tifawtcom Exo7 Suites Exercices de Jea-Louis Rouget * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice ***IT Soiet u N ue suite réelle et v N la suite défiie par : N, v = u 0+u ++u + Motrer que si la suite u N vers u réel l, la suite v N coverge et a pour limite l Réciproque? Motrer que si la suite u N est borée, la suite v N est borée Réciproque? Motrer que si la suite u N est croissate alors la suite v N l est aussi Correctio [0050] Exercice *** Soit u N ue suite réelle Motrer que si la suite u N coverge au ses de CÉSARO et est mootoe, alors la suite u N coverge Correctio [005] Exercice **IT Pour etier aturel o ul, o pose H = k= k série harmoique Motrer que : N, l + < H < + l et e déduire lim + H Pour etier aturel o ul, o pose u = H l et v = H l + Motrer que les suites u et v coverget vers u réel γ [,] γ est appelée la costate d EULER Doer ue valeur approchée de γ à 0 près Correctio [005] Exercice 4 ** Soit u N ue suite arithmétique e s aulat pas Motrer que pour tout etier aturel, o a + u 0 u + Correctio u k u k+ = [005] Exercice 5 ** Calculer lim + k= Correctio + ++k [0054] Exercice 6 *** Soiet a et b deux réels tels que 0 < a < b O pose u 0 = a et v 0 = b puis, pour etier aturel doé, u + = u +v et v + = u + v Motrer que les suites u et v sot adjacetes et que leur limite commue est égale à bsiarccos b a Arccos a b Correctio [0055]
tifawtcom Exercice 7 ** Limite quad ted vers + de si, +,!, 4 E+, E 5, 6 +, 7 k= k, 8 k= k/k Correctio [0056] Exercice 8 ** Etudier la suite u défiie par + = +u Correctio [0057] Exercice 9 **T Récurreces homographiques Détermier u e foctio de quad la suite u vérifie : N, u + = u u, N, u + = 4u u Correctio e pas se poser de questios d existece [0058] Exercice 0 ** Soiet u et v les suites défiies par la doée de u 0 et v 0 et les relatios de récurrece u + = u + v et v + = u + v Etudier les suites u et v puis détermier u et v e foctio de e recherchat des combiaisos liéaires itéressates de u et v E déduire lim + u et lim + v Correctio [0059] Exercice ** Soiet u, v et w les suites défiies par la doée de u 0, v 0 et w 0 et les relatios de récurrece u + = v + w, v + = u + w et w + = u + v Etudier les suites u, v et w puis détermier u, v et w e foctio de e recherchat des combiaisos liéaires itéressates de u, v et w E déduire lim + u, lim + v et lim + w Correctio [0050] Exercice *** Motrer que les suites défiies par la doée de u 0, v 0 et w 0 réels tels que 0 < u 0 < v 0 < w 0 et les relatios de récurrece : = + + et v + = u + u v w u v w et w + = u + v + w,
tifawtcom ot ue limite commue que l o e cherchera pas à détermier Correctio [005] Exercice *** Soit u ue suite complexe et v la suite défiie par v = u O suppose que la suite v coverge vers u réel positif l Motrer que si 0 l <, la suite u coverge vers 0 et si l >, la suite v ted vers + Motrer que si l =, tout est possible Correctio [005] Exercice 4 *** Soit u ue suite de réels strictemet positifs Motrer que si la suite u + u coverge vers u réel l, alors u coverge et a même limite Etudier la réciproque Applicatio : limites de a C, b c Correctio!,!! [005] Exercice 5 * Soiet u et v deux suites de réels de [0,] telles que lim + u v = Motrer que u et v coverget vers Correctio [0054] Exercice 6 ** Motrer que si les suites u et u coverget alors u coverge Correctio [0055] Exercice 7 ***T Etudier les deux suites u = + et v = + + Correctio [0056] Exercice 8 **T Etudier les deux suites u = k! et v = u +! Correctio [0057] Exercice 9 Etudier les deux suites u = Correctio k k= + et v = k k= [0058] Exercice 0 **T Détermier u e foctio de et de ses premiers termes das chacu des cas suivats : N, 4u + = 4u + + u N, 4u + = u N, 4u + = 4u + + u + 4 N, u + = u + u
tifawtcom 5, u = u u + 6 N, u + 6u + + u + 6u = 0 7 N, u +4 u + + u + u + + u = 5 Correctio [0059] Exercice **** O pose u = et, N, u + = + u Motrer que lim + u = Correctio [00540] Exercice *** Motrer que, pour, cos π = + + + radicaux et si π = + + radicaux E déduire lim + + + radicaux Correctio [0054] Exercice *** Motrer que pour x réel strictemet positif, o a : l + x < x < + x l + x Motrer que k= + k k < e < k= + k+ k et e déduire la limite quad ted vers + de! Correctio [0054] Exercice 4 **** Soit u = p q avec p Z et q N, ue suite de ratioels covergeat vers u irratioel x Motrer que les suites p et q tedet vers + quad ted vers + Correctio [0054] Exercice 5 ** Doer u exemple de suite u divergete, telle que k N \ {}, la suite u k coverge Correctio [00544] Exercice 6 ***I Soit f ue applicatio ijective de N das N Motrer que lim + f = + Correctio [00545] Exercice 7 ***I Soit u l uique racie positive de l équatio x + x = 0 Etudier la suite u Correctio [00546] Exercice 8 ****I Etude des suites u = cosa et v = sia où a est u réel doé Motrer que si a π est ratioel, les suites u et v sot périodiques et motrer das ce cas que u et v coverget si et seulemet si a πz O suppose das cette questio que a π est irratioel a Motrer que u coverge si et seulemet si v coverge 4
