RESOLUTION D'UN PROBLEME THERMIQUE INVERSE POUR LA DETERMINATION DES DEFAUTS A L'INTERIEUR D UN CORPS SOLIDE

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1 REUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRAIQUE E OULAIRE MINISERE DE L ENSEIGNEMEN SUERIEUR E DE LA RECHERCHE SCIENIFIQUE UNIVERSIE FERHA ABBAS-SEIF MEMOIRE ésené à l Fculé des Scences Dépemen de hysque ou l Obenon du Dplôme de MAGISER Opon : Enegéque e Mécnque des Fludes KESSAI ABDELKRIM HEME RESOLUION D'UN ROBLEME HERMIQUE INVERSE OUR LA DEERMINAION DES DEFAUS A L'INERIEUR D UN CORS SOLIDE Souenu le : Devn le Juy Composé p : ésden : D K. Kssl ofesseu Unvesé de Séf Rppoeu : D M. Guelll Me de Conféences A Unvesé de Séf Emneu: D M. Cheg ofesseu Unvesé de Séf Emneu: D S. Ncef ofesseu Unvesé de Séf

2 ble des Mèes Nomenclue Inoducon généle Chpe I : Eude bblogphque Les dfféenes méhodes de conôle non desucf dns les cops soldes Les défus Les défus de sufce Les défus nenes ncpe de l déecon d un défu Ressuge océdés à flu de fue mgnéque Couns de Foucul Rdogphe e echnques connees Ulsons L hemo-déecon L phoodéecon Méhode modulée Méhode mpulsonnelle méhode flsh Conôle hemque non desucf..... Génélés su les méhodes nveses Défnon Foncon ml posée u sens d Hdmd Esence de l soluon Uncé de l soluon Sblé vs-à-vs des fbles vons Applcon de l méhode dns dfféens domnes oblèmes nveses en ssmque oblèmes nveses en hydogéologe Applcons hemques Chpe II : Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Inoducon Méhodes de ésoluon en égme pemnen.... 3

3 .. Méhodes deces Méhode de sépons de vbles conducon en mleu lmé Méhode du coeffcen de fome Méhodes de ésoluon en égme vble Mleu à empéue unfome Méhodes de sépon de vbles Cs d un mleu sem nfn vec une empéue snusoïdle mposée en sufce égme péodque ébl Cs d une plque plne soumse à une empéue consne Cs d une géomée cylndque Méhode bsée su l nsfomée de Lplce Cs d une empéue consne mposée su un mleu sem-nfn Mleu vec chngemen d é Méhode des qudpôles Méhodes numéques Méhode des dfféences fnes Méhodes des élémens fns Méhode nlogque Méhode gphque Concluson Chpe III : Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Inoducon Cs d un méu de fome plne Fomulon mhémque Cs d une plque plne sns pésence de défu Cs d une plque plne en pésence d un défu Résoluon numéque Cs sns défu Cs de pésence de défu Cs d un méu de fome cylndque Fomulon mhémque Cs sns défu Cs de pésence de défu

4 3.. Résoluon numéque Cs sns défu Cs vec défu Cs d un solde de conducvé hemque non unfome Résuls e dscussons Cs d un cylnde ceu conenn un défu Cs d une plque plne conenn un défu Cs d un cylnde de conducvé hemque non unfome Concluson Chpe IV : Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Inoducon Fomulon du poblème dec oblème nvese e méhode d opmson Clcul de von Défnon de l dévée deconnelle oblème de sensblé ofondeu de descene L équon du poblème don e l équon du gden du cèe L équon done Gden du cèe Mnmson du cèe Méhode du gden conugué Fomulon d un poblème ece Résoluon numéque du poblème dec Résoluon numéque du poblème dec Résoluon numéque de l équon done Résoluon numéque de l équon de sensblé Résuls e dscussons Concluson Concluson généle..... Réféence bblogphques.... 5

5 Lse des Fgues Fgue I- b c: ncpe de l méhode de essuge p lqude pénén pé émulsfé 7 Fgue I- : Conôle p mgnéoscope 8 Fgue I-3 b: ncpe de l déecon p couns de Foucul 9 Fgue I-4 : les yons X son des yons onsn à ès coue longueu d onde Fgue I-5 : pncpe du conôle p dogphe Fgue I-6 : pncpe du conôle p ulsons Fgue I-7: spece élecomgnéque 3 Fgue I-8 : Dsposf à econ p lmpes hlogènes 5 Fgue I-9 : Dsposf à econ p lmpes flshs 6 Fgue I- : ncpe du dffusvmèe 7 Fgue I- : Eemple de hemogmme 8 Fgue I- : Le modèle hemque 8 Fgue I-3 : Allue de l éponse en empéue 9 Fgue I-4 : Méu vec défu Fgue I-5: Von de dfféence de empéue en foncon de emps pou dfféenes épsseus e posons de défu. Fgue I-6 : oblème dece e nvese 3 Fgue I-7 : Esence de l soluon 4 Fgue II- : ncpe de l méhode de sépon de vbles 35 Fgue II- : Soluon du sysème α 37 Fgue II-3 : Méhode de cœffcens de fome 38 Fgue II-4 : empéue snusoïdle mposée en sufce en égme péodque ébl 4 Fgue II-5 : lque plne sou mse à une empéue consne 4 Fgue II-6 : Soluon gphque de l équon nscendne 47 Fgue II-7 : empéue unfome mpose su mleu sem -nfne 5 Fgue II-8 : Ecoulemen undeconnel dns un mu pln 54 Fgue II-9 : Résoluon ece e numéque du poblème de conducon hemque non sonne pou un mu pln. 58 Fgue II- : Domne pln dscésée en élémens eles ene eu p 5 nœuds 6 Fgue II-: Evoluon des empéues dns un mleu sem nfn 65 Fgue III- : ncpe de consevon de flu de chleu 67

6 Fgue III- : lque plne en pésence de défu 69 Fgue III-3 : Sphèe ceuse ulsée 73 Fgue III-4 : Evoluon de l empéue en foncon du yon. Cylnde R /R e.66/ sns défu 8 Fgue III-5: Evoluon de l empéue en foncon du emps Cylnde R /R e.66/ sns défu 8 Fgue III-6 : Evoluon de l empéue en foncon du yon. Cylnde R /R e.66/ vec défu R /R.833/.9 8 Fgue III-7: Evoluon de l empéue en foncon du emps. Cylnde R /R e.66/ vec défu R /R.833/.9 8 Fgue III-8 : Evoluon de l empéue en foncon du yon à.. 83 Fgue III-9 : Evoluon de l empéue en foncon du emps pou Fgue III- : Evoluon de l empéue en foncon de l poson. lque plne sns défu 84 Fgue III- : Evoluon de l empéue en foncon de l poson. lque plne vec défu.7 e.8 84 Fgue III- : Evoluon de l empéue en foncon de l poson à Fgue III-3 : Von de l empéue en foncon du emps pou une conducvé hemque non unfome 85 Fgue IV- Le sysème éel e le modèle numéque dns une ppoche opmle de ype monde cée 9 Fgue IV- : Von de l empéue en foncon de l poson u emps.99 5 Fgue VI-3 : Conducvé hemque ece e clculée poblème nvese 7 Fgue IV-4 : empéue ece e clculée poblème nvese 7 Fgue IV-5: Evoluon de E en foncon de 9 Fgue IV-6 : Evoluon de E en foncon de K Fgue VI-7: Evoluon de cc Cèe en foncon de K

7 Lse des bleu bleu II- : Vleus des coeffcens de fome de conducon 39 bleu II- : nsfomon d Lplce nvese 49 bleu IV- : Eeu elve su l empéue ece e l empéue clculée. 6 bleu IV- : Evoluon du cèe en foncon de nombe d éon 8

8 NOMENCLAURE Dffusvé hemque ρ c m /s hl B Nombe de Bo B c Cpcé clofque J/K.g D Dmèe m e Epsseu m F Nombe de Foue F l h Coeffcen de nsfe de chleu p convecon W/m.K E Eeu bsolue ene l empéue esmé e l empéue ece K E Eeu elve su l empéue % E Eeu elve su l conducvé hemque % F Coeffcen de fome m J Cèe l Longueu ccésque du mleu m Nombe mgne qs Souce nene de chleu w/m 3 K Nombe d éons Vble done R Ryon m Ryon dmensonnel R Ryon ccésque néeue eéeue m S Sufce m empéue C emps s V Volume m 3 y z Vbles d espce dmensonnelles Y empéue dmensonnelle ece yn I n Foncon de Bessel d ode n

9 LERES GRECQUES s de emps s y s d espce m J Von du cèe θ empéue dmensonnée Conducvé hemque W/m.K φ flu de chleu W τ Consne dmensonnelle du emps ρ Msse volumque g/m 3 Von de l empéue K Von de l conducvé hemque W/m.K θ p nsfomée de Lplce de l empéue

10 Inoducon généle

11 INRODUCION GENERALE Auoud hu on ssse à une demnde ès mpone e génélsée povenn de ous les seceus ndusels de l qulé qu es un fceu vl pou les enepses confonées à l concuence. Devn cee élé l ssunce qulé s es mplnée dns les enepses sous l fome d une ognson vsn à ep e à mnmse les fceus de non qulé. Les méu composés on un néê mpon pou l'nduse e l connssnce de leus ccésques es plus qu ndspensble. Souven une nomle nene dns leus sucues modfe foemen leus popéés physques. Le clcul hemque es cpble de évéle l pésence d'un défu su e/ou l néeu de l po de ces méu. ou déece un défu on souven ecous u méhodes de conôle non desucf qu consse à nlyse les dveses sucues p l éude de leus éponses u econs hemques e ébl des elons ene ces éponses e les mpefecons qu elles conennen. Les conôles non desucfs C.N.D én un moyen d évlue un spec de l qulé des méu son donc plus lgemen ulsés e voen ns leus pefomnces à l épeuve d une gnde véé de poblème. En ngénee les données epémenles à elles seules ne pemeen ps d ccéde dns cens cs à oues les nfomons don on beson. On los ecous à des méhodes numéques pemen d eploe les mesues epémenles. Cec consue un poblème nvese qu de p s consucon es souven ml posé : Il es los nécesse d nodue des echnques numéques de ésoluon. Dns ce vl on popose d ulse une méhode numéque pou smule les éponses hemques dns le bu d oben les ccésques du défu dns un méu solde. Les noons de bse elves u méhodes nveses e leu ulson fon églemen l obe de ce vl. Nous vons dvsé ce mémoe en que pes dsnces : Dns le peme chpe nous pésenons les dfféenes méhodes de conôle non desucf ulsées dns dfféenes pplcons nduselles. Le second chpe e l ésoluon de l équon de l conducon de l chleu génélsée pou les deu cs sonne e vble p dfféenes méhodes nlyques e numéques. Les cho de dfféenes méhodes son ps en compe dns le bu d vo des ésuls pécs e ssfsns. Le osème chpe concene une éude numéque du phénomène de l popgon de l chleu dns dfféenes géomées plne cylndque dns le bu d nlyse l pésence de défu.

12 L fn de ce chpe es conscée à l mse en plce e à l descpon de l lgohme de ésoluon du poblème é vsn à loclse l zone défu en dfféenes géomées à p des esss numéques de empéue e ce dns le bu d une melleue compéhenson du compoemen hemque dns le cs d un cops hééogène. Le quème chpe de ce vl es conscé à l econsuon sple de l foncon de l conducon de chleu p méhode nvese. ou ende ce obecf l méhode done éé employée fn d epme sous fome d un lgohme l équon dfféenelle en égme vble dusn le phénomène de nsfe de chleu p conducon. Cee équon es nsfomée p l méhode numéque de dfféences fnes en un pogmme numéque. Le sysème soums à des condons u lmes sous fome d econ p densé de flu de chleu su les deu pos es dscésé dns l espce e le emps. Des ess numéques on pems de vlde l méhode. Enfn nous ons les pncples conclusons qu occsonne ce vl. 3

13 Chpe I Eude bblogphque Chpe I Eude bblogphque 4

14 Chpe I Eude bblogphque. LES DIFFERENES MEHODES DE CONROLE NON DESRUCIF DANS LES CORS SOLIDES Le Conôle Non Desucf CND pou obecf de mee en évdence les défus ou en pésevn l négé des podus conôlés. Il consse à echeche les défus des sucues méu pèces e ssemblges. Les echnques de CND son ulsées en conôle de qulé pou s ssue de l qulé d une poducon pus de gn l enue en sevce des pèces e des ensembles fbqués. Elles son églemen ès ppécées en mnennce. Elles pemeen de véfe l connué de l mèe e donc de décele le mnque de mèe les fssues e l pésence de cops énges... Les défus Déece un défu dns une pèce c es physquemen mee en évdence une hééogénéé de mèe une von locle de popéé physque ou chmque péudcble u bon emplo de celle-c. On l hbude de clsse les défus en deu gndes cégoes lées à leu emplcemen : les défus de sufce e les défus nenes.... Les défus de sufce Ils son ccessbles à l obsevon dece ms ps ouous vsbles à l œl nu peuven se clsse en deu cégoes dsnces : les défus poncuels e les défus d spec. - l pemèe cégoe coespond u défus poncuels ce son les plus nocfs su le pln echnologque pusqu l s g des cques pqûes fssues cquelues génélemen pes à povoque à eme l upue de l pèce en nn p eemple des fssues de fgue. Dns les pèces méllques l épsseu de ces fssues es souven nfme quelques µm e elles peuven êe nocves dès que leu pofondeu dépsse quelques dèmes de mllmèe ce qu mplque l emplo pou leu déecon de méhodes non desucves sensbles. - l seconde cégoe coespond u défus d spec c es-à-de à des plges dns lesquelles une von de pmèes géoméques ou physques ugosé suépsseu ches dveses e le egd e end le podu nulsble. Ic le conôle vsuel es possble ms on cheche à le emplce p des conôles opques uomques. 5

15 Chpe I Eude bblogphque... Les défus nenes Ce son des hééogénéés de nues de fomes de dmensons eêmemen vées loclsées dns le volume du cops à conôle. Leu nomenclue es ès éoffée e spécfque à chque bnche d cvé echnologque e nduselle. Dns les nduses des méu l s g de cques nenes de poosés de soufflues d nclusons dveses suscepbles d ffece l sné des pèces moulées fogées lmnées ou soudées... ncpe de l déecon d un défu Le pncpe de l déecon d un défu consse à ece celu-c e à ecuell s éponse schémquemen on peu génélemen dsngue les épes suvnes quelle que so l méhode employée : - mse en œuve d un pocessus physque énegéque - modulon ou léon de ce pocessus p les défus - déecon de ces modfcons p un cpeu ppopé - emen des sgnu e nepéon de l nfomon délvée Dfféens ypes d énege son employés en pque : énege mécnque ulsons essuge élecomgnéque doscope obsevon dns le vsble flu mgnéque... yonnemen lse ou flu hemque. Les echnques de CND son nombeuses. Cons : - l mgnéoscope - les couns de Foucul - les ulsons - l dogphe - l hemo-déecon - l phoo-déecon.3. Ressuge Le mécnsme de évélon des défus p essuge coespond u os phses llusées su l fgue I- : pplcon du pénén suve d un emps d mpégnon élmnon de l ecès du pénén su l sufce de l pèce essuge du pénén p dsposon d une couche de «évéleu» su l sufce. A l sue de quo l mge des défus ppî à l obseveu dns l mesue où l élemen du pénén su le évéleu condu à une nee von de couleu ou de lumnnce []. 6

