Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie (u i i I d élémets de E, la somme u i a u ses et ous savos que cette somme possède les propriétés d associativité et commutativité gééralisées i I O se propose alors de doer u ses à ue expressio de la forme u i lorsque l esemble des idices I est ifii i I Séries : propriétés géérales E désige das cette sectio u ev sur le corps K = R ou C, et la orme d u élémet x de E sera otée x Défiitio Soit (u ue suite d élémets de E et, pour chaque N, soit S = u 0 + u + + u la somme des + premiers termes de cette suite O dit que la série de terme gééral u est covergete si la suite (S a ue limite das E La limite S = lim S est alors appelée somme de la série u et désigée par u + Si la suite (S a pas de limite, o dit que la série u est divergete =0 Iversemet, si (S est ue suite doée d élémets de E, o peut lui associer la série dot le terme gééral u est défii par : u 0 et u = S S pour Propriété Soiet (u et (v deux suites d élémets de E Si ces deux suites e diffèret que par u ombre fii de termes, les séries u et v sot de même ature, c est-à-dire simultaémet covergetes ou divergetes E d autres termes, o e modifie pas la ature d ue série e modifiat u ombre fii de ses termes Propriété 2 Pour qu ue série coverge, il est écessaire mais o suffisat, que so terme gééral tede vers zéro Exemple Soit das R, la série de terme gééral u = + = + + So terme gééral ted vers zéro mais la suite S = u 0 + u + + u = + ted vers + Cette série est doc divergete Propriété 3 Soiet (u et (v deux suites d élémets de E telles que les séries u et v soiet covergetes Alors la série (u + v est covergete et o a : (u + v = u + v =0 =0 Propriété 4 Soit E u ev sur le corps K = R ou C et soit (u ue suite d élémets de E telle que la série u coverge Alors, pour tout λ K, la série λu est covergete et o a : λu = λ u =0 Théorème Critère de Cauchy Soit (u ue suite d élémets de E Pour que la série u soit covergete, il faut qu à chaque ombre ε > 0, o puisse associer u etier N ε tel que les iégalités p > N ε etraîet : p u k = u + + u +2 + + u p ε k=+ et cette coditio est suffisate lorsque E est complet =0 =0
Propriété 5 Soit (u ue suite d élémets d u ev quelcoque E Pour que la série u vérifie la coditio de Cauchy, il suffit que la série umérique (à termes positifs u la vérifie Défiitio 2 Soit (u ue suite d élémets d u ev E O dit que la série u est absolumet covergete si la série des ormes u est covergete Propriété 6 Das u ev complet, toute série absolumet covergete est covergete Exercice Théorème des gedarmes pour les séries Soiet (u, (v et (w trois suites réelles telles que u v w pour chaque 0 O suppose que les séries u et w sot covergetes Démotrer que la série v est covergete 2 Séries à termes positifs et séries absolumet covergetes Propriété 2 Soit (u ue suite de ombres réels positifs Pour que la série u soit covergete, il faut et il suffit que la suite (S défiie par S = u 0 + u + + u soit majorée La somme S = u est alors égale à la bore supérieure des ombres S : o a doc =0 et tout majorat des S est u majorat de S u k S pour tout N k=0 Propriété 22 Critère de comparaiso Soiet (u et (v deux suites de ombres positifs vérifiat u v à partir d u certai rag Si la série v coverge, il e est de même de u Si l iégalité u v est vérifiée pour tout N, o a de plus, l iégalité : u v =0 =0 Efi, si la série u diverge, il e est de même de v Propriété 23 Critère d équivalece Soiet (u et (v deux suites de ombres positifs telles que le rapport u /v soit défii pour assez grad et admette u limite fiie k lorsque ted vers + Alors la covergece de v etraîe celle de u Si k 