémticiens vient rencontré des intégrles elliptiques dès les débuts du clcul infinitésiml, en prticulier dns des problèmes de rectifiction de courbes, pr exemple pour rectifier un rc d ellipse, d où leur nom, ou un rc de lemniscte. Àlsuite de Fgnno, Euler vit étudié certines propriétés crctéristiques de ces intégrles, principlement le théorème d ddition, sur le cs prticulier dt de l intégrle lemnisctique. Lgrnge définissit en 1784 les 1 t 4 intégrles elliptiques les plus générles comme des intégrles de l forme R(x, y)dx vec y = P (x), où R est une fonction rtionnelle et P un polynôme de degré 3 ou 4 ynt des rcines toutes distinctes. Les intégrles elliptiques ne peuvent être intégrées en termes finis. Au cours des nnées suivntes, Legendre réussit cependnt à rmener leur clcul à celui des trois types fondmentux suivnts d intégrles elliptiques, dites de première, de deuxième et de troisième espèces (sous l forme de Legendre) toujours fit Hermite à l suite de Jcobi. Depuis le dernier qurt du XIX e siècle, le terme de fonctions elliptiques désigne plutôt les fonctions méromorphes doublement périodiques. On sit d illeurs, d près le théorème de réduction de Liouville, que toute fonction elliptique u sens moderne s exprime rtionnellement u moyen d une fonction de Jcobi de mêmes périodes et de s dérivée. 3 Sur l histoire de l théorie des fonctions elliptiques, on pourr se reporter en prticulier à [Fricke 1913] et à [Houzel 1978]. Pour un exposé moderne de l théorie, nous renvoyonsà[whittker et Wtson 1902/1927, p. 429 535] et à [Chndrsekhrn 1985].
4 B. BELHOSTE (1) F (ϕ) = Π(ϕ) = ϕ 0 ϕ 0 ϕ dθ, E(ϕ) = 1 k2 sin 2 θ 0 dθ (1 + n sin 2 θ) 1 k 2 sin 2 θ 1 k 2 sin 2 θ dθ, L mplitude ϕ, le module k et le prmètre n sont réels, et 0 <k<1. C est Abel qui rélis le progrès décisif dns l étude des intégrles elliptiques. Dès 1823, il entrevit le rôle que doivent jouer leurs fonctions inverses. Il développ ses idées dns plusieurs mémoires et rticles publiés entre 1827 et s mort prémturée, en 1829, principlement dns ses Recherches sur les fonctions elliptiques et dns son Précis d une théorie des fonctions elliptiques.il y montrit que l fonction inverse ϕ de l intégrle elliptique de première espèce, étendue ux vleurs complexes de l rgument, est doublement périodique. Abel résolut complètement le problème de l multipliction des fonctions elliptiques (détermintion de ϕ(nα) connissnt ϕ(α)) et surtout le problème inverse de leur division (détermintion de ϕ(α/n) connissnt ϕ(α)), correspondnt pour les intégrles elliptiques à celui de l division des rcs que Guss vit déjà trité dns le cs prticulier de l lemniscte. Jcobi développ àlmême époque des idées très semblbles, qu il expos d bord dns plusieurs rticles puis dns un ouvrge fondmentl, les Fundment nov theorie functionum ellipticrum, publiées 4 en 1829. L méthode de Jcobi étit identique à celle d Abel inverser les intégrles elliptiques, mis ses nottions étient différentes (voir [1828b] et [1829b]). Jcobi notit m u = ϕ l fonction inverse de l intégrle de première espèce u = F (ϕ), ce qui donnit, près le chngement de vrible t =sinθ, lfonctionx =sinmu comme fonction inverse de l intégrle u(x) = x 0 dt (1 t2 )(1 k 2 t 2 ) Il introduisit ensuite les deux fonctions cos m u = 1 sin 2 m u et mu = 1 k 2 sin 2 m u. L nottion simplifiée doptée en 1838 pr Gudermn pour écrire les trois fonctions elliptiques de Jcobi sn u pour sin m u, cnu pour cos m u et dn u pour m u, s est progressivement 4 On pourr consulter églement [Cyley 1876] où setrouveexposée en nglis l théorie des Fundment nov.
