Une intrductin au cntrôle acustique actif Emmanuel Frit T cite this versin: Emmanuel Frit. Une intrductin au cntrôle acustique actif. DEA. 2006. <cel-00092972> HAL Id: cel-00092972 https://cel.archives-uvertes.fr/cel-00092972 Submitted n 12 Sep 2006 HAL is a multi-disciplinary pen access archive fr the depsit and disseminatin f scientific research dcuments, whether they are published r nt. The dcuments may cme frm teaching and research institutins in France r abrad, r frm public r private research centers. L archive uverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusin de dcuments scientifiques de niveau recherche, publiés u nn, émanant des établissements d enseignement et de recherche français u étrangers, des labratires publics u privés.
CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNE INTRODUCTION AU CONTRÔLE ACOUSTIQUE ACTIF EMMANUEL FRIOT CNRS - Labratire de Mécanique et d Acustique v. 6 ctbre 2005
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Table des matières Intrductin 5 1 Cntrôle actif et acustique 7 1.1 Cntrôle d un mnpôle par un autre....................... 8 1.1.1 Effet glbal d un cntrôle lcal..................... 8 1.1.2 Cnditins d atténuatin glbale..................... 10 1.1.3 Tracés d intensité acustique....................... 11 1.1.4 Dévelppement en harmniques sphériques............... 12 1.2 Cntrôle en prpagatin guidée.......................... 13 1.2.1 Cnditins d annulatin glbale du champ............... 13 1.2.2 Déterminatin du nmbre de mdes effectivement prpagatifs..... 14 1.3 Cntrôle en espace cls.............................. 16 1.3.1 Dévelppement en série de mdes à basse fréquence.......... 16 1.3.2 Mdélisatin du champ à plus haute fréquence............. 17 1.4 Cntrôle avec un grand nmbre de surces.................... 18 1.4.1 Cntrôle glbal d un côté d une surface fermée............. 18 1.4.2 Une estimatin du nmbre de transducteurs nécessaires......... 20 1.5 Cntrôle actif et psychacustique........................ 20 1.6 Résumé...................................... 21 2 Cntrôle actif et autmatique 23 2.1 Un eemple intrductif.............................. 23 2.2 Cntrôle par feedfrward ptimal........................ 25 2.2.1 Cntrôle ptimal nn causal....................... 25 2.2.2 Cntrôle ptimal causal......................... 27 2.3 Cntrôle adaptatif FXLMS............................ 29 2.3.1 L algrithme LMS mnvie....................... 29 2.3.2 L algrithme FXLMS mnvie..................... 31 2.3.3 Rbustesse et cnvergence........................ 31 2.3.4 Utilisatin pratique............................ 32 2.4 Cntrôle par feedback............................... 33 2.4.1 Effet d un feedback sur la référence................... 34 2.4.2 Equivalence entre feedback et feedfrward............... 35 3
TABLE DES MATIÈRES 4 2.4.3 Cntrôle ptimal et représentatin d état................. 36 2.5 Résumé...................................... 37 3 Quelques applicatins du cntrôle actif 38 3.1 Le casque anti-bruit actif............................. 38 3.2 Cntrôle actif et autmbile........................... 39 3.2.1 Cntrôle du bruit mteur......................... 40 3.2.2 Cntrôle du bruit d échappement..................... 42 3.2.3 Cntrôle du bruit de rulement...................... 43 3.2.4 Cntrôle du bruit aérdynamique.................... 45 3.3 Cntrôle actif et aérnautique........................... 45 3.3.1 Cntrôle du bruit d hélices........................ 45 3.3.2 Cntrôle du bruit de sufflante...................... 46 3.3.3 Cntrôle du bruit dû à la cuche limite turbulente............ 49 3.3.4 Cntrôle des éculements........................ 50 3.4 Autres applicatins en etérieur......................... 50 3.4.1 Cntrôle du bruit de transfrmateur................... 50 3.4.2 Ecrans anti-bruit actifs.......................... 51 Cnclusin - Résumé 53 A Décmpsitin en valeurs singulières 54 B Transferts à phase minimale et factrisatin spectrale 56 C Sujets d eamen du DEA d acustique 58 D Bibligraphie smmaire 60 Inde 62
Intrductin On appelle cntrôle acustique actif (en anglais Active Nise Cntrl) u anti-bruit l utilisatin de surces de bruit dites secndaires pur réduire un bruit indésirable dit primaire. L idée d utiliser des surces auiliaires pur réduire le bruit est quasiment cntenue dans la descriptin même de l acustique linéaire en termes de fluctuatins de pressin qui peuvent s additinner. Parmi les premiers travau spécifiques au cntrôle actif, n peut citer des brevets 1 des années 1930 puis un article 2 au JASA en 1956 et, en France, les travau de Maurice Jessel à Marseille dans les années 1960. Même si les principes de base du cntrôle actif snt simples, un système de cntrôle sphistiqué est en général requis pur faire fnctinner efficacement un dispsitif d anti-bruit ; il a fallu en fait attendre la fin des années 1970 pur qu une applicatin cmme le