Exercice 1 : Pour chaque question une seule réponse est correcte. Vos réponses sont à reporter sur votre copie sans justifications. A C Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est 1. 10 7 ( 7 70 )= 10 70 =1 L'inverse de 10 7 est 10 7 10,7 Un multiple de 5 est dans la table de 5. 295 est un diviseur de 5 15 est 6 points 1 par réponse est premier avec 5 15 est un diviseur de 30 et 45 car 30 = 15 2 et 45 = 15 3 le PGCD de 230 et 45 un diviseur de 30 et de 45 (-2)² + 3-2 2 = 4 6 2 = 4 7 10 divisible par 5 un multiple de 3 et de 4 si x = 2, x² + 3x 2 vaut 12 4 3 G D Un triangle GD est rectangle en G. G² = D² + GD² V = 4 3 R3 = 4 3 33 = 4 3 Une sphère a pour rayon 3 cm. Quel est son volume? Son cercle circonscrit à pour centre le milieu de [D] 27 = 27 4 3 D = G + GD = 36 cm 3 18 cm 3 54 cm 3 36 cm 3 Exercice 2 : On considère le nombre 4182 3034. 5 points (1 ; 2 ; 1 ; 1 ) 1 ) L'écriture fractionnaire de ce nombre est-elle irréductible? Justifier la réponse. L'écriture n'est pas irréductible car les deux nombres sont pairs donc divisibles par 2. 2 ) Calculer le PGCD de son numérateur et de son dénominateur par la méthode de votre choix.
Algorithme d'euclide 4182 = 3034 1 + 1148 3034 = 1148 2 + 738 1148 = 738 1 + 410 738 = 410 1 + 328 410 = 328 1 + 82 328 = 82 4. Algorithme de la soustraction 4182 3034 = 1148 3034 1148 = 1886 1886 1148 = 738 1148 738 = 410 738 410 = 328 410 328 = 82 328 82 = 246 246 82 = 164 164 82 = 82 82 82 = 0 3 ) Donner l'écriture irréductible de 4182 3034. On simplifie par le PGCD de 4182 et 3034 pour obtenir l'écriture irréductible. 4182 3034 = (51 82) (37 82) = 51 37 4 ) Si on simplifie par deux cette écriture, par combien devra-t-on la simplifier encore pour la rendre irréductible? Pour rendre irréductible 4182 on doit simplifier par 82. 3034 En admettant que l'on ait déjà simplifié par 2, il restera une simplification par 41, car 41 2 = 82. Exercice 3 : 3 points (1,5 ; 1,5) On donne A = (7+5 6) (2+3 6) = 2 3 + 4 3 ( 9 2 ) 1 ) Pour donner une valeur de A, on a tapé la séquence suivante sur la calculatrice : 7 + 5 6 2 + 3 6 Qu'en pensez-vous? Argumentez. la séquence précédente comporte deux erreurs. En effet, en respectant les priorités de calcul, la division effectuée par la calculatrice sera 6 2. En réalité dans le nombre A le dividende est 7 + 5 6 et le diviseur 2 + 3 6. Dans la séquence tapée il manque donc les parenthèses. ( 7 +5 6 ) ( 2 +3 6 )
2 ) Donner le résultat de en écriture décimale à l'aide de la calculatrice. est-il un nombre décimal? Le nombre 2 3 + 4 3 ( 9 ) s'écrit 6,666666667 sur l'écran de la calculatrice. 2 En écriture fractionnaire le résultat s'écrit 40 6. L'écriture décimale de ce nombre s'obtient donc en divisant 40 par 6. C'est à dire 6,66 le chiffre 6 se répétant indéfiniment. Le nombre n'est donc pas décimal, le résultat affiché est un arrondi. Exercice 4 : Dans la figure ci-dessous on sait que AC = 4,5 cm et que l'angle^ac mesure 42. E 7 points (2 ; 1 ; 2 ; 2 ) A C 1 ) Construire la figure en vraie grandeur. 4 On trace le segment [A] 1 A 42 3 On place E symétrique de par rapport à A E On trace l'angle de 42 4,5 cm 2 On place C à l'intersection de la demi-droite et du cercle 5 C On trace le cercle de centre A et de rayon 4,5 cm