16 Chpe I Eude bblogphque b Fgue I- b c: ncpe de l méhode de essuge p lqude pénén pé émulsfé : pplcon e pénéon dns les fssues du lqude pénén b : enlèvemen de l ecéden de pénén p lvge c : le évéleu e le pénén eenu p les fssues c Cee echnque ulse essenellemen deu echnques de çge du pénén en essuge: le çge coloé e le çge fluoescen ; le peme mplque l ulson d un évéleu à fond blnc su lequel on vsulse des empenes de défus génélemen coloées en ouge ; le second mplque un emen f en lumèe noe dns l obscué u cous duquel les défus son évélés p une fluoescence ecée p un poeceu de yons ulvoles UV. Ce deuème ype de pocédé condu pesque ouous à de melleues pefomnces de déecon que celles obenues vec l ulson des ceus coloés u p ouefos de condons d emen opque plus congnnes. Comme concluson on peu de que l méhode de essuge es bsée su l effe de cpllé elle déece les défus fns débouchn su l sufce ; elle es ulsée pou le conol mnuel des podus à sufce ccessble son pncpl défu es qu elle es peu qunve. 7

17 Chpe I Eude bblogphque.4. océdés à flu de fue mgnéque L héoe des ccus mgnéques ndque que l pésence d un enefe coespond à un fo ccossemen locl de l élucnce du ccu e donc de l dfféence de poenel mgnéque D..M. consun ns un obscle u flu mgnéque don les lgnes de foce doven los s épnou lélemen selon un flu de fue comme l ndque l fgue I-. Ce effe de dspeson des lgnes de flu s eece même pou un enefe mnme dns l mesue où le ppo des élucnces ene l enefe e le ccu es nvesemen popoonnel à l peméblé elve de celu-c so un ppo de 5 à pou un ccu feomgnéque en ce ecé en deçà de l suon []. Ce effe de dspeson d un flu mgnéque hos d une pèce feomgnéque u do d une fssue débouchn ou sous-cunée ou oue ue hééogénéé non feomgnéque se compon comme un enefe es à l bse d une gmme de pocédés mgnéques de déecon des défus de sufce dns les ces don le plus connu e le plus employé es l mgnéoscope. Fgue I- : Conôle p mgnéoscope Ces pocédés mgnéques dffèen ene eu pncplemen p le mode de mse en évdence du flu de fue mgnéque coespondn à l dspeson de flu déce cdessus. En mgnéoscope on obseve vsuellemen une ccumulon de poude de fe ou de mgnée coloée e povoquée p le flu de fue. En Mgnéogphe on ecuelle l ce mgnéque du flu de fue su un flm une bnde ou une pâe d empene mgnésble ; les ues pocédés son egoupés sous le vocble déeceu à flu de fue 8

18 Chpe I Eude bblogphque mgnec lege flu esng ; l s g génélemen d ppels de conôle uomque de bes e de ubes d ce men en œuve des déeceus poncuels de flu élecomgnéques..5. Couns de Foucul Losque l on plce un cops conduceu dns un chmp mgnéque vble dns le emps ou dns l espce des couns ndus se développen en ccu femé à l néeu de celu-c ce son les couns de Foucul Foucul: physcen fnçs [3]. Ans une bobne pcouue p un coun vble lenf p eemple génèe de els couns ndus qu cén eu-mêmes un flu mgnéque s opposn u flu généeu modfen p là-même l mpédnce de cee bobne. C es l nlyse de cee von d mpédnce qu foun les ndcons eplobles pou un conôle ; en effe le e l épon e l nensé des couns de Foucul dépenden des ccésques physques e géoméques du cops consdéé ns ben enendu que des condons d econ pmèes élecques e géoméques du bobnge. On conço dès los qu un défu consun une dsconnué élecque venn peube l cculon des couns de Foucul pusse engende une von d mpédnce décelble u nveu de l bobne d econ ou de ou ue bobnge sué dns le chmp. Cee méhode vlble pou les méu conduceus d éleccé une ès gnde sensblé. b Fgue I-3 b : ncpe de l déecon p couns de Foucul : pèce sns défu b : pèce vec défu : modfcon du e des coun de Foucul 9

19 Chpe I Eude bblogphque.6. Rdogphe e echnques connees L emen d un obe p dogphe consse à le fe vese p un yonnemen élecomgnéque de ès coue longueu d onde yons X ou γ e à ecuell les modulons d nensé du fsceu sous fome d une mge su un écepeu ppopé un flm dns l plup des cs comme l lluse l Fgue I-4. Selon le même pncpe on peu oben des mges en ulsn d ues pcules que les phoons e ns mee en œuve des echnques comme l neuonogphe [4]. Fgue I-4 : Emen p yons X. Fgue I-5 : ncpe du conôle p dogphe

20 Chpe I Eude bblogphque Les yonnemens de même nue ms d ogne dfféene les yons X e γ son des ondes élecomgnéques de ès coues longueus d ondes compses ene envon pm e pm. On ccése coummen ces yonnemens p l énege une E des phoons ssocés epmée en éleconvols ev. S l on epme E en MeV e l longueu.4 d onde en pm on e de l elon du phoon : ε hν l elon pque : ε Où h es l consne de lnc ν l féquence de l onde. Les éneges equses en conôle non desucf se suen dns une gmme lln de 5 ev à MeV. Dveses méhodes de yonnemen onsn peuven ese : Rdogphe X dogphe γ doscope en emps éel e l omogphe X. Le pncpe physque es l énuon d un flu dns le bu de ccése les défus nenes pplqués pou le conôle de sucues non méllques cs omogphe X ce ype de ccéson ege des condons ben spécfques..7. Ulsons Les ulsons son des vbons mécnques penn nssnce e se popgen dns ou suppo méel solde lqude ou gz pésenn une cene élscé. Conemen u echnques pécédenes le conôle p ulsons se pêe ben u conôle du cœu de pèces même ès épsses usqu à pluseus mèes. Le pncpe es smple : un duceu éme une mpulson ulsonoe qu se popge à l néeu du méu à conôle pus se éfléch su les obscles pésens défus fces de l pèce... les échos evennen ensue à l sufce. Connssn l vesse de popgon des ulsons dns le méu e le emps lle-eou d une mpulson ulsonoe envoyée p le nsduceu on en dédu l dsnce pcouue p cee mpulson pus défn l pofondeu du défu [5]. Les mpulsons ulsonoes son en f des fles d ondes ulsonoes don l féquence es chose en foncon des ccésques du méu à conôle on vlle en génél à des féquences compses ene e MHz. Les vesses de popgon des ulsons son élevées p eemple 594 m/s pou les ondes longudnles dns l ce e les dsnces pcouues son elvemen pees l éc ene les échos es fble l fu donc dspose d une éleconque ssez pde pou pouvo élse cee dscmnon ene les échos. L obecf du conôle p ulsons es d êe cen de ecuell ous les échos dus à des défus; comme les mpulsons vn su un défu obéssen u los de l

21 Chpe I Eude bblogphque éfleon l ngle de éfleon dépend de l oenon du défu. ou êe sû de ne ps pede des échos on peu êe mené à ulse pluseus nsduceus pou l écepon e non plus un seul qu se à l fos à l émsson e à l écepon. Au féquences ulsées les ulsons ne se popgen ps dns l pou ssue le pssge des ulsons ene le duceu e l pèce à conôle l fu plce ene eu un mleu coupln un lqude gsse hule gels: Fgue I-6 : ncpe du conôle p ulsons m les echnques CND esnes nous nous néessons ou pculèemen à l hemogphe nfouge hemo-déecon e à l phoo-déecon qu pésenen des néês meus..8. L hemo-déecon L hemogphe nfouge es une echnque qu peme de vsulse e mesue l énege hemque chleu émse ou nsmse p un obe elle se pncplemen à denfe les zones de pees de chleu p sue de défus. Les domnes d pplcon son nombeu p eemple : l déecon des défus d'solon d un bâmen le epége des condues de chuffge e d eu l echeche de fues dns les cnlsons encsées chuffge p le sol l déecon de zones humdes nvsbles à l œl nu e l déecon des pons hemques. Cee echnque es de non desucve c le yonnemen IR se déece à dsnce sns vo beson de démol ou de démone une nsllon pou ébl le dgnosc. Le pncpe de l hemogphe nfouge epose su le phénomène physque selon lequel chque cops don l empéue es supéeue à zéo K éme un yonnemen élecomgnéque.

22 Chpe I Eude bblogphque Chque cops éme donc son pope yonnemen qu dépend decemen de s empéue e de s nue noon d émssvé des méu [6]. Fgue I-7: Spece élecomgnéque ou obe même fod comme l glce éme un yonnemen nfouge popoonnel à s empéue plus l empéue de l obe es élevée plus l émsson es nense. Les obes ès chuds émeen des yonnemens vsbles los que les obes plus fods n'émeen que des nfouges nvsbles à l'œl nu d'où l'nevenon de l cmé nfouge qu emplce l'œl humn. L hemogphe nfouge peme l mesue de empéue de sufce e ses vons empoelles e sples su les échnllons emnés. L ulson d'une cmé d'mgee e de mesue nfouge IR pou vo e mesue l'énege hemque émse p un cops s'ppelle l hemogphe. L cmé nfouge pou foncon de cpe les yonnemens nfouges d'enegse les nfomons physques pou les nsfome en mges vsbles. Les cmés son équpées de cpeus cpbles de pecevo les yonnemens nfouges e de les conve en un sgnl élecque. On ouve essenellemen deu ypes de déeceus : - le déeceu hemque p eemple pyoélecque es ecé p le flu eçu e s'échuffe. L une de ses popéés physques éssnce ve vec l empéue ce qu povoque une von du sgnl élecque ssu du cpeu. - le déeceu qunque phoo volïque ou phooconduceu délve lu un sgnl popoonnel u nombe de phoons eçus. Il es plus pde que le déeceu hemque e es ulsé de péféence dns les cmés los que le déeceu hemque es pluô ésevé u mgeus hemogphe non qunve [7]. L hemodéecon s es mposée comme l méhode de éféence pou le conôle de nombeuses pplcons elles que le conôle d nsllons élecques ou le conôle de l solon hemque des bâmens. Dns ce ype d pplcons les élémens des scènes hemques obsevées son nuellemen émeeus de chleu. C es p l obsevon des 3

23 Chpe I Eude bblogphque vons de flu hemque dns l scène que l opéeu effecue le dgnosc. En evnche dns le cs des pplcons hbuellemen enconées en conôle non desucf les élémens à conôle pèces ssemblges ne génèen ps sponnémen de l chleu. L dée es los de soumee l pèce à une econ hemque eéeue on ple los de l phoodéecon..9. L hoodéecon Les méhodes phoohemques de ccéson se ngen en deu gndes cégoes : les méhodes mpulsonnelles ou méhodes «flsh» l econ es nense e bève e les méhodes modulées l econ es péodque[8]. Chque fmlle ses vnges e ses nconvénens : - dns l méhode mpulsonnelle une gnde quné d énege es déposée dns un lps de emps ès cou ms on écupèe en cone pe des nfomons su une lge gmme de féquences. - dns l méhode modulée l énege déposée es monde ms on ne connî l éponse du méu qu à une seule féquence ben pécse. Les moyens d econ qu son cuellemen développés son pésenés su les Fgues I-8 e I-9. Le cho de l souce d econ e de ses pmèes duée mplude féquence oue un ôle mpon en foncon du méu de l lle de l pofondeu e de l nue du défu à déece..9.. Méhode modulée Il es péconsé d ulse une souce d econ lumneuse de ype hlogène modulée en féquence pou mee en évdence des délmnges dns les méu composes. En evnche l esmon d épsseus de evêemens es pluô élsée à l de de lmpes flsh don l énege es supéeue à J su une duée d envon ms. 4

24 Chpe I Eude bblogphque Fgue I-8 : Dsposf à econ p lmpes hlogènes..9.. Méhode mpulsonnelle Méhode flsh C es en 96 qu ppî le peme cle su l méhode flsh [8]. L méhode "flsh fce èe" s'pplque à des échnllons soldes bons conduceus de l chleu e de pees dmensons cm à 3 mm d'épsseu. Le sysème d'cquson es consué d'un hemocouple Chomel-Alumel à conc sépé d'un mplfceu d'un osclloscope e d'un ppel phoo poloïd. L'mpulson hemque es podue p un ube à écls de 4 Joules [9]. Les méloons u nveu de l'mpulson son venues u pof des echnques d denfcon les lses von fe leu ppon. Les hemocouples à semconduceu von uss fe leu ppon 35 µv/k u leu de 4 µv/k ns que des eensons ves les hues e bsses empéues. 5

25 Chpe I Eude bblogphque Fgue I-9 : Dsposf à econ p lmpes flsh ncpe de mesue p l méhode flsh : Cee méhode mpulsonnelle consse à podue une bève mpulson hemque su l fce vn d'une épouvee cylndque e à mesue l'évoluon de l empéue en foncon du emps hemogmme su l fce èe de cee même épouvee. L épouvee es plcée dns un fou e es mnenue à empéue consne sous mosphèe neue Fgue I-9. L mpulson de flu hemque es généée p un lse mpulsonnel don le dmèe du fsceu es égl à celu de l épouvee e don l duée de l mpulson < 5 ms es ès fble devn le emps ccésque de l mesue. Une phoodode peme de déemne le débu e l fome empoelle de l mpulson. Le hemogmme es mesué u moyen d un déeceu qunque de yonnemen. 6

26 Chpe I Eude bblogphque Fgue I- : pncpe du dffusvmèe. On s néesse à l ccéson des popéés hemophysques de l échnllon. Déemnon de pmèe hemophysque à p de l mge de hemogmme : L déemnon de l dffusvé hemque es élsée p denfcon du hemogmme epémenl à un modèle héoque à deu pmèes dffusvé hemque e nombe de Bo B epésenn les échnges hemques ene l épouvee e son envonnemen. Ce modèle héoque es obenu en ésolvn l'équon de l chleu dns le cs d une épouvee opque homogène e soope en supposn que : le modèle es lnée gndeus hemophysques ndépendnes de l empéue. les pees ene l'épouvee e son envonnemen son ccésées p un coeffcen d'échnge hemque unfome e consn dns le emps. - l'mpulson es une dsbuon empoelle de Dc. 7

27 Chpe I Eude bblogphque. Fgue I- : Eemple de hemogmme Une méhode hemque pou clcule les consnes hemophysques l conducvé hemque e l dffusvé hemque α es poposée p B. HAY e l. []: Une des fces de l échnllon à éude es soumse à un flu hemque lumneu ou nfouge de ès coue duée. Un suv de l évoluon de l empéue peme los de clcule l dffusvé. Le modèle hemque ulsé es consué d un mu d épsseu L de conducvé de dffusvé α e de empéue nle p. l fce L es mnenue à l empéue consne p nds que l fce es soumse à un flu de chleu q en céneu de duée Fgue I-. Fgue I- : Modèle hemque Qund le flu de chleu es pplqué l empéue en n mpoe quel pon du mu coî. Au bou d un cen emps dépendn de l poson pès l nnulon du flu l empéue psse p un mmum e décoî Fgue I-3. L mesue du emps m où l empéue en son mmum peme de emone à l dffusvé hemque. Le clcul 8

