C1 : Fonctions de plusieurs variables

1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions et les résultats principaux du cours compléments d Analyse 3 ainsi que quelques exercices concernant ces compléments. Le résumé du cours principal Analyse 3 est disponible dans un fichier séparé à la même adresse. Nous citons le théorème x.y du résumé de ce cours sous la forme [Cours, théorème x.y], etc. Les compléments seront numérotés C1 (= Complément 1), C2,... C1 : Fonctions de plusieurs variables Dans la vie réelle en mathématiques (et dans les applications, comme la physique), il est important de développer l analyse non seulement pour les fonctions d une variable, mais pour des fonctions de plusieurs variables : C1.1. Vocabulaire général. En mathématiques, la notion d application f : U M, d un ensemble U dans un autre ensemble M, est fondamentale. Quand U est une partie de R n et M = R m, avec n, m 1, nous parlons aussi d une fonction de plusieurs variables (réelles). Le nombre de variables est alors n, et m est le nombre de composantes de f dans l écriture sous la forme L application f(x) = f(x 1,..., x n ) = ( f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n ) ). f i : U R, x f i (x) s appelle la i-ième composante de f. Outre le cas réel, le cas des variables complexes est également très important : dans ce cours, nous écrivons souvent K = R ou C. L analyse de telles fonctions (pour K = R) sera traitée de façon plus approfondie dans le cours Analyse 2 - fonctions de plusieurs variables, enseignée en CPU en S4, après le cours Analyse 3. Cependant, il faut s habituer le plus rapidement à placer l analyse dans le cadre de plusieurs variables ; dans les compléments, nous allons développer ce point de vue un peu plus loin que dans le cours principal. Commençons par une typologie des applications : présentations des types principaux, sous des aspects géométriques, analytiques, algébriques. C1.2. Typologie géométrique. Soit f : R n U R m. (a) Si n = 1, f est une courbe paramétrée (alors U est le plus souvent un intervalle). Noter qu il s agit ici encore d une function d une variable ; cette variable est souvent notée t, et interprétée comme le temps : f(t) décrit alors le mouvement d une particule dans R m en fonction du temps t. 1

(b) Si m = 1, on parle d une fonction scalaire. On peut imaginer le graphe de f comme un relief montagneux : le scalaire f(x) donne la hauteur de la surface terrestre au point x (ou profondeur sous la surface de la mer...). En cartographie (cas n = 2), on représente un tel relief, par exemple, en indiquant les lignes de niveau constant, ou par des couleurs variées. En physique, une fonction scalaire représente souvent un potentiel. (c) Le cas n = m. C est le cas le plus riche et le plus compliqué. Selon le contexte, f peut avoir différentes interprétations (nous en reparlerons plus tard) : f peut représenter une transformation géométrique (de l espace R n ), par exemple, une rotation, une translation... f peut représenter un champ de vecteurs, i.e., f attache à chaque point x une flèche (la flèche donnée par le vecteur de 0 à f(x), transportée au point x). Exemple : l application f(x) = c sera représentée par un champ constant de flèches (à chaque point on attache le vecteur c). C1.3. Typologie analytique. Soit f : U R n R m. Nous distinguons : (a) classe C 0 : f est continue (voir complément C2) (b) classe C 1 : f admet une dérivée continue (voir complément C3) (c) classes C k, k = 2,..., : f est k fois continûment dérivable (voir C3) (d) classe C ω : f est analytique (définition un peu compliqué si n > 1 : pas dans ce cours) (e) algébrique : f est polynomiale ou rationnelle (définition ci-dessous) (f) linéaire : f est une application linéaire (cours de L1) Dans cette typologie, chaque classe est incluse dans la classe précédente. C1.4. Opérations sur les applications. Soient f, g : U R n R m et r R. (a) somme : la fonction f + g : U R m est définie par (f + g)(x) := f(x) + g(x) (b) multiple scalaire : la fonction rf : U R m est définie par (rf)(x) := rf(x) ; avec les operations (a) et (b), l ensemble des applications f : U R m est un espace vectoriel (le vecteur nul est la fonction f = 0, i.e., f(x) = 0 pour tout x U) ; (c) attention : le produit ordinaire f g est définie seulement pour des fonctions scalaires (m = 1) : (fg)(x) = f(x)g(x) ; (d) en physique, on a souvent besoin d autres produits comme le produit vectoriel (alors m = 3) ou le produit scalaire de deux fonctions (nous n en parlerons pas dans ce cours) ; (e) si n = m, et si f(u) U, la composée g f est définie par (g f)(x) = g(f(x)). Si f = g, alors les puissances de f sont f k = f... f (k fois). Rappel : si f et g sont linéaires, ceci correspond au produit (resp. puissance) de matrices. Nous verrons plus tard que ces opérations sont compatibles avec les types analytiques (e.g., la somme de deux fonctions de classe C k est encore C k, etc.). C1.5. Les applications polynomiales. Un polynôme est une somme finie de monômes. Plus exactement : soit K un corps ; pour x K n et α N n (un multi-index), on définit le monôme x α := x α 1 1 x αn n 2