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 5 imposée et Hermite lui-même, pourtnt très conservteur en mtière de nottions, l finlement doptée. Après voir étendu ux vleurs complexes le domine de définition de ses trois fonctions elliptiques en utilisnt l substitution imginire sin ϕ = i tg ψ et le théorème d ddition, Jcobi démontrit ussitôt leur double périodicité (principium duplicis periodi). Les fonctions sn u, cnu et dn u dmettent respectivement comme périodes les couples (4K, 2iK ), (4K, 2(K+iK )), et (2K, 4iK ), où K et K sont les vleurs des intégrles complètes F ( π ) correspondnt respectivement u module k et u module complémentire k = 1 k 2. 2 Le sujet principl des recherches de Jcobi portit en rélitésurl théorie de l trnsformtion, étudiée églement pr Abel [1827 1828]. Le problème consiste àdéterminer à quelles conditions l intégrle générle d une éqution différentielle R(z, P (z))dz = R (z, P (z ))dz,dont les deux membres sont des différentielles elliptiques de même espèce, peut s exprimer sous l forme d une reltion lgébrique entre z et z.abel montré [1828] que ce problème peut en fit toujours se rmener u cs d une trnsformtion rtionnelle, c est-à-dire à celui où z est une fonction rtionnelle U(z)/V (z) vecdespolynômes U et V premiers entre eux. Plusieurs trnsformtions rtionnelles vient étédécouvertes vnt Abel et Jcobi : celles d ordre 2 de Lnden et de Guss, qui multiplient le rpport des périodes pr 2 ; celle d ordre 3 de Legendre, qui multiplie le rpport des périodes pr 3. Dns des recherches restées inédites, Guss vit même étudié des trnsformtions d ordre 5 et 7. C est en voulnt générliser l trnsformtion de Legendre que Jcobi fut mené àdévelopper s théorie u cours de l nnée 1827 [Jcobi 1828,b]. Il considérit des trnsformtions rtionnelles d ordre n quelconque (c est-à-dire telles que sup(deg U, deg V )=n). Après voir déterminé les conditions lgébriques pour que l on it l éqution dy (1 y2 )(1 λ 2 y 2 ) = 1 M dx, (1 x2 )(1 k 2 x 2 ) vec des constntes λ et M convenbles, il tritit le cs des trnsformtions d ordre impir pour lesquelles y = xf (x 2 )/G(x 2 ) vec deg F =degg. Il obtenit pour ce type de trnsformtions des conditions lgébriques spécifiques grâce uxquelles il prvenit à exprimer nlytiquement y, λ
6 B. BELHOSTE et M u moyen de ses fonctions elliptiques [1828b]. L méthode consistit à psser ux fonctions inverses, en remrqunt que le problème de l trnsformtion rtionnelle équivut, connissnt x = snu, àdéterminer y = U(x)/V (x), λ et M de telle sorte que y =sn(u/m, λ). Pour un même ordre n premier, Jcobi obtenit insi n + 1 trnsformtions distinctes. Il montrit en prticulier que l multipliction pr n se rmène àl succession des deux trnsformtions réelles supplémentires d ordre n qui trnsforment un module réel k en un module réel λ. Les fonctions thêt L première prtie des Fundment nov étit conscrée toute entière àlthéorie de l trnsformtion. Dns l deuxième prtie du trité, Jcobi étudiit l représenttion de ses fonctions elliptiques pr des développementsen produits et séries infinis. Ce n est qu près voir obtenu ces développements que Jcobi introduisit ses fmeuses fonctions thêt, qui constituent peut-être s principle contribution àlthéorie des fonctions elliptiques. Son point de déprt, u moins dns les Fundment nov, étit l étude des intégrles de deuxième et troisième espèces E(ϕ) et Π(ϕ). Il définissit l fonction Θ(u) demnière indirecte u moyen de s dérivée logrithmique Z(u) etendéduisit ussitôt une représenttion pr des produits infinis. Jcobi utilisit s nouvelle fonction pour exprimer les intégrles de deuxième et troisième espèces. Ce n est qu ensuite qu il introduisit s deuxième fonction H(u), représentée pr un produit infini du même type que pour Θ(u). En comprnt les expressions obtenues pour ses fonctions thêt à celles de ses fonctions elliptiques obtenues précédemment, Jcobi obtenit les représenttions fondmentles suivntes de ses fonctions elliptiques (2) sn u = 1 H(u) k Θ(u), k H(u + K) cn u =, dn u = Θ(u + K) k k Θ(u) Θ(u) Jcobi étudiit les propriétés de ses fonctions thêt, puis donnit leur développement en séries de Fourier sous l forme ( 2Kx ) Θ =1+2 π n 1( 1) n q n2 cos 2nx, (3) ( 2Kx ) H =2 π n 0( 1) n q (2n+1)2/4 sin(2n +1)x,
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 7 en posnt q =e πk /K.IlterminitsesFundment nov en ppliqunt ces développements à l démonstrtion de plusieurs formules utilisées en théorie des nombres. Cette rpide esquisse de l théorie exposée pr Jcobi dns son trité très incomplète u demeurnt, puisqu elle lisse entièrement de côté des résultts ussi importnts que ceux obtenus pour les équtions modulires ou pour les intégrles de troisième espèce fit pprître le rôle cléjoué pr le problème de l trnsformtion. Comme l écrit Dirichlet [1853], les recherches contemporines et concurrentes d Abel et de Jcobi se sont orientées dns deux directions différentes. Alors que le premier s est principlement intéressé u problème de l multipliction et de l division des intégrles elliptiques en liison vec ses trvux sur les équtions lgébriques, Jcobi porté tous ses efforts sur l étude des trnsformtions rtionnelles, dont il voulit fire le fondement de l théorie des fonctions elliptiques. Les Fundment nov, dontledéveloppement est entièrement commndé prlthéorie de l trnsformtion, mrquèrent l rélistion complète de ce progrmme. Si l unité systémtique des Fundment nov est impressionnnte, le prti dopté pr Jcobi pour s rédction vit cependnt l inconvénient de msquer quelques-unes de ses idées les plus fécondes. C étit le cs en prticulier pour les fonctions Θ et H, introduites de mnière ssez rtificielle vers l fin du trité où elles ne jouient qu un rôle limité. Conscient de cette fiblesse, Jcobi renvers entièrement l ordre d exposition dns ses leçons sur les fonctions elliptiques données en 1835 1836 à l Université de Königsberg, dns lesquelles il prtit de qutre fonctions thêt définies prioripr des séries de Fourier. Ces leçons restèrent inédites jusqu à l publiction en 1881 d une rédction fite pr les soins de Borchrdt [Jcobi 1881, p. 495 538], mis ce dernier, lors de son pssge àpris en 1847, en fit connître àhermitelesidées directrices 5. En prtnt dns ses leçons des fonctions thêt, Jcobi ne fisit en rélité qu ccorder le mode d exposition de l théorie ux méthodes de 5 Jcobi mentionnit ses leçons dns s lettre àhermitedu6oût 1845 [Jcobi GW 2, p. 115]. Dns s réponse, en 1847, Hermite indiquit : M. Borchrdt eu l bonté de me mettre un peu sur l voie pour déduire les propriétés des fonctions Θ de l multipliction des qutre séries e (x+ib)2, mis je ne sis si je pourri mrcher bien loin [Hermite 1850, p. 120].
