MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et e sot là que pour le lecteur désireux d'aller plus avat. Boe lecture!. Suites et séries umériques, sythèse partielle, complémets évetuels. 1 Rappel sur les suites. Soit ( ), N ue suite réelle ou complexe, o dira que ( ) coverge vers l si ε > 0, N N, > N, l < ε. O sait égalemet que toute suite de Cauchy réelle ou complexe est covergete, que toute suite réèlle croissate et majorée est covergete, que toute suite (réèlle) décroissate et miorée est covergete, mais que les réciproques sot fausses. Il existe des suites covergetes qui e sot i croissates majorées, i décroissates miorées. O dira qu ue suite réelle ou complexe ( ) est borée si il existe M telle que N, < M. 2 Défiitio Soit ( ), N ue suite (réelle ou complexe). O appelle série de terme gééral la suite (S ), N défiie par S 0 = u 0, 0, S +1 = S + +1. O ote alors S = u k. k=0 Les propriétés des suites se trasposet pour les séries. O peut doc défiir la somme de deux séries, la multiplicatio par u scalaire... O parlera de série umérique pour désiger les séries costruites à partir des suites réelles. 3 Propriétés. Etudes de la covergece. O dit que la série de terme gééral coverge si la suite (S ) coverge. O ote alors u k = lim S. k=0 Ce est qu ue otatio. Coséquece: pour qu ue série ( ), N soit covergete il faut et il suffit que S soit ue suite de Cauchy. O écrit le critère de Cauchy comme suit ε, N, m N, N, S m S < ε, ou ecore e preat m
+1 + +2 +.. + u m < ε. O obtiet alors ue coditio écessaire Propositio 1. Pour qu'ue série umérique soit covergete il faut que so terme gééral tede vers 0. La réciproque de cette propositio est fausse. O dira qu ue série de terme gééral ( ) est absolumet covergete si la série de terme gééral est covergete. O peut voir alors facilemet Théorème 1. Toute série absolumet covergete est covergete. C est ue coséquece immédiate de l iégalité triagulaire. La réciproque est fausse. La série ( 1) est semi covergete. O verra plus loi. Pour les séries à termes positifs, o a le critère Théorème 2. Soit ( ) ue suite positive. La série de terme gééral est covergete si et seulemet si elle est borée (ici majorée est suffisat) Démostratio: E effet la série est alors ue suite croissate majorée. 4 Séries positives. Comparaiso à ue itégrale. La série 1 est pas covergete. Supposos que l o étudie ue série de terme gééral positif et qu il existe ue foctio positive f : R + R + itégrable sur tout itervalle de R +, telle que = f (). O suppose que f est ue foctio mootoe décroissate. Etudios alors la covergece de la série. O a i m S S m = u i = f (i) f (t)dt = f (t)dt, S S m = = i=+1 i=+1 m+1 +1 u i = i=+1 i=+1 f (i) f (t)dt, < m. i=+1 i 1 i+1 i=+1 O est doc rameer à étudier le comportemet de m i f (t)dt. f (t)dt, Théorème 3. La série de terme gééral 1 α coverge si et seulemet si α > 1. Démostratio: C est ue simple utilisatio des formules précédetes. La techique précédete permet de doer égalemet des évaluatios sur la rapidité de covergece.
