- robabltés - haptre : Introducton à la théore des probabltés.0 robablté vs statstque.... Expérence aléatore et espace échantllonnal.... Événement.... xomes défnton de probablté..... Quelques théorèmes utles sur les probabltés..... Rappels utles sur les opératons applquées aux ensembles...4.4 robablté condtonnelle, ndépendance...4.5 Théorème de probablté totale et formule de ayes...7.6 agrammes en arbre...0.6. nalyse et arbre de décson....7 énombrement des événements...4.0 robablté vs statstque robablté : connassant la populaton étudée, prédre les chances d observer dfférents résultats ex. lancer d un dé équlbré. Statstque : ayant observé des résultats selon certanes règles de l art nférer les caractérstques de la populaton ex. résultats d un sondage, effets d un médcament sur un groupe d étude.. Expérence aléatore et espace échantllonnal éfntons Expérence aléatore : expérence qu peut être répétée théorquement auss souvent que l on veut, dans des condtons fxées, dont on connaît l ensemble des résultats possbles mas dont on ne peut prédre avec certtude le résultat que l on obtendra. Espace échantllonnal : ensemble des résultats possbles d une expérence aléatore noté c S. compter le nombre de véhcules qu passent sur la rue Edouard-Montpett en drecton est entre h00 et h0 un jour quelconque de semane. L espace échantllonnal est {0,,,...}. prélever un échantllon de sol et mesurer sa masse volumque sèche. L espace échantllonnal est R + de façon + réalste une valeur entre 0 et.5 g/cm. effectuer un test de gonflement du béton en cure humde test NOR et vérfer s le béton réusst la norme NOR sur le gonflement. L espace échantllonnal est {réuss, échoué}.
- robabltés -. Événement Un événement est un sous-ensemble de l espace échantllonnal correspondant à un énoncé concernant l expérence aléatore. le nombre de véhcules observé dans l exemple est supéreur à 5. la masse volumque dans l exemple est comprse entre.9 et. g/cm. le béton dans l exemple a échoué le test de gonflement. Événement complémentare : noté l événement ne se produt pas. Événements mutuellement exclusfs : et sont mutuellement exclusfs s lorsque se produt ne se produt pas et vce-versa. Événements collectvement exhaustfs : l unon des événements donne S. E artton : Ensemble d événements mutuellement exclusfs et collectvement exhaustfs.
- robabltés -. xomes défnton de probablté La probablté d un événement, notée est un nombre réel tel que :. 0. S S alors est l événement certan.. Sot deux événements mutuellement exclusfs.e. n ayant aucun élément en commun, alors : + lus ntutvement, supposons que l on effectue une expérence aléatore un grand nombre «n» de fos et que l on observe l événement «n» fos. On peut calculer la fréquence relatve f n /n. S l on fat tendre «n» vers l nfn, la valeur f tendra vers. ans la pratque, les probabltés peuvent être détermnées parfos théorquement par le contexte de l expérence pensons aux jeux de cartes, aux pèces de monnae, aux dés,..., parfos estmées à l ade d observatons des résultats d une sére d expérences aléatores ou, en langage plus smple, d observatons, ou même parfos basées sur l expérence de l ngéneur pour des stuatons semblables probabltés subjectves. Sot un événement et l événement complémentare. On a +. Sot deux événements quelconques et. +.. Quelques théorèmes utles sur les probabltés T : 0 : ensemble vde T : + T : + T4 : + + + k k k k j m... +... k < j < j< m T5 :... k j + T6 : S alors T7 :
