Question 1: Analyse et évaluation des obligations / Gestion de portefeuille

Question 1: Analyse et évaluation des obligations / Gestion de portefeuille (33 points) Monsieur X est un gérant de fonds obligataire qui a repris la responsabilité de gestion du portefeuille obligataire international pour une caisse de pension. Le portefeuille est évalué en dollars US et utilise comme benchmark un indice libellé en USD mais non couvert contre les risques de change. Il est composé d une moyenne pondérée des indices d obligations souveraines de trois marchés (USA, Allemagne et Japon), selon la répartition décrite dans le tableau 1 ci-dessous. Tableau 1: Indices d obligations souveraines Indices Pondération de Rendement à Duration marché l échéance moyen modifiée «US government bond index» 50% 2.55% 5.04 «German government bond index» 20% 2.25% 6.02 «Japanese government bond index» 30% 0.85% 6.51 Total 100% 1.98% 5.68 Note 1: Le rendement exprimé en USD du benchmark est calculé en prenant la moyenne pondérée par la capitalisation de marché des rendements exprimés en USD de chaque pays. Note 2: Le rendement à l échéance moyen et la duration modifiée du benchmark correspondent aux moyennes pondérées par la capitalisation de marché des données par pays. Au moment où Monsieur X prend ses fonctions, le portefeuille présente les mêmes pondérations de marché, échéances et durations modifiées que le benchmark. Ainsi il n y a pour ainsi dire pas de risque actif. Monsieur X envisage de rebalancer le portefeuille en fonction de ses prévisions de taux d intérêt pour les USA, l Allemagne et le Japon afin de générer un rendement excédentaire par rapport au benchmark. Le tableau 2 contient les courbes de rendement au pair (par yield curves) pour les obligations souveraines de chaque pays. Tableau 2: Courbes de rendement des obligations souveraines Echéance USA (annualisé) Allemagne (annualisé) Japon (annualisé) 1 an 0.436% 0.541% 0.151% 2 ans 1.073% 0.984% 0.183% 3 ans 1.680% 1.357% 0.237% 4 ans 2.168% 1.785% 0.375% 5 ans 2.595% 2.235% 0.526% 6 ans 2.975% 2.500% 0.696% 7 ans 3.288% 2.674% 0.884% 10 ans 3.842% 3.168% 1.365% 20 ans 4.521% 3.781% 2.120% 30 ans 4.696% 3.895% 2.228% Note: Tous les coupons sont payables une fois par an et les courbes de rendement sont exprimées sur base de taux d intérêt annualisé. Page 1 / 12

Monsieur X a utilisé les rendements présentés dans le tableau 2 pour calculer les rendements spots (taux d obligations zéro coupon) et taux forwards à un an pour les obligations de chaque pays, pour des échéances de 1 à 5 ans (tableaux 3 et 4). Tableau 3: Courbes des rendements spots (spot rate curves) Echéance US (annualisé) Allemagne (annualisé) Japon (annualisé) 1 an 0.436% 0.541% 0.151% 2 ans 1.076% 0.986% 0.183% 3 ans 1.694% 1 0.237% 4 ans 2.198% 1.804% 0.376% 5 ans 2.647% 2.275% 0.529% Tableau 4: Courbes des rendements forward (forward par yield curves) après 1 an Echéance US (annualisé) Allemagne (annualisé) Japon (annualisé) 1 an 1.721% 1.433% 0.215% 2 ans 2.322% 1.775% 0.280% 3 ans 2.774% 2.216% 2 4 ans 3.172% 2.683% 0.621% 5 ans 3.530% 2.921% 0.807% Note: La courbe des rendements forward après 1 an indique le coupon Y 1,t+1 d une obligation émise dans un an au pair avec échéance t années, selon la courbe actuelle des rendements (par exemple le coupon d une obligation d Etat US émise au pair dans un an avec échéance 5 ans, qui s applique à courbe des rendements actuelle, indique Y 1,6 = 3.530% p.a.) a) Calculez les données manquantes dans les tableaux ci-dessus, notées respectivement 1 et 2. Arrondissez vos réponses à la 3 ème décimale. Montrez vos calculs et vos résultats. [Indication pour 2 : En premier lieu calculez les trois taux forward japonais après un an (à savoir F 1,2, F 1,3, et F 1,4, où F t1, t indique le taux forward de t 2 1 à t 2 ) du tableau 3. Ensuite, utilisez-les pour trouver le rendement forward demandé.] (9 points) b) Monsieur X prévoit un aplatissement de la courbe de rendements US durant l année prochaine. Il vend les obligations souveraines US échéance 3 ans, remplace une partie d entre elles par des obligations US à 1 an et le reste avec des obligations US à 5 ans, de sorte à maintenir la duration modifiée du portefeuille inchangée. Le tableau 5 ci-dessous contient les différentes durations modifiées en fonction des échéances. Tableau 5: Durations modifiées des obligations souveraines US Echéance 1 an 3 ans 5 ans Duration modifiée 0.996 2.902 4.633 b1) Sachant qu il vend USD 10 millions d obligation souveraines US à 3 ans, quels montants d obligations à 1 an et à 5 ans Monsieur X doit-il acheter afin de respecter les conditions suivantes : (i) la valeur de marché globale des obligations achetées doit être équivalent à la valeur de marché globale des obligations vendues et (ii) la duration modifiée du portefeuille doit demeurer identique. Arrondissez vos réponses Page 2 / 12