cntrôle dans les gaines de ventilatin sit véritablement envisageable. Les années 1980 vient ensuite la mise au pint du casque anti-bruit actif ; les micr-prcesseurs spécialisés en traitement du signal (Digital Signal Prcessing) permettent alrs aussi la mise en œuvre en temps-réel d algrithmes de cntrôle adaptatifs. Le premier livre 3 entièrement cnsacré au cntrôle actif du bruit paraît en 1992. Aujurd hui, de nmbreuses équipes travaillent dans le mnde entier sur le cntrôle actif du bruit. Malgré le haut niveau de spécialisatin atteint, le casque anti-bruit et les systèmes pur les gaines de ventilatin demeurent les seul prduits de cntrôle actif fabriqués en grande série. Les slutins passives à un prblème de bruit dnné s avèrent en effet suvent mins chères que les slutins actives. Le cntrôle actif cherche dnc encre sn «applicatin miracle». Il apparaît à l heure actuelle que les matériels et les méthdes dévelppés pur le cntrôle actif du bruit peuvent aussi être utilisés pur recréer, en temps-réel, un champ acustique dnné C est dnc peut-être dans le dmaine de la restitutin en temps-réel d envirnnements snres qu une applicatin du cntrôle actif aussi emblématique que le casque anti-bruit verra le jur. L bjectif de ce dcument est de dnner, à un lecteur ayant des cnnaissances élémentaires en acustique et en traitement du signal, des indicatins en français sur les pssibilités et les limites du cntrôle actif du bruit. Le cntrôle actif n est en effet pas une «technique magique» et ses perfrmances snt bien liées au équatins usuelles de la physique. Pur le lecteur dési- 1 Henri Canda, Prcédé de prtectin cntre les bruits, brevet numér 722.274 délivré le 29 décembre 1931, et P. Lueg, Prcess f silencing sund scillatins, US Patent N. 2,043,416 de 1936 après le brevet allemand DRP 655 508 de 1933 2 H.F. Olsn et E.G. May, Electrnic sund absrber, Jurnal f the Acustical Sciety f America, 38, 966-972 3 P.A. Nelsn et S.J. Ellitt, Active Cntrl f Sund, Academic Press 5
TABLE DES MATIÈRES 6 reu d en savir plus, une bibligraphie smmaire est dnnée en annee ; n purra s y référer à prps de chacun des résultats thériques présentés ici ; n a chisi de ne pas rappeler cela par des renvis cntinuels dans le tete. Pur du cntrôle actif il faut dispser judicieusement des surces acustiques puis les pilter cnvenablement. Il faut dnc faire appel aussi bien à des ntins d acustique que d autmatique et de traitement du signal en temps-réel. Dans une première partie n va dnc s intéresser à l interactin de surces secndaires avec un champ acustique dnné. On mntrera les limites effectivement impsées au cntrôle actif par la prpagatin acustique. Dans une deuième partie, n se penchera sur l btentin effective des signau de cmmande à furnir au surces secndaires ; cette fis c est la causalité bligatire des cntrôleurs qui limitera leurs perfrmances. Enfin dans une trisième partie n décrira quelques-unes des applicatins industrielles du cntrôle actif en présentant ntamment quelques résultats tirés de travau cnduits au LMA.
Chapitre 1 Cntrôle actif et acustique Pur cncevir un dispsitif de cntrôle actif, il faut savir cmment des surces de bruit secndaires peuvent interagir avec un champ primaire dnné. Il faut ntamment savir si, cmpte tenu du milieu de prpagatin ù l n se truve, une u plusieurs surces snt bien capables de réduire le bruit et si cette réductin sera lcale (i.e. restreinte à quelques pints de l espace) u si elle peut être glbale ; il faut également se frger quelques règles générales pur savir cmbien de surces secndaires et de capteurs utiliser et ù les dispser. Pur cela, le début de ce chapitre est cnsacrée à l étude de quelques situatins académiques ù le cntrôle est fait à l aide d un petit nmbre de transducteurs. On va mntrer ensuite que, même si un cntrôle glbal du champ acustique est thériquement pssible, le nmbre de transducteurs utilisables en pratique restreint le champ d applicatin du cntrôle actif : pur une atténuatin dans une zne dnnée le nmbre de transducteurs à utiliser augmente rapidement avec la fréquence. On va se placer ici dans le cadre de l acustique linéaire nn dissipative des milieu statinnaires ; n va ntamment suppser de façn plus u mins réaliste que : le niveau de bruit est «raisnnable» (y cmpris devant les surces) ; le milieu ne cmprend pas d éculement nn unifrme ; les transducteurs (surces et capteurs) utilisés pur le cntrôle snt linéaires invariants ; le milieu est statinnaire (pas d évlutin de la gémétrie u de la célérité du sn avec le temps... ). la dissipatin est négligeable dans le milieu de prpagatin et à ses limites. Ces hypthèses n nt pas frcément besin d être vérifiées pur faire effectivement fnctinner un dispsitif de cntrôle actif ; en revanche elles snt cmmdes pur établir analytiquement des résultats intéressants, les fluctuatins de pressin étant alrs slutin de l équatin des ndes : 1 2 p c 2 t 2 q 2 p = ρ 0 t ù c est la célérité du sn, ρ 0 la masse vlumique et q la densité vlumique de débit de surces telles que des enceintes acustiques présentes dans le milieu. Il faut asscier les fluctuatins de la vitesse dans le fluide à celles de la pressin pur prendre en cmpte les cnditins au limites usuelles et pur avir une idée des transferts énergétiques liées à la prpagatin acustique. La vitesse et la pressin snt cuplées par eemple via l équatin de cnservatin de la quantité de (1.1) 7