- robabltés -4.. Rappels utles sur les opératons applquées aux ensembles Los d dentté : S S est l espace échantllonnal Los assocatves : et Los dstrbutves : et Los de e Morgan : et Toutes ces los se vsualsent faclement à l ade de dagrammes de Venn..4 robablté condtonnelle, ndépendance Sot deux événements et. est la probablté d observer smultanément les événements et. arfos, on la note smplement, ou et. Le tableau suvant montre les probabltés, dans une régon donnée, d observer smultanément un certan type de sol et sa masse volumque sèche d un côté ou l autre du seul.7 g/cm. ρ. / cm ρ >. / cm slt 0. 0. sable 0. 0. tll 0.05 0. autre 0.5 0 Sot l événement ρ. / cm et l événement ρ >. / cm. Sot l événement le sol est un slt, le sol est un sable, le sol est un tll, 4, le sol est autre chose. Les événements, et, :4 forment une partton de l espace échantllonal correspondant à l expérence aléatore «prélever un échantllon de sol et noter sa masse volumque et la nature du sol». robablté margnale ou totale : la probablté d observer un événement j peu mporte ce qu est observé pour,...n,, tel que U S. j ans le tableau précédent, la probablté qu un sol prélevé au hasard dans la régon étudée sot un sable peu mporte sa densté est 0.+0.0.. La probablté que la masse volumque d un sol prélevé au hasard sot nféreure ou égale à.7 g/cm peu mporte la nature du sol est 0.+0.+0.05+0.50.6 robablté condtonnelle : probablté d observer un événement sachant qu un événement est réalsé. On note :. On a : avec >0 Note : comme l faut que l événement sot observé, cec mplque que >0. j
- robabltés -5 * + + + + Note : e la défnton de probablté condtonnelle, on a :. ette écrture se généralse drectement à plus de deux événements :......... k k k ette expresson est à la base d une des méthodes de smulaton les plus utlsées en géostatstque. u tableau précédent, on trouve que la probablté condtonnelle qu un sol sot un sable étant donné que la masse volumque du sol est nféreure ou égale à.7 g/cm est : 0./0.+0.+0.05+0.5/. La probablté condtonnelle qu un tll présente une masse volumque >.7 g/cm est 0./0.05+0.0.8. Note : les probabltés margnales et condtonnelles ont évdemment toutes les proprétés de probabltés. ar exemple, + et Indépendance : deux événements sont ndépendants s la probablté de réalsaton de l un ne vare pas selon que l autre événement sot réalsé ou non. ec sgnfe que la probablté margnale est égale à la probablté condtonnelle. et sont ndépendants ss : 0 0 avec avec > > Exemple 0 : Toujours avec le même tableau, on calcule : slt0. sable0. tll0.5 autre0.5 7 cm / g. ρ 0.6 7 cm g /. > ρ 0.4 vec ces probabltés margnales, on peut construre le tableau correspondant sous hypothèse d ndépendance:
- robabltés -6 Sous hypothèse d ndépendance ρ. / cm ρ >. / cm slt 0.8 0. sable 0.8 0. tll 0.5 0. autre 0.09 0.06 omparant les tableaux, on constate que celu-c dffère du précédent, les événements ne sont donc pas ndépendants. Note : ans la pratque, on travalle souvent avec des probabltés estmées à partr d observatons prses sur le terran. ans ce cas, l ne faut pas s attendre, même pour des «caractérstques» vrament ndépendantes que la relaton sot exactement respectée. On vérfera plutôt s elle est approxmatvement respectée ou non test statstque. Note : ans pluseurs cas, on formulera l hypothèse d ndépendance basée sur l expérence ou la logque. pplcaton : alcul de l espérance du coût d un desgn Un parc ndustrel en développement content deux emplacements où l on dot fournr l eau aux futurs locatares. Les locatares des emplacements ne sont pas connus, mas on estme que leur consommaton sera de ou untés chacun. En chaque ste, les probabltés que le futur locatare at un beson «x» en eau sont données par : 0., 0.7. Lors du desgn, on peut concevor une condute de capacté, ou 4 untés. Les coûts de constructon de la capacté sont de 5000$ supéreurs à ceux de la capacté. eux de la capacté 4 sont de 5000 dollars supéreurs à ceux de la capacté. dvenant que la demande des locatares excède la capacté nstallée, on pourra accroître la capacté selon les coûts suvants : de à 000$ de à 4 0000$ de à 4 5000$ Quelle devrat être la capacté adoptée au desgn? On va supposer que la demande en eau des locatares est ndépendante de la demande de l autre locatare. On a 4 résultats possbles :,,,,, et,. On peut alors calculer la probablté que chacun de ces résultats survenne.,0.*0.0.09,,0.*0.70.,0.7*0.70.49 La probablté que seulement untés d eau soent nécessares est : 0.09 La probablté que untés d eau soent nécessares est : 0.+0.0.4 La probablté que 4 untés d eau soent nécessares est : 0.49. S l on fat le desgn à untés, l espérance du coût supplémentare est 0.4*000$+0.49*0000$4840$ S on fat le desgn à untés, l espérance du coût est : 5000$+0.49*5000$50$
