Contenu du Cours 24. ÉDO du type homogène. ÉDO linéaires. Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Contenu du Cours 24 ÉDO du type homogène ÉDO linéaires Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

ÉDO du type homogène ÉDO du type homogène

ÉDO du type homogène Définition Une équation différentielle du type homogène est une équation qui s écrit sous forme normale y = f(x,y) avec comme condition supplémentaire que f(ax, ay) = f(x, y) pour tout a R. Une telle équation se résout en changeant de fonction inconnue : y(x) = xu(x). u est la nouvelle fonction inconnue.

ÉDO du type homogène Exemple L équation suivante est du type homogène : y = x + 2y 2x y Ici, f(x,y) = x+2y 2x y, et en effet : f(ax,ay) = ax + 2ay 2ax ay = a a x + 2y 2x y = x + 2y 2x y Posons y = xu, d où y = u + xu, et l équation devient : u + xu = x + 2xu 2x xu u + xu = 1 + 2u 2 u ce qu on transforme encore en xu = 1 + 2u 2 u u = u2 + 1 2 u. (ceci est une équation à variables séparables)

ÉDO du type homogène Exemple Par conséquent on peut ré-écrire 2 u u 2 + 1 u = 1 x d où, 2 u dx u 2 + 1 du = x. À ce point, on dit que l équation différentielle est résolue à quadrature près. C est-à-dire à une intégrale près.

ÉDO du type homogène Exemple Reprenons 2 u dx u 2 + 1 du = x. Dans le cas présent, on explicites : peut trouver des primitives 2arctanu 1 2 ln( u 2 + 1 ) = ln x + C. À ce point-ci, on dit que nous avons une solution sous forme implicite : nous n avons pas encore une formule pour u(x) (ou y(x)) mais nous savons qu il «suffit» de résoudre une équation classique (non-différentielle) et isoler u pour obtenir une telle formule. Dans le cas présent, nous ne tenterons pas d obtenir une solution explicite.

ÉDO linéaires ÉDO linéaires Définitions Étape L1 Résolution de l équation linéaire homogène associée (ÉLHA) Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire Étape L4 Déterminer les constantes d intégration grâce aux conditions initiales. Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

ÉDO linéaires Définitions ÉDO linéaires Définitions Étape L1 Résolution de l équation linéaire homogène associée (ÉLHA) Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire Étape L4 Déterminer les constantes d intégration grâce aux conditions initiales.

ÉDO linéaires Définitions Définition Une équation différentielle du premier ordre est dite linéaire si elle est écrite sous la forme : q(x)y + p(x)y = f(x) (EL) où p,q,f sont des fonctions données. Les fonctions p et q sont appelés les «coefficients». Ces coefficients sont parfois constants (ne dépendent pas de x) mais en général ce sont des fonctions de x. La fonction f est appelée le «second membre» de l équation. Si f(x) = 0 pour tout x, on dit de l équation qu elle est linéaire homogène.

ÉDO linéaires Définitions Exemple 2y + y = 0 (linéaire, homogène, à coefficients constants) 2y + y = x 2 (linéaire, non-homogène, à coefficients constants) 2xy + y = 1 (non-homogène, à coefficients non-constants) y 2 + y = x (non-linaire) y + sin(y) = x (non-linaire) Pour résoudre une équation linéaire, nous procédons en quatre étapes faciles :

ÉDO linéaires L1 Résolution de l ÉLHA ÉDO linéaires Définitions Étape L1 Résolution de l équation linéaire homogène associée (ÉLHA) Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire Étape L4 Déterminer les constantes d intégration grâce aux conditions initiales.

ÉDO linéaires L1 Résolution de l ÉLHA On appelle «équation linéaire homogène associée» (ÉLHA) l équation suivante : q(x)y + p(x)y = 0 (ÉLHA) C est une équation différente, mais dont les solutions nous serons utiles pour exprimer les solutions de l équation linéaire (EL) de départ. Cette équation est à variables séparables, dès lors nous pouvons en écrire explicitement les solutions en vertu de la méthode décrite précédemment : p(x) y SGEH (x) = C exp( Φ(x)) où Φ(x) = q(x) dx où C est une constante d intégration. Le sigle SGEH signifie : solution générale de l équation homogène. «Générale» car nous avons de la sorte toutes les solutions de l équation (ÉLHA), grâce au choix de C.

ÉDO linéaires Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) ÉDO linéaires Définitions Étape L1 Résolution de l équation linéaire homogène associée (ÉLHA) Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire Étape L4 Déterminer les constantes d intégration grâce aux conditions initiales.