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 8 muvement (équatin d Euler) linéarisée : ρ 0 v t = p (1.2) Pur ne cnsidérer que des sns purs à la pulsatin ω, n peut pser a priri p = R( pe jωt ) 1. Dans ce cas l équatin des ndes se transfrme en l équatin d Helmhltz : p+k 2 p = jωρ 0 q (1.3) ù k = ω/c est le nmbre d nde et ù q = R( qe jωt ). De même l équatin (1.2) s écrit en sn pur : ρ 0 jωṽ = p. On mettra le symble dans la suite pur désigner les grandeurs cmplees cnsidérées quand n se restreint au sns purs. 1.1 Cntrôle d un mnpôle par un autre L bjectif de cette sectin est de mntrer que, même dans le cas très simple d une surce de bruit pnctuelle en espace libre, les mdalités de la prpagatin acustique fnt qu il est difficile de réduire le bruit par cntrôle actif dans une zne de dimensins significatives. On va suppser ici que le bruit primaire est prduit en champ libre par une surce mnpôlaire, idéalisatin d une surce mnidirectinnelle (telle qu une sphère pulsante) dnt les dimensins snt petites devant la lngueur d nde. Si q p est le débit de cette surce, la pressin acustique primaire p p slutin de l équatin (1.3) est dnnée par : p p (M) = jωρ 0q p 4π e jkr p r p (1.4) ù r p désigne la distance entre le mnpôle et le pint d écute M. 1.1.1 Effet glbal d un cntrôle lcal Lrsque qu une surce secndaire de débit q s, elle-aussi mnpôlaire, est mise en marche, la pressin ttale s écrit : p(m) = jωρ 0q p 4π e jkr p r p + jωρ 0q s 4π e jkr s r s (1.5) On purra dnc annuler parfaitement le bruit en un pint M en piltant la surce secndaire de telle srte que : r s q s = q p e jk(r p r s ) (1.6) r p 1 On peut tut aussi bien cmme certains auteurs préférer pser p = R( pe iωt ) ; attentin au cnséquences de l une u l autre cnventin, par eemple sur l epressin des fnctins de Green u le signe de la partie imaginaire d une impédance de surface...
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 9 FIG. 1.1 Atténuatin (en db) btenue par cntrôle avec un mnpôle secndaire (s) du bruit prduit en un pint (X) par un mnpôle primaire (p) En revanche, avec une telle cmmande, il n y a aucune raisn pur que la pressin acustique sit nulle en un autre pint quelcnque M ; la figure 1.1 mntre par eemple, à plusieurs fréquences, l atténuatin btenue dans le plan z = 0 lrsque le bruit est cntrôlé au pint de crdnnées (0,5;0,5;0) avec les mnpôles en ( 1;0;0) et (1;0;0). Sur ces figures n cnstate que le bruit n est réduit de façn imprtante que dans des znes étrites ; ces znes rétrécissent lrsque la fréquence s élève. 1.1.2 Cnditins d atténuatin glbale Un résultat intéressant peut être établi lrsque l n cherche à annuler le bruit en un pint éligné des mnpôles primaire et secndaire. Dans ce cas, n peut simplifier l équatin (1.5) par une apprimatin de champ lintain. Avec les ntatins de la figure 1.2, la pressin acus-
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 10 tique s écrit alrs : p(m) = jωρ 0 4π e jkr p [ q p + q s e jkdcsθ] (1.7) r p Le bruit est annulé en M si q s = q p e jkd csθ. La pressin en un autre pint M de crdnnées (r p,θ ) vaut alrs : p(m ) = jωρ 0 4π e jkr p r p q p [1 e jkd(csθ csθ ) ] (1.8) On peut maintenant calculer le rati entre la pressin avec cntrôle et la pressin sans cntrôle au pint M : J = p(m ) [ p p (M ) = 1 e jkd(csθ csθ ] (1.9) En remarquant que 1 e jα 2 = 2(1 csα), n btient : Par cnséquent n aura J 2 < 1 si : J 2 = 2(1 cs[kd(csθ csθ )]) (1.10) cs[kd(csθ csθ )] > 1 2 (1.11) ce qui sera vérifié put tut θ et pur tut θ si 2kD < π/3 dnc finalement si : D < λ 12 (1.12) Dans le cas particulier ù le pint d annulatin se truve à égale distance des deu mnpôles, n a alrs csθ = 0 et q s = q p et l inégalité (1.11) cnduit à une réductin du bruit dans tut l espace en champ lintain si : D < λ (1.13) 6 Ce petit calcul mntre d une part qu annuler avec un mnpôle secndaire le bruit prduit par un mnpôle primaire en un pint quelcnque ne réduit le bruit dans tut l espace que si la distance entre les deu mnpôles est inférieure à un duzième de lngueur d nde. D autre part dans le meilleur des cas le bruit ne peut être réduit dans tut l espace autur des mnpôles que s ils snt écartés de mins d un siième de lngueur d nde, ce qui est peu. On verra en sectin 1.4 qu avec un grand nmbre de surces secndaires et de pints de minimisatin autur du mnpôle primaire un cntrôle très efficace du bruit est néanmins pssible dans tut l espace. 1.1.3 Tracés d intensité acustique Dans le cas ù le mnpôle secndaire est suffisamment prche du mnpôle primaire, la pressin acustique et dnc l énergie acustique raynnée peuvent être réduites dans tut l espace par cntrôle actif. Cette disparitin d une partie de l énergie présente sans cntrôle a laissé perplee plus d une persnne au débuts du cntrôle actif, certains clamant que cette énergie devait bien devir se retruver quelque part dans l espace en pratique.
