Vecters I. Notion de vecters a) Vecters et translations Définition : A et B désignent dex points d plan. La translation qi transforme A en B associe à tot point C d plan l'niqe point D tel qe les segments [BC] et [AD] ont le même milie. 1 er cas : C (AB) ème cas : C (AB) D est le point tel qe ABDC est n parallélogramme. On dit qe ABDC est n parallélogramme aplati. Définition : Si ne translation transforme A en A, B en B, C en C, on dit qe les coples (A,A ), (B,B ), (C,C ) définissent n même objet appelé vecter. A C C Le vecter AA est défini : - par sa direction (celle de la droite (AA )) - par sa longer (la longer AA ) - par son sens (de A vers A ) Remarqe : A chaqe translation correspond n vecter q on appelle vecter de la translation. ( AA por la translation précédente) B A B b) égalité de vecters Définition : On dit qe dex vecters sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et même longer. On note = AB = CD = EF On dit qe AB, CD, EF sont des représentants d'n même vecter. 1
Vecters Vecters particliers : Le vecter nl 0 : por tot point M, MM = 0 Le vecter opposé à AB est le vecter qi a la même direction, la même longer qe ABmais n sens opposé. C est donc le vecter BA. On note : BA = - AB Propriété : Dire qe qatre points A, B, C et D sont tels qe AB = DC éqivat à dire qe ABCD est n parallélogramme, éventellement aplati. c) somme et différence de vecters v Définition : La somme de dex vecters et v est le vecter, noté + v, défini ainsi : A étant n point qelconqe, on place le point B tel qe AB =, pis le point C tel qe BC = v ; alors + v = AC. + v L égalité AB + BC = AC est appelée relation de Chasles. Remarqe : si = OM et v = ON, alors + v = OR où OMRN est n parallélogramme. On en dédit la règle d parallélogramme : A, B et C étant donnés, AB + AC = AD éqivat à ABDC est n parallélogramme. Définition : La différence d vecter et d vecter v s obtient en ajotant a vecter l opposé d vecter v : v = + (- v )
Vecters Milie d n segment : Le milie de [AB] est le point I tel qe : 1 AI = AB. AB = AI o Atres tradctions : AI = IB ; IA = - IB ; AI + BI = 0. Exercice : 1. Démontrer qe por tos points O, A et B, OB OA= AB. A, B et C sont trois points ; I est le milie de [BC]. Démontrer qe AI = AB + AC. Soltion : 1. OB OA = OB + AO = AO + OB= AB d après la relation de Chasles.. AB+ AC = AI + IB + AI + IC d après la relation de Chasles = AI + IB + IC Or I est le milie de [BC], d où IB + IC = 0 Donc on a bien AI = AB+ AC. II Repères et coordonnées a) repérage sr ne droite Choisir n repère sr ne droite, c est se donner dex points distincts O et I de, pris dans cet ordre. O est l origine d repère. Posons alors OI = i. Le vecter i est appelé vecter de base. Le repère sera noté (O ; i ). Définition : L abscisse d point M de dans le repère (O ; i ) est le réel x tel qe OM=x i. Exemple : OM = 7 7 i signifie qe M a por abscisse dans le repère (O ; i ). N a por abscisse -, dans le repère (O ; i ) signifie qe ON = -, i. N -, O I M 0 i 1 7
Vecters b) repérage dans le plan Définition : (O ;I,J) est n repère d plan. Il est constité d n triplet de points non alignés. O est appelé origine d repère La droite gradée (O ;I) est l axe des abscisses. La droite gradée (O ;J) est l axe des ordonnées. types de repères (selon le maillage) : Repère orthonormal Repère orthogonal Repère qelconqe La maille est n carré. Les axes sont perpendiclaires en O et OI = OJ. La maille est n rectangle. Les axes sont perpendiclaires en O. La maille est n parallélogramme Coordonnées d n point dans n repère Soit M n point d plan mni d repère (O ;I,J). M est repéré par n niqe cople de réels (x ;y). On dit qe (x ; y) est le cople des coordonnées d point M dans ce repère. x est appelé l abscisse et y l ordonnée. 4
