Modèles athéatiques Notes sur la écanique Nous discuterons ici de deux généralisations de la loi de Newton sur l attraction terrestre, que nous avons abordée au début de la session. Dans ces notes, nous supposerons toujours que les déplaceents sont en ligne droite. Nous dénoterons par x(t la position de l objet au teps t (les unités sont à préciser, au besoin. Nous devrons au préalable choisir une origine et une direction pour x > 0 on choisit ce qui nous convient le ieux! La vitesse est alors x (t, que nous dénoterons aussi v(t, et l accélération est x (t, que nous dénoterons a(t. 1 Loi de Newton sur l attraction gravitationnelle Dans cette section, nous généraliserons le odèle (vu en classe décrivant la force d attraction terrestre. Il s agira d un odèle qu on prend pour acquis, plutôt qu un odèle qu on déduit, coe dans les problèes de réservoirs. L enjeu sera donc de résoudre l EDO régissant la situation. Rappelons qu en début de session, nous avons vu deux lois énoncées par Newton. La preière (qui, en fait, est appelée la deuxièe loi de Newton, affire que la force agissant sur un objet est proportionnelle à son accélération: F = a (1 où est la asse de l objet. La seconde loi vue en classe affire que pour un objet relativeent près du sol, son accélération est constante. Supposant qu on dirige l axe positif des x vers le sol: a(t = g Cobinant ces deux lois enseble, nous obtenons l EDO suivante pour la force d attraction exercée par la Terre sur un objet relativeent près du sol: La valeur g s appelle le poids de l objet. F = g ( Cette loi est en fait une siplification de la loi de l attraction universelle, forulée aussi par Newton. Étant deux objets de asses respectives et M, de distance r l un de l autre (on traite les objets coe des points: F = GM r (3 où G est une constante, appelée la constante de gravitation universelle. La loi ( est en quelque sorte un cas particulier de (3, où r est le rayon de la Terre. L EDO (3 est un odèle pour la force gravitationnelle; il s agit tout de êe d une nouvelle siplification de la réalité notaent, il faudrait aussi tenir copte d effets relativistes. Mais ça deeure une siplification utile, à condition de ne pas aller trop vite... Rearque. Coent Newton a-t-il déduit ce odèle? Selon es sources (incluant les physiciens accostés dans les corridors, Newton s est largeent inspiré des données astronoiques sur la Lune; ces données, fruits de longues nuits d observation et nobreux calculs faits par ses prédécesseurs astronoes, perirent à Newton de postuler que la force est proportionnelle à l inverse du carré de 1
la distance. Il y avait aussi les lois de Kepler, elles-êe basées sur les observations de Copernic et de Tycho Brahe. Dans son Principia, Newton déontra que les lois de Kepler se déduisaient de ses propres lois, grâce au puissant calcul qu il venait de développer. Par ailleurs, l Équation (3 se déduit des lois de Kepler. D aucuns pourraient penser (je n ai pas vérifié les sources historiques que Newton obtint lui-êe cette dérivation, toujours grâce au calcul. Trêve de considérations historiques, prenons l EDO (3 coe odèle de la force d attraction de la Terre sur un objet se déplaçant verticaleent. Nous considérons ici un objet qu on lance vers le haut ou alors qu on laisse tober, de telle sorte qu il y a une vitesse et une position initiales à considérer. Plaçons aintenant l axe des x de telle sorte que l origine est au sol (plus préciséent, au niveau de la er et que la direction positive pointe vers le haut. Alors la distance au teps t entre le centre de la Terre et l objet est r = R +x(t, où R est le rayon de la Terre. L Équation (3, cobinée à la deuxièe loi de Newton (1, nous dit donc que x(t satisfait l EDO suivante: x = GM (R + x où M est la asse de la Terre. En substituant GM = gr : x = gr (R + x Il s agit d une équation du second ordre. Grâce à une astuce, nous pouvons néanoins trouver une solution pour la vitesse v, avec les techniques déjà vues. L astuce est basée sur l observation que le ebre de droite est en fait une fonction explicite de x(t, pas seuleent de t. Écrivons donc la vitesse en fonction de x: v = v(x dv dt = dv dx = dv dx v puisque v = x. Donc, substituant x (t = v (t: dx dt v dv dx = gr (R + x Résolvant cette équation par séparation de variables: v = gr R + x + C où C est la constante d intégration. On trouve la valeur C = v(0 gr en posant x = 0 et donc: ( gr v(x = R + x + v(0 gr (4 En jouant avec cette équation, on se rendra copte que l intégrale nécessaire pour trouver x(t est ardue! On se contentera donc de l expression pour v(x... Rearque. En écrivant v = v(x, nous supposons iplicteent que x est une fonction inversible de t. Ce n est pas le cas, par exeple, d un objet qu on lance dans les airs et qui retobe ensuite au sol; il faudrait dans ce cas-là prévoir deux équations ou alors utiliser d autres techniques de résolution.