8 B. BELHOSTE découverte qu il utilisit depuis 1828. Il donné lui-même quelques indictions à ce sujet dns une lettre à Crelle dtée de juillet 1828 [1828c]. Il y introduisit prioriet sous forme de sériesde Fourierles fonctions Θ(x, q) et H(x, q), grâce uxquelles il exprimit ussitôt ses fonctions elliptiques et qu il utilisit pour étudier le problème de l trnsformtion 6. Surtout, il prvint àrésoudre pr leur moyen le problème de l trnsformtion inverse, c est-à-dire àexprimerx = snu connissnt y = sn(u/m, λ). Mis il ne publi ps l démonstrtion, se contentnt de donner dns le Journl de Crelle [1829, IV] l énoncé desonthéorème, qu il considérit comme undesplusimportntstrouvés jusqu ici dns l théorie des fonctions elliptiques [Ibid., p. 272] et dont l découverte, écrivit-il à Legendre en 1829, lui vit coûté beucoup de peine [Jcobi GW, t.1, p. 431]. Grâce à l formule de l trnsformtion inverse, il prvenit en effet à retrouver les expressions lgébriques des rcines de l éqution de l division des fonctions elliptiques découvertes pr Abel en 1827. Jcobi, près Abel, étit donc prvenu àlfindesnnées 1820 à développer une théorie complète des fonctions elliptiques et à fonder cette théorie sur les propriétés des fonctions thêt. Au cours des nnées 1830, il entreprit d étendre les méthodes utilisées pour le cs elliptique u cs hyperelliptique [Jcobi 1835], en cherchnt à inverser les intégrles béliennes u moyen du théorème d Abel (voir [Houzel 1978, p. 72 83]) 7. C est dns le cdre de ce progrmme de recherche que se situent les premiers trvux d Hermite, commencés en 1843. 6 Les fonctions Θ et Htelles qu elles sont définies dns cette lettre se distinguent nénmoins des fonctions Θ et Hdes Fundment nov pr le choix de leur rgument ; pour psser des premières ux secondes il suffit de chnger l rgument x en l rgument 2Kx/π. 7 Les intégrles béliennes sont des intégrles de l forme R(x, y)dx, où R est une fonction rtionnelle et y une quntité dépendnt lgébriquement de x. Dns le cs elliptique, y 2 est, comme on l vu, un polynôme en x de degré 3 ou 4, dns le cs hyperelliptique de degré supérieur à 4. (Dns les deux cs, les rcines sont supposées distinctes.) Le théorème d Abel générlise en un certin sens ux intégrles béliennes le théorème d ddition énoncé pr Euler pour les intégrles elliptiques.
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 9 LES PREMIÈRES RECHERCHES D HERMITE SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES (1843 1844) : DE LA THÉORIE DES FONCTIONS THÊTA À CELLE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES Fils d un ingénieur civil devenu négocint en drp àdieuzeenlor- rine, Chrles Hermite (1821 1901) vit choisi d entrer comme son frère îné àl École polytechnique8. Il commenç s préprtion àlrentrée de 1840, en montnt à Pris pour y suivre u collège Louis-le-Grnd l clsse de mthémtiques spéciles de Louis Richrd, qui vit été leprofesseur de Glois. Dès 1841, il révél s furie mthémtique en lisnt Euler, Lgrnge et Guss à l bibliothèque Sinte-Geneviève u lieu de se préprer à l exmen d dmission. Comme il le rconter plus trd dns une lettre à Stieltjes [Billud et Bourguet 1905, t. 1, p. 129], s il obtint un deuxième ccessit u concours générl, il py ses fntisies d écolier svnt pr un humilint échec à l École polytechnique. Après une deuxième nnée de préprtion, u cours de lquelle il fréquent comme élève libre l institution Myer, il fut reçu àl École u concours de 1842. De ces nnées de préprtion dtent ses premières publictions dns les Annles de mthémtiques. Àl École polytechnique, son professeur d nlyse étit Chrles Sturm, mis c est de l utre professeur d nlyse, Joseph Liouville, qu il étit proche. Liouville, devenu son protecteur, encourge ses premières recherches sur l théorie des fonctions béliennes, et l engge à les communiquer à Jcobi. Dns s première lettre [1846, p. 10 17], envoyée en jnvier 1843 lors qu il étit encore élève àl École, Hermite, démontrnt des conjectures énoncées pr Jcobi en 1834, étendit ux intégrles hyperelliptiques le théorème d Abel sur l division des intégrles elliptiques. Ce trvil [1848], présentéà l Acdémie des sciences, fit l objet d un rpport extrêmement élogieux de Liouville en oût 1843 [Liouville 1843]. Une infirmité u pied droit lui ynt fermé l crrière d ingénieur, Hermite démissionn de l École polytechnique à l fin de l nnée 1843. Son père, sur les conseils de Liouville, ccept lors qu il se livre tout entier à ses trvux mthémtiques. Hermite poursuivit intensément ses recherches sur les intégrles béliennes, principlement hyperelliptiques. 8 Sur l vie et l crrière de Chrles Hermite, on pourr consulter [Brezinski 1990].
