MATHEMATIQUES FINANCIERES II

Formaion Ouvere e A Disance LIVRET 52 BIS : MATHEMATIQUES FINANCIERES II LES ANNUITES Page 1

INTRODUCTION : FOAD mahémaiques financières II Exemple 1 : Une personne veu acquérir une maison pour 60000000 DH, pour cela, elle place annuellemen au CIH une de 5000000 DH. Bu : Consiuer un capial Versemens : annuels e consans Période : année Exemple 2 : la personne a une dee de 6000000 DH. Pour rembourser cee dee, elle verse mensuellemen une somme de 1500 DH. Bu : Remboursemen de dee Versemens : mensuels consans Période : mois Principe : On appelle annuiés, des versemens réguliers e consans effecués à des inervalles de emps consans. On disingue : Les annuiés de capialisaion ou annuiés de placemen, don l objecif es de consiuer un capial Les annuiés de remboursemen ou d amorissemen, don l objecif es de rembourser une dee Les versemens peuven êre effecués à la fin de période : c es le cas des annuiés de remboursemen où le 1 er remboursemen inervien à la fin de la première période (on parle d annuié de fin de période). Comme elle peuven êre versés en débu de période : c es le cas généralemen, pour les annuiés de placemen, dès la signaure du conra, un premier versemen es effecué. I - Les annuiés de fin de période A- La valeur acquise des annuiés de fin de période 1 - Exemple : Une personne verse annuellemen 1000 DH à la BMCE pendan 5 ans. Quelle es la somme reirée au momen du dernier versemen (aux 10%) Schéma linéaire 1 000 1 000 1 000 1 000 1000 annuiés 0 1 2 3 4 5 périodes Valeur acquise? V a = 100 (1,1) 4 + 1000 (1,1) 3 + 1000 (1,1)² + 1000 (,1) + 1000 Page 2

V a = 1000 + 1000 (1,1) + 1000 (1,1)² + 1000 (1,1) 3 + 1000 (1,1) 4 Suie géomérique raison (q = 1+ ) = 1,10 1 er erme (a) = 1000 DH nbre de ermes = 5 ermes Somme des ermes d une suie géomérique S = a q n - 1 q - 1 S = 1000 (1,10) 5-1 1,10-1 La valeur acquise après n période de versemen s exprimera par la formule : V a = a (1 + ) n - 1 (1+ )² - 1 es le résula de l inersecion de la ligne de n e de la colonne de qui figuren dans la able financière n 3 d après la T.T n 3 on a V a = 1000 x 6,105100 V a = 6105,10 Applicaion : a - Recherche de l annuié Quel doi êre le monan de chacune des 20 annuiés qui permeraien de consiuer au momen du dernier versemen un capial de 100000 DH au aux de 11% Page 3

V a = 100000 = 11% n = 20 a =? V a = a (1 + ) n - 1 ou a = V a x (1 + ) n - 1 d après la T.F N 3 100000 = a x (1,11) 20-1 0,11 100 000 = a x 64, 202832 a = 100 000 64,202832 a = 1557,563 d après la T.F. N 5 Il es possible d obenir la valeur de en lisan dans la T.F. n = 5 (1+) n - 1 la valeur de pour le emps es le aux 1-(1+) -n donnés e en reranchan () on obien. - = 1 - (1 + ) -n (1 + ) n - 1 a = 100 000 x ( 0,11-0,11) 1-(1,11) -20 a = 100 000 x (0,1 255756-0,11) a = 100 000 x 0,0 155756 = 1557,56 dh b) Recherche de n Combien d annuiés consanes de 10 000 dh fau - il verser en fin de période, pour obenir par capialisaion au aux de 7 % un capial de 150 000 dh? Soluion V = 150 000 n? = 7 % a = 10 000 V = a (1 + ) n - 1 150 000 = 10 000 (1,07) n - 1 0,07 15 = (1,07) - 1 0,07 T.F. n = 3 donne Page 4

(1,07) 10-1 = 13,816448 0,07 (1,07) 11-1 = 15,783593 0,07 Le nombre héorique d annuiés es compris enre dix e onze, sous le forme posée, le problème ne compore pas de soluion, n éan obligaoiremen enier. Il fau envisager soi de verser 10 annuiés supérieurs à 10 000 dh, soi de verser onze annuiés inférieurs à 10 000 dh. c) recherche du aux Sachan que 10 annuiés consanes de 10 000 dh chacune permean de consiuer un capial de 151929,29 dh. Calculer le aux d inérê correspondan à ce placemen. V = a (1 + ) - 1 10 151929,29 = 10 000 (1+) - 1 10 (1 + ) - 1 = 151929,29 = 15,192929 10 000 à l aide de la T.F n = 3 = 9 % B) Valeur acuelle des annuiés de fin de période 1 Principe Connaissan la valeur acquise des annuiés de fin de période, déerminer leur valeur acuelle un an avan le 1 er versemen. 1 2 3 n périodes 0 a a a a a annuiés (V acuelle) V 0 = V a (1 + ) -n n V 0 = a (1 + ) - 1 (1 + ) -n -n -n V = a 1 - (1 + ) avec 1 - (1 + ) dans TFn 4 T T 2 ) Applicaion Page 5