au millier de US dollars. Supposez que toutes les obligations souveraines traitent au pair. b2) Supposez qu après un an la courbe des rendements US s aplatisse au niveau identique à la courbe de taux forwards du tableau 4. Dans cette situation, lequel des deux portefeuilles générera un rendement supérieur : (i) le portefeuille rebalancé décrit à la question b1) ou (ii) le portefeuille original? Il n est pas nécessaire de calculer les rendements, mais expliquez les raisons de votre choix de réponse. c) Monsieur X prévoit une baisse relative plus importante des taux souverains US par rapport aux autres marchés et décide d accroître la pondération des obligations US dans le portefeuille, au détriment des deux autres marchés. Monsieur X va assumer des risques par rapport au benchmarks autres que juste la baisse des taux d intérêt US. Décrivez ces risques (dans votre réponse, concentrez-vous sur la duration globale du portefeuille et sur le risque de change). Dans cette situation, que devrait faire le gérant pour obtenir les bénéfices d une baisse relative des taux d intérêts US tout en minimisant les risques identifiés? (8 points) d) Monsieur X a décidé d utiliser un modèle d allocation d actifs basé sur les valeurs attendues des rendements d indices obligataires et les estimations de la structure de variance-covariance afin de contrôler le risque par rapport au benchmark, tout en cherchant à générer un rendement excédentaire. Sa stratégie consiste à utiliser les valeurs moyennes et les matrices de variance-covariance basées sur les rendements historiques des indices d obligations souveraines en tant que source de données (non modifiées) pour le modèle. Commentez avec critique cette stratégie. Comment pensez-vous pouvoir corriger les problèmes que vous avez identifiés? (8 points) Page 3 / 12

Question 2: Analyse et évaluation des obligations (43 points) Vous êtes gérant obligataire et prévoyez un mouvement significatif des taux d intérêts. Cependant vous ne savez pas dans quelle direction ce mouvement s opérera, à savoir une hausse ou une baisse. Vous décidez par conséquent de construire un portefeuille avec une duration modifiée égale à zéro, en achetant («long») un portefeuille «barbell» et en vendant à découvert («short») un portefeuille «bullet». Supposez que vous pouvez utiliser des obligations zéro coupon pour chacune des échéances. Répondez aux questions qui suivent (cidessous un tableau résumant les taux spots pour des échéances de 2, 6 et 10 ans). Echéance (années) 2 6 10 Taux spot 3.0% 4.3% 5.0% a) Le portefeuille «barbell» est constitué d obligations à 2 et 10 ans ; la position «bullet» est constituée d une obligation à 6 ans. Les positions longues et courtes de la stratégie sont de 10 milliards de JPY chacune, évaluées au prix de marché. a1) Combien d obligations à 2 et 10 ans doivent être achetées afin de réaliser une position globale neutre (égale à zéro) en termes de duration modifiée. Montrez vos calculs et répondez en valeurs de marché. (5 points) a2) Donnez les convexités de chacune des positions «barbell» et «bullet». Montrez vos calculs. (6 points) a3) Quel sera le profit ou la perte de la position globale si après un mois les taux spots qui s appliquent à chacune des obligations ne varient pas (en d autres termes le taux spot 1 an et 11 mois équivaut à 3%, le taux spot 5 ans et 11 mois équivaut à 4.3% et le taux spot 9 ans et 11 mois équivaut à 5%)? Montrez vos calculs. (6 points) a4) Quel sera le profit ou la perte de la position globale si les taux qui s appliquent aux différentes obligations augmentent de 1% (en d autres termes le taux spot 1 an et 11 mois équivaut à 4%, le taux spot 5 ans et 11 mois équivaut à 5.3% et le taux spot 9 ans et 11 mois équivaut à 6%)? Montrez vos calculs. Si la convexité est nécessaire à vos calculs, utilisez la valeur trouvée en a2). (6 points) a5) En supposant une hause ou une baisse uniforme des différents taux spots, on s intéresse à voir comment le rendement de la position va évoluer en fonction de la direction et de l amplitude de la variation des taux d intérêts. Tracez la courbe sur le graphe ci-dessous. (3 points) Page 4 / 12