tifawtcom b E utilisat différetes formules de trigoométrie fourissat des relatios etre u et v, motrer par l absurde que u et v diverget O suppose toujours que a π est irratioel O veut motrer que l esemble des valeurs de la suite u ou v est dese das [,], c est-à-dire que x [,], ε > 0, N/ u x < ε et de même pour v a Motrer que le problème se ramèe à démotrer que {a + kπ, N et k Z} est dese das R b Motrer que E = {a + kπ, N et k Z} est dese das R par l absurde e supposat que ife R + > 0 pour e déduire que a π Q c Coclure Correctio [00547] Exercice 9 **** Motrer que l esemble E des réels de la forme u = sil, etier aturel o ul, est dese das [,] Correctio [00548] Exercice 0 *** Calculer if α ]0,π[ sup N siα Correctio [00549] Exercice **I Soit u ue suite réelle o majorée Motrer qu il existe ue suite extraite de u tedat vers + Correctio [00550] Exercice *** Soit u ue suite de réels élémets de ]0,[ telle que N, u u + > 4 Motrer que u coverge vers Correctio [0055]
tifawtcom Correctio de l exercice Soit ε > 0 Il existe u rag 0 tel que, si 0 alors u l < ε Soit u etier aturel strictemet supérieur à 0 v l = + + + 0 0 u k l = + u k l = + u k l + + = k l + + u ε 0 k= 0 + u k l u k l + + ε + 0 k= 0 + u k l u k l + + Maiteat, 0 u k l est ue expressio costate quad varie et doc, lim + + 0 u k l = 0 Par suite, il existe u etier 0 tel que pour, + 0 u k l < ε Pour, o a alors v l < ε + ε = ε O a motré que ε > 0, N/ N v l < ε La suite v est doc covergete et lim + v = l Si la suite u coverge vers l alors la suite v coverge vers l ε La réciproque est fausse Pour das N, posos u = La suite u est divergete D autre part, pour das N, k vaut 0 ou suivat la parité de et doc, das tous les cas, v + Par suite, la suite v coverge et lim + v = 0 Si u est borée, il existe u réel M tel que, pour tout aturel, u M Pour etier aturel doé, o a alors La suite v est doc borée v + u k + M = + M = M + Si la suite u est borée alors la suite v est borée La réciproque est fausse Soit u la suite défiie par : N, u = E { p si = p, p N = p si = p +, p N u est pas borée car la suite extraite u p ted vers + quad p ted vers + Mais, si est impair, v = 0, et si est pair, v = + u = +, et das tous les cas v v est borée Si u est croissate, pour etier aturel doé o a : v + v = + + = u k + + + La suite v est doc croissate u k = + u + + + + + + + u k = + + Si la suite u est croissate alors la suite v est croissate u k + + = u k u + u k 0 et la suite 6
tifawtcom Correctio de l exercice Supposos sas perte de gééralité u croissate quite à remplacer u par u Das ce cas, ou bie u coverge, ou bie u ted vers + Supposos que u tede vers +, et motros qu il e est de même pour la suite v Soit A R Il existe u rag 0 tel que pour aturel supérieur ou égal à 0, u A Pour 0 +, o a alors, v = 0 + u k + k= 0 + u k + 0 u k + 0A + Maiteat, quad ted vers +, + 0 u k + 0A + ted vers A et doc, il existe u rag à partir duquel v + 0 u k + 0A + > A O a motré que : N, N/ N, v > A Par suite, lim + v = + Par cotrapositio, si v e ted pas vers +, la suite u e ted pas vers + et doc coverge, d après la remarque iitiale Correctio de l exercice La foctio x x est cotiue et décroissate sur ]0,+ [ et doc, pour k N, o a : k + = k + k k+ k + x dx k + k k = k k Doc, pour k, k k+ k x dx et, pour k, k k k x dx E sommat ces iégalités, o obtiet pour, et pour, H = k= k+ k + k= k x dx = dx = l +, x H = + k= cette derière iégalité restat vraie quad = Doc, k k + k= k x dx = + dx = + l, x N, l + H + l Soit u etier aturel o ul u + u = + l + + l = + + + x dx = + dx 0 x car la foctio x x décroit sur [, + ] De même, v + v = + l + + l + = + + + + x dx = + + dx 0 x car la foctio x x décroit sur [ +, + ] Efi, u v = l + l = l + et doc la suite u v ted vers 0 quad ted vers + Fialemet, la suite u décroit, la suite v croit et la suite u v ted vers 0 O e déduit que les suites u et v sot adjacetes, et e particulier covergetes et de même limite Notos γ cette limite Pour tout etier aturel o ul, o a v γ u, et e particulier, v γ u avec v = 0,5 et u = Doc, γ [,] Plus précisémet, pour etier aturel o ul doé, o a 7