a- recherche de a -n V 0 = a 1 - (1 + ) a = V x 1 - (1 + ) -n T.F. n = 5 Exemple : Un fond de commerce es acheé à 300 000 dh payable par 12 annuiés consanes de fin d année au aux de 10 % Quel doi êre le monan de chaque annuié? a = 300 000 x 0,10 1 - (1,10) -12 = 300 000 x 0,146763 a = 44028,9 b) recherche du aux Une dee de 450 000 dh doi êre remboursée par cinq versemen annuel de 125 000 dh chacun. Le 1 er versemen ayan lieu dans un an. Calculer le aux d inérês. d après la T.F. n 4 on a Inerpolaion linéaire Vo = a 1 - (1 + ) -n 450 000 = 125 000 1 - (1 + ) -5 3,6 = 1 - (1 + ) -5 3,5 82562 < 3,6 < 3,6047762 12,25 < < 12 = 12,05 c) recherche du nombre d annuiés (n) Combien fau - il verser d annuiés de 18500 dh pour obenir un an avan le 1er versemen la valeur de 98000 dh au aux de 10 % 980 000 = a 1 - (1 + ) -n 980 000 = 18500 1 - (1,10) -n Page 6

0,10 5, 2972973 = 1 - (1,10) -n d après la T.F. n 4 0,10 4,868419 < 5,2972973 < 5,334926 7 < n < 8 on a 2 soluions : Soluion n 1 : le nombre d annuié es 7 versemen complémenaire 980 000 - (18500 x 4,868419) 980 000-90065,75150-7934,2485 Soluion n 2 : changemen de l annuié n = 7 980 000 = a x 4,868419 a = 201297,3821 n = 8 980 000 = a x 5,334926 a = 18369,5144 dh II Les annuiés de débu de période A - Valeur acquise des annuiés de débu de période (Va') 1 exemple : Soi une suie de 5 annuiés de débu de période de 10 000 dh chacune. Calculer sa valeur, une période après le dernier versemen aux 12 % l an. 0 1 2 3 4 5 périodes 10000 10000 1 0000 10000 1 0000 va annuiés V a = 10000 (1 + ) 5 + 10000 (1 + ) 4 + 10000 (1 + ) 3 + 10000 (1 + ) 2 + 10000 (1 + ) 1 V a = 10000 (1 + ) 1 + 10000 (1 + ) 2 + 10000 (1 + ) 3 + 10000 (1 + ) 4 + 10000 (1 + ) 5 Page 7

prog géomérique 1 er erme = 10000 (1 + ) n = 5 raison (1 + ) n S = a q - 1 = 10000 (1 + ) (1 + ) 5-1 q - 1 la valeur acquise (V a )des annuiés de débu de période s exprimera par la formule. n Va' = a (1 + ) (1 + ) - 1 T.F n 3 5 Va' = 10000 (1,12) (1,12) - 1 = 71151,89 dh 0,12 2 Applicaion Applicaion n 1 : Combien fau-il verser d annuiés annuelles de 9531,69 dh chacune, pour consiuer un an après le dernier versemen, en capial de 157737,41 dh aux 12 % l an. n Va = a (1 + ) (1 + ) - 1 = 9531,69(1,12) (1,12) 1-1 = 157737,41 0,12 (1,12) n - 1 = 14,77565607 d après la T.F. n 3 0,12 Applicaion n 2 n = 9 15 versemens annuel son effecués le 1 er janvier de chaque année, pendan 15 ans, au aux de 11 % l an. Le capial consiué, un an après le dernier versemen es de 248234,67 dh. Calculer le monan de chaque versemen. Va = a (1 + ) (1 + ) n - 1 248234,67 = a (1,11) (1,11) 15-1 0,11 d après la T.F. n 3 (1,11) 15-1 = 34,405359 0,11 a = 7215 = 6500 1,11 Applicaion n 3 Le versemen de 10 annuiés annuelles consanes de débu de période de 10000 dh chacune, a permis de consiuer, à la fin de la 10 ème année, un capial de 170 000 dh. Quel es le aux de capialisaion uilisé? Page 8

170 000 = 10 000 (1 + ) (1 + ) 10-1 17 = (1 + ) (1 + ) 10-1 = (1 + ) 11 - (1 + ) = (1 + ) 11-1 - 17 = (1+ ) 11-1 - 1 17 + 1 = (1 + ) 11-1 = 18 la T.F. n 3 donne 9,25 < < 9,50 = 9,46 soi 9,46 % B - Valeur acuelle des annuiés de débu de période Vo' 1 Principe : Connaissan la valeur acquise (Va ) de n annuiés de débu de période, placées au aux, calculer leur valeur V 0 au momen du 1 er versemen. Va' = a (1 + ) (1 + ) n - 1 V o = Va (1 + ) -n = a (1 + ) (1 + ) -n - 1 x (1 + ) -n V o = Va (1 + ) -n = a (1 + ) 1 - (1 + ) -n V o = a (1 + ) 1 - (1 + ) -n 2 exemple : Combien fau - il verser d annuiés annuelles consanes de 5000 dh chacune, pour avoir une valeur de 20 186, 74 dh au momen du 1 er versemen, au aux de 12 % l an. V 0 = a (1 + ) 1 - (1 + ) -n 20 186,74 dh = 5000 (1,12) x 1 - (1,12) -n 20186,74 = 5600 1 - (1,12) -n 3,604775 = 1 - (1,12) -n 0,12 0,12 0,12 Page 9

