Compte rendu Hackathon Alexandre Martin 8 avril 04 Le présent document a pour but de synthétiser la discussion sur la définition d un élément fini. Participants à la discussion : Alexandre Martin (LaMSID), Nicolas Chauvat (LogiLab), Maxilmilien Siavelis (Alneos), Rémy Mozul et Frédéric Dubois (LMGC). Concepts introduits dans la méthode des éléments finis. Discrétisation de la géométrie Un élément fini s appuie sur un support géométrique, e.g. dans le cas bidimensionnel un triangle ou un quadrangle. Le choix du support géométrique défini un domaine de référence Ω 0 dans un espace paramétrique, e.g. dans le cas bidimensionnel cet espace est muni du repère (, ξ, ) (cf. Figure ). Considérons un élément fini e occupant le domaine Ω e de l espace. Une fonction de transformation géométrique F permet d associer à tout point ξ Ω 0 de l espace paramétrique, un point x Ω e de l élément fini e. Un ensemble de points i, appelés nœuds, est défini dans le domaine occupé par l élément Ω e. Soit ( x i ) i les coordonnées de ces nœuds dans Ω e. La fonction de transformation géométrique F associe à un point ξ i Ω 0, un nœud i (cf. Figure ). L image d un point ξ de Ω 0 dans Ω e est obtenu par interpolation : F : ξ x( ξ) = i N i ( ξ) x i, () où les fonction ( N i ) i sont des polynômes dont le degré peut être choisi, e.g. linéaire ou quadratique. Finalement, le nombre de nœud de l élément e dépend du support géométrique et du degré des fonctions d interpolation ( N i ) i. Il est à noter qu une paire {support géométrique ; degré d interpolation de la fonction de transformation géométrique} définit une maille. Le rôle d un mailleur est donc de paver l espace avec des mailles dont le nombre de nœuds dépend du support géométrique et du degré d interpolation défini par l utilisateur. n parle ainsi de mailles telles que le triangle linéaire ou le quadrangle quadratique par exemple.
+ + ξ a) ξ b) Figure Illustration du domaine de référence pour un triangle a) et un quadrangle b). F x(x, y) y ξ(ξ, ) x ξ Figure Illustration de la fonction de transformation géométrique dans le cas d un triangle et d une interpolation linéaire des coordonnées, i.e. un triangle décrit par trois nœuds..
. Discrétisation des inconnues La méthode des éléments finis est conçue pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. Selon le problème considéré, un ou plusieurs champs d inconnues sont introduits. Par exemple en mécanique des milieux continus, l inconnue est le champ de déplacement u( x). La discrétisation spatiale des champs inconnues est définie par interpolation des valeurs nodales des inconnues, e.g. dans le cas de la mécanique : u( x( ξ)) = i N i ( ξ) u i, () où les fonctions (N i ) i sont des polynômes. Un élément fini est donc muni d un ou plusieurs champs d inconnues nodales, e.g. en mécanique ( u i ) i. Il est à noter que dans le cas où plusieurs inconnues sont définies, elles peuvent utiliser des fonctions d interpolations de degré différents, e.g. en poro-élasticité on utilise typiquement des fonctions linéaires pour l interpolation de la pression et quadratiques pour l interpolation du déplacement. Dans le cas où on choisi le même degré d interpolation pour les inconnues que pour la géométrie, i.e. Ni = N i, l élément est dit isoparamétrique.. Calculs élémentaires Après discrétisation un problème discret équivalent au problème continu est initial est formulé. Le problème est alors de résoudre un système linéaire de la forme : [K]{u} = {f}, () où les inconnues nodales ( u i ) i de l ensemble des noœuds du maillage sont stockées dans le vecteur {u}. La matrice [K] et le vecteur {f} sont calculés en assemblant les matrices élémentaires [K e ] et les vecteurs élémentaires {f e }. Les matrices et seconds membres élémentaires peuvent être la somme de plusieurs contributions, chacune provenant d un terme différent de la formulation. En mécanique des milieux continus, on introduit par exemple la matrice de rigidité : [K e ] = ([ s N]) T [E] ([ s N]) dω, (4) Ω e et la matrice de masse : [M e ] = ρ[n] T [N]dΩ. Ω e (5) Le tenseur de Hooke [E] et la masse volumique ρ dépendent du matériau et peuvent être des fonctions de l espace. L opérateur s est l opérateur gradient symétrique. La matrice [N] est introduite pour obtenir une écriture matricielle () sous la forme : u( x( ξ)) = [N( ξ)]{u e }. (6)
