Chapitre. LES DÉRIVÉES A. Introduction Le concept de «dérivée» qui va être introduit dans le présent chapitre va faire découvrir tout ce qui manque encore pour pouvoir représenter graphiquement une fonction f. Les dérivées permettent de déterminer les variations de f, c est-à-dire de Connaître les intervalles dans lesquels f est croissante ou décroissante, Déterminer, s ils eistent, les etremums de la fonction, Déterminer les points éventuels pour lesquels le graphique admet une tangente verticale, Déterminer la concavité de la courbe et ses points d infleion éventuels. B. Rappels 1. Accroissements et tau d accroissement Pour deu valeurs données 1 et de la variable, l accroissement de est la différence - 1. Cela signifie simplement que l accroissement est donné par la formule - 1 1 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.1
Pour deu valeurs données 1 et de la variable, l accroissement y de la fonction f est la différence f ( ) f ( 1 ). Il en résulte que y f ( ) - f ( 1) f ( ) C est l accroissement de f entre et 1 y y f ( f( ) 11 1 1 Le tau d accroissement de la fonction f est le rapport entre les accroissements y et. Il s agit donc du quotient y.. Coefficient angulaire d une droite Le coefficient angulaire 1 (ou coefficient de direction) de la droite d équation est m. y m + Le coefficient angulaire m de la droite passant par les points A( A, y A) et B( B, yb ) est donné par m y y B A pour autant que B soit différent de A. Il représente donc le B A tau d accroissement de la fonction f : m + p : y m Pour rappel, l équation de la droite de coefficient angulaire m donné et passant par le point A de coordonnées (, y ) s écrit v De plus, en aes orthonormés, droite représentant la fonction donnée. A A y y m( ) A A m tgα où α représente l angle formé par l ae O et la p 1 Certains auteurs réservent l epression «coefficient angulaire» au cas où les aes sont orthonormés. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.
. Sécante à une courbe On considère une courbe C d équation y f() et deu points A et B situés sur cette courbe. La droite AB est sécante à la courbe C. Une droite est sécante à une courbe lorsqu elle coupe cette courbe.. Tangente à une courbe Si les points A et B sont confondus, la droite s devient tangente à la courbe. C est ce qui arrive notamment lorsque A reste fie et que B se déplace sur la courbe vers A jusqu à être confondu avec A. Lorsque l un des deu points d intersection de la courbe et de la sécante se rapproche de l autre jusqu à être confondu avec celui-ci, la sécante porte le nom de tangente. Il résulte de cette définition que le coefficient angulaire de la tangente t à une courbe C en un point A est la limite du coefficient angulaire d une sécante s comprenant le point A lorsque le point B tend vers A. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.
Remarque Une tangente à une courbe peut couper celle-ci en un ou plusieurs points. Eemple Considérons la fonction f ( ) + 5 et la tangente à son graphique au point d abscisse 0,5. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.
C. Nombre dérivé et fonction dérivée On supposera dans la suite de ce chapitre que les conditions d eistence sont vérifiées. 1. Position du problème Considérons la fonction : f : R R : et le point A (,1) situé sur la courbe C représentant cette fonction. Le problème consiste à déterminer le coefficient angulaire de la tangente à la courbe C au point A. A cet effet, choisissons un autre point B (, ) quelconque, mais situé également sur la courbe C. On trace la droite AB. Le coefficient angulaire de la sécante s est m s 1 Lorsque B se déplace sur la courbe C en direction de A, ce coefficient angulaire varie, mais l epression qui permet de le calculer reste la même. Quand B s approche de A, la droite s s approche de la tangente et lorsque B arrive en A, s est confondue avec la tangente. Le coefficient angulaire de la tangente est la limite de l epression ci-dessus lorsque tend vers. On constate (graphiquement) que le coefficient angulaire de la tangente t vaut 1. On calcule algébriquement ce coefficient angulaire et on obtient : 1 0 mt lim ms lim F 0 + lim lim 1 ( ) 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.5