D après la able financière n 4 on a n = 5 soi 5 versemens. 3 Applicaion Calculer à la dae du 01-01-93 la valeur acuelle d une suie d annuiés consanes de 3000 dh chacune. La 1 ere éan versée le 01-01 - 93, la dernière le 01-01-97 aux d acualisaion 12 % l an. V 0 = 3000 (1,12) x 1 - (1,12) -5 0,12 V 0 = 3000 x 4,037349346626 = 12112 DH Page 10

Exercices d'applicaion Exercice 1 Calculer, dans chacun des cas suivans, la valeure acquise par une suie de versemen périodiques e consanes, immédiaemen après le dernier versemen: - 18 annuiés égales chacune à 12 500, aux annuel de capialisaion : 9,60% - 12 semesrialiés égales chacune à 4500 dh. Taux semesriel :4% - 16 rimesrialiés égales chacune à 2800 dh. Exercice 2 Déerminer la valeur acquise par une suie de 10 annuiés consanes de 3800 dh chacune au aux annuel de 10,40 % a) au momen du dernier versemen ; b) 2 ans après le dernier versemen ; c) 3 ans e 6 mois après le dernier versemen ; d) 1 an e 125 j après le dernier versemen (année compée pour 365 j) Exercice 3 : Déerminer, dans chacun des cas suivans, la valeur acuelle d une suie de versemens consans une période avan le 1 er versemen : - 8 annuiés égales chacune à 6920 dh, aux annuel 9,25 % - 14 semesrialiés égales chacune à 3780 dh, aux annuel 6,50 % - 12 rimesrialiés égales chacune à 8100 dh ; aux semesriel 6 % Page 11

Corrigé : Ex (1) : valeur acquise, au momen du dernier versemen par : - 18 annuiés de 12500 dh aux annuel : 3,60 V 18 = 12500 x (1,096) 18-1 = 12500 x 43,82321611 = 547790,20 dh 0,096-12 semesrialiés de 4500 dh aux semesriel 4 % V 12 = 4500 x (1,04) 12-1 = 4500 x 15,0258 = 67616, 10 dh 0,04-16 rimesrialiés de 2800 dh aux rimesriel 2,25 % V 16 = 2800 x (1,0225) 16-1 = 2800 x 19,005398 = 53215,11 dh 0,0225-36 mensualiés de 1200 dh aux annuel 12 % aux mensuel équivalen (1,12) 1/12-1 = 0,009488793 V 36 = 1200 x (1,009488793) 36-1 = 1200 x 42,67434277 = 51209,21 dh 0,009488793 Ex (2) V 10 = 3800 (1,104) 10-1 = 3800 x 16,24633476 = 61736 dh 0,104 V 13 (2 ans après le dernier versemen : 61736 x (1,104) 2 = 61736 x 1,218816 = 75244,82 dh V 13 1/2 (rois ans e 6 mois après le dernier versemen) : V 10 x (1 + i) 3,5 = 61736 x (1,104) 3,5 = 61736 x 1,4138123 = 87283,11 dh V 11 + 125 (1 an e 125 j après le dernier versemen) : 365 V 10 x (1 + i) 1 + 125 = 61736 x (1,104) 1 + 125/365 365 = 61736 x (1,104) 490/365 = 61736 x 1,1420483 = 70505,49 dh Page 12

Ex (3) : Valeur acuelle, une période avan le premier versemen, de : - 8 annuiés de 6920 dh aux annuel 9,25 % V 0 = 6920 x 1 - (1,0925) -8 = 6920 x 5,4837616 = 37947,63 dh 0,0925-14 semesrialiés égales de 3780 dh aux annuel 6,50 % aux semesriel équivalen : (1,065) 1/2-1 = 0,031988372 V 0 = 3780 x 1 - (1,031988372) -14 = 3780 x 11,14448 = 42126,13 0,031988372-12 rimesrialiés égales chacune à 8100 dh ; aux semesriel 6 % aux rimesriel équivalen (1,06) - 1 = 0,029563 V 0 = 8100 x 1 - (1,029563) -12 = 8100 x 9,980020431 = 80838,16 dh 0,029563 Page 13

DEVOIR Exercice 1 : L'acha d'un immeuble d'un monan de 5000000 es réglé comme sui : 2000.000 compan 3000.000 payable au moyen de 10 échéances annuelles consanes, la première inervenan un après l'acha. Taux 8,5 % Immédiaemen après paiemen de la roisième de ces annuiés l'acquéreur demande à se libérer au moyen de quare annuiés consanes, la première inervenan dans un an Taux d'inérê resan 8,5 % - Calculez le monan de chacune de ces annuiés Exercice 2 : Une sociéé conrace un emprun de 2000.000 remboursables au moyen de 20 annuiés consanes. Taux d'inérê 10%. Lors du paiemen de la 13ème annuiés le prêeur consen une réducion de 10% sur le monan des inérês compris dans cee 13 ème annuié (réducion limiée aux seuls inérês de cee seule 13 ème annuié). - Calculez le monan de la 13 ème annuié après réducion. Exercice 3 : Un emprun de 1000.000 es conracé le 15 novembre 92, il es remboursable au moyen de rimesrialiés consans de chacune 8376,66 la première versée le 15 février 93. Dans le ableau d'amorissemen dressé à cee occasion l'amorissemen afféren à la dernière rimésrialié s'élève à 8132,68 - Déerminez la dae de paiemen de dernière rimésrialié. Page 14

