Finance 1 Université d Evry Séance 7 Gestion obligataire passive Philippe Priaulet
L efficience des marchés Stratégies passives Qu est-ce qu un bon benchmark? Réplication simple Réplication par échantillonnage stratifié Réplication par minimisation de la Tracking Error Estimation de la covariance de l échantillon Estimation de la covariance pondérée exponentiellement Réplication factorielle Réplication à l aide de produits dérivés Performance Out-Of-Sample Echantillonnage vs Minimisation de la TE Sommaire
L efficience des marchés Selon la théories des marchés efficients, les prix des actifs financiers reflètent l ensemble de l information disponible sur le marché. Mais ce n est pas toujours le cas de façon parfaite. On distingue alors quatre grands types de marché : -le marché efficient au sens fort: les cours reflètent, à tout instant, toutes les informations disponibles sur le marché. Il est impossible dans ce cas de prévoir leur évolution. -le marché efficient au sens semi-fort: les cours reflètent, à tout instant, toutes les informations publiques disponibles sur le marché. Il est impossible dans ce cas de prévoir leur évolution par une approche fondamentale ou technique.
L efficience des marchés -le marché efficient au sens faible: les cours tiennent compte à chaque instant de l information disponible sur les cours passés. Tous les opérateurs disposant de ces informations, la prévision des cours par l analyse technique est inefficace. -le marché inefficient : les cours n intègrent pas toutes les informations disponibles sur les cours passés. Il est alors possible de faire de la prédiction de façon efficace (analyse technique, analyse fondamentale).
Stratégies Passives Un résultat naturel de la croyance en l efficience des marchés est d utiliser une stratégie passive de gestion de portefeuilles. Les stratégies passives n ont pas pour but de surperformer le marché mais de faire aussi bien que le marché. L accent est porté sur la minimisation des coûts de transaction Les bénéfices escomptés d une gestion active sont censés être plus faibles que les coûts associés Les investisseurs passifs agissent comme si le marché était efficient. En particulier, ils considèrent le prix de marché des actifs financiers comme le meilleur estimateur de leur valeur. Si le marché est totalement efficient, aucune stratégie active ne peut battre le marché pour un risque comparable.
Qu est-ce qu un bon benchmark? La réussite d une gestion passive suppose le choix d un bon indice de référence ou benchmark. Qualités d un bon benchmark: Renommée: Utilisation diffuse par les investisseurs internationaux Représentativité: Bonne représentation des caractéristiques du marché qu il est censé incarner Réplicabilité: L indice doit pouvoir être répliqué avec une tracking error minimale et être composé de titres suffisamment liquides Transparence: Explication claire des règles d inclusion d un titre, des changements de composition de l indice ainsi que de ses méthodes de calcul Disponibilité: Accessibilité facile de la composition et des performances de l indice Qualité des prix des titres servant à calculer l indice Stabilité: la composition de l indice ne doit pas changer trop souvent et doit être compréhensible et prédictible.
Réplication simple La technique de réplication la plus simple implique de Dupliquer l indice cible précisément Détenir tous les titres de l indice dans leur exacte proportion Une fois la réplication achevée, il est nécessaire de procéder à des transactions dans le portefeuille, quand la composition de l indice change. Ce type d approche convient mieux aux actions qu aux obligations. Par exemple, l indice Euro Aggregate de Lehman Brothers contient 2557 titres (au 02/01/2006). Beaucoup des titres de l indice sont insuffisamment liquides. La composition de l indice change régulièrement au fur et à mesure que les titres arrivent à maturité.
Réplication par échantillonnage stratifié Une alternative naturelle est l échantillonnage stratifié (réplication des attributs de l indice). Pour répliquer un indice selon cette méthode, il faut pouvoir représenter toutes ses caractéristiques importantes avec peu de titres. Primo, diviser l indice en cellules, chaque cellule représentant une caractéristique différente. Secundo, acheter un ou plusieurs titres pour reproduire ces caractéristiques et représenter la cellule entière. Exemples de caractéristiques: Duration (<5 ans, > 5 ans) Secteurs (dette publique, dette privée, dette hypothécaire) Notation (AAA, AA, A, BBB) Nombre de cellules dans cet exemple: 2 x 3 x 4 = 24
Réplication par minimisation de la «tracking error» Les modèles de risque nous permettent de répliquer des indices en créant des portefeuilles de tracking error minimale (réplication des rendements de l indice). Ces modèles reposent sur les volatilités et corrélations historiques entre les rendements des différentes classes d actifs. Habituellement, les gérants de portefeuilles tablent sur une corrélation entre le fonds et l indice de l ordre de 0,95. Cette technique de réplication implique deux étapes séparées: Estimation de la matrice de covariance des rendements des titres Utilisation de cette matrice pour l optimisation de la tracking error.
