Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eercice ** I Etudier l eistence et la valeur éventuelle des limites suivantes : 3 4 5 6 + en 0,0 + en 0,0 3 + 3 + 4 en 0,0 + en 0,0 + + en 0,0 cos en 0,0 + 7 en 0,0,0 +z + 8 en,,0 +z [005887] Eercice *** I Pour, R si, 0,0, on pose f, = + 0 si, = 0,0 sur R Montrer que f est de classe C au moins [005888] Eercice 3 *** I sin si 0 Soit f, = 0 si = 0 Déterminer le plus grand sous-ensemble de R sur lequel f est de classe C Vérifier que f 0,0 et f 0,0 eistent et sont différents [005889] Eercice 4 ** Montrer que ϕ : R R, e e, + est un C -difféomorphisme de R sur lui-même [005890]
Eercice 5 *** Soit n N Montrer que l équation n+ + = 0 définit implicitement une fonction ϕ sur R telle que :, R, [ n+ + = 0 = ϕ] Montrer que ϕ est de classe C sur R et calculer ϕt dt 0 [00589] Eercice 6 *** Donner un développement limité à l ordre 3 en 0 de la fonction implicitement définie sur un voisinage de 0 par l égalité e + + = 0 [00589] Eercice 7 * Soit f une application de R n dans R de classe C On dit que f est positivement homogène de degré r r réel donné si et seulement si λ ]0,+ [, R n, f λ = λ r f Montrer pour une telle fonction l identité d EULER : =,, n R n n i= i i = r f [005893] Eercice 8 ** I Etremums des fonctions suivantes : f, = 3 + 3 5 f, = + 4 + 4 [005894] Montrer que f est différentiable en tout point de M n R \ 0} et déterminer Eercice 9 *** I Soit f : GL n R M n R A A sa différentielle [005895] Eercice 0 * Déterminer Ma sinz, z C, z } [005896] Eercice ** Les formes différentielles suivantes sont elles eactes? Si oui, intégrer et si non chercher un facteur intégrant ω = + + e + d + d sur R ω = d d sur Ω =, R / > } 3 ω = d+d + d 4 ω = d d sur ]0,+ [ trouver un facteur intégrant non nul ne dépendant que de + [005897] Eercice *** I Résoudre les équations au dérivées partielles suivantes : = 0 en posant u = + et v = +
= 0 sur R \ 0,0} en passant en polaires 3 f + f + f = 0 sur ]0,+ [ R en posant = u et = uv [005898] Eercice 3 ** Déterminer la différentielle en tout point de f : R 3 R 3 R, et g : R 3 R 3 R, [005899] Eercice 4 ** Soit E, un espace vectoriel normé et B = E/ < } Montrer que f : E B + homéomorphisme est un [005900] Eercice 5 ** E = R n est muni de sa structure euclidienne usuelle Montrer que f : E R E \ 0} et préciser d f Montrer que f n est pas différentiable en 0 [00590] Eercice 6 *** Maimum du produit des distances d un point M intérieur à un triangle ABC au cotés de ce triangle [00590] Eercice 7 * Minimum de f, = + a + a +, a réel donné [005903] Eercice 8 *** Trouver une application non constante f : ],[ R de classe C telle que l application g définie sur R par g, = f ait un laplacien nul sur un ensemble à préciser On rappelle que le laplacien de g est g = g + g cos ch Une fonction de laplacien nul est dite harmonique [005904] Eercice 9 *** I Soit f : R R de classe C dont la différentielle en tout point est une rotation Montrer que f est une rotation affine [005905] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7emathfr 3