ÉDO linéaires Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Motivation Rappelons que notre but est de trouver toutes les solutions de l équation linéaire (EL). Cependant, supposons avoir une solution de cette équation, notons-la y SPEL. Soit y une autre solution de (EL), et soit z = y y SPEL. Alors nous pouvons calculer q(x)z + p(x)z : q(x)z + p(x)z = q(x)y q(x)y SPEL + p(x)y p(x)y SPEL = (q(x)y + p(x)y) (q(x)y SPEL + p(x)y SPEL ) = f(x) f(x) = 0 En d autres termes, z est une solution de l (ÉLHA). Or nous connaissons ces solutions. Nous en déduisons qu il existe C tel que z(x) = C exp( Φ(x)),càd y(x) = y SPEL (x) + C exp( Φ(x)) } {{ } y SGEH (x) Ceci justifie de chercher une solution particulière, y SPEL. Pour ce faire, nous voyons pour le moment deux méthodes.

ÉDO linéaires Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Méthode de la génération spontanée Il arrive dans certains cas qu une solution particulière apparaisse de manière évidente. Nul besoin dans ce cas d aller chercher plus loin. Exemple L équation exp(x 2 )y + y = 1 admet une solution évidente : y(x) = 1. En effet, y (x) = 0 et donc l équation est satisfaite.

ÉDO linéaires Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Méthode de variation de la constante (à une variable) Cherchons une solution particulière de la forme y SPEL = u(x)exp( Φ(x)), où u est une nouvelle fonction inconnue. Nous reconnaissons ici l expression de y SGEH où nous avons remplacé la constante par une fonction inconnue. Pour cette raison, la méthode s appelle méthode de la variation de la constante. Pour que la fonction y SPEL ci-dessus soit solution de l équation (EL), il faut que l équation soit vérifiée : q(x)y SPEL + p(x)y SPEL = f(x) c est-à-dire q(x)u exp( Φ(x)) q(x)u exp( Φ(x)) p + p(x)u exp( Φ(x)) = f(x) q ou encore, puisque deux termes se simplifient : q(x)u exp( Φ(x)) = f(x) dont on tire f(x)exp(φ(x)) u = dx. q(x)

ÉDO linéaires Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire ÉDO linéaires Définitions Étape L1 Résolution de l équation linéaire homogène associée (ÉLHA) Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire Étape L4 Déterminer les constantes d intégration grâce aux conditions initiales.

ÉDO linéaires Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire D après les raisonnements précédents, la solution générale de l équation linéaire (EL) de départ est donnée par y(x) = y SGEH (x) + y SPEL (x).

ÉDO linéaires L4 Utiliser les conditions initiales ÉDO linéaires Définitions Étape L1 Résolution de l équation linéaire homogène associée (ÉLHA) Solution particulière de l équation linéaire (SPEL) Étape L3 Écrire la solution générale de l équation linéaire Étape L4 Déterminer les constantes d intégration grâce aux conditions initiales.

ÉDO linéaires L4 Utiliser les conditions initiales Si des conditions initiales ont été fournies dans l exercice, voici venu le temps de les prendre en compte. Rappelons que la solution générale est donnée par y(x) = y SGEH (x) + y SPEL (x) et contient une constante d intégration (présente dans y SGEH ). Ceci veut dire que pour trouver la solution particulière vérifiant les conditions initiales, il faut déterminer la valeur de la constante d intégration. Remarque En général la solution particulière trouvée à l étape L2 n est pas la solution particulière qui vérifie les conditions initiales. La présente étape est donc importante!

ÉDO linéaires L4 Utiliser les conditions initiales Exemple Considérons le problème de Cauchy suivant : y + 2xy = 2x y(0) = 2 (L1) On résout d abord l ÉLHA : y + 2xy = 0, ce qui donne y SGEH (x) = C exp( x 2 ), pour une certaine constante C. (L2) On cherche une solution particulière de l équation linéaire. Par la méthode de la variation de la constante, on prend y de la forme y(x) = u(x)exp( x 2 ), dont on tire y (x) = u (x)exp ( x 2) 2xu(x)exp ( x 2) En remplaçant dans l équation, nous obtenons u = 2xexp(x 2 ) d où u(x) = exp ( x 2), et donc y(x) = exp(x 2 )exp ( x 2) = 1 est une solution particulière de notre ÉDO. (L3) La solution générale est donc y(x) = 1 + C exp ( x 2). (L4) On veut y(0) = 2, c est-à-dire 2 = 1 + C, et donc C = 1. La solution finale est donc y(x) = 1 + exp ( x 2).