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 11 M Rp R Rs θ θ Qp D Qs FIG. 1.2 Ntatins pur l apprimatin de champ lintain En fait ce snt bien les haut-parleurs faisant ffice de surces primaire et secndaire qui peuvent absrber de l énergie acustique. Il faut d abrd se rappeler que le rendement acustique d un haut-parleur est typiquement inférieur à 1% ; l essentiel de l énergie qui lui est furnie est dissipée dans les circuits électriques. Il est par cnséquent pssible que, dans un dispsitif de cntrôle actif, un u plusieurs haut-parleurs absrbent de l énergie sans qu aucune anmalie ne puisse être cnstatée. Il s avère même que cette absrptin est difficile à bserver epérimentalement en pratique tant l énergie acustique absrbée est faible devant les énergies électriques présentes! Pur illustrer ensuite le fait que des mnpôles peuvent absrber de l énergie, n peut tracer des vecteurs intensité acustique. L intensité est définie par i = pv ù la vitesse acustique v peut être déduite de la pressin p slutin de l équatin d Helmhltz (1.3) à partir de l équatin de cnservatin de quantité de muvement linéarisée (1.2) Avec une nde mnfréquentielle cette équatin devient ρ 0 jωv = p. L intensité acustique myennée sur une péride vaut dans ce cas i = R(pv )/2, n la qualifie d active par rapprt à l intensité réactive définie par I(pv )/2 qui renseigne, elle, sur l énergie stckée lcalement dans le champ prche d une surce. Dans le cas du mnpôle, seule la cmpsante radiale de la vitesse est nn nulle et elle vaut : v r = 1 (1+ jkr)p (1.14) ρ 0 c La figure 1.3 mntre les intensités active et réactive dans les même cnditins que la figure 1.1 pur λ/d = 10 ; n vit bien l intensité (active) «rentrer» dans un des mnpôles. Pur terminer n sulignera que l absrptin d énergie par les surces primaires u secndaires n est pas le seul mécanisme de redistributin de l énergie lrs de la mise en œuvre d un cntrôle actif ; n l a mis en évidence ici parce que les mnpôles étaient relativement prches. Si les deu mnpôles étaient très élignés l un de l autre, l intensité que chacun raynne serait égale à celle raynnée en l absence de l autre mnpôle. Dans ce cas, n aurait en un pint cntrôle actif du bruit simplement par interférence destructive des deu pressins prduites ; n bserverait au final une augmentatin de l énergie glbale. Un trisième mécanisme peut aussi être identifié ntamment dans les cnduits : le fnctinnement de surces secndaires mdifie la cnditin au limites qui détermine le raynnement acustique d une surce primaire de débit fié ; dans ce cas n peut dire que le cntrôle se fait aussi en partie via une mdificatin de
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 12 0.8 Intensité active : Re(pv*/2) 0.6 0.4 0.2 0 0.2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 0.8 Intensité réactive : Im(pv*/2) 0.6 0.4 0.2 0 0.2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 FIG. 1.3 Intensité acustique après cntrôle pur λ/d = 10 l impédance de raynnement de la surce primaire. En pratique tus ces mécanismes peuvent être présents ; la mise en œuvre effective d un cntrôle ptimal peut être être faite sans savir quel mécanisme plutôt qu un autre est cncerné. 1.1.4 Dévelppement en harmniques sphériques Un haut-parleur dans une enceinte peut être cnsidéré, à basse fréquence, cmme un mnpôle. A plus haute fréquence il devient directif ; de même la plupart des surces primaires que l n sera amené à cmbattre par cntrôle actif ne snt pas assimilables à des mnpôles. Pur simuler, cmme n l a fait pur un mnpôle, le cntrôle actif d une surce à directivité cmplee à l aide de surces secndaires réelles, il est pratique d utiliser le dévelppement en harmniques sphériques du champ dans une curnne sphérique ne cmprenant pas de surces : p(r,θ,φ) = + n=0 h n (1) (kr) +n a n m P n m (csθ)e jmφ + m= n + n=0 h (2) n (kr) +n m= n b n m P n m (csθ)e jmφ (1.15) u h (1) n est la fnctin de Hankel sphérique d rdre n et de première espèce et P n m est la fnctin de Legendre de degré n et d rdre m. Les deu smmatins crrespndent à des ndes cnvergeant depuis l infini vers l rigine u à des ndes divergeant depuis l rigine. Chacun des termes du dévelppement crrespnd au raynnement d un multipôle assciatin élémentaire de mnpôles, placés à l rigine u à celui d un «multipuits». Le nmbre de termes à prendre en cmpte pur évaluer précisément la série (1.15) reflète la cmpleité du raynnement de la surce.