- robabltés -7 S on fat le desgn à 4 untés, l espérance du coût est : 5000$ On devrat donc fare le desgn à untés pusque c est la soluton la plus économque. Note : eux événements mutuellement exclusfs ne peuvent être ndépendants sauf s l un des deux est l événement nul..5 Théorème de probablté totale et formule de ayes Théorème de la probablté totale : combnant les défntons de probablté margnale et de probablté condtonnelle, on trouve : j j Formule de ayes : partant de la défnton de probablté condtonnelle et utlsant le théorème de la probablté totale, on trouve : j j j j e théorème est très utle car l est souvent beaucoup plus smple de calculer que. ar exemple l événement pourrat être : ρ. / cm obtenu par une mesure ndrecte par exemple, l événement pourrat représenter le type de sol. Le théorème de ayes ndque que l on peut détermner la probablté que le sol sot un sable sachant que ρ. / cm en utlsant les probabltés condtonnelles d observer cette masse volumque pour les dfférents types de sol et les probabltés margnales des dfférents types de sol. Note : e théorème très mportant est fondateur en statstque de toute une branche connue sous le nom d approche statstque ayesenne. On rappelle le tableau d un exemple précédent : j ρ. / cm ρ >. / cm slt 0. 0. sable 0. 0. tll 0.05 0. autre 0.5 0 slt ρ. / cm 0./0.+0.+0.05+0.5/ selon la défnton de probablté condtonnelle. ar alleurs, on a : slt0. sable0. tll0.5 autre0.5
- robabltés -8 ρ. / cm slt 0./0./ ρ. / cm sable 0./0./ ρ. / cm tll 0.05/0.5/5 ρ. / cm autre 0.5/0.5 On calcule par la formule de ayes: slt / * 0. ρ. / cm / / * 0. + / * 0. + / 5* 0. 5 + * 0. 5 Note : Ic, l est plus laboreux de calculer la probablté condtonnelle avec la formule de ayes. La formule de ayes s emploe surtout lorsque l on ne peut connaître, mas que et sont accessbles. Exemple : asé sur l expérence, supposons qu un béton normal montre les résstances suvantes : Résstance Ma robablté <0 0. [0,0] 0.6 >0 0. Supposons que l on pusse établr les probabltés condtonnelles qu un échantllon donné tombe dans une des classes précédentes en foncton de la classe à laquelle appartent le béton dans son ensemble : Résstance échantllon Résstance béton Mpa <0 [0,0] >0 <0 0.7 0. 0 [0,0] 0. 0.6 0. >0 0 0. 0.7 On prélève un échantllon et l on mesure une résstance <0. Quelle est la probablté que le béton d où provent l échantllon at chacune des résstances? ar la formule de ayes, on calcule : béton<0 échantllon<0 0.7 * 0. 0. 66 0.7 * 0. + 0. * 0.6 béton [0,0] échantllon <0 0. * 0.6 0. 64 0.7 * 0. + 0. * 0.6 béton >0 échantllon <0 0 Note : ans la termnologe ayesenne, les probabltés données dans le er tableau sont appelées probabltés à pror. Elles reflètent unquement l expérence de l ngéneur et ne dépendent pas de l échantllon prélevé. Les probabltés condtonnelles du e tableau sont appelées «vrasemblance». Elles ndquent, pour un béton donné, jusqu à quel pont l est «vrasemblable» d observer un échantllon ayant une valeur donnée. Les probabltés condtonnelles calculées par la formule sont appelées probabltés à
- robabltés -9 postéror, car mantenant elles ncluent «l effet» de l échantllon. La formule de ayes peut donc être vue comme une formule de mse à jour des probabltés à pror par un ou des échantllons. Supposons que l on prélève un e échantllon ndépendant du er et que celu-c auss montre une résstance <0. Que devennent les probabltés condtonnelles ou à postéror tenant compte de ces échantllons. Il y a façons de résoudre ce problème. Selon que l on trate les deux échantllons smultanément ou séquentellement. a S on les trate de façon séquentelle, au moment d aborder le e échantllon, les probabltés à pror sont mses à jour pour tenr compte de l nformaton fourne par le er échantllon. ref, on a alors : Résstance Ma robablté <0 0.66 [0,0] 0.64 >0 0 La formule de ayes avec le e échantllon donne mantenant : béton<0 e 0.7*0.66 échantllon<0 0. 