28 Chpe I Eude bblogphque de l soluon nlyque es effecué en ulsn l méhode de sépon des vbles e le pncpe de supeposon des soluons.. Fgue I-3 : Allue de l éponse en empéue L méhode flsh dns son pncpe es une echnque mpulsonnelle. Oue l denfcon de l dffusvé hemque elle peme d ccéde ndecemen à l conducvé hemque losque l cpcé mssque e l msse volumque son connues. Les méhodes d esmon de pmèes lées à l méhode flsh on éé ulsées en enn compe des ouls lés u méhodes d esmon de pmèes méhodes nveses. Des lbooes de echeche ulsen l méhode d esmon poposée p Degovnn [] fondée su l'denfcon de l dffusvé hemque à p des momens empoels pels d'ode e ssus du hemogmme epémenl du modèle. e L dffusvé hemque es los donnée p l elon suvne : F m m e es l épsseu de l épouvee. m e m - son les momens empoels déemnés à p du hemogmme epémenl.8 f nomé f Fgue I- comme su : m f d e m d. où. e.8 epésenen les emps nécesses à l fce èe de l épouvee pou ende especvemen % e 8 % de l mplude mmle du hemogmme ; F es l foncon d'denfcon qu s'éc sous l fome d'un polynôme en m - : F m b m n.8. 9

29 Chpe I Eude bblogphque où les emes b son les coeffcens du polynôme ; cee foncon es déemnée à l de de couples de momens empoels «héoques» m* e m* -. Ces momens son clculés * * pou dfféenes vleus de B en ulsn le modèle hemocnéque. m F m Au nveu des pplcons on commence à s'néesse à ue chose que l dffusvé hemque de méu homogènes... Conôle hemque Non Desucf Le conôle non desucf es une echnque qu peme l nlyse de dveses sucues p l éude de leus éponses u econs hemques e l éblssemen d une elon ene cee éponse e les mpefecons qu elles conennen. [] Les popéés hemo-physques d une sucue vec défu dffèen à celles d une sucue sne ce qu peme de dscene e de ccése le défu en compn le compoemen hemque des deu sucues. Le pncpe de cee echnque peu êe déc à ves l éude menée p S. Shnoun [3]; l ueu consdèe une plque plne d épsseu l e de lgeu L à l empéue nle. Le défu à l néeu de l sucue du méu es epésené p un chngemen de l nue du mleu ; c es une fssue ou flle emple d de dmenson e de géomée smple e égulèe plcé à une dsnce l de l fce d enée de l plque. Le méu es supposé homogène de popéés hemophysques dfféenes à celles de l couche d nomle. On pplque une densé de flu hemque φ à l enée du mu. L empéue de soe du mu es supposée consne. Les fces y e yl son solées e les éssnces de conc son néglgées. ou ese dns les condons de conducon monodeconnelle on suppose que le défu l même secon que l plque qu le conen. Fgue I- 4 : Méu vec défu

30 Chpe I Eude bblogphque L sucue es décomposée en os zones. Les zones I e II epésenen les pes homogènes e III de l zone du défu. Les éssnces de conc ene les couches son supposées néglgebles. Régon sns défu : ρ c li pou I l l ed l pou II e Le pncpe de l consevon de l'énege mpose des condons u lmes suvnes: I φ e p II φ I I l e p où I e II epésenen les empéues de nson dns l égons < < l e l < < l especvemen. Régon de défu : Le nsfe de chleu dns cee égon es déc p: d d ρ c l l ed l e p Où d epésene l empéue de nson de défu e l conducvé hemque de l zone de défu. - le conc én pf ene le défu e les deu zones on peu donc éce su les nefces de conc les empéues suvnes: e le flu de chleu: d l ou l e p d l ou l e p Les condons nles son données p: à Les sufces y e y L son solées : φ I pou p

31 Chpe I Eude bblogphque II à l e p L ésoluon numéque bsée su les dfféences fnes e les volumes de conôle peme d oben les ésuls lluse en fgues I-5 epésenn l évoluon de l dfféence de l empéue ene une sucue sne es une sucue conenn un défu. Une dfféence posve se du p l pésence d un défu éssf. Une dfféence négve ndque une peubon cpcve p ppo à l sucue à ese. Cee epéence es élsée en fsn ve l poson du défu mm ; 3mm ; 6mm pou os épsseus dfféenes e mm mm 4mm dns une po de mm d épsseu ole. Fgue I-5: Von de l dfféence de empéue en foncon de emps pou dfféenes épsseus e posons de défu.. GENERALIES SUR LES MEHODES INVERSES.. Défnon Le poblème nvese consse à déemne des cuses connssn des effes. Ans ce poblème es l nvese de celu ppelé poblème dec conssn à dédue les effes les cuses én connues [4]. Cee seconde défnon mone que nous sommes plus hbués à éude des poblèmes «decs». En effe depus Newon l noon de cuslé es ncée dns noe subconscen scenfque nous vons pps à pose pus ésoude des poblèmes pou lesquels les cuses son données e l on cheche les effes. Cee défnon mone uss que les poblèmes nveses squen de pose des dffculés pculèes. Il es sonnble d ege que le poblème dec so «ben posé». cone l es fcle d mgne que les mêmes effes pussen poven de cuses dfféenes. Cee dée conen l pncple

32 Chpe I Eude bblogphque dffculé de l éude des poblèmes nveses : ls peuven vo pluseus soluons e l es nécesse de dspose d nfomons supplémenes pou dscmne ene elles. L pédcon de l é fuu d un sysème physque connssn son é cuel es l eemple ype du poblème dec. On peu envsge dves poblèmes nveses : p eemple econsue l é pssé du sysème connssn son é cuel s ce sysème es évesble ou l déemnon de pmèes du sysème connssn une pe de son évoluon. Ce dene poblème es celu de l denfcon de pmèes qu se noe pncple péoccupon dns l sue. Une dffculé pque de l éude des poblèmes nveses es qu elle demnde souven une bonne connssnce du poblème dec ce qu se du p le ecous à une gnde véé de noons n physques que mhémques. Le succès dns l ésoluon d un poblème nvese epose en génél su des élémens spécfques à ce poblème. Il ese ouefos quelques echnques qu possèden un domne d pplcblé éendu on peu ce : l égulson des poblèmes ml posés l méhode des mondes cés e l méhode vbonnelle. L plus mpone es l efomulon d un poblème nvese sous l fome de l mnmson d une fonconnelle d eeu ene les mesues éelles e les «mesues synhéques» c es-à-de l soluon du poblème ece. Fgue I-6 : oblème dece e nvese.. Foncon ml posée u sens d Hdmd Consdéons un modèle mhémque éc sous l fome généle A b où A es un opéeu de ype dfféenel mcel ou négl. Le poblème nvese consse à esme connssn b. Le poblème es ben posé s : - l soluon à ce poblème ese. - cee soluon es unque. - cee soluon es sble vs-à-vs des fbles vons des données conenues dns b c es à de s l opéeu nvese A - es connu. 3

33 Chpe I Eude bblogphque... Esence de l soluon L fgue I-8 lluse le poblème de l esence d une soluon u poblème nvese. So X l ensemble des veceus des nconnues à denfe. ImX es l mge de ce ensemble pplqué à ous les de X. S l ensemble des éponses nsumenles B es nclus dns ImX los l ese u mons un veceu pou lequel A b. En evnche s on consdèe un ue ensemble de éponses nsumenles B non nclu dns ImX l n ese ps de el que A b. Fgue I-7 : Esence de l soluon En cl l fu que l opéeu A pemee de déce l suon b mesuée pou l gmme X de vleus possbles pou les pmèes echechés. Ans pou élse une nveson de mesues l pemèe épe consse à s ssue que le modèle es «comple» c es à de qu l déc l ensemble des phénomènes non néglgebles suscepbles d bou à l suon déce p les éponses nsumenles b.... Uncé de l soluon De que l soluon es unque sgnfe qu l n ese qu un seul pou lequel A b. Dns le cs où l opéeu A es mcel le déemnn de A do êe non nul. Cee emque nce à lme le nombe de pmèes à esme pou éve d nodue mplcemen des elons nules. eemple supposons que l obecf so d esme des souces hemques dns un poblème de conducon hemque. En cheche os los qu l n y en que deu even à donne une équon supplémene pou ésoude le poblème ms celle-c n én ps nécesse on v se eouve vec une subondnce de soluons. Qus-soluons : Il ppî que ces deu condons ne son ps évdenes à empl. On pou coe que l esence es smple à oben. C es le cs dns un poblème 4

34 Chpe I Eude bblogphque cdémque où oues les données son mîsées. Ms dns l élé physque les mesues qu lmenen l nveson son enchées d un bu de mesue. Il n es los plus possble d oben b quels que soen les vleus de pou le modèle A chos. Dns ce cs on do se conene d une qus-soluon c es à de d une soluon qu mnmse l nome qudque : mn X A b L nome qudque mnmsée es u meu de l ode de gndeu de l eeu de mesue. conséquen une esmon de cee eeu de mesue peme d évlue l qulé mmle de l esmon. Dès los qu on ffe à une qus-soluon l uncé de celle-c ne peu ps êe gne. Afn de compense cee dffculé supplémene on peu employe des echnques des de égulson qu pou effe d oene l echeche de l qus-soluon. Il se commode de dsngue ene les poblèmes nveses lnées e non-lnées. Dns le cs des poblèmes lnées on peu oben des ésuls pécs e des lgohmes effcces. L oul fondmenl es l décomposon en vleus sngulèes de l opéeu consdéé l méhode de égulson qu consse à «modfe» légèemen le poblème éudé en un ue qu possède de «melleues» popéés. Les poblèmes non-lnées son plus dffcles e l ese mons de ésuls généu. Un ngéden echnque essenel du pon de vue numéque es le clcul du gden de l fonconnelle à mnmse c es noe cs l non lnéé es due à l pésence de l von du coeffcen de conducon de l chleu qu es vble...3. Sblé vs-à-vs des fbles vons L esmon p méhode nvese s ppene à un lgohme de mnmson sous conne d une fonconnelle nous donneons plus de déls à ce popos dns le chpe 4. Les echnques de echeche d un mnmum fonconnen ben pou une fonconnelle convee esence d un mnmum. Mlheueusemen dns le cs d un poblème physque non-lnée à pluseus vbles l fonconnelle es emen convee ce qu eclu souven l esence d un mnml globl. En génél elle es ou de même convee u vosnge des mnm locu. L éendue du vosnge fe l mponce de l nlson : s l fonconnelle n es convee que ès pès du mnmum locl los une nlson élognée de cee soluon peu sémen convege ves une ue soluon. 5

35 Chpe I Eude bblogphque Deu soluons son los à pplque pou méloe l echeche : chos une nlson pobble en foncon de consdéons physques e égulse c'es-à-de pplque des connes. ncpe de mnmson : ou d bod le poblème posé consse à mnmse l fonconnelle J suvne [5]: J mn X A b Le cho de l méhode de mnmson v ben enendu dépende des popéés de l fonconnelle J. S J es dfféenble on peu los ulse les méhodes du gden conugué du qus-newon ou de Mqud-Levenbeg. Ces méhodes conssen à clcule une sue de decons de descene d n à p du clcul du gden J de l fonconnelle pus à opmse une pofondeu de descene pfd suvn chque decon successve : mn J d pfd n n Chcune de ces méhodes dffèe p le pncpe de mse en œuve de l consucon de l sue. Losque l fonconnelle J n es plus dfféenble on peu ulse une méhode «pobblse» ou «byésenne» dns lquelle on f une descpon de l ensemble des nfomons po nceudes epémenles nfomons su les pmèes nconnus. L ensemble de ces nfomons supplémenes oue le ôle de égulson e peme de défn des mm de vsemblnces. Les lgohmes évoluonnes ou généques peuven églemen ppoe une soluon dns ce cs pusqu l n es ps beson de clcule le gden n.3. Applcon de l méhode dns dfféens domnes.3.. oblèmes nveses en ssmque L pospecon péolèe p des méhodes ssmques e l ssmologe donne leu à un poblème nvese qu éé lgemen éudé en son de l néê économque qu s che à s soluon. Il s g en élé d une fmlle de poblèmes nveses don le bu commun es de déemne les popéés élsques du sous-sol densé vesses de popgon des ondes élsques à p de mesues des chmps de déplcemen ou de pesson en sufce. Los d une cmpgne ssmque une souce en génél une eploson povoque un ébnlemen des oches fomn le sous-sol. L écho es enegsé p une sée de cpeus plcés en sufce. 6

36 Chpe I Eude bblogphque Cee epéence es épéée pou pluseus posons de l souce de pluseus cennes à pluseus mlles. De cee fçon une ès gnde quné de données es mesuée pouvn ende des cennes de gg-oces. Le bu es encoe une fos d esme les popéés du mleu én donné un modèle de popgon. L communué géophysque me u pon une gnde quné de méhodes spécfques pou e ce poblème. lleus l es cen que ces méhodes enconen de gndes dffculés qund l géomée es complquée ou dns le cs des fonds mns poblème des éfleons mulples. L nveson de données ssmques es po un cs pcule d esmon de pmèes dns une équon u dévées pelles : l s g d esme l vesse du mleu en chque pon du sous-sol ce qu donne ns l mge chechée de ce sous-sol. Ms à l dfféence du nombe de poblèmes d esmon de pmèes dns l pque l nveson ssmque n es ps en génél un poblème ml posé u sens hbuel c les données son eêmemen edondnes. En effe une fos que l on f une hypohèse su l vesse vec lquelle les ondes cousques se popgen dns le sous-sol en ulsn un opéeu de mgon les données enegsées pou chque pemeen d oben une mge sble du sous-sol ms lmée à l zone llumnée p le consdéé. Ces mges ne son ccepbles que s elles se supeposen ben d un à l ue ce qu n leu que s l hypohèse fe u dép su l vesse es coece. C es l déemnon de cee «vesse de mgon» qu consue l dffculé pncple de l nveson ssmque: l s g d ve à mee en cohéence les nombeuses mges complees du sous-sol obenues à p d une cmpgne ssmque pouvn compoe pluseus cennes de s. L fomulon sndd p mondes cés es neffcce pou l déemnon d une vesse de mgon ssfsne c de nombeu mnm locu enden mpossble l déemnon du mnmum globl ; p des méhodes d opmson locles le nombe d nconnues déemnn l pe lsse de l vesse quelques cennes à quelques mlles e le coû d une évluon du cèe qu nécesse l ésoluon d une équon des ondes p lmen beucoup l néê des lgohmes d opmson globle. On es donc condu à cheche des efomulons du poblème suscepbles d êe ésolues p des méhodes d opmson locle. Les es de echeche cuels poen su l eploon des possblés ouvees p ces vu en vue de e des données plus complees pse en compe des mulples nveson 3-D du fond de l eu [6]. 7