son degré est par définition α := n i=1 α i. Une fonction polynomiale homogène de degré j est une fonction de la forme p : K n K, p(x) = α N n, α =j a α x α, avec des constantes a α K. Une fonction polynomiale p : K n K est une somme p = p 0 +... + p k, où chaque partie p j est une fonction polynomiale homogène de degré j. Le degré de p est alors deg(p) := max{j : p j 0}. Noter que le terme correspondant à j = 0 est juste une constante, celui correspondant à j = 1 est une forme linéaire, et celui correspondant à j = 2 une forme quadratique (cf. exercice C1. ). Une application polynomiale f : K n K m est une application telle que chaque composante f i : K n K est une fonction polynomiale. C1.6. Les applications rationnelles. Une application rationnelle est une application de la forme f : K n U K m, f(x) = p(x) q(x), où p : K n K m est une application polynomiale, q : K m K est polynomiale et non identiquement nulle, i.e., U := {x K n q(x) 0} n est pas vide. Exercices pour le complément 1 1. Dessins. Représenter graphiquement les fonctions f : R 2 R suivantes : (a) f(x, y) = x 2 + y 2 (b) f(x, y) = x 2 y 2 (c) f(x, y) = y 2 (d) f(x, y) = xy (e) f(x, y) = x 3 3xy 2 (f) f(x, y) = e x cos(y) (g) f(x, y) = x2 y si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0 x 4 +y 4 (h) f(x, y) = x2 +y 2 si x 0 et f(0, y) = 0 x 2. Applications définies sur les espaces de matrices. Montrer que l espace M(2, 2; K) des matrices carrées s identifie à K 4. En utilisant cette identification, montrer : (a) la fonction det : M(2, 2, ; K) K, X det(x) est polynomiale ; (b) l application X X 1 est rationnelle. Quel est son domaine de définition? (c) l application X X k avec k N est homogène polynomiale. Quel est son degré? (d) Généraliser au cas de M(n, n; K). 3. Dimension des espaces de polynômes. Soit K = R, C ou Q. (i) Combien de monômes sur K 2 y a-t-il de degré 0, 1, 2, 3,...? (ii) Montrer que les monômes sont linéairement indépendants dans l espace vectoriel des fonctions K 2 K. (Rappeller d abord comment montrer que les fonctions R R, 3