tifawtcom 0 u v 0 l + 0,005 e0,005 e 0,005 = 99,5 00 Doc 0 γ v 00 0 et ue valeur approchée de v 00 à 0 près c est-à-dire arrodie à la ème décimale la plus proche est ue valeur approchée de γ à 0 près O trouve γ = 0,57 à 0 près par défaut Plus précisémét, γ = 0,57756649 γ est la costate d EULER Correctio de l exercice 4 Soit r la raiso de la suite u Pour tout etier aturel k, o a E sommat ces égalités, o obtiet : r Si r 0, o obtiet = u k u k+ r u k u k+ = u k+ u k u k u k+ = u k u k+ = = u + u 0 + r = u k u k+ u 0 u + u 0 u + u 0 u + u k u k+ = + u 0 u +, et si r = 0 et u 0 0, u est costate et le résultat est immédiat Correctio de l exercice 5 Soit k u etier aturel o ul O sait que k i= i = kk+k+ 6 Détermios alors trois réels a, b et c tels que, pour etier aturel o ul k, Pour k etier aturel o ul doé, 6 kk + k + = a k + b k + + c k + a k + Par suite, et doc, b k + + c ak + k + + bkk + + ckk + = k + kk + k + N, k= a + b + c = 0 a + b + c = 0 a = 6 = a + b + ck + a + b + ck + a kk + k + a = 6 b = 6 c = 4 6 kk + k + = 6 k= k + k= k + 4 k= k + Esuite, d après l exercice, quad ted vers +, k= k = l + γ + o puis k= Efi, + k + = k= k = H + = +l++γ +o = l+l + +γ +o = l+γ +o, 8
tifawtcom k= + k + = + k= k k= k = + H + H = l + + γ l + γ + o = l + l + l + + γ l γ + o = l + l + γ + o Fialemet, quad ted vers +, o a k= Doc, + + + k = 6 l + γ + l + γ 4 l + l + γ = 6 4l + o lim + k= + ++k = 6 4l Correctio de l exercice 6 Posos α = Arccos a b α existe car 0 < a b < et est élémet de ] 0, π [ De plus, a = bcosα Efi, pour tout α etier aturel, ] 0, π [ et doc, cos α > 0 O a u 0 = bcosα et v 0 = b puis u = u 0 + v 0 = b + cosα = bcos α et v = u v 0 = bcos α b = bcos α puis u = b cos α + cos α = bcos α cos α et v = bcos α cos α bcos α = bcos α cos α Motros par récurrece que pour tout etier aturel o ul, v = b k= cos α et u k = v cos α C est vrai pour = et si pour doé, o a v = b k= cos α et k u = v cos α alors, puis u + = v cos α + v = v cos α + v + = α u + v = v cos + car cos α > 0, + et doc, v + = b + k= cos α k puis u + = v + cos α + O a motré par récurrece que N, v = b k= cos α k et u = v cos α Pour tout etier aturel o ul, o a v > 0 et v + v = cos α < La suite v est doc strictemet décroissate + Esuite, pour tout etier aturel o ul, o a u > 0 et u + = v + cos α + u v cos α = cos α + cos α = La suite u est strictemet croissate Maiteat, pour N, + cos α > + = v = b cos α k= k = b si α k k= si α k = siα si α 9
tifawtcom Doc, quad ted vers +, v siα α = siα α, puis u = v cos α v siα α Aisi, les suites u et v sot adjacetes de limite commue b siα α = b a Arccos a b Correctio de l exercice 7 Pour N, si Comme si 0, + 0 + lim + si = 0 Quad ted vers +, l + = l + = Doc, l + ted vers puis, + = e l+/ ted vers e = e lim + + = e Pour N, posos u =! Pour etier aturel o ul, o a u + +! = u! + + = = + + Doc, quad ted vers +, u + u = e l+/ = e /+o/ = e +o Aisi, u + u ted vers e = 06 < O sait alors que lim + u = 0 lim +! = 0 4 Pour, + u + Or, + + et tedet vers quad ted vers + et doc, d après le théorème de la limite par ecadremet, la suite u coverge et a pour limite E + lim + E = 5 Quad ted vers +, = e l = e l/ = e o, et doc ted vers lim + = 6 + = ++ 0 7 k= k = ++ = 6 6 6 k 8 k= k/k = k= k Pour x réel, posos f x = k= kxk f est dérivable sur R e tat que polyôme et pour tout réel x, Pour x, o a doc f x = x k x = k= x k x x + f x = x = + x x x + x x = x+ + x + x E particulier, k k= = f + k = + + 4 d après u théorème de croissaces comparées Fialemet, k= k/k 4/ = 4 0
tifawtcom Correctio de l exercice 8 Soit N = + + u = + u = + + + u + Par suite, quad ted vers +, u = + 4 + 4 + u = + + u = + 4 + + + u = 4 + + + + = 4 + + = 4 + = + + 4 + 4 + o = + o = 4 + / + + La suite u coverge et a pour limite Correctio de l exercice 9 Calcul formel de u Soit x R x x = x x x = 0 x = 0 ou x = Pour etier aturel doé, o a alors Par suite, u u = u 0 u 0, puis u = u + u + = u 0 u 0 u 0 u u u = u = u u u u Calcul formel de u Soit x R 4x x = x x 4x + 4 = 0 x = Pour etier aturel doé, o a alors u + = 4u u = u u = u + u = + u Par suite, u = + u 0, puis u = + u 0 u 0 + Correctio de l exercice 0 u + u = v u Pour tout etier aturel, o a v + v = v u La derière relatio motre que la suite v u v + u + = v u garde u sige costat puis les deux premières relatios motret que pour tout etier aturel, sgu + u = sgv u et sgv + v = sgv u Les suites u et v sot doc mootoes de ses de variatio opposés Si par exemple u 0 v 0, alors, pour tout aturel, o a : u 0 u u + v + v v 0 Das ce cas, la suite u est croissate et majorée par v 0 et doc coverge vers u certai réel l De même, la suite v est décroissate et miorée par u 0 et doc coverge vers u certai réel l Efi, puisque pour tout etier aturel, o a u + = u +v, o obtiet par passage à la limite quad ted vers l ifii, l = l+l et