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 13 1.2 Cntrôle en prpagatin guidée La réductin du bruit dans les gaines de ventilatin a été une des premières applicatins du cntrôle actif ; elle demeure une des seules a avir cnduit à la mise sur le marché de «prduits» du cntrôle actif de série. On va vir dans cette sectin que la prpagatin en cnduit est effectivement un cas favrable pur le cntrôle actif. On peut, avec un nmbre limité de surces à basse fréquence, annuler eactement dans un cnduit le bruit dans les trnçns ne cmprenant pas de surces. En dehrs des gaines de ventilatin, les cheminées, les lignes d échappement, les entrées de réacteur d avin mais aussi le cnduit auditif nt dnné lieu à des études de cntrôle actif en prpagatin guidée. Les instruments de musique à vent, «le chenal céanique» et l atmsphère dans certaines cnditins métérlgiques snt d autres eemples de guides d nde. 1.2.1 Cnditins d annulatin glbale du champ D une façn générale, si un cnduit est rectiligne et de sectin cnstante, l équatin d Helmhltz (1.3) peut être séparée en termes de crdnnée lngitudinale z et de crdnnées transversales, y. Sans éculement et pur un cnduit à paris rigides, la pressin dans les trnçns ne cmprenant pas de surces s écrit, à une pulsatin dnnée ω, cmme une smme finie de «mdes prpagatifs» : p(,y,z,ω) = N n=1 a n (ω)φ n (,y) e jk nz + a n (ω)φ n (,y) e + jk nz (1.16) ù les φ n snt les fnctins prpres de l équatin d Helmltz pur le prblème de Neumann asscié à la sectin du cnduit. Les cefficients a n et a n du dévelppement (1.16) changent au passage des sectins cmprtant des surces de bruit. Dans un cnduit infini et en aval de tute surce, les ndes se prpagent dans un seul sens ; l epressin (1.16) se réduit à : p(,y,z,ω) = N n=1 a n (ω)φ n (,y) e jk nz (1.17) Dans le cas général les cnditins au limites en etrémité de cnduit permettent de relier linéairement les cefficients a k au cefficients a l. Pur quelques sectins de frme simple, les fnctins prpres φ n peuvent être btenues par séparatin des variables transversales ; dans le cas général n peut les btenir numériquement par eemple via une mdélisatin par éléments finis. Enfin au visinage immédiat des surces, les «mdes évanescents» cntribuent aussi à la pressin ; Dans les trnçns ne cmprenant pas de surces, le champ est dnc parfaitement caractérisé par la dnnée du vecteur A = (a 1...a N ) t des amplitudes mdales dnt il est une fnctin linéaire ; les amplitudes mdales représentent les «degrés de liberté effectifs» du champ dans le cnduit. Si un réseau de capteurs est dispsé dans le cnduit, il eiste une matrice G reliant le vecteur des amplitudes mdales au vecteur P des pressins effectivement mesurées, P = G A. Réciprquement, avec des surces linéaires dans le cnduit (mais pas dans le trnçn cnsidéré), il eiste une matrice H qui relie les signau de cmmande U envyés au surces au vecteur
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 14 des amplitudes mdales : A = HU. A partir de ces epressins n peut discuter de l efficacité d un système de cntrôle actif ; le vecteur des amplitudes mdales lrsqu un bruit brimaire et des bruits secndaires se prpagent dans le tuyau sera de la frme : A = A p + A s = A p + H U (1.18) Cmme epliqué en sectin 1.1.3, les amplitudes mdales du champ primaire A p peuvent parfis dépendre des cmmandes secndaires U. Que cela sit le cas u nn, le vecteur des amplitudes mdales glbales et dnc le champ en tut pint en aval des surces sera nul si A p + HU = 0. Il eistera dnc un vecteur des cmmandes qui annule le champ si la matrice H est de rang supérieur u égal au nmbre N de mdes prpagatifs dans le cnduit ; cncrètement cela sera le cas dès que le nmbre de surces secndaires est égal au nmbre de mdes prpagatifs si ces surces snt dispsées de telle srte que la matrice H ne sit pas singulière. Cette dernière cnditin sera vérifiée de façn presque sûre avec un nmbre mdéré de mdes si les surces snt dispsées de façn aléatire ; avec un très grand nmbre de mdes et un petit nmbre de transducteurs, la psitin des surces et des capteurs peut en revanche mdifier significativement l efficacité d un cntrôle. Si le nmbre de surces est inférieur au nmbre N de mdes prpagatifs, la pressin peut être minimisée mais pas ttalement annulée ; si le nmbre est supérieur à N, plusieurs vecteurs de cmmande différents peuvent cnduire à l annulatin de la pressin. Cmme n le verra par ailleurs au chapitre 2, la mise en œuvre d un cntrôle actif est grandement simplifiée si l n dispse