x x k sont linéairement indépendants.) Conclure : Quelle est la dimension de l espace des fonctions polynomiales R 2 R de degré au plus d? (iii) Mêmes questions pour K 3 (iv) Facultatif: mêmes questions pour K 4 4. Applications et formes quadratiques. (i) Quelle est la dimension de l espace des fonctions polynomiales homogènes K n K m de degré d = 0, 1, 2? (Commencer par m = 1.) (ii) en degré d = 1 et avec m = 1 : montrer que toute telle application s écrit f(x) = n i=1 a ix i, ou encore f(x) = Ax (matrice ligne A matrice colonne x) (iii) en degré d = 2 et avec m = 1 : montrer que toute telle application s écrit f(x) = n i,j=1 b ijx i x j, ou encore f(x) = x t Bx, avec une matrice carrée symétrique B. En déduire que toute fonction polynomiale quadratique f : K n K s écrit f(x) = x t Bx + Ax + c, B Sym(n, K), A M(1, n; K), c K. Problème. On veut introduire dans K n une nouvelle origine et un nouveau système de coordonnées tels que l expression de f devient aussi simple que possible. Quelles sont alors les formes les plus simples possibles? (prendre K = C ou K = R.) 5. Application homogènes. Définition. Une application f : K n U K m est dite homogène de degré k, où k Z, si, pour tout x U et r K, on a rx U et alors f(rx) = r k f(x). (i) Montrer: si f est polynomiale homogène de degré j au sens de C1.4, alors f est homogène (de même degré) au sens de la définition prédente. (ii) Soit k = 1 et K = R. Construire une application homogène de degré 1 qui n est pas linéaire. (Facultatif : montrer qu il en existe une famille libre infinie.) (iii) Soit x, y un produit scalaire sur R n. Montrer que q : R n R, x x, x est polynomiale homogène, et que f : x x x, x est homogène rationnelle sur R n. Quel est son degré et son domaine de définition? Calculer les puissances f k pour k Z. Donner une représentation graphique ou géométrique de f pour n = 2. 6. R 2 versus C. On identifie C avec le plan R 2. Montrer que tout C-polynôme p : C C est aussi une application R-polynomiale R 2 R 2. (Commencer par calculer (x + iy) k.) Parmi les applications R-polynomiales p : R 2 R 2 de degré k, caractériser celles qui sont obtenues de cette façon. Montrer qu elles forment un R-sous-espace vectoriel de dimension deux. 7. Approche intrinsèque (exercice facultatif). Soit V un espace vectoriel de dimension n et W un espace vectoriel de dimension m. Rappeler la définition d une application linéaire α : V W et celle d une application bilinéaire β : V V W. (i) Identifions, en fixant des bases dans V et dans W, V avec K n et W avec K m. Montrer que, pour une application f : V W, les assertions suivantes sont équivalentes : 4

f est linéaire ; aprés identification V = K n, W = K m, f est polynomiale homogène de degré 1. Noter que la première condition ne fait pas appel à des bases de V et de W : on dit qu elle est intrinsèque. (ii) Caractériser de façon intrinsèque les applications polynomiales de degré 0. (iii) Essayer de caractériser de façon intrinsèque les applications polynomiales homogènes de degré 2. C2 : Topologie de R n et continuité Le but de ce chapitre est de définir de façon rigoureuse la notion d application continue de plusieurs variables, et de montrer que les applications polynomiales et rationnelles sur R n sont continues. Dans ce but, il faut étudier quelques notions topologiques fondamentales: (A) distances, normes et boules ; (B) suites convergentes ; (C) parties ouvertes ; (D) fonctions et applications continues. C2.1. Définition (distance et norme euclidiennes). Soient x, y R n. La distance euclidienne entre x et y est définie par la formule de Pythagore d eu (x, y) := n (x i y i ) 2. La distance de x à l origine 0 s appelle la norme euclidienne, notée x eu := d eu (x, 0) = n x 2 i, de sorte qu on a d eu (x, y) = x y eu. La boule ouverte de centre x et de rayon r est B r,eu (x) := {y R n d eu (x, y) < r} = {y R n n (x i y i ) 2 < r}. C2.2. Définition (distance et norme sup). Soient x, y R n. La distance sup entre x et y est définie par d (x, y) = max i=1,...,n x i y i. La distance de x à l origine 0 s appelle la norme sup, notée i=1 i=1 x := d (x, 0) = max i x i, de sorte qu on a d (x, y) = x y. Le cube ouvert de centre x et de rayon r est B r, (x) := {y R n d (x, y) < r} = {y R n i = 1,..., n : x i y i < r}. C2.3. Remarque. Voici quelques propriétés évidentes que satisfont ces deux normes, resp. distances : pour d = d eu ou d = d et = eu ou =, 5 i=1

