Géométrie élémentaire du plan

Géométrie élémentaire du plan omme le veut le programme, les notions suivantes de géométrie sont supposées connues : calcul vectoriel et barycentrique, distance et norme euclidiennes, orthogonalité et produit scalaire, orientation, angles et angles orientés 1 Modes de repérages dans le plan 11 oordonnées cartésiennes éfinition (olinéarité) Soient et v deux vecteurs On dit que et v sont colinéaires s il existe un réel λ tel que v = λ ou tel que = λ v éfinition (Base, repère cartésien) On appelle base (du plan) tout couple ( ı, j) où ı et j sont deux vecteurs non colinéaires On appelle repère (cartésien) (du plan) tout triplet (O, ı, j) où O est un point et où ( ı, j) est une base du plan éfinition (oordonnées cartésiennes) Soit (O, ı, j) un repère cartésien Soit un vecteur du plan Il existe un unique couple de réels (x,y) tel que = x ı + y j On l appelle le couple des coordonnées (cartésiennes) de Soit M un point du plan Les coordonnées (x, y) du vecteur OM sont appelées les coordonnées (cartésiennes) de M On a donc : OM = x ı + y j O j y x = x ı + y j ı En pratique L unicité des coordonnées permet de faire des identifications très utiles Par exemple, si on a une égalité du type : x ı + y j = x ı + y j, alors x = x et y = y Les propriétés suivantes sont en principe bien connues Théorème (Règles de calcul sur les coordonnées cartésiennes) Soit (O, ı, j) un repère cartésien (i) Soient et deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y) et (x, y ) et λ et λ deux réels Le vecteur λ + λ a pour coordonnées le couple λx + λ x, λy + λ y (ii) Soient et B deux points de coordonnées respectives (x, y ) et (x B, y B) Le vecteur B a pour coordonnées le couple (x B x, y B y ) (iii) Soient 1,,, n des points de coordonnées respectives (x 1, y 1),(x, y ),, (x n, y n) et λ 1, λ,, λ n des réels n On pose Λ = λ k et on suppose que Λ 0 Le barycentre des points pondérés ( 1, λ 1),(, λ ),, ( n, λ n) a pour k=1 1 n 1 n coordonnées le couple : λ k x k, λ k y k Λ Λ k=1 k=1 (i) et (ii) On lit les coordonnées de λ + λ et B sur les deux calculs suivants : λ + λ = λ x ı + y j + λ x ı + y j = (λx + λ x ) ı + (λy + λ y ) j B = OB O = xb ı + y B j x ı + y j = (x B x ) ı + (y B y ) j 1

(iii) Ensuite, le barycentre G des points pondérés ( 1, λ 1),(, λ ),, ( n, λ n) vérifie par définition la relation n vectorielle : λ k k G = 0 Notons (x, y) les coordonnées de ce point G Exprimée sous forme de k=1 coordonnées via le premier point, l égalité vectorielle précédente se réécrit de la façon suivante : n n k=1 k=1 λ k (x x k ) = 0 λ k (y y k ) = 0 n, dont on tire : x = 1 λ k x k et y = 1 n Λ Λ n λ k y k k=1 k=1 Exemple En particulier, si deux points et B ont pour coordonnées respectives (x, y ) et (x B, y B), alors le milieu du x + x B y + yb, segment B, isobarycentre des points et B, a pour coordonnées Les deux figures suivantes rappellent quelle convention est adoptée classiquement en matière d orientation du plan + La base (, v) La base (, v) v + est indirecte est directe v éfinition (Base orthonormale directe, repère orthonormal direct) Soit ( ı, j) une base du plan On dit que ( ı, j) est orthonormale si ı et j sont orthogonaux et si ı = j = 1 Soit (O, ı, j) un repère cartésien On dit que (O, ı, j) est orthonormal (resp orthonormal direct) si la base ( ı, j) est orthonormale (resp orthonormale et directe) ans le paragraphe qui suit, nous allons voir en quel sens on peut considérer que les points, les vecteurs et leurs coordonnées sont une seule et même chose, et non trois objets distinctes Pour obtenir ce point de vue unique, fixons une fois pour toutes un repère orthonormal direct (O, ı, j) du plan, y compris en prévision des chapitres à venir 1) Soit M un point du plan et (x, y) ses coordonnées dans (O, ı, j) Nous considérerons désormais que M et ses coordonnées (x, y) coïncident : M = (x, y) En particulier : O = (0, 0) ) e la même façon, soit un vecteur du plan de coordonnées (x, y) dans (O, ı, j) Nous considérerons désormais que et ses coordonnées (x, y) coïncident : = (x, y) En particulier : ı = (1,0) et j = (0,1) 3) Enfin, soit M un point du plan Posons = OM lors M et ont les mêmes coordonnées En vertu des deux points précédents, nous considérerons désormais que M et coïncident : M = Notez bien que c est parce que nous avons fixé un repère orthonormal direct de référence que les points, les vecteurs et les coordonnées nous peuvent nous paraître identiques u final, le plan euclidien muni du repère orthonormal direct (O, ı, j) est identifié à l ensemble R Théorème (istance, norme et inégalité triangulaire) Soient et B deux points du plan de coordonnées Ô respectives (x, y ) et (x B, y B) La distance entre et B est le réel noté d(, B) ou B défini par : d(,b) = B = (x B x ) + (y B y ) B Inégalité triangulaire : Soient,B, trois points du plan B + B Soit un vecteur du plan de coordonnées (x, y) Sa norme est égale à = Ô x + y Inégalité triangulaire : Soient et v deux vecteurs du plan + v + v + v v