0, les deux séries u et v sot de même ature E particulier, si (u et (v sot deux suites de ombres positifs telles que la suite deux séries u et v sot de même ature ( u v tede vers, alors les Propriété 24 Soit (u ue suite d élémets d u ev E Pour que la série u soit absolumet covergete, il suffit qu il existe ue série covergete à termes positifs, soit v, et u ombre k 0 vérifiat u kv pour assez grad Propriété 25 Soiet (u et (v deux suites de ombres réels ou complexes telles que les séries soiet absolumet covergetes et pour tout N, posos w = u p v p = u 0 v + u v + + u v 0 p=0 Alors la série w est absolumet covergete et o a : =0 u et v 2/7
( ( u v = w =0 =0 =0 Exercice 2 Iégalité de Carlema Soit (a ue suite à termes positifs tels que a coverge Prouver que la série de terme gééral a + 2a 2 + + a coverge et est de même somme que la série de ( + terme gééral a 2 Motrer l iégalité (! e / + 3 E coclure que + = (a a / e Exercice 3 Soit (u ue suite de réels positifs O pose v = u + u Prouver que la foctio x x est croissate sur [0, + [ + x 2 Démotrer que les séries u et + = v sot de même ature a 3 Exemples de séries à termes positifs, étude des séries de Riema Propriété 3 Règle α u Pour qu ue série u à termes réels positifs soit covergete, il suffit qu il existe u réel α > tel que la suite ( α u soit majorée Pour qu elle soit divergete, il suffit qu il existe u ombre k > 0 tel que l o ait, à partir d u certai rag, u k O e déduit que la série de Riema où α R est covergete pour α > et divergete pour α α la série de Riema est absolumet covergete pour x = R(z > z Exercice 4 Soiet (u et (v deux suites de réels strictemet positifs O suppose qu à partir d u certai rag Motrer que u = (v 2 O suppose que u + u u + u v + v = α + ( avec α > Motrer, à l aide d ue comparaiso avec ue série de Riema, que Exercice 5 Séries de Bertrad Étudier, suivat la valeur de α et β, la covergece des séries suivates : 2 α (l( β 4 Règles de Cauchy, d Alembert, Duhamel u coverge Propriété 4 Soit (u ue suite de ombres complexes Si pour assez grad o a u k avec k < alors la série u est absolumet covergete 3/7
Pour savoir s il existe u ombre k vérifiat l iégalité u k, l idée la plus aturelle ( est d étudier la suite ( u / u+ qui coduit à la règle de Cauchy U autre procédé cosiste à étudier la suite, qui coduit à la ( u u+ règle de d Alembert Efi, u étude plus poussée de la suite coduit à la règle de Duhamel Propriété 42 Règle de Cauchy Soit (u ue suite de ombres réels ou complexes, et soit : u L = lim sup u / (0 L + Si L <, la série Si L >, la série u est absolumet covergete u est divergete, car so terme gééral e ted pas vers zéro E particulier, si la suite ( u / a ue limite L (fiie ou ifiie lorsque ted vers + et si L < (resp L >, la série u est covergete (resp divergete Propriété 43 Règle de d Alembert ( u + Soit (u ue suite de ombres réels ou complexes telle que la suite u soit défiie pour assez grad, et admette ue limite L, fiie ou ifiie (0 L + Si L <, la série u est absolumet covergete Si L >, la série u est divergete car so terme gééral e ted pas vers zéro Propriété 44 Si la suite ( u+ Propriété 45 Règle de Duhamel Soit (u ue suite de ombres positifs satisfaisat à u ted vers L das R (0 L + alors la suite (u / ted aussi vers L u + u = β + ( (β =cste Si β >, la série Si β <, la série u est covergete u est divergete Exercice 6 Quelques covergeces Étudier la covergece des séries u suivates : ( u = si 2 u = 2 ( 3 u = 4 u = l 2 ( + 5 u = cos π 6 u = ( + 2 + 7 u = a!, a R 8 u = exp( ( 2 + + 9 u = l 2 + 0 u = l(2 + 3 2 + 4 Exercice 7 Cas limite de la règle de d Alembert Soit, pour et a > 0, la suite u = a! Étudier la covergece de la série u lorsque a e 2 Lorsque a = e, prouver que, pour assez grad, u + /u Que dire de la ature de la série u? Exercice 8 Cas limite de la règle de d Alembert 4/7