tifawtcom doc l = l Les suites u et v sot doc adjacetes Si u 0 > v 0, il suffit d échager les rôles de u et v Calcul des suites u et v Pour etier aturel doé, o a v + u + = v u La suite v u est géométrique de raiso Pour tout aturel, o a doc v u = v 0 u 0 D autre part, pour etier aturel doé, v + +u + = v +u La suite v +u est costate et doc, pour tout etier aturel, o a v +u = v 0 +u 0 E additioat et e retrachat les deux égalités précédetes, o obtiet pour tout etier aturel : u = E particulier, l = l = u 0+v 0 v 0 + u 0 + v 0 u 0 et v = v 0 + u 0 v 0 u 0 Correctio de l exercice Pour tout etier aturel, o a u + v + = u v et doc, u v = u0 v 0 De même, e échageat les rôles de u, v et w, v w = v0 w 0 et w u = w0 v 0 attetio, cette derière égalité est autre que la somme des deux premières et il maque ecore ue équatio O a aussi, u + + v + + w + = u + v + w et doc, pour tout aturel, u + v + w = u 0 + v 0 + w 0 Aisi, u, v et w sot solutios du système v u = v0 u 0 w u = w0 u 0 u + v + w = u 0 + v 0 + w 0 Par suite, pour tout etier aturel, o a u = u 0 + v 0 + w 0 + u0 v 0 w 0 v = u 0 + v 0 + w 0 + u0 + v 0 w 0 w = u 0 + v 0 + w 0 + u0 v 0 + w 0 Les suites u, v et w coverget vers u 0+v 0 +w 0 Correctio de l exercice Motros tout d abord que : x,y,z ]0,+ [, x y z x + y + z x + y + z xyz Posos m = x+y+z, g = xyz et h = Soiet y et z deux réels strictemet positifs tels que y z Pour x + y + z x ]0,y], posos u est dérivable sur ]0,y] et pour x ]0,y], ux = lm lg = l x+y+z u x = lx + ly + lz x + y + z x x + x + x x = 0 u est doc décroissate sur ]0,y] et pour x das ]0,y], ux uy = l strictemet positif fixé Pour y ]0,z], posos vy = l y ]0,z], y+z v y = y + z z z z = 0 y+z ly + lz Soit z u réel ly+lz v est dérivable sur ]0,z] et pour
tifawtcom v est doc décroissate sur ]0,z] et pour y das ]0,z], o a vy vz = 0 O viet de motrer que g m E appliquat ce résultat à x, y et z, o obtiet g z+z+z h et doc h g Efi, m = z et h = x x + x + x Fialemet, x h g m z Ce résultat prélimiaire état établi, puisque 0 < u 0 < v 0 < w 0, par récurrece, les suites u, v et w sot défiies puis, pour tout aturel, o a u v w, et de plus u 0 u u + w + w w 0 La suite u est croissate et majorée par w 0 et doc coverge La suite w est décroissate et miorée par u 0 et doc coverge Efi, puisque pour tout etier aturel, v = w + u w, la suite v coverge Soiet alors a, b et c les limites respectives des suites u, v et w Puisque pour tout etier aturel, o a 0 < u 0 u v w, o a déjà par passage à la limite 0 < u 0 a b c Toujours par passage à la limite quad ted vers + : a = a + b + c b = abc c = a+b+c bc = ab + ac b = ac a + b = c { b = c a a 5ac + 4c = 0 a = c et b = c ou a = 4c et b = c b = c est impossible car b et c sot strictemet positifs et doc, a = b = c Les suites u, v et w coverget vers ue limite commue Correctio de l exercice Supposos que la suite v tede vers le réel positif l Supposos que 0 l < Soit ε = l ε est u réel strictemet positif et doc, 0 N/ N, 0 v < l + l = +l Pour 0, par croissace de la foctio t t sur R +, o obtiet u < +l Or, 0 < +l < + = et doc +l ted vers 0 quad ted vers + Il e résulte que u ted vers 0 quad ted vers + Supposos que l > 0 N/ N, 0 v > l l = +l Mais alors, pour 0, u > +l Or, +l > + =, et doc +l ted vers + quad ted vers + Il e résulte que u ted vers + quad ted vers + Soit, pour α réel et etier aturel o ul, u = α u = e α l ted vers quad ted vers +, et ceci pour toute valeur de α Mais, si α < 0, u ted vers 0, si α = 0, u ted vers et si α > 0, u ted vers + Doc, si l =, o e peut rie coclure Correctio de l exercice 4 Supposos l > 0 Soit ε u réel strictemet positif, élémet de ]0,l[ 0 N/ N, 0 0 < l ε < u + u < l + ε Pour > 0, puisque u = u u u u u u u 0 + u 0 u 0, o a u 0 l ε 0 u u 0 l + ε 0, et doc u 0 / l ε 0 / l ε u u 0 / l + ε 0 / l + ε Maiteat, le membre de gauche de cet ecadremet ted vers l ε, et le membre de droite red vers l+ ε Par suite, o peut trouver u etier aturel 0 tel que, pour, u 0 / l ε 0 / l ε > l ε, et u 0 / l + ε 0 / l + ε < l + ε Pour, o a alors l ε < u < l + ε O a motré que ε > 0, N/ N, l ε < u < l + ε Doc, u ted vers l O traite de faço aalogue le cas l = 0 Soiet a et b deux réels tels que 0 < a < b Soit u la suite défiie par p N, u p = a p b p et u p+ = a p+ b p
