Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R n à valeurs dans R. On note : f : R n R (x 1,..., x n ) z = f(x 1,..., x n ) f est définie en m 0 = (x 01,..., x 0n ) R n si la valeur f(x 01,..., x 0n ) existe et est un nombre réel z 0. On note D f l ensemble de définition de f. Exemple. La fonction f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 est définie pour les valeurs de x et y telles que x 2 + y 2 1. Dans un repère orthonormé, D f est le disque fermé de centre 0 et de rayon 1. 8.1.1 Représentation géométrique d une fonction de deux variables Soit z = f(x, y) une fonction de deux variables. Soit Oxyz un repère orthonormé de R 3. Quand le point m(x, y) décrit dans le plan xoy le domaine de définition de la fonction f, le point M de coordonnées (x, y, z) = (x, y, f(x, y)) décrit une surface S. z O M(x, y, f(x,y)) S y On dit que S a pour équation z = f(x, y). x m(x, y) D f 67
Un voisinage V m0 d un point m 0 R 2 est une partie de R 2 contenant un disque ou un carré ayant ce point pour centre et non réduit à ce point. Selon la distance choisie on obtient les voisinages suivants : m 0 m 0 m 0 x x 0 + y y 0 sup( x x 0, y y 0 ) (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 8.2 Limite d une fonction. Soit D f le domaine de définition de f : R 2 R, m 0 (x 0, y 0 ) D f. On dit que f admet la limite L quand m(x, y) tend vers m 0 (x 0, y 0 ), si f(x, y) est aussi voisin que l on veut de L dès que le point m est dans un voisinage convenable de m 0. On note lim f(x, y) = L ou lim f(m) = L. (x,y) (x 0,y 0 ) m m 0 Exemple. (1 + x 2 y 2 ) sin y lim (x,y) (0,0) y = lim y 0 sin y y = 1. Cette notion de limite se généralise sans difficultés aux espaces de dimensions supérieures à deux. 8.2.1 Opérations Les propriétés des limites des fonctions de plusieurs variables sont les mêmes que celles des limites des fonctions d une variable pour les sommes, produits, quotients et composées. 8.3 Fonction continue Une application f : R n R définie sur un voisinage d un point m 0 R n est continue en m 0 si lim m m 0 f(m) = f(m 0 ). Soit D un domaine non vide de R n. On dit que f est continue sur D, si elle est continue en tout point de D. Exemple. D = R 2 (x, y) f(x, y) = x + y ; f est continue en tout point de D car f(x, y) f(x 0, y 0 ) = x + y x 0 y 0 x x 0 + y y 0 tend vers 0 dès que x tend vers x 0 et y vers y 0. 68
8.3.1 Applications partielles Soit f : (x 1,..., x n ) R n z = f(x 1,..., x n ) R une fonction de n variables. Si l on fixe les n 1 variables x 1, x 2,..., x i 1, x i+1,..., x n on peut définir les n applications dites applications partielles : f i : x R f i (x) = f(x 1,..., x i 1, x, x i+1,..., x n ) R Dans le cas n = 2 f : R 2 R on a deux applications partielles f x : x f x (x) = f(x, y) et f y : y f y (y) = f(x, y) Par exemple, si f(x, y) = xy x 2 + y 2 f x : x f x (x) = xy x 2 + y 2. Théorème. Si f : R n R est continue en m 0 = (x 01, x 02,..., x 0n ), les n applications partielles f i de R dans R sont continues en x 0i. On remarquera que la réciproque de ce théorème est fausse, comme le prouve l exemple suivant : Exemple. Soit f(x, y) = xy (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0. Au point O(0, 0) x 2 + y 2 les deux fonctions partielles f x et f y qui sont égales à 0 sont continues ; cependant f n est pas continue en O : si l on pose y = tx la limite en O est t f(0, 0) pour (t 0). 