Le problème consiste à: Procédure d optimisation Créer un portefeuilles de N titres individuels (ou produits dérivés) Choisir les poids de ces titres dans le portefeuille de façon à répliquer aussi étroitement que possible le rendement de l indice cible. R P = N i= 1 w i R i Min Var N ( R ) = P RB ww i jσij 2 w1,..., wn i, j= 1 i= 1 N wσ i ib + σ 2 B
Estimation de la matrice de covariance des rendements des titres Le point-clé de ce problème est la matrice de variancecovariance des rendements des titres. Problème d estimation: le nombre des différents termes de covariance à estimer est égal à N(N-1)/2 Différentes méthodes peuvent être utilisées pour améliorer l estimation de la matrice de variance-covariance. Exemple: répliquer en 2001 l indice JP Morgan T-Bond avec : 6.25%, 31-Jan-2002 4.75%, 15-Feb-2004 5.875%, 15-Nov-2005 6.125%, 15-Aug-2007 6.5%, 15-Feb-2010 5%, 15-Aug-2011 6.25%, 15-May-2030 5.375%, 15-Feb-2031
Estimation de la matrice de covariance de l échantillon Calcul de la matrice de corrélation Benchmark Bond 1 Bond 2 Bond 3 Bond 4 Bond 5 Bond 6 Bond 7 Bond 8 Benchmark 1 Bond 1 0.035340992 1 Bond 2 0.570480252 0.037162337 1 Bond 3 0.762486545 0.03232004 0.539232667 1 Bond 4 0.80490507 0.030394112 0.928891982 0.675469702 1 Bond 5 0.873289816 0.023278035 0.865561277 0.698241657 0.982726525 1 Bond 6 0.987947611 0.03032363 0.573606745 0.771601295 0.810561264 0.880679105 1 Bond 7 0.932169847 0.023653633 0.439369201 0.782454722 0.684073945 0.774954075 0.89795721 1 Bond 8 0.912529511 0.022592811 0.586354587 0.608825075 0.788072503 0.858459264 0.866043218 0.932159141 1 A noter que les obligations de maturité moyenne ont une corrélation élevée avec l indice Ce n est pas surprenant: la duration moyenne de l indice sur la période est de 6,73 années. L estimation la plus simple est donnée par la covariance estimée de l échantillon. S = T 1 1 T ( )( ) ' Rt R Rt R t = 1
Estimation de la matrice de covariance de l échantillon Minimiser la «tracking error» du portefeuille Min TE = Var ( RP RB ) = ww i jσij 2 w 1,..., w8 i, j= 1 i = 1 8 8 w σ Sample Covariance Matrix Bond 1 Bond 2 Bond 3 Bond 4 Bond 5 Bond 6 Bond 7 Bond 8 with short-sales contraints 12.93% 14.19% 0.00% 0.00% 0.00% 62.41% 8.33% 2.13% without short-sales contraints 1.99% 39.92% -1.43% 20.93% -62.38% 83.59% 3.44% 13.93% i ib + σ Calculer la tracking error comme une mesure de la qualité de la réplication Un portefeuille de 8 titres aux poids identiques : 0,14% par jour Le portefeuille de réplication dévie en moyenne de 0,14% par rapport à la cible. Réplication optimale sans vente à découvert : 0.07% Réplication optimale avec vente à découvert : 0.04% 2 B
110 108 106 104 102 100 98 96 94 Portefeuille aux poids identiques Replicating Portfolio Benchmark 3-Aug-01 3-Sep-01 3-Oct-01 3-Nov-01 3-Dec-01 3-Jan-02
Portefeuille optimal sans vente à découvert 110 108 106 104 102 100 98 96 94 Replicating Portfolio Benchmark 3-Aug-01 3-Sep-01 3-Oct-01 3-Nov-01 3-Dec-01 3-Jan-02
Portefeuille optimal avec vente à découvert 110 108 106 104 102 100 98 96 94 Replicating Portfolio Benchmark 3-Aug-01 3-Sep-01 3-Oct-01 3-Nov-01 3-Dec-01 3-Jan-02
Estimation de la matrice de covariance avec des poids exponentiels Un problème clé est la non-stationnarité des rendements obligataires Plus de données permet de réduire le risque d estimation. Moins de données permet d utiliser l information la plus récente. Une amélioration possible consiste à prendre des poids affectés aux observations, déclinant quand on remonte dans le temps. T S = t= 1 p t ( R R)( R R) ' t t p t λ T t + 1 = T t = 1 t λ
Réplication factorielle La réplication factorielle consiste à identifier l exposition du portefeuille de réplication par rapport à des facteurs de risque à celle de son benchmark. La dynamique de la structure par terme des taux est décrite par un nombre limité de facteurs (2 ou 3) Rit = mi +bi1f1t +... + bikfkt + eit Fjt est le facteur j à la date t (j = 1,,k) eit est le rendement spécifique du titre bij mesure la sensibilité de Ri au facteur j, (j = 1,..., k) Utiliser les estimations de bij et de s 2 (Fj) pour obtenir les estimations de Cov(Ri,Rj) (cas à deux facteurs): on a besoin de kn estimations de beta + N + K termes de volatilité Variance si 2 = bi1 2 sf1 2 + bi2 2 sf2 2 + 2bi1bi2Cov(F1,F2) + sei 2 Covariance sij = bi1bj1sf1 2 + bi2bj2sf2 2 + (bi1bj2 + bi2bj1)cov(f1,f2 ) Ces expressions se simplifient quand Cov(F1,F2 )=0 et sfi =1