On dit que 1 est le nombre dérivé de en : on notera : f () 1. De la même façon, calculons f () et f ( ) et enfin f ( a ) 0 f () lim F 0 16 + lim lim ( ) 9 0 f ( ) lim F + 0 9 lim lim ( + ) a² 0 f ( a) lim F 0 ² + a a lim lim On peut ainsi calculer le coefficient angulaire de la tangente t à la courbe d équation y en n importe quel point d abscisse donnée grâce à la fonction : f : R R : f ( ) avec f ( ).. Définitions f est la fonction dérivée de la fonction f. On considère la fonction : f : R R : f ( ) que l on suppose continue en a. Le coefficient angulaire de la tangente à la courbe d équation y f ( ) f ( a) d abscisse a est : f ( a) lim si cette limite eiste. Comme on l a dit, il s agit du nombre dérivé de f en a. f ( ) au point S il eiste, le nombre dérivé d une fonction en un point de celle-ci est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point. Léquation de la tangente au point dabscisse a sécrit y y y a a 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.6
Une fonction est dérivable en a si et seulement si f ( a) est un nombre réel. Une fonction est dérivable à gauche en a si et seulement si eiste et est un nombre réel. Une fonction est dérivable à droite en a si et seulement si eiste et est un nombre réel. f ( a) lim f ( a) lim + f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) Une fonction dérivable à gauche et à droite en a est dérivable en a. La fonction f dérivée de la fonction f est la fonction qui applique tout point sur le nombre dérivé en ce point : f : R R : f ( ). Dériver une fonction, c est rechercher sa fonction dérivée. Le domaine de dérivabilité d une fonction est l ensemble des réels en lesquels elle est dérivable. D. Formules de dérivation Dans ce qui suit, nous supposerons que les conditions deistence sont toutes remplies. 1. Dérivée d une constante Considérons la fonction constante : f : R R : k, k R On a f f ( ) f ( a) k k ( a) lim lim 0 D où la dérivée : f : R R : 0 k 0 : la dérivée dune constante est nulle.. Fonction identité Considérons la fonction : f : R R : On a f ( ) f ( a) f ( a) lim lim 1 D où la dérivée : f : R R : 1 1 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.7
. Puissances entières de Considérons la fonction : f : R R : On a f f ( ) f ( a) ( a) lim lim ( + a) lim lim( + a) a D où la dérivée : f : R R : ( ²) Considérons la fonction : On a f ( ) f ( a) f ( a) lim lim D où la dérivée : f : R R : ² f : R R : ( + a + a lim ) lim ( + a + a ) a ( ³) ² On a Considérons la fonction : f : R R : f ( ) f ( a) f ( a) lim lim D où la dérivée : f : R R : ³ ( + a)( lim ( ) + a ) lim ( + a)( + a ) a.a a On a Considérons la fonction : f : R R : n 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.8
f n f ( ) f ( a) ( a) lim lim n 1 n n n n n 1 ( + a + a +... + a + a + a ) lim + + + + + + n 1 lim( n a n a... n a n a n 1 a ) na n 1 n Donc n n 1 n, n N 0 Eemples Calculer les dérivées suivantes : 9 et 1. Racine carrée de 9 8 1 1 Considérons la fonction f R R continue sur [ + [ On a : f ( a) lim lim f ( ) f ( a) ( + a ) lim ( )( + a ) lim ( )( + a ) 1 1 lim ( + a ) a 1 D où la dérivée : f : R R : pour autant que soit différent de 0. : : 0,. ( ) 1 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.9
5. Puissance quelconque de Nous admettrons sans démonstration que n n n R : n Eemples Calculer les dérivées des fonctions suivantes 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.10
E. Dérivée d une somme et d un produit de fonctions On supposera dans la suite que toutes les conditions d eistence sont vérifiées 1. Dérivée d une somme de fonctions f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) qui peut s écrire plus simplement f + g f + g La dérivée de la somme de deu fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions. Démonstration On considère deu fonctions : f : R R : f ( ) et g : R R : g( ) et leur somme f + g : R R : f ( ) + g( ) ( f + g )( ) ( f + g )( a) ( f ( ) + g( ) ) ( f ( a) + g( a) ) f + g ( a) lim lim f ( ) + g( ) f ( a) g( a) f ( ) f ( a) + g( ) g( a) lim lim f ( ) f ( a) g( ) g( a) lim + lim f ( a) + g ( a) Eemples : + + 1 + +. Dérivée d un produit de fonctions + f ( ). g( ) f ( ). g( ) f ( ). g ( ) qui peut s écrire plus simplement ( f. g) f. g + f. g 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.11