1 + t2 8.3.2 Opérations Si f et g : R n R sont continues en m 0 (x 01,..., x 0n ), alors λ R : f + g, fg, λ f, f g (si g(m 0 ) 0) sont continues en m 0. De même la composée de fonctions continues est continue. 8.4 Dérivées partielles Soit f une fonction des deux variables x, y et m 0 (x 0, y 0 ) D f. Supposons l application partielle f x : x f(x, y 0 ) définie sur un voisinage de x 0 tel que (x 0, y 0 ) D f. Si f x admet une dérivée au point x 0, on dit que cette dérivée est la dérivée partielle de f par rapport à x au point (x 0, y 0 ). On note f x ou f cette dérivée et l on a x f x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = lim x x0 f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x x 0 69
De même, la dérivée de la fonction f y est la dérivée partielle de f par rapport à y au point (x 0, y 0 ). On la note f y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = lim y y0 f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) y y 0 Si f x et f y existent, on dit que f est dérivable. 8.4.1 Règle pratique Pour déterminer une dérivée partielle de f, il suffit de dériver l expression de f par rapport à la variable considérée, les autres étant considérées comme des constantes. Exemple. Soit f(x, y) = x 2 y 5. Alors, on a f x (x, y) = 2xy5, f y (x, y) = 5x2 y 4, f f (1, 2) = 64, x (1, 2) = 80 y 8.4.2 Représentation géométrique Soit S la surface d équation z = f(x, y) et M 0 (x 0, y 0, z 0 ) le point de S de coordonnées (x 0, y 0, z 0 = f(x 0, y 0 )) dans le repère Oxyz. La section de la surface S par le plan y O z d équation x = x 0 est une courbe (C x0 ). Dans ce plan, (C x0 ) est le graphe de la fonction z = f y (y) = f(x 0, y) et f y (y 0) = f y (x 0, y 0 ) est la pente de la tangente à la courbe (C x0 ) en M 0, comme on peut le voir sur la figure cicontre. x O = x 0 z M 0 m 0 z O S Cx 0 y 0 y y 8.4.3 Exemples de calculs Si f(x, y) = x 2 + y 2 alors Si f(x, y, z) = 3x + y 2 z 3 f x (x, y) = 2x et f y (x, y) = 2y alors f x (x, y, z) = 3, f y (x, y, z) = 2y et f z (x, y, z) = 3z2 Si f(x, y) = 2x + y x 2 + y 2 (x, y) R 2 (0, 0) f x (x, y) = 2x2 2xy + 2y 2 (x 2 + y 2 ) 2 et f y (x, y) = y2 4xy + x 2 (x 2 + y 2 ) 2 70
8.4.4 Dérivées successives On définit ensuite les dérivées partielles d ordre 2, si elles existent par dérivation des dérivées premières ; on les note : f x i x j = x i (f x j ) = 2 x i x j f Exemple. Pour la fonction (x, y) f(x, y) = x 2 y 5 on a f x 2(x, y) = 2y5, f xy (x, y) = 10xy4, f yx (x, y) = 10xy4, f y 2(x, y) = 20x2 y 3, f (3) x 2 y (x, y) = 10y4. Théorème de Schwarz ( H.Schwarz 1843-1921 ) : Si f admet dans un voisinage de (x 0, y 0 ) des dérivées partielles secondes f x y continues, elles sont égales sur ce voisinage : f y x f x y = f y x Notons que le théorème de Schwarz se généralise aux fonctions de plus de deux variables et aux dérivées d ordre supérieur à deux ; par exemple : si f(x, y, z) = x 2 + xyz + xyz 3 + z 2 on a f (3) xz (x, y, z) = 6yz = f (3) (x, y, z) 2 z 2 x et 8.5 Différentielle de f L idée est de remplacer en m 0 une fonction compliquée f par une fonction plus simple qui est une application linéaire translatée en f(m 0 ) dite application linéaire tangente et qui soit la meilleure approximation linéaire de f au voisinage de m 0. On sait que les applications linéaires de R dans R et de R 2 dans R s écrivent respectivement λ a : R R λ a,b : R 2 R où les coefficients a et b sont réels. x ax (x, y) ax + by A. Fonction différentiable f : R R définie et continue sur un voisinage V x0 de x 0. f est différentiable en x 0 s il existe une application linéaire λ x0, notée f (x 0 ) : R R, telle que pour tout h R avec x 0 + h V x0 : f(x 0 + h) f(x 0 ) = f (x 0 )h + hϕ(h) avec lim h 0 ϕ(h) = 0. La valeur f (x 0 ) qui est unique peut encore s écrire : 71