10 B. BELHOSTE Comme il l nnonçit dns une lettre à Liouville du 17 juin 1844, il commenç à cette époque àétudier le problème de l inversion des intégrles béliennes posé pr Jcobi en cherchnt àgénérliser des méthodes pplicbles u cs elliptique, mis sns prvenir àdesrésultts significtifs [Hermite 1844, p. 49 56]. Il entreprit églement l étude du problème de l trnsformtion, sns plus de succès. Mis cette recherche le conduisit, comme il l expliquit dns l même lettre à Liouville, à une nouvelle démonstrtion des théorèmes de Jcobi reltifs ux trnsformtions des fonctions elliptiques de première et de troisième espèces, fondée sur l considértion directe des propriétés de l fonction doublement périodique z = p=n 1 ϕ(u +2pω/n), où ϕ (nottion d Abel) représente l fonction sn p=0 et n un nombre impir quelconque [Ibid., p. 56 62]. Dns les semines qui suivirent, il découvrit pour étudier les fonctions elliptiques une nouvelle méthode fondée sur les fonctions thêt, dont l ppliction à quelques problèmes de l théorie, en prticulier à celui de l trnsformtion inverse, fit l objet de s seconde lettre à Jcobi, écrite en oût 1844 [Hermite 1846, p. 18 37] 9. L seconde lettre d Hermite à Jcobi L méthode d Hermite étit bsée sur trois idées puisées directement dns les trvux de Jcobi. L première consistit à fonder l étude des fonctions elliptiques sur celle des fonctions thêt. Comme on l vu, Jcobi l vit depuis longtemps fite sienne dns ses leçons universitires. Eisenstein et Cyley doptèrent un point de vue identique dns des trvux publiés àlmême époque (voir [Eisenstein 1844, 1847] et [Cyley 1845,b]). L deuxième idée étit plus originle : Hermite introduisit certines fonctions périodiques définies pr des équtions de condition étblies sur le modèle des équtions stisfites pr les fonctions Θ eth.ilconsidérit insi dns s lettre à Jcobi trois types de reltions fonctionnelles. Les premières du type (4) Φ(x +2iK )= e iπ(x+ik )/K Φ(x) et Φ(x +4K) =Φ(x), 9 L lettre d oût 1844 contient églement l exposition d une utre méthode pour étudier les propriétés élémentires des fonctions elliptiques, fondée sur l considértion de l intégrle de troisième espèce. Sur cette méthode, voir églement [Hermite 1845].
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 11 qui comprennent les reltions stisfites pr Θ et H; les deuxièmes du type ( (5) Ψ(x +2iK )= e niπ(x+ik )/K Ψ(x) et Ψ x + 4K n les troisièmes, enfin, du type ) =Ψ(x); (6) Π(x +2iK )=( 1) n e niπ(x+ik )/K Π(x) et Π(x +4K) =Π(x). L troisième idée fondmentle d Hermite consistit, pour étudier ces fonctions périodiques, àlesreprésenter pr des séries de Fourier, pr exemple Φ(x) = m=+ m e miπx/2k.lméthode étit entièrement nouvelle, m= même si Hermite s inspirit sns doute de l définition de l fonction Θ pr une série de Fourier (en sinus) donnée pr Jcobi en 1828 [Jcobi 1828c]. Avnt d exminer plus vnt l ppliction qu en fisit Hermite, il convient de remrquer que ces développements étient introduits pr lui sns ucune justifiction. Hermite supposit implicitement que les fonctions Φ sont des fonctions périodiques entières, donc développbles en séries de Fourier dns tout le pln. Plus générlement, on sit en effet qu une fonction F holomorphe de période dns une bnde du pln complexe y est développble en série de Fourier. Pour le démontrer, il suffit d ppliquer l bnde sur une couronne centrée en 0 pr l trnsformtion périodique h(z) =e 2iπz/ et d y développer en série de Lurent l fonction holomorphe f telle que Φ(z) = f(h(z)). Hermite urit pu disposer de cette démonstrtion, puisque Cuchy vit fit connître le théorème de Lurent en 1843 [Cuchy 1843], mis rien ne vient confirmer cette supposition. Bouquet et Briot sont les premiers, à notre connissnce, àvoirdémontré de cette mnière qu une fonction holomorphe périodique dns une bnde yestdéveloppble en une série de Fourier [Briot et Bouquet 1859, p. 67 ; 1875, p. 161 182]. En reportnt le développement m=+ m e miπx/2k dns l éqution (4), m= Hermite obtenit pr un clcul fcile l expression Φ(x) =AH(x, τ)+bθ(x, τ), où A et B sont des constntes quelconques. Nous écrivons H(x, τ) et Θ(x, τ) (ce que ne fisit ps Hermite) pour indiquer que H et Θ dépendent
