Corrigé du bcclurét S Pondichéry 2 vril 2 EXERCICE Commun à tous les cndidts Prtie A : Restitution orgnisée de connissnces 6 points f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] donc g f est continue sur [ ; b] Pour tout x de [ ; b], f (x) g (x) donc g (x) f (x) donc b [g (x) f (x)] dx [g (x) f (x)] dx = g (x) dx Prtie B g (x) dx f (x) dx soit f (x) dx et g (x) dx.. Pour tout x de [ ; + [, f (x)=ln(+ x). [g (x) f (x)] dx donc f (x) dx. Soit X = + x, lim X =+ ; x + f (x)=ln X or lim ln X =+ donc lim f (x)=+. X + x + b. f est l composée de deux fonctions : x +x continue et dérivble sur [ ; + [, à vleurs dns [ ; + [ et x ln x, continue et dérivble sur [ ; + [, donc f est continue et dérivble sur [ ; + [. f (x) = x+ donc pour tout x de [ ; + [, f (x) > donc f est strictement croissnte sur [ ; + [. u (x)= u(x)=x+ c. Soit : v(x)=ln(+ x) v (x)= x+ u et v sont continues et dérivbles sur [ ; + [, de même que u et v donc I = [u(x)v(x)] u(x)v (x) dx ; I = [(x+ )ln(x+ )] 2 ln2 ; x+ x+ dx = [(x+ )ln(x+ )] I = 2 ln2. dx = f () = et f est strictement croissnte sur [ ; + [ donc f est positive sur [ ; ]. f est continue sur [ ; ] donc I est l ire (en unité d ires) du domine limité pr l xe des bscisses, les droites d éqution x=, x = et l courbe représenttive de f.
A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S 2.. Pour tout entier nturel non nul n, f n est l composée de deux fonctions continues sur [ ; + [ : x + x n et x ln x donc f n est continue sur [ ; + [. Pour tout x de [ ; ], x n donc + x n 2. L fonction logrithme népérien est strictement croissnte sur ] ; + [ donc ln ln(+ x n ) ln2. L fonction f n est continue sur [ ; ] et pour tout x de [ ; ], f n (x) ln2. Donc pour tout entier nturel non nul n, I n I n ln2. b. Pour tout x de [ ; ], x donc pr produit pr x n, x n+ x n puis + x n+ + x n. ln2 dx, soit L fonction logrithme népérien est strictement croissnte sur ] ; + [ donc ln ln ( + x n+) ln(+ x n ), soit f n+ f n. Les fonctions f n+ et f n sont continues sur [ ; ] et pour tout x de [ ; ], f n+ f n donc I n+ I n. L suite (I n ) est décroissnte et minorée pr. c. L suite (I n ) décroissnte et minorée pr est donc convergente vers un nombre positif... g est l différence de deux fonctions continues dérivbles sur [ ;+ [ : x x et x f (x) donc g est continue et dérivble sur [ ; + [ et g (x)= x = x+ x+. Pour tout x>, g (x)< et g ()=donc g est strictement décroissnte sur [ ; + [. b. g est strictement décroissnte sur [ ; + [ et g () = donc g est strictement négtive sur [ ; + [. Si x est un réel positif lors pour tout entier nturel n non nul, x n est un réel positif donc g (x n ) donc pour tout entier nturel n non nul, et pour tout x réel positif, on : ln(+ x n ) x n soit ln(+ x n ) x n. c. Les fonctions f n et x x n sont continues sur [ ; + [ et pour tout x de [ ; + [ on : ln(+ x n ) x n ; donc I n x n dx, soit [ ] I n n+ xn+, ou encore I n n+. Comme lim = d près le théorème des gendrmes ppliqué ux suites, lim I n =. n + n+ n + EXERCICE 2 Commun à tous les cndidts 5 points Pondichéry 2 2 vril 2