CORRIGE : EX 1: Cee résiduelle après paiemen de 3 annuiés : 10 3 3000 000 x 1,085-1.085 = 2340302,7 10 1,085-1 Monan de chacune des annuiés nouvelles : 2340302,7 X 0,085 = 714466,3-4 1-0,085 EX 2 : Annuié consane : 2 000 000 x 0,10 = 234920-20 1-1,10 Ier amr : 234920 - (2 000 000 x 0,10) = 34920 Amr conenu dans la 13 ème annuié : 12 34920 x1,10 = 109593,90 Inérê conenu dans la 13 ème annuié : 234920 109 593,90 = 125 326,10 Monan de la 13 ème annuié, après réducion 234920 125326,10 x 10/100 = 222 387,39 EX 3: Désignons par (i) le aux rimesriel cherché : 1+i = a =8376,66 = 1,03 d ou i = 0,03 8132,68 Si n es le nombre de rimesrialiés 8376,66 = 100 000 0,03 -n 0,03 1-1,03 -n 0,837666 1-1,03 La lecure de la able financière 5, colonne 3%, monre que n = 15 Dae de paiemen de la 15 éme e dernière rimesrialié ; 15 aoû 1996. Page 15

L EMPRUNT INDIVIS I) DEFINITION L emprun indivis ou ordinaire se caracérise par le fai que l empruneur (un pariculier ou une enreprise) s adresse à un seul créancier. L emprun indivis s oppose donc à l emprun obligaoire par lequel l empruneur (une grande enreprise ou l Ea) recour à une muliude de créanciers. II) LES FORMULES DE REMBOURSEMENT A- Les empruns remboursables par amorissemens consans Selon cee formule, le monan de l emprun indivis es divisé en pars égales (les amorissemens) en foncion du nombre de période de remboursemen. A la fin de chaque période, l empruneur verse au prêeur une parie de la dee (amorissemen) e un inérê calculé au aux prévu sur le monan encore dû (non remboursé au prêeur). La somme de ces 2 élémens (amorissemen-inérê) forme «l annuié de remboursemen» 1) Exemple : Une enreprise imporarice emprune la somme de 1000 000 dh à la B.M.C.E. en vue de faire face aux surcoûs apparus sur les marchés d approvisionnemens. Ce emprun es remboursable en quare fracions égales, payables à la fin de chacune de quare années : aux de l emprun 12 % l an. Tableau d amorissemen de l emprun Périodes capial en débu de période1 Inérê de la période 2 Amorissemen 3 Annuié 4 Capial en fin de période 5 1 1000 000 120 000 250 000 370 000 750 000 2 750 000 90 000 250 000 340 000 500 000 3 500 000 60 000 250 000 310 000 250 000 4 250 000 30 000 250 000 280 000 0 300 000 1000 000 1300 000 4 = 2 + 3 5 = 1-3 Page 16

2) Généralisaion Soi : a D I k = annuié = amorissemen = inérê = rang a n =D n + D n x i a n = D n (1 + i) La somme des amorissemens es égale au monan du capial empruné V 0 = D 1 + D 2 +...D n La somme des annuiés es égale à la somme des amorissemens augmenée de la somme des inérês. Σ a = ΣD + ΣI a k+1 = a k - V 0 I (inérê r Les annuiés successives formen une progression arihméique décroissane de raison - V 0 I r Vérificaion a 3 = a 2 - Amorissemen x i 310 000 = 340 000-250 000 x 12 % B- Les empruns remboursables par annuiés consanes Selon cee formule de remboursemen, ce son les annuiés (inérês + amorissemens) qui son consanes. C es la formule la plus répondue au Maroc 1 Exemple : Gardons l exemple précéden en supposan que les remboursemens se fon par annuiés consanes. Page 17

Tableau d amorissemen de l emprun Périodes capial en débu de période1 Inérê de la période 2 Amorissemen 3 Annuié 4 Capial en fin de période 5 1 1000 000 120 000 209 234,44 329 234,44 790 765,56 2 790 765,56 94 891,87 234 342,57 329 234,44 556 422,99 3 556 422,99 66 770,77 262 463,67 329 234,44 293 959,32 4 293 959,32 35 275,12 293 959,32 329 234,44 0,00 4 l annuié es calculée à l aide de la formule : 316 937,76 1000 000 1 316 937,76 a = V 0 i 1 - (1+i)-n a = 1000 000 x 0,12 T.F n = 5 1- (1,12)-4 a = 1000 000 x 0,3292 344 a = 329 234,44 3 les amorissemens son en progression géomérique de raison (1 + i) V 0 = D 1 (1 + i) n - 1 i 1 er erme D 1 (1 + i) Dernier erme = D 1 (1 + i) n Pour consruire le ableau d amorissemen on peu procéder de 2 manières différens : 1) on calcule d abord a (annuié consane). Pour la 1 ère ligne, on commence par calculer l inérê, par sousracion (a - I 1 )on obien le 1 er amorissemen. En muliplian à chaque fois par (1 + i) on obien la colonne des amorissemens. C- Les empruns remboursables en une seule fois Selon cee formule, l empruneur peu verser uniquemen les inérês à la fin de chaque période e payer la oalié e la somme emprunée à la fin de la dernière période. De même, il peu ne rien payer pendan oue la durée de l emprun e verser la oalié des inérês e le monan de la somme emprunée à la fin de la durée de l emprun. Page 18

