Formulaire Trigonométrie Définition cos ei + e i sin ei e i i cos n + i sin n (cos + i sin ) n Angle double cos cos sin tan θ sin θ cos θ Angles opposés et cotan θ tan θ cos θ sin θ cos(θ) cos( θ) cos(π θ) π cos(π + θ) sin θ sin(θ) sin( θ) sin(π θ) π sin(π + θ) cos θ tan(θ) tan( θ) tan(π θ) π tan(π + θ) cotan θ Valeurs remarquables θ 0 π/6 π/4 π/3 π/ cos θ 3/ / / 0 sin θ 0 / / 3/ tan θ 0 3/3 3 n.d. Passage polaire/cartésien z + i y re iθ r cos θ y r sin θ si > 0, si < 0, Complees r + y y θ arctan y θ π + arctan sin + cos e i cos + i sin cos cos cos + cos cos sin sin cos sin cos sin tan tan tan Addition des angles cos(a + b) cos a cos b sin a sin b sin(a + b) sin a cos b + cos a sin b cos(a b) cos a cos b + sin a sin b sin(a b) sin a cos b cos a sin b tan a + tan b tan(a + b) tan a tan b tan a tan b tan(a b) + tan a tan b Addition des fonctions cos a + cos b cos cos cos a cos b sin sin sin a + sin b sin cos sin a sin b cos sin a cos + b sin ρ cos( ϕ) avec ρ a + b, ϕ arg(a + ib) Produit des fonctions cos a cos b cos(a b) + cos(a + b) sin a sin b cos(a b) cos(a + b) sin a cos b sin(a b) + sin(a + b)
FORMULAIRE Dérivées et primitives Fonction Domaine Dérivée f + g f + g f g f g + g f f g f g f g g f n n f n f sin(f ) f cos f cos(f ) f sin f e f f e f ln f f g f (g f ) () f ()g (f ()) n, α n, α \, + n n, α α a α + ln a e ln a + e m m me m ln cos, sin sin, cos π tan \ + kπ + tan k cos arccos ], [ arcsin ], [ arctan + ch, sh, th sh, ch, th argch ], + [ argsh + argth ], [ Fonction Intervalles Primitive n, α n, α \ { }, + n+ n+, a ], a [, ] a, + [ ln a a a + a a arctan a n \ {}, a ], a [, ] a, + [ ( a) n n + ( a) n π + kπ, π + kπ (k ) ln cos tan sin ] kπ, (k + )π [ (k ) cotan ln + ln f α+ α+
LYCÉE CHAPTAL PT* Développements limités Formule de Taylor à l ordre n Soit f une fonction définie sur un intervalle I, avec f de classe au moins n sur I. Soit a et deu points de I. Il eiste alors une fonction ɛ, ɛ() a 0, telle que : f () f (k) (a) ( a) k + ( a) n ɛ() k! f (a) + f (a)( a) + f (a)( a) + + f (n) (a) ( a) n + o(( a) n ) Les développements limités suivants sont tous au voisinage de 0 : DL n e DL n cos DL n+ sin k k! + o( n ) + +! + 3 ( ) k k (k)! + o( n )! + 4 4! ( ) k k+ (k + )! + o( n+ ) 3 DL 6 tan + 3 DL n+ arctan DL n ch DL n+ sh DL n DL n + 3! + + n + o( n ) + ( )n n (n)! + o( n ) 3! + 5 5! + ( )n n+ (n + )! + o( n+ ) 3 + 5 5 + o( 6 ) ( ) k k+ k + + o( n+ ) 3 3 + 5 n+ + ( )n 5 n + + o( n+ ) k (k)! + o( n ) +! + 4 4! + + n (n)! + o( n ) k+ (k + )! + o( n+ ) + 3 3! + 5 5! + + n+ (n + )! + o( n+ ) k + o( n ) + + + 3 + + n + o( n ) ( ) k k + o( n ) + 3 + + ( ) n n + o( n ) DL n ln( + ) ( ) k+ k k + o( n ) + 3 3 + n ( )n+ n + o( n ) k DL n ( + ) α α(α ) (α k + ) + k +o( n ) k! k α(α ) +α+ α(α ) (α n + ) + + n +o( n ) DL + + 8 +o( ) Limites classiques sin 0 ln( + ) 0 tan 0 α, e α + + α +, α ln 0 0 e α + 0 ln α + 0 3