Pour tout réel θ, on introduit deux vecteurs θ et v θ définis par : θ = cos θ ı + sin θ j v θ = sin θ ı + cos θ j Les formules duales suivantes sont à connaître tout autant : ı = cos θ θ sin θ v θ j = sin θ θ + cos θ v θ j Vous devez savoir retrouver ces formules instantanément v θ sin θ cos θ sin θ O θ cos θ θ ı nticipant brièvement sur la notion de produit scalaire, nous remarquons alors que : θ v θ = cos θ ı + sin θ j sin θ ı + cos θ j = cos θ sin θ ı ı + cos θ ı j sin θ j ı + cos θ sin θ j j = 0 et que : θ = v θ = Ô cos θ + sin θ = 1 = 1, ce qui montre que ( θ, v θ ) est une base orthonormale Nous observons en outre que cette base orthonormale est directe Théorème (hangement de repère) Soient θ un réel et Ω un point du plan de coordonnées (x Ω, y Ω) dans (O, ı, j) Soit M un point du plan Si les coordonnées de M dans (O, ı, j) sont le couple (x, y) et si ses coordonnées dans (Ω, θ, v θ ) sont le couple (x, y ), on a les relations suivantes : x = xω + x cos θ y sin θ x = (x x Ω) cos θ + (y y Ω) sin θ y = y Ω + x sin θ + y et cos θ y = (x x Ω) sin θ + (y y Ω) cos θ Explication Quand on connaît les coordonnées de M dans (O, ı, j), la seconde formule nous permet de calculer les coordonnées de M dans l autre repère (Ω, θ, v θ ) est l inverse avec la première En pratique Il faut bien comprendre et savoir refaire la preuve qui suit, qui repose entièrement sur le principe d identification des coordonnées énoncé plus haut OM = x ı + y j = OΩ + ΩM = x Ω ı + y Ω j + x θ + y v θ = x Ω ı + y Ω j + x cos θ ı + sin θ j + y sin θ ı + cos θ j = x Ω + x cos θ y sin θ ı + y Ω + x sin θ + y cos θ j On obtient la première série d égalités en identifiant les coordonnées de OM dans (O, ı, j) ainsi calculées ΩM = x θ + y v θ = OΩ + OM = x Ω ı + y Ω j + x ı + y j = (x x Ω) ı + (y y Ω) j = (x x Ω) cos θ θ sin θ v θ + (y yω) sin θ θ + cos θ v θ (x x Ω)cos θ + (y y Ω)sin θ (x x Ω) sin θ + (y y Ω) cos θ = θ + On obtient la deuxième série d égalités en identifiant les coordonnées de ΩM ainsi calculées v θ 1 oordonnées polaires éfinition (oordonnées polaires) Soit M un point du plan On appelle (couple de) coordonnées polaires de M (relativement au repère cartésien (O, ı, j)) tout couple (r, θ) de réels tel que OM = r θ Un tel couple existe toujours Les coordonnées polaires du point O sont tous les couples (0, θ) où θ est un réel Si M O et si (r, θ) est un couple de coordonnées polaires de M, alors : soit r = OM et θ ı, OM mod π, soit r = OM et θ ı, OM + π mod π (figure ci-contre) On préfère généralement travailler avec ce type de coordonnées polaires j O ı r M θ 3

émontrons l existence de coordonnées polaires pour le point M Si M = O, tout couple (0, θ) est clairement un couple de coordonnées polaires de M Supposons Ô donc M O Nous avons admis l existence de coordonnées cartésiennes (x, y) de M Posons alors r = x + y Puisque M O, alors (x,y) (0,0) et donc r 0 x y x Ecrivons : + r r + y = = 1 Un théorème important démontré dans le chapitre précédent r affirme aussitôt l existence d un réel θ tel que x r = cos θ et y = sin θ Finalement, comme voulu : r OM = x ı + y j = r x r ı + y r j = r cos θ ı + sin θ j = r θ ttention! utant les coordonnées cartésiennes étaient uniques, autant les coordonnées polaires ne le sont pas est pourquoi on ne parlera jamais «du» couple de coordonnées polaires d un point ; on parlera d un couple de coordonnées polaires j π 4 Soyez prudents quand r < 0 Par exemple, on a représenté ci-contre le point M de coordonnées polaires 1, π On peut préférer le voir comme le point de coordonnées polaires 1, π + π 4 4 1 M O ı Théorème (Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes) Soit M un point du plan de coordonnées cartésiennes (x, y) et de coordonnées polaires (r,θ) On a les relations suivantes : x = r cos θ et y = r sin θ Il suffit d identifier les coordonnées de OM dans (O, ı, j) sur la relation vectorielle suivante : OM = x ı + y j = r θ = r cos θ ı + sin θ j = r cos θ ı + r sin θ j Remarque On peut également passer des coordonnées cartésiennes d un point à ses coordonnées polaires, mais nous n avons pas encore pour le moment les moyens de rendre cela très explicite Tout de même, supposons qu un point M du plan nous soit Ô donné avec ses coordonnées cartésiennes (x, y) et notons (r,θ) un couple de coordonnées polaires de M lors r = ±OM = ± x + y ; le réel r est donc facile à calculer Quand M O, c est l angle θ qui l est moins Nous savons que cos θ = x r et que sin θ = y, mais θ lui-même nous échappe r Produit scalaire éfinition (Produit scalaire) Soient et v deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire de et v, noté v, le réel : v = v cos(, v) si 0 et v 0 0 sinon ttention! ans cette définition, les cas = 0 et v = 0 sont traités séparément car l angle de deux vecteurs dont au moins l un est nul n a pas de sens Explication Supposons et v non nuls et notons v le projeté orthogonal de v sur la droite engendrée par v si et v lors v = sont colinéaires de même sens v si et v sont colinéaires de sens contraires v v et v sont colinéaires de même sens et v sont colinéaires de sens contraires (, v) v 4 v (, v)