37 Chpe I Eude bblogphque.3.. oblèmes nveses en hydogéologe L hydogéologe ou l éude des nppes phéques es une ue souce bondne de poblèmes nveses. Il es en effe dffcle d ccéde u couches du sous-sol pou mesue les popéés queuses des oches. Un poblème cuellemen posé es le conôle des polluns dns les nppes d eu souenes. Un pmèe fondmenl de cee éude es l conducvé hydulque du sous-sol qu dépend évdemmen de l poson. Il ese une gnde véé de modèles physques nclun dveses ppomons. Nous en pésenons c-dessous un eemple de ces modèles [7] : - un mleu poeu es consué d une mce ocheuse compenn des poes qu peuven lsse psse l eu. Il es essenellemen mpossble de déce l écoulemen d un flude dns un el mleu hééogène dns l mesue où l on do pende en compe des échelles sples lln du cenmèe le poe u lomèe le modèle égonl e que l dsposon pécse des poes n es de oue fçon ps connue. On ulse los des modèles physques smplfés le plus coun én l lo de Dcy qu ele l hueu de l eu dns le mleu ppelée chge pézoméque e noée h y z à l vesse de flon q y z. Cee lo epme que l vesse es popoonnelle à l opposé du gden hydulque : q Kgdh I- où K es le coeffcen de conducvé hydulque. Ce peu en pncpe êe un enseu où un scle. On epme églemen l consevon de l msse on f l hypohèse que le mleu es ncompessble: h S dvq f I- S : e coeffcen d emmgsnemen spécfque e f es une souce supposée connue. L élmnon de q donne pou h l équon pbolque : h S dv Kgdh f I-3 A lquelle on oue des condons nles h donné à e u lmes Dchle coespondn à une chge mposée ou Neumnn coespondn à un flu mposé. Les poblèmes de nspo de conmnn fon neven en plus de l écoulemen l fçon don évolue l concenon d une espèce composé chmque hydocbue ec.. «poée» p l écoulemen. Ce phénomène me en eu l convecon mposée p l vesse de flon q. L quné éudée es l concenon C y z du pollun qu obé à une équon de ype convecon dffuson : 8

38 Chpe I Eude bblogphque C dv qc dv DgdC f C I-4 ε où ε es l poosé cnémque fcon des poes occupés p l eu en mouvemen D es le enseu de dffuson en gégen dffuson molécule e dspeson cnémque e f c es une évenuelle souce de pollun. On oue une condon nle concenon connue à l nsn nl e des condons u lmes. Le poblème dec es consué p les équons I-3 e I-4. Ce poblème couplé es héoquemen non-lnée à cuse du eme dv qc. Cependn e en pque on peu souven ésoude d bod l équon I-3 pus I-4 q én connu. On mesue p eemple l concenon en un cen nombe de pons de mesue e à des nsns dsces l n es ps élse c de suppose que l mesue es connue en emps. On connî donc C o y o z o o o... N o. Le poblème nvese es los de cheche l conducvé hydulque e dns une monde mesue les ues pmèes du modèle connssn ces mesues. Ce poblème es sous-déemné c l es e que l on ccès à suffsmmen de mesues Applcons hemques On peu sue les pécuseus de ces echnques nveses pplquées à l hemque dns les nnées 7 vec les vu de Bec e Anold [8] e ceu de honov e Asenn [9]. Ceu-c poen su l ésoluon du oblème Invese de Conducon de l Chleu d ICC. ou le ésoude Bec e Anold [] on poposé l méhode de spécfcon de foncon méloée p l sue ms églemen epse e ulsée p d ues ueus : cons p eemple uff Jny e Deluny [] Mlle Bsle e Degovnn []. Cee méhode es ouous l obe de pluseus éudes su s pécson ou s sblé comme celle de Jun Lu [3] e de Sol e Ku [4]. On déà vu que le ccèe ml posé des poblèmes d nveson de mesues mpos l ulson de foncons de égulson [5]. L méhode de l spécfcon de foncon nclu une égulson p l ulson des ps de emps fuus. D ues égulsons clssques on églemen éé développées : cons l égulson p pénlson éudée p honov e l [9] l égulson p oncue de spece de Hnsen [6] ou l égulson éve d Alfnov [7]. On peu églemen pplque des méhodes de flge su les données vn l ésoluon du poblème nvese méhode de mollfcon Muo [8] ou à l de d un fle de Klmn ulsé p Scp e Mlno [9]. Quelques ésumés de ces méhodes on éé ébls p Jny e Bonne [3] p eemple. L éude des 9

39 Chpe I Eude bblogphque poblèmes nveses nclun l convecon n commencé que dvemen ms es uoud hu en plene phse de développemen. On ouve p eemple u cous des cnq denèes nnées les vu de Gedze e Jny [3] de K Mousseu e Jny [3] de e Shn [33] les echeches s néessen à l fome du flu ou de l empéue u fon. Hung e Ozs [34] on esmé le flu de chleu dns le cs d un mu en convecon focé. L e Yn [35] déemnen le flu de chleu dns un mu pou un écoulemen lmne dns un cnl nnule e pou un écoulemen ubulen dns une condue ene deu plques pllèles. D ue p l y peu de vl su le yonnemen dns le cs du poblème nvese L publé su les pmèes hemques pou un nsfe de chleu couplé conduconyonnemen nds que e Yoon [36] on moné les popéés dves d une souce de chleu vble en foncon du emps dns l espce. Les poblèmes nveses en mécnque ouchen plus pculèemen l mécnque du solde vec l loclson de fssues p eemple. Concenn le domne de l héologe les écs son peu nombeu à l heue cuelle. Nous pouvons ce Gvus e l [37] qu élsen une esmon de pmèes héologques à p de ess de oson e Lebl e l [38] qu esmen les pmèes d une lo pussnce à p des mesues de pesson u eémés d une flèe d euson. Enfn l conven de ce quelques pplcons de echnques nveses à des phénomènes couplés p eemple l hèse de ouo [39] qu éude l cnéque de csllson en cous de efodssemen e les vu de Fvennec [4] su le chuffge p nducon. 3

40 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 3

41 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon. INRODUCION ou ésoude un poblème de conducon on do ouve l ou les soluons de l équon de chleu. ou ve à ce bu on souven ecous à une méhode nlyque numéque nlogque ou gphque. Le cho de l méhode dépend de pluseus pmèes : le égme pemnn ou vble l nue des condons spoempoelles l nue du solde e de son envonnemen fome géoméque. ec. Nous décvons dns ce chpe un cen nombe de méhodes ulsées selon le cs pou l ésoluon de l équon de l chleu.. MEHODES DE RESOLUION EN REGIME ERMANEN.. Méhodes deces L équon u dévées pelles de l conducon es éble à p du pncpe génél de consevon de l énege. Elle déc une clsse ès lge du phénomène de conducon. On peu pculse cens pocessus de nsfe hemque conducf qu condusen à pluseus fomes de l équon généle. ou déemne le chmp de empéue dns le cops éudé l es nécesse de complée cee équon p un supplémene d nfomon consun les condons d uncé l y pluseus ypes de condons [4] : - condons géoméques qu ccésen l fome e l dmenson du cops où l condon eu leu; p eemple l sufce du cops es plne cylndque ou sphéque. - condons physques qu ccésen les pmèes physques du méu; p eemple le cops es homogène ou non soope ou non l dsbuon es unfome ou non esence de souce de chleu..ec. - condons nles qu décven le chmp de empéue dns le méu à l nsn nle qu mque le débu du pocessus. - condons u lmes qu ccésen l necon du cops éudé vec son mleu eéeu. 3

42 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Eude d une be cylndque à sufce soheme Ce poblème peu lluse le cs pque d un conduceu élecque pcouu p un coun. Consdéons donc un beu cylndque d une longueu nfne f d un méu homogène e soope e yn une conducvé hemque consne. On suppose que dns l sucue du beu l y des souces nenes de chleu ccésées p leu foncon de pussnce s unfomémen dsbuées dns le volume e que l empéue de l sufce eéeue es unfome e consne. Dns ces condons on se popose de déemne l dsbuon de empéue dns ce cops e le flu hemque nsféé ves le mleu mbn. S le yon du beu es néglgeble p ppo à s longueu le poblème es supposé monodmensonnel e syméque. L empéue ve seulemen dlemen. Le pocessus de nsfe hemque es gouvené dns ce cs p l équon de osson déc en coodonnées cylndques p: s ou ésoude cee équon on ulse une méhode de subsuon en non du s L équon I- deven u d s Ou du ud d s Ou encoe d u d deu négles successves on oben : s C d s C u d u II- d d s E C ln C 4 L déemnon des deu consnes d négon C e C se f p l ulson des condons u lmes : m mn à cuse de l symée du cops ; R ; 33

43 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon s Qu condu u vleus : C C 4 R On oben l fome pculèe de l empéue : R s II- 4 Cee epesson mone que l empéue une von pbolque en foncon du yon elle v donc dmee un eémum l deuème dévée es : Qu peme l fomon des condons suvnes : s s f s p ; p l empéue dme un mmum loclsé su l e du beu ; f l empéue dme un mnmum loclsé su l e du beu L vleu eême de l empéue es donnée p : mmn s 4 R Le flu hemque sufcque es donné p l lo de Foue e une decon dle : s ϕ II-3 s ϕ m R Le flu hemque nsféé p l sufce eéeue du beu cylndque ppoé à une longueu égle à m es : φ πr s.. Méhode de sépons de vbles conducon en mleu lmé L méhode de sépon des vbles es clssque. Elle condu à une soluon sous fome de développemen en sée de foncons ohogonles. Elle s pplque pou [4]: - une équon u dévées pelles lnée e homogène ; don le ype le plus génél es : b c d y e y f y y y - des sysèmes lmés de fome géoméque smple don les fonèes on pou équon ce ou y ce ; - des condons u fonèes lnées homogènes e unfomes suf une qu es lnée e non homogène. 34

44 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon L méhode de sépon des vbles consse à echeche des soluons pculèes de l équon u dévées pelles de l fome y f g y qu ssfsse les seules condons homogènes. Celles-c mposen u pmèes de sépon α de pende une sue nfne de vleus dscèes α α α... : cnes d une équon nscendne. Ces soluons pculèes A. f. g y coespondn à chcune de ces cnes fomen une sue de foncons ohogonles dns l ensemble du domne. Elles consuen une bse pou epme l soluon du poblème qu se pésene sous fome d une Sée A. f. g y. Les cœffcens de l sée son clculés de mnèe à ce que ssfsse l seule condon non homogène du poblème. Fgue II- : ncpe de l méhode de sépon de vbles ncpe de l méhode su un eemple smple : On consdèe une plque ecngule d épsseu e lmée p L y y l. L conducvé hemque de l plque es supposée consne e l n y ps de souce volumque de chleu. L plque es en conc p ses côés L e y l vec le mleu eéeu à empéue unfome que nous pendons comme ogne des empéues E ; le coeffcen supefcel de nsfe su ces côés es supposé unfome e égl à h l fce y es solée. Enfn su l fce on mpose une lo de empéue y. Le sysème de conducon s éc : 35

45 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon y y L L hl 3 II-4 y y 4 y h 5 L pculé de ce sysème lnée es que seule l condon II-4- es non homogène. Chechons des soluons pculèes de l fome: y f.gy qu pusse ssfe smplemen les condons homogènes II-4-3 II-4-4 e II-4-5. L équon u dévées pelles II-4- condu à l églé : d f. f d d g dy Ce. II-5 Le peme eme ne dépendn que de le deuème que de y ces deu emes ne peuven êe que consns. osons cee consne égle à εα ε ±. L équon II-5 se sépe los en deu équons smplemen dfféenelles : d f d d g εα f e εα g dy chosssons ε - Le sgne de l vble de sépon εα do êe el qu on obenne une sue de foncons ohogonles su l nevlle [] le long duquel do ssfe l condon non homogène II-4-. S on v chos ε on n u pu oben cee sue. Les denèes équons dmeen pou soluon généle : f Aep α B ep α g y C cos αy Dsn αy [ Aep α B ep α ][. C cos αy Dsn α ] y y Les condons II-4-3 II-4-4 II-4-5 condusen à : α [ Aep αl B ep αl] h[ Aep αl B ep αl ] h h A α B α ep αl 36

46 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon D Cα sn α. l. f hc cos α. l. f α. l hl co g αy vec B B B: Nombe de Bo. Cee équon es nscendne. Elle une nfné de cnes nesecon des coubes y y co g u u B α Fgue II- : Soluon du sysème α S u u u son ces cnes α u l α u / l... α u / l / A chque α coespond une soluon pculèe de II-4- ssfsn II-4-3 II-4-4 e II-4-5 ms non II-4- : B. α l C cos α y [ ep α F ep α ] Avec F epα. L B α. l Le sysème II-4- II-4-3 II-4-4 II-4-5 én lnée e homogène oue combnson lnée de soluons es églemen soluon en pcule l sée : y C cos α y [ ep α F ep α ] On oben l soluon du poblème en chechn les vleus de C pou que θ ssfsse l Condon II-4- : y C cos α y [ F ] D où l soluon : [ ep α F ep ep α ] F y snα l y cos α y sn α l α l α l II-6 37

47 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon.3. Méhode du coeffcen de fome Dns les sysèmes b- ou dmensonnels où n nevennen que deu empéues lmes e on mone que le flu de chleu peu se mee sous l fome [43] : ϕ F vec : Conducvé hemque du mleu sépn les sufces Se S w/m C : empéue de l sufce S C. : empéue de l sufce S C. F : Coeffcen de fome m. Le coeffcen de fome F ne dépend que de l fome des dmensons e de l poson elve des deu sufces S e S. Les vleus de F pou les confguons les plus counes son pésenées dns le bleu II-. Cs pcule : Encene dmensonnelle fou chmbe fode pèce clmsée.. Méhode : On découpe l encene en dfféens élémens e on clcule le flu vesn chcun d eu : Fgue II-3 : Méhode de cœffcens de fome S les dmensons longudnles son gndes devn l épsseu e des pos supposée consne nous vons les elons : F po S /D F bod.54 D F con.5 L Avec : S : Ae de l po D : Longueu de l po ou du bod L : Epsseu des pos 38

48 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Le flu de chleu vesn l encene s éc los : ϕ 6 Fpo Fbod 8 F con vec : Conducvé hemque équvlene s po mulcouche de l po W/m C : Dfféence de empéue ene les fces néeue e eéeue de l po C. bleu II- : Vleus des coeffcens de fome de conducon 39

49 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 3. MEHODES DE RESOLUION EN REGIME VARIABLE Nous décvons dns cee deuème pe du chpe un cen nombe de méhodes ulsées pou l ésoluon de l équon de l chleu en égme vble. Le poblème consse à ouve le chmp de empéue M ns que le flu de chleu nsms. L echeche de M s effecue en ésolvn un sysème d équon qu compend l équon ndéfne de l chleu les condons u fonèes néeues e eéeues e l condon nle. Comme u cs sonne le cs non-sonne peu êe ésolu p dfféenes méhodes. 3.. Mleu à empéue unfome L empéue es consdéée comme unfome ce qu es condcoe vec le pncpe de popgon de l chleu. Cee ppomon du mleu à empéue unfome peu nénmons êe usfée dns cens cs. Comme p eemple l empe d une blle méllque qu consse à mmege une blle nlemen à l empéue dns un bn à empéue mnenue consne. S l on suppose que l empéue à l néeu de l blle es pee e s conducvé hemque es élevée on peu éce le bln hemque de cee blle ene deu nsns e d : h. S ρ. cv So: d d d hsd hs d où ep ρcv ρcv ρcv On emque que le goupemen hs es homogène à un emps II-7 On ppelle τ l consne de emps du sysème: τ Cee gndeu es fondmenle dns l mesue où elle donne l ode de gndeu de emps du phénomène physque on en effe : ρcv hs ep τ II-8 4