Correction de l eercice f est définie sur R \ 0,0} Pour 0, f,0 = 0 Quand tend vers 0, le couple,0 tend vers le couple 0,0 et f,0 tend vers 0 Donc, si f a une limite réelle en 0, cette limite est nécessairement 0 Pour 0, f, = Quand tend vers 0, le couple, tend vers 0,0 et f, tend vers 0 Donc f n a pas de limite réelle en 0,0 f est définie sur R \ 0,0} Pour, 0,0, f, = = + + Comme tend vers 0 quand le couple, tend vers le couple 0,0, il en est de même de f f, tend vers 0 quand, tend vers 0,0 3 f est définie sur R \ 0,0} Pour 0, f 0, = 3 = 4 Quand tend vers 0 par valeurs supérieures, le couple 0, tend vers le couple 0,0 et f 0, tend vers + Donc f n a pas de limite réelle en 0,0 4 f est définie sur R \ 0,0} Pour 0, f, = = Quand tend vers 0, le couple, tend vers le couple 0,0 et f, tend vers + Donc f n a pas de limite réelle en 0,0 5 f est définie sur R \,, R} Pour 0, f, + 3 = + 3 + + 3 0 Quand tend vers 0 par valeurs supérieures, le couple, + 3 tend vers 0,0 et f, + 3 tend vers Donc f n a pas de limite réelle en 0,0 6 f est définie sur R \,0, R} cos, 0,0 = et donc f tend vers 0 quand, tend vers 0,0 7 f est définie sur R 3 privé du cône de révolution d équation + z = 0 f,0,0 = qui tend vers + quand tend vers 0 par valeurs supérieures Donc f n a pas de limite réelle en 0,0,0 h+k 8 f +h, +k,l = h k +l +4h+4k = gh,k,l gh,0,0 tend vers 4 quand h tend vers 0 et g0,0,l tend vers 0 4 quand l tend vers 0 Donc, f n a pas de limite réelle quand,,z tend vers,,0 Correction de l eercice f est définie sur R f est de classe C sur R \ 0,0} en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s annule pas sur R \ 0,0} Continuité en 0,0 Pour, 0,0, f, f 0,0 = + + + = Comme tend vers 0 quand le couple, tend vers le couple 0,0, on a donc On en déduit que f est continue en 0,0 et finalement f est continue sur R f est de classe C 0 au moins sur R lim f, = f 0,0, 0,0, 0,0 Dérivées partielles d ordre sur R \ 0,0} f est de classe C au moins sur R \ 0,0} et pour, 0,0,, = 3 + 3 = 4 +4 4, + + D autre part, pour, 0,0 f, = f, Donc pour, 0,0, 4
Eistence de 0,0 et 0,0 Pour 0,, =, = 4 4 4 + f,0 f 0,0 0 f,0 f 0,0 et donc lim 0 0 = 0 Ainsi, des dérivées partielles premières sur R définies par 0,0 eiste et = 0 0 = 0, 0,0 = 0 De même, 0,0 = 0 Ainsi, f admet, R,, = 4 +4 4 + si, 0,0 0 si, = 0,0 et, = 4 4 4 + si, 0,0 0 si, = 0,0 Continuité de et en 0,0 Pour, 0,0,, 0,0 = 4 +4 4 4 +4 + 4 4 +4 + 4 = + + + Comme tend vers 0 quand, tend vers 0,0, on en déduit que, 0,0 tend vers 0 quand, tend vers 0,0 Donc la fonction est continue en 0,0 et finalement sur R Il en est de même de la fonction et on a montré que f est au moins de classe C sur R Correction de l eercice 3 On pose D =,0, R} puis Ω = R \ D f est définie sur R f est de classe C sur Ω en vertu de théorèmes générau et pour, Ω,, = cos et, = sin cos Etudions la continuité de f en 0,0 Pour, 0,0, sin f, f 0,0 = si 0 0 si = 0 si 0 0 si = 0 Comme tend vers 0 quand, tend vers 0, lim f, = f 0,0 et donc f est continue en 0,0 puis, 0,0, 0,0 f est continue sur R Etudions l eistence et la valeur éventuelle de 0,0, 0 réel donné Pour 0, Donc f, 0 f 0,0 0 f,0 f 0,0 0 = 0 0 0 = 0 tend vers 0 quand tend vers 0 On en déduit que 0,0 eiste et 0,0 = 0 Finalement, la fonction est définie sur R par cos, R,, = si 0 0 si = 0 5