tifawtcom o part de puis o multiplie alterativemet par a ou b Alors, p up = ab et p+ up+ = a p+ p+ b p ab Doc, u ted vers ab et e particulier coverge O a bie sûr u p+ u p = a et u p+ u p+ = b La suite u+ u admet doc deux suites extraites covergetes de limites distictes et est aisi divergete La réciproque du est doc fausse a Pour etier aturel doé, posos u = Aisi, u + u u + +!! + + = = u! +! + = 4 + + ted vers 4 quad ted vers +, et doc ted vers 4 quad ted vers + b Pour etier aturel doé, posos u =! u + u = + +! +! = + Aisi, u + u ted vers e quad ted vers +, et doc u =! ted vers e quad ted vers + c Pour etier aturel doé, posos u =!! p+ u + u = = +!!! + + +! + + + + + + + = + + + Maiteat, + = e l+/ = e +o = e +o, et doc u + u! suite,! ted vers 7 e ted vers 7e Par Correctio de l exercice 5 D après le théorème de la limite par ecadremet : 0 u v u u coverge et ted vers Il e est de même pour v e échageat les rôles de u et v Correctio de l exercice 6 Si u 0, alors u = u 0 et doc u 0 Si u l 0, alors u = u u coverge L exercice a d itérêt que si la suite u est ue suite complexe, car si u est ue suite réelle, o écrit immédiatemet u = u et o pas u = u Correctio de l exercice 7 Les suites u et v sot défiies à partir du rag et strictemet positives Pour tout aturel o ul, o a : u + u = + + = e +l++l +l+ + + Pour x réel strictemet positif, posos alors f x = x + lx + + xlx x + lx + f est dérivable sur ]0,+ [ et pour x > 0, 4
tifawtcom f x = x + x + + lx + + + lx lx + x + x + = x + x + De même, f est dérivable sur ]0,+ [ et pour x > 0, + lx + + + lx x + x + = x + + + lx + lx + lx + x + lx + f x = x + x + + x + x + x + = xx + xx + + x + x + + xx + x + xx + x + xx + x + = x x + x + x + x + 4x + 4 + x + xx + x + x + xx + 4x + 4 xx + x + x + 4 = xx + x + > 0 f est strictemet croissate sur ]0,+ [ et doc, pour x > 0, f x < lim t + f t = lim t + Doc, f est strictemet décroissate sur ]0,+ [ Or, pour x > 0, t + + tt + + l t + t + = 0 f x = x + lx + + xlx x + lx + = x + x + x + lx + x + l + x = l + l + x x + l + x x l + x x + l l+u O sait que lim u 0 u =, et doc, quad x ted vers +, f x ted vers 0 + 0 + = 0 Comme f est strictemet décroissate sur ]0,+ [, pour tout réel x > 0, o a f x > lim t + f t = 0 f est doc strictemet positive sur ]0,+ [ Aisi, N, f > 0 et doc u + u = e f > La suite u est strictemet croissate Remarque O pouvait aussi étudier directemet la foctio x + x x sur ]0,+ [ O motre de maière aalogue que la suite v est strictemet décroissate Efi, puisque u ted vers e, et que v = + u ted vers e, les suites u et v sot adjacetes Remarque E coséquece, pour tout etier aturel o ul, + < e < + + Par exemple, pour = 0, o obtiet 0 0 < e < 0 et doc,,59 < e <,85 et pour = 00, o obtiet,0 00 < e <,0 0 et doc,70 < e <,7 Ces deux suites coverget vers e letemet x + x Correctio de l exercice 8 Il est immédiat que u croit strictemet et que v u est strictemet positive et ted vers 0 De plus, pour etier aturel doé, v + v = +! + + +! + + + = =! + +! + +! < 0, et la suite v est strictemet décroissate Les suites u et v sot doc adjacetes et coverget vers ue limite commue à savoir e 5
tifawtcom Remarque Das ce cas, la covergece est très rapide O a pour tout etier aturel o ul, k! < e < k! +! et = 5 fourit par exemple,76 < e <,78 Correctio de l exercice 9 Pour etier aturel o ul doé, o a u + u = + + + + = + De même, > + + + + + + + = 0 v + v = + + + = + < + + + La suite u est strictemet croissate et la suite v est strictemet décroissate Efi, v u = + = + +, + + + = 0 et la suite v u coverge vers 0 Les suites u et v sot aisi adjacetes et doc covergetes, de même limite Correctio de l exercice 0 L équatio caractéristique est 4z 4z = 0 Ses solutios sot et Les suites cherchées sot les suites de la forme u = λ + µ où λ et µ sot deux réels ou deux complexes si o cherche toutes les suites { complexes Si u 0 et u sot les deux premiers termes de la suite u, λ et µ sot λ + µ = u0 les solutios du système λ + µ = u et doc λ = 4 u 0 u et µ = 4 u 0 + u N, u = 4 