Démonstration On considère deu fonctions : f : R R : f ( ) et g : R R : g( ) et leur produit R R f. g : : f. g ( ) f ( ). g( ) b g f. g ( a) lim f. g ( ) f. g ( a) f ( ). g( ) f ( a). g( a) lim f ( ). g( ) f ( a). g( ) f ( a). g( ) f ( a). g( a) I + K J a lim b g b g F HG F HG f ( ) f ( a) g f a g ( ) g ( a ) lim. +. f f a lim g.lim lim.lim ( ) g ( a g + f a ) f ( a). g( a) + f ( a). g ( a) I K J Eemples ( + 1).( ) ( + 1) ( ) + ( + 1)( ) ( ) + ( + 1). 6 + + 5 + 6 + + + + + + + ( 1).(6 ) ( 1) (6 ) ( 1)(6 ) + + + + ( 1)(6 ) ( 1).6 + + + + + 6 8 1 6 6 + 6 0. Dérivée d un produit d une fonction par une constante k. f ( ) k. f ( ) qui peut s écrire plus simplement ( k. f ) k. f Démonstration On considère la fonction : f : R R : f ( ) et la constante k. La fonction k. f est définie par : R R k. f : : k. f ( ) k. f ( ) Dans la propriété précédente, il suffit de remplacer g( ) par k et, comme k est une constante, sa dérivée est nulle. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.1
Eemples ( ) ( ) ( 1) ( ( + 1).( 9) ) (( + 1).( 9) ) (( + 1)( 9) + ( + 1)( 9) ) ( 1.( 9) + ( + 1). ) ( 9 + + ) + (5 9) Conséquences Si f, g, h sont des fonctions de, on a ( fgh) f gh + fg h + fgh Si n f représente le ième n puissance de la fonction f, on a n n 1 ( f ) n. f. f F. Dérivée d un quotient de fonctions f ( ) f ( ). g( ) f ( ). g ( ) g( ) g ( ) qui peut s écrire plus simplement f f. g f. g g g Démonstration On considère deu fonctions f : R R : f ( ) et g : R R : g( ) et leur quotient : : R R ( ) f. g g g( ) On a f ( ) f ( ). g( ) g( ) et par dérivation des deu membres f ( ) f ( ) f ( ). g( ) +. g ( ) g( ) g( ) En divisant les deu membres de cette égalité par g( ), on obtient : ou f ( ) f ( ) f ( ) +. g ( ) g( ) g( ) g ( ) 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.1
f ( ) f ( ) f ( ). g ( ) g( ) g( ) g ( ) ou encore f ( ) f ( ). g( ) f ( ). g ( ) g( ) g ( ) Cas particulier : dérivée de l inverse d une fonction c.q.f.d. 1 f ( ) f f qui peut s écrire plus simplement 1 f f f Il suffit de remplacer f par 1 et g par f dans la formule précédente. Eemples 1 + + ( ) 1 8 5 Mais aussi : 1 5 ( ) 5 1 ( )( 1) ( 1) 1 1 ( ) ( 1). ( 1) ( 1) ( 1) 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.1
+ 1 ( + 1)( ) ( + 1)( ) ( ) ( ) 1.( ) ( 1)( ) ( ) ( + ) + ( ) + + + + 5 5 + 1 ( + 1) 5 5 ( )( 1) ( )( 1) 5 0.( + 1) ( )(5 + ) 5 ( + 1) (5 + ) ( + 1) 5 G. Dérivée de la composée de deu fonctions On admettra, les conditions de dérivabilité étant vérifiées, que g f g f f ( ) ( ). Eemple On considère les fonctions f g : R R : 1 et : R R : f ( ) 1 g( ) 1 f ( ) g ( ). 6 b g ( ) g f : R R : g f ( ) b g b g g f ( ) g f ( ) f ( ) 1 g f ( ) g f ( ). f ( ) ( ) ( ) [ ] g f ( ). f ( ) 6 f ( ). f ( ) 6( 1). ( 1) 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.15
H. Fonctions trigonométriques 1. Dérivée de la fonction sinus f ( ) f ( a) sin sin a f ( a) lim lim + a sin cos lim + a sin cos lim.lim 1.cos a cos a Donc et ou plus simplement ( sin ) cos sin u( ) ucos u( ) sin u ucos u Eemples sin( ) cos( ) ( ) sin( + ) (6 ) cos( + ). Dérivée de la fonction cosinus Puisque F π cos sin on a HG I K J, 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.16
Donc et ou plus simplement π cos sin ( ) π π.cos π ( 1). cos sin ( cos ) sin cos u( ) usin u( ) cos u usin u Eemples cos(5 7 ) (5 7 ) sin(5 7 ) 7sin(5 7 ) cos (5 + ) (5 + )sin(5 + ) + (10 ) sin(5 ). Dérivée des fonctions "tangente" et "cotangente" ( tg ) sin cos (sin ).cos sin.(cos ) cos cos + sin cos 1 1+ tg cos cos (cotg ) sin (cos ).sin cos.(sin ) sin ( sin ).sin cos.cos sin sin cos sin 1 (1 + cotg ) sin Donc 1 cos ( tg ) et 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.17
u( ) cos u( ) ( tg u( ) ) que l on peut écrire plus simplement De plus u tg u cos u 1 sin ( cotg ) que l on peut écrire plus simplement u( ) sin u( ) ( cotg u( ) ) u cotg u sin u Eemples ( tg ) cos ( tg ( + ) ) ( cotg ( 1) ) ( cotg (5 )) sin ( + ) + 10 sin 5 (6 1) sin ( + 1) 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.18
I. Dérivées successives La dérivée d une fonction étant elle-même une fonction peut être dérivée. Lorsque l on dérive la dérivée d une fonction, on dit qu on recherche la dérivée seconde de la fonction de départ. Il est évident que l on peut continuer de la sorte indéfiniment et obtenir les dérivées troisième, quatrième, cinquième, etc. d une fonction donnée. J. Théorème du Marquis de L Hospital Si f et g sont deu fonctions dérivables au voisinage de a et si conduit à une des deu indéterminations 0 0 ou, on a lim f ( ) f ( ) lim g( ) g ( ) a a lim a f ( ) g( ) 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre : Les dérivées p.19