Etudions l eistence et la valeur éventuelle de 0,0, 0 réel donné Pour 0, On en déduit que f 0, f 0,0 0 f 0, f 0,0 0 = sin 0 = sin 0 puis que f 0, f 0,0 eiste et 0,0 = 0 Finalement, la fonction est définie sur R par 0 tend vers 0 quand tend vers 0 Par suite, 0,0 sin, R,, = cos si 0 0 si = 0 Etudions la continuité de en 0,0, 0 réel donné Pour, R,, cos 0,0 = si 0 0 si = 0 Quand, tend vers 0,0, tend vers 0 et donc, tend vers 0,0 quand, tend vers 0,0 La fonction est donc continue en 0,0 et finalement la fonction est continue sur R Etudions la continuité de en 0,0, 0 réel donné Supposons tout d abord 0 = 0 Pour, R,, sin 0,0 = cos si 0 + 0 si = 0 Quand, tend vers 0,0, + tend vers 0 et donc, tend vers 0,0 quand, tend vers 0,0 Supposons maintenant 0 0 Pour 0, 0, = sin 0 0 cos 0 Quand tend vers 0, sin 0 tend vers 0 car sin 0 et 0 cos 0 n a pas de limite réelle car 0 0 Donc 0, n a pas de limite quand tend vers 0 et la fonction n est pas continue en 0,0 si 0 0 On a montré que f est de classe C sur Ω 0,0} Etudions l eistence et la valeur éventuelle de f 0,0 Pour 0,,0 0,0 0 = 0 0 = 0 Donc,0 0,0 0 tend vers 0 quand tend vers 0 On en déduit que 0,0 eiste et 0,0 = 0 Etudions l eistence et la valeur éventuelle de f 0,0 Pour 0, Donc 0, 0,0 0, 0,0 0 = cos 0 = 0 tend vers quand tend vers 0 On en déduit que 0,0 eiste et 0,0 = On 0,0 eistent et sont différents D après le théorème de SCHWARZ, f n est pas a montré que 0,0 et de classe C sur Ω 0,0} 6
Correction de l eercice 4 Soit,,z,t R 4 e ϕ, = z,t e = z + = t = t = t e e t = z e = z z + 4e t ou e = z + z + 4e t e = z + z + 4e t car z = t = lnz + z + 4e t = t lnz + z + 4e t = t e ze e t = 0 z + 4e t < z z = z z 0 car z + z + 4e t > z + z = z + z 0 Ainsi, tout élément z,t R a un antécédent et un seul dans R par ϕ et donc ϕ est une bijection de R sur lui-même La fonction ϕ est de classe C sur R de jacobien J ϕ, = e e = e + e Le jacobien de ϕ ne s annule pas sur R En résumé, ϕ est une bijection de R sur lui-même, de classe C sur R et le jacobien de ϕ ne s annule pas sur R On sait alors que ϕ est un C -difféomorphisme de R sur lui-même Correction de l eercice 5 Soit n N Soit R La fonction f : n+ + est continue et strictement croissante sur R en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur R Donc la fonction f réalise une bijection de R sur ]lim f,lim + f [= R En particulier, l équation f = 0 a une et une seule solution dans R que l on note ϕ La fonction f :, n+ + est de classe C sur R qui est un ouvert de R et de plus,, R,, = n+n + 0 D après le théorème des fonctions implicites, la fonction ϕ implicitement définie par l égalité f, = 0 est dérivable en tout réel et de plus, en dérivant l égalité R, ϕ n+ +ϕ = 0, on obtient R, n + ϕ ϕ n + ϕ = 0 et donc R, ϕ = n+ϕ n + Montrons par récurrence que p N, la fonction ϕ est p fois dérivable sur R - C est vrai pour p = - Soit p Supposons que la fonction ϕ soit p fois dérivable sur R Alors la fonction ϕ = n+ϕ n + est p fois dérivable sur R en tant qu inverse d une fonction p fois dérivable sur R ne s annulant pas sur R On en déduit que la fonction ϕ est p + fois dérivable sur R On a montré par récurrence que p N, la fonction ϕ est p fois dérivable sur R et donc que la fonction ϕ est de classe C sur R Calculons maintenant I = 0 ϕt dt On note tout d abord que, puisque 0n+ + 0 0 = 0, on a ϕ0 = 0 et puisque n+ + = 0, on a ϕ = Maintenant, pour tout réel de [0,], on a ϕ ϕ n+ + ϕ ϕ ϕ = 0 en multipliant par ϕ les deu membres de l égalité définissant ϕ et en intégrant sur le segment [0,], on obtient 7