2 ) Démontrer que le triangle CE est rectangle. Le triangle CE est inscrit dans un cercle de diamètre [E], il est donc rectangle en C. 3 ) Prouver que la longueur du côté [C] peut-être arrondie à 6,7 centimètres au millimètre près. Le triangle EC est rectangle en C, on peut donc utiliser la formule suivante : cos (^CE ) = cos (^CE ) = cos (42 ) = C 9 (côtéadjacent) hypoténuse C E C = 9 cos 42 6,68 = 6,7 cm arrondi au millimètre. Côté adjacent hypoténuse C E 4 ) Calculer la longueur du côté [EC] puis arrondir le résultat au millimètre près. Le triangle EC est rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore E² = C² + EC² 9² = 6,7² + EC² EC² = 81 44,89 EC² = 36,11 EC 6,00 = 6 cm arrondi au millimètre. Exercice 5 : Deux droites d et d' sont sécantes en E. et A sont deux points de d, situés de part et d'autre de E, et tels que E = 2 cm et AE = 5cm. G est un point de d', tel que EG = 8 cm. R est un point de d' tel que (R) est parallèle à (AG). 5 points (2 ; 3) 1 ) Construire une figure à main levée représentant la situation décrite.
2 ) Calculer la longueur RE. Les triangles RE et AEG sont tels que : E, A et G sont alignés ainsi que E, R et. les droites (R) et (AG) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, d'où E AE = ER EG = R AG 2 5 =ER 8 = R AG 5 ER = 16 et par suite ER = 16 5 = 3,2 cm. Exercice 6 : Le cric d'une voiture a la forme d'un losange de 21 cm de côté. A quelle hauteur soulève-t-il la voiture lorsque l'écartement est de 32 cm? 4 points Dans un losange les quatre côtés sont de même longueur. Les diagonales se coupent en leurs milieux et sont perpendiculaires. A 21 cm O 16 cm Le triangle AO est rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore A² = O² + OA² 21² = 16² + OA² OA² = 441 256 OA² = 185 OA 13,6 cm. On en déduit que la hauteur du cric sera d'environ : 2 13,6 = 27,2 cm.
Exercice 7 : On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 3 Ajouter 5 au résultat Mettre ce nombre au carré 6 points (1 ; 1 ; 2 ; 1 ; 1) 1 ) Vérifier que le nombre obtenu sera 121 si le nombre choisi au départ est 2. Choisir un nombre 2 Multiplier ce nombre par 3 2 3 = 6 Ajouter 5 au résultat 6 + 5 = 11 Mettre ce nombre au carré 11² = 121 2 ) Quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 2,5? Choisir un nombre 2,5 Multiplier ce nombre par 3 2,5 3 = 7,5 Ajouter 5 au résultat 7,5 + 5 = 2,5 Mettre ce nombre au carré ( 2,5)² = 6,25 3 ) Prouver que si l'on choisit x pour nombre de départ on obtient l'expression développée 9x² + 30x + 25. Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 3 x x 3 = 3x Ajouter 5 au résultat 3x + 5 Mettre ce nombre au carré (3x + 5)² L'écriture précédente est l'écriture factorisée. En la développant, on obtient : (3x + 5)² = (3x)² + 2 3x 5 + 5² = 9x² + 30x + 25 4 ) L'image ci-contre montre une partie d'écran obtenue avec un tableur. Mathys a saisi une formule dans la cellule 2 puis il l'a recopiée pour calculer dans la colonne «résultat» des valeurs du programme de calcul ci-dessus. a ) Parmi les formules proposées, indiquer celle que Mathys a utilisé dans la case 2.
Pour que la formule puisse être recopiée, il ne convient pas : d'écrire seulement le résultat d'écrire un calcul qui utilise la valeur chiffrée du nombre car alors le logiciel écrira toujours le même nombre ( ici 100 ) dans chaque cellule cible. Il faut donc utiliser dans le calcul le nom de la cellule. Ici la cellule A2. b ) Comment a-t-il procédé pour recopier cette formule jusqu'à la case 11? Il a utilisé un «copier/coller» ou bien la poignée de recopie.