CHAPITRE 4. LE TIR OBLIQUE Au chapitre 3, nous avons analysé le mouvement de chute libre des corps à la surface de la Terre lorsque la trajectoire est rectiline, et nous avons découvert que dans bon nombre de cas (lorsque les frottements ont un effet nélieable), le mouvement pouvait être considéré comme uniformément accéléré, l'intensité de l'accélération étant = 9,81 m/s 2. Dans ce chapitre, nous poursuivons l'étude de la chute libre des corps, en considérant le cas plus énéral où la trajectoire n'est plus nécessairement rectiline. Tel est le cas lorsqu'on lance une boule de papier en direction de la corbeille ou une omme à son voisin de classe. Pour qu'un objet lancé à la surface de la Terre adopte une trajectoire incurvée, dans un système de référence (SR) donné, il suffit de lui communiquer une vitesse initiale non verticale, il faut l e lancer obliquement (ou encore horizontalement). En présence d'atmosphère, l'étude d'un tel mouvement peut s'avérer très complexe : pensez au mouvement d'un avion en papier, d'une balle de tennis liftée,... Ainsi notre étude portera sur les mouvements d'objets pour lesquels on peut considérer que l'atmosphère a des effets nélieables. Un tel mouvement est appelé tir oblique. Si la vitesse initiale du tir est horizontale, on parle de tir horizontal. 1. Choix du système de référence Lorsque l'on lance un objet dense obliquement à la surface de la Terre, il adopte une trajectoire incurvée qui semble incluse dans un plan vertical: c'est le cas lorsque la présence de l'air n'affecte pas la trajectoire. Puisqu'il s'ait d'un mouvement plan, nous choisirons un repère avec deux axes OX et OY. Un choix particulièrement commode consiste à prendre un axe horizontal (OX) et un axe vertical (OY). Fiure 4.1. Chronophotoraphie du lancer d'une balle Dans le repère OXY de la fiure 4.1, la position de la balle sera alors déterminée par les deux composantes x(t) et y(t) du vecteur position r t. Le tableau ci-dessous reprend quelques positions de la balle. t(s) x(m) y(m) 0,00 0,23 4,10 0,14 0,77 4,08 0,28 1,29 3,83 0,42 1,79 3,40 0,56 2,33 2,75 0,70 2,83 1,92 0,84 3,46 0,90 Représentons raphiquement la composante horizontale de la position de la bille en fonction du temps, càd x(t). 2. Analyse d'une chronophotoraphie Etudions le mouvement d une balle lancée obliquement. Une chronophotoraphie de ce mouvement est présenté à la fiure 44.1). Les imaes ont été prises toutes les 70 ms. Fiure 4.2. Graphique de la composante horizontale de la position en fonction du temps Physique 5 e Chapitre 4. Le tir oblique Pae 1/5
Sur le raphique de la fiure (4.2), les points expérimentaux semblent se trouver sur une droite. Cela sinifie que la composante horizontale de ce mouvement obéit aux lois d un MRU. La loi donnant l'évolution dans le temps de la composante horizontale du vecteur position de la balle est approximativement x t =0,23 3,8 t (4.1) Nous passons ici les détails de la recherche de cette loi et laissons au lecteur le soin de s'assurer l'adéquation de c elle-ci a vec l es valeurs expérimentales. Comparons la relation (4.1) à la loi de la position dans le cas d'un MRU, ç-à-d 0 t (4.2) On en déduit que la coordonnée initiale et la composante initiale du vecteur vitesse de la balle sont respectivement x 0 =0,23 m et 0 = 3,8 m/s. Ensuite, représentons raphiquement la composante verticale de la position de la bille. s'assurer de l'adéquation de cette loi aux valeurs expérimentales. Comparons la relation (4.3) à celle de la position dans le cas d'un mouvement rectiline uniformément accéléré, càd 0 t a 2 t 2 (4.4) On en déduit que la coordonnée y initiale de la balle est y 0 = 4,1 m, la composante verticale de la vitesse initiale de la balle est 0 = 0,46 m/s et l'accélération est éale à -10 m/s 2 (a/2 = -5 <=> a = 10). L'accélération est donc éale à celle obtenue pour la chute libre. Il semble donc que le mouvement de la balle peut être considéré comme la composition de deux mouvements simples: un mouvement horizontal à vitesse constante et un mouvement vertical à accélération constante. L'évolution dans le temps de chacune des composantes pourra alors être déterminée par les lois introduites dans les chapitres précédents. 