Rendement + - 0 Variation taux spot - 0 + b) La structure à terme des taux d intérêt (taux spots) ne se modifie pas nécessairement de manière parallèle. En général la variation est le résultat de trois facteurs : «shift» (variation de niveau), «twist» (variation de pente) et «butterfly» (variation de courbure). Dans le cadre de cette question, ces facteurs sont définis de la manière suivante : 1 Shift: s y 2 y 6 y10 3 Twist: t y 10 y 2 1 Butterfly: b y 2 y10 y 6 2 y 2, y6 et y10 sont les variations des taux spots à 2, 6, respectivement 10 ans. Lorsque s devient plus important, le niveau general des taux spots augmente; lorsque t devient important la courbe se pentifie; lorsque b devient important, la courbure s aplatit. Selon des recherches empiriques dans les pays développés, ces trois facteurs ne varient pas indépendamment. Si le «shift» est positif, le «twist» et le «butterfly» sont en général négatifs. Supposons que les relations t 0.25s et b 0.375s s appliquent ici. b1) Calculez et tracez sur le graphique ci-dessous la nouvelle courbe de taux si on assiste à un shift de +0.8% (s = 0.8) et que les autres facteurs varient en fonction de leur relation à s énoncée ci-dessus. (Vous trouverez dans le graphique ci-dessous la structure initiale des taux d intérêt. Indiquez comment la pente et la courbure varient en comparaison). Quelle est l évolution du rendement de la position globale (long barbell, short bullet) construite à la question a)? Sera-t-elle positive ou négative (pas besoin de calculs pour cette dernière question, on vous demande un raisonnement qualitatif)? (7 points) Page 5 / 12

Rendement 5% 3% 2 6 10 (ans) b2) Calculez et tracez sur le graphique ci-dessous la nouvelle courbe de taux si on assiste à un shift de -0.8% (s = -0.8) et que les autres facteurs varient en fonction de leur relation à s énoncée plus haut. (Vous trouverez dans le graphique ci-dessous la structure initiale des taux d intérêt. Indiquez comment la pente et la courbure varient en comparaison). Quelle est l évolution du rendement de la position globale (long barbell, short bullet) construite à la question a)? Sera-t-elle positive ou négative (pas besoin de calculs pour cette dernière question, on vous demande un raisonnement qualitatif)? (6 points) 5% 3% 2 6 10 (ans) b3) En vous référant à vos réponses en b1) et b2) ci-dessus, tracez sur le graphe cidessous la courbe illustrant la variation du rendement de la position globale («long barbell / short bullet») en fonction de la direction et de l amplitude de la variation du «shift». On supposera également que les trois facteurs évoluent de façon corrélée selon les relations données à la question b). + 0 Variation du «shift» - - 0 + Page 6 / 12