12 B. BELHOSTE dns cette formule du rpport τ = K /K. En utilisnt l trnsformtion τ 1 = nτ, où τ 1 = K 1/K 1, il en tirit l expression ( nk1 ) ( Ψ(x) =AH K x, τ nk1 ) 1 + BΘ K x, τ 1, comme solution de l éqution (5). Enfin, il montrit que l expression (7) Π(x) =AH n (x)+bh n 1 (x)θ(x)+ + LH(x)Θ n 1 (x)+iθ n (x) + [ H (x)θ(x) H(x)Θ (x) ] [ A H n 2 (x)+b H n 3 (x)θ(x)+ + I Θ n 2 (x) ], estlsolutionlplusgénérle de l éqution (6) prce qu elle renferme 2n constntes rbitrires. Ces formules permettient àhermitededémontrer une foule de résultts sur les fonctions elliptiques. Pr exemple, l solution Ψ(x) de l éqution (5) lui donnit, pour n premier et pour p entier tel que 0 p n 1, l églité r=n 1 r=0 ( α 4r sn x + 4rK n ) ( x ) = C sn M + 4piK 1 e 2piπx/K Θ(x/M +4piK 1 /n, τ 1), n Θ(x/M, τ 1 ) où α est l rcine n-ième primitive de l unité e 2iπp/n, C une constnte à déterminer et 1/M le rpport nk 1 /K. Après voir trnsforméθ(x/m, τ 1 ) en Θ(x/M, 1/τ 1 ), Hermite tirit de cette églité l formule de l trnsformtion inverse donnée sns démonstrtion pr Jcobi [1829]. Notons que l même solution Ψ(x) de l éqution (5), ppliquée u produit p=n 1 H(x +4pK/n), conduit ussi, comme l indiquit Hermite, àlsolution du problème de l trnsformtion directe. Θ(x +4pK/n) p=0 À Hermite qui demndit à Jcobi s il n vit ps en fit rencontré les mêmes principes, ce dernier confirmit dns s réponse : Les principes dont vous prtez pour prvenir ux formules de l trnsformtion inverse [...] sont précisément les mêmes qui d bord m ont conduit àces formules [Jcobi GW 2, p. 115]. Jcobi mentionnit ses leçons universitires où il prtit des fonctions thêt et terminit s lettre du 6 oût 1845 pr ces mots fmeux : Ne soyez ps fâché, monsieur, si quelques-unes
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 13 de vos découvertes se sont rencontrées vec mes nciennes recherches. Comme vous dûtes commencer pr où je finis, il y nécessirement une petite sphère de contct. Dns l suite, si vous m honorez de vos communictions, je n uri qu à pprendre [Ibid., p. 120]. Hermite utilisit ussi l expression (7) de Π(x) pour retrouver l formule d ddition, dite théorème d Abel, donnnt pour tout n l expression de sn( 1 + 2 + + n ), idée ingénieuse et très originle qui ne lui étit jmis venue à l esprit, déclrit Jcobi. Le numérteur de sn(x)f [ sn 2 (x) ] dsn(x) f [ sn 2 (x) ], dx où F et f sont des polynômes respectivement de degrés m et (m 1), est de l forme de l expression (7), vec n =2m + 1, et stisfit insi à l éqution (6), vec l condition supplémentire Π(x+2K) = Π(x). D un utre côté, l expression H(x + 1 )H(x + 2 ) H(x + 2m )H(x + 2m+1 ) stisfit les mêmes conditions, si l on pose 1 + 2 + + 2m + 2m+1 =2jK, où j est un entier quelconque. Hermite en déduisit l églité sn(x)f [ sn 2 (x) ] dsn(x) f [ sn 2 (x) ] dx = C H(x + 1)H(x + 2 ) H(x + 2m )H(x + 2m+1 ) Θ 2m+1 (x) qui conduit u théorème générl d ddition et, dns le cs où m =1et j =0,àlthéorie de Jcobi des intégrles de troisième espèce (voir ussi [1862, p. 181 187, p. 196 198]). L découverte de cette solution générle Π(x) montre qu Hermite disposit dès cette époque, même s il ne l énonçit ps explicitement dns s lettre, d une proposition importnte connue plus trd sous le nom de principe d Hermite. D près ce principe, l solution générle stisfisnt les deux équtions fonctionnelles (8) Φ(x + ) =Φ(x) et Φ(x + b) =e iπk(2x+b)/ Φ(x) doit être de l forme m=k 1 m=0 A m Φ m (x), les éléments Φ m (x) s exprimntu moyen des fonctions thêt. Autrement dit, ces fonctions Φ, dites prfois fonctions thêt d ordre k, forment, en lngge moderne, un espce vectoriel de dimension finie k sur C, etlesk fonctions Φ m (x) constituent une
14 B. BELHOSTE bse de cet espce. Hermite s est servi systémtiquement de ce principe pour exposer l théorie des fonctions elliptiques dns ses cours àl École polytechnique et à l Fculté des sciences. Même si l lettre à Jcobi d oût 1844 contient de précieuses informtions sur les premiers résultts obtenus pr Hermite, elle ne nous donne qu une vision prtielle de ses recherches dns le domine des fonctions elliptiques. Il est mlheureusement impossible, fute de sources (les ppiers du mthémticien ont été détruits dns un incendie), d en reconstituer vec certitude le cdre d ensemble. Cette lcune est d utnt plus dommgeble que l nnée 1844 ouvre une nouvelle période dns l histoire de l théorie des fonctions elliptiques, mrquée pr les trvux de Liouville sur les fonctions doublement périodiques. Ceux-ci ont fit l objet d une nlyse pprofondie de l prt de Jenne Peiffer [1978, 1983], puis de Jesper Lützen [1990], et nous renvoyons à leurs études, nous limitnt pour notre prt àcequiintéresse directement l contribution d Hermite u développement de l théorie. Hermite, Liouville et les fonctions doublement périodiques Le point de vue de Liouville consistit àétudier les propriétésgénérles des fonctions méromorphes doublement périodiques. Il prtit pour cel d un théorème fondmentl, qu il ppelit son principium, énonçnt qu une telle fonction, lorsqu elle n est jmis infinie,seréduit à une simple constnte. Ce principium, communiquéà l Acdémie des sciences en décembre 1844 [Liouville 1844], est un cs prticulier du fmeux théorème sur les fonctions entières bornées ppelé ujourd hui théorème de Liouville, comme le montr ussitôt Cuchy [1844]. Or