Vecters Notion de dimension Sr ne droite gradée mnie d n repère (O ;I), n point est repéré par n niqe réel ; son abscisse. On dit qe la droite est de dimension 1. Dans le plan mni d n repère (O ;I ;J), n point est repéré par son cople de coordonnées. On dit qe le plan est de dimension. III Coordonnées de vecters Dans ce paragraphe, n repère (O ;I,J) d plan est fixé. On note i = OI et j = OJ. Le repère (O,I,J) se note assi (O ; i ; j ). a) Généralités est n vecter donné ; M est le point tel qe OM =. Notons (x ; y) les coordonnées d point M. Alors OM= x i + y j. Donc = x i + y j. Ainsi tot vecter d plan pet s écrire sos la forme : = x i + y j. Définition : Dire qe le vecter a por coordonnées x y dans le repère (O ; i, j ) signifie qe = x i + y j. On note x y. Propriété : Dire qe les vecters x y et v x' y' sont égax éqivat à dire qe lers coordonnées respectives sont égales: x = x et y = y. b) règles de calcl sr les coordonnées Propriétés : x y et v x' y' sont dex vecters et k est n réel qelconqe, Le vecter + v a por coordonnées x + x' y + y' ; Le vecter k a por coordonnées kx ky. 5
Vecters En effet = x i + y j et v = x i + y Calcl des coordonnées de AB : j, on a alors + v = (x + x ) i + (y + y ) j. A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont dex points. Le vecter AB a por coordonnées x B x A y. B y A Démonstration : D après la relation de Chasles, AB = AO + OB et AO = -OA. De pls OA = xa i + ya j et OB = x B i + yb j. On obtient alors AB = (xb x A ) i + (y B y A ) j. Exercice : Dans n repère (O ; i, j ), on donne le point A(-1 ; ) et le vecter -1. La translation de vecter transforme A en B. Calcler les coordonnées de B. Soltion : On note (x B ; y B ) les coordonnées d point B. La translation de vecter transforme A en B signifie qe = AB. Les coordonnées de ces dex vecters sont donc égales. On en dédit : x B (-1) = et y B = -1 d où x B = et y B = 1 Donc B( ; 1). c) Coordonnées d milie d n segment Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) dex points d plan mni d n repère (O ; i, j ), alors le milie I d segment [AB] a por coordonnées x A + x B y A + y B ;. En effet, I est le milie de [AB] se tradit par AI = 1 AB et AI x I x A y I y A ; AB x B x A y. B y A On obtient alors les égalités : x I x A = 1 (x B x A ) d où x I = x A + x B et y I y A = 1 (y B y A ) d où y I = y A + y B. 6
Vecters d) Distance entre dex points Propriété : A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont dex points d n repère orthonormal (O ; i, j ). La distance de A à B est donnée par : AB = (x B x A )² + (y B y A )² Démonstration : On sppose, comme sr la figre, qe x B > x A et y B > y A. On note C le point tel qe x C = x B et y C = y A. Dans le triangle ABC rectangle en C, on pet appliqer le théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC² Soit : AB² = (x B x A )² + (y B y A )² Donc AB = (x B x A )² + (y B y A )² (car AB est positif.) IV Mltiplication d n vecter par n réel a) Définition désigne n vecter non nl et k n nombre réel non nl. Le prodit d vecter par le réel k est le vecter k tel qe : k et ont même direction Lorsqe k > 0 k a le même sens qe la longer de k est le prodit de k par la longer de. C B A k Lorsqe k < 0 k est de sens opposé à celi de la longer de k est le prodit de l opposé de k par la longer de. B A C k Exemples : centre de gravité d n triangle : Le centre de gravité d triangle ABC est le point G tel qe AG = AI o GA = - GI, lorsqe I est le milie de [BC] (c est à dire qe (AI) est la médiane isse de A). Atres tradctions : IG = 1 IA ; GI = - 1 GA. 7
Vecters le théorème des miliex ABC est n triangle. Si M est le milie de [AB] et N celi de [AC] alors MN = 1 BC. En effet : MN = MA + AN d après la relation de Chasles = 1 BA + 1 AC car M est le milie de [AB] et N celi de [AC] = 1 ( BA + AC ) = 1 BC d après la relation de Chasles b) règles de calcl Propriétés : k = 0 éqivat à k = 0 o = 0 Por tos réels k, k et tos vecters, v : k( + v ) = k + k v (k + k ) = k + k Exemples : AB + AB = ( + ) AB = 5 AB - = - = - AM = 0 éqivat à AM = 0, c est à dire A = M. k(k ) = (kk ) 1. = 8