Ce sysème présene l inconvénien d obliger l empruneur à verser une somme rès imporane à la fin des n périodes. Généralemen, l empruneur es amené à effecuer le placemen à la fin de chaque période, dans une banque ou une sociéé de capialisaion, d annuiés consanes (ou variables) à un aux presque oujours différen du aux d emprun i 1 Exemple : Soi un emprun de 1000 000 dh, remboursable en une seule fois au bou de 5 ans aux 12 % Hypohèse 1 : l empruneur paie les inérês au aux de 12 % à la fin de chaque année. 1 2 3 4 5 périodes 0 a 1 = Voi a2= Voi a3= Voi a4= Voi a5=vo+ Vo x i 120000 120 000 120000 120 000 100000 +120000 Hypohèse 2 : même modaliés de paiemen que dans l hypohèse 1, mais l empruneur prend la précauion de déposer, à la fin de chaque année, en banque, une somme S elle que, compe enu d une capialisaion au aux de 12 %, il puisse rembourser le capial empruné. Déerminer S Remboursemen 1 2 3 4 5 Période 0 a1= Voi a2=voi a3=voi a4=voi Voi+Voi (100 000 x 0,12) 120 000 120 000 120 000 100 000+120 000 120.000 1 120 000 Placemens 1 2 3 4 5 0 S S S S S V O = S (1 + i) n - 1 i 1000 000 = S (1,12) 5-1 0,12 1000 000 = S X 6,352847 S = 157409,73 dh La capialisaion des sommes S consanes doi procurer la somme emprunée. Page 19

Hypohèse 3 même quesion si le aux de rémunéraion des dépôs es de 13,75 %, c es -à-dire supérieur au aux d inérê à payer. Placemens V 0 = S (1 + i) n - 1 i 1000 000 = S (1,1375) 5-1 S = 152 035,34 dh 0,1375 Hypohèse 4 : L empruneur ne paie la oalié des inérês qu en fin de conra e n effecue qu un seul versemen à la fin de la 5 ème année. Il place néanmoins, à la fin de chaque année, une somme S au aux de 12 %. Déerminer S permean de faire face à ce remboursemen unique. Remboursemens 0 1 2 3 4 5 Placemens a1=0 a2=0 a3=0 a4=0 a5=vo(1+i) 5 a5=100 000 x (1,12) a5=1762341,68dh n V 0 ( 1 + i ) n = S (1 + i) n - 1 i S = V 0 (1 + i) n i (1 + i) - 1 S = 1762341,68 0,12 (1,12) 5-1 S = 277409,73 dh Hypohèse 5 : même quesion que dans l hypohèse 4, si le aux de placemen es de 13,75 % Vo (1 + i) = S (1 + i) n - 1 i 1762341,68 = S (1,1375) 5-1 0,1375 Page 20

S = 267938,22 dh Applicaion 1 : Dresser le ableau d amorissemen d un emprun ordinaire de 420 000 dh souscri le 20-06-97 e remboursable par 6 amorissemens annuels consans. Le aux d inérê es de 11 % le premier remboursemen aura eu lieu le 19/06/98. Soluion : D 1 = D 2 = D 3 =...D 6 = 420 000 = 70 000 6 Périodes 19-06-98 capial en débu de période 420 000 Inérê de la période 46 200 Amorissemen Annuié Capial en fin de période 70 000 116 200 350 000 19-06-99 350 000 38 500 70 000 108 500 280 000 19-06-2000 280 000 30 800 70 000 100 800 210 000 19-06-2001 210 000 23 100 70 000 93 100 140 000 19-06-2002 140 000 15 400 70 000 85 400 70 000 19-06-2003 70 000 7 700 70 000 77 700 0 161 700 420 000 581 700 Applicaion 2 : Le foncionnaire a empruné 120 000 DH au CIH, remboursables en 120 mensualiés au aux annuel de 15 %. Ce emprun a éé souscri le 28/09/97 avec effe au 01-10-97. Le premier remboursemen commencera fin ocobre 97. 1 calculer le monan de la mensualié consane 2 Décomposer la 1 ère mensualié en inérê e en amorissemen. 3 Après 60 mois de remboursemen, le foncionnaire, qui espère bénéficier d un rappel, souhaierai rembourser la somme resan dûe en un seul versemen, le conra lui permean de le faire. Quelle somme oale devra--il verser après avoir payé le 60 mensualié. 4 Ayan consaé que la somme resan due es encore imporane, le foncionnaire coninue à acquier ses mensualiés pendan une année. Déerminer combien il lui resera à payer après cee année supplémenaire de remboursemen en présenan le ableau d amorissemen concernan ces 12 mensualiés. Que consaez-vous? Page 21

Soluion : Puisque le aux d inérê es annuel e le remboursemen es mensuel, il es nécessaire de calculer le aux équivalen au aux annuel de 15 % i m = (1,15) 1/12-1 i m = 12 1,15-1 i m = 0,011714916 1) Calcul de mensualié consane (m) m = V 0 i m 1 - (1+i ) -n m = 120 000 0,011714916 1 - (1,011714916) -120 m = 1867,38 dh 2) Décomposiion de la 1 ère mensualié I 1 = 120 000 x 0,011714916 = 1405,79 dh D 1 = m 1 - I 1 = 1867,38-1405,79 = 461,59 dh ou bien à parir de la formule générale des amorissemens D 1 = V 0 i m (1 + i m ) n - 1 = 120 000 0,011714316 (1,011714916) 120-1 D 1 = 461,59 dh 3) Calcul du monan de l emprun resan dû après le paiemen de la 60 mensualié (V 60 ) Cee somme es égale à la valeur acuelle des mensualiés resanes. Soi V 60 = m 1 - (1 + i ) -60 i m V 60 = 1867,38 1 - (1,011714916) -60 0,011714916 V 60 = 80150,99 dh Vérificaion à parir du 1 er amorissemen : V 60 = V 0 - capial remboursé à la fin de la 60 = mensualié V 60 = V 0 - D 1 x (1 + i m ) 60-1 V 60 i m = 120 000-461,59 x (1,011714916) 60-1 Page 22