On reconnait la dérivée en x 0 de f. f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h = f (x 0 ) Si l on note dx l application h R dx(h) = h R la différentielle de f en x 0 s écrit df(x 0 ) = f (x 0 ) dx où f (x 0 ) = df dx (x 0) est la dérivée de f en x 0. Exemples. f(x) = 2x df(x) = 2dx ; f(x) = cos x df(x) = sin xdx Puisque lim h 0 hϕ(h) = 0, confondre sur V x0 la fonction f et son application linéaire tangente, revient à confondre f(x) et la partie régulière de degré 1 de son DL1 V (x 0 ). Géométriquement, au voisinage de x 0, le graphe de f est peu différent de celui de sa tangente en ( x 0, f(x 0 ) ). Autrement dit si l on pose h = x x 0, l équation de la tangente en M 0 à la courbe d équation f(x) est : y = y 0 + (x x 0 )f (x 0 ) B. Fonction différentiable. Soit f : R 2 R définie et continue sur un voisinage V m0 du point m 0 (x 0, y 0 ). f est différentiable en m 0 (x 0, y 0 ), s il existe une application linaire λ m0 : R 2 R définie par λ m0 (h, k) = ah + bk, a, b R telle que f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) = ah + bk + h 2 + k 2 ϕ(h, k) avec lim ϕ(h, k) = 0. h 0 k 0 Pour calculer a et b, écrivons l équation précédente d abord avec k = 0 : f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = ah + h ϕ(h, 0) f x (x 0 + h) f x (x 0 ) = ah + h ψ(h). ou encore On reconnaît la différentielle de l application partielle f x : R R de f par rapport à la variable x ; on a donc : et de même a = f x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) b = f y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) On appelle différentielle de f en (x 0, y 0 ), l application linéaire 72 df : R 2 R (h, k) df(h, k) = f x h + f y k.
En particulier, si l on note dx : R 2 R l application linéaire (h, k) dx(h, k) = h et dy : R 2 R l application linéaire (h, k) dy(h, k) = k, on a df(h, k) = f xdx(h, k) + f ydy(h, k) = (f xdx + f ydy)(h, k) (x, y) D f ou encore df = f xdx + f ydy Exemple. La fonction f : (x, y) x sin y + y 2 est différentiable sur R 2, car c est une fonction composée de fonctions qui le sont et sadifférentielle est : df = (sin y)dx + (x cosy + 2y)dy et en particulier au point (1, π/2) : df (1,π/2) = dx + πdy Le gradient. Utilisé en physique, on note grad f m0 le vecteur de R 2 dont les composantes sont (f x, f y ) ; la relation précédente s écrit alors au point m 0 comme le produit scalaire : df ( m 0 ) = grad f m0 dm si l on note dm = (dx, dy). Rappelons que f est dérivable en m 0 si ses dérivées partielles existent en m 0. Théorème. Si f est différentiable, elle est continue et admet des dérivées premières. La réciproque est vraie si les dérivées premières f x et f y sont continues. Une fonction différentiable est donc dérivable. Exemple. Soit la fonction (x, y) f(x, y) = 0 si xy 0 et 1 si xy = 0. Les dérivées partielles en (0, 0) existent et sont nulles : f est dérivable. Mais f n est pas continue en (0, 0) donc pas différentiable. La notation différentielle est particulièrement bien adaptée aux calculs des formules de dérivation des fonctions composées dont elle donne l apparence d une évidence. Examinons le cas n = 2 : Soit f : (x, y) f(x, y) une fonction définie dans un voisinage V (m 0 ) de m 0. 1. Supposons x et y fonctions de la variable t I. Supposons aussi f x, f y, x et y sont continues ; alors : F : t F(t) = f(x(t), y(t)) est différentiable et df = F dt = f x dx + f y dy = f x x dt + f y y dt = (f x x + f y y )dt d où F (t) = f x x + f y y. 2. Supposons maintenant x et y fonctions des variables (u, v) : F(u, v) = f(x, y) avec x et y fonctions différentiables des variables u et v. Ecrivons les différentielles de f et F : 73