En effet Si et v sont colinéaires de même sens, alors : v = v cos(, v) = v Supposons au contraire et v colinéaires de sens contraires lors : v = v cos(, v) = v cos (, ) + (, v) = v cos(, v) = v = v cos π + (, v) Exemple Pour tout vecteur du plan : = Théorème (Produit scalaire et orthogonalité) Soient et v deux vecteurs du plan v = 0 et v sont orthogonaux Si ou v est nul, le résultat est évident, car tout vecteur est orthogonal au vecteur nul Supposons donc et v non nuls lors 0 et v 0 v = 0 cos(, v) = 0 (, v) ± π mod π et v sont orthogonaux et v sont orthogonaux Théorème (Propriétés du produit scalaire) (i) Expression à l aide des coordonnées dans un repère orthonormal direct : Soient et deux vecteurs du plan de coordonnées respectives (x, y) et (x, y ) = xx + yy (ii) Symétrie : Soient et v deux vecteurs du plan v = v (iii) Bilinéarité : Soient, et v trois vecteurs du plan et λ et λ deux réels Linéarité à gauche : λ + λ v = λ v + λ v Linéarité à droite : v λ + λ = λ v + λ v J I (i) Si = 0 ou si = 0, le résultat est trivial Plaçons-nous donc dans le cas contraire Pour commencer, on a : donc : = cos I, I + sin I, J, dans toute base orthonormale ( I, J), = cos I, I + sin I, J Sachant qu on veut calculer, on a tout intérêt à choisir I colinéaire à et de même sens Justement, posons I = orthogonal à = x ı + y j, posons en outre I = x ı + y j = Ô Supposant connu le fait que le vecteur y ı + x j est directement x + y alors une base orthonormale directe du plan et on vérifie par le calcul que : x ı + y j = Ô x + y et y ı + x j J = Ô x + y La famille ( I, J) est (xx + yy ) I + (xy yx ) J = Ô x + y = Identifions les deux expressions soulignées ainsi obtenues : = cos(, ) = xx + yy En prévision d un futur paragraphe, nous avons aussi montré que : sin(, ) = xy yx (ii) La symétrie du produit scalaire se lit aussi bien sur la définition qu on en a donné que sur l expression qu on vient d en obtenir au premier point (iii) Montrons seulement la linéarité à gauche, la linéarité à droite s en déduisant par symétrie Notons (x,y), (x, y ) et (x, y ) les coordonnées respectives de, et v lors via le premier point : λ + λ v = (λx + λ x )x + (λy + λ y )y = λ(xx + yy ) + λ (x x + y y ) = λ v + λ v 5

3 éterminant éfinition (éterminant) Soient et v deux vecteurs du plan On appelle déterminant de et v, noté det(, v), le réel : det(, v) = v sin(, v) si 0 et v 0 0 sinon ttention! ans cette définition, les cas = 0 et v = 0 sont traités séparément car l angle de deux vecteurs dont au moins l un est nul n a pas de sens Explication parallélogramme construit à partir de ces vecteurs En effet On a : Supposons et v non nuls La valeur absolue det(, v) du déterminant de et v est égale à l aire du det(, v) = v sin(, v) Or v sin(, v) est égal à la hauteur du parallélogramme étudié, si on considère l une des arètes dirigées par comme sa base Pour conclure, il faut se souvenir que l aire d un paraléllogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur v v sin(, v) (, v) Théorème (éterminant et colinéarité) Soient et v deux vecteurs du plan det(, v) = 0 et v sont colinéaires Si ou v est nul, le résultat est évident, car tout vecteur est colinéaire au vecteur nul Supposons donc et v non nuls lors 0 et v 0 det(, v) = 0 sin(, v) = 0 (, v) 0 mod π et v sont colinéaires Le résultat suivant est une conséquence immédiate du précédent : orollaire (éterminant et alignement) Soient, B et trois points du plan det B, = 0, B et sont alignés Théorème (éterminant et orientation) Soient et v deux vecteurs det(, v) > 0 (, v) est une base directe du plan Si ou v est nul, nous n avons rien à démontrer car les deux propositions en jeu sont fausses, donc équivalentes Supposons donc et v non nuls Nous venons déjà de voir que det(, v) 0 si et seulement si (, v) est une base du plan Tout repose ensuite sur la remarque suivante : si x est un réel, sin x > 0 si et seulement si x ]0, π[ modulo π Or un angle de mesure comprise entre 0 et π est le signe d une orientation directe det(, v) > 0 sin(, v) > 0 (, v) ]0, π[ +πz (, v) est directe Théorème (Propriétés du déterminant) Expression à l aide des coordonnées dans un repère orthonormal direct : Soient et deux vecteurs du plan de coordonnées respectives (x, y) et (x, y ) det(, ) = xy yx ntisymétrie : Soient et v deux vecteurs du plan det(, v) = det( v, ) Bilinéarité : Soient, et v trois vecteurs du plan et λ et λ deux réels v, λ + λ Linéarité à gauche : det λ + λ, v Linéarité à droite : det = λ det(, v) + λ det(, v) = λdet( v,) + λ det( v, ) 6

