Mathématiques. Fonctions : limites et continuité

Mathématiques Fonctions : limites et continuité Pierre Mathonet Département de Mathématique Faculté des Sciences Liège, printemps 206

Les limites : but du jeu On considère une fonction f de R dans R; On cherche à étudier le comportement de f au voisinage de a R : c est la notion de limite en un point a; Intérêt majeur : Définir les dérivées; On peut aussi étudier le comportement de f pour des valeurs arbitrairement grandes (en valeur absolue). C est la notion de comportement asymptotique ou de limite à l infini. Dans les deux cas il faut que f soit définie pour suffisamment de points proches de a ou proches de l infini. La solution à ces deux problèmes est similaire et viendra de la définition adéquate de la notion de proximité.

Instruments de mesure et erreurs Tout instrument donne une mesure avec une marge d erreur. Celle de gauche a une marge d erreur ε = 2.5 grammes. Sa capacité est limitée à N =2000g : Pour celle de droite, ε = 0.005 grammes et N = 20g. La balance de gauche indique 50g quand on est en réalité entre 50 ε et 50 + ε. Elle indique + dès qu on dépasse 2000g (elle n indique plus rien). Celle de gauche indique 0.5g quand la mesure réelle est entre 0.5g ε et 0.5g + ε, et + dès qu on dépasse 20g

Les limites dans ma cuisine Je verse du sucre dans ma balance de cuisine, pour atteindre 200g: Sucre 200 0 0 2 4 6 8 0 2 temps 4

Les limites dans ma cuisine Je verse du sucre dans ma balance de cuisine, pour atteindre 200g: Sucre 200 0 200 + ε 200 + ε 0 2 4 6 8 0 2 temps 4

Les limites dans ma cuisine Je verse du sucre dans ma balance de cuisine, pour atteindre 200g: Sucre 200 0 200 + ε 200 + ε 0 2 4 6 8 0 2 temps Si je prends une balance plus précise, j ai un autre ε, mais à partir d un instant, elle indiquera quand même 200. 4

Les limites dans ma cuisine Je verse du sucre dans ma balance de cuisine, pour atteindre 200g: Sucre 200 200 + ε 200 ε 0 0 2 4 6 8 0 2 temps Si je prends une balance plus précise, j ai un autre ε, mais à partir d un instant, elle indiquera quand même 200. 4

Les limites dans ma cuisine Je verse du sucre dans ma balance de cuisine, pour atteindre 200g: Sucre 200 200 + ε 200 ε 0 0 2 4 6 8 0 2 temps Si je prends une balance plus précise, j ai un autre ε, mais à partir d un instant, elle indiquera quand même 200. On écrit La condition est lim S(t) = 200. t + ε > 0, M R : t > M S(t) ]200 ε, 200 + ε[.

Les limites dans ma cuisine Je verse du sucre dans ma balance de cuisine, pour atteindre 200g: Sucre 200 0 0 + ε 0 ε 0 2 4 6 8 0 2 temps Si je prends une balance plus précise, j ai un autre ε, mais à partir d un instant, elle indiquera quand même 200. On écrit La condition est lim S(t) = 200. t + ε > 0, M R : t > M S(t) ]200 ε, 200 + ε[. Le même raisonnement montre qu on a aussi lim t 4 S(t) = 0 : ε > 0, δ > 0 : t ]4 δ; 4 + δ[ S(t) ]0 ε, 00 + ε[.

Les limites dans ma cuisine Je verse du sucre dans ma balance de cuisine, pour atteindre 200g: Sucre 200 0 0 + ε 0 ε 0 4 δ 4 δ 2 4 6 8 0 2 temps Si je prends une balance plus précise, j ai un autre ε, mais à partir d un instant, elle indiquera quand même 200. On écrit La condition est lim S(t) = 200. t + ε > 0, M R : t > M S(t) ]200 ε, 200 + ε[. Le même raisonnement montre qu on a aussi lim t 4 S(t) = 0 : ε > 0, δ > 0 : t ]4 δ; 4 + δ[ S(t) ]0 ε, 00 + ε[.