ÉDO linéaires Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Étape L3 Étape L4 Exemples

Définitions Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Étape L3 Étape L4 Exemples

Définitions Définition Une équation linéaire du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme : ay + by + cy = f(x) pour certaines constantes a,b,c et une fonction donnée f. Exemple y + 2y + y = 0 (linéaire, homogène, à coefficients constants) y + 2y + y = x 2 (linéaire, non-homogène, à coefficients constants) xy + 2xy + y = x 2 (non-homogène, à coefficients non-constants) La résolution d une telle équation se fait en quatre étapes, notées L1, L2, L3 et L4, comme dans le cas des équations linéaires du premier ordre.

Étape L1 Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Étape L3 Étape L4 Exemples

Étape L1 Il faut d abord résoudre l équation linéaire homogène associée (ÉLHA) : ay + by + cy = 0. Remarque Dans le cas des équations du premier ordre, cela revenait à résoudre une équation à variables séparables. Dans le cas présent, la méthode ne s applique pas. À une telle équation on associe son polynôme caractéristique : aλ 2 + bλ + c. Selon le nombre de racines de ce polynôme, la solution générale prendra une forme différente.

Étape L1 Théorème Les solutions de l ÉLHA sont : Cas 1 Si b 2 4ac > 0, on note λ 1 = b+ b 2 4ac 2a et λ 2 = b b 2 4ac 2a les deux racines du polynôme caractéristique. La solution générale de l équation homogène (SGEH) est alors : y SGEH (x) = C 1 exp(λ 1 x) + C 2 exp(λ 2 x) où C 1 et C 2 sont des constantes d intégration. Cas 2 Si b 2 4ac = 0, on note λ = b 2a. La solution générale de l équation homogène (SGEH) est alors : y SGEH (x) = (C 1 + C 2 x)exp(λx) où C 1 et C 2 sont des constantes d intégration.

Étape L1 Théorème (continué) Cas 3 Si b 2 4ac < 0, on note ρ = b 2a et ω = 1 2 4ac b 2. La solution générale de l équation homogène (SGEH) est alors : y SGEH (x) = (C 1 cos(ωx) + C 2 sin(ωx))exp(ρx) où C 1 et C 2 sont des constantes d intégration.

Étape L1 Nous ne démontrons pas ce théorème, mais il est facile (quoiqu un peu long) de vérifier que les solutions suggérées sont bien des solutions. Vérifier qu il n y en a pas d autres est un peu plus astucieux. Remarque Dans le théorème ci-dessus, la solution y SGEH est toujours de la forme : y SGEH (x) = C 1 g 1 (x) + C 2 g 2 (x) où g 1 et g 2 sont données par le théorème et dépendent du cas dans lequel on se trouve. C 1 et C 2 sont les constantes d intégration.

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Étape L3 Étape L4 Exemples

Comme dans le cas du premier ordre, il faut trouver une solution particulière y SPEL de l équation linéaire (EL) de départ. Quelques méthodes : Génération spontanée ; Méthode la variation des constantes ; Divination avancée (méthodes diverses).

Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Variation des constantes Divination avancée Polynômes Exponentielles Trigono-exponentielles Étape L3 Étape L4 Exemples

Remarque Cette méthode a l avantage de s appliquer dans tous les cas, mais le désavantage d être souvent très calculatoire. Nous cherchons une solution particulière de la forme : y SPEL (x) = u(x)g 1 (x) + v(x)g 2 (x) où g 1 et g 2 sont les fonctions données par le théorème et la remarque ci-dessus, et u,v sont de nouvelles fonctions inconnues. Notons cela de manière concise y SPEL = ug 1 + vg 2. Supposons en outre que u g 1 + v g 2 = 0. On peut vérifier que si u et v, vérifiant la condition donnée, sont telles que y SPEL vérifie l équation, alors elles vérifient également : { u g 1 (x) + v g 2 (x)=0 u g 1 (x) + v g 2 a Et réciproquement, si u et v vérifient le système ci-dessus, alors y SPEL définie plus haut sera bien une solution particulière de l équation linéaire de départ. (x)= f(x)

Ce système de deux équations en les inconues u et v se résout pour donner : u f(x)g = 2 (x) a(g 1 (x)g 2 (x) g 2(x)g 1 (x)) v f(x)g = 1 (x) a(g 1 (x)g 2 (x) g 2(x)g 1 (x)) Dès lors, nous avons toujours une solution y SPEL à quadrature près (il faut encore intégrer pour obtenir u et v).