Nous avons au passage démontré la formule «det(, ) = xy yx» quand nous avons démontré la propriété analogue pour le produit scalaire En pratique Si les coordonnées de et sont respectivement (x, y) et (x, y ), le déterminant det(, ) se note souvent x x y y La formule x x y y = xy yx se retient alors au moyen du petit dessin suivant : x y x y = xy yx Exemple Soit θ R lors ( θ, v θ ) est une base directe En effet det( θ, v θ ) = cos θ sin θ sin θ cos θ = cos θ + sin θ = 1 > 0 4 roites et cercles éfinition (Ligne de niveau) Soient f : R R une application et λ R On appelle ligne de niveau λ de f l ensemble des points M du plan tels que f(m) = λ Explication La ligne de niveau λ de f est donc l ensemble des points du plan à qui f donne la même valeur λ quoi cette notion peut-elle servir? On la rencontre par exemple dans le domaine de la cartographie Quand il dessine une carte, un cartographe veut rendre compte généralement du relief du lieu qu il représente Notons h la fonction qui, à tout point du lieu en question, identifié à un plan, associe la hauteur de ce point par rapport au niveau de la mer Une représentation des lignes de niveau de h équivaut à une représentation du relief du lieu considéré, comme l illustre la figure ci-contre 590m 600m 580m 50m 570m 560m 550m 540m 530m 1km 41 roites Théorème (Equation cartésienne d une droite) Toute droite possède une équation cartésienne de la forme αx + βy + γ = 0, où α, β, γ R sont tels que (α, β) (0, 0) Réciproquement, toute équation cartésienne de ce type décrit une droite Soient un point de coordonnées (x, y ), un vecteur non nul de coordonnées ( β, α) et la droite passant par dirigée par Pour tout point M de coordonnées (x,y) : M M et sont colinéaires det M, = 0 x x β = 0 α(x x) + β(y y) = 0 y y α insi αx + βy + γ = 0 est une équation cartésienne de, si on pose γ = (αx + βy ) Réciproquement, soit l ensemble des points du plan décrits par l équation αx + βy + γ = 0, où α, β et γ sont trois réels tels que (α, β) (0,0) Montrons que est une droite et ensemble est non vide, donnons-nous-en un point de coordonnées (x, y ) lors αx + βy + γ = 0 Pour tout point M de coordonnées (x,y) : M αx + βy + γ = 0 αx + βy (αx + βy ) = 0 α(x x ) + β(y y ) = 0 det M, = 0 x x β = 0 Posons = ( β, α) y y α M et sont colinéaires e raisonnement montre que est la droite passant par dirigée par 7

En pratique On explique ci-dessous comment récupérer l équation cartésienne d une droite quand celle-ci est définie par un point et un vecteur directeur, par deux points distincts ou enfin par un point et un vecteur normal es techniques constituent le minimum de ce que vous devez savoir faire Sur vos copies, vous soignerez particulièrement l usage des équivalences roites définies par un point et un vecteur directeur : Soient un point de coordonnées (x, y ), un vecteur non nul de coordonnées (a,b) et la droite passant par dirigée par Pour tout point M de coordonnées (x, y) : M M et sont colinéaires det M, = 0 x x a = 0 b(x x) a(y y) = 0 y y b bx ay + ( bx + ay ) = 0 roites définies par deux points distincts : Si une droite est définie par la donnée de deux points et B distincts, alors est aussi la droite passant par dirigée par B On est ainsi ramené au cas précédent n roites définies par un point et un vecteur normal : Soient un point de coordonnées (x, y ), n un vecteur non nul de coordonnées (a,b) et la droite passant par orthogonale à n Pour tout point M de coordonnées (x, y) : M M et n sont orthogonaux n M = 0 a(x x ) + b(y y ) = 0 ax + by (ax + by ) = 0 u passage, nous venons de démontrer le résultat suivant : orollaire (Equation cartésienne d une droite et vecteur directeur/normal) Soient a, b, c R tels que (a, b) (0, 0) et la droite d équation ax + by + c = 0 lors (a,b) est un vecteur normal de et ( b,a) en est un vecteur directeur ttention! On a vite fait de confondre «vecteur directeur» et «vecteur normal» dans ce résultat! Théorème (Représentation paramétrique d une droite définie par un point et un vecteur directeur) Soit une droite Soient un point de et un vecteur directeur de de coordonnées respectives (x, y ) et (a,b) x = x + ta Pour tout point M de coordonnées (x, y) : M t R/ y = y + tb Pour tout point M de coordonnées (x,y) : M M et sont colinéaires x = x + ta t R/ y = y + tb 0 t R/ M = t Explication Paramétrer une courbe, c est associer à chacun de ses points un paramètre, ie un certain réel, de sorte que deux points distincts aient toujours des paramètres distincts On obtient alors tous les points de la courbe en faisant varier la valeur du paramètre t = 0 t = 3 t = 1 t = t = 1 t = 1 t = 3 t = 8