les crnets de Liouville révèlent que l découverte de son principium u cours de l été 1844 été directement inspirée pr les recherches d Hermite sur les fonctions elliptiques. Le point de déprt des recherches de Liouville est en effet une note du 1 er oût, commençnt pr ces mots : M. Hermite voudrit, dit-il, tirer du développement d une fonction f(x) en série de sinus et de cosinus l preuve de l impossibilité del existencededeuxpériodes réelles et incommensurbles entre elles d une fonction f(x) d une vrible. Rien ne me semble plus simple (cité dns [Peiffer 1983, p. 241]). En développnt l fonction entière doublement périodique f(x), supposée réelle, en série de Fourier pr rpport àlpremière période, et en notnt b l deuxième
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 15 période, comme le fisit courmment Hermite, on obtient imméditement l églité m=+ m= A n e 2nπix/ = m=+ m= A n e 2nπi(x+b)/, d où l on tire l églité A n = A n q 2n où q = e iπb/ en considérnt les coefficients de Fourier. Puisque et b sont réels incommensurbles, on q 2n 1,soitA n =0,pourn 0,c est-à-dire que l fonction f(x) se réduit à une constnte. Ce risonnement s pplique ussi bien u cs où l fonction doublement périodique est complexe. Il montre que l prtie imginire du rpport b/ est nécessirement non nulle (sinon l fonction est simplement périodique) et fournit lors ussitôt le principium de Liouville. Bien que l démonstrtion fût pour Hermite un jeu d enfnt, il pss àcôté de cette découverte, dont le mérite revient entièrement à Liouville 10. L mention d Hermite dns les crnets de Liouville fournit cependnt une indiction importnte sur les préoccuptions du jeune mthémticien àl époque où il envoyit s deuxième lettre à Jcobi. Il ressort en effet de l note de Liouville du 1 er oût qu Hermite recherchit lors une nouvelle démonstrtion de l proposition donnée pr Jcobi en 1835, selon lquelle les deux périodes fondmentles d une fonction méromorphe doublement périodique non trivile sont linéirement indépendntes sur R [Jcobi 1835]. Cette indiction nous mène nturellement à conjecturer que dès les premiers mois de l nnée 1844, c est-à-dire vnt même Liouville, Hermite plçit le principe de l double périodicité u centre de ses recherches sur les fonctions elliptiques. Or, en 1848, soit qutre ns près l époque qui nous intéresse ici, Hermite fit connître pr un rticle u Cmbridge nd Dublin Mthemticl Journl un mode de représenttion des fonctions méromorphes doublement périodiques pr des quotients de fonctions entières périodiques [1848b]. Il y considérit deux fonctions entières simplement périodiques, de même période, représentées pr les séries de Fourier m=+ A m e 2mπix/ m= 10 Sur les différentes tenttives de démonstrtion de son principium pr Liouville, voir les études citées de J. Peiffer et J. Lützen. Hermite lui-même reproduit en 1862 l démonstrtion ici esquissée de l proposition de M. Liouville [Hermite 1862, p. 138].
16 B. BELHOSTE et m=+ B m e 2mπix/ et il recherchit à quelles conditions leur quotient m= dmet une deuxième période b. En procédnt comme pour l étude des fonctions Φ(x) dns s lettre à Jcobi, il obtenit, pour toute vleur entière de µ, l églité m=+ m= A m B µ m q 2(µ m) = A n B µ n q 2n vec q =e iπb/. n=+ n= Il considérit le cs prticulier où les deux séries sont identiques, c està-dire où lem-ième terme de l série de guche est égl u (m + k)-ième terme de l série de droite. On lors l églité A m A m+k q 2(m+k) = B µ m k B µ m q 2(µ m). Le nombre µ étnt quelconque, les coefficients A m et B m doivent stisfire z m l même éqution ux différences finies q 2(m+k) =Const e,dontl z m+k solution générle est z m =Π(m) q m2 k αm,vecπ(m + k) =Π(m). Hermite en induisit qu une fonction méromorphe doublement périodique peut être représentée pr un quotient de deux fonctions entières périodiques de l forme Φ(m) q m2 k αm e 2miπx vec Φ(m + k) =Φ(m), où, pour des risons de convergence, k et Im b/ doivent être de signes contrires. Les deux fonctions u numérteur et u dénominteur du quotient sont insi des fonctions thêt d ordre k, entièrement déterminées pr des équtions semblbles à(8),d oùlpossibilité, grâce u principe d Hermite, de réduire les fonctions doublement périodiques les plus générles à des fonctions rtionnelles de fonctions elliptiques. C est un mémoire de Cyley sur les fonctions elliptiques [1847] qui vit suscité cette publiction, mis il est clir à l lecture de l rticle qu Hermite disposit de s méthode depuis un certin temps 11. Depuis 11 Présentnt s méthode, il écrit en effet dns son rticle près voir rppelé letrvil de Cyley : J vis découvert de mon côté le point de vue suivnt, plus voisin peut-être encore de l idée fondmentle de l double périodicité dns les fonctions nlytiques.