0,011714916 = 120 000-39849,39 = 80150,99 Page 23

Périodes Fin oc 2002 Fin nov. 2002 Fin D 2002 Fin Jan. 2003 F.Fév. 2003 F. M.2003 F.Av. 2003 F.Mai. 2003 F.Juin. 2003 F.Juille. 2003 F.Aoû. 2003 F.Sep. 2003 capial en débu de période 80150,99 79222,57 78283,28 77332,98 76371,55 75398,86 74414,77 73419,15 72411,87 71392,79 70361,77 69318,67 Inérê de la période 938,96 928,09 917,08 905,95 894,69 883,29 871,76 860,10 848,30 836,36 824,28 812,06 Amorissemen Annuié Capial en fin de période 928,42 939,29 950,3 961,43 972,69 984,09 995,62 1007,28 1019,08 1031,02 1043,10 1055,32 1867,38 " " " " " " " " " " " 79222,57 78283,28 77332,98 76371,55 75398,86 74414,77 73419,15 72411,87 71392,79 70361,77 69318,67 68263,35 Le ableau a éé consrui en appliquan le aux mensuel à la somme resan dûe au débu de chaque période, l amorissemen de chaque période a éé calculé par différence enre la mensualié e l inérê, le resan dû final par différence enre le resan dû iniial e l amorissemen. On consae que le foncionnaire aura surou à payer des inérês pendan les 5 premières années (60/12 = 5 ans) puisque le remboursemen principal moyen annuel sera de : 120 000-80151 = 7969,8 dh 5 Soi approximaivemen 8000 dh alors que, pendan le sixième année, il aura remboursé 80150,99-68263,35 = 11887,64 dh Remarquons que, la oue 1 ère année n on éé remboursés que 461,59 x (1,011714916) 12-1 = 5910 dh du principal 0,011714916 Page 24

Applicaion n 3 Une enreprise emprune à une banque le 01-04-1997 la somme de 750 000 dh à rembourser en une seule fois dans 4 ans au aux de 10 %. Le conra d emprun sipule : «l empruneur aura l obligaion de payer les seuls inérês à ermes échus don le 1 er es au 01-04-98. Pour préparer le remboursemen, cee Enreprise a décidé de placer une somme consane le 01-04 de chaque année de 1998 à 2001 au aux de 10,70 % 1-Calculer le monan de placemen annuel. Soluion : S = V 0 i = 750 000 0,107 (1 + i) n - 1 (1,107) n - 1 S = 159948,10 dh Page 25

EXERCICES ET CORRIGES Exercice 1 : Exercices d'applicaion A quel aux d inérê es conseni chacun des prês suivans? a. Prê de 39 000 DH remboursable par 6 annuiés consanes (de fin d année) de 8 949,44 DH b. Prê de 26 500 DH remboursable par 8 semesrialiés consanes de 3 839 DH c. Prê de 48 150 DH remboursable par 10 rimesrialiés consanes de 5 530 DH d. Prê de 2 775 DH remboursable par 14 mensualiés consanes de 216,20 DH Exercice 2 : Afin de moderniser une parie de ses magasins, l enreprise SOCAB décidé de procéder à un invesissemen de 1,5 million de dh. Le financemen de ce proje sera réalisé de la manière suivane : auofinancemen à raison d un iers ; le rese par emprun auprès d un éablissemen financier qui propose les deux formules suivanes : I. Emprun formule A : - annuiés consanes ; - aux annuel : 15 % - capial resan dû après le versemen de la cinquième annuié : 667 923,82 DH - la première annuié vien à échéance un an après le versemen des fonds. a. Calculer la durée de remboursemen de l emprun b. Présener la cinquième ligne du ableau d amorissemen de l emprun. II Emprun formule B : - semesrialiés consanes ; - aux annuel : 15 % - différence enre le dernier e le premier amorissemen semesriel : 65 554,93 DH ; - la première semesrialié vien à échéance un semesre après le versemen des fonds a. Calculer le monan de la semesrialié b. Déerminer la durée de remboursemen de l emprun. Exercice 3 : Une personne emprune une ceraine somme qu elles s engage à rembourser par soixane mensualiés, calculées au aux mensuel de 0,80 % Sachan qu immédiaemen après le paiemen de la quarane-huiième mensualié, le capial resan dû s élève à 9 117,98 DH déerminer le monan de la mensualié assuran le service de l emprun, puis le monan de l emprun. Page 26

CORRIGES : Exercice 1 : Calcul du aux d inérê a) prê de 39000 DH ; 6 annuiés de 8949,44 DH ; aux annuel : x par dirhams 1- (1+ x) -6 1 - (1 +x) -6 39000 39000 = 8949,44 x = = 4,3578145 x x 8949,44 On ne peu calculer x que par approximaions successives (e évenuellemen une inerpolaion par paries proporionnelles). 0,09 4,4859185 0,01 x 4,3578145 0,128104 0,10 4,3552606 0,1306579 0,128104 x = 0,09 + 0,01 x 0,01306579 = 0,09948 soi 9,98 % Taux annuel d inérê : 9,98 % 1 - (1,0998) -6 Vérificaion : 8949,44 x = 39 000 0,0998 b) prê de 26500 DH ; 8 semesrialiés de 3839 DH ; aux semesriel : x par dirhams 1- (1 + x) -8 1 - (1 + ) -8 26500 26500 = 3839 x = = 6,902839 x x 3839 0,03 7,019692 0,005 x 6,902839 0,116853 0,035 6,873955 0,145737 0,116853 x = 0,03 + 0,005 x = 0,034 soi 3,4 % 0,145737 Page 27