0 ϕ ϕ n+ d + 0 ϕ ϕ d 0 ϕ d = 0 [ ] ϕ n+ [ ] ϕ Or, 0 ϕ ϕ n+ d = n+ = 0 n+ De même, 0 ϕ ϕ d = = 0 et donc 0 ϕ ϕ n+ d+ 0 ϕ ϕ d = n+ + = n+ n+ D autre part, puisque les deu fonctions et ϕ sont de classe C sur le segment [0,], on peut effectuer une intégration par parties qui fournit 0 ϕ d = [ ϕ] 0 + 0 ϕ d = + I L égalité s écrit donc n+ 3n+ n+ + I = 0 et on obtient I = n+ 0 ϕ d = 3n+ n+ Correction de l eercice 6 Soit R La fonction f : e + + est continue et strictement croissante sur R en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur R Donc la fonction f réalise une bijection de R sur ]lim f,lim + f [= R En particulier, l équation f = 0 a une et une seule solution dans R que l on note ϕ La fonction f :, e + + est de classe C sur R qui est un ouvert de R et de plus,, R,, = e+ + 0 D après le théorème des fonctions implicites, la fonction ϕ implicitement définie par l égalité f, = 0 est dérivable en tout réel et de plus, en dérivant l égalité R, e +ϕ + ϕ = 0, on obtient R, + ϕ e +ϕ + ϕ = 0 ou encore R, ϕ = e+ϕ e +ϕ + On en déduit par récurrence que ϕ est de classe C sur R et en particulier admet en 0 un développement limité d ordre 3 Déterminons ce développement limité ère solution Puisque e 0+0 + 0 = 0, on a ϕ0 = 0 L égalité fournit alors ϕ 0 = et on peut poser ϕ = 0 + a + b 3 + o 3 On obtient e +ϕ = e +a +b 3 +o 3 0 = + 0 + a + b 3 + + a 3 + + o 3 6 = + 0 + a + + b + a 8 + 3 + o 3 48 L égalité e +ϕ + ϕ = 0 fournit alors a + 8 + a = 0 et b + a + 48 + b = 0 ou encore a = 6 et b = 9 ème solution On a déjà ϕ0 = 0 et ϕ 0 = 0 En dérivant l égalité, on obtient ϕ = +ϕ e +ϕ e +ϕ + +ϕ e +ϕ e +ϕ +ϕ e+ϕ =, e +ϕ + e +ϕ + et donc ϕ 0 = = 6 De même, ϕ 3 = ϕ e +ϕ + ϕ e +ϕ +ϕ + + ϕ e+ϕ +ϕ e+ϕ e +ϕ + e +ϕ + e +ϕ + 3, et donc ϕ3 0 6 = 6 8 4 / 4 + 8 = 9 La formule de TAYLOR-YOUNG refournit alors ϕ = 0 6 + 3 384 + o3 8
Correction de l eercice 7 On dérive par rapport à λ les deu membres de l égalité f λ = λ r f et on obtient et pour λ =, on obtient =,, n R n, λ > 0, n i= i i λ = rλ r f, =,, n R n n i= i i = r f Correction de l eercice 8 f est de classe C sur R qui est un ouvert de R Donc si f admet un etremum local en un point 0, 0 de R, 0, 0 est un point critique de f 3 d f, = 0 + 6 5 = 0 = = 3 = 0 = ou 4 = 4 Réciproquement, r = 6 + 6, t = 0 et s = 6 puis rt s = 36 Ainsi, rt s, 4 = rt s, 4 = 44 < 0 et f n admet pas d etremum local en, 4 ou, 4 f n admet pas d etremum local sur R La fonction f est de classe C sur R en tant que polnôme à plusieurs variables Donc, si f admet un etremum local en 0, 0 R, 0, 0 est un point critique de f Soit, R, = 0, = 0 4 + 4 3 = 0 4 + 4 3 = 0, 0,0,,, 3 + 3 = 0 4 + 4 3 = 0, } = 3 = 0 Réciproquement, f est plus précisément de classe C sur R et r,t, s, = 4+ 4+ 4 = 48 48 +44 = 483,, rt s = 48 > 0 Donc f admet un etremum local en Plus précisément, puisque r = 4 = 0 > 0, f admet un minimum local en De,, plus, pour, R, f, f, = + 4 + 4 8 = 4 + 4 + 4 + 8 4 + 4 + + 8 = 4 4 + 4 + 4 4 + 4 = + 0, et f est un minimum global Pour tout, R, f, = f, et donc f admet aussi un minimum global en, égal à 8 f 0,0 = 0 Pour 0, f, = 4 ] > 0 et donc f prend des valeurs strictement supérieures à f 0,0 dans tout voisinage de 0,0 Pour, [ \ 0}, f,0 = 4 = < 0 et f prend des valeurs strictement inférieures à f 0, 0 dans tout voisinage de 0, 0 Finalement, f n admet pas d etremum local en 0,0 9