u 0 u + 4 u 0 + u Clairemet u = 4 u 0 et u + = 4 u et doc u = + u 0 + u N, u = + + u 0 + u Les solutios de l équatio homogèe associée sot les suites de la forme λ +µ Ue solutio particulière de l équatio proposée est ue costate a telle que 4a = 4a + a + et doc a = 4 Les solutios de l équatio proposée sot doc les suites de la forme 4 + λ + µ où λ et µ { λ + µ = 4 + u0 sot les solutios du système λ + µ = 4 + u u et doc λ = 4 4 + u 0 u et µ = 4 + u 0 + N, u = 4 + 4 4 + u 0 u + 4 + u 0 + u 4 La suite v = u est solutio de la récurrece v + = v + v et doc, v est de la forme λ et doc u = λ +i 7 4 +µ i 7 4 +i 7 4 5 Les solutios de l équatio homogèe associée sot les suites de la forme λ + µ est racie simple de l équatio caractéristique et doc il existe ue solutio particulière de l équatio proposée de la forme u = a 4 + b + c + d Pour, o a + µ i 7 4 6
tifawtcom u u + u = a 4 + b + c + d a 4 + b + c + d + a 4 + b + c + d = a 4 4 + 4 + b + + c + + d + = a 4 + 0 5 + 9 + b + 5 + c + 5 + d = 4a + 0a b + 5a + 5b c + 9a b + 5c d u est solutio 4a = et 0a b = 0 et 5a + 5b c = 0 et 9a b + 5c d = 0 a = 4, b = 5, c = 49 4, d = 6 Les suites cherchées sot les suites de la forme 4 + 0 + 49 + 44 + λ + µ 6 Pour tout complexe z, z 6z + z 6 = z z z et les suites solutios sot les suites de la forme α + β + γ 7 Pour tout complexe z, z 4 z + z z + = z + zz + = z z + Les solutios de l équatio homogèe associée sot les suites de la forme α + β + γi + δ i est racie double de l équatio caractéristique et doc l équatio proposée admet ue solutio particulière de la forme u = a 7 + b 6 + c 5 + d 4 + e + f Pour tout etier aturel, o a u +4 u + + u + u + + u = a + 4 7 + 7 + + 7 + 7 + 7 + b + 4 6 + 6 + + 6 + 6 + 6 + c + 4 5 + 5 + + 5 + 5 + 5 + d + 4 4 + 4 + + 4 + 4 + 4 + e + 4 + + + + + + f + 4 + + + + + = a84 5 + 840 4 + 440 + 600 + 948 + 64 + b60 4 + 480 + 860 + 600 + 764 + c40 + 40 + 60 + 600 + d4 + 96 + 4 + e + 4 + 4 f = 5 84a + 4 840a + 60b + 440a + 480b + 40c + 600a + 860b + 40c + 4d + 948a + 600b + 60c + 96d + e + 64a + 764b + 600c + 4d + 4e + 4 f u est solutio si et seulemet si 84a = et doc a = 84, puis 840a + 60b = 0 et doc b = 6, puis 440a + 480b + 40c = 0 et doc c = 7 4, puis 600a + 860b + 40c + 4d = 0 et doc d = 5 puis 948a + 600b + 60c + 96d + e = 0 et doc e = 59 4 puis 64a + 764b + 600c + 4d + 4e + 4 f = 0 et doc f = La solutio géérale de l équatio avec secod membre est doc : N, u = 68 7 8 6 +9 5 70 4 4 +4 +α +β+γi +δ i, α,β,γ,δ C 4 Correctio de l exercice Tout d abord, o motre facilemet par récurrece que, pour tout etier aturel o ul, u existe et u Mais alors, pour tout etier aturel o ul, u + = + u + Par suite, pour, u, ce qui reste vrai pour = 7
tifawtcom N, u Supposos mometaémet que la suite u coverge vers u réel l Das ce cas : + = + = + u + l + o + l + o = + l + o = + l+o D autre part, u + = + + l + o = + / + l + o = + l + o, et doc l l = o ou ecore l = 0 Doc, si la suite u coverge vers u réel l, alors l = Il reste à démotrer que la suite u coverge O ote que pour tout etier aturel o ul, u + u = u + u + = u u + 4 + u u 4 + Motros par récurrece que pour, + 4 u + 4 + Posos v = + 4 et w = + 4 + Si =, v = u = + 5 = w Soit Supposos que v u w Alors, Mais, pour, + u + = + + 4 + + u 4 + sg + 4 + 5 + Doc, u + + + 4 + w + D autre part, + et doc v + u + w + O a motré par récurrece que 4 + = sg + 4 + 5 + 4 + + 4 = sg 4 + 5 + 4 4 + + 4 = sg4 + 5 + 4 4 + + 4 par croissace de x x sur [0,+ [ = sg4 + 54 + 4 4 + + 4 + 4 + 4 = sg 8 + 8 4 = sg 4 = sg4 = sg = + = + + 4 + = 4 + + 4 + + 4 + + 4 + + = + 4 + = v +, N, + 4 u + 4 +, ce qui motre au passage que u est croissate Doc, pour, + 4 u + + 4, ou ecore, pour tout, 8
tifawtcom 4 4 + u + 4 + 4 + Maiteat, comme les deux suites 4 4 + et + 4 + 4 + coverget toutes deux vers, d après le théorème de la limite par ecadremets, la suite u coverge vers Correctio de l exercice L égalité proposée est vraie pour = car cos π = cos π 4 = Soit Supposos que cos π = + + radicaux Alors, puisque cos π π > 0 car est das ]0, π + + [, cos π + = + cos π = + + O a motré par récurrece que, pour, cos π = Esuite, pour, Efi, + = + +, radicaux + + radicaux si π = π cos = + radicaux Doc, lim + + = π + = si π + π + = π + Correctio de l exercice Pour x réel positif, posos f x = x l + x et gx = x + lx + x f et g sot dérivables sur [0,+ [ et pour x > 0, o a et f x = x + = x x + > 0, g x = lx + + = lx + > 0 f et g sot doc strictemet croissates sur [0,+ [ et e particulier, pour x > 0, f x > f 0 = 0 et de même, gx > g0 = 0 Fialemet, f et g sot strictemet positives sur ]0,+ [ ou ecore, x > 0, l + x < x < + xl + x Soit k u etier aturel o ul D après, l+ k < k < + k l+ k, ce qui fourit k l+ k < < k +L+ k, puis, par stricte croissace de la foctio expoetielle sur R, k N, 0 < + k k < e < + k k+ E multipliat membre à membre ces ecadremets, o obtiet pour tout aturel o ul : 9