1.1 Application de l Équation (4. La vitesse d évasion est la valeur iniale pour la vitesse initiale d un projectile qui est nécessaire pour s échapper de l attraction terrestre. Il n est pas question ici d une fusée, puisque le carburant procurera une accélération suppléentaire durant le vol. On pense plutôt à un canon. Si le projectile s échappe de l attraction terrestre, c est que sa vitesse est toujours non-nulle. Ainsi, pour tout t ou pour tout x: gr R + x + v(0 gr > 0 (5 Le tere gr est positif, ais devient de plus en plus petit lorsque x croît. Pour que le ebre de R+x gauche de l Équation (5 reste positif pour tout x, il faut et il suffit que: La vitesse d évasion est donc gr. v(0 gr Résistance de l air Une autre façon de généraliser le odèle ( consiste à tenir copte d une force additionnelle, celle de la résistance du édiu environnant l objet en question. Par exeple, on peut considérer l effet de la résistance de l air sur un projectile tobant vers le sol. On doit prendre en copte la résistance de l air quand la vitesse est très élevée. L expression de cette résistance dépend elle-êe de la grandeur relative de la vitesse, ainsi que de la fore de l objet. Dans les problèes, une expression pour la résistance sera donnée et l enjeu sera double, un peu coe les problèes de réservoirs: cobiner cette force de anière correcte avec les autres forces en jeu; résoudre l EDO résultante. (Dans la vraie vie, une difficulté s ajoute: trouver une expression plausible pour la résistance! Les odèles tenant copte d une ultitude de forces, telles que la résistance, sont élaborés selon le principe iportant suivant: Les forces s additionnent Attention! les forces s additionnent vectorielleent. Dans le cas d un ouveent rectiligne, il faut tenir copte de la direction des forces. Exeple. Preière partie. On suppose qu un objet à une certaine hauteur est lancé vers le sol, de telle sorte que la résistance de l air est proportionnelle à la vitesse de l objet, avec facteur de proportionnalité. Donnez l EDO régissant x(t, en supposant que la force d attraction terrestre est constante. Solution. Plaçons l axe des x de telle sorte que la direction positive pointe vers le bas. La force totale agissant sur l objet est donc la soe de la force d attraction et de la résistance: F = g v 3
Donc: x = g x (6 Exeple. Deuxièe partie. Résolvez l EDO, en supposant que la vitesse initiale est v 0 et la position initiale est x 0. Solution. Posons y = x. Il s agit donc d une équation linéaire du preier ordre: Puisque λ =, λ = t où C = v 0 g. Donc: et donc: y y + y = g ( = e t g e t + C x (t = g ( + v 0 g En intégrant à nouveau, on obtient l expression suivante pour x(t: x(t = gt ( ( On trouve C = x 0 + v0 g et donc: x(t = gt + (.1 Application: vitesse liite v 0 g v 0 g ( e t (7 e t + C 1 e t + x 0 (8 L Équation (7 ontre qu il y a une borne supérieure à la vitesse, appelée la vitesse liite ou vitesse liite de chute, lorsqu on tient copte de la résistance de l air. En effet, si on pose v 0 = 0: De plus, quelle que soit la vitesse initiale: v(t < g g li v(t = t On observe que la vitesse liite est aussi la vitesse à laquelle l accélération est nulle. Exercices. 1. La vitesse d évasion d un objet changera si sa position initiale est en altitude, au lieu d être au sol, puisque la nouvelle donnée initiale affectera l expression trouvée en (4. a Trouvez la vitesse d évasion d un objet s il est lancé à partir d un point à distance R de la Terre. b Trouvez une valeur telle que la vitesse d évasion sera 10% oins élevée que la valeur trouvée dans le texte. 4
. Supposez que la résistance de l air est proportionnelle au carré de la vitesse, où est la constante de proportionnalité. a Trouvez l EDO régissant cette situation, en supposant que la force d attraction terrestre est constante. b Résolvez cette EDO. 3. À partir de l Équation (6, ontrez que la vitesse liite est la vitesse à laquelle l accélération est nulle. 5