Les limites : un exemple en physique I La loi en physique p V = n R T permet d exprimer p en fonction de v. p : [0, + [ R : v C v, On peut garantir qu on a une pression aussi petite que voulue (inférieure à une erreur de mesure de l appareil ε > 0 arbitraire) quand le volume est suffisamment grand : (v, p(v)) v

Les limites : un exemple en physique I La loi en physique p V = n R T permet d exprimer p en fonction de v. p : [0, + [ R : v C v, On peut garantir qu on a une pression aussi petite que voulue (inférieure à une erreur de mesure de l appareil ε > 0 arbitraire) quand le volume est suffisamment grand : (v, p(v)) ε ε v

Les limites : un exemple en physique I La loi en physique p V = n R T permet d exprimer p en fonction de v. p : [0, + [ R : v C v, On peut garantir qu on a une pression aussi petite que voulue (inférieure à une erreur de mesure de l appareil ε > 0 arbitraire) quand le volume est suffisamment grand : (v, p(v)) ε ε v 0 v

Les limites : un exemple en physique I La loi en physique p V = n R T permet d exprimer p en fonction de v. p : [0, + [ R : v C v, On peut garantir qu on a une pression aussi petite que voulue (inférieure à une erreur de mesure de l appareil ε > 0 arbitraire) quand le volume est suffisamment grand : (v, p(v)) ε ε v On a donc lim v + p(v) = 0.

Limites : le même exemple On considère le même exemple, où le volume tend vers 0. (v, p(v)) C v 6

Limite finie en un nombre a : une définition Définition Soit f une fonction de R dans R, a un point adhérent à dom f et b un nombre réel. On dit que la limite de f pour x tendant vers a est égale à b, ou que f (x) tend vers b lorsque x tend vers a si ε > 0, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) b < ε. On note alors lim f (x) = b, x a et on dit que f admet une limite finie en a, égale à b. 7

Limite finie en un nombre a : une définition Définition Soit f une fonction de R dans R, a un point adhérent à dom f et b un nombre réel. On dit que la limite de f pour x tendant vers a est égale à b, ou que f (x) tend vers b lorsque x tend vers a si ε > 0, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) b < ε. On note alors lim f (x) = b, x a et on dit que f admet une limite finie en a, égale à b. b a 7

Limite finie en un nombre a : une définition Définition Soit f une fonction de R dans R, a un point adhérent à dom f et b un nombre réel. On dit que la limite de f pour x tendant vers a est égale à b, ou que f (x) tend vers b lorsque x tend vers a si ε > 0, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) b < ε. On note alors lim f (x) = b, x a et on dit que f admet une limite finie en a, égale à b. b + ε b b ε a 7

Limite finie en un nombre a : une définition Définition Soit f une fonction de R dans R, a un point adhérent à dom f et b un nombre réel. On dit que la limite de f pour x tendant vers a est égale à b, ou que f (x) tend vers b lorsque x tend vers a si ε > 0, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) b < ε. On note alors lim f (x) = b, x a et on dit que f admet une limite finie en a, égale à b. b + ε b b ε a δ a a + δ 7

Limite finie en un nombre a : une définition Définition Soit f une fonction de R dans R, a un point adhérent à dom f et b un nombre réel. On dit que la limite de f pour x tendant vers a est égale à b, ou que f (x) tend vers b lorsque x tend vers a si ε > 0, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) b < ε. On note alors lim f (x) = b, x a et on dit que f admet une limite finie en a, égale à b. b + ε b b ε a 7

Limite finie en un nombre a : une définition Définition Soit f une fonction de R dans R, a un point adhérent à dom f et b un nombre réel. On dit que la limite de f pour x tendant vers a est égale à b, ou que f (x) tend vers b lorsque x tend vers a si ε > 0, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) b < ε. On note alors lim f (x) = b, x a et on dit que f admet une limite finie en a, égale à b. b + ε b b ε a δ a a + δ 7

Exemples I Soit f : R R : x c, où c est une constante. On a lim f (x) = lim c = c, x a x a a R 8

Exemples I Soit f : R R : x c, où c est une constante. On a lim f (x) = lim c = c, x a x a a R c a 8

Exemples I Soit f : R R : x c, où c est une constante. On a lim f (x) = lim c = c, x a x a a R c + ε c c ε a 8

Exemples I Soit f : R R : x c, où c est une constante. On a lim f (x) = lim c = c, x a x a a R c + ε c c ε a δ a a + δ 8