, f admet un minimum global égal à 8, atteint en et, Correction de l eercice 9 On munit M n R d une norme sous-multiplicative Soit A GL n R On sait que GL n R est un ouvert de M n R et donc pour H M n R de norme suffisamment petite, A + H GL n R Pour un tel H puis A + H A = A + H I n A + HA = A + H HA A + H A + A HA = A + H HA + A HA = A + H HA + A + HA HA = A + H HA HA Par suite, f A + H f A + A HA = A + H A + A HA A + H A H Maintenant, la formule M = detm t comm, valable pour tout M GL n R, et la continuité du déterminant montre que l application M M est continue sur l ouvert GL n R On en déduit que A + H tend vers A quand H tend vers 0 Par suite, lim H 0 A + H A H = 0 et donc lim H 0 A + H A + A HA = 0 Comme l application H A HA est linéaire, c est la différentielle de f en A H A GL n R, H M n R, d f A H = A HA Correction de l eercice 0 Pour tout complee z tel que z, sinz = + zn+ n=0 n n+! + z n+ n=0 n+! = sh z sh, l égalité étant obtenue effectivement pour z = i car sini = ei e i i = e e = sh Ma sinz, z C, z } = sh Correction de l eercice Pour, R, on pose P, = + + e + = Q, Les fonctions P et Q sont de classe C sur R qui est un ouvert étoilé de R Donc, d après le théorème de SCHWARZ, ω est eacte sur R si et seulement si P = Q P et comme = +e+ = Q, la forme différentielle ω est une forme différentielle eacte sur R Soit f une fonction f de classe C sur R d f = ω, R, = + + e+,, = + + e+ g C R,R/, R f, =, + + e + + g + e + + g = + + e + λ R/, R f, =, + + e + + g g = + λ λ R/, R / f, = + + e + + λ 0
Les primitives de ω sur R sont les fonctions de la forme, + + e + + λ, λ R Remarque On pouvait aussi remarquer immédiatement que si f, = + + e + alors d f = ω La forme différentielle ω est de classe C sur Ω =, R / > } qui est un ouvert étoilé de R car convee Donc, d après le théorème de SCHWARZ, ω est eacte sur Ω si et seulement si ω est fermée sur Ω = + = = + = + 3 3 3 = = + = + = 3 3 Donc ω est eacte sur l ouvert Ω Soit f une fonction f de classe C sur R, = d f = ω, Ω,, = f, = g C R,R/, Ω, + g + g = λ R/, Ω, f, = + λ Les primitives de ω sur Ω sont les fonctions de la forme, + λ, λ R 3 ω est de classe C sur R \ 0,0} qui est un ouvert de R mais n est pas étoilé On se place dorénavant sur Ω = R \,0, ],0]} qui est un ouvert étoilé de R Sur Ω, ω est eacte si et seulement si ω est fermée d après le théorème de SCHWARZ = = + + sur Ω d f = ω, Ω, + Donc ω est eacte sur Ω Soit f une application de classe C, =, = g C R,R/, Ω, + +, = ln + + g + g = + + λ R/, Ω, f, = ln + + λ Les primitives de ω sur Ω sont les fonctions de la forme, ln + + λ, λ R Les fonctions précédentes sont encore des primitives de ω sur R \ 0,0} et donc ω est eacte sur R \ 0,0} 4 ω est de classe C sur ]0,+ [ qui est un ouvert étoilé de R Donc ω est eacte sur ]0,+ [ si et seulement si ω est fermée sur ]0,+ [ d après le théorème de SCHWARZ = et = Donc et ω n est pas eacte sur ]0,+ [ On cherche un facteur intégrant de la forme h :, g + où g est une fonction non nulle de classe C sur ]0,+ [ g + = g + g + et g + = g + + g + hω est eacte sur ]0,+ [, ]0,+ [, g + g + = g + + g +, ]0,+ [, g + + g + = 0 t > 0, tg t + gt = 0 λ R/ t > 0, gt = λt