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 17 qund? Il est impossible de le dire vec certitude, d utnt que nous connissons fort ml ses ctivités entre l été 1844, dte de s deuxième lettre à Jcobi, et l été 1847, dte pproximtive de s troisième lettre u même. Instllé d bordà Pris, puis, semble-t-il, à Nncy, il vivit lors grâce u soutien de s fmille et peut-être ussi en donnnt des cours privés. En pprence, il produisit peu : ucun mémoire présenté à l Acdémie des sciences, ucun rticle importnt dns l presse mthémtique, quelques indices montrnt qu il s intéressit lors à l œuvre de Glois (voir [Lützen 1990, p. 126] et [Belhoste 1991, p. 207]). Dns s troisième lettre à Jcobi, conscrée à l rithmétique, Hermite lui-même vouit qu il vit été depuis longtemps éloigné dutrvil [1850]. À cette époque, dominée pr ses trvux lgébriques sur les formes qudrtiques, il envisgeit de reprendre ses recherches sur l théorie des fonctions elliptiques et il est donc possible qu il it découvert s représenttion pr quotients des fonctions doublement périodiques u cours des mois suivnts. Mis, pour des risons qui pprîtront dns l suite, cette découverte, ntérieuredns tous les cs à l publiction de Cyley, nous prît remonter plus probblement à l nnée 1844. Elle serit lors contemporine de s deuxième lettre à Jcobi et des premières recherches de Liouville sur les fonctions doublement périodiques. Une fois dmis cette supposition, il nous reste à déterminer si Hermite disposit déjà desreprésenttion des fonctions doublement périodiques pr des quotients de fonctions périodiques en oût 1844, c est-à-dire vnt même le début des investigtions de Liouville. Certes, Hermite ne revendiqu jmis pour lui-même l priorité dns l étude des fonctions doublement périodiques. Il reconnissit à Jcobi le mérite d voir le premier envisgé l théorie des fonctions elliptiques sous ce point de vue nouveu et à Liouville celui de l voir complètement développé. Liouville près lui [Jcobi], écrivit-il en 1862, embrssnt dns toute s générlité l théorie des fonctions doublement périodiques, fit voir qu elles se réduisient ux seules fonctions elliptiques, et mit hors de doute l prévision de Jcobi que ces fonctions résumient en elles tout ce que pouvit présenter l nlyse à l égrd de l périodicité envisgée dns son sens le plus étendu [Hermite 1862, p. 129] 12. Mis si Hermite ne fit jmis mention de ses propres 12 En 1890, il écrit encore : Liouville bordé lepremierlthéorie des fonctions uniformes doublement périodiques et étbli cette importnte proposition que, dns le
18 B. BELHOSTE recherches, il ne fudrit ps en conclure qu il ne trvill ps lui-même très tôt dns cette direction. Il convient en effet de prendre en compte l extrême délictesse dont il fisit toujours preuve dns les questions de priorité et son souci constnt de rendre à ses mîtres, Liouville comme Jcobi ou Cuchy, tout ce qui leur revenit, et prfois même u-delà. L lecture de l lettre d oût 1844 suggère en fit qu Hermite disposit dès ce moment de s représenttion pr quotients des fonctions méromorphes doublement périodiques. L nlogie entre les techniques utilisées dns cette lettre et celles utilisées dns l rticle de 1848 est évidente. Dns les deux cs, Hermite combinit l emploi de séries de Fourier vec celui de reltions fonctionnelles. Mis il y plus. Représenter une fonction elliptique pr un quotient de séries de Fourier étit, comme on l vu, l une des idées de bse de l lettre à Jcobi. Hermite y indiquit explicitement que s méthode est fondée principlement sur ce crctère, digne de toute notre ttention, de l fonction sin m(x), d être exprimble pr le quotient de deux fonctions développbles en séries toujours convergentes, et qui restent les mêmes, ou ne font qu cquérir un fcteur commun, en ugmentnt l rgument de certines constntes. Tel est le lien si simple pr lequel se trouve rttché, ux notions nlytiques élémentires, l ensemble des propriétés crctéristiques de l nouvelle trnscendnte, qui ont leur source dns le principe de l double période. Au regrd de cette remrque, l méthode publiée pr Hermite en 1848 pprît comme une générlistion nturelle du point de vue dopté dns l lettre de 1844, point de vue tiré lui-même directement de l lecture de Jcobi. Pr illeurs, Hermite indiquit en pssnt, dns s lettre de 1844, comment l expression (7) de Π(x) conduit u développement en série de toute fonction rtionnelle de sn x et de s dérivée. Cette remrque montre qu il considérit des fonctions doublement périodiques représentées pr des quotients de fonctions du type Π(x) et qu il svit les réduire ux fonctions elliptiques de Jcobi. Elle suggère insi que dès cette époque, cs où elles n ont qu un nombre fini de pôles à l intérieur du prllélogrmme des périodes, elles s expriment pr une fonction rtionnelle du sinus d mplitude et de s dérivée [Hermite 1890, p. 300]. Dns le même ordre d idée, Briot et Bouquet indiquient déjà en 1859 : Les fonctions doublement périodiques, monodromes et monogènes, jouissent de propriétés communes qui résultent de l idée même de l double périodicité. C est M. Liouville qui, le premier, envisgé les fonctions doublement périodiques sous ce point de vue très-élevé; il jeté insi un grnd jour sur cette mtière uprvnt si obscure [1859, p. 79-80].