Question 3: Analyse et évaluation d instruments dérivés (37 points) Une entreprise US a besoin d emprunter EUR 50 millions durant 5 ans afin de financer le développement d un centre de recherche en Allemagne. La société a cependant un avantage comparatif d emprunter dans sa monnaie locale (USD) et ensuite de procéder à un swap de devises (cross-currency swap). La société reçoit une proposition de sa société de courtage habituelle, Makoff Inc., pour un swap de devises à 5 ans où les cash-flows sur un montant notionnel de EUR 50 millions au taux fixe de 3% sont échangés contre des cash-flows sur un montant de USD 75 millions au taux fixe de 2%. Tous les paiements sont effectués annuellement sur la base de la convention 30/360. a) Supposez que la société US entre dans ce swap de devises avec Makoff Inc. afin de transformer son emprunt USD en un emprunt EUR. Quel taux fixe reçoit-elle et quel taux fixe paie-t-elle? Expliquez pourquoi cette transaction lui permet de transformer son emprunt USD en un emprunt EUR. (5 points) b) Calculez et listez les cash-flows (du point de vue de l entreprise US) : (i) au début du swap de devises (T = 0); (ii) durant la vie du swap (de T = 1 à T = 4); (iii) à l échéance du swap de devises (T = 5). T indique la période écoulée en années. Utilisez le tableau cidessous pour donner vos réponses. (5 points) (i) Début (T = 0) paie L entreprise US reçoit (ii) Interim (chaque année de T = 1 à T = 4) (iii) Echéance (T = 5) Supposez que Makoff Inc. se déclare en faillite à la fin de l année 2, alors que le taux de change EUR/USD est de USD 1.40 par EUR et que le swap de devises a une durée résiduelle de 3 ans. Supposez également qu à la fin de l année 2 les taux d intérêt sont de 2.5% p.a. en USD et 2.5% p.a. en EUR, annualisés et pour toutes les échéances. c) Quels seraient à ce moment les termes d un swap de devises à 3 ans intérêt fixe contre intérêt fixe pour un montant notionnel de EUR 50 millions contre USD, à savoir quel seraient le montant notionnel de la partie USD, le taux d intérêt fixe EUR et le taux d intérêt fixe USD? (3 points) d) Calculez la valeur du swap pour l entreprise US en la décomposant en deux obligations, à savoir : (i) une obligation qui reproduit les cash-flows entrants et (ii) l autre obligation qui indique les cash-flows sortants. Déterminez si l entreprise US bénéficie où souffre de la faillite de Makoff Inc. (11 points) e) Calculez la valeur du swap pour Makoff Inc. en EUR. (3 points) Page 7 / 12

f) Calculez la valeur du swap pour l entreprise US en la décomposant en une série de contrats de change forward. [Indication: calculez les taux de change forward pour différentes échéances, puis calculez les valeurs actualisées des montants futurs payés et reçus en utilisant les taux de change forward appropriés.] (10 points) Page 8 / 12

Question 4: Gestion de portefeuille (32 points) La caisse de pension ABC possède entre autres un portefeuille passif d actions globales. Elle prévoit désormais de diversifier une partie de ce portefeuille dans un indice de futures sur matières premières, en tant qu investissement alternatif. Cet indice est constitué de positions longues sur divers futures sur matières premières, nantis à 100% par des T-bills. L indice réplique une stratégie d investissement dans laquelle les contrats futures sur matières premières sont renouvelés en continu sur les contrats du mois suivant dès qu ils arrivent à échéance. Les caractéristiques de risque et de rendement de ces indices sont différentes dans les quatre grands secteurs de matières premières : agriculture, bétail, métaux et énergie. Le fonds de pension ABC envisage d investir dans un composite de ces quatre indices sectoriels de matières premières, à savoir 40% en indice énergie et 20% dans chacun des trois autres indices sectoriels. Le tableau 1 ci-dessous donne les statistiques de risque et de rendement mesurées sur les 30 dernières années pour les différents indices sectoriels, l indice composite de futures sur matières premières et le portefeuille d actions globales. Le tableau 2 donne la matrice des corrélations pour les rendements de ces indices. En utilisant ces données, répondez aux questions qui suivent. Tableau 1: Statistiques de rendement et de risque (USD, rendements et écart-types annuels exprimés en %) Indice futures sur matières premières / Rendement Ecart-type Beta* R 2 Indice actions moyen Secteur agriculture 3.5 18 0.20 0.04 Secteur bétail 7.5 15 0.12 0.02 Secteur métal 4.0 22 0.31 0.06 Secteur énergie 15.0 34 0.09 0.00 Indice composite futures sur matières 9.0 16 0.16 0.03 premières Indice actions globales (MSCI) 11.7 17 1.00 1.00 [*Note: le beta est mesuré contre l indice des action globales (MSCI)] Tableau 2: Coefficients de corrélation Agriculture Bétail Métal Energie Composite Actions globales Agriculture 1.00 Bétail 0.10 1.00 Métal 0.27 0.11 1.00 Energie 0.07 0.06 0.14 1.00 Composite 0.38 0.28 0.47 0.89 1.00 Actions globales 0.18 0.14 0.24 0.05 0.17 1.00 Page 9 / 12