A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S. Un vecteur directeur de l droite D de représenttion prmétrique x = t+ 2 y = 2t est u de coordonnées ( ; 2 ; ). z = t Un vecteur norml u pln P est n de coordonnées ( ; 2 ; ). Or u n = +( 2) 2+ =donc u et n sont orthogonux, l droite D est prllèle u pln P dont une éqution crtésienne est : x+2y+z =. Il étit possible ussi de chercher le(s) point(s) d intersection de D et de P et chercher t tel que (t + 2)+2( 2t)+(t )= ceci est équivlent à = ce qui est impossible, donc D et P n ont ps de point commun, D est strictement prllèle à P. VRAI 2. Pour chercher les points communs à ces trois plns il fut résoudre le x 2y+ z = L système : 2x+ y 2z = 6 L 2 4x y+ 4z = 2 L x 2y+ z = L +L 2 +L et L L conduisent u système : 7x+ 5z = 2 soit 7x+ 5z = 2 { x 2y+ z = 7x+ 5z = 2 L intersection de deux plns est une droite donc FAUX.. Pour déterminer l éventuel point d intersection des droites citées, il fut chercher des réels t et u tels que x = 2 t = 7+2u t+ 2u = 5 z = +2t = 6 u donc résoudre le système 2t+ u = y = + t = 2+2u t 2u = { { { 2t+ u = 5t = 5 t = et dns ce t 2u = t 2u = u = cs on bien t+2u= 5 donc les deux droites sont sécntes et leur point d intersection est A(5 ; ; 5). VRAI 4. On considère les points A, de coordonnées ( ; ; 2), B de coordonnées ( ; 4 ; ), et C, de coordonnées ( ; 4 ; 2). Le pln (ABC) pour éqution x+ z =. AB pour coordonnées (2 ; 4 ; 2) AC pour coordonnées (4 ; 4 ; 4) Ces deux vecteurs ne sont ps colinéires donc le pln (ABC) existe. Les coordonnées de A, B et C vérifient x+ z = donc le pln (ABC) pour éqution x+ z =. VRAI. 5. AB pour coordonnées ( ; ; ) AC pour coordonnées (5 ; 2 ; 2) Ces deux vecteurs ne sont ps colinéires donc C n pprtient ps à l droite (AB). On ne peut ps écrire C comme brycentre des points A et B donc FAUX. Pondichéry 2 vril 2
A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S EXERCICE Commun à tous les cndidts 5 points. Le joueur tire deux fois successivement et sns remise une boule de l urne donc on est en sitution d équiprobbilité. Le nombre initil de boules est n+, le joueur choisit une boule donc (n+ ) choix possibles et ne remet ps cette boule dns l urne donc le nombre de boules possibles lors du second tirge est (n + 9).. Lors d un tirge de deux boules, soit le joueur tire deux boules blnches, et ggne 4 soit le joueur tire une boule blnche et une boule rouge, et ggne 2 = soit le joueur tire deux boules rouges, et ggne 6. Si le joueur tire une boule rouge u premier tirge, l urne contient boules blnches et n boules rouges. Si le joueur tire une boule blnche u premier tirge, l urne contient 9 boules blnches et n boules rouges. D où l rbre de choix : er tirge 2 e tirge Gin n n+ n+ R B n n+9 n+9 n n+9 9 n+9 R 2 B 2 R 2 B 2 6 4 p(x = )= n n+ n+ 9 + n+ 9 n+ 9 = 2n (n+ )(n+ 9). b. p(x = 6)= n n+ n n+ 9 = n(n ) (n+ )(n+ 9). p(x = 4)= n+ 9 n+ 9 = 9 (n+ )(n+ 9). c. E(X )=4p(X = 4)+( )p(x = )+( 6)p(X = 6) donc 6 E(X )= (n+ )(n+ 9) 2n 6n(n ) (n+ )(n+ 9) (n+ )(n+ 9). E(X )= 6n2 + 6n 2n+ 6 = 6n2 4n+ 6. (n+ )(n+ 9) (n+ )(n+ 9) d. E(X )> 6n 2 4n+ 6>. 6x 2 4x+6= or =4 2 +4 6 6=94 2, donc les solutions sont x = 9, x 2 = 2. Le trinôme est négtif suf entre les rcines, Pondichéry 4 2 vril 2
