Coecon exmen Auomes 011-01 1e jun 01 - heues Les documens son neds. Les execces son ndéendns. On ou dmee l éonse à une ueson ou sse à l ueson suvne. Execce 1. 1. Clcule l uome mnml du lngge comlémene de ( + ( + ) ).. Losu on clcule l uome mnml du lngge comlémene econnu un uome A, fu-l : ) clcule d od l uome mnml us comlémene ; ) clcule d od le comlémene us l uome mnml ; c) l ode n s d monce. Jusfe. 1. Pou cee exesson, on eu decemen ouve un uome econnssn le lngge :, L uome es déemnse, ou comlémene, l suff de le comlée, s, us de ende les és emnux non-emnux e vce-ves, s,
On mnmze le ésul. Au dé on les és emnux d un côé e les és non emnux de l ue. 0 :, s, S on egde les nsons éueées, on oen s s e s von donc dns des és u ennen à des clsses dsnces. S on egde les nsons éueées, s s s e von dns des és u ennen à l même clsse e von donc ese goue. Fnlemen, 1 : s, Pou clcule, l suff de egde s e esen goués, ce u es le cs, donc 1 =. Fnlemen, l uome mnml du comlémene es donc,, s On eu émonde, ms l uome mnml es nomlemen comle.,. Il es eu ès évden ue s on comlémene us on mnmse on oen le on ésul. Dns l ue ode, l fu véfe ue s on comlémene un uome mnml, on oen encoe un uome mnml. S on lue l mnmson à un uome mnml, ous les és se ouven séés. S on sse u comlémene, l déemnson v se déoule excemen de l même mnèe, usue l emèe ée consse à sée les és emnux e non-emnux e ue donc les deux goues son les mêmes dns l uome e dns son comlémene ; l sue de l lgohme déend unuemen des nsons e celles-c n on s chngé. Donc on eu commence mnmse us sse u comlémene : les deux odes son ossles. Execce. Clcule une exesson onnelle eésenn le lngge econnu
On eu ose un sysème décvn les lngges ssocés à chue é : P = Q + R Q = Q + P + R = P + Q On eu emlce R s vleu dns P e clcule Q en foncon de P gâce u lemme d Aden : P = Q + (P + Q) = P + ( + )Q Q = (P + ) R = P + Q Fnlemen, on oen P = P +(+) (P +) = (+(+) )P +(+) donc, le lemme d Aden, P = ( + ( + ) ) ( + ). Comme es l unue é nl, l exesson de P eésene le lngge econnu. On eu snon ulse l élmnon d és : + ( + ) + ( + ) ( + ( + ) ) ( + ) On ouve l exesson ( + ( + ) ) ( + ). Execce. Clcule un uome émondé econnssn l nesecon des lngges econnus les deux uomes c-dessous :
1 Il fu ou d od sume les -nsons du eme uome. Succ (1) = {} Succ () = {1, } Succ () = Pou ou é, ou ou -successeu de, ou oue flèche u de, on joue une flèche u de e u v u même endo. 1 On eu mnenn clcule l nesecon (nule de déemnse). 1,,,,, L uome es émondé. Execce 4. 1. Un uome es co-déemnse, s l u lus un é emnl e, ou oue lee, l y u lus une nson éueée u ve dns chue é. Le mo d un uome es l uome oenu en eounn oues les nsons e en emlçn les flèches fnles des flèches nles e vce-ves. Que eu-on de du mo d un uome co-déemnse?. Un mo w es dns le fuu d un é s l éuèe un chemn de à un é fnl. Mone ue dns un uome co-déemnse, un mo ne eu s êe dns le fuu de deux és dfféens. 4
. So A un uome e de(a) l uome déemnsé de A. Exlue ouuo s un mo w es dns le fuu d un é de A, l es uss dns le fuu de ou é de de(a) u conen. 4. Mone ue s A es un uome co-déemnse, e s X e Y son deux és dfféens de de(a), l exse u mons un mo u es dns le fuu de l un des deux és e s dns le fuu de l ue. En dédue ue le déemnsé d un uome co-déemnse es un uome mnml. 5. Clcule l uome mnml du lngge econnu l uome c-dessous :, 1 4 5 7 6 6. Poose un lgohme u eme à d un uome uelconue de clcule l uome mnml sns cheche les és smles. 1. S on end le mo d un uome co-déemnse, on oen un uome vec u lus un é emnl e, ou oue lee, u lus une nson éueée u so de chue é. C es l défnon d un uome déemnse. Le mo d un uome co-déemnse es donc un uome déemnse.. Penons un mo w uelconue. S on l w de doe à guche, e ue dns l uome codéemnse on de l é fnl e u on emone les nsons, on ne eu ve (u lus) ue dns un seul é ; w n es donc ue dns le fuu de ce é. Aue euve. Suosons u l exse deux és e dsncs d un uome co-déemnse u on le même mo w dns leu fuu. Comme l n y u un seul é emnl, Les chemns éueés w u en de e ven dns le même é fnl ; l se ejognen donc uelue, dns un é. Il y donc un chemn de à éueé un cen mo u e un chemn de à éueé le même mo u, ns u un mo v dns le fuu de el ue w = uv. Comme e son dsncs, u n es s le mo vde e comme es le on de joncon, les chemns de à e de à éueés u ven su des nsons dfféenes éueées l même lee (l denèe lee de u). C es mossle c l uome es co-déemnse, d où condcon.. Suosons ue w es dns le fuu d un é de A, on los w 1 w w 1... n w S P es un é du déemnsé de A, los défnon de l déemnson, 1 es un é du successeu P 1 de P w 1, es un é du successeu P de P 1 w, ec. On 5
donc P w 1 w P w 1... n P w P lleus, P w conen w u es fnl e es donc un é fnl. Donc w en u fuu de P. 4. Récouemen, s w es dns le fuu d un é P du déemnsé, los l es dns le fuu d un des és de P. On eu le mone écuence su l longueu de w. S w =, P es fnl e conen donc un é fnl ; es dns le fuu de ou é fnl. S w = w. Consdéons P le successeu de P. P hyohèse de écuence, P ossède un é dns le fuu duuel se ouve w. P défnon de l déemnson, l exse u mons un é de P don es un successeu ; w es donc dns le fuu de ce é. S A es un uome co-déemnse, les fuus de ses és son dsjons. S X e Y son des és du déemnsé, l exse un é u es exemle dns X e s dns Y (ou le cone). Tou mo w u es dns le fuu de se los dns le fuu de X ms s dns celu de Y (ou le cone). Fnlemen, ous les és du déemnsé d uome co-déemnse on des fuus dfféens, ce u es une ccésue de l uome mnml. 5. Comme l uome es co-déemnse, l suff de le déemnse ou oen un uome mnml. 1, 4, 5, 7, 5, 6, 7, 4, 6, 7 6. Pou clcule un uome à d un uome co-déemnsé, l suff de déemnse. A d un uome uelconue, on eu clcule le mo déemnse clcule le mo déemnse Comme le mo d un uome déemnse es co-déemnse, ès les os emèes ées, on oen un uome co-déemnse u econnî le mo du mo, c es-à-de le lngge de dé. Ces ue ées emeen donc de clcule l uome mnml. 6