1 - ( 1,034 ) -8 Vérificaion : 3839 x = 26500 0,034 Taux semesriel : 3,4 % Taux annuel proporionnel : 6,8 % Taux annuel équivalen : (1,034) 2-1 = 0,069156 soi 6,91 % c) prê de 48150 DH ; 10 rimesrialiés de 5530 DH ; aux rimesriel : x par dirhams 1 - (1 + x ) -10 1 - ( 1 + x ) -10 48150 48150 = 5530 x = = 8,7070 x x 5530 0,025 8,752063 0,005 x 8,707052 0,045011 0,03 8,530202 0,221861 0,045011 x = 0,025 + (0,005 x ) = 0,026 soi 2,60 % 0,221861 1 - (1,026) -10 Vérificaion : 5530 x = 48150 0,026 Taux rimesriel : 2,60 % Taux annuel proporionnel : 10,40 % Taux annuel équivalen : (1,026) 4-1 = 0,108126 soi 10,81 d) prê de 2775 DH ; 14 mensualiés de 216,20 DH aux mensuel : x par dirhams. -14-14 1 - ( 1 + x ) 1 - (1 + x) 2775 2775 = 216,20 x = = 12,835337 x x 216,20 0,01 13,003702 0,005 x 12,835337 0,168365 0,015 12,543381 0,460321 0,168365 x = 0,01 + (0,005 x ) = 0,0118 soi 1,18 % 0,460321 Page 28

Vérificaion : 216,20 x 1 - (1,0118) -14 0,0118 = 2774,97 arrondis à 2775 DH Taux mensuel : 1,18 % Taux annuel proporionnel : 0,0118 x 12 = 0,1416 soi 14,16 % Taux annuel équivalen : (1,0118) 12-1 = 0,15116 soi 15,11 % Corrigé exercice : II Enreprise SOCAB Auofinancemen : 500000 DH Capial empruné : 1000000 DH I - Emprun formule A a - Capial resan du après le versemen de la cinquième annuié : 667923,82 DH - Capial remboursé après le versemen de la cinquième annuié : 1000000-667923,82 = 332076,18 DH Les annuiés éan consanes, les amorissemens formen une progression géomérique de raison (1,15) e de premier erme D 1. Capial remboursé au bou de 5 ans = D 1 + D 2 + D 3 + D 4 + D 5 (somme des cinq premiers amorissemens). (1,15) 5-1 D 1 x = 332076,18 0,15 332076,18 D 1 = = 49252,06 674238125 Le capial empruné (1000000) es la somme de n amorissemens. D où : V 0 = D 1 x (1 + i ) n - 1 i 1000000 = 49252,06 x (1,15) n - 1 0,15 (1,15) - 1 1000000 = = 20,30371928 soi n = 10 0,15 49252,06 Durée de remboursemen de l emprun : 10 Page 29

2. La cinquième ligne du ableau d amorissemen comprend le cinquième amorissemen D 5 = D 1 x (1 + i) 4 = 49252,06 x (1,15) 4 = 49252,06 x 1,74900625 = 86142,16 DH Capial resan dû au débu de la cinquième année : 667923,82 + 86142,16 = 754065,98 DH Inérês : 754065,98 x 0,15 = 113109,90 DH Année Capial resan dû Inérê Amorissemen Annuié 5 754065,98 113109,90 86142,16 199252,06 Vérificaion : V 0 = a x 1 - (1 + i) -n i 1 - (1,15) -10 199252,06 x = 199252,06 x 5,018768626 = 999999,99 soi 1000000 DH 0,15 II - Emprun formule B 1. Taux semesriel équivalen au aux annuel 15 % (1 + s)² = 1,15 d où s = (1,15) 1/2-1 = 0,072380529 Soi S 1 la première semesrialié Le premier amorissemen D 1 es égal à : D 1 = S 1 - l 1 = S 1-1000000 x 1,072380529 = S 1-72380,529 La dernière semesrialié es égale à : S n = D n + D n s = D n x (1,072380529) d où D 1 = S n 1,072380529 La différence enre le dernier amorissemen (D n ) e le premier amorissemen (D 1 ) es égale à : S n D n - D 1 = - (S 1-72380,529) = 65.554,93 Page 30

1,072380529 Les semesrialiés éan consanes (S n = S 1 = S ) S x [1 - (1,072380529) -1 ]= 72380,529-65554,93 = 6825,599 6825,599 S = = 101127,19 1-0,932504809 Monan de la semesrialié : 101127,19 DH 1 - ( + s) -n 1 - (1,072380529) -n 1000000 2. V 0 = S x soi = = 9,888537395 d où n = 18 s 0,072380529 101127,19 Durée de remboursemen de l emprun : 18 semesres, soi 9 ans. Vérificaion : Premier amorissemen : 101127,19-72380,529 = 28746,66 DH Dernier amorissemen : 28746,66 x (1,072380529) 17 = 94301,59 DH La différence es bien de 65554,93 DH. Exercice 3 : V 48 = ax X 1 - (1+ m) -12 valeur acuelle des douze mensualiés non échues m a = 9117,98 x 0,008 = 799,92 1-(1,008) -12 V 0 = a x 1 - (1 + m) -n = 799,92 x 1 - (1,008) -60 = 37 999,57 arrondis à 38 000 DH m 0.008 Page 31