Soit, pour tout etier, u = 3 5 (2 2 4 6 (2 Quelle est la limite de u + /u? Motrer que la série de terme gééral u est croissate E déduire que la série de terme gééral u est divergete 2 Soit, pour tout etier 2, v = 3 5 (2 3 2 4 6 (2 Quelle est la limite de v + /v? Motrer que, si 0 < α < 3/2, o a ( + α v + α v E déduire que la série de terme gééral v coverge Exercice 9 Règle de Raabe-Duhamel Soit (u ue suite à termes positifs telle qu il existe a R vérifiat u + = a ( u + O suppose a > Soit b ], a[ et posos v = b Comparer u et v E déduire que u coverge si a > 2 Démotrer que u diverge si a < 3 E utilisat les séries de Bertrad, motrer que le cas a = est douteux = ( + 2 O pose v = l(u et w = v + v 4 O suppose que u + u (a Motrer que w = (b E déduire que u ( 2 λ + avec λ > 0 et que 5 Exemples de séries semi-covergetes u est divergete Défiitio 5 Ue série est dite semi-covergete si elle est covergete sas être absolumet covergete Défiitio 52 O appelle série alterée ue série umérique dot le terme gééral u est de la forme u = ( v où (v désige ue suite décroissate de ombres positifs covergeat vers zéro Théorème 5 Toute série alterée u est covergete, et si o pose sa somme S = S = u 0 + u + + u, vérifie : S 2p+ S S 2p pour tout p N =0 De faço plus précise, les sommes S 2p d idice pair tedet e décroissat vers S, tadis que les sommes S 2p+ d idice impair, tedet e croissat vers S Propriété 5 Règle d Abel Soiet (v ue suite de ombres réels ou complexes telle que la suite S = v 0 + v + + v soit borée et (ε ue suite de ombres positifs, décroissate et tedat vers zéro Alors la série ε v est covergete Propriété 52 Soit (ε ue suite décroissate de ombres positifs, tedat vers zéro Quel que soit le ombre réel α tel que α/2π / Z, la série ε exp(iα est covergete Exercice 0 Séries semi-covergetes et produit de Cauchy Soit, pour 0, u = ( + 5/7
Vérifier que u est semi-covergete 2 Motrer que le produit de Cauchy de u par u e coverge pas 3 Soit σ : N N défiie par σ(3p = 2p, σ(3p + = 4p +, σ(3p + 2 = 4p + 3 Vérifier que σ est ue permutatio de N Que peut-o dire de la série u σ(? 6 Calculs approchés de la somme d ue série Défiitio 6 Das u ev quelcoque E, soiet (u ue suite telle que la série u soit covergete et S = u, S = u 0 + u + + u =0 Pour chaque N, le reste d ordre de cette série est : R = S S = p=+ Propriété 6 Soit f ue foctio umérique défiie sur la demi-droite réelle x a, positive, décroissate et telle que lim f(x = 0 Alors la série x + divergetes f( et l itégrale u p + a f(xdx sot simultaémet covergetes ou Propriété 62 Soit f ue foctio umérique défiie sur la demi-droite réelle x a, positive, décroissate et telle que lim x + f(x = 0 Supposos de plus que la série vérifie la double iégalité Exercice + f(xdx R Justifier la covergece de la série umérique ( k k k O pose 2 Motrer que R = R + R + = + k=+ Détermier u équivalet de R au voisiage de + 3 Doer la ature de R f( soit covergete Alors le reste R = + k=+ f(xdx ( k k ( k k(k + + k=+ f(k Exercice 2 Exercice 3 Calculer + O cherche =0 + 2 + à 0 3 près =0 2 + à 0 3 près 6/7
Référeces [] Jacquelie LELONG-FERRAND, Jea-Marie ARNAUDIÈS Cours de mathématiques Tome 2, Aalyse, 4ème éditio [2] Jea-Etiee ROMBALDI Séries réelles ou complexes http ://www-fourierujf-greoblefr/ rombaldi/capes/aalysechap6pdf [3] Exercices collectio BIBMATH Exercices - Suites - Études pratiques http ://wwwbibmathet/exercices/bde/aalyse/suitesseries/serieeopdf 7/7