86 0.7*0.66 + 0.*0.64 0.* 0.64 béton [0,0] échantllon <0 0. 4 0.7*0.66 + 0.*0.64 béton >0 échantllon <0 0 b S on trate les échantllons smultanément, On dot d abord calculer : er échantllon<0, e échantllon <0 béton <0 0..7*0.70.49 er échantllon<0, e échantllon <0 béton [0,0] 0.*0.0.04 er échantllon<0, e échantllon <0 béton >0 0 On calcule alors : 0.49*0. béton<0 les échantllons <0 0. 86 0.49*0. + 0.04* 0.6 0.04* 0.6 béton [0,0] les échantllons <0 0. 4 0.49*0. + 0.04* 0.6 béton >0 les échantllons <0 0 S l on a un e échantllon qu montre également une résstance <0, alors on aura : 0.7 *0. béton<0 les échantllons <0 0. 96 0.7 *0. + 0. *0.6 et ans de sute. On constate que s un grand nombre d échantllons ndquaent le résultat <0 Ma, on serat pratquement certan que le béton dans son ensemble est auss <0Ma.
- robabltés -0 Note : Lorsque le nombre d échantllons augmente, les probabltés à postéror devennent mons sensbles au chox des probabltés à pror,.e. l nformaton contenue dans les données fnt par avor préséance sur pratquement n mporte quel à pror..6 agrammes en arbre Il est souvent pratque de représenter les probabltés condtonnelles sous la forme d un arbre. À chaque branche est assocé un événement. On ndque sur la branche la probablté d observer l événement condtonnellement à tous les événements rencontrés depus le tronc. Les probabltés conjontes aux noeuds s obtennent alors par smples multplcatons des probabltés condtonnelles en partant du tronc jusqu au noeud consdéré. et et et et et et et et et et et et
- robabltés - On forme une équpe de personnes par trage au sort dans un groupe de 9 personnes dont sont des flles. Quelle est la probablté que l équpe sot mxte? Sot : F : flle, G : gars. er trage e trage FF /8 F et F /8 /9 / F/9 GF 6/8 G et F 6/8 /9 / G6/9 FG /8 GG 5/8 F et G /8 6/9 / G et G 5/8 6/9 5/ On calcule : / + / 0.5 On peut auss calculer cette probablté par dénombrement en notant qu l y a 9 x 8 7 duos possbles. Les duos mxtes sont obtenus en chosssant une flle parm et un gars parm 6, sot x 6 8 possbltés. ependant, on aurat pu auss chosr un gars en premer et la flle en second l ordre n,a pas d mportance, donc au total x 8 6 possbltés ce qu donne ben 8/6 0.5 comme probablté d avor un duo mxte..6. nalyse et arbre de décson L analyse de décson cherche à utlser les probabltés pour effectuer des décsons les plus rentables ou les mons coûteuses possbles. L analyse de décson s effectue en construsant un arbre de décson. Un arbre de décson content deux types de noeuds : décson ou expérence aléatore. On construt l arbre de gauche à drote en respectant l ordre logque des décsons et expérences aléatores mplquées. On calcule le proft assocé à chaque branche de l arbre en partant de la drote. À un noeud de décson, on chost toujours la branche la plus proftable. On représente un noeud de décson par : chosr chosr
- robabltés - On représente un noeud correspondant à une expérence aléatore par : événement événement Tenant compte de la populaton de la muncpalté, vous estmez que le débt maxmal de consommaton d eau potable a 70% de chances d être nféreur à 5000 m /h, 0 % des chances d être entre 5000 et 6000 m /h et 0 % des chances d être supéreur à 6000 m. eux compagnes offrent des solutons dfférentes pour l opératon de l usne d épuraton. Le tableau suvant résume les coûts d opératon horare: ébt x ompagne ompagne x < 5000 m /h 4 $/h 54 $/h 5000 < x < 6000 m /h 78 $/h 58 $/h x > 6000 m /h 9 $/h 6 $/h Quelle compagne chosr? x < 5000, 0.7-4 chosr - 55 5000<x<6000, 0. - 78 x > 6000, 0. - 9 chosr x < 5000, 0.7-54 - 55.6 5000<x<6000, 0. - 58 x > 6000, 0. - 6 our chaque compagne, on calcule la valeur espérée : VE -4*0.7-78*0. - 9*0. -55.0 VE -54*0.7-58*0. 6*0. -55.6 On devrat donc chosr la compagne selon le crtère de la valeur espérée.