La forme différentielle + ω est eacte sur ]0,+ [ De plus, d = d + + d = + ω Correction de l eercice Soit f une application de classe C sur R Posons f, = gu,v où u = + et v = + L application, +,+ = u,v est un automorphisme de R et en particulier un C -difféormorphisme de R sur lui-même De même, = g u + g v et donc = u gu,v = g u + v g v = g u + g v = g u + g v g u g v = g u Par suite, = 0 g u = 0 h C R,R/ u,v R, gu,v = hv h C R,R/, R, f, = h + Les solutions sont les, h + où h C R,R Par eemple, la fonction, cos + + est solution Soit f une application de classe C sur R \ 0,0} Posons f, = gr,θ où = r cosθ et = r sinθ L application r,θ r cosθ,r sinθ =, est un C -difféormorphisme de ]0,+ [ [0,π[ sur R \ 0,0} De plus, et Donc g r = r f, = r + r = cosθ + sinθ, g θ = θ f, = θ + θ = r sinθ + r cosθ = = 0 g θ = 0 h C ]0,+ [,R/ r,θ ]0,+ [ [0,π[, gr,θ = h r h C ]0,+ [,R/, R \ 0,0}, f, = h + h C ]0,+ [,R/, R \ 0,0}, f, = h + Les solutions sont les, h + où h C ]0,+ [,R 3 Soit f une fonction de classe C sur ]0,+ [ R D après le théorème de SCHWARZ, f = f Soit ϕ : ]0, + [ R ]0, + [ R Donc si on pose f, = gu,v, on a g = f ϕ u,v u,uv =, Soit,, u, v ]0, + [ R ]0, + [ R u = u = ϕu,v =, uv = v = Ainsi, ϕ est une bijection de ]0,+ [ sur lui-même et sa réciproque est l application ϕ : ]0,+ [ R ]0,+ [ R,, = u,v De plus, ϕ est de classe C sur ]0,+ [ R et son jacobien
J ϕ u,v = 0 v u = u ne s annule pas sur ]0,+ [ R On sait alors que ϕ est un C -difféomorphisme de ]0,+ [ R sur luimême Puisque g = f ϕ et que ϕ est un C -difféomorphisme de ]0,+ [ R sur lui-même, f est de classe C sur ]0,+ [ R si et seulement si g est de classe C sur ]0,+ [ R = u g u + v g v = g u g v = u g u + v g v = g v f = g u g v = f = g u g v = f = Ensuite, g v = g v g u g u v + g 3 v g v v g v g 3 v g u v + g = g 4 v g u u v + g + g 4 v 3 v f + f + f = g u g u v + g Ainsi, = g u v + g v + g v v g v g v + g v, ]0,+ [ R, f, + f, + f, = 0 u,v ]0,+ [ R, g u u,v = 0 h C R,R/ u,v ]0,+ [ R, g u,v = hv u h,k C R,R / u,v ]0,+ [ R, gu,v = uhv + kv h,k C R,R /, ]0,+ [ R, f, = h + k Les fonctions solutions sont les, h + k où h et k sont deu fonctions de classe C sur R Correction de l eercice 3 On munit R 3 de la norme définie par, R 3,, = Ma h, k } Soit a,b R 3 Pour h,k R 3, f a,b + h,h = a + hb + k = ab + ah + bk + hk, et donc f a,b + h,h f a,b = ah + bk + hk Maintenant l application L : h,k ah + bk est linéaire et de plus, pour h,k 0,0, f a,b + h,h f a,b Lh,k = hk h k h,k, et donc h,k f a,b + h,h f a,b Lh,k h,k puis lim h,k 0,0 h,k f a,b + h,h f a,b Lh,k = 0 Puisque l application h,k ah + bk est linéaire, on en déduit que f est différentiable en a,b et que h,k R 3, d f a,b h,k = ah + bk La démarche est analogue pour le produit vectoriel : h,k a + h b + k a b a h b k = h k h,k h k h,k h,k 3