50 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Il es ouous néessn en physque de pésene les ésuls sous fome dmensonnelle on ve que deus nombes dmensonnels son pculèemen mpons en égme vble : l - Le nombe de Bo: B S Réssnce hemque nene/réssnce hemque hs eene. l : es l dmenson ccésque du mleu hl So: B II-9 L hypohèse d unfomé de l empéue es usfée losque Bo <.. - Le nombe de Foue qu ccése l pénéon de l chleu en égme vble : F l II- L défnon de ces deu nombes peme d éce l epesson de l empéue de l blle sous l fome : ep BF. II- On consdèe génélemen qu un sysème el que B <. peu êe consdéé comme én à empéue unfome le cèe B<. es ppelé le cèe d ccumulon hemque. 3.. Méhodes de sépon de vbles Son pncpe es bsé su l décomposon en podu de foncons e l echeche d une soluon de même féquence que l econ [43] Cs d un mleu sem nfn vec une empéue snusoïdle mposée en sufce égme péodque ébl Fgue II-4 : empéue snusoïdle mposée en sufce en égme péodque ébl 4

51 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon L équon de l chleu s éc: II- On effecue une décomposon de l empéue en un podu de foncon sous l fome : X. Y II-3 X '' Y ' L équon de l chleu condu à l elon suvne : X '' Y XY ' ou β X Y L econ empéue mposée én de nue péodque on echeche une soluon péodque de même féquence que l econ en posn: β ω. On oben : Y Aep ω β β β X B ep. C ep. B ep. C X do ende ves une lme fne qund end ves ω o: β ω ω Re AB ep. ω. ep. d où Re[ X. Y ] cos. AB ω ω ω ep. cos ω.. II Cs d une plque plne soumse à une empéue consne: L équon de l chleu s éc II-4 Fgue II-5 : plque plne soumse à une empéue consne 4

52 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 43 Les condons u lmes son de l fome : L On effecue le chngemen de vble suvn : Donc on peu éce II-4 comme su : II-5 E les condons u lmes devennen : L On effecue une décomposon de empéue en podu de foncons sous l fome:. Y X L équon de l chleu condu à l elon suvne : ' ' ' XY Y X Ou : ' '' ω Y Y X X Où ω es une consne c les deu foncons X e Y son ndépendnes. Nous en dédusons : sn cos '' A X X X ω ω ω ep ' C Y Y Y ω ω E : [ ] sn cos ep B A C ω ω ω L condon u lme s éc donc : C.A d où A c C condu à une foncon nulle. L condon à l lme L s éc los : sn * ep L B L C L ω ω D où L n π ω vec n. L soluon élémene pend l fome L n L n D n n ep sn π π Le héoème de supeposon des soluons peme d éce l soluon généle sous l fome : L n L n D n n n ep sn π π

53 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 44 L condon à l lme peu s éce : L n D n n n sn π Une foncon f défne su [ l] peu s éce sous fome d une sée de Foue en snus : l n b f n n π sn vec : l n l n f l b sn π Nous pouvons effecue un développemen en sée de Foue f - su l nevlle [ L] :..sn.sn L n du u L n L L n π π denfcon on dédu : [ ] cos sn sn vec n n D n n D du u L n L du u L n L D n n L L n π π π π π e l epesson fnle de : L n L n n n ep sn 4 π π π Avec n 35 II Cs d une géomée cylndque En conducon de l chleu on es souven mené à ésoude des équons dfféenelles lnées du second ode u cs où les coeffcens son consns e clssques. ou des cœffcens vbles nous lmons nos popos à des soluons qu fon ppel u foncons de Bessel [44]. So l équon : > e R Les condons d unvlence: pou R pou R pou

54 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Son ées de l condon de symée c es à de u cene du cylnde l vleu de l empéue es fne. Apès l subsuon des vbles en posnθ le sysème d équons se mène à l fome : θ θ θ θ θ θ αθ θ ; θ > e pou pou R pou R ou l ésoluon on ecous à l méhode de sépon des vbles qu condu à une soluon de l fome : θ C ep τ. ψ. Où l foncon ψ dns le poblème consdéé do êe soluon de l équon de Bessel : ψ '' ψ ' K. ψ II-7 usque ψ dépend seulemen de l soluon de l équon pécédene es : ψ Q µ L soluon généle de oue équon dfféenelle homogène lnée du deuème ode de l fome: y '' p y' q y II-8 à l quelle se ppoe églemen l équon II-8 peu s éce : y c y y c... Où c e c son des consnes y e y son les soluons ndépendnes de II-8 c es-à-de Avec: y y y ep pdξ dξ L pemèe soluon pelle Q se clcule à p de l équon: y y cs Q '' Q' Q II-9 En emplcen / on oben: Q '' Q' Q II- L soluon de cee équon es chechée sous l fome d une sée eponenelle : Q Q' Q''

55 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon En pon ces denèes epessons dns II-9 on oben : II- 3 4 L epesson II- es vlble pou: ; ; 3... conséquen l soluon pelle Q es : 4 6 Q ² / ² /².4² /².4².6²... S on pose l négle de II- es : 4 / / / Appelée foncon de Bessel de pemèe espèce d ode nul. ou ouve l deuème soluon ulsons l fomule : µ Q Q ep dd II / / 3... µ ln ou l commodé des clculs u leu de l foncon µ poons dns l soluon généle II-7 l foncon y lée à µ p : y µ c ln π π Où c.577 es l consne d Eule ; y l foncon de Bessel de ème espèce d ode nul. L négle généle de l équon II-7 es : ψ c II-3 c y usque on ψ c c y L empéue su l e du cylnde do êe fne l soluon ne do ps conen l foncon y qu end ves l nfn pou ; p conséquen c e l soluon deven : θ C ep τ II-4 Les consnes e C se déemnen à p des condons u lmes e nles. Indquons en pélble que : d 3 5 ' / /.4 / d Ic R es l foncon de Bessel de èe espèce de peme ode. Fsons ssfe l soluon de II-4 à l condon u lmes : 46

56 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon c R ep τ c R ep II-5 τ Rédusons p : c ep pou oben : τ R / R R / R R / B II-6 II-6 es une équon nscendne qu peu êe ésolue p l méhode gphque : y y R / B n / B n / n L soluon généle es l somme de oues les soluons pelles : ϑ c n / R ep n τ / R ΙΙ6 Fgue II-6 : Soluon gphque de l équon nscendne Les consnes c se déemnen à p de l condon nle θ En nodusn l noon ϑ θ θ / c n / R n On θ n ep n F. II-7 n n R 47

57 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 3.3. Méhode bsée su l nsfomée de LALACE C es une méhode bsée su l nsfomon négle elle es défne p : [ ] p L θ ep p d E L [ p ] θ nsfomée nvese Il n ese ps de fomule généle pemen de clcule connssn θ p. On connî cependn l epesson ece de pou cenes foncons pculèes θ p on ouve des eemples u bleu II-. L ulson de ces bles ssocées u popéés pculèes de l nsfomon de Lplce nvese peme de ésoude cen nombe de cs. On esse ouous de décompose une foncon complee en somme podu ou sée de foncons smples fclemen nvesbles. Applquons-l nsfomée de Lplce à l équon de l conducon dns un sysème undmensonnelle sns souce : S l dsbuon de empéue nle es unfome on oben : d p d On donne deu eemples pques su cee méhode : Cs d une empéue consne mposée su un mleu sem-nfn Un mleu sem nfn es une po d épsseu suffsmmen gnde pou que l peubon pplquée su une fce ne so ps essene p l ue fce. Un el sysème epésene l évoluon d un mu d épsseu fne pendn un emps suffsmmen cou pou que l peubon céée su une fce n ps en l ue fce v ou le emps que l empéue de l ue fce n ps vé. Le mleu sem-nfn es nlemen à l empéue unfome. On mpose bulemen l empéue su s sufce cee condon lme es ppelée condon de Dchle. 48

58 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon bleu II- : nsfomon d Lplce nvese 49

59 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Fgue II-7 : empéue unfome mposée su un mleu sem-nfn L équon de l chleu s éc: Avec les condons u lmes : pou lm On effecue le chngemen de vble suvn : On oben : lm pou 3 4 II-8 L nsfomée de Lplce de p ppo u emps s éc : θ p ep p d L nsfomée Lplce de l équon II-8- condu à : d θ p q θ Avec q d Don l soluon es : θ p Aep q B ep q L empéue gde une vleu fne qund end ves l nfn donc B nous en dédusons que θ p Aep q L nsfomée de Lplce de l équon II-8-3 condu à : 5

60 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon θ p Aep q d' où A p e on θ p ep q p L ulson des bles de Lplce nvese condu à: efc Avec : efc u ef u ef : Foncon eeu ef u ep ε dε π u Mleu vec chngemen d é - empéue consne mposée à l sufce : Le mleu sem nfn es nlemen à l empéue unfome en phse. On mpose bulemen une empéue de sufce nféeue à l empéue de chngemen de phse. Un chngemen de phse v se podue ou d bod à l sufce pus se popge ves l néeu du mleu sem nfn. X epésene l poson du fon de chngemen de phse pon uquel les empéues des deu phses son supposées consne e égles c. L équon de l chleu s éc dns les deu phses : hse pou > X II-9. hse pou > X II-3 défnon l quné de chleu Q échngée vec l envonnemen p un cops pu de msse m qu sub un chngemen d é soldfcon ou fuson es : Q m.l [][Kg].[/Kg] L : es l chleu lene mssque de chngemen d é. ou l élémen de volume SdX de msse ρsdx l densé de flu de chleu échngée u dx cous du chngemen d é pendn le emps d es Lρ d S : Sufce de l élémen. 5

61 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 5 ρ : Msse volumque de l élémen. Les condons u lmes s écven : 4 3 d dx L c ρ II-3 Afn de pouvo pplque l méhode de l nsfomée de Lplce pou l ésoluon des équons II-9 e II-3 on pose : ce A à ce B à Les consnes A e B son déemnées p les condons II-3-3 e II-3-4. On effecue les chngemens de vbles suvns A e on oben : 3. A A II-3 e 3. B II-33 Les nsfomées de Lplce des équons II-3- e II-33- condusen à: p vec q q p vec q q θ θ θ θ Don les soluons son ep q p β θ e ep q p β θ Les nsfomées de Lplce des condons II-3-3 e II-33-3 condusen à :

62 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 53 p A p θ E p B p θ D où p A α e p B β e on ep q p A p θ e ep q p B p θ Les nsfomées de Lplce nveses condusen u ésuls suvns : ef A efc B L pplcon de l condon II-3-3 donne : ef A efc B c Cee elon do êe véfée pou oues les vleus du emps on dédu que X. Où es une consne. En enn compe de cee fome de X l équon II-3-4 peme d éce : 4 ² ep 4 ² ep. L B A ρ π π Avec ef A c e efc B c L poson X du fon de chngemen de phse se clcule fnlemen p : X Avec soluon de l équon : 4 ep 4 ² ep L efc ef c c ρ π π E les empéues dns chque phse s écven : ef ef c.

63 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 54 efc efc c. b- Fuson p conc vec un mleu sem-nfn chud : On peu mone de l même mnèe que s X es l poson de l sufce de sépon lqude/solde los es soluon de l équon [43] : 4 ² ep ² 4 ² ep C L efc ef c c π 3.4. Méhode des qudpôles On consdèe les vbles suvnes : p θ : L nsfomée Lplce de l empéue. p φ : L nsfomée de Lplce du flu de chleu φ. Comme eemple d'pplcon on e le cs d'un écoulemen undeconnel dns un mu pln [43]. L empéue y u sen du mu véfe l équon : II-34 Fgue II-8 : Ecoulemen undeconnel dns un mu pln En pplqun l nsfomon de Lplce à l équon II-34 on oben : θ θ p d d s II-35

64 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Où θ p es l nsfomée de Lplce de l empéue. L équon II-35 dme une soluon de l fome : θ p p. ch q p. sh q Avec q p II-36 L nsfomée de Lplce du flu φ S en un pon quelconque du mu s éc : p φ S. S.. q. sh q. S.. q. ch q II-37 Les elons II-36 e II-37 peuven êe éces en e en e on oben : θ p θ e p. ch qe. sh qe φ p. S.. q φ e p. S.. q. sh qe. S.. q. ch qe Il es possble d élmne e ene ces 4 équons ce qu peme d ébl l elon suvne : θ e p ch qe φ e p Sqsh qe θ p Sq φ p ch qe 3.5. Méhodes Numéques Losque l géomée du cops e les condons u lmes son op complees pou mee une soluon nlyque du poblème on ecous u méhodes numéques. Ces denèes son des méhodes ppomves bsées su des echnques de dscéson. Afn d pplque une méhode numéque quelconque à un poblème de nsfe de chleu cenes mesues doven êe pses le bu én d ppome des équons dfféenelles e les condons u lmes coespondnes p un goupe d équons lgébques. Cec es génélemen ccompl en subdvsn le domne connu éudé en une sée d élémens fns suvn l espce ou ben suvn le emps. Dns chque élémen on ssume que l empéue es consne e coespond à celle de son cene. On emplce le sysème p un éseu de ges ognn les cenes des dfféens nœuds [43]. Les équons de consevon égssn les phénomènes de nsfe hemque son des équons dfféenelles u dévées pelles qu peuven êe non lnées. En son de 55

65 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 56 leus compleés ces équons son ésolues à l'de des echnques numéques. luseus méhodes numéques son dsponbles dns l léue. On peu ce à e d'eemples : - l méhode des dfféences fnes. - l méhode des élémens fns Méhode des dfféences fnes Consdéons p eemple le poblème smple de l conducon hemque non sonne e ulsons les équons u dfféences ébles suvn ce qu'on ppelle les schéms u dfféences fnes eplce ou mplce. - Schém eplce: So l'équon undmensonnelle de l conducon hemque : dffusvé hemque Les dévées qu y fguen son ppomées p les dévées u dfféences fnes : L équon u déféences fnes es los de l fome : II-38 ou ésoude cee équon l empéue se clcule seulemen pou des pons solés 3.n eposn su l'e des. On suppose los qu'à chque nsn l dsbuon de l empéue dns l'nevlle ene les pons vosns es lnée. Ces pons s ppellen odnemen nœuds du éseu spl. L epesson II-38 do êe envsgée comme un sysème d équons lgébques don le nombe n es égl à celu des empéues nconnues. Les ndces e défnssen l nsn uquel coespond l vleu de l empéue. : l vleu de l empéue à un cen nsn : l vleu de l empéue à l nsn

66 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Chcune des équons u dfféences fnes conen une seule empéue nconnue nevlle de emps.. Cee empéue ppî dns le nœud pès l écoulemen du pe On suppose los que l empéue nle en chque nœud es empéue nconnue pou le clcul de l le sysème composé de n équons lgébques du ype II-38 se ésou successvemen pou chque ps dns le emps. L équon do êe los ésolue un de fos qu l y de ps dns l nevlle de emps du clcul. Losqu on effecue le peme ps dns le emps le sysème II-38 es ésolu pou l pemèe fos à p des vleus des empéues nles qu son ées des condons nles. Dns les ésoluons successves les vleus de nche du emps pécéden. son pses à p de l Sblé du sysème d équons u dfféences fnes eplces : ou l ésoluon d un sysème d équons u dfféences fnes le cho coec de e es décsf. L fgue II-9 vsulse les ésuls de l ésoluon ece e numéque du poblème de conducon hemque non sonne pou un mu pln dvsé ene que nevlles de emps. L compson mone que les clculs vec founssen des ésuls pfemen ssfsns los qu vec ppî le phénomène d nsblé. En ésolvn l équon II-38 sous une fome eplce p ppo à l foncon nconnue on oben : A. B. C. II-39 Où A C e B de plus ABC ou smplfe le sonnemen dmeons que >. Dns le cs génél pm les vleus connues e l ese une vleu mmle e une vleu mnmle. S on vnce l hypohèse suvn lquelle es l vleu mmle e l vleu mnmle los en veu du f que B C e A B pou des A B e C posfs l vleu de l 57