Théorème (Equation polaire d une droite) (i) roites passant par O : Toute droite passant par O possède une équation polaire de la forme θ θ 0 mod π, où θ 0 est un réel Réciproquement, toute équation polaire de ce type décrit une droite passant par O (ii) roites ne passant pas par O : Toute droite ne passant pas par O possède une équation polaire de la forme r = sont deux réels, avec p 0 Réciproquement, toute équation polaire de ce type décrit une droite ne passant pas par O p, où p et θ0 cos(θ θ 0) (i) roites passant par O : Soit θ 0 un réel Notons la droite passant par O dirigée par θ0 et l ensemble des points du plan décrit par l équation polaire θ θ 0 mod π Pour tout point M O dont (r,θ) est un couple de coordonnées polaires : v θ0 j O θ0 ı θ0 M OM et θ0 sont colinéaires θ et θ0 sont colinéaires (par définition de M, OM = r θ, et donc OM et θ sont colinéaires car r 0) det( θ, θ0 ) = 0 cos θ cos θ0 = 0 sin θ sin θ 0 sin(θ θ 0) = 0 θ θ 0 mod π M eci montre que = Nous avons donc montré que la donnée d une droite passant par O équivaut à la donnée d une équation polaire θ θ 0 mod π est ce que nous voulions (ii) roites ne passant pas par O : Soit une droite ne passant pas par O, décrite par une équation cartésienne αx + βy + γ = 0, où α, β et γ sont trois réels tels que (α, β) (0,0) lors puisque O /, γ 0 Pour tout point M du plan de coordonnées cartésiennes (x,y), et dont un couple de coordonnées polaires est (r, θ) : M αx + βy + γ = 0 αr cos θ + βr sin θ + γ = 0 r = γ αcos θ + β sin θ r = γ Ô α + β cos(θ θ 0) Ô Pour la dernière étape, nous savons qu il existe un réel θ 0 tel que αcos θ + β sin θ = α + β cos(θ θ 0) γ car (α, β) (0,0) Si nous posons p = Ô 0, nous avons bien obtenu une équation polaire de α + β p de la forme r = cos(θ θ 0) Réciproquement, soient p et θ 0 deux réels, p 0, et l ensemble des points du plan décrit par p l équation polaire r = cos(θ θ 0) Pour tout point M du plan de coordonnées cartésiennes (x,y), et dont un couple de coordonnées polaires est (r, θ) : M r = p cos(θ θ 0) p = r cos(θ θ 0) r cos θ cos θ 0 + r sin θ sin θ 0 p = 0 Si nous posons α = cos θ 0, β = sin θ 0 et γ = p 0, nous avons bien obtenu une équation cartésienne de de la forme αx + βy + γ = 0 insi est une droite ; elle ne passe pas par O car γ = p 0 éfinition (Equation normale d une droite) Soit une droite On appelle équation normale de toute équation cartésienne de de la forme xcos θ + y sin θ + c = 0, où θ et c sont deux réels 9

En pratique omment obtient-on une équation normale d une droite? Si est définie par une équation cartésienne ax + by + c = 0, on divise cette équation par a + b On sait alors a b qu il existe un réel θ tel que = cos θ et = sin θ L équation de peut donc s écrire sous la forme a + b a + b xcos θ + y sin θ + c = 0 Soit θ un réel tel que soit orthogonale au vecteur θ de coordonnées (cos θ,sin θ) lors nous avons vu plus haut, quand nous avons étudié les équations cartésiennes de droites, que possède une équation de la forme x cos θ + y sin θ + c = 0 Théorème (istance d un point à une droite) Soient M un point du plan de coordonnées (x M, y M) et une droite La distance de M à est notée d(m, ) (i) roite définie par un point et un vecteur directeur : Soient un point de et un vecteur directeur de det d(m, ) =, M (ii) roite définie par une équation cartésienne : Soit αx + βy + γ = 0 une équation cartésienne de d(m, ) = αxm + βym + γ Ô α + β (iii) roite définie par une équation normale : Soit x cos θ + y sin θ + c = 0 une équation normale de d(m, ) = x M cos θ + y M sin θ + c M (i) Notons H le projeté orthogonal de M sur, de sorte que : d(m, ) = HM Les vecteurs H et étant colinéaires, nous obtenons par ailleurs : det, M = det, H + det, HM = det, HM d(m, ) H Enfin, les vecteurs et HM étant orthognaux : det, HM = HM sin, HM = HM sin ± π = HM ombinant les trois égalités précédentes, nous voyons le résultat apparaître : d(m, ) = HM = HM = det HM, det =, M (ii) Si αx + βy + γ = 0 est une équation cartésienne de, si est un point quelconque de et si est le vecteur directeur de de coordonnées ( β, α), nous avons vu dans le théorème donnant la forme générale des équations cartésiennes de droite que : det, M = αx M + βy M + γ Le premier point implique donc le second (iii) n est qu un cas particulier de (ii) Théorème (Lignes de niveau de M M) Soient un point et un vecteur non nul Pour tout réel λ, l ensemble des points M du plan tels que M = λ est une droite orthogonale à Soit λ un réel On cherche l ensemble des points M du plan tels que M = λ On définit le point H par : H = + λ, ce qui revient à dire que H = λ On a : H = λ = λ = λ = λ 10