3. Lois du tir oblique Le tir oblique peut être considéré comme la composition de deux mouvements simples : un mouvement horizontal à vitesse constante et un mouvement vertical à accélération constante. Autrement dit, comme l'illustre la fiure 4.4, sous un éclairae vertical, l'ombre de l'objet sur une surface horizontale sera animée d'un MRU; sous un éclairae horizontal l'ombre de l'objet sur une surface verticale sera animée d'un MRUA. Fiure 4.3. Graphique de la composante verticale de la position en fonction du temps Sur le raphique ci-dessus, les points expérimentaux semblent se trouver sur une parabole. Cela sinifie que la composante horizontale de ce mouvement obéit aux lois d un MRUA. La loi donnant l'évolution de la composante verticale (y) du vecteur position est approximativement y t =4,1 0,46t 5t 2 (4.3) De nouveau, nous laissons au lecteur le soin de Fiure 4.4. Composition de deux mouvements Physique 5 e Chapitre 4. Le tir oblique Pae 2/5
Ecrivons maintenant les lois du mouvement dans le cas d'un tir oblique. Si on nélie les frottements, l accélération de ce mouvement est l accélération de la pesanteur. Sa composante horizontale est nulle et sa composante verticale est ou - suivant le sens de l'axe OY. Les composantes du vecteur accélération sont donc a= 0 ;±. Soit r 0 = x 0 ; y 0 et v 0 = 0 ;0, les composantes des vecteurs position initiale et vitesse initiale du mobile. Si l'on suppose que l'instant initial est nul, on obtient les lois suivantes: Pour la composante horizontale du mouvement (MRU): a x =0 (4.5) t =0 (4.6) O t (4.7) Pour la composante verticale du mouvement (MRUA): a y =± (4.8) t =0 ± t (4.9) O t± 2 t 2 (4.10) Remarques Dans les lois (4.8) à (4.10) la valeur + (resp. -) est utilisée pour l'accélération si l'axe OY pointe vers le bas (resp. vers le haut). Souvent, la vitesse initiale n est pas précisée par ses composantes, on donne alors son intensité v 0 et l anle de tir α càd l'anle formé par le vecteur vitesse initiale et l'horizontale. On trouve alors râce aux relations trionométriques du trianle rectanle (voir fiure 4.5) les expressions des composantes du vecteur vitesse initiale : v 0 = 0 ;0 = v 0 cos ; v 0 sin (4.11) Fiure 4.4. Composantes du vecteur vitesse initiale Dans le but de simplifier l'écriture des lois, on choisira parfois un repère pour lequel l'oriine coïncide avec l'endroit du lancer. Dans ce cas, les composantes du vecteur position initiale sont x 0 = 0 et y 0 = 0. Les lois du tir oblique admettent l'écriture vectorielle condensée ci-dessous. a= 0,± v t = v 0 a t r t = r 0 v O t a t 2 Exemple numérique 2 (4.12) On tire un boulet de canon avec une vitesse de 21,0m/s. L anle formé par le fût du canon et l horizontale est de 35. Déterminons la position et la vitesses du boulet aux instants t = 0,5 s. On choisit un repère tel que l'oriine coïncide avec le canon, l'axe OX est horizontal et l'axe OY vertical pointe vers le haut. Le vecteur position initiale est r 0 = 0,0 m La vecteur vitesse initiale est v 0 = v 0 cos ;v O sin v 0 = 21cos 35 ; 21sin35 17,2 ;12,0 m/ s Les lois donnant l'évolution dans le temps des composantes du vecteur vitesse instantanée sont t =0 17,2 m/s t =0 t 12 9,81 t m/s Les lois donnant l'évolution dans le temps des composantes du vecteur position sont 0 t 17,2 t m 0 t t 2 2 12t 4,91t2 m On peut alors calculer les composantes des vecteurs position et vitesse à l'instant t = 0,5 s t=0,5 s 17,2m/ s t=0,5 s 12 9,81 0,5 7,14m/s x t=0,5 s 17,2 0,5 8,60m y t=0,5 s 12 0,5 4,91 0,5 2 4,8m Physique 5 e Chapitre 4. Le tir oblique Pae 3/5