Puisque l application h,k a h + b k est linéaire, on en déduit que g est différentiable en a,b et que h,k R 3, dg a,b h,k = a h + b k Correction de l eercice 4 Pour tout E, f = + < + + = Donc f est bien une application de E dans B Si = 0, pour E, f = + = 0 = 0 Soit alors B \ 0} Pour E, f = = + λ K/ = λ Donc un éventuel antécédent de est nécessairement de la forme λ, λ R Réciproquement, pour λ R, f λ = et donc λ + λ f λ = λ + λ = λ = + λ λ 0 et λ = ou λ < 0 et + λ = λ = car < Dans tous les cas, admet un antécédent par f et un seul à savoir = Ainsi, f est bijective et B, f = On sait que l application est continue sur R Donc l application + est continue sur R en tant qu inverse d une fonction continue sur R à valeurs dans R, ne s annulant pas sur R L application est continue sur B pour les mêmes raisons Donc les applications f et f sont continues sur R et B respectivement et on a montré que l application f : E B + est un homéomorphisme Correction de l eercice 5 ère solution Pour =,, n R n, f = n i= i f est de classe C sur R n \ 0} en vertu de théorèmes générau et pour tout =,, n R n \ 0} et tout i [[,n]] i = i n i= i = i On en déduit que f est différentiable sur R n \ 0} et pour R n \ 0} et h R n d f h = n i= i h i = n i= ih i = h R n \ 0}, h R n, d f h = h ème solution Soit R n \ 0} Pour h R n, puis + h = +h +h + +h + = h+ h +h +, 4
+ h h = h+ h +h + h = +h h+ h +h + Maintenant, on sait que l application est continue sur R n On en déduit que +h + h 0 et aussi que + h tend vers 0 quand h tend vers 0 Ensuite, puisque h h inégalité de CAUCHY-SCHWARZ, on a h = O h puis + h h = o h h 0 h 0 Finalement, +h h+ h +h + = o h et donc h 0 + h = h 0 + h + o h Puisque l application h h est linéaire, on a redémontré que f est différentiable en tout de R n \0} et que R n \ 0}, h R n, d f h = h Soit L une application linéaire de R n dans R c est-à-dire une forme linéaire h 0 + h 0 Lh = L h h Supposons que cette epression tende vers 0 quand h tend vers 0 Pour u vecteur non nul donné et t réel non nul, l epression L tu tu = t t L u u tend donc vers 0 quand t tend vers 0 Mais si t tend vers 0 par valeurs supérieures, on obtient Lu = u et si t tend vers 0 par valeurs inférieures, on obtient Lu = u ce qui est impossible car u 0 Donc f n est pas différentiable en 0 Correction de l eercice 6 On pose BC = a, CA = b et AB = c et on note A l aire du triangle ABC Soit M un point intérieur au triangle ABC On note I, J et K les projetés orthogonau de M sur les droites BC, CA et AB respectivement On pose u = aire de MBC, v = aire de MCA et w = aire de MAB On a dm,bc dm,ca dm,ab = MI MJ MK = u a v b w c = 8 abcuva u v Il s agit alors de trouver le maimum de la fonction f : u,v uva u v sur le domaine T = u,v R / u 0, v 0 et u + v A } T est un compact de R En effet : - u,v T, u,v = u + v A et donc T est bornée - Les applications ϕ : u,v u, ϕ : u,v v et ϕ 3 : u,v u + v sont continues sur R en tant que formes linéaires sur un espace de dimension finie Donc les ensembles P = u,v R / u 0} = ϕ [0,+ [, P = u,v R / v 0} = ϕ [0,+ [ et P 3 = u,v R / u+v 0} = ϕ3 ],0] sont des fermés de R en tant qu images réciproques de fermés par des applications continues On en déduit que T = P P P 3 est un fermé de R en tant qu intersection de fermés de R Puisque T est un fermé borné de R, T est un compact de R puisque R est de dimension finie et d après le théorème de BOREL-LEBESGUE f est continue sur le compact T à valeurs dans R en tant que polnôme à plusieurs variables et donc f admet un maimum sur T Pour tout u,v appartenant à la frontière de T, on a f u,v = 0 Comme f est strictement positive sur T = u,v R / u > 0, v > 0 et u + v < 0}, f admet son maimum dans T Puisque f est de classe C sur T qui est un ouvert de R, si f admet un maimum en u 0,v 0 T, u 0,v 0 est nécessairement un point critique de f Soit u,v T 5