Lorsque le second membre f(x) est suffisamment simple, il est possible de deviner une solution en résolvant de petits sytèmes algébriques. Exemple Si l équation linéaire de départ est y + y + y = cosx par exemple, on comprend rapidement qu en remplaçant y par une combinaison de cosinus et de sinus, le membre de gauche s évaluera à une combinaison de sinus et cosinus. L espoir est de pouvoir choisir la combinaison qui donnera précisément cosx à l arrivée. Les diverses méthodes ci-dessous dépendent de la forme de f.

Si f est un polynôme de degré n, on cherche y SPEL sous la forme d un polynôme de degré : n si c 0 n + 1 si c = 0,b 0 n + 2 si c = 0,b = 0,a 0.

Si f a la forme f(x) = A exp(kx), pour des constantes A et k, alors on essaye y SPEL de la forme : βexp(kx), si ak 2 + bk + c 0 (c est-à-dire k n est pas racine du ponyôme caractéristique), βx exp(kx), si k est racine simple du polynôme aλ 2 + bλ + c, βx 2 exp(kx), si k est racine double du polynôme aλ 2 + bλ + c.

Si f(x) = (A cos(kx) + B sin(kx)) exp(lx) pour certaines constantes A,B,k,l, alors on essaye y SPEL de la forme : (αcos(kx) + βsin(kx))exp(lx) si k ρ ou l ω (ρ et ω sont des quantités données dans le théorème pour l équation linéaire homogène ÉLHA.) x(α cos(kx) + β sin(kx)) exp(lx) sinon (c est-à-dire k = ρ et l = ω).

Étape L3 La solution générale de l équation linéaire (EL) de départ est donnée par y(x) = y SGEH (x) + y SPEL (x).

Étape L4 Si des conditions initiales ont été fournies dans l exercice, voici venu le temps de les prendre en compte. Rappelons que la solution générale est donnée par y(x) = y SGEH (x) + y SPEL (x) et contient deux constantes d intégration (venant de y SGEH ). Ceci veut dire que pour trouver la solution particulière vérifiant les conditions initiales, il faut déterminer les constantes d intégration. Remarque En général la solution particulière trouvée à l étape L2 n est pas la solution particulière qui vérifie les conditions initiales.

Exemples Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Étape L3 Étape L4 Exemples

Exemples Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Étape L3 Étape L4 Exemples Résolution d une équation homogène Résolution d une équation linéaire non-homogène

Exemples Résolvons le problème de Cauchy y 3y + 2y = 0 x 0 = 0 y 0 = 1 y 0 = 0 Remarque Cette équation linéaire est déjà homogène, donc il n y a que les étapes L1 et L4 à considérer. Étape L1 : le polynôme caractéristique est λ 2 3λ + 2 ; ses racines sont 2 et 1. Ceci nous place dans le cas 1 du théorème, et donc la solution générale est : y(x) = C 1 exp(2x) + C 2 exp(x). L étape L4 : prendre { en compte les conditions { initiales : y(0)=1 C1 + C y c est-à-dire 2 =1 (0)=0 2C 1 + C 2 =0 dont on tire C 1 = 1 et C 2 = 2. La solution du problème de Cauchy est donc : y(x) = exp(2x) + 2exp(x).

Exemples Équations linéaires du second ordre à coefficients constants Définitions Étape L1 Étape L3 Étape L4 Exemples Résolution d une équation homogène Résolution d une équation linéaire non-homogène

Exemples Nous considérons cette fois l équation linéaire suivante : y + y = cos(2x). Étape L1 : le polynôme caractéristique est λ 2 + 1 (cas 3 du théorème), avec ρ = 0 et ω = 1. Dès lors la solution générale de l ÉLHA est : y SGEH (x) = C 1 cos(x) + C 2 sin(x) : appliquons la recette trigono-exponentielle. Ici k = 2 et l = 0. C est le premier sous-cas car ω k. Dès lors nous essayons une solution particulière de la forme : y SPEL = αcos(2x) + βsin(2x) Imposons que cette fonction soit solution de l équation linéaire de départ. À cette fin, il faut calculer : y SPEL = 2αsin(2x) + 2βcos(2x) y SPEL = 4αcos(2x) 4βsin(2x) et remplacer dans l équation : y SPEL (x)+y SPEL (x) = cos(2x) 3αcos(2x) 3βsin(2x) = cos(2x).

Exemples Ceci est vérifié pour α = 1 3 et β = 0, dès lors y SPEL (x) = cos(2x) 3 est notre solution particulière. Étape L3 : la solution générale de l équation linéaire de départ est y(x) = C 1 cos(x) + C 2 sin(x) 1 3 cos(2x) Étape L4 : nous n avions donné aucune conditions initiales, donc rien n est à faire.