A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S donc n étnt un entier supérieur ou égl à 2, l espérnce mthémtique est strictement positive si 2 n 6. 2. Les évènements «obtenir u moins une boule rouge u cours de ces 2 tirges» et «obtenir 2 boules blnches u cours de ces 2 tirges» sont ( ) 2 contrires donc : p =. n+ ( ) 2 ( ) 2 p >,999 <,999 <, n+ n+ n+ < 2, n+ > 2, n> 2, n 5.. P(Z k)= k,e,x dx = [ e,x] k donc P(Z k)= e,k.. P(Z 5)= e, 5 = e,5 donc P(Z 5),9. P(5< Z 6) b. P(Z 6/Z > 5)=. P(Z > 5) P(5< Z 6)= 6 5,e,x dx= [ e,x] 6 5 = e,5 e,6. P(Z 5)= e,5 donc P(Z > 5)= P(Z 5)=e,5, donc P(Z 6/Z > 5)= e,5 e,6 e,5 = e,. EXERCICE 4 Commun à tous les cndidts 4 points. Si n=, u n+ = u n+ n 2 devient : u = u + 2 soit u = 2= 5 ; Si n=, u n+ = u n+ n 2 devient : u 2 = u + 2 soit u 2 = 4 9. Si n= 2, u n+ = u n+ n 2 devient : u = u 2+ 2 2 soit u = 4 27. 2.. Si n=, u n+ = u n+ n 2 devient : u 4 = u + 2 soit u 4 = 67 8, donc u 4. L propriété est vrie pour n= 4. Montrons que l propriété est héréditire c est-à-dire que pour tout n 4, si u n lors u n+. u n+ = u n+ n 2 ; comme n 4, n 2>, de plus u n. L somme de nombres positifs étnt un nombre positif, donc Pondichéry 5 2 vril 2
A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S u n+ n 2 soit u n+. L propriété est héréditire donc vrie pour tout entier nturel n 4. b. En déduire que pour tout entier nturel n 5, u n n. u 5 = u 4+ 4 2= 55 24, soit u 5 2,28 donc u 5 5. L propriété est vrie pour n= 5 ; Montrons que l propriété est héréditire c est-à-dire que pour tout n 5, si u n n lors u n+ n+ ou encore u n+ n 2. u n+ = u n+ n 2, n 5 donc u n n donc u n + (n )+n 2 soit u n+ n+ n 2 ; comme n 5, n donc u n+ +n 2 soit u n+ n 2. L propriété est héréditire donc vrie pour tout entier nturel n 5. Remrque : On peut églement montrer que l on vient de démontrer que pour n 4, u n, d où u n u n+ n 2 n 2 u n+ n 2 u n+ (n+ ) u n n. c. lim (n )=+ et pour tout entier nturel n 5, u n n donc n + d près le théorème de comprison : lim u n =+. n +.. v n+ = 2u n + +(n+ ) 2 2 ( ) v n+ = 2 u n+ n 2 + n+ 2 2 ; v n+ = 2 u n 2n+ 4+n+ 2 2 = 2 u n+ n 7 2 v n+ = ( 2u n)+ n 2 2 ; v n+ = ( 2u n + n 2 ) v n+ = 2 v n. L suite (v n ) n N est une suite géométrique de rison et de premier terme v = 2u + 2 2 = 25 2. Donc v n = 25 ( ) n. 2 b. v n = 2u n + n 2 ( ) n 2 = 25 donc 2u n = 25 ( ) n n+ 2 2 2 2 soit 2u n = 25 ( ) n + n 2 2 2 ; u n = [ ( ) 25 n + n 2 ] donc pour tout n N, 2 2 2 Pondichéry 6 2 vril 2