Vecters V Colinéarité de dex vecters a) vecters colinéaires A D B v C Définition : Dire qe dex vecters non nls = AB et v = CD sont colinéaires signifie q ils ont la même direction. Cela signifie qe les droites (AB) et (CD) sont parallèles o confondes. Propriété : Dire qe les vecters non nls et v sont colinéaires éqivat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe v = k. Remarqe : Par convention, on dit qe le vecter nl est colinéaire à tot vecter. b) parallélisme et alignement Dire qe les droites (AB) et (CD) sont parallèles éqivat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe CD = k AB. Dire qe les points distincts A, B et C sont alignés éqivat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe AB = k AC. Exercice 1 : Dans la figre ci-contre : ABCD est n parallélogramme de centre I, B est le milie d segment [AE], G est le centre de gravité d triangle ACE, et BF = BA + AD. Déterminer les relations reliant AE et CD, CG et CB, pis EI et EG. Calcler IE + IF, pis montrer qe E, G et F sont alignés. 9
Vecters Soltion : AE= AB car B est le milie de [AE] = DC = - CD car ABCD est n parallélogramme. CG = CB car G est le centre de gravité d triangle ACE. EG = EI car G est le centre de gravité d triangle ACE, donc EI = EG. IE + IF = IB + BE + IB + BF d après la relation de Chasles = IB + BE + BA+ AD = ( IB + BA) + AB+ AD ( BE = AB car B est le milie de [AE]) = IA + AC ( AB+ AD = AC car ABCD est n parallélogramme) = CA + AC = 0 ( IA = CA car I est le milie de [AC]) On en dédit qe I est le milie de [EF]. On a alors EF = EI et de pls EI = EG donc EF = EG et les points E, F et G sont alignés. Exercice : ABC est n triangle, les points I et J sont tels qe 1 AI = AB et AJ = AC 1. Exprimer IC et BJ en fonction de AB et AC.. En dédire qe les droites (IC) et (BJ) sont parallèles. Soltion : 1. IC = IA + AC d après la relation de Chasles = - 1 AB + AC BJ = BA + AJ d après la relation de Chasles BJ = - AB + AC. D après les égalités précédentes, on obtient : BJ = IC Donc les vecters BJ et IC sont colinéaires et les droites (BJ) et (IC) sont parallèles. 10
Vecters Exercice : Dans la figre ci-contre : ABCD est n parallélogramme, le point P est le milie d segment [AD], le point R est le symétriqe de B par rapport à D et le point Q est tel qe AQ = 1 AB. On vet montrer qe les points P, Q et R sont alignés. Soltion : On pose i = AB et j = AD 1 Dans le repère (A ; i, j ), B(1 ; 0), D(0 ; 1), Q( ; 0) car 1 AQ = AB et P(0 ; 1 ) car P est le milie de [AD]. R(x R ; y R ) est le symétriqe de B par rapport à D, D est alors le milie de [BR]. On obtient alors x D = x B + x R et y D = y B + y R. D où x D = x B + x R c est à dire 0 = 1 + x R et x R = -1 y D = y B + y R c est à dire = 0 + y R et y R = donc R(-1 ; ). On obtient alors QP x P x Q y ; 0 1-1 QP ; QP P y Q 1 0 1 et QR x R x Q y R y Q Les vecters ; QR -1 1 ; - 4 QR On a alors QR = 4 QP. 0 QR et QPsont colinéaires, donc les points Q, P et R sont alignés. c) condition de colinéarité Propriété : Dans n repère (O ; i, j ) fixé, dire qe les vecters non nls x y et v x' y' sont colinéaires éqivat à dire qe xy x y = 0. Exemples : 1 si - 1 et v 5-5 Donc et v sont colinéaires., alors xy x y = 1-5 5-1 = - 1 5 + 1 5 = 0 11
Vecters si - 15 5 et - 4 v Donc et v ne sont pas colinéaires. 5, alors xy x y =- 15 5-4 5 = - 10 15 + 8 15 = - 15 0 Exercice : Le plan est mni d n repère (O ; i, j ). On considère les points A(- ; ), B(4 ; -1) et C(1 ; 4). Déterminer les points D(4 ; y) et M(x ; ) tels qe : ABCD est n trapèze, de bases parallèles [AB] et [CD], et M est n point de la droite (AB). Soltion : (AB) et (CD) sont parallèles signifie qe les vecters AB et CD sont colinéaires. AB x B x A y ; AB 4 (-) B y A -1 ; AB 6-4 et CD x D x C y ; CD 4 1 D y C y 4 ; CD y 4 AB et CD sont colinéaires signifie qe 6 (y 4) (-4) = 0 6y 1 = 0 Donc y = et D(4 ; ). M est n point de (AB) signifie qe les points M, A et B sont alignés et donc qe les vecters AB et AM sont colinéaires. AB 6-4 et AM x M x A y ; AM x (-) M y A ; AM x + -1 AB et AM sont colinéaires se tradit par : 6 (-1) (-4) (x + ) = 0 + 4x = 0 donc x = - 1 B et M(-1 ; ). (y -y )j B A j A (x B -x A )i M O i 1