lors pour tout point M du plan : M = λ H + HM = λ λ + HM = λ HM = 0 M appartient à la droite passant par H orthogonale à eci montre que l ensemble des points recherché est la droite passant par H orthogonale à Théorème (Lignes de niveau de M det, M ) Soient un point et un vecteur non nul Pour tout réel λ, l ensemble des points M du plan tels que det, M = λ est une droite dirigée par Soit λ un réel On cherche l ensemble des points M du plan tels que det, M = λ Soit n le vecteur directement orthogonal à et de norme 1 On définit le point H par : H = + λ n On a : det, λ H = det, n = λ det(, n) = λ n sin(, n) = λ lors pour tout point M du plan : det, M = λ det, H + det det, HM = 0, HM = λ λ + det M appartient à la droite passant par H dirigée par eci montre que l ensemble des points recherché est la droite passant par H dirigée par, HM = λ 4 ercles Théorème (Equation cartésienne d un cercle) Soient un point de coordonnées (x, y ) et R est un réel positif ou nul Le cercle de centre et de rayon R est décrit par l équation cartésienne : (x x ) + (y y ) = R Tout cercle possède une équation cartésienne de la forme x + y αx βy + γ = 0, où α, β et γ sont trois réels tels que α + β γ 0 Réciproquement, toute équation cartésienne de ce type décrit un cercle En pratique Le passage d une équation de la forme x + y αx βy + γ = 0 à une équation de la forme (x x ) + (y y ) = R doit être bien maîtrisé Il s agit seulement de reconnaître le début d une identité remarquable Soient un point de coordonnées (x, y ), R un réel positif ou nul et le cercle de centre et de rayon R Pour tout point M de coordonnées (x,y) : M M = R M = R (x x ) + (y y ) = R insi (x x ) +(y y ) = R est une équation cartésienne de Elle s écrit aussi x +y αx βy+γ = 0 si on pose α = x, β = y et γ = x + y R On a bien : α + β γ = R 0 Réciproquement, soit l ensemble des points du plan décrits par l équation x + y αx βy + γ = 0, où α, β et γ sont trois réels tels que α + β γ 0 Montrons que est un cercle Pour tout point M de coordonnées (x,y) : Identité remarquable! M x + y αx βy + γ = 0 (x α) + (y β) = (α + β γ) Si donc nous notons le point de coordonnées (x, y ) = (α, β) et posons R = Ô α + β γ, alors : M (x x ) + (y y ) = R M = R eci montre que est le cercle de centre et de rayon R 11

Théorème (Représentation paramétrique trigonométrique d un cercle) Soit un cercle de centre et de rayon R > 0 On note (x, y ) les coordonnées de x = x + R cos θ Pour tout point M de coordonnées (x, y) : M θ R/ y = y + R sin θ Pour tout point M de coordonnées (x,y) : M (x x ) + (y y ) = R θ R/ x x R y y R = cos θ = sin θ x x R θ R/ + y y R = 1 x = x + R cos θ y = y + R sin θ θ = π Représentation paramétrique trigonométrique du cercle θ = π 3 θ = π θ = π R θ = π 4 θ = 0 j ı t t t = B t = 3 t = 1 t = 1 R t = 1 t = 0 t = 1 4 Représentation paramétrique rationnelle du cercle Théorème (Représentation paramétrique rationnelle d un cercle) Soit un cercle de centre et de rayon R > 0 On note (x, y ) les coordonnées de et B le point de coordonnées (x R, y ) Pour tout point M de coordonnées (x, y) : M B t R/ x = x + R 1 t 1 + t y = y + R t 1 + t coordonnées (x, y) : M θ R/ Partons de la représentation paramétrique trigonométrique de Pour tout point M de x = x + R cos θ y = y + R sin θ π-périodicité θ ] π, π]/ x = x + R cos θ y = y + R sin θ u coup, le point B étant décrit dans l équation de droite par la seule valeur θ = π : M B x = x + R cos θ θ ] π, π[ / (ouvert en π, attention) y = y + R sin θ 1 tan θ tan θ θ ] π, π[ / x = x + R 1 + tan θ et y = y + R 1 + tan θ t R/ x = x + R 1 t et y = y 1 + t + R t 1 + t La dernière équivalence requiert le fait que la fonction θ tan θ réalise une bijection de ] π, π[ sur R e résultat signifie que la donnée d un réel θ ] π, π[ équivaut à la donnée d un réel t R à condition que θ et t soient liés par la relation t = tan θ Théorème (Equation polaire d un cercle passant par O) Soit un cercle passant par O, de centre et de rayon R Soit (R, θ 0) un couple de coordonnées polaires de lors est décrit par l équation polaire : r = R cos(θ θ 0) 1