67 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon empéue à clcule p l ésoluon ssf l néglé > > e p sue es bonée à l vnce d pès des consdéons physques A e C ne peuven êe nféeues à zéo ; donc pou eclue l cossnce nfne de u cous de l ésoluon l fu en chosssn empl l condon de sblé suvne u sysème d équons u dfféences fnes : B Ou c'es-à-de.5 dm Où dm es l vleu mmle dmssble du ps dns le emps Fgue II-9 : Résoluon ece e numéque du poblème de conducon hemque non sonne pou un mu pln. b- Schém mplce ou méloe l pécson de l ésoluon on do chos ssez pe. L équon de l chleu es ésolue los en ecoun u équons u dfféences fnes mplces de l fome : II-4 58

68 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon On d que les sysèmes II-4 ulsen les dfféences dns le emps especvemen en vn e en èe p ppo à l nsn pou le quel son composées les dfféences sples. Les schéms u dfféences fnes eplce e mplce peuven êe éuns : σ σ II-4 Alos pou σ on oben un sysème d équons u dfféences fnes eplces ; e pou σ un sysème d équon mplces. Résoluon du sysème d équons u dfféences fnes mplces : Le sysème II-4 es bsolumen sble; ms l pocédue de ésoluon des équons u dfféences mplces se complque p le f que chcune d elles à l ecepon des équons décvn les cs lmes conen os empéues nconnues e. Repésenons l équon u dfféences mplces II-4 sous l fome : A B C D II-4 L dépendnce lnée de E F p ppo à peu êe epmée p l elon : II-43 Où E e F son des coeffcens pou le momen nconnus. nloge vec l elon II-43 E F oons l vleu obenue de élémenes pou oben fnlemen : dns II-4 e élsons pluseus nsfomons A D C F II-44 B C E B C E L compson des epessons II-44 e II-43 mone que dns l elon II-43 le ôle des coeffcens c'es-à-de : E B A C E D C F E e F es empl p les gndeus dépendn de A B C e D F II-45 B C E 59

69 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon conséquen l pocédue de ésoluon consse à clcule successvemen les coeffcens E e F à p de e en emnn p n. Les empéues nconnues se clculen d pès l équon II-45 dns l ode nvese Méhodes des élémens fns So v une pe quelconque d un volume V lmée p l sufce S. L pussnce hemque socée dns v es égle à l somme de l pussnce hemque généée p les souces volumques conenues dns v e de l pussnce hemque eçue sous fome de flu à ves l sufce S [44 45] : ρ. C p dv qdv n gd ds II-46 v v s Ou n : l nome une à s dgée ves l eéeue de v. nsfomons l denèe négle de l elon II-46 en négle de volume à l de du héoème d Osogdsy l ven : v ρ c p dv gd qdv Le domne v én be on en dédu : gd q ρ. C p dv II-47 Fome négle fble : ou ésoude l équon II-47 p l méhode des élémens fns nous ulsons l méhode des ésdus pondéés dns l fomulon de Glen. On mulple l équon II-47 p une foncon be e on nège su le domne V : v gd qdv ˆ ρ cp dv II-48 L foncon ˆ es ppelée foncon de pondéon v dv fv fdvv vgd En ulsn l elon : f 6

70 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon f én un scle l équon II-48 s éc : ˆ gd dv gdˆ gd dv ˆ ρ ˆ II-49 cp dv qdv v v v nsfomons l deuème négle de cee équon de sufce à l de du héoème d Osogdsy : dv ˆ gd dv n ˆ gd ds n ˆ gd v ds sϕ S : sufce où l condon u lmes es de ype Dchle. S ϕ : sufce où l condon u lmes es de ype Neumnn. s De so que : S S ϕ S e S ϕ S. On mpose l condon : ˆ à S ce qu nnule l denèe négle. En emplçn dns l équon II-49 on oben l fomulon négle fble d un poblème hemque : v ˆ ρcp v gdˆ gd sϕ Avec les condons u lmes : p su S y z y z ˆ ϕ ds s v qds ˆ v II-5 L foncon ˆ es ppelée : chmps de empéue vuelle L soluon nlyque de l équon II-5 es en génél nccessble on es donc condu à echeche une soluon ppoche p une méhode numéque: l méhode des élémens fns. Cee méhode es un cs pcule de l méhode de Glen: le chmp de empéue e les foncons es ppennen u même espce de dmenson fne. Dscéson du domne mllge : Le domne V es décomposé en sous-domnes V e de fome géoméque smple élémens elés ene eu en des pons ppelés nœuds cee opéon s ppelle mllge. Fgue II- : Domne pln dscésé en élémens elés ene eu p 5 nœuds 6

71 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon Repésenon élémene du chmp de empéue Le chmp de empéue e yz dns l élémen e pou epesson [45] : e e yz [N e yz.n e yz..n e e nyz] e e n Où : ne : nombe de nœuds des élémens. N e yz : foncon d nepolon élémene. [N e yz]: l mce d nepolon élémene. { e }: egoupe les empéues des nœuds de l élémen e. e e [ N y z ]{ } Repésenon globle du chmp de empéue : Le chmp de empéue yz pou epesson su l ensemble du domne V: yz [N yz.n yz..n n yz] e n Où : n : nombe de nœuds de mllge. N yz : foncon d nepolon foncon de fome. [N yz] : mce d nepolon mce de fome. { } : veceu des empéues nodles On noe : L : empéue nconnue : empéue connue L epesson du chmp de empéue su le domne : [ N ]{} on dédu : & [ N]{ & } e : g d [ B]{} vec :[ B ] [{ B }...{ }...{ }] B B n Où { B } dépend du poblème é pln spl nsyméque. ou le poblème spl { B } dns le pln ohonomé { y z} : [ N y z ]{ } 6

72 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon { B } N N y N z ˆ N ˆ De même on : [ ]{} {}[ N ] D où :{ gdˆ } [ B]{ ˆ } { gdˆ } [ B] { ˆ } En pon ces elons dns l équon II-5 l ven : {} ˆ [ C]{} [ K]{} { F} ˆ & II-5 Où : [ C ] cp[ N ] [ N ]dv ρ v [ K] [ B] [ ][ B]dV v { F } [ N ] qdv [ N ] ϕ v sϕ s Avec : [C] : mce de cpcé hemque J/K. [K] : mce de conducvé hemque W/K. { F } : veceu des flu nodu {} : veceu des empéues nodles W. K. L fome dscésée d'un poblème hemque s'éc fnlemen comme su : On cheche { L } el que : ˆ & L LL L LL L L & { } [ C ][ C ] L L [ ] [ K ][ K ] { F } Avec { } { } L L Les nodles nconnues { L } son donc soluons de l équon : [ C ]{ & } [ K ]{ } { F } [ C ]{ & } [ K ]{ } LL L LL Avec les condons nles : { } { } L L L L L L ˆL II-5 63

73 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon 3.6. Méhode nlogque L lo de popgon de l chleu es denque en fome à celle de l popgon du coun élecque l es ns possble de smule un poblème de nsfe de chleu p l éude d un chmp élecque on donne le cs d un mleu sem nfn en égme nsonne [43]. L lo du nsfe de chleu es dns ce cs : ϕ Avec l équon fondmenle du chmp hemque : ρc V llèlemen l lo de l éleccé dns un mleu connu es : Où : es le coun vesn l uné du conduceu. : es l éssnce du méu. V V L équon fondmenle du chmp de poenel es los C Où C : es l cpcé élecque p uné de volume. Dns l nloge ene ces deu ypes de popgon ϕ es nlogue à à V / à e ρc à C pou cel on pose : m.v ρc n. C p / ϕ m. p. Où m n e p son des coeffcens de smlude. L équon de Foue deven donc dns V p V cee nloge m m nc 3.7. Méhode gphque L ésoluon de cens poblèmes peu êe obenue gphquemen dns un cen nombe de cs pcules so p eemple le cs d un mu sem nfn soums en pos à un échelon de empéue de à. Dns ce cs l nevlle de emps es chos el que [43] :. Dns ces condons on : 64

74 Chpe II Génélés su les méhodes de ésoluon des poblèmes de conducon C es à-de que l empéue à l bscsse e u emps es égle à l moyenne des empéues u pons e u emps. Le gphe de l Fgue II- peme ns d oben l vleu de l empéue u pon pou le emps comme én le mleu du segmen de doe ognn e. Fgue II-: Evoluon des empéues dns un mleu sem nfn 4. CONCLUSION L obecf de ce chpe es de foun quelques clés pou bode l ésoluon de l équon de l chleu. Nous vons pésené quelques gndes méhodes de ésoluon. Le cho de l méhode à dope dns chque pplcon peu êe gudé p les obsevons suvnes : - l méhode nlyque es ben dpée u poblèmes don l géomée e les condons u lmes son smples. Elle l vnge de foun une soluon ece. - l méhode nlogque es génélemen ulsée pou des géomées complees ms dns des condons de sufce smples en pcule dns le cs de condons de Dchle empéue mposée. - pou une géomée complee e pou n mpoe qu elle condon u lmes qu es le cs souven enconé les méhodes numéques s mposen elles pemeen els poblèmes d'êe ésolus pdemen en plus l ngéneu modélsn le poblème numéquemen peu fclemen vo l effe de chngemens des pmèes nevenn dns le poblème. 65

75 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde 66

76 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde. INRODUCION L pueé d un méu es une queson puemen héoque pusque l élé pouve une pésence sysémque des mpueés. Souven une nomle nene dns les sucues soldes modfe foemen leus popéés physques. Le conôle hemque non desucf es une echnque qu peme l nlyse de l pésence des défus. Elle consse à nlyse les dveses sucues p l éude de leus éponses u econs hemques e ébl des elons ene ces éponses e les mpefecons qu elles conennen. Les popéés hemo-physques d une sucue vec défu dffèen à celles d une sucue sne ce qu peme de dscene e de ccése le défu en compn le compoemen hemque des deu sucues. [46 47] L smulon numéque bsée su l méhode des dfféences fnes es ulsée pou ésoude l équon de l chleu dns une condue cylndque ou dns une plque plne f l obe de ce osème chpe.. CAS D UN MAERIAU DE FORME LANE.. Fomulon mhémque Fgue III- : ncpe de consevon de flu de chleu Consdéons un sysème de géomée plne d épsseu d dns l decon e de secon S nomlemen à l decon O. Le bln d énege pplqué à ce sysème s éc : g d s 67

77 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde 68 vec : S d d S d S q g : flu généé d S c s : flu socé En epon dns le bln d énege e en devsn p d nous obenons : S c S q d S S d so : S c S q S dns le cs dmensonnel : c q z z y z y Cee équon peu se smplfe suvn les hypohèses suvnes : s le mleu es soope : z y b s l n y ps de généon d énege à l néeu du sysème : * q c s es consn. On oben l équon de osson défne p:.. III- Où : epésene l dffusvé hemque

78 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde... Cs d une plque plne sns pésence de défu : Dns ce cs l foncon de l empéue ve suvn une équon dfféenelle dns l espce e dns le emps ms pou que le phénomène so déc complèemen e d une fçon bsolue l fu que l soluon ouvée ssfsse uss u condons u lmes suvnes : - condon nle : l empéue à l nsn nle es supposée connue - condon u fonèes: on mpose une empéue consne à l po guche ; cee condon es ppelée condon de Dchle [48].... Cs d une plque plne en pésence d un défu Dns ce cs nous consdéons un défu à l néeu de l sucue du méu l es pésen p un chngemen de l nue du mleu; c es une fssue ou flle emple d de dmenson e de géomée smple e égulèe compse ene X e X Fgue III-. L empéue es clculée à p de l équon III- en ulsn les popéés hemo-physques de l u leu du solde; pou cell on peu consdée que l plque es subdvsée en os zones: I II e III. En suvn les mêmes épes que pécédemmen pncpe de consevon on oben l équon de osson : solde solde zone I zone II Avec : solde solde solde cp solde ; zone III cp X X Fgue III- : plque plne en pésence de défu 69

79 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde ou smplfe l éude on suppose que les concs ene les os zones son pfs fonèes néeues ce qu se du p les équons suvnes : Zones I e II : I X II X empéue connue ene les deu zones I e II I II solde flu connu ene les deu zones I e II X X De même ene les deu zones II e III : II X III X ; II III solde X X En plus de ces condons u fonèes néeues on les condons u fonèes eéeues qu son les mêmes condons u lmes e nle que celles du cs homogène : ; ;.. Résoluon numéque On consdèe une plque plne d épsseu e de longueu L nfne Fgue III-. L méhode numéque ulsée pou bu de nsfome l équon de l chleu compe enu des condons u lmes en un sysème d équons u dfféences fnes équon lgébque lnée. Elle es bsée essenellemen su l dscéson des vbles en découpn le domne éudé p un mllge de fome e de dmenson spécfque u poblème mposé. Noe espce es comps ene deu es e. On décompose le domne en ecngles denques de dmenson [49 5 5]... Cs sns défu L dscéson de l équon III- p l méhode des dfféences fnes donne : 7

80 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde On chos le schém eplce qu nsfome l équon de l chleu à l équon dscésée suvne : L condon de sblé nous oblge à pende : ; M Où M Le coeffcen empéue u emps III- ne peu êe négf pusque cel mpose que l vleu de l M so d un plus fble que s vleu u emps es gnde. Cee suon f ppe une nsblé de clcul qu se du p des oscllons des vleus de l empéue. ou cel d pès des epéences on chos M q où q epésene le nombe de vbles géoméques dns noe cs M On los pou chcun des nœuds nenes l équon : M III-3 M L vnge du schém eplce es que chque équon ne conen qu une seule nconnue.... Cs de pésence de défu L condon de connué ene les deu zones I e II : solde X X solde solde solde : ps d espce dns l zone I : ps d espce dns l zone II solde solde solde solde solde solde III-4 solde solde solde solde 7

81 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde On pose : A A solde solde solde solde solde solde A A On ouve donc pou N X N A N A N III-5 Relon ene les ps d espce e : solde usque M ce solde solde solde solde De même ene les deu zones II e III : solde solde : ps d espce dns l zone III : ps d espce dns l zone II On suppose que le ps d espce dns l zone I es le même que dns l zone III. A A On ouve donc pou N N X solde N N A N N A N N 3. CAS D UN MAERIAU DE FORME CYLINDRIQUE 3.. Fomulon mhémque On consdèe un flude de msse volumque consne qu s écoule dns une condue cylndque de yon néeu R e eéeu R e. En égme vble e sns souce nene l équon de l chleu suvn le yon s éc en coodonnées cylndques : III-6 7