de signau mesurant directement les quantités à minimiser. Puisqu avec un réseau de capteurs n mesure un vecteur de pressin P = GA, annuler P impliquera l annulatin de A si la matrice G est de rang plein c est à dire ntamment si le nmbre de capteurs est supérieur au nmbre N de mdes prpagatifs. En cnclusin, un cntrôle actif glbal du champ dans les trnçns sans surces est pssible dans un cnduit avec un nmbre de surces secndaires supérieur u égal au nmbre de mdes prpagatifs. Si n dispse d un nmbre de capteurs supérieur à ce même nmbre, minimiser la pressin sur ces capteurs impliquera l annulatin ttale du champ en aval des surces. En pratique l atténuatin btenue en cnduit peut dépasser 60dB ; elle est plus limitée par la qualité du système électrnique de cntrôle que par l acustique. 1.2.2 Déterminatin du nmbre de mdes effectivement prpagatifs A basse fréquence (par eemple en deça de c/2a pur un cnduit de sectin carrée de côté a), un seul mde est prpagatif et il est asscié à des frnts d nde plans qui s élignent dans le cnduit. Une seule surce secndaire et un seul capteur de minimisatin suffisent pur annuler la pressin acustique en aval du système de cntrôle actif ; c est purqui les cnduits (en l ccurence les gaines de ventilatin) nt dnné lieu au premières applicatins du cntrôle actif. A une fréquence plus élevée (u pur des cnduits de plus grande sectin), le nmbre eact de mdes prpagatifs s btient via l etractin des fnctins prpres de l équatin d Helmhltz. Pur un cnduit tel qu une entrée de réacteur d avin et pur un bruit à 2kHz cmme la première raie du bruit de sufflante (cf. la sectin 3.3.2), plusieurs dizaines de mdes snt prpagatifs et autant de transducteurs snt en principe nécessaires pur un cntrôle actif glbal. En pratique,
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 15 4.5 valeurs singulières de la matrice de transfert secndaire entre 16 surces et 16 micrphnes en pari de cnduit 1 valeurs singulières de la matrice de transfert secndaire entre 16 surces et 16 micrphnes devant l entrée du cnduit 4 0.9 3.5 0.8 0.7 3 valeurs singulières 2.5 2 valeurs singulières 0.6 0.5 0.4 1.5 0.3 1 0.2 0.5 0.1 0 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 0 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 fréquence (Hz) fréquence (Hz) FIG. 1.4 Tracés de valeurs singulières de matrices de transfert il s avère qu une surce de bruit primaire dnnée n ecite pas tus les mdes prpagatifs et que seule une partie d entre eu cntribue significativement à la prpagatin du bruit dans le cnduit ; le nmbre de transducteurs nécessaires à un cntrôle actif peut être réduit. Une indicatin pratique du nmbre de transducteurs à utiliser peut être btenue en dispsant un grand nmbre de surces et de capteurs dans le cnduit. On peut alrs effectuer, fréquence par fréquence, la décmpsitin en valeurs singulières (cf. l annee A) de la matrice de transfert entre les surces et les capteurs. En traçant les valeurs singulières, n bserve la cntributin de chacun des mdes à la matrice de transfert. La figure 1.4 mntre à gauche ce tracé pur une matrice de transfert mesurée, dans l entrée d un réacteur, entre 16 chambres de cmpressin et 16 micrphnes en pari. On cnstate que cette matrice de transfert peut être apprchée avec mins de 10% d erreur par une matrice de rang 6 ; par cnséquent, utiliser un plus grand nmbre de surces u de capteurs n amélirerait que peu en pratique les résultats d un cntrôle actif visant à atténuer le bruit dans le cnduit. La figure 1.4 mntre à drite la matrice de transfert entre les même surces et 16 micrphnes dispsés devant l entrée du réacteur ; cette figure mntre qu un plus grand nmbre de capteurs est nécessaire pur réduire le bruit à l etérieur que pur le réduire à l intérieur. Cela s eplique par le fait que les mdes frtement ecités dans le cnduit snt précisément ceu qui snt peu amrtis par cuplage avec l etérieur, des mdes qui cntribuent peu au niveau dans le cnduit peuvent cntribuer frtement au niveau à l etérieur. Enfin le «dédublement» des pics sur la figure 1.4 est dû à un éculement à 4 m/s dans le cnduit : les mdes snt assciés à des vitesses légèrement différentes suivant qu ils se prpagent dans un sens u dans l autre. Une fis effectuée la décmpsitin en valeurs singulières de la matrice de transfert secndaire, le bruit primaire peut être décmpsé sur la base des vecteurs singuliers à gauche. Les cmpsantes crrespndantes indiquent cmment la surce primaire ecite les mdes tels qu ils snt détectés par les capteurs.