j O R ı θ 0 Notons (x, y ) les coordonnées cartésiennes de, telles que x = R cos θ 0 et y = R sin θ 0 Le cercle est décrit par l équation cartésienne (x x ) + (y y ) = R, qu on peut réécrire sous la forme x + y x x y y = 0 Pour tout point M de coordonnées cartésiennes (x,y), et dont un couple de coordonnées polaires est (r, θ) : M x + y x x y y = 0 r rr(cos θ cos θ 0 + sin θ sin θ 0) = 0 r r R cos(θ θ 0) = 0 r = 0 ou r = R cos(θ θ 0) eci montre que est décrit par l équation r = R cos(θ θ 0) on peut oublier l équation r = 0 car le point O qu elle décrit est déjà décrit par l équation r = R cos(θ θ 0) pour θ = θ 0 + π Théorème (Lignes de niveau de M M MB) Soient et B deux points Pour tout réel λ, l ensemble des points M du plan tels que M MB = λ est soit vide, soit un cercle de centre le milieu du segment B En particulier, l ensemble des points M du plan tels que M MB = 0 est le cercle de diamètre B I I IB B Soit λ un réel On cherche l ensemble des points M du plan tels que M MB = λ Notons I le milieu de B lors I + IB = 0 et pour tout point M du plan : M MB = MI + I MI + IB = MI MI + MI I + IB + I IB = MI + MI 0 + I IB = IM + I IB u coup : M MB = λ IM = λ I IB IM = λ + B 4 Finalement, l ensemble des points M du plan tels que M MB = λ est vide si λ + B < 0; c est le cercle de 4 centre I et de rayon Öλ + B sinon 4 Ö B Pour λ = 0, l ensemble recherché est donc le cercle de centre I et de rayon = B ; c est donc le cercle de 4 diamètre B Théorème (Lignes de niveau de M M ) Soient et B deux points distincts MB L ensemble des points M du plan tels que M = MB est la médiatrice du segment B Pour tout réel positif λ 1, l ensemble des points M du plan tels que M = λmb est un cercle Le premier cas λ = 1 est immédiat, par définition de la médiatrice d un segment onnonsnous donc un réel positif λ 1 On cherche l ensemble des points M du plan tels que M = λmb équation équivalente à M = λ car le point B n en est de toute façon pas solution MB Notons G le barycentre des points pondérés (,1) et (B, λ), et G le barycentre des points pondérés (,1) et (B, λ) lors pour tout point M du plan : M = λmb M = λ MB M + λ MB M M λ MB MB = 0 M λ MB = 0 (λ + 1) MG (1 λ) MG = 0 MG MG = 0 M appartient au cercle de diamètre GG eci montre que l ensemble des points M du plan tels que M = λmb, pour λ 1, est un cercle Explication La figure ci-dessous représente quelques courbes de niveau de la fonction M M On remarquera MB que la courbe de niveau λ et la courbe de niveau 1 λ sont symétriques par rapport à la médiatrice de B ; cela provient de M MB l équivalence : = λ MB M = 1 M, qui montre que la courbe de niveau λ de la fonction M est égale à la λ MB courbe de niveau 1 MB de la fonction M λ M 13

λ = 1 λ = 1 λ = λ = 1 3 λ = 3 λ 0 λ B λ 1 λ 1 + Théorème (Intersection d un cercle et d une droite) Soit un cercle de centre et de rayon R > 0 et une droite Si d(, ) < R, alors et ont exactement deux points d intersection distincts Si d(, ) = R, alors et ont un unique point d intersection H égal au projeté orthogonal de sur ; est dite tangente à en H Si d(, ) > R, alors = Les points d intersection de et sont les points de dont la distance à est égale à R Notons H le projeté orthogonal de sur Le théorème de Pythagore affirme que pour tout point M de, M = H + HM On a par ailleurs : H = d(, ) Pour tout point M de : M M = R M = R H + HM = R HM = R d(, ) Si d(, ) < R, donnons-nous un vecteur directeur unitaire de lors pour tout point M de, si on note λ le réel tel que HM = λ : M HM = Ô R d(, ) HM = Ô R d(, ) λ = Ô R d(, ) λ = ± Ô R d(, ) insi, si on pose H = H Ô R d(, ) et H + = H + Ô R d(, ), alors = est constitué de deux points distincts distincts car d(, ) < R ÒH, H + Ó Si d(, ) = R, alors pour tout point M de : M HM = 0 M = H eci montre bien que = H H H Si d(, ) > R, alors R d(, ) < 0, et donc = H + H H d(, ) < R d(, ) = R d(, ) > R 14