DEVOIR Exercice 1: Un emprun de 100000dh a éé conracé. Durée de l amorissemen 16 ans, aux : 9%. Les 15 premières annuiés son égales chacune à 12000 dh, la 16 éme annuié es de monan différen, (l emprun n es donc pas remboursable par annuié consane. TAF : a) Calculez le monan de la 16 éme annuié b) Présenez les deux premières e la dernière ligne du ableau d amorissemen. c) Calculez par deux procédés différens le monan de la dee encore vivane après paiemen de la 11 éme annuié. Exercice 2: Un emprun d un monan de 600000 es remboursable au moyen de 2 versemens annuels à échéance respecives de 1 e 2 ans e don les monans son dans l ordre : 300000 e 393453,75. Présenez le ableau d amorissemen de ce emprun. Exercice 3 : Un emprun indivis d un monan iniial de 800000 amorissable au moyen de 12 annuié consanes, aux d inérê 9%. 1) Calculez par quare procédés la dee résiduelle après paiemen de 7 échéances. 2) Présenez la 8 éme ligne du ableau d amorissemen de ce emprun. Exercice 4: Un emprun es remboursable au moyen de 5 annuié, comprenan chacune inérê e amorissemen, don les monans e les échéances son les suivanes : Monans : a1 = 4200 échéance : 1 an après le prê a2 = 4200 échéance : 2 an après le prê a3= 4500 échéance : 3 an après le prê a4= 5000 échéance : 4 an après le prê a5 = 5500 échéance : 5 an après le prê L amorissemen conenu dans la dernière annuié s élève à 5000. T.A.F :Calculez le monan iniial de l emprun. Page 32

CORRIGE : EX 1 : Désignons par a 16 la 16 ème annuié. Appliquons la règle 2. Egalié enre le monan de la dee e valeur acuelle des annuiés. -15-16 100000 = 12000 1-1,09 + a16 1.09 0,09 100000 = (12000 x 8,060688) +0,25187 a16 On en ire a 16 = 12989,81 Echéance Dee Inérê Amorissemen Annuié 1 100000 9000 3000 12000 2 97000 8730 3270 12000 16 11917,26 1072,55 11917,26 12989,81 Le dernier amorissemen (e la dernière dee) on éé calculés en effecuan le quoien : 12989,81/1,09 Premier procédé :Règle fondamenale n 3 D11 = 100000 x 1,09 11-12000 x 1,09 11 1 0.09 = (100000 x 2,580426) + (12000 x 17,560298) = 47319,09 Second procédé : Règle fondamenale n 4 D 11 = 12000 x 1-1,09-4 + (12989,81 x 1,09-5 ) 0,09 D 11 = (12000 x 3,23972) + (12989,81 x 0,649931) = 47319,09 Page 33

EX 2 : Désignons par i le aux d emprun. Nous pourrons écrire : (règle fondamenale n 1) * 600 000 (1+i) 2 = 300 000 (1+i)+393453,75 Posan (1+i) = x.. On obien alors, après simplificaion e ransformaion : * 2x 2 x 1,3115125 = 0 équaion du second degré don on ne reien que la racine posiive :. * x = 1,0975 = 1 + i soi = 0,0975. Tableau d amorissemen Echéance Dee Inérê Amorissemen Annuié 1 600 000 54500 241500 300 000 2 358500 34953,75 358000 393453,75 EX 3 : Annuié consane : 800 000 x 0,09 = 111720,80 1 1,09-12 Ier amorissemen : 111720,80,-,(800000 x 0,09 ) = 39720,8 1) Les procédés I er procédé : D 7 : Dee iniiale moins dee amorie après 7 échéances : = 800 000 39720,80 x 1,09 7 1 0,09 = 434551,37 Deuxième procédé : (règle fondamenale 3) : D 7 = 800 000 x 1,09 7 111720,80 x 1,09 7 1 0,07 = 1462431,20 1027879,90 = 434551,30 Page 34

Troisième procédé : D 7 = 111720,80 x 1 1,09-8 = 434551,30 0,09 Quarième procédé : D 7 = 800000 x 1,09 12 1,09 7 = 434553,98 1,09 12 2) ableau d'amorissemen Echéance Dee Inérê Amorissemen Annuié 8 434551,3 39109,62 72611,18 111720,8 Le 8 ème amorissemen a éé calculé par différence enre l annuié consane e le 8 ème inérê. On aurai pu aussi muliplier par le 1er amorissemen déjà calculé par 1,09. 7 EX 4 : Nous savons que la dernière annuié e le dernier amorissemen son, en maière d emprun, liés par la relaions : a n = mn (1 + i ) On peu donc écrire 1 + i = 5500 = 1,10 soi 0,10 ou 10% 5000 Monan iniial de l emprun ( applicaion de la règle fondamenale n 2 ) : ( 4200 x 1,10-1 ) + ( 4200 x 1,10-2 ) + (4500 x 1,10-3 )+ (5000 x 1,10-4 ) + ( 55000 x 1,10-5 ) = 17500 Page 35