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 16 1.3 Cntrôle en espace cls On va rappeler ici qu à basse fréquence peu de mdes cntribuent significativement au bruit dans une cavité ; un cntrôle actif glbal du bruit y est alrs envisageable. Cette situatin crrespnd au cas de la fréquence fndamentale du bruit mteur dans une viture mais aussi à celui du vlume cntenu sus la cquille d un casque anti-bruit. 1.3.1 Dévelppement en série de mdes à basse fréquence La pressin acustique dans une cavité à brds rigides peut être eprimée sus la frme d une série de mdes : α n (ω) p(,y,z,ω) = ω 2 n ω 2 φ n(,y,z) (1.19) + n=1 Les pulsatins prpres ω n et les mdes prpres φ n de la cavité peuvent être calculés par eemple via une Mdélisatin par Elements Finis u, pur quelques gémétries simples, par séparatin de variables. Dans le cas d une cavité parallélépipédique, les φ n snt, à un cefficient de nrmalisatin prêt, de la frme csk csk y y csk z z et ω 2 n = c 2 (k 2 + k 2 y + k 2 z), les nmbres d ndes partiels k α étant des multiples de π/l α ù L α est la lngueur du côté crrespndant de la cavité. A partir de la série mdale (1.19), un raisnnement analgue à celui de la sectin précédente mntre qu une infinité de transducteurs est en principe nécessaire pur un cntrôle glbal du bruit dans la cavité. Tutefis la plupart des surces de bruit cnduisent à des amplitudes mdales α n (ω) qui varient lentement avec la fréquence ; un mnpôle cnduit par eemple à des cefficients α n en jω. Par cnséquent, chacun des termes de la série (1.19) n apprte en général de cntributin significative qu au visinage de sa pulsatin de résnance ω n. Pur un bruit dans une bande de fréquence dnnée, le nmbre de mdes à cntrôler et par cnséquent le nmbre de surces secndaires et de capteurs à utiliser pur du cntrôle actif sera typiquement cmparable au nmbre de mdes dnt la fréquence de résnance est dans la bande à traiter. Le nmbre de mdes cntribuant à la répnse acustique d une cavité augmente rapidement avec la fréquence. Pur une cavité parallélépipédique, une bnne apprimatin du nmbre de mdes dnt la fréquence de résnance est inférieure à f est par eemple dnnée par : N( f) = 4π f 3 V 3c 3 + π f 2 S 4c 2 + f L 8c (1.20) ù L est la smme des dimensins de la cavité, S la surface ttale de ses paris et V sn vlume. En dérivant cette epressin par rapprt à la fréquence il apparaît bien le nmbre de mdes dans une bande de fréquence dnnée augmente cmme le carré de la fréquence. Le nmbre de transducteurs nécessaires à un cntrôle actif glbal du bruit dans la cavité devient dnc rapidement supérieur à ce qu n peut utiliser en pratique si n se base sur le nmbre de mdes à traiter. On verra néanmins en sectin 1.4 qu un cntrôle glbal n est pas eclu même si le nmbre de mdes qui cntribuent au bruit est très élevé. Cmme pur le cntrôle dans les guides d nde, la décmpsitin en valeurs singulières d une matrice de transfert mesurée en cavité peut renseigner sur le nmbre de mdes qui cntribuent significativement à la pressin. La figure 1.5 mntre la décmpsitin en valeurs singulières d une matrice de transfert entre 9 haut-parleurs et 32 micrphnes dans une cavité
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 17 15 Valeurs singulières d une matrice de transfert 239 dans une grande cavité 10 5 0 db 5 10 15 20 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 FIG. 1.5 Valeurs singulières d une matrice de transfert en cavité reprduisant l habitacle d un avin bi-mteur. Entre 80Hz (fréquence en deça de laquelle les haut-parleurs snt inefficaces) et 250Hz, les pics bservés sur la plus grande valeur singulière snt typiques de résnances islées. Quelques transducteurs peuvent suffirent à un cntrôle efficace dans tute la cavité. En revanche au delà de 250Hz le bruit dans la cavité ne peut plus être cntrlé en agissant individuellement sur quelques mdes. 1.3.2 Mdélisatin du champ à plus haute fréquence Au delà d une certaine fréquence, le bruit dans une cavité peut être assimilé à un champ diffus, situatin ù l n cnsidère que le bruit en tut pint est dû à la smme d ndes planes prvenant de tutes les directins et dnt les phases relatives snt