Le Centre d éduction en mthémtiques et en informtique Ateliers en ligne Euclide Atelier n o 5 Suites et séries c 014 UNIVERSITY OF WATERLOO
L pluprt des problèmes de cette trousse font ppel à des formules ssociées à des suites rithmétiques ou géométriques ; quelques-uns font ppel à des sommes ou à d utres suites. BOÎTE À OUTILS Suites rithmétiques Dns une suite rithmétique chque terme, près le premier, est obtenu en joutnt u terme précédent une constnte (positive ou négtive) ppelée rison rithmétique et notée d. Le premier terme est noté. Le n ième terme est noté t n. k ième terme t k = + (k 1)d Somme des n premiers termes Sommes égles de termes S n = n ( + t n) = n ( + (n 1)d) t k + t l = t m + t n si et seulement si k + l = m + n Suites géométriques Dns une suite géométrique chque terme, près le premier, est obtenu en multiplint le terme précédent pr une constnte ppelée rison géométrique et notée r. Le premier terme est noté. Le n ième terme est noté t n. k ième terme t k = r k 1 Somme des n premiers termes S n = (1 rn ) (1 r) Produits égux de termes t k t l = t m t n si et seulement si k + l = m + n Somme à l infini Si r < 1, l somme à l infini est égle à : S = 1 r Divers Voici quelques formules pour l somme des termes de suites qui prissent souvent dns des concours. Somme des n premiers entiers positifs Somme des crrés des n premiers entiers positifs Somme des cubes des n premiers entiers positifs Séries téléscopiques k = k = n(n + 1) n(n + 1)(n + 1) 6 ( ) k 3 n(n + 1) = (u k u k 1 ) = u n u 0 LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE
EXEMPLES DE PROBLÈMES 1. Quelle est l somme des multiplies de 7 ou de 11 qui sont inférieurs à 1000? Solution On semble chercher l vleur de (7 + 14 + 1 + 8 +... + 994) + (11 + + 33 +... + 990). Or, les multiples de 77 prissent dns les deux prenthèses, ce qui fit qu on les compterit deux fois ; il fut donc les soustrire de cette somme. On cherche donc l vleur de (7+14+1+8+...+994)+(11++33+...+990) (77+154+...+94). L 1 re prenthèse est une suite rithmétique de 14 termes (puisque 994 = 7 14) ; l e prenthèse est une suite rithmétique de 90 termes (puisque 990 = 11 90) ; l 3 e prenthèse est une suite rithmétique de 1 termes (puisque 94 = 77 1). L somme est donc égle à : 14 (7 + 994) + 90 (11 + 990) 1 (77 + 94) = (71 + 45 6)(1001) = (110)(1001) = 110 110. On considère une suite dns lquelle t 1 = 1 et t n+1 = t n + 3n + 3n + 1. Déterminer l vleur de t 100. Solution Puisque les différences t n t n 1 ne sont ps constntes, il ne s git ps d une suite rithmétique. Posons n = 1. On obtient t = 1 + 3 + 3 + 1, d où t = 8. Posons n =. On obtient t 3 = 8 + 1 + 6 + 1, d où t 3 = 7. Puisque t 1 = 1, ou t 1 = 1 3, il semble bien que t n = n 3 pour tout n. Pour démontrer que t n = n 3 est une définition équivlente à celle qui est donnée, on considère deux termes consécutifs, soit t n = n 3 et t n+1 = (n + 1) 3. L différence entre ces termes est égle à : t n+1 t n = (n + 1) 3 (n) 3 = (n 3 + 3n + 3n + 1) n 3 = 3n + 3n + 1 Donc t n+1 = t n + 3n + 3n + 1, ce qui étit donné. On donc démontré que t n = n 3, d où t 100 = 100 3, ou t 100 = 1 000 000. LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 3
3. Soit et b deux nombres strictement positifs tels que, b, + b et b forment qutre termes consécutifs d une suite géométrique. Déterminer. Solution Puisque les termes forment une suite géométrique, les rpports de termes consécutifs sont égux. Donc : Donc : b = b + b = + b b ( ) b ( ) b = b + b + b = b b b = 0 ( ) b 1 = 0 ( ) b = 1 + 5 On choisi l rcine positive de l éqution, cr et b sont positifs. De plus : b = + b b = + b = 1 + b = 3 + 5 LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 4