82 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde p R e R R R Defec p Fgue III-3 : Modèle cylndque ulsé L soluon nlyque du poblème de conducon de l chleu s epme p une cene foncon epésenn l empéue en foncon des coodonnées spo-empoelles qu dev ssfe l équon pope u poblème. ou que le phénomène so déc complèemen e d une fçon bsolue l fu que l soluon ouvée ssfsse u condons u lmes suvnes: - on suppose que le cylnde es nlemen à l empéue unfome ; où ve de R à R e - condons u fonèes eéeues : on mpose une empéue consne R e à l po eéeue de l condue. Les popéés hemo-physques du flude e de l condue son supposées consnes Cs sns défu L équon de l popgon de l chleu dns un cylnde suvn l e es donnée p : R Avec les condons u lmes R e e R e 3... Cs de pésence de défu Dns le cs de l popgon de l chleu dns un cylnde ceu en pésence d une nomle défu le cylnde es dvsé en os zones I II e III où l zone II epésene l couche de défu; l équon de l popgon de l chleu es donnée p : 73

83 Chpe III I I solde II II I II Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde zone I : R R zone II : R R III III solde III zone III : R ou smplfe l éude on suppose que le conc ene les os zones es pf fonèes néeues ce qu se du p les équons suvnes : R I II R Connué de empéue ene les deu zones Re I II solde Flu connu ene les deu zones R R De même ene les deu zones II e III : R II III R II III solde R R En plus de ces condons u fonèes néeues on les condons u fonèes eéeues qu son les mêmes condons u lmes e nle que celles du cs homogène : R e R R e 3.. Résoluon numéque 3... Cs sns défu L dscéson numéque de l équon III-6 p l méhode des dfféences fnes donne : 74

84 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde 75 Condon de sblé du schém eplce : Dns le cs pcule : Nous obenons : Cs vec défu L condon de connué ene les deu zones I e II se du p : R R solde R R solde solde solde : solde ps d espce dns l zone I : ps d espce dns l zone II solde solde solde solde solde solde solde solde solde solde On pose : solde solde solde A e solde solde solde A On ouve : A A

85 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Alos : N A N A N pou N R L hypohèse d un ps de emps unque peme de déemne l elon ene les ps d espce solde e : es c solde solde solde solde De même ene les deu zones II e III : solde : ps d espce dns l zone III solde : ps d espce dns l zone II On suppose que le ps d espce dns l zone I es le même que dns l zone III. A A Alos : solde N N A N N A N N pou N N R L équon u dfféences fnes e les condons u fonèes eéeues son les mêmes que celles du cs sns défu: 4 ; R Re R e 4 4. CAS D UN SOLIDE DE CONDUCIVIE HERMIQUE NON UNIFORME On consdèe un cylnde ceu de yon néeue R e eéeue R e de conducvé hemque non unfome. Le solde es supposé solé de l néeue ms eposé su s fce eéeue à un flu de coeffcen de convecon h e de empéue. L équon de l popgon de l chleu s éc dns ce cs : c III-7 76

86 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde 77 Dns le bu d dmensonne l'équon III-7 nous ulsons le chngemen de vble suvn: pou l empéue R e pou le emps R e pou le yon L équon III-7 deven : Re.. Re Re Re Re c. c On pose c K. vble sns dmenson K K K K K K K III-8 Les condons u lmes s écven: e R à R à h Qu devennen pès dmensonnemen :

87 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde 78 R R e à à B / III-9 L dscéson p dfféences fnes donne : ou l équon de conducon III-8 : K K K K 4 4 On pose : 8 4 K c K K b K Apès emplcemen on ouve : c b c b b c b c b b c b III- ou les condons u lmes III-9: III-

88 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde B m m B B m m m B B III- Le sysème mcelle à ésoude p l lgohme de homs [5] se écpule à : b c b m B m b c b c b B b c 5. RESULAS E DISCUSSIONS L confecon e l eécuon des pogmmes nfomques consuen l denèe épe de l éude. Les ésuls obenus dusen les phénomènes éudés e qu concenen les cs suvns : 5.. Cs d un cylnde ceu conenn un défu Dns cee éude les gndeus son dmensonnées de elle soe que l empéue ve ene e. Les fgues c-dessous epésenen l éponse en empéue d une condue cylndque don l po eene es soumse à empéue mposée consne p. L fgue III-4 déc l évoluon de l empéue en foncon du yon d un cylnde sns défu pou dfféens nsns du égme vble. On emque que l empéue ese pesque consne à des posons poches de l po nene pus les vons devennen mpones e pdes u fu e à mesue qu on se ppoche de l po eene. On emque églemen que l peubon es pesque mméde du côé de l po ecée eene ms elle n en les posons nenes qu pès un cen emps de ed Fgue III-5. Les fgues III-6 e III-7 monen le même phénomène dns le cs d une sucue conenn un défu de fome e de géomée unfome vec l ppon d un ceu dns les coubes de l fgue III-6 dû u chngemen d é mleu. Le chngemen de 79

89 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde decon des coubes de l fgue III-7 décvn l évoluon de l empéue en foncon du emps pou dfféenes vleus du yon de l condue ndque l pésence du défu à l néeu de l sucue. ou éude l effe de l pésence d un défu à l néeu de l po du cylnde nous vons cé l évoluon de l empéue en foncon du yon à un emps donné dns les deu cs : vec e sns défu. L fgue III-8 mone que l pésence d un défu se du p l ppon d un ceu e p une dmnuon de l empéue à p de l poson du chngemen de mleu solde-a dns le cs d une sucue vec défu dusn le pssge du mleu solde u mleu flude. L dvegence des deu coubes de l fgue III-9 confme les obsevons emquées dns l fgue III Cs d une plque plne conenn un défu Les fgues III- e III- epésenen l von de l empéue en foncon de l poson d une plque plne à dfféens nsns dns les deu cs vec e sns défu. L fgue III- mone l mpc de l couche de défu su l évoluon de l empéue. On emque que l pésence du défu ede l popgon de l chleu Cs d un cylnde de conducvé hemque non unfome ou ce cs néessn l fgue III-3 lluse l von de l empéue en foncon du emps pou dfféenes los d évoluon de l conducvé hemque : Lnée eponenelle e consne. On emque que l von fonconnelle de l conducvé nflue énomémen su l vleu de l empéue. 8

90 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Fgue III-4 : Evoluon de l empéue en foncon du yon. Cylnde R /R e.66/ sns défu Fgue III-5: Evoluon de l empéue en foncon du emps Cylnde R /R e.66/ sns défu 8

91 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Fgue III-6 : Evoluon de l empéue en foncon du yon. Cylnde R /R e.66/ vec défu R /R.833/.9 Fgue III-7: Evoluon de l empéue en foncon du emps. Cylnde R /R e.66/ vec défu R /R.833/.9 8

92 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Fgue III-8: Evoluon de l empéue en foncon du yon à.. Fgue III-9 : Evoluon de l empéue en foncon du emps pou

93 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Fgue III- : Evoluon de l empéue en foncon de l poson lque plne sns défu Fgue III- : Evoluon de l empéue en foncon de l poson lque plne vec défu.7 e.8 84

94 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde Fgue III- : Evoluon de l empéue en foncon de l poson à.4. Cs d une plque plne Fgue III-3 : Von de l empéue en foncon du emps pou une conducvé hemque non unfome à.35. Cs d un cylnde plen 85

95 Chpe III Anlyse de l pésence de défu dns un cops solde 6. CONCLUSION Dns ce osème chpe nous vons développé une méhode d nlyse du compoemen hemque dns une condue cylndque e une plque plne en égme vble. L echnque de déecon des défus poposée s nsc dns le conee de l ulson des méhodes bsées su le conôle non desucf CND pusqu l s g de e le compoemen hemque d une sucue vec défu pès vo ecée l cble p une von de empéue ou une densé de flu. Nous vons commencé p défn les équons qu défnssen l conducon de l chleu en égme vble pou deu géomées dfféenes cylndque plque. ou ésoude ces équons nous nous ppuyons su l méhode numéque des dfféences fnes pus nous vons epésené l évoluon de l empéue à ves les pos des deu géomées cylndque e plne en foncon du emps e de l espce. L éude es élsée dns un sysème undmensonnel. ou le deu géomées cylndque e plne l pésence d un défu es due p des ceu qu ppssen dns les fgues de l évoluon de l empéue on emque uss que l pésence du défu ede l popgon de l chleu. Dns le cs où l conducvé hemque es vble on lluse une nfluence mpone su l vleu de l empéue. 86

96 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 87

97 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène. INRODUCION Avn d bode le poblème nvese nous commençons p une éude pélmne du poblème dec. Au cous de cee éude nous décons le ype de nsfe consdéé dns nos vu e défnons les pmèes hemophysques ccésn les méu hééogènes. Nous noduons quelques noons essenelles elves à l conducon de l chleu dns ce ype de solde hééogène. Le poblème dec é dns ce chpe es esen à l echeche du pofl de empéue en ou pon de l sufce d une plque soumse à des condons mposées su ses sufces. Il s vèe ndspensble de déce clemen les dfféens mécnsmes esponsbles du phénomène de conducon de chleu e de pécse les condons physques eéeues de empéue e/ou de flu de chleu uquelles un solde peu êe soums. Dns un solde hééogène l conducon de l chleu es le seul mode de nsfe de chleu qu peu êe pésen. Elle es modélsée p l lo phénoménologque de Foue. L consevon de l énege clofque es due loclemen en ou pon p une équon u dévées pelles ED ssfe en ou pon du solde. Cee équon es de équon de l chleu. Elle f neven les popéés nnsèques du méu comme l conducvé hemque qu es vble e l chleu volumque ρc consdéée comme consne ρc. Dns le cs undmensonnel elle se édu sous cenes condons à : ρ c IV- IV- Il es ndspensble d donde les condons u lmes déemnn l vleu de l empéue e/ou l connué de flu de chleu u fonèes du méu. On suppose uss connue l épon de empéue dns le méu à l nsn nl. L ésoluon de l équon de l chleu mune des condons u lmes e nle even à epme en foncon de l vble d espce e du emps : c es ésoude le poblème dec. ou ésoude le sysème d équons compenn l équon de l chleu e les équons de condons u lmes e nle l ese pluseus echnques numéques : les dfféences fnes les volumes fns les élémens fns ec. Nous nous néessons essenellemen à l echnque des dfféences fnes e nous moneons commen 88

98 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 89 l équon u dévées pelles de l chleu se édu à un sysème mcel smple à ésoude.. FORMULAION DU ROBLEME DIREC Descpon du sysème physque : Dns le bu de consue coeffcen de conducon de l chleu le solde es soums à une econ de flu φ su les deu pos eéeue e néeue e à une empéue nle à l sufce. Le phénomène de conducon de l chleu dns un solde hééogène es déc p l fomule mhémque suvne :.. X X X X X c θ θ ρ IV-3 Les vblesθ e son dmensonnées de l fçon suvne : ; c. ρ... L L c ρ ; θ θ θ θ f θ : empéue nle f θ : empéue du mleu eéeu On emplce dns l équon : L c L L f f..... θ θ ρ θ θ Apès smplfcon on ouve : c.. ρ c c... ρ ρ L X

99 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène On pose : conducvé dmensonnelle L équon se smplfe à s fome édue: < < f e < < l IV-4 3. ROBLEME INVERSE E MEHODE D OIMISAION Le poblème nvese peu êe ms sous fome d un poblème d opmson où les nconnues son déemnées de elle soe qu elles mnmsen l éc ene les mesues ssues de l obsevon du sysème physque dns noe cs elles son emplcées p un modèle numéque ec e le modèle dec. Le cs où les deu qunés son égles e s l y uncé de soluon les pmèes d enées du modèle dec son ceu du sysème physque. Fgue IV- : Le sysème éel e le modèle numéque dns une ppoche opmle de ype monde cée L obecf d un poblème de conôle opmsé es de déemne un cen nombe de foncons nevenn dns le sysème de elle soe que le sysème so condu d un é connu ves un é souhé l obecf en une duée de emps lmée. Dns ce quème chpe on s néesse à l déemnon du coeffcen de conducon 9

100 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène dns un solde hééogène pou un nsfe de chleu p conducon p l méhode nvese Invese He Conducon oblem I.H.C. en employn l méhode du gden conugué. Un cèe J de monde cé es nodu pou mnmse l'éc ene l empéue clculée clculée p le modèle dec e l empéue mesuée ou ben ece m clculée p le modèle ec. f dd J IV-5 m 4. CALCUL DE VARIAION L obecf du clcul es de mnmse le cèe le plus pe possble pou qu l convege à l soluon qu nous conven c'es-à-de ppome l vleu éelle souhée de soe que : J nf J 4.. Défnon de l dévée deconnelle Dns ce vl l decon de l von se f es suvn. L dévée deconnelle u sens de Gâeu es de l fome [53]: J ε J D J qund ε ε s D J es une fome lnée connue en f J D J dd J : Gden du cèe J L'dée de l méhode es comme su : S F es dévble en un pon F déco le plus pdemen dns l decon opposée à celle de gden de F en : gdf On pose B C ψ. F S ψ f los ψ. F p los B < C On emplce vec des vbles sgnfcves : n n ψ n F Alos F F F... 9

101 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Dns ce qu ven on v défn chque eme F n B Cψ e les épes qu les clculen. 4.. oblème de sensblé Le poblème de sensblé es obenu à p du poblème dec défn p l équon IV-4. Cee équon sub à une von pou l empéue e pou le coeffcen de conducon de l chleu de soe que ces deu gndeus s écven : deven : ε ε ε ε Ece l équon de sensblé c'es emplce dns l équon du poblème dec IV-4 p ε e p ε e on f une souscon ene les deu équons en néglgen le second ode pou le ésul fnl on oben l équon : IV-6 Avec les condons u lmes : IV-6- IV-6- IV-6-3 L soluon de l équon de sensblé es qu se à clcule l pofondeu de descene qu es une des clés pou ésoude noe poblème ofondeu de descene D pès le pgphe 4- l méhode éve du gden conugué es bsée su deu pmèes essenels don l pofondeu de descene qu ccésen cee méhode. L conducvé hemque es donc clculée évemen p: n n - n n θ d IV-7 où d es l decon de descene θ es l pofondeu de descene 9

102 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène f θ. d [ θ. d Y ] dd J IV-8 Y : epésene l empéue ece ou mesuée. On oben pès lnéson de l empéue p le développemen de ylo:. d IV-8- θ d θ. θ. d θ. D où : IV-8- f θ. d [ θ. Y ] dd J IV-8-3 J f θ. d Y θ dd Alos : IV-8-4 f θ. d [ Y θ Y θ ]dd. J IV-8-5 L condon d opmlé s éc : J θd IV-8-6 θ Ce qu donne : f. Y. θ. dd On oben : f IV-8-7 Y.. dd dd θ IV-8-8 f 93

103 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène L EQUAION DU ROBLEME ADJOIN E L EQUAION DU GRADIEN DU CRIERE L équon done e le gden du cèe son obenus en mulpln l équon de von IV-6 p le mulplceu de Lgnge ou ben p des foncons dones e on oun l équon du cèe J défne en IV-8 le sysème l équon deven : [ ] dd Y dd dd J f f f. IV-9 L épon de cee équon donne : dd I f IV-9- dd I f IV-9- f dd I 3 IV-9-3 dd I f 4 IV-9-4 dd I f 5 IV-9-5 On f neven l echnque d négon p pes e en posn : Clcul de l négle I : dd d d dd I f f f dd d d f f I f