Retour à l exemple En utilisant les mêmes données que dans l exemple précédent, on régresse le rendement des 8 titres et du benchmark sur deux facteurs Le premier facteur est la variation des taux à 3 mois, considérée comme une approximation de la variation du niveau de la courbe des taux Le second facteur est la variation du spread entre le taux à 30 ans et le taux à 3 mois, considérée comme une approximation de la variation de la pente de la courbe des taux Résultat de la régression pour le benchmark R 2 > 90% Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept 6.14942E-05 0.000180236 0.3411861 0.7335755 Factor 1-27.0865211 1.264843741-21.414915 2.737E-42 Factor 2-22.2656083 0.996043688-22.354048 4.799E-44
Retour à l exemple (2) Le tableau suivant montre les betas de chaque titre par rapport aux deux facteurs de risque Beta 1 Beta 2 Benchmark -27.0865211-22.26560827 Bond 1-2.81376114-1.084816042 Bond 2-11.1461975-5.759743001 Bond 3-19.9855764-13.46348007 Bond 4-23.1662469-15.95768661 Bond 5-28.7309262-22.18051504 Bond 6-32.4878358-26.25424263 Bond 7-50.8107969-48.54826524 Bond 8-52.2945817-50.57663054 On a les contraintes suivantes dans la procédure d optimisation. 8 wiβi1 = 27.0865211 i= 1 8 = wiβi2 22.26560827 i= 1
Réplication à l aide de produits dérivés Le portefeuille de réplication peut être composé de produits non présents dans l indice. Une telle alternative se traduit concrètement par l utilisation de futures et swaps (instruments liquides) avec des caractéristiques de rendement et de maturité similaires à celles du benchmark. L avantage des futures est leur facilité d utilisation et la modicité de leur coût. Exemple : réplication d un indice d emprunts d Etat avec des futures sur emprunts d Etat à 2, 5, 10 et 30 ans. Procédure : diviser l indice en quatre cellules de duration différentes, puis calculer le risque ($duration) de chaque cellule de l indice et déterminer le nombre de futures de chaque maturité dans lesquels investir afin que le portefeuille de réplication ait la même exposition à la courbe des taux que son benchmark.
Performance Out-of-sample La performance relative des différents estimateurs de la matrice de covariance peut être jaugée sur une base out-of-sample. Utiliser les deux premiers tiers des données pour calibrer les différentes estimations de la matrices de covariance. Sur la base de ces estimations, calculer le meilleur portefeuille de réplication avec et sans contrainte de vente à découvert. Enregistrer la performance de ces portefeuilles optimaux sur la période de backtesting, i.e sur le dernier tiers des données. Calculer l écart-type de l excès de rendement de ces portefeuilles par rapport au benchmark. Cette quantité représente la tracking error out-of-sample.
Echantillonnage stratifié vs minimisation de la TE L approche cellulaire consiste à répliquer les attributs de l indice, tandis que l approche par minimisation de la TE consiste à répliquer les rendements de l indice, directement ou bien à travers la réplication des facteurs qui expliquent une large part de ces rendements. Limites de la première approche: Même importance accordée aux différentes cellules de l indice (en réalité, certaines cellules sont plus cruciales que les autres car la volatilité du rendement associé est plus grande. les corrélations possibles entre cellules sont ignorées. Limites de la deuxième approche: l apprentissage du modèle est limité à l historique pris en compte pour sa calibration. Ce peut être un problème en cas de changement structurel significatif ne s étant pas matérialisé dans la vola tilité des rendements.