df = F udu + F vdv = f xdx + f ydy = f x(x udu + x vdv) + f y(y udu + y vdv) = (f xx u + f yy )du + (f xx v + f yy v)dv Par identification on obtient les formules que l on retiendra : F u = f x x u + f y y u et F v = f x x v + f y y v En particulier, en coordonnées polaires x = r cosθ et y = r sin θ : F r = cosθ f x + sin θ f y F θ = r sin θ f x + r cos θ f y. Exemple. Soit f définie surr 2 par f(x, y) = xy. Posons F(r, θ) = f(r cosθ, r sin θ). On a F(r, θ) = r 2 sin θ cosθ), d où : et F r = cosθ r sin θ + sin θ r cosθ = r sin 2θ F θ = r sin θ r sin θ + r cosθ r cosθ = r2 cos 2θ. D autre part f x (x, y) = y = r sin θ et f y (x, y) = x = r cosθ F(r, θ) = xy = 1 2 r2 sin 2θ et l on vérifie bien F r = r sin 2θ et F θ = r2 cos 2θ. 8.5.1 Représentation géométrique de la différentielle. Posons d abord h = x x 0 et k = y y 0 ; comme le terme complémentaire h2 + k 2 ϕ(h, k) tend vers 0 quand (h, k) tend vers 0, dire que f est différentiable en m 0 = (x 0, y 0 ), signifie qu en ce point, f(x, y) est peu différent de sa partie linéaire donc de son développement de Taylor de degré un au voisinage du point m 0 = (x 0, y 0 ) : f(x, y) f(x 0, y 0 ) + (x x 0 )f x(x 0, y 0 ) + (y y 0 )f y(x 0, y 0 ). Géométriquement, au voisinage de M 0 (x 0, y 0, z 0 ) la surface S = {(x, y, z) z = f(x, y) ; (x, y) D f } diffère peu de son plan tangent en M 0 qui a donc pour équation : z = z 0 + (x x 0 )f x(x 0, y 0 ) + (y y 0 )f y(x 0, y 0 ) Ce plan est engendré par les vecteurs T y0 = M 0 M x = ( ) 1, 0, f x et T x0 = M 0 M y = ( ) 0, 1, f y dérivés du vecteur M 0 M = (x x 0, y y 0, f(x, y) z 0 ) par rapport aux variables x et y. Ces vecteurs sont tangents en M 0 aux courbes coordonnées C x0 et C y0 comme on l a vu en 8.4.2. 74
z z Ty 0 M 0 Tx 0 Cy 0 S O = x 0 O y 0 Cx 0 y x m 0 y Exemple. Soit f : R 2 R définie par f(x, y) = x 2 + y 2 2xy. Au point (1,0) sa différentielle est df = f f (1, 0) dx + (1, 0) dy = 2 dx 2 dy x y L équation du plan tangent en (1, 0, 1) à la surface S définie par f s écrit donc z 1 = 2(x 1) 2(y 0) ou encore z = 2x 2y 1. Conclusion : Au voisinage de M 0 on pourra confondre la surface S et son plan tangent et en conséquence, pour les valeurs voisines de (1, 0) par exemple (0.99, 0.025) calculer f(0.99, 0.025) à l aide de l expression plus simple 2x 2y 1 : f(0.99, 0.025) 1 + 2( 0.01) 2(0.025) = 0.93. 8.6 Application du calcul différentiel au calcul des valeurs approchées des fonctions Exemples. 1 o Soit un rectangle de hauteur h et de base b. Son aire est mesurée par la fonction S = f(b, h) = bh. Si la base b varie de db et si la hauteur h varie de dh, calculons la variation algébrique d aire δs à l aide de la différentielle δs ds = f f db + dh = h db + bdh. b h On peut interpréter sur la figure ci-après ds comme la somme des aires des rectangles hachurés. ds est bien ainsi la partie principale de δs ; le terme complémentaire db dh mesure l aire grisée du petit rectangle, négligeable par rapport à ds car d ordre 2. Remarquer l abus de notation db au lieu de δb et dh au lieu de δh. b db h dh 75