u u,v = 0 v u,v = 0 va u v = 0 ua u v = 0 u + v = A u + v = A u = v = A 3 Puisque f admet un point critique et un seul à savoir u 0,v 0 = A 3, A 3, f admet son maimum en ce point et ce maimum vaut f u 0,v 0 = A 3 7 Le maimum du produit des distances d un point M intérieur au triangle ABC au cotés de ce triangle est donc 8A 3 7abc Remarque On peut démontrer que pour tout point M intérieur au triangle ABC, on a M = bara,aire de MBC,B,aire de M Si maintenant M est le point en lequel on réalise le maimum, les trois aires sont égales et donc le maimum est atteint en G l isobarcentre du triangle ABC Correction de l eercice 7 Soient A et B les points du plan de coordonnées respectives 0,a et a,0 dans un certain repère R orthonormé Soit M un point du plan de coordonnées, dans R Pour, R, f, = MA + MB = MA + MB AB avec égalité si et seulement si M [AB] Donc f admet un minimum global égal à AB = a atteint en tout couple, de la forme λa, λa, λ [0,] Correction de l eercice 8 Puisque la fonction ch ne s annule pas sur R, g est de classe C sur R et pour, R, g sin, = ch f cos ch puis g, = 4cos ch f = 4 cos ch f cos ch cos ch + 4 sin ch f cos ch + 4 cos cos ch f ch De même, g cossh, = ch f cos ch puis g, = 4sh ch cosch3 ch 4 Donc, pour tout, R, = 4 cos ch 3 ch + f + 4 cos sh cos ch 4 f ch cos f ch cos + 4 cos ch cos ch ch 4 f ch ch g, = cos cos 4 ch f + cos cos ch ch f ch Maintenant, pour, R, cos décrit R Donc cos ch ch,, R } = [,] Par suite, cos et d autre part, l epression ch = cos décrit [,] quand 6
, R, g, = 0 t [,], t f t t f t = 0 On cherche une application f de classe C sur ],[ Or = cos = ch cos = ch = = 0 et π Z Donc cos ch } kπ, R \,0, k Z, g, = 0 t ],[, t f t t f t = 0 De plus, f n est pas constante si et seulement si µ = 0 t ],[, t f t = 0 λ R/ t ],[, f t = λ,µ R / t ],[, f t = λ argtht + µ L application t argtht convient λ t Correction de l eercice 9 c, s, Soit, R La matrice jacobienne de f en, s écrit où c et s sont deu fonctions s, c, de classe C sur R telle que c + s = Il s agit dans un premier temps de vérifier que les fonctions c et s sont constantes sur R Puisque f est de classe C sur R, d après le théorème de SCHWARZ, f = f Ceci s écrit encore c = s s ou enfin c s, R, s c, s, = s, c, En dérivant par rapport à ou à, on obtient les égalités c c + s s c = 0 et c + s s = 0 Ceci montre que c c les deu vecteurs et c sont orthogonau au vecteur non nul et sont donc colinéaires s Mais l égalité montre que les deu vecteurs c s et c, c s sont aussi orthogonau l un à l autre c Finalement, pour tout, R, les deu vecteurs s, et, s, sont nuls On en déduit que les deu applications c et s sont constantes sur R et donc, il eiste θ dans R tel que pour tout, R, la cosθ sinθ matrice jacobienne de f en, est sinθ cosθ Soit g la rotation d angle θ prenant la même valeur que f en 0,0 f et g ont mêmes différentielles en tout point et coïncident en un point Donc f = g et f est une rotation affine Soit f : R R de classe C dont la différentielle en tout point est une rotation Alors f est une rotation affine 7