Exemples I Soit f : R R : x c, où c est une constante. On a lim f (x) = lim c = c, x a x a a R c + ε c c ε a δ a a + δ Pour tout ε > 0, on choisit δ > 0 quelconque. Si x a < δ, alors f (x) c = c c = 0 < ε. 8

Exemples II Soit f 2 : R R : x x. On a pour tout a R lim f 2(x) = lim x = a. x a x a

Exemples II Soit f 2 : R R : x x. On a pour tout a R lim f 2(x) = lim x = a. x a x a a a

Exemples II Soit f 2 : R R : x x. On a pour tout a R lim f 2(x) = lim x = a. x a x a a + ε a a ε a

Exemples II Soit f 2 : R R : x x. On a pour tout a R lim f 2(x) = lim x = a. x a x a a + ε a a ε a δ a a + δ

Exemples II Soit f 2 : R R : x x. On a pour tout a R lim f 2(x) = lim x = a. x a x a a + ε a a ε a δ a a + δ Pour tout ε > 0, on choisit δ = ε > 0 et on a x a < δ f 2 (x) a = x a < ε. On peut bien sûr choisir aussi tout δ inférieur à ε.

Exemples III Soit f 3 : R R : x x. On a pour tout a R \ {0} lim f 3(x) = lim x a x a x = a. a a 0

Exemples IV Soit la fonction f 4 : R R : x { si x < si x La fonction f 4 (x) n admet pas de limite finie en.

Exemples IV Soit la fonction f 4 : R R : x { si x < si x La fonction f 4 (x) n admet pas de limite finie en. l

Proposition Unicité et premiers calculs () Si f admet une limite finie en a, alors cette limite est unique : Si lim f (x) = b et lim f (x) = b, alors b = b. x a x a (2) Si a dom f et si f admet une limite finie en a alors on a lim f (x) = f (a). x a Unicité : 2

Proposition Unicité et premiers calculs () Si f admet une limite finie en a, alors cette limite est unique : Si lim f (x) = b et lim f (x) = b, alors b = b. x a x a (2) Si a dom f et si f admet une limite finie en a alors on a lim f (x) = f (a). x a Unicité : b b 2 a

Proposition Unicité et premiers calculs () Si f admet une limite finie en a, alors cette limite est unique : Si lim f (x) = b et lim f (x) = b, alors b = b. x a x a (2) Si a dom f et si f admet une limite finie en a alors on a lim f (x) = f (a). x a Unicité : b 2 b + ε b b ε a

Proposition Unicité et premiers calculs () Si f admet une limite finie en a, alors cette limite est unique : Si lim f (x) = b et lim f (x) = b, alors b = b. x a x a (2) Si a dom f et si f admet une limite finie en a alors on a lim f (x) = f (a). x a Unicité : b 2 b + ε b b ε a δa a + δ

Proposition Unicité et premiers calculs () Si f admet une limite finie en a, alors cette limite est unique : Si lim f (x) = b et lim f (x) = b, alors b = b. x a x a (2) Si a dom f et si f admet une limite finie en a alors on a lim f (x) = f (a). x a Unicité : 2 b + ε b b ε b + ε b b ε a δa a + δ

Proposition Unicité et premiers calculs () Si f admet une limite finie en a, alors cette limite est unique : Si lim f (x) = b et lim f (x) = b, alors b = b. x a x a (2) Si a dom f et si f admet une limite finie en a alors on a lim f (x) = f (a). x a Unicité : 2 b + ε b b ε b + ε b b ε a δ a δa a + δ a + δ

Valeur en a, si f (a) et la limite existent Si on a lim x a f (x) = b f (a), alors b + ε b b ε f (a) (a, f (a)) a δ a a + δ Remarque : La définition peut varier d un livre à l autre. Les théories qui en résultent sont équivalentes. 3

Limites finies en l infini Soit f : R R une fonction et b un nombre réel. On calcule la limite de f en + (resp. ) si + (resp. ) est adhérent à dom f. On a lim f (x) = b si x + ε > 0, M R : (x dom f et x > M) f (x) b < ε. On dit alors que f admet la limite finie (égale à b) en +. 2 On a lim f (x) = b si x ε > 0, M R : (x dom f et x < M) f (x) b < ε. On dit alors que f admet une limite finie (égale à b) en. Exemple : f : R \ {0} R : x x. 4

5 Limite infinie en un réel Soit f une fonction et a un nombre réel, adhérent à dom f. On a lim x a f (x) = + si N R, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) > N. On peut toujours se limiter aux N > 0 dans cette définition. 2 On a lim x a f (x) = si N R, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) < N. Ici aussi, on peut se limiter aux nombres négatifs dans la définition, i.e. N = N avec N > 0. 3 On a lim x a f (x) = si N R, δ > 0 : (x dom f et x a < δ) f (x) > N. On peut se limiter aux nombres N > 0 dans cette définition. Dans chacune de ces trois situations, on dit que f admet une limite infinie en a.