4. La trajectoire 4.1. Choix du système de référence. Considérons un tir oblique avec une vitesse initiale notée v 0 et un anle du tir noté α. Choisissons un repère tel que l'axe OX est horizontal, l'axe vertical OY pointe vers le haut et l'oriine coïncide avec l'endroit du tir. Fiure 4.6. Système de référence. 4.2. Equation de la trajectoire. Cherchons maintenant l'équation cartésienne de la trajectoire càd une équation liant les coordonnées x et y de chaque point de la courbe. Dans le système de référence choisi, les composantes du vecteur position initiale sont nulles, et les lois de la position (4.7) et (4.10) s'écrivent x=o t (4.13) y=o t 2 t2 (4.14) En isolant t dans l'équation (4.13), on obtient t= x 0 (4.15) En remplaçant t dans l'équation (4.14) par son expression (4.15), on obtient alors l'équation cartésienne de la trajectoire. P y= 0 x x 2 2 (4.16) (voir fiure 4.6). En remplaçant y par 0 dans l'équation de la trajectoire (4.16) on obtient l'équation du second deré 0 x x 2 =0 2 (4.17) En mettant x en évidence on obtient une équation de type produit nul x 0 x =0 2 (4.18) Cette équation est vérifiée si x = 0, ce qui correspond à la coordonnée x du projectile au moment du tir, ou si le second facteur est nul càd 0 x=0 v 2 0 x=0 x0 2 O 2 O x= 2 0 0 (4.19) Cette seconde solution correspond à la portée du tir que nous notons d. En exprimant les composantes du vecteur vitesse initiale en fonction de l'intensité de la vitesse initiale et de l'anle du tir (voir relations 4.11), on obtient d = 2 v 2 0sin cos En utilisant la formule de duplication (4.20) sin 2 =2 sin cos, (4.21) cette équation s'écrit plus simplement d = v 2 0sin 2 (4.22) Cette dernière équation montre que la portée est maximale lorsque sin 2 est maximum autrement dit lorsque condition est =45. sin 2 =1. L'anle qui vérifie cette Cette équation est une équation du second deré. Cela sinifie que la trajectoire du mobile en tir oblique est une parabole. 4.3. Portée du tir. Lorsqu on lance un objet, on aime énéralement savoir où il tombera! Si le repère choisi pour étudier le mouvement a son oriine sur un sol horizontal, cela revient à chercher la coordonnée x pour laquelle y=0 Fiure 4.7. Effet de l'anle de tir sur la trajectoire. Physique 5 e Chapitre 4. Le tir oblique Pae 4/5
x s = v 2 0 sin 2 = 212 sin 2 35 21,1 m 2 2 9,81 y s = v 2 0sin 2 = 212 sin 2 35 7,4 m 2 2 9,81 Fiure 4.8. Effet de la vitesse initiale du tir sur la trajectoire. 4.4. Sommet de la trajectoire. Les coordonnées du sommet de la trajectoire sont celles du sommet d'une parabole. Rappelons que la parabole P y=a x 2 b x c a pour sommet le point de coordonnées = b 2a ; b 2 4ac (4.23) 4a Or l'équation de la trajectoire (4.17) est l'équation d'une parabole avec a= 2v, b= 0, c=0 2 (4.24) x0 0 En introduisant ces expressions dans (4.23), on obtient les coordonnées du sommet = 0 O ; v 2 y0 2 (4.25) En exprimant les composantes du vecteur vitesse initiale en fonction de l'intensité de la vitesse initiale et de l'anle du tir (voir relations 4.11), on obtient finalement = v 2 0 sin 2 ; v 2 0sin 2 (4.26) 2 2 On déduit de cette relation que la hauteur est maximale lorsque l'anle du tir est éal à 90. Exemple numérique Reprenons le tir au canon de l'exemple numérique précédent pour lequel l'intensité de la vitesse initiale est de 21 m/s et l'anle de tir est de 35. Déterminons la portée du tir et les coordonnées du sommet d = v 2 0sin 2 = 212 sin 2 35 42,2 m 9,81 4. Le tir horizontal Un tir horizontal est un cas particulier du tir oblique pour lequel la composante verticale de la vitesse initiale est nulle. Un système de référence (fiure 4.9) tel que l'axe horizontal OX pointe dans le direction du tir, l'axe OY vertical pointe vers le bas et l'oriine coïncide avec l'endroit du tir permet une écriture simplifiée des lois. Fiure 4.9. Système de référence pour un tir horizontal. Dans ce système de référence pour une vitesse initiale v 0, les lois du mouvement sont a x =0 t =v 0 x t =v 0 t a y = t = t y t = 2 t 2 (4.27) l'équation de la trajectoire est P y= 2 v 0 2 x2 (4.28) Si le tir est effectué à une hauteur h au-dessus du sol, la portée d du tir est d =v 2h 0 (4.29) Physique 5 e Chapitre 4. Le tir oblique Pae 5/5