a) Dans les marchés de futures sur matières premières, les transactions sont effectuées non seulement par des investisseurs et des spéculateurs, mais également par divers intervenants professionnels qui traitent en fonctions de leurs besoins de couverture pour des demandes en matières premières. En prenant l exemple du marché futures sur blé, identifiez quels types d intervenants sur ce marché prendraient des positions longues dans une optique de couverture, inversement quels types d intervenants prendraient des positions courtes dans une optique de couverture. Répondez en expliquant leurs actions. (3 points) b) Les classes d actifs traditionnelles telles qu actions et obligations sont traitées à la fois sur les marchés au comptant et sur les marchés futures. Les matières premières le sont également, mais la façon dont les investisseurs participent (exceptés les intervenants professionnels mentionnés en a) plus haut) est différente des classes d actifs traditionnelles. Décrivez de quelle manière les transactions des investisseurs en matières premières diffèrent de celles effectuées dans les marchés pour classes d actifs traditionnelles. (3 points) c) Par rapport aux classes d actifs traditionnelles, de quelle façon les matières premières diffèrent en termes d évaluation et en termes de sources de rendement sur investissement? d) Expliquez pourquoi le rendement total des indices de matières premières sont construits en prenant la somme du taux sans risque et des variations de prix dans les futures sur matières premières. (3 points) e) Expliquez pourquoi l investissement dans un indice de matières premières se justifie comme une alternative à l investissement en actions globales. La caisse de pension ABC reconstruit son portefeuille diversifié en investissant 80% en actions globales gérées passivement et 20% dans l indice de futures sur matières premières. f) Quel sera le beta de ce portefeuille par rapport à l indice global actions utilisé comme portefeuille de marché? g) Quel sera le risque total (écart-type en % annualisé) de ce portefeuille? h) La caisse de pension ABC continue d utiliser le portefeuille d actions globales comme benchmark pour son nouveau portefeuille qui inclut des matières premières. En maintenant 20% dans l indice composite de matières premières et 80% en actions globales, le nouveau portefeuille a une certaine erreur de tracking (TE). Deux facteurs génèrent l erreur de tracking : (i) la déviation par rapport au beta [à savoir le beta n est pas de 1.00 tel que vu sous f)] ; (ii) l existence de composants non liés au beta dans le risque total calculé sous g) [à savoir du risque non lié au marché actions résultant de l inclusion de matières premières dans le portefeuille]. Estimez l erreur de tracking (TE) en estimant séparément (i) et (ii) tels que définis précédemment, puis calculez l erreur de tracking totale en combinant l effet de (i) et (ii) ci-dessus. Exprimez le résultat en termes d écarttype en pourcent, annualisé. (7 points) Page 10 / 12