Limites à gauche et à droite Idée : On s intéresse aux valeurs plus grandes que a (à droite) ou plus petites (à gauche). On oublie le reste. Pour la limite à gauche (rep. droite), il faut que a soit adhérent à dom f ], a[ (resp. dom f ]a, + [). Definition Soir a un nombre réel et b R {, +, }. On dit que la limite à gauche de f (x) pour x tendant vers a vaut b si on a lim f ],a[ (x) = b. Dans ce cas on note lim f (x) = b. x a x a 2 On dit que la limite à droite de f (x) pour x tendant vers a vaut b si on a lim f ]a,+ [ (x) = b. Dans ce cas on note lim f (x) = b. x a + x a 6 Definition Soit f : R R une fonction, A un sous-ensemble de R et a adhérent à dom f A, on définit la limite de f (x) pour x tendant vers a, dans A par f (x) = lim f A(x). x a lim x a,x A

Règles de calcul I Soit a R {, + }. Proposition (Sommes et produits : limites finies) Soient f et g deux fonctions de R dans R et c R. Si on a lim f (x) = b et lim g(x) = x a x a b, (b, b R), alors on a lim (f + g)(x) = b + x a b, lim (fg)(x) = bb, x a lim (cf )(x) = cb. x a La limite d une somme est la somme des limites et la limite du produit est le produit des limites, quand elles existent. Remarque : ces résultats valent pour les limites restreintes. 7

Applications Nous avons démontré que lim x a x = a pour a R. Soit alors On a alors P : R R : x c n x n + + c x + c 0. lim P(x) = c na n + + c a + c 0 = P(a). x a 2 Nous avons démontré que lim x + x lim x + = 0. On a donc x n = 0 n N 0. 3 On a lim x + + x 3 =, puisque lim x + =. 8

Localité Idée : remplacer une fonction f compliquée par une fonction plus simple g, égale à f au voisinage de a R {, + }. 9

Localité Idée : remplacer une fonction f compliquée par une fonction plus simple g, égale à f au voisinage de a R {, + }. Proposition (Localité) Soient f et g deux fonctions telles que il existe un voisinage V de a tel que dom f V dom g V ; 2 on a f (x) = g(x) pour tout x dom f V = dom f V ; 2 la fonction g admet une limite en a; alors la fonction f admet une limite en a et on a lim f (x) = lim g(x). x a x a 9

Localité Idée : remplacer une fonction f compliquée par une fonction plus simple g, égale à f au voisinage de a R {, + }. Proposition (Localité) Soient f et g deux fonctions telles que il existe un voisinage V de a tel que dom f V dom g V ; 2 on a f (x) = g(x) pour tout x dom f V = dom f V ; 2 la fonction g admet une limite en a; alors la fonction f admet une limite en a et on a lim f (x) = lim g(x). x a x a Exemple : Calculer lim x 2 x 2 4 x 2. 9

Applications II Calculer la limite pour x tendant vers 0 de f : R R : x x x. On considère V = R et g : R R : x. On a lim x 0 g(x) =, donc lim x 0 f (x) =. 2 Calculer la limite pour x tendant vers + de f : R R : x x + x. On considère V =]0, + [, et g :]0, + [: x + x. On a lim g(x) =, donc on a lim f (x) =. x + x + 3 Calculer la limite pour x tendant vers de f : R R : x x + x. On considère V =], 0[ et g :], 0[: x + x. 20 On a lim g(x) =, donc lim f (x) =. x + x +

Règles de calcul II Proposition (Fonctions composées) Soient a R {, + }, b R {, + } et b R {,, + }. Si on a lim x a g(x) = b et alors on a lim f (x) = b x b lim f g(x) = x a b. 2