- robabltés - Une frme de géne consel est en ltge avec le mnstère des transports. La frme réclame 9 M$ en fras d ngénere relés à la constructon d un hôptal. La frme peut régler le ltge mmédatement sans fras pour 4 M$. S elle va en cour, les avocats estment à 40% la probablté de gagner le procès. S elle gagne le procès et donc les 9 M$, elle devra payer 0.5 M$ en fras jurdques. S elle perd le procès, ce sera M$ pusqu elle devra auss payer les fras jurdques encourus par le mnstère. our 0. M$, la compagne peut tenter de négocer une entente hors cours de 6 M$. Les avocats estment à 0 % la probablté de succès de la négocaton. S la négocaton échoue, la frme peut sot régler pour 4 M$ - 0. M$ fras de négocaton du mnstère, sot aller en procès auquel cas elle devra payer les fras de négocaton x 0. M$ en plus des fras jurdques x 0.5 M$ des deux partes s elle perd le procès. Quelle stratége devrat suvre la frme? Régler 4 M$ 4.4 Négocer 4.4 Succès, 0..7 Échec, 0.7 Régler. Gagné, 0.4 5.7 M$.7 M$ 8. M$ rocès.8 Gagné, 0.4 rocès erdu, 0.6 -.6 M$ 8.5 M$ erdu, 0.6 -.0 M$ Les valeurs espérées sont :. Régler mmédatement : 4 M$. Négocer : 0.*5.7 + 0.7*.7 4. M$ -a négocer et échec, procès : 8.*0.4.6*0.6. M$ -b négocer et échec, régler :.7 M$ > En cas d échec, la frme devrat régler.. ller en procès mmédatement : 8.5*0.4 - *0.6.8 M$ La frme devrat donc négocer. S la négocaton s avère un échec, elle devrat régler valeur espérée de.7 M$ plutôt que d aller en procès valeur espérée de 0.4*8. -.6* 0.6. M$ On remarque qu aux noeuds d expérence aléatore, la valeur espérée est donnée par la moyenne pondérée par les probabltés. ux noeuds de décson, la valeur espérée est la valeur maxmale des dfférentes décsons possbles. L analyse de décson nécesste donc les étapes suvantes :. dentfer les décsons à prendre et leur séquence logque;. dentfer les expérences aléatores et les événements correspondants ans que les probabltés condtonnelles assocées à chaque événement;. calculer la valeur de chaque chemn en cumulant les coûts de la gauche vers la drote; v. calculer la valeur espérée en partant de la drote vers la gauche. À un noeud d expérence aléatore, celle-c est obtenue par une moyenne des valeurs de chaque branche pondérée par les probabltés. À un noeud de décson, c est la valeur maxmale obtenue sur les dfférentes branches. v. détermner les décsons qu maxmsent la valeur espérée.