TROUSSE DE PROBLÈMES 1. Dns une suite géométrique, t 5 + t 7 = 1500 et t 11 + t 13 = 187 500. Déterminer toutes les vleurs possibles des trois premiers termes.. Soit, b et c trois termes consécutifs d une suite rithmétique. Déterminer l vleur de x, schnt que (b c)x + (c )x + ( b) = 0. 3. Soit x, 4 et y trois termes consécutifs d une suite rithmétique de mnière que x, 3 et y soient trois termes consécutifs d une suite géométrique. Déterminer l vleur de 1 x + 1 y. 4. Trois nombres distincts, dont le produit est égl à 15, sont trois termes consécutifs d une suite géométrique. Ils sont ussi les 1 er, 3 e et 6 e termes d une suite rithmétique. Déterminer ces nombres. k(k + 1) 5. Soit T k le k ième nombre tringulire, c est-à-dire que T k = 1 + + 3 +... + k. On sit que T k =, ou T k = k + k. Les six premiers nombres tringulires sont 1, 3, 6, 10, 15 et 1. Déterminer l somme des 00 premiers nombres tringulires. 6. Les mesures des ngles intérieurs d un pentgone forment une suite rithmétique et un des ngles mesure 90. Déterminer toutes les mesures possibles du plus grnd ngle du pentgone. 7. Déterminer qutre entiers, b, c et d qui vérifient les conditions suivntes : b + c = 30 + d = 35 Les nombres, b, c et d sont en ordre croissnt et ils forment une suite géométrique. L somme des crrés des qutre entiers est égle à 161. 8. On forme une suite t 1, t, t 3 en choisissnt t 1 u hsrd dns l ensemble {1,, 3}, t u hsrd dns l ensemble {4, 5, 6} et t 3 u hsrd dns l ensemble {7, 8, 9}. Quelle est l probbilité pour que t 1, t, t 3 soit une suite rithmétique? 9. L somme de 5 entiers consécutifs est égle à 500. Déterminer le plus petit des 5 entiers. 10. Combien y -t-il de termes dns l suite rithmétique 1994, 199, 1990,..., 199, 1994? 11. L somme des n premiers termes d une suite est égle à : S n = 3 n 1 () Soit t n le n ième terme de l suite. Déterminer t 1, t et t 3. (b) Démontrer que t n+1 t n est une constnte, quelle que soit l vleur de n. 1. On considère l suite rithmétique 7, 14, 1,... Combien y -t-il de termes de l suite qui sont entre 40 et 8 001? 13. Soit f une fonction telle que f(1) = et f(n + 1) = 3f(n) + 1 3 (n = 1,, 3,...). Déterminer f(100). 14. On considère toutes les droites définies pr une éqution de l forme px + qy = r et qui pssent pr le point ( 1, ). Démontrer que p, q et r forment une suite rithmétique. LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 5
15. On considère une suite rithmétique S dont les termes sont t 1, t, t 3,... De plus, t 1 = et l rison est égle à d. Les termes t 5, t 9 et t 16 forment une suite géométrique dont l rison est égle à r. Démontrer que S contient une infinité de suites géométriques de trois termes ynt toutes l même rison géométrique r. 16. Dns l suite 5, 3,, 5,..., chque terme à prtir du troisième est obtenu en soustrynt du terme précédent le terme qui le précède. Déterminer l somme des 3 premiers termes de l suite. 17. On considère l suite définie pr t 1 = 1, t = 1 et t n = ( ) n 3 t n lorsque n 3. Déterminer t 1998. n 1 18. Soit une suite rithmétique dont le n ième terme est défini pr t n = 555 7n. Si S n = t 1 +t +...+t n, déterminer l plus petite vleur de n pour lquelle S n < 0. LE CENTRE D ÉDUCATION EN MATHÉMATIQUES ET EN INFORMATIQUE 6