Applications III : quotients On a démontré que lim x b =, pour tout b R \ {0}. x b Si lim x a g(x) = b R \ {0}, alors on a lim x a =. g(x) b Proposition Si f et g sont telles que lim x a f (x) = b et lim x a g(x) = b 2 0 alors f (x) lim x a g(x) = lim f (x) lim x a x a g(x) = b. b 2 Soit la fonction R : R R : x P(x), où P et Q sont deux polynômes. Q(x) Pour a R tel que Q(a) 0 (i.e. a dom R ) on a lim R(x) = R(a). x a On a lim x + = x limx = 0. x On a alors lim x + x 2 + 4x + 7 = 0. 22

La continuité Idée : f est continue si on trace sa représentation graphique sans lever le crayon, c est à dire sans saut (parallèle aux ordonnées). 23

La continuité Idée : f est continue si on trace sa représentation graphique sans lever le crayon, c est à dire sans saut (parallèle aux ordonnées). a Figure: Une discontinuité en a 23

Définitions Définition (Continuité) Une fonction f : R R est continue en a R si a dom f lim x a f (x) existe. Cette limite vaut alors f (a). et si la limite 24

Définitions Définition (Continuité) Une fonction f : R R est continue en a R si a dom f lim x a f (x) existe. Cette limite vaut alors f (a). et si la limite Ici encore, la définition dépend des ouvrages considérés, mais tout conduit à une même théorie. Définition L ensemble des points a de R en lesquels f est continue est le domaine de continuité de f. Nous le noterons dom c f. Si A R, on dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A (i.e. A dom c f ). On note alors f C 0 (A). 24

Définitions Définition (Continuité) Une fonction f : R R est continue en a R si a dom f lim x a f (x) existe. Cette limite vaut alors f (a). et si la limite Ici encore, la définition dépend des ouvrages considérés, mais tout conduit à une même théorie. Définition L ensemble des points a de R en lesquels f est continue est le domaine de continuité de f. Nous le noterons dom c f. Si A R, on dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A (i.e. A dom c f ). On note alors f C 0 (A). Proposition Si f est continue en a, alors on a 24 lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = f (a). x a + x a x a

Continuité à gauche et à droite Definition Soit f une fonction de R dans R. On dit que f est continue à gauche en a si lim x a f (x) = f (a). On dit que f est continue à droite en a si lim x a + f (x) = f (a). 25

Continuité à gauche et à droite Definition Soit f une fonction de R dans R. On dit que f est continue à gauche en a si lim x a f (x) = f (a). On dit que f est continue à droite en a si lim x a + f (x) = f (a). Proposition Si f est continue à gauche et à droite en a, alors f est continue en a. La continuité en a est une notion locale : si deux fonctions ont les mêmes valeurs au voisinage de a, l une est continue en a si et seulement si l autre l est. 25

Combinaisons et composées Proposition (Combinaisons) Soient f et g des fonctions continues en a R et c R, alors les fonctions f + g, f g et c f sont continues en a. 26

Combinaisons et composées Proposition (Combinaisons) Soient f et g des fonctions continues en a R et c R, alors les fonctions f + g, f g et c f sont continues en a. Proposition (Composées) Si g est continue en a et si f est continue en g(a), alors f g est continue en a. En particulier, on a dom c g {x : g(x) dom c f } dom c f g. Rem. : en général l inclusion est stricte. 26

Toute fonction polynomiale Exemples Q : R R : x Q(x) = q r x r + + q 0 27 est continue sur R. 2 La fonction f : R R : x x est définie et continue sur R \ {0}. 3 La fonction g : x g(x) est donc continue sur dom c g {x : g(x) 0}. 4 La fonction f f (x) : x g g(x) est donc continue sur dom c f dom c g {x : g(x) 0}. 5 Toute fraction rationnelle R : R R : x P(x) est continue sur Q(x) son ensemble de définition.

Quelques fonctions continues Les fonctions racines p-èmes pour p pair sont continues sur [0, + [; 2 Les fonctions racines p-èmes pour p impair sont continues sur R; 3 Les fonctions polynomiales sont continues sur R; 4 La fonction sin et la fonction cos sont continues sur R; 5 Les fonctions tg et cotg sont continues sur leur domaine de définition; 6 Les fonctions racines sont continues sur leur domaine de définition. 28