5 Comparaiso avec les séries géométriques. 5.1 Complémets sur les suites. Soit ( ) ue suite réelle. Défiitio 1. O appelle suite extraite de ( ), toute suite (v k ), telle qu'il existe ue applicatio strictemet croissate φ de N das N, vérifiat v k = u φ(k). O otera parfois (k ) ue telle suite extraite. Défiitio 2. O appelle valeur d'adhérece de la suite ( ) tout ombre λ réel ou ± vérifiat la propriété suivate. Si λ = + (resp ), N N, P N +, > P tel que > N (resp < N). Si λ est réel, ε > 0, P N, > P, tel que λ < ε. La suite défiie par = ( 1) possède deux valeurs d adhérece qui sot 1,1. Théorème 4. Toute suite réelle possède ue valeur d'adhérece. Démostratio: Rappel: tout esemble majoré de R possède ue bore supérieure. Si ( ) est pas ue suite borée, le théorème est vrai, e effet das ce cas la suite est o majorée oo miorée, o applique alors la défiitio. Sio la suite est borée, et il existe M > 0 tel que N, [ M,M]. O sait alors qu est bie défii l élémet sup{u k } puisque cet esemble est boré. Ceci ous défiit ue suite (v ) décroissate car les esembles sot iclus les us das les autres. Cette suite est égalemet miorée doc elle est covergete vers u élémet λ dot o va motrer qu il est ue valeur d adhérece de la suite ( ). E effet ε > 0 il existe N N tel que v λ < ε/2, dès que > N. O choisit alors > tel que u v < ε/2 qui permet de coclure au fait que λ est ue valeur d adhérece de la suite iitiale. Toute suite r eelle possédat ue valeur d adhérece o peut défiir sa plus grade valeur d adhérece et sa plus petite. La plus grade sera appelée limite supérieure de la suite, la plus petite sera appelée limite iférieure de la suite. Ces deux ombres sot évetuellemet fiis ou ifiis. O les otera lim sup = lim et lim if = lim. Propositio 2. La valeur d'adhérece costruite das la propositio précédete est la limite sup de la suite. Démostratio: Seul est à cosidérer le cas où la suite est majorée. Soit λ ue valeur d adhérece. Alors ε > 0, N N, > N, t.q., λ < ε. Doc λ < + ε. Doc λ < sup{u k,k > N} + ε et ceci N. O passe à la limite das l iégalité et l o obtiet, λ < lim sup( ) + ε, ceci état vrai pour tout ε, o obtiet λ lim sup( ). De même la suite if{u k,k > } coverge vers lim if. Soit ( ) ue suite réelle. Soit λ ue valeur d adhérece, il existe φ : N N ijective telle que la suite défiie par v k = u φ(k) coverge vers λ. De plus si λ = lim sup < + (resp. λ = lim if > ) alors ε > 0, N N tq > N o a k
< λ + ε (resp. < λ ε). La première phrase sigifie das le cas où λ < + que ε > 0, N N, > N, tel que l < ε. Cela veut dire que de toute suite borée, o peut extraire ue sous-suite covergete. Démostratio: C est ue simple applicatio des défiitios. Remarquos que ces défiitios sot cohéretes. E effet: Théorème 5. O a e effet ( ) est ue suite covergete si et seulemet si < lim sup = lim if < +. Démostratio: Si est covergete vers l, alors ε > 0, N, > N implique l < ε. Soit λ ue valeur d adhérece. Si ambda = ±, alors M > 0, N N, > N tel que > M, e combiat les deux cas, l o voit que M > 0, l > M ε ce qui cotredit que ( ) coverge, doc λ < +. Doc N N, > N, tel que λ < ε. Doc par comparaiso des deux iégalités, o obtiet l λ < 2ε. Doc l = λ. Réciproquemet si l = lim sup = lim if < +, alors ε > 0, N, tel que si > N alors l ε < < l + ε ce qui prouve que ( ) coverge vers l. 5.2 Rappels sur les séries géométriques. O appelle suite géométrique toute suite ( ) telle que ρ R tel que N = ρ 1. o rappelle alors Propositio 3. La série de terme gééral est covergete si et seulemet si ρ < 1 à mois que u 0 = 0. Ce résultat est évidet si l o se rappelle des boes formules. 5.3 Règles de D alembert et de Cauchy. O cosidère ( ) ue suite dot les termes e sot jamais uls. O a esuite le critère de D alembert: Théorème 6. Supposos que N > 0. -Si C [0,1[ tel que N, +1 C, la série de terme gééral ( ) est covergete. -Si N +1 1, la série de terme gééral ( ) est divergete. Pour aller plus loi et pour les séries o écessairemet positives: Si lim sup +1 < 1, la série de terme gééral coverge (absolumet). Si lim if +1 > 1, la série diverge. Si lim sup +1 1 lim if +1, o e peut rie dire. Démostratio: Supposos le premier cas. Par défiitio de la valeur d adhérece, il existe N N tel que si k > N 0 < u k+1 < (λ + ε) u k, où λ = lim +1 et ε > 0 est choisi assez petit pour que 0 < λ + ε < 1. O