A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S u n = 25 4 ( ) n + n 2 2 4. ( k=n c. S n = u k = u +u +...+u n = 25 4 k= soit S n = 75 8 [ ( ) n+ ) n+ ]+ n2 4 9n 2 2 4. + n(n+ ) 2 2 2 4 (n+), EXERCICE 2 Cndidts ynt suivi l enseignement de spécilité Prtie A 5 points. Soit (, b) un tel couple et d = PGCD(, b). Il existe deux entiers u et v premiers entre eux tels que = du et b= d v. Donc en remplçnt : (du) 2 = (d v) soit d 2 u 2 = d v et comme d, u 2 = d v. 2. u 2 = d v donc v divise u 2, soit v divise u u ; d près le théorème de Guss, v divise u u et v et u sont premiers entre eux, donc v divise u. PGCD(u ; v)= or si v divise u, PGCD(u ; v)= v donc v =.. si 2 = b, d près l question précédente v = donc en remplçnt dns b= d v et u 2 = d v, on obtient b= d et u 2 = d donc = du = u et b= u 2 donc et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier. Réciproquement : Si et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier d, lors = d et b= d 2 donc 2 = ( d ) 2 = d 6 et b = ( d 2) = d 6 donc 2 = b. Conclusion : 2 = b si et seulement si et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier. 4. Montrer que si n est le crré d un nombre entier nturel et le cube d un utre entier, lors n [7] ou n [7]. S il existe deux entiers et b tels que n= 2 = b lors d près l question précédente il existe un entier d tel que = d et b= k 2 donc tel que n= d 6. d 2 4 5 6 d 6 64 729 4 96 5 625 46 656 d 6... [7] donc n [7] ou n [7]. Remrque : On peut églement dire : si d =, lors n [7] ; si d =, lors n [7] ; si d > et n multiple de 7, lors n [7] ; Pondichéry 7 2 vril 2
A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S Prtie B si d > et d non multiple de 7, donc d premier, lors d près le petit théorème de Fermt : d 7 [7] ou encore d 6 = n [7]. Dns l espce muni d un repère orthonorml ( O, ı, j, ) k on considère surfce S d éqution x 2 y 2 = z. Pour tout réel λ, on note C λ l section de S pr le pln d éqution z = λ.. C λ pour équtions : x 2 y 2 = λ et z = λ. Si λ < il est impossible que x 2 y 2 qui est positif ou nul, soit égl à λ donc C λ est le grphique 2. Si λ=lors x 2 y 2 = x = ou y = donc C λ = C est le grphique, C λ est l réunion des deux xes dns le pln d éqution z = λ=. Si λ> pr élimintion, le grphique représente l courbe C λ. Si λ>, C λ est l ensemble des points du pln d éqution z = λ tels que x 2 y 2 = λ ce qui se décompose en deux prties : x y = λ et x y = λ λ λ soit y = et y = x x. C λ, qund λ>, est donc l réunion de deux hyperboles équiltères. 25 25 2.. C 25 pour équtions : soit y = soit y = dns le pln x x d éqution z = 25. Donc C 25 pour équtions : soit y = 25 soit y = 25 dns le pln x x d éqution z = 25. Si les coordonnées des points de C 25 sont des nombres entiers strictement positifs lors y > et 25 est un entier strictement positif x donc x est un entier strictement positif qui divise 25, soit x = ou x = 5 ou x = 25 ou x = 25. Les points cherchés ont donc pour coordonnées ( ; 25 ; 25), (5 ; 25 ; 25), (25 ; 5 ; 25) et (25 ; ; 25) b. C 2 pour équtions : (x y) 2 = z vec z = 2. D près l question.. : 2 = b si et seulement si et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier, vec ici = x y et b= z ; or 2 n est ps le crré d un nombre entier (2 =2 5 67) donc l éqution (x y) 2 = 2 n ps de solutions entières. Pondichéry 8 2 vril 2