Exemple de valeurs. b, db, h, dh en mètre, ds, dbdh, δs en m 2. b db h dh ds db dh δs 10 0, 1 2 0, 01 0, 3 0, 001 0, 301 11 0, 02 3 0, 02 0, 28 0, 0004 0, 2804 15 0, 1 6 0, 1 2, 1 0, 01 2, 11 2 o Soit un cylindre de h = 10 m de haut et de r = 5 m de rayon. On augmente h de 10 cm et l on diminue r de 1 cm. Calculons la variation de volume : V = πr 2 h = f(r, h) dv = V V dr + r h dh = 2π rh dr + π r 2 dh En mètre dr = 0.01 m ; dh = 0.1 m, d où δv 4.71 m 3. Remarque. L accroissement exact δv est égal à dv diminué du volume d un cylindre creux de hauteur dh et d épaisseur dr, soit environ 2π r dh dr 0, 031m 3 négligeable par rapport à δv. r dr h dh 8.6.1 Calcul d erreur Soit a le résultat de la mesure de la grandeur A. Si α est la valeur exacte de A, la différence δa = a α est appelée erreur absolue de la mesure ; elle résulte de causes diverses : erreurs systématiques ou accidentelles. L erreur absolue sur a n étant pas connue, on doit se contenter d en rechercher une limite supérieure a appelée incertitude absolue telle que δa a ; on a donc : a a α a + a ou encore α = a ± a. On se rend mieux compte de l approximation d une mesure en comparant l erreur à la grandeur mesurée. On appelle erreur relative le rapport δa/α de l erreur absolue à la valeur exacte ; δa et α n étant pas connues, on doit, là encore, se contenter d une limite supérieure appelée incertitude relative que l on calcule en remplaçant δa par a et en prenant pour α la valeur approchée a. Exemple. α = 2.001 ± 0.001 m donc a/α a/a 0.001/2 = 5.10 4 L incertitude relative caractérise la précision de la mesure. Dans l exemple précédent, la précision est de 5 dix-millièmes. On cherche maintenant à calculer l erreur sur une grandeur X dépendant de plusieurs paramètres A, B, C indépendants les uns des autres : 76 X = f(a, B, C).
On ne connaît en réalité que des valeurs approchées a, b, c et les incertitudes absolues : a, b, c sur ces valeurs ; une valeur approchée de X est donc x = f(a, b, c). A partir de la différentielle de f en (a, b, c) soit en valeur absolue dx = f a da + f b db + f c dc dx f a da + f b db + f c dc f a a + f b b + f c c on obtient l incertitude absolue sur x puis l incertitude relative sur x x = f a a + f b b + f c c, x x = f a a x + f b b x + f c c x. Exemple. Connaissant la formule T = 2π l/g donnant la période du pendule simple, on peut calculer l accélération de la pesanteur g = γ(l, T) = 4π 2 l/t 2 dont la différentielle est : d où l incertitude absolue et l incertitude relative dg = γ γ 4π2 dl + dt = l T T dl 8π2 l 2 T dt 3 g = 4π2 T 2 ( l + 2l ) T T g g = l l + 2 T T avec l = 1 m, l = 5.10 4 m, T = 2 s, T = 0.01 s, on obtient g g = 0.0105 = 1.05 % et g = π2 = 9.87 ms 2, ce qui donne une incertitude absolue de g = 0.10 et g = 9.87 ± 0.1 ms 2. Remarque. On trouve assez fréquemment en Physique des fonctions positives à variables séparables f(a, b, c) = ϕ 1 (a)ϕ 2 (b)ϕ 3 (c). La fonction logarithme permet alors de simplifier le calcul de l incertitude relative ln f = ln ϕ 1 + ln ϕ 2 + ln ϕ 3, d où en différentiant et si ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 > 0, alors on a df f = dϕ 1 ϕ 1 + dϕ 2 ϕ 2 + dϕ 3 ϕ 3 f f = ϕ 1 ϕ 1 + ϕ 2 ϕ 2 + ϕ 3 ϕ 3. 77