Question 5: Instruments dérivés et dérivés en gestion de portefeuille (35 points) Nous sommes aujourd hui le 17 juillet. Après une analyse approfondie, vous construisez un portefeuille de 30 actions allemandes dont vous pensez qu elles vont surperformer le marché sur une base ajustée au risque (à savoir qu elles généreront un rendement supérieur à celui attendu sur la base du beta du portefeuille). La valeur de marché de votre portefeuille est de EUR 100 millions. L indice dont les variations expliquent au mieux les variations de votre portefeuille est le DAX (cotation actuelle de l indice : 6'170) et le beta du portefeuille par rapport à l indice DAX est estimé à 1.4. Le taux sans risque à un an ou moins est de 2.4% p.a. (taux continu). Note: l indice DAX (indice actions allemandes) est un indice d action «blue chip», constitué des 30 principales sociétés allemandes qui cotent sur la bourse de Francfort. Il s agit d un indice de performance qui réinvestit les dividendes payés par les sociétés constituantes de l indice dans l indice lui-même. Par conséquent, pour le DAX utilisé comme sous-jacent de contrats dérivés, il n y a pas de rendement du dividende dont il faut tenir compte dans la cotation des instruments dérivés et les formules de «hedging». Les instruments dérivés ci-dessous liés au DAX sont disponibles sur le marché. Tous ont leur échéance fixée au 17 décembre (utilisez la convention 30/360 si besoin). Taille du contrat Type d exercice Futures DAX 25 EUR par point d indice Options sur DAX 5 EUR par point d indice européen Options sur Futures DAX 25 EUR par point d indice américain Vous craignez les effets négatifs d une possible récession «double-dip» sur le marché des actions allemandes que certains analystes ont prévu pour la seconde moitié de l année. Pour cette raison vous décidez de couvrir votre portefeuille. a) Vous considérez tout d abord l utilisation d options put. Vous avez déjà déterminé que les options put avec un prix d exercice de 5'600 procurent au portefeuille le niveau désiré de protection. a1) Si vous utilisez des options put sur le DAX, combien de contrats utiliserez-vous en sachant que les coûts de l option seront supportés en externe, soit non prélevés sur le portefeuille? Achetez-vous ou vendez-vous ces options? (5 points) a2) Un collègue vous donne un avis différent: «les options sur DAX ne sont appropriées que si votre horizon de couverture coïncide avec la date d échéance. En supposant que votre horizon de couverture est de 2 mois (c est-à-dire le 17 septembre), les options sur Futures DAX offrent plus de flexibilité : si vous voulez stopper la couverture prématurément, notamment dans le cas d une amélioration des conditions économiques, vous pouvez simplement les exercer. Vous ne pouvez le faire avec les options sur DAX car elles sont de style européen». Etes-vous d accord avec cette opinion? Pourquoi / pourquoi pas? (3 points) Page 11 / 12

a3) En supposant des prix d exercice et échéances identiques, quelle solution est moins chère, les options put sur DAX ou les options put sur Futures DAX? Donnez une raison pour laquelle les options put sur le DAX seraient moins chères et une raison pour laquelle elles seraient plus chères [indication : rappelez-vous que les échéances des futures sous-jacents de l option sur futures DAX sont différents des échéances des options]. (6 points) b) Vous considérez à présent une stratégie de couverture statique en utilisant des futures sur DAX. Le future DAX échéant en décembre cote aujourd hui à 6 221.50. b1) Combien de contrats futures devez-vous utiliser pour couvrir ce portefeuille [à savoir amener le beta du portfeuille global à 0]? Achetez-vous ou vendez-vous ces futures? (5 points) b2) Quelle part du risque dans votre portefeuille est-elle éliminée en utilisant des futures sur indices? Quelle part du risque demeure? b3) Supposez maintenant que votre sélection de titres surperforme effectivement le marché, selon vos attentes, sur une base ajustée par le risque (c est-à-dire avec un alpha positif). Caractérisez qualitativement le rendement de votre portefeuille couvert au moyen de futures sur DAX dans le cas (i) d une baisse significative de l indice DAX, (ii) une évolution latérale de l indice et finalement (iii) une hausse significative de l indice. Justifiez vos réponses, ignorez les problématiques liées à la base entre contrats futures et indice dans votre argumentation [Indication : suivez les points discutés en b2).] c) Vous considérez finalement une stratégie d assurance dynamique de portefeuille en utilisant le future sur DAX échéant en décembre pour répliquer une stratégie de put protectif. Le delta du put DAX décembre 5'600 que vous voulez répliquer est de -0.21. c1) Combien de contrats futures devez-vous utiliser initialement pour répliquer cette option put? Devez-vous acheter ou vendre les futures? (5 points) c2) Quel est le principal inconvénient de cette stratégie de réplication dynamique en utilisant des futures, par rapport à l utilisation directe de puts sur indice? (3 points) Page 12 / 12