tifawtcom Maiteat, De même, k= k= + k k = k= + k k < e < k= k + k k= + k k+ k = + k= kk k= kk = k= k= kk + k k+ = + + + = kk+! +! O a motré que N, +! < e < ++! et doc N, e + <! < e + + / D après le théorème de la limite par ecadremets, comme + ted vers quad ted vers l ifii de même que + / = e l+/, o a motré que! ted vers e quad ted vers + Correctio de l exercice 4 Soit x u irratioel et p q N ue suite de ratioels tedat vers x p etier relatif et q etier aturel o ul, la fractio p q état pas écessairemet irréductible Supposos que la suite q N e tede pas vers + Doc : A > 0/ 0 N 0 / q A ou ecore, il existe ue suite extraite q ϕ N de la suite q N qui est borée La suite q ϕ N est ue suite d etiers aturels qui est borée, et doc cette suite e pred qu u ombre fii de valeurs Mais alors, o peut extraire de la suite q ϕ N et doc de la suite q N ue suite q ψ N qui est costate et e particulier covergete La suite p ψ N = p ψ q ψ N q ψ N est aussi ue suite d etiers relatifs covergete et est doc costate à partir d u certai rag Aisi, o peut extraire de la suite p ψ N et doc de la suite p N ue suite p σ N costate La suite q σ N est égalemet costate car extraite de la suite costate q ψ N et fialemet, o a extrait de la suite p q N ue sous suite p σ q σ N costate Mais la suite p q N ted vers x et doc la suite extraite p σ q σ N ted vers x Puisque p σ q σ N est costate, o a N, p σ q = x et doc x est ratioel Cotradictio σ Doc la suite q N ted vers + Efi si p N e ted pas vers +, o peut extraire de p N ue sous-suite borée p ϕ N Mais alors, la suite p ϕ q ϕ N ted vers x = 0 cotredisat l irratioalité de x Doc, la suite p N ted vers + i fty Correctio de l exercice 5 O pose u 0 = 0, u = 0, u =, u =, u 4 = 0, u 5 =, c est-à-dire { 0 si est pas premier N, u = si est premier Soit k u etier aturel supérieur ou égal à Pour, l etier k est composé et doc, pour, u k = 0 E particulier, la suite u k N coverge et a pour limite 0 Maiteat, l esemble des ombres premiers est ifii et si p est le -ième ombre premier, la suite p N est strictemet croissate La suite u p N est extraite de u N et est costate égale à E particulier, la suite u p N ted vers Aisi la suite u N 0
tifawtcom admet au mois deux suites extraites covergetes de limites distictes et doc la suite u N diverge bie que toutes les suites u k N coverget vers 0 pour k Correctio de l exercice 6 Soit f ue applicatio de N das lui-même, ijective Motros que lim + f = + Soiet A u réel puis m = Max0, + EA Puisque f est ijective, o a card f {0,,,m} m + E particulier, f {0,,,m} est fii évetuellemet vide { 0 si f Posos 0 = + {0,,,m} = /0 Max f {0,,,m} sio Par défiitio de 0, si 0, est pas élémet de f {0,,,m} et doc f > m > A O a motré que A R, 0 N/ N, 0 f > A ou ecore lim + f = + Correctio de l exercice 7 Pour aturel o ul et x réel positif, posos f x = x + x Pour x 0, f x = 0 x = et doc u = Pour, f est dérivable sur R + et pour x 0, f x = x + > 0 f est aisi cotiue et strictemt croissate sur R + et doc bijective de R + sur f R + = [ f 0,lim x + f x[= [,+ [, et e particulier,!x [0,+ [/ f x = 0 Soit u ce ombre Puisque f 0 = < 0 et que f = > 0, par stricte croissace de f sur [0,+ [, o a : N, 0 < u < La suite u est doc borée Esuite, pour etier aturel doé et puisque 0 < u < : f + u = u + + u < u + u = f u = 0 = f + u +, et doc f + u < f + u + puis, par stricte croissace de f + sur R +, o obtiet : N, u < u + La suite u est borée et strictemet croissate Doc, la suite u coverge vers u réel l, élémet de [0,] Si 0 l <, il existe u rag 0 tel que pour 0, o a : u l + l = +l Mais alors, pour 0, o a u = u +l et quad ted vers vers +, o obtiet l 0 ce qui est e cotradictio avec 0 l < Doc, l = Correctio de l exercice 8 Posos a = pπ q où p Z, q N et PGCDp,q = Pour tout etier aturel, o a u +q = cos + q pπ = cos pπ q q + pπ = cosa = u La suite u est doc q-périodique et de même la suite v est q-périodique Maiteat, ue suite périodique coverge si et seulemet si elle est costate e effet, soiet T ue période strictemet positive de u et l la limite de u Soit k {0,,T } u k u 0 = u k+t u T l l = 0 quad ted vers l ifii Or, si a = pπ q où p Z, q N, PGCDp,q = et p q Z, alors u u 0 et la suite u est pas costate et doc diverge, et si a πz, la suite u est costate et doc coverge