8.7 Formes différentielles Soit U un ouvert de R 2, A et B deux fonctions de U dans R. L expression s appelle une forme différentielle sur U. ω = Adx + Bdy Définition. Une forme différentielle ω sur U qui est la différentielle d une fonction f (i.e ω = df) est une forme différentielle exacte sur U et f est une primitive de ω. Exemple. La forme différentielle ω = xdx + ydy est exacte sur U = R 2 et f : (x, y) f(c, y) = 1 2 (x2 + y 2 ) est une primitive de ω. Les formes différentielles ne sont donc pas toujours exactes ; si c est le cas, A = f f et B = et si de plus A et B sont continûment dérivables (on dit de x y classe C 1 ), on a d après le théorème de Schwarz A y = B x. Définition. Si A et B sont C 1 sur U et si A y = B, on dit que la forme différentielle x ω = Adx + Bdy est fermée sur U. Une forme différentielle de classe C 1 exacte sur U est donc fermée sur U. Qu en est-il de la réciproque? Le théorème suivant dû à H.POINCARÉ (1854-1912) donne une condition suffisante de réciprocité : Théorème de Poincaré. Soit U un ouvert de R 2 et ω = Adx + Bdy une forme différentielle de classe C 1 sur U. Si U est étoilé et si ω est fermée sur U, alors ω est exacte sur U. Définition. Soit A un point de U ; on dit que U est étoilé par rapport à A si le segment [AM] appartient à U M U. On dit que U est étoilé si et seulement s il existe A U tel que U soit étoilé par rapport à A. Les boules de R n, les pavés de R n, les domaines d une seule pièce et sans trou (on dit simplement connexe) du plan R 2 sont étoilés. Exemple de calcul. Soit la forme différentielle ω = (3x 2 + 2y)dx + (2x + 2y)dy sur U = R 2 étoilé par rapport au point O(0,0) : 78
A(x, y) = 3x 2 + 2y, B(x, y) = 2x + 2y et A et B sont des fonctions continues, dérivables et à dérivées continues i.e. C 1 sur R 2. On vérifie bien la condition d égalité des dérivées croisées : A y = 2 = B x sur R2, du théorème de Poincaré : puisque ω est fermée elle est exacte sur R 2. Intégrons ω c est-à-dire cherchons f de classe C 2 sur R 2 telle que df = ω ; on a d abord : A = f x = 3x2 + 2y que l on intégre par rapport à x : f(x, y) = x 3 + 2xy + ϕ(y) où la fonction ϕ est C 1 et constante par rapport à x ; dérivons par rapport à y et identifions à B : f y = 2x + ϕ (y) = 2x + 2y d où ϕ (y) = 2y et ϕ(y) = y 2 + K (K R). Finalement : f(x, y) = x 3 + 2xy + y 2 + K (K R). Le théorème de Poincaré, qui s étend à la dimension trois ou plus est fréquemment utilisé en physique. Par exemple, le champ de pesanteur (P, Q, R) dérive d un potentiel scalaire ; les conditions d égalité des dérivées croisées sur ω = Pdx+Qdy+Rdz s écrivent P y = Q x Q z = R y et R x = P z On dit que le rotationnel du champ (P, Q, R) est nul. 79
Exercices 8.1. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions de R 2 dans R définies par : a. f 1 (x, y) = xy b. f x 2 + y 2 2 (x, y) = x2 + y 2 x c. f 3 (x, y) = x2 + y 2 x 2 y 2 d. f 4 (x, y) = ln y x 2 + y 2 1 8.2. Déterminer le domaine de définition de la fonction f : R 2 R définie par f(x, y) = sin x sin y x y et trouver une fonction g égale à f sur D f qui soit continue sur R 2. 8.3. Soit la fonction f : R 2 R ; (x, y) f(x, y) = ln 3 x 2 y y 2. (a) Déterminer le domaine D de dérivabilité de f et le représenter graphiquement. (b) Calculer les dérivées partielles et la différentielle de f sur D. 8.4. Pour chacune des fonctions suivantes, calculer f x, f y et df. a. f 1 (x, y) = Arc tan(x 2 y) b. f 2 (x, y) = xy + x y 8.5. Les formes différentielles suivantes sont-elles exactes? Si oui les intégrer sur le domaine convenable : xdy y dx a. ω =. y 2 b. cos(xy 2 )dx + 2 cos(xy)dy. 8.6. Soit la surface S de E 3 d équation z = x 2 y. Déterminer deux vecteurs tangents à S non colinéaires en (1, 1, 0) ainsi qu une équation du plan tangent en ce point. 8.7. La mesure de deux côtés d un triangle est 150 m et 200 m à 0,2 m près ; l angle intérieur est de 60 ± 1. Quelle est l erreur maximum possible sur le calcul de l aire du triangle? 8.8. Soit x(r, θ) = e 2r cosθ et y(r, θ) = e 3r sin θ. Calculer r x, r y, θ θ et x y. 80