104 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 95 Clcul de l négle I : [ ] [ ] dd I f dd f [ ] dd dd d d I f f f f Clcul de l négle I 3 : dd I f 3 [ ] [ ] dd d d f f [ ] [ ] [ ] f f f dd d d d Clcul de l négle I 4 : dd I f 4 dd d f f dd dd d d I f f f f - 4

105 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 96 dd I f 5 L sommon des 5 négles donne : [ ] d dd d d f f f f [ ] dd dd d f f f [ ] [ ] [ ] dd d d f f f dd d d f f f [ ]. dd Y dd dd f f f Apès smplfcon ene emes on ouve: dd f d d d f f dd f f d d d f f f [ ]. dd Y d d f f f IV-9-6 Des smplfcons son possbles à ves les condons u lmes es nle qu son données p : IV-9-7 IV-9-8 IV L équon done En mposn les condons u lmes de l équon done on bou à l équon done e le gden de cèe :

106 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Im [ Y ]. IV- Les condons de l équon done son ssues de l smplfcon de l'équon IV-9-6 : IV-- f Y IV-- Y IV Gden du Cèe L équon IV-9-6 foun l von du cèe : f J dd IV- On uss p défnon [54]: f J J dd IV- denfcon emes à emes on oben le gden du cèe : IV-3 J 5.3. Mnmson du cèe Le cho de l méhode de mnmson du gden v ben enendu dépende des popéés de l fonconnelle J. S J es dfféenble on peu los ulse les méhodes clssques du gden conugué du qus-newon ou de Mqud-Levenbeg. Ces méhodes conssen à clcule une sue de decons de descene à p du clcul du gden de l fonconnelle J pus opmse une pofondeu de descene suvn chque decon successve. [55 56] 97

107 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 5.4. Méhode du gden conugué En nlyse numéque l méhode du gden conugué es un lgohme numéque ulsé pou ésoude des sysèmes d'équons lnées e non lnées don l mce es syméque e défne posve. Cee méhode mgnée en 95 smulnémen p Conelus Lnczos e Mgnus Hesenes es une méhode éve qu convege en f en un nombe fn d'éons. Elle éé ulsée pou ésoude le poblème nvese de l chleu p Alfnov & Egeov pus elle à éé epse pluseus fos p l sue pésenn dfféenes pplcons possbles lln de l déemnon de souce ou condons u lmes à l déemnon de pmèes cs é [56-58]. L decon de l descene Le pocessus éf cé u pgphe 4.3 es bsé su l méhode du gden conugué elle es ulsé pou l'esmon de en mnmsn l fonconnelle J donnée p l équon IV-8 : n n n n θ d pou n Où θ es l pofondeu de descene déà défne e d n es l decon de descene donnée p : d n n J γ n n d n C es une epesson nspée du gden conugué du cèe où J epésene le gden du cèe. Dns le cs où n l decon de descene deven le gden du cèe. Le coeffcen conugué es donné p [56] : f n J n f n J dd γ vec γ IV-4 dd ou effecue le clcul éf de l équon IV-7 nous devons ésoude deu équons l équon done qu déemne l decon de l descene e l équon de sensblé mplqun l déemnon de l pofondeu de descene. 98

108 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène FORMULAION D UN ROBLEME EXACE ou que l éude so cédble l fu vo des données epémenles ou ben une foncon qu du les ésuls epémenu pou cel on popose une soluon nlyque pus on l nsfome en soluon numéque. Cee équon es nspée de l foncon de conducon de l chleu dns le cs d un solde hééogène qu es donnée p l équon : IV-5 On popose l von suvne de l empéue : c b. ep α : foncon devn véfe l équon IV-5 Avec 6 6 c b b α Alos ep. ep c b c b α α α ep b α ep 6 6 c b c b b α α 6 ep 6 c b b b b α α Apès clcul on oben : c b ep α α On peu donc véfe que : On peu sémen ouve les condons u lmes e nle en chosssn les vleus suvnes :

109 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Soluon numéque ece Vleus epémenles oblème dec Dscéson p dfféences fnes Inconnue oblème don Decon de descene oblème de sensblé ofondeu de descene Gden Conugué Esmon es d ê Inconnues esmées Dgmme du pncpe de l méhode done

110 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 7. RESOLUION NUMERIQUE DU ROBLEME DIREC 7.. Résoluon numéque du poblème dec ou l ésoluon numéque on su les épes de l lgohme pésené dns le schém de l fgue IV-. L ésoluon numéque es bsée su une dscéson suvn le schém de dfféences fnes. ou l sblé de clcul on dscése le emps suvn le schém mplce ncondonnellemen sble ou l dscéson de l empéue en foncon de l bscsse on su le schém cené : L équon du poblème dec es donnée p : ; 4

111 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 8 ou smplfe les clculs on nodu deu coeffcen A e B el que : A 8 B Ce qu donne :.. B A.. B A B B A B A B B A B A B B A B A B B A On pose B A B B A dd On bou à un sysème d équons dgonl DMA qu es ésolu p l lgohme de homs bsé su l élmnon de Guss [5]. 7.. Résoluon numéque de l équon done L équon done es défne p : [ ]. Im Y Avec : foncon de dc

112 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 3 On pose [ ]. Y E : Eeu ene l empéue esmée e l empéue ece l équon deven pès dscéson: m E..... E m 8 On nodu les consnes : 8 B A E B A B B A B A B B A m Avec les condons u lmes : f Y Y 7.3. Résoluon numéque de l équon de sensblé L équon de sensblé es donnée p : De même que pou l équon dece on dscése l équon de sensblé en ulsn le schém u dfféences fnes :

113 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène ou smplfe les clculs on pose : 8 A B C 8 [ ] D On oben pès emplcemen :.. D C B A B B A B A B B A Avec les condons u lmes :

114 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 8. RESULAS E DISCUSSIONS ou vlde noe modèle numéque nous vons ulsé les données de l soluon ece déce u pgphe IV-6 e qu son : b c ep α α b b 6 c 6 Avec : -.45 b-5 c5.5 α.5 b c q q L fgue IV- epésene l évoluon de l empéue en foncon de l poson dns le solde u emps.99 clculée en ulsn le modèle numéque dec e l soluon ece on peu mone que le poblème dec bsé su le schém des dfféences fnes donne ouous des ésuls pécs. ou évlue l pécson de cee méhode on donne u bleu VI- l eeu elve en compson vec l soluon nlyque ece en foncon du emps. L eeu moyenne es de l ode de.%. Fgue IV- : Von de l empéue en foncon de l poson u emps.99 5

115 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Les ésuls obenus vec l méhode nvese pou un schém de dscéson de 3 nœuds pou le emps e nœuds pou l poson monen que les vleus clculées de l conducvé hemque e de l empéue coïncden pfemen vec les vleus eces coespondnes Fgues VI-3 e VI-4. L eeu elve es de l ode de.56 % e.65 % especvemen su l empéue bleu IV- e l conducvé hemque e le cèe psse de 5477 à 3.9 pès 5 éons bleu IV- K nombe d éon Eeu elve % K nombe d éon Eeu elve % bleu IV- : Eeu elve su l empéue ece e l empéue clculée p méhode nvese 6

116 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Fgue VI-3 : Conducvé hemque ece e clculée poblème nvese Fgue IV-4 : empéue ece e clculée poblème nvese 7

117 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène K nombe Cc cèe K nombe Cc cèe d éon d éon bleu IV- : Evoluon du cèe en foncon du nombe d éon 8

118 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène L eeu elve su l empéue es défne p : E% Avec : m nm Y. Y. n : empéue clculée en ulsn l méhode nvese Y : empéue ece. m : Nombe ol de nœuds selon l bscsse de l poson. nm: Nombe ol de nœuds selon l bscsse du emps L eeu elve su l conducvé hemque es défne p : E% Avec : m e e m m m : Conducvé hemque clculée en ulsn l méhode nvese e : Conducvé hemque ece. m : Nombe ol de nœuds. Les fgues IV-4 IV-5 e IV-6 décven les évoluons de E e E ns que du cèe en foncon du nombe d éons. Fgue IV-5: Evoluon de l eeu E en foncon de K 9

119 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène Fgue IV-6 : Evoluon de l eeu E en foncon de K Fgue VI-7: Evoluon du cèe cc en foncon de K

120 Chpe IV Idenfcon p méhode nvese de l conducvé hemque dns un solde hééogène 9. CONCLUSION Les ésuls obenus vldés p l compson des pofls hemques ecs epémenu vec les ésuls esmés pemeen ns de usfe l fblé de cee ppoche ès néessne pusqu elle peme p l neméde d une echnque bsée su le poblème nvese d esme un pmèe nene qu es l conducvé hemque. ou l mse en fome d un poblème nvese l noon d opmson d un éc qudque es los nodue fn de smplfe le poblème. Le ccèe ml-posé des poblèmes nveses nous condu à ulse l echnque des gdens conugués MGC bsée su l ésoluon de os poblèmes à chque éon poblèmes dec don e de sensblé. Les équons obenues son dscésées suvn l méhode clssque des dfféences fnes e le poblème es ésolu numéquemen. L eécuon du pogmme numéque donné des ésuls ès néessns pusqu on pu bou à l soluon ece vec des eeus elves fbles so pou l empéue ou pou l conducvé hemque en plus le cèe qu es une éféence du clcul numéque déco pdemen en peme emps pus l pend des vleus poches l une des ues en lln dns le sens décossn.

121 Concluson généle

122 CONCLUSION GENERALE L obecf pncpl que nous nous sommes fé dns cee éude éé l mse en ouve d une méhode nvese ulsn le gden conugué pou l ésoluon de l équon de l conducon hemque dns un sysème undmensonnel de conducvé hemque non unfome. L éude de l pésence de défus poposée u osème chpe s nsc dns le conee de l ulson des méhodes bsées su le conôle non desucf CND pusqu l s g de e le compoemen hemque d une sucue vec défu pès vo ecée l cble p une von de empéue ou une densé de flu c es un vl d'nlyse. Les ésuls que nous vons obenus su quelques eemples on moné qu une nomle dns une sucue homogène peu êe denfée p l'nlyse des pofls de empéue en les compn à ceu d une sucue sne. Les conséquences pques de cee éude pssen néessnes pusqu elle peme de pévo le compoemen hemque d un méu en égme vble e p l sue d nlyse e de ccése les défus qu peuven ese su ou à l néeu de ce solde. En mgnn l suon nvese dns lquelle on veu déemne les ccésques hemo physques d'un solde hééogène dns le cs où on ne conn que les condons u fonèes c es ce qu éé véfé dns le quème chpe. Dns ces vu su les poblèmes nveses en hemque le poblème d denfcon de pmèe éé pésené. Nous vons é l denfcon d une ccésque qu es l conducvé hemque dns un méu solde hééogène. Afn de édue l équon u dévées pelles de l conducon de l chleu à un sysème dfféenel odne dffclemen ésolvble numéquemen à cuse de s non lnéé un lgohme de ésoluon du poblème dec en dmenson combne l dscéson sple p l echnque des dfféences fnes e l négon sommon empoelle p l même echnque. ou esme ce pmèe hemophysque du modèle poposé une echnque nvese bsée su l mnmson du cèe éé développée. Elle s ppue su l équon done de l empéue qu peme le clcul de l decon de descene. Un clcul de sensblé peme de dédue l pofondeu de descene. Les ésuls numéques obenus monen l'effccé de l méhode n u nveu pécson qu'u nveu mplnon e eécuon. 3

123 L eécuon du pogmme numéque donné des ésuls ès néessns pusqu on pu bou à l soluon ece vec des eeus elves fbles so pou l empéue ou pou l conducvé hemque en plus le cèe qu es une éféence du clcul numéque déco pdemen en peme emps pus l pend des vleus poches l une des ues en lln dns le sens décossn. 4

124 Réféences Bblogphques [] Mnuel de essuge. Ches du COFREND Fsccule I : Noons su l pecepon des mges des défus. Annee no 7 déc [] F. Mchls Éude vsn le pefeconnemen du conôle mgnéoscopque. CI No 3 p Assocon echnque de l Sdéuge fnçse 97. [3] M. ed ncpe du conôle non desucf p couns de Foucul. CAS INSA de Lyon Insu Nonl des Scences Applquées Volume 3 Issue 5 Sepembe 994 ges [4] D. Boussd D. Les ccéléeus de pcules. UF e éd [5] J.C. Albe e O. CASSIER Le conôle non desucf echnques de bse Conôle en ondes de Lmb de ôles d ce noydble à l de d un généeu de ns d onde. 6 e Colloque nenonl su les méhodes de conôle non desucf Ssboug Oc [6] L. IBOS J.L. BODNAR Conôle non desucf de l solon hemque du bâmen Slon Mesuepo oe de Veslles - 7 sepembe 7 [7] L hemogphe nfouge Assocon Fnçse d'gences de Conôle p hemogphe e Inflomée pou l Mîse de l'enege [8] W.J. e R.J. Jenns C.. Bule G.L. Abbo Flsh Mehod of Deemnng heml Dffusvy He Cpcy nd heml Conducvy J. Appl. hys. Vol 3 N 9 96 [9] h. Zweschpe A. Dllenz G. Rege D. Schelng G. Busse Ulsound eced hemogphy usng fequency moduled elsc wves Insgh Vol. 45 No 3 3 [] B. HAY J. R. Flz J. HAMEURY e L. Rongone Esmon de l nceude de mesue de l dffusvé hemque p méhode flsh LNE Revue Fncse de méologe [] B. Rémy A. Degovnn e D.Mlle Mesuemen of he In-lne heml Dffusvy of Mels by Infed hemogphy Inenonl Jounl of hemophyscs Vol. 6 n 5 [] A. Obbd Le Conôle hemque non Desucf CND des méu e des 5

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130 ملخص الهدف الري يسي من هذا البحث تطبيق هو نموذج عكسي باستخدام التدرج لحل معادلة المترافق الانتقال لجسم الحراري غير متجانس ا حادي البعد وذو ناقلية حرارية متغيرة. العمل واقترح تحليل وجود لدراسة في عيوب الا جسام الصلبة و هي ا ساليب معروفة الاختبار باسم غير التدميري السلوك الحراري للمنشا ت التي تحتوي على في درجة لتغير تعرضها بعد عيوب الحرارة ا و كثافة تدفق. Absc he mn obecve of hs sudy s he mplemenon of n nvese mehod usng he conuge gden fo solvng he he conducon equon n one-dmensonl nonhomogeneous sysem wh vble heml conducvy. he nlyss of he defec pesence suggesed s lso he subec of hs wo. I s p of he mehods bsed on nondesucve esng ND o ddess he heml behvo of sucue wh defecs subeced o empeue o flu densy von on he wll. Résumé L obecf pncpl de cee éude es l mse en ouve d une méhode nvese ulsn le gden conugué pou l ésoluon de l équon de l conducon hemque dns un sysème undmensonnel e non homogène de conducvé hemque vble. L éude de l pésence de défus poposée f églemen l obe de ce vl. Elle s nsc dns le cde des méhodes bsées su le conôle non desucf CND vsn à e le compoemen hemque d une sucue vec défu soumse à une von de empéue ou une densé de flu su l po c es un vl d'nlyse.