HERMITE ET LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 19 Hermite n étit ps loin de posséder l proposition fondmentle de Liouville selon lquelle les fonctions doublement périodiques les plus générles se réduisent à des fonctions rtionnelles de sn x et de s dérivée. Dns son mémoire du 19 novembre 1849, il indiqu effectivement, sns en donner l démonstrtion, que l considértiondes solutions de l éqution (8) permet fcilement d obtenir cette réduction, mis il prît peu vrisemblble, comme semblit le croire M. Noether [1902, p. 345 346], qu il possédit déjà cette proposition en oût 1844, c est-à-dire vnt Liouville. Il est donc tout à fit possible que ce soit Hermite qui it entrepris le premier de rmener l étude des fonctions elliptiques à celle des fonctions doublement périodiques, représentées pr des quotients de fonctions entières périodiques, et qu il it mis insi Liouville sur l voie d une théorie générle des fonctions doublement périodiques. Cette étude urit été, dns son esprit, un trvil préprtoire à celle des fonctions hyperelliptiques, à qutre périodes simultnées. On pourr cependnt préférer l hypothèse inverse et supposer qu Hermite, influencé pr les trvux de Liouville, ne développ s méthode qu près coup. Les deux mthémticiens se communiquient en effet régulièrement leurs découvertes et Hermite prit connissnce dès 1844 des résultts obtenus pr Liouville concernnt les fonctions doublement périodiques (voir [Cuchy 1851]). Le principium de Liouville, en montrnt qu une fonction doublement périodique non trivile ne peut être représentée pr une série de Fourier, conduisit d illeurs nturellement à l idée d une représenttion pr des quotients de séries de Fourier, générlisnt l représenttion des fonctions elliptiques de Jcobi pr des quotients de fonctions, comme Hermite l indiquit lui-même plus trd en exposnt s méthode [1862, p. 143]. Au terme de cette discussion, il fut se résigner à ne ps trncher cette question de priorité. Dns tous les cs, c est Liouville et lui seul qui sut tirer de cette idée initile une théorie complète, fondée sur l ppliction systémtique de son principium. Qunt à Hermite, ses préoccuptions étient différentes. L doption d un tel point de vue pour étudier les fonctions elliptiques et leurs trnsformtions ne l intéressit que dns l mesure où il pouvit être étendu ux intégrles hyperelliptiques et ux intégrles béliennes en générl. Ses tenttives en ce sens boutirent d illeurs à un échec u cours des nnées 1840. C est seulement en 1855
20 B. BELHOSTE qu il prvint à construire une théorie des fonctions thêt à deux vribles sur le modèle de s théorie des fonctions thêt à une vrible, et à fonder sur elle une théorie de l trnsformtion des fonctions hyperelliptiques [1855]. Il convient d jouter que l théorie d Hermite reposit sur des bses extrêmement frgiles. Ce n est que pr une sorte d induction qu il concluit en effet à l possibilité de représenter une fonction doublement périodique pr un quotient de fonctions entières périodiques. Pour le démontrer véritblement, il lui mnquit d bord le théorème de Weierstrss étblissnt, comme il le supposit implicitement, que toute fonction méromorphe peut être représentée pr un quotient de fonctions entières. Une fois dmis cette proposition, il lui urit fllu démontrer en outre que toute fonction doublement périodique se réduit effectivement à un quotient de fonctions thêt d ordre k, ce qu il ne fisit ps. Ces fiblesses, qu Hermite ne prvint à surmonter qu une fois ssimilés les trvux de Weierstrss, c est-à-dire près 1880, ont pu l inciter à rechercher une nouvelle méthode pour exposer l théorie des fonctions elliptiques. LE MÉMOIRE INÉDIT DE 1849 ET L INTRODUCTION DES MÉTHODES DE CAUCHY DANS LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES L historiogrphie ttribue trditionnellement à Liouville le mérite d voir fondé l théorie des fonctions elliptiques sur l théorie des fonctions de vrible complexe en y introduisnt les méthodes de Cuchy 13. C. Houzel [1978, p. 22], puis J. Peiffer et J. Lützen, dns les trvux déjà cités, ont fit justice de cette ffirmtion inexcte. En fit, c est Hermite et non Liouville qui construit le premier une théorie des fonctions méromorphes doublement périodiques en prtnt de l théorie des résidus. Ce trvil fit l objet d une Note sur les fonctions elliptiques présentée à l Acdémie des sciences le 19 novembre 1849 et restée depuis inédite. Elle est reproduite ici en nnexe 14. 13 Voir, pr exemple, [Fricke 1913, p. 232], [Whittker et Wtson 1902/1927, p. 462] et [Chndrsekhrn 1985, p. 25]. 14 En présentnt ce mémoire à l Acdémie, Hermite écrivit : Lthéorie des fonctions elliptiques que j i l honneur de présenter àl Acdémie repose principlement sur quelques propositions que M. Cuchy déduites de l considértion des intégrles prises entre des limites imginires. [...] Les recherches présentes montreront une