8.9. On veut résoudre l équation (E) z x z y = 2. Pour ce faire, on effectue le changement de variables : u = x y ; v = x + y et l on pose Z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v)). Montrer que Z = 1 ; en déduire les solutions de (E). u 8.10. Pour f(x, y) = e x cos y calculer f = 2 f x 2 + 2 f y 2. 8.11. Soit f(x, y) = 1/ x 2 + y 2 + z 2. Montrer que f = 0. 8.12. (Extrait DeugB A) Soit f : R 3 R la fonction définie par f(x, y, z) = xy 2 z/3. (a) (b) Calculer df(x, y, z), puis f/f. En déduire l incertitude z/z en fonction de f/f, x/x et y/y. Application : Un cône de révolution a un volume V = 1789 ±2 cm 3 et pour rayon r = 10 ± 0, 05 cm. Sachant que le volume du cône est proportionnel à l aire de sa base et à sa hauteur et que π = 3, 14 ± 0, 01, calculer l incertitude relative h/h sur la mesure de la hauteur du cône. Donner un encadrement de h. 8.13. (Extrait DeugB A) (a) Soit la fonction f de R 3 dans R définie par l équation f(x, y, z) = z x y x. (b) (i) Déterminer le domaine de définition de f et le représenter dans un repère orthonormé. (ii) Calculer la différentielle de f en (x, y, z). Pour calculer la densité D d un liquide L, on pèse successivement un flacon vide, puis rempli d eau et enfin rempli du liquide L. On obtient les mesures suivantes en grammes et dans l ordre : x = 12.5 ± 0.1 y = 17.5 ± 0.1 z = 16.3 ± 0.1 Donner un encadrement de la valeur de D. 81
8.14. (Extrait SV105) a. Soit la fonction f : R 2 R définie par : f(x, y) = x2 y a 1. Déterminer le domaine de définition D f de f et le représenter graphiquement. a 2. Calculer la différentielle de f. b. La puissance dissipée dans une résistance électrique est P = E 2 /R avec E = 220 ± 5 V et R = 8 ± 0.2 Ω Déterminer à l aide du calcul différentiel un encadrement de la valeur de P. Si E décroit de 5V et R de 0.2Ω, quelle est l incidence sur P? 8.15. (Extrait SV105) a. Soit la fonction f : R 3 R définie par : f(x, y, z) = K x3 yz 2 (K R) a 1. Déterminer le domaine de définition D f de f. a 2. Calculer la différentielle de f. a 3. Calculer l incertitude relative f f. b. D après la troisième loi de Képler la période T et le demi-grand axe de mesure a de l orbite d une planète autour du Soleil de masse M sont reliés par la relation T 2 a = 4π2 3 G M. Déterminer la masse M du Soleil, puis l incertitude relative et l incertitude absolue sur M. c. Application numérique : On donne T = 365.25636567 ± 10 8 Jours, a = (1.4960 ± 0.0003)10 11 m et G = (6.673 ± 0.005)10 11 m 3 kg 1 s 2. Donner un encadrement de la valeur de M. G est une constante universelle qui s exprime en fonction du mètre, du kilogramme et de la seconde. 8.16. (Extrait SV105) Soit la fonction f de R 3 dans R définie par f(x, y, z) = (x 3 ) y 2 + z 2. a. Déterminer le domaine de définition D f de f. b. Lorsqu elles sont définies, calculer les dérivées partielles ainsi que la différentielle df(x, y, z) de f au point (x, y, z). c. On donne a = 2 ± 0.1, b = 3 ± 0.1, c = 4 ± 0.1. Calculer f(2, 3, 4) ainsi que df(2, 3, 4). En déduire un encadrement de f(a, b, c). d. A l aide de la différentielle df(2, 3, 4) calculer la valeur approximative qu elle donne du nombre : (1.98 3 ) 3.01 2 + 3.97 2. 82