- robabltés -4.7 énombrement des événements ette secton s ntéresse unquement au cas où les résultats possbles de l expérence aléatore.e. les éléments de l espace échantllonnal sont équprobables. Un numéro de plaque d mmatrculaton comprend chffres suvs de lettres. omben de plaques dfférentes peut-on produre? 0*0*0*6*6*67 576 000 On mpose la contrante qu un chffre ou une lettre ne peut apparaître qu une seule fos : 0*9*8*6*5*4 000 On mpose la contrante que le nombre de chffres sot un nombre mpar et que parm les lettres l y at consonne, une voyelle pus une autre consonne «y» est une voyelle. 0*0*5*0*6*0 00 000 onsdérons une équpe de baseball. Supposons que l nstructeur, M. asfnfn, chossse les 9 joueurs de son algnement de frappeurs complètement aléatorement parm les 5 joueurs de son équpe. omben d algnements dfférents pourra-t-l produre? Le er joueur est chos parm 5, le e parm 4, le e parm,. Le 9 e parm 7. Il y a donc : 5*4*.*77.4x0 algnements possbles. On peut écrre ce produt auss 5! comme : où «!» ndque le produt factorel. 5 9! L exemple précédent est une permutaton de 9 éléments parm 5 éléments pluseurs auteurs utlsent le terme «arrangement»,.e. le nombre de façons dfférentes de former 9 éléments dstncts à partr d un ensemble de 5 en tenant compte de l ordre. lus généralement, on écrra : n p n! n p! ans l exemple précédent, comben d ordre de frappeurs dfférents peut-on produre avec les mêmes 9 joueurs? Remplssons le rôle des frappeurs de façon séquentelle. La ère poston peut être occupée par 9 joueurs, la e par 8 car un des joueurs a été dentfé à la ère poston et n est donc plus dsponble, la e par 7, la 9 e par. Il y a donc 9*8*7 *9! 6880 Façons d ordonner les 9 joueurs. Le terme général sera évdemment «p!» omben peut-on produre de groupes de 9 joueurs dfférents ndépendamment de l ordre dans lequel ls apparassent à partr des 5 joueurs de l équpe?
- robabltés -5 5! n ombnant les résultats des deux exemples précédents, on a : 9! p où 5 9! nombre recherché que l on appelle combnason de «p» parm «n», c On a donc : n p est le 5 9 04 975. n p n! p! n p! es notons de permutaton tent compte de l ordre des éléments et surtout de combnason ne tent pas compte de l ordre des éléments sont très utles pour calculer les probabltés d avor une man donnée au poker par exemple ou calculer ses chances de gagner au loto 6/49. ar contre l faut admettre que pour l ngéneur cvl, géologque, ou des mnes, l est rare que l on rencontre des expérences ou chaque résultat possble est équprobable. our calculer la probablté d un événement donné, l sufft d effectuer un double dénombrement : calculer le nombre total de possbltés «n» et calculer le nombre de fos où l événement se trouve réalsé «n». La probablté recherchée est alors smplement n /n. 49 À la 6/49, l y a 6 9886 combnasons de 6 chffres dfférents choss parm 49. La probablté de gagner est donc /9886. vec le numéro complémentare, on gagne s on a 5 chffres parm 6 et le numéro complémentare. Le nombre total de combnasons de 6 chffres et un numéro complémentare est *4. On gagne avec toutes les combnasons 6 5 *4. La probablté de gagner avec le complémentare est donc /066. u poker man de 5 cartes, quelle est la probablté d obtenr pare? 49 6 L ordre des cartes n a pas d mportance. Le nombre total de mans dfférentes de 5 cartes 5 est donc 5 598960. La pare est formée d une sorte,,, ro, as parm, couleurs parm 4. Les autres cartes sont choses parm sortes, couleur parm 4. 4 4 4 4 possbltés. * 6 * 0 * 4 * 4 * 4 09840 La probablté recherchée est donc : 09840/5989600.46. Même problème mas cette fos avec pares. On chost sortes parm, couleurs parm 4 pour chacune des pares et la 5 e carte parm 44. On a donc : 4 4 44 78 * 6 * 6 * 44 55 possbltés. La probablté est donc 55/5989600.0475. alcul pour d autres mans : 4 4 4 a relan cartes de la même sorte : * 4 * 66 * 4 * 4 549 probablté est donc : 549/5989600.0. La b Man plene cartes d une sorte et pare : 4 4 * 4 * * 6 744 -> p0.0044