aléatires. Cette descriptin n est pas antagniste avec une représentatin mdale : chaque mde prpre d une cavité parallélépipédique crrespnd par eemple à la superpsitin de 8 ndes planes, ce qu n peut cnstater à partir du dévelppement : csk csk y y csk z z = (e jk + e jk )(e jk yy + e jk yy )/8(e jk zz + e jk zz ) (1.21) Le nmbre de mdes cntribuant à la répnse de la cavité à une fréquence élevée fait qu n peut effectivement cnsidérer la pressin cmme due à un grand nmbre d nde planes. On cnsidère suvent que la fréquence à partir de laquelle le champ peut être cnsidéré cmme diffus dans une cavité est la fréquence de Schreder, fréquence pur laquelle le nmbre myen de fréquences de résnance dans la bande passante à -3dB d une résnance quelcnque est égal à 3. Cette fréquence peut être évaluée par f Sch = 2000(T 60 /V) 1/2 ù V est le vlume de
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 18 la cavité et T 60 le temps de réverbératin nécessaire à une décrissance du bruit de 60dB après etinctin des surces. Une prpriété imprtante des champs diffus pur la mise en œuvre pratique d un système de cntrôle actif cncerne la crrélatin entre les pressins mesurées en deu pints distincts. Sus les hypthèses de champ diffus n mntre que cette crrélatin n est fnctin que de la distance r entre deu pints et qu elle est de la frme : γ( r) = < p(r)p(r+ r) > < p(r) 2 > = sinck r = sink r k r (1.22) ù <. > désigne l pératin de myenne spatiale. On verra au chapitre 2 l influence que peut avir une telle fnctin de crrélatin sur l efficacité d un dispsitif pratique de cntrôle actif. 1.4 Cntrôle avec un grand nmbre de surces 1.4.1 Cntrôle glbal d un côté d une surface fermée On a vu en sectin 1.1 que l annulatin avec un mnpôle de la pressin en un pint ne cnduisait à une réductin significative du bruit qu en une zne de l espace très étrite. Lrsqu n utilise plusieurs pints de minimisatin et plusieurs surces secndaires, n btient plusieurs znes d atténuatin qui peuvent être jintives si les pints de minimisatin snt suffisamment prches les uns des autres ; de cette façn n peut étendre, dans une certaine mesure, la zne de minimisatin. Une situatin très intéressante apparaît lrsque les znes ù le bruit a été frtement réduit frment une surface fermée S avec les surces primaires et secndaires situées du même côté de cette surface. En effet, la seule slutin à l équatin d Helmhltz avec pressin nulle au brd (prblème de Dirichlet hmgène ) est p = 0 dans tut le dmaine, sauf au fréquences de résnance du vlume délimité par la surface. Par cnséquent, assurer p = 0 sur S assure p = 0 dans tut le vlume situé de l autre côté des surces par rapprt à S en dehrs de ces fréquences. Pur assurer p = 0 dans le vlume au fréquences de résnance, il est nécessaire d impser p = 0 dans le vlume u p n = 0 à sa surface en un nmbre de pints suffisants 2. La figure 1.6 mntre, pur différentes fréquences, le cntrôle btenu dans un disque à l aide de 32 surces secndaires et de 32 pints de minimisatin lrsque le bruit primaire est une nde plane. Cette simulatin de cntrôle a été faite en 2D, la fnctin de Green étant en 2D de la frme j 4 H(2) 0 (kr). On cnstate qu une atténuatin imprtante du bruit à l intérieur du plygne défini par les pints de minimisatin est pssible ; il apparaît que pur cela deu pints de minimisatin par lngueur d nde snt nécessaires le lng du plygne de pints de minimisatin. D une façn plus frmelle, la pressin sur une surface fermée S ne cntenant pas de surce est reliée à celle dans le vlume qu elle délimite par une représentatin intégrale du champ : p(m) = S G(M,M ) n p(m ) p(m ) n G(M,M )dm (1.23) 2 ce prcédé n est pas sans analgie avec la méthde CHIEF utiliser pur traiter les "fréquences singulières" rencntrées dans les méthdes d éléments finis de frntière
CHAPITRE 1. CONTRÔLE ACTIF ET ACOUSTIQUE 19 4 micrphnes par lngueur d nde 10 5 0 5 10 15 20 25 30 3 micrphnes par lngueur d nde 10 5 0 5 10 15 20 25 30 2 micrphnes par lngueur d nde 10 5 0 5 10 15 20 25 30 1 micrphnes par lngueur d nde 10 5 0 5 10 15 20 25 30 FIG. 1.6 Atténuatin avec 32 mnpôles () du bruit prduit en 2D par une nde plane en 32 pints ()