Considérons un problème bidimensionnel et un élément triangle linéaire isoparamétrique. Dans ce cas le champ de déplacement a deux composantes u( x) = (u x ( x), u y ( x)) T et on a : [N( ξ)] = [ N ( ξ) 0 N ( ξ) 0 N ( ξ) 0 0 N ( ξ) 0 N ( ξ) 0 N ( ξ) ], (7) {u e } = { (u x ) (u y ) (u x ) (u y ) (u x ) (u y ) } T. (8).4 Discrétisation des intégrales Les intégrales apparaissant dans les matrices et seconds membres élémentaire sont ramenés à des intégrales dans l élément de référence Ω 0, e.g. pour la matrice de rigidité : [K e ] = ([ s N]) T [E] ([ s N]) JdΩ, (9) Ω 0 où J( ξ) est le jacobien de F. L intégration dans l élément de référence d une fonction f est effectuée en utilisant une formule de quadrature : f( ξ)dω f( ξ k )w k, (0) Ω 0 k où ( ξ k ) k sont les points d intégrations et (w k ) k les poids associés. Les formules de quadrature de Gauss permettent d obtenir la valeur exacte de l intégrale pour des fonctions polynomiales dont le degré dépend du nombre de points d intégration considéré. Le choix de la formule de quadrature dépend donc en général du degré des fonctions à intégrer pour une matrice ou un vecteur élémentaire donné. Dans le cas d un élément triangle linéaire isoparamétrique on choisit la formule à un point de Gauss pour le calcul de la matrice de rigidité et la formule à trois points de Gauss pour le calcul de la matrice de masse. Description d un objet élément fini La synthèse des notions introduites dans la section précédente permet de définir l objet élément fini comme suit.. Attributs Les attributs d un élément fini sont : Un support géométrique (e.g. triangle). Les coordonnées des nœuds ( x i ) i Ω e. Le nombre de nœuds dépend du degré des fonctions d interpolation de la géométrie ( N i ) i. Les champs inconnus (e.g. le champ déplacement u en mécanique). L espace mémoire utilisé pour stocker chaque champ inconnu dépend de son type (e.g. scalaire ou vectoriel) et du degré des fonctions d interpolation utilisées pour le discrétiser (N i ) i. 4
Les formules quadratures utilisées pour réaliser les intégrations numériques des différents termes élémentaires. Le choix d une formule de quadrature est dicté par le degré des polynômes pour lesquels on souhaite obtenir la valeur exacte de l intégrale. Les champs de paramètres nécessaires pour calculer les termes élémentaires (e.g. la masse volumique ρ pour calculer la matrice de masse). L espace mémoire utilisé pour stocker chaque champ dépend de son type (e.g. scalaire ou vectoriel) et du nombre de points d intégration où il doit être évalué. Ce nombre de points d intégration dépend de la formule de quadrature à utiliser pour calculer le terme élémentaire considéré. Les champs produits lors du calcul des termes élémentaires, typiquement la matrice ou le vecteur élémentaire souhaité, et éventuellement certains champs évalués lors du calcul élémentaire, e.g. les contraintes aux points d intégration lors du calcul de la matrice de rigidité élémentaire. L espace mémoire utilisé pour stocker chaque champ dépend de son type (e.g. scalaire ou vectoriel) et du nombre de points d intégration où il doit être évalué. Ce nombre de points d intégration dépend de la formule de quadrature à utiliser pour calculer le terme élémentaire considéré.. Méthodes Chaque terme élémentaire qu un élément fini doit calculer (e.g. la matrice de rigidité ou la matrice de masse en mécanique) constitue une méthode de l élément fini. Les paramètres d entrée de ces méthodes sont : La formule de quadrature à utiliser. Les champs nécessaires (e.g. la masse volumique évaluée aux points d intégration pour le calcul de la matrice de masse). Les paramètres de sortie de ces méthodes sont : La matrice ou le vecteur élémentaire souhaité. Éventuellement certains champs évalués lors du calcul élémentaire, e.g. les contraintes aux points d intégration lors du calcul de la matrice de rigidité élémentaire. 5