FORMULAIRE Développements en série entière usuels Rayon Domaine Développement R + e R + ch R + cos R + sh R + sin n n (n)! R ], [ ( + ) α + R ], [ ( ) n n (n)! n+ (n + )! ( ) n n+ (n + )! n + ( ) n n R ], ] ln( + ) R + e z z n n α(α )... (α n + ) n ( ) n+ n n (α \ ) Géométrie Géométrie dans le plan Distance du point M( 0, y 0 ) à la droite d équation a + b y + c 0 : d(m, ) a 0 + b y 0 + c a + b Géométrie dans l espace Distance du point M à la droite passant par A et dirigée par u : d(m, ) AM u u Distance du point M( 0, y 0, z 0 ) au plan d équation a + b y + cz + d 0 : d(m, ) a 0 + b y 0 + cz 0 + d a + b + c Distance entre les deu droites non coplanaires et passant respectivement par A et B et dirigées respectivement par u et v : det( AB, u, v ) d(, ) u v 4
LYCÉE CHAPTAL PT* Systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes d OM dr u r + rdθ u θ + dz k Volume élémentaire : dτ rdrdθdz Les coordonnées cylindriques sont à utiliser quand une direction est privilégiée dans le problème (ce sera la direction (Oz)). Le repère (O, ı, j, k ) est orthonormé et direct. La position d un point M est donnée par ses coordonnées cartésiennes (, y, z), et alors OM ı + y j + z k d OM d ı + dy j + dz k Volume élémentaire : dτ ddydz Coordonnées cylindriques Coordonnées polaires C est un cas particulier des coordonnées cylindriques (z 0) On associe au point M le repère orthonormé direct plan (O, u r, u θ ) : ur cos θ ı +sin θ j On a alors OM r u r. r cos θ u θ sin θ ı +cos θ j y r sin θ d OM dr u r + rdθ u θ Surface élémentaire : ds rdrdθ. Coordonnées sphériques La position d un point M est donnée par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z), avec r [ 0, + [, θ [ 0, π [ z. On associe au point M le repère orthonormé direct (O, u r, u θ, k ) : ur cos θ ı +sin θ j On a alors OM r u r + z k. u θ sin θ ı +cos θ j Passage des coordonnées cylindriques au coordonnées cartésiennes r cos θ y r sin θ z z La position d un point M est donnée par ses coordonnées sphériques (r, θ, φ), avec r [ 0, + [, θ [ 0, π [ et φ π, π. Passage des coordonnées sphériques au coordonnées cartésiennes r cos θ sin φ y r sin θ sin φ z r cos φ d OM dr u r + r sin φdθ u θ + rdφ u φ Volume élémentaire : dτ r sin φdrdθdφ. 5
FORMULAIRE Probabilités Lois usuelles discrètes Nom Notation X(Ω) P(X k) E(X) V(X) G(t ) Bernoulli (p) {0; } Binomiale (n, p) 0; n Uniforme (; n) ; n p si k 0 p si k p p( p) p + pt n p k ( p) n k k np np( p) ( p + pt) n n n + n t t n+ n( t) Géométrique (p) ( p) k p p p p pt ( p)t λ λk Poisson (λ) e k! λ λ e λ(t ) Divers Coefficients binomiau Alphabet grec n n n p p! (n p)! ; p n p p n n n n ; n 0 n n n n n n n + ; + p n p p p + p + n n ( + y) n k y n k ; ( + ) n k k k Suites récurrentes linéaires d ordre u0, u u n+ au n+ + bu n α A alpha ν N nu β B bêta ξ Ξ i ou ksi γ Γ gamma o O omicron δ delta π Π pi ε E epsilon ρ P rhô ζ Z zêta σ Σ Sigma η H êta τ T Tau θ Θ thêta υ Υ upsilon ι I iota φ, ϕ Φ phi κ K kappa χ X chi λ Λ lambda ψ Ψ psi µ M mu ω Ω oméga On résout l équation caractéritique X ax b 0 de discriminant associé. Si > 0, deu racines réelles distinctes r et r : λ, µ, n, u n λr n + µr n. Si 0, une racine double r : λ, µ, n, u n (λ + nµ)r n. Si < 0, deu racines complees conjug. ρe ±iθ : λ, µ, n, u n ρ n (λ cos(nθ) + µ sin(nθ)) 6