Théorème (Intersection de deux cercles) Soient et deux cercles non concentriques ie de centres distincts de centres respectifs et et de rayons respectifs R et R lors et possèdent 0, 1 ou points d intersection distincts et possèdent au moins un point d intersection si et seulement si : R R R + R Notons (x, y ) et (x, y ) les coordonnées respectives de et Les cercles et n étant pas concentriques, (x, y ) (x, y ) Pour tout point M de coordonnées (x,y) : M (x x) + (y y ) = R (x x ) + (y y ) = R (x x) + (y y ) = R (x x )x + (y y )y + (x + y x y + R R ) = 0 L L L 1 La seconde équation du système ainsi obtenu est l équation d une droite, car (x, y ) (x, y ) u coup, si est cette droite, = est l intersection d un cercle et d une droite, et donc contient 0, 1 ou points distincts en vertu du théorème précédent omme nous l avons vu, l intersection est non vide si et seulement si d(, ) R Or : d(, ) = insi : est non vide = Pour tous x R et a R + : x a a x a Equation de au point Þ Ð ß (x x )x + (y y )y + (x + y x y + R R ) Ô 4(x x ) + 4(y y ) (x x ) + (y y ) + (R R ) Ô + R R = (x x ) + (y y ) + R R R + R R R R + R R R R R et + R R R R et + R R R R R et R R + R R + R et R R et R R On en déduit l équivalence recherchée > R + R R + R R R < R R 15

5 Quelques rudiments sur les angles 51 Théorème de l angle au centre Théorème (Théorème de l angle au centre) Soit un cercle de centre Ω et et B deux points de Pour tout point M de distinct de et B : M, MB Ω, ΩB mod π mod π, donc : Soit M un point de distinct de et B La somme des angles d un triangle est égale à π M M, MΩ + ΩM, Ω + Ω, M π mod π MΩ, MB + BM, BΩ + ΩB, ΩM π mod π Or Ω est équidistant des points, B et M, donc les triangles ΩM et BΩM sont isocèles en Ω Nos égalités angulaires deviennent : M, MΩ + ΩM, Ω π mod π MΩ, MB + ΩB, ΩM π mod π Sommons enfin ces deux égalités ; nous obtenons le résultat annoncé : M, MB Ω M Ω, ΩB mod π B 5 ngles orientés de droites éfinition (ngle orienté de droites) Soient et deux droites Si et v sont deux vecteurs directeurs de et si et v sont deux vecteurs directeurs de, alors : (, ) ( v, v ) mod π eci signifie que la quantité (, ) mod π ne dépend pas du choix des vecteurs directeurs de et ; on l appelle l angle orienté formé par les droites et et on le note (, ) Par définition : (, ) (, ) mod π Quand et sont définies par deux points distincts chacune, par exemple = (B) et = ( B ), on note souvent B, B l angle (, ) ttention! Un angle orienté de droites est défini modulo π et non modulo π comme c est le cas des angles orientés de vecteurs Explication (, ) priori, quand on veut définir l angle orienté de deux droites, un problème se pose : deux droites définissent en général deux angles orientés de vecteurs, un aigu et un obtus omment dès lors s en sortir pour définir un angle orienté de droites et non deux? Réponse : ) v ( v, v modulo π, les deux angles orientés définis par l intersection de deux droites sont égaux est pourquoi c est donc modulo π qu il convient de définir l angle orienté de deux droites v Il s agit de montrer, avec les notations de la définition, que (, ) ( v, v ) mod π ommençons par travailler modulo π : ( v, v ) hasles ( v,) + (, ) + (, v ) mod π Or puisque et v sont deux vecteurs directeurs de, ( v,) 0 ou π mod π ; de même (, v ) 0 ou π mod π u coup, affirme, modulo π, que (, ) ( v, v ) mod π comme voulu Exemple Sur la figure ci-contre, l angle de droites (, ) est égal à π 3 mod π, mais aussi à π 3 mod π 16

Théorème (Propriétés des angles de droites) Soient,, des droites (i) Relation de hasles : (, ) (, ) + (, ) mod π En particulier : (, ) (, ) mod π (ii) Parallélisme : et sont parallèles si et seulement si (, ) 0 mod π (ii) Orthogonalité : et sont orthogonales si et seulement si (, ) π mod π Soient, et des vecteurs directeurs de, et respectivement (i) Nous savons que la relation de hasles est valable dans le monde des angles orientés de vecteurs : (, ) (, ) + (, ) mod π En particulier : (, ) (, ) + (, ) mod π, ce qui signifie comme voulu, par définition des angles orientés de droites, que : (, ) (, ) + (, ) mod π Pour le cas particulier, poser = (ii) et sont parallèles et sont colinéaires (, ) 0 ou π mod π (, ) 0 mod π (, ) 0 mod π (iii) et sont orthogonales et sont orthogonaux (, ) ± π (, ) π mod π (, ) π mod π mod π 53 Théorème de l angle inscrit et cocyclicité éfinition (ocyclicité) es points sont dits cocycliques s il existe un cercle qui les contient tous Théorème (Théorème de l angle inscrit) Soient,B,, quatre points distincts, B, et sont cocycliques ou alignés si et seulement si :, B, B mod π ttention! Ici, contrairement au théorème de l angle au centre, il est question d angles de droites Si, B, et sont alignés, le résultat est évident Supposons donc, B, et cocycliques et notons Ω le centre du cercle qui les contient tous Le théorème de l angle au centre affirme que :, B, B Ω, ΩB mod π ivisons par lors :, B, B mod π, ie : B, B, B mod π La réciproque est un peu plus pénible, admettons-la 17