coclut alors par la propositio??valeurdad. Le deuxième cas se traite de faço similaire. O retrouve aisi le cas des séries de puissace. Eoços le critère de Cauchy. Théorème 7. Supposos > 0. -Si C [0,1[ tel que N, o a < C, la série de terme gééral est covergete. -Si N 1, la série de terme gééral est divergete. Plus précisémet Si lim sup( ) 1 > 1 ou = 1 + la série diverge, si lim sup( ) 1 < 1, la série coverge absolumet, o e peut rie dire das les autres cas. theo Démostratio: Tout à fait aalogue à la démostratio de la règle de D alembert. Das le premier cas o voit que le terme gééral e ted pas vers 0. 5.4 Comparaiso des deux règles. La règle de Cauchy est plus fie que la règle de D alembert. O a e effet le théorème suivat Théorème 8. Si > 0, si lim +1 = l(= + ) alors lim( ) 1 = l. Ceci est ue coséquece du fait que l o a toujours lim if +1 lim if( ) 1 lim sup( ) 1 lim sup +1. theo Démostratio: Cosidéros le cas où le premier terme est o ul, et le derier fii. Soit l = lim if +1. Soit 0 < l 1 < l 2 < l. Et cosidéros la série de terme gééral l 1. Par la règle de D alembert, cette série coverge. Doc ( ) 1 > l 1 dès que est assez grad. Doc lim if( ) 1 l 1, d où la première iégalité. La deuxième s obtiet de maière idetique, e preat L = sup +1, L < L 2 < L 1 et la série de terme gééral L1. 6 Séries semi- covergetes 6.1 Cas des séries alterées. O appelle aisi toute série ( ) telle que = ( 1) v où v 0. O a alors Si v ted vers 0 e décroissat alors la série coverge (o absolumet e gééral). theo Démostratio: C est ue simple utilisatio des suites adjacetes. La série de terme gééral ( 1) coverge vers l 2.
6.2 Critère d Abel Soit ( ) ue suite telle qu il existe M > 0, tel que > 0 σ = u i < M et soit (ε ) ue suite décroissate vers 0. La série de terme gééral ε est alors covergete. theo démostratio O effectue la trasformatio d Abel pour appliquer le critère de Cauchy. Soit m >. O a alors S m S ε i (σ i σi 1) +1 m 1 i=0 σ i (ε i ε i+1 ) + ε m σ m M(ε + 2ε m ) 0 quad,m tedet vers l ifii. La suite est doc de cauchy. Le théorème est doc démotré. La série de terme gééral cos est covergete. Elle est cepedat pas absolumet covergete. Pour démotrer cela, o commece par motrer que N N, o a N cos 2. =1 L importace de ce critère est grade. O retrouve d ailleurs le critère des séries alterées. 7 Produit de séries Cosidéros deux séries de terme gééral (a ) et (b ) respectivemet. O suppose que les deux séries coverget. O se demade commet calculer N a. N b. Si l o calcule formellemet ce produit, o trouve + a k b k, et o peut se demader si la série de terme géérale k=0 a kb k coverge vers a. b. =0 N k=0 N Das le cas de deux séries positives la répose est oui. Théorème 9. Le produit de deux séries positives est la limite de la série citée plus haut. Démostratio: Notos A = k=0 a k, B = k=0 b k, et S = k=0 ( p+q=k a p b q ). O a alors A B S et A B S 2. Doc la suite S est majorée puisque le produit A B coverge. Doc elle coverge, et les deux iégalités motret que lim S = lim A B. Le résultat est ecore vrai das le cas de deux séries a.c. Théorème 10. Si (a ) et (b ) sot des séries absolumet covergetes, alors avec les otatios précédetes, S est ue série absolumet covergete, et coverge vers ce que l'o atted. Démostratio: La seule chose à démotrer et la covergece vers le produit des séries, à cause de l iégalité triagulaire. Pour cela o a
S A B a p b q = p, q, p, q, p+q> O coclut alors par le résultat sur les séries positives. a p b q A B. k=0 p+q=k