tifawtcom a et b Pour tout etier aturel, v + = si + a = siacosa + cosasia = u sia + v cosa Puisque a π / Z, sia 0 et doc u = v + v cosa sia Par suite, si v coverge alors u coverge De même, à partir de cos + a = cosacosa siasia, o voit que si u coverge alors v coverge Les suites u et v sot doc simultaémet covergetes ou divergetes Supposos que la suite u coverge, alors la suite v coverge Soiet l et l les limites respectives de u et v D après ce qui précède, l et l sot solutios du système : { lsia + l cosa = l lcosa l sia = l { lsia + l cosa = 0 lcosa l sia = 0 Le détermiat de ce système vaut si a cosa < 0 car a / πz Ce système admet doc l uique solutio l = l = 0 ce qui cotredit l égalité l + l = Doc, les suites u et v diverget a Soit E = {a+kπ, N, k Z} Supposos que E est dese das R et motros que {u, N} et {v, N} sot dese das [,] Soiet x u réel de [,] et b = Arccosx, de sorte que b [0,π] et que x = cosb Soit ε > 0 Pour etier aturel et k etier relatif doés, o a : a + kπ b a + kπ + b u x = cosa cosb = cosa + kπ cosb = si si a + kπ b l iégalité six x valable pour tout réel x est classique = a + kπ b E résumé, k Z, N, u x a + kπ b Maiteat, si E est dese das R, o peut trouver N et k Z tels que a + kπ b < ε et doc u x < ε Fialemet, {u, N} est dese das [,] De même, o motre que {v, N} est dese das [,] Il reste doc à démotrer que E est dese das R b Soit E = {a + kπ, Z, k Z} E est u sous groupe o ul de R,+ et doc est soit de la forme αz avec α = ife ]0,+ [ > 0, soit dese das R si ife ]0,+ [ = 0 Supposos par l absurde que ife ]0,+ [ > 0 Puisque E = αz et que π est das E, il existe u etier aturel o ul q tel que π = qα, et doc tel que α = π q Mais alors, a état aussi das E, il existe u etier relatif p tel que a = pα = pπ q πq Ceci est exclu et doc, E est dese das R c Soit x das [,] D après ce qui précède, pour ε > 0 doé, il existe Z tel que cosa x < ε et doc u x < ε, ce qui motre que {u, N} est dese das [,] De même, {v, N} est dese das [,] Correctio de l exercice 9 Soit x das [,] et ε > 0 Soit θ = Arcsix doc θ est élémet de [ π, π ] et x = siθ Pour k etier aturel o ul doé, il existe u etier k tel que l k θ + kπ < l k + à savoir k = Ee θ+kπ Mais, 0 < l k + l k = l + k < k d après l iégalité classique l + x < x pour x > 0, obteue par exemple par l étude de la foctio f : x l + x x Doc,
tifawtcom 0 θ + kπ l k < l k + l k < k, puis siθ sil k = si θ + kπ l k cos θ + kπ + l k θ + kπ l k = θ + kπ l k < k Soit alors ε u réel strictemet positif Puisque k = Ee θ+kπ ted vers + quad k ted vers +, o peut trouver u etier k tel que k < ε et pour cet etier k, o a siθ sil k < ε O a motré que x [,], ε > 0, N / x sil < ε, et doc {sil, N } est dese das [,] Correctio de l exercice 0 Pour α ]0,π[, posos f α = sup N siα {siα, N} est ue partie o vide et majorée par de R Doc, pour tout réel α de ]0,π[, f α existe das R Si α est das [ π, π ], f α = sup N siα siα = f π Si α est das ]0, π ] Soit 0 l etier aturel tel que 0 α < π 0α 0 existe car la suite α N est strictemet croissate Alors, Mais alors, π 0α = 0 α + α < π + α π + π = π Si α est das [ π,π[, o ote que car π α est das ]0, π ] f α = sup N siα si 0 α = f π f α = sup N siα = sup N siπ α = f π α f π, O a motré que α ]0,π[, f α f π = Doc, if α ]0,π[sup N siα existe das R et if α ]0,π[ sup N siα = Mi α ]0,π[ sup N siα = f π = Correctio de l exercice La suite u est pas majorée Doc, M R, N/ u > M E particulier, 0 N/ u 0 0 Soit k = 0 Supposos avoir costruit des etiers 0,,, k tels que 0 < < < k et i {0,,k}, u i i O e peut avoir : > k, u < k + car sio la suite u est majorée par le ombre Max{u 0,u,,u k,k +} Par suite, k+ > k / u k+ k + O viet de costruire par récurrece ue suite u k k N extraite de la suite u telle que k N, u k k et e particulier telle que lim k + u k = + Correctio de l exercice
tifawtcom Si u coverge vers u réel l, alors l [0,] puis, par passage à la limite quad ted vers +, l l 4, et doc l 0 et fialemet l = Par suite, si u coverge, lim + u = De plus, puisque la suite u est à valeurs das ]0,[, pour aturel doé, o a : u u = 4 u 4 < u + u, et puisque u > 0, o a doc N, u < u + u est croissate et majorée Doc u coverge et lim + u = amusat 4