- robabltés -6 c arré 4 cartes de la même sorte 4 4 4 * * * 4 64 -> p0.0004 d ouleur 5 cartes de même couleur 4 5 9 4 * 78 5 -> p0.0097. Note le terme «9» vent du fat qu l faut exclure les quntes séquence dans une couleur. La séquence peut débuter par un, un, un 0; l y en a donc 9 possbles. e Séquence 5 sortes consécutves de n mporte quelle couleur 5 9 * 4 4 980. Note : le terme 9 : 9 possbltés dfférentes pour le départ de la séquence. Le terme 4 5 car chacune des 5 cartes peut être de n mporte quelle couleur. Le terme 4 car l faut retrancher les 4 cas ou les 5 cartes seraent de la même couleur qunte. f Qunte 5 sortes consécutves de la même couleur : 9*4-4. Note : le 4 est pour retrancher les 4 quntes royales qunte avec 0, v, d, r, as. g Qunte royale : 4. h carte solée.e. ren de ce qu précède : 598960-4--980-5-64-744-549-09840-550560 ou encore : 5 5 94 4 0560. Note : 5 sortes parm sortes mons les 9 séquences; chaque carte peut être de n mporte quelle couleur, mas les 5 cartes ne dovent pas être de la même couleur. onsdérons que chaque année comprend 65 jours.e. on néglge les années bssextles et que chaque jour de l année vot toujours autant de nassances en moyenne équprobable. a Quelle est la probablté qu au mons un étudant d une classe de 50 sot né le er ma? L événement complémentare est : aucun étudant n est né le er ma. La probablté pour étudant de n être pas né le ma est 64/65. our l ensemble des 50 étudants c est 64/65 50 0.878. La probablté recherchée est donc -0.8780.8. vec 00 étudants, cette probablté passe à 0.99. b Quelle est la probablté qu au mons étudants d une classe de 50 aent la même date d annversare? À nouveau l est plus smple de calculer la probablté pour l événement complémentare : «l n y a aucun étudant ayant la même date d annversare qu un autre». Le nombre d ensemble possbles de dates est 65 50. Le nombre de permutatons possble de 50 dates dfférentes choses parm 65 est : 65 65! 6 50.86 x 0. 65 50! La probablté que toutes les dates soent dfférentes est donc 0.096; la probablté qu au mons dates soent la même est -0.0960.9704. On a détermné que la précptaton maxmale durant une heure mesurée au cours d une année donnée avat chance sur 0 d excéder cm.e. la précptaton de cm a une pérode de retour de 0 ans. Vous construsez une dgue pour les résdus mners en basant
- robabltés -7 le desgn sur cette précptaton. Quelle est la probablté que l on rencontre une précptaton supéreure à la valeur de desgn au cours des 00 prochanes années? À nouveau, l est plus smple de passer par l événement complémentare : «aucune des précptatons maxmales n excédera cm au cours des 00 prochanes années». La probablté que cet événement complémentare survenne est 9/0 00 0.0059. La probablté recherchée est donc : -0.00590.994 Lors de la constructon d un barrage hydroélectrque, une sére de dynamtages sont effectués. Un sésmographe est utlsé pour enregstrer les déplacements des partcules de façon à évter que l entrepreneur ne surcharge en explosf rsquant ans de provoquer des endommagements au massf rocheux. Supposons que l entrepreneur effectue 00 dynamtages et qu l «trche» en augmentant la charge sur 8 d entre eux. a Quelle est la probablté que vous observez au mons un dynamtage fautf s vous ne contrôlez que 0 dynamtages choss au hasard parm les 00? Événement complémentare : en observer aucun parm les 0; 00 9/00*9/99* *8/90.466 note : c est auss égal à 9 /. 0 0 onc la probablté d en observer au mons est -0.4660.584. Il y aurat donc leu d accroître le nombre de dynamtages survellés. b Quelle est la probablté d en observer fautfs parm 0 survellés? 8 9 00 8 / 0 0.068. Généralsaton : sot un ensemble de N éléments dont sont d une classe partculère; un échantllon de talle n est prélevé. La probablté d observer dans l échantllon exactement N N «r» de la classe partculère est : / r n r n. c Quelle est la probablté d en observer ou plus fautfs dans l échantllon de 0? 8 8 00 / 0.508 note : la valeur maxmale que peut prendre est mnn, 9 0 0