(N1) (positivité) x 0, et x = 0 ssi x = 0 ; (N2) (homogénité) pour tout r R, rx = r x ; (D1) (positivité) d(x, y) 0, et d(x, y) = 0 ssi x = y ; (D2) (symétrie) d(x, y) = d(y, x). Nous discutons plus tard (exercice 1) une autre propriété importante. C2.4. Lemme. Pour tout z R n, on a z eu n z n z eu, i.e., n zi 2 n n max z i n zi 2. i i=1 Géométriquement, le lemme signifie qu on peut emboîter des cubes dans des boules, et réciproquement (faire un dessin pour n = 2!). C2.5. Définition. Une suite dans R n est notée (x (k) ) k N, où i=1 x (k) = ( x (k) ) 1,..., x (k) n R n. Chaque composante (x (k) i ) k N, pour i = 1,..., n fixé, est une suite numérique ordinaire. C2.6. Lemme. Pour une suite (x (k) ) k N de R n sont équivalents : (i) il existe x R n tel que lim k d eu (x (k), x) = 0 ; (ii) il existe x R n tel que lim k d (x (k), x) = 0 ; (iii) il existe x R n tel que, pour tout i = 1,..., n : la suite numérique (x (k) i ) k N converge au sens usuel, pour k, vers le nombre réel x i. C2.7. Définition. On dit que la suite (x (k) ) k N converge dans R n s il existe x R n vérifiant les propriétés du lemme ; alors on écrit x = lim x (k). k Le lemme permet, d une part, de reconnaître facilement des suites convergentes dans R n, et, d autre part, de démontrer, composante par composante, quelques résultats standards, similaires aux propriétés usuelles pour les suites : C2.8. Corollaire. La somme de deux suites convergentes x (k) et y (k) est convergente, et sa limite est la somme des deux limites ; un multiple rx (k) d une suite convergente vers x est convergente, avec limite rx. Les ouverts. Parmi les parties U de R n, les parties épaisses ou ouvertes jouent un rôle fondamental en topologie. C2.9. Lemme. Pour une partie U de R n sont équivalents : (i) pour tout x U, il existe ε > 0 tel que B ε,eu (x) U ; (ii) pour tout x U, il existe ε > 0 tel que B ε, (x) U ; 6

(iii) pour tout x U on a : pour toute suite x (k) U qui converge vers x pour k, il existe un rang N N tel que, pour tout k N, on a x (k) U. C2.10. Définition. Une partie U R m est dite ouverte si elle satisfait les propriétés du lemme. (Voir exercice 3 pour des exemples.) Applications continues. Une application f : U R m, définie sur une partie U de R n, est continue, si un petit changement d argument induit un petit changement de valeur ( petite cause, petit effet ), ou autrement dit, si elle n a pas de sauts : C2.11. Lemme. Pour une application f : R m U R n et x U sont équivalents : (i) pour tout ε > 0, il existe δ > 0 de sorte que pour tout y U : d eu (x, y) < δ d eu (f(x), f(y)) < ε ; (ii) pour tout ε > 0, il existe δ > 0 de sorte que pour tout y U : d (x, y) < δ d (f(x), f(y)) < ε ; (iii) pour toute suite x (k) U qui converge vers x pour k, la suite f(x (k) ) converge dans R m vers f(x) : f ( lim x (k)) = lim f(x (k) ) k k C2.12. Définition. Soit f : R n U R m une application, et soit x U. On dit que f est continue au point x si les conditions du lemme sont vérifiées, et on dit que f est continue (sur U) si f est continue en tout point x U. C2.13. Exemples. Les fonctions constantes sont continues ; les projections ( fonctions coordonnées ) pr i : R n R, x x i sont continues. C2.14. Théorème. Pour une application f : R n U R m sont équivalents : (i) f est continue au point x (resp. sur U) ; (ii) i = 1,..., m : la fonction f i : U R est continue au point x (resp. sur U). Ce théorème permet donc de se ramener au cas des fonctions scalaires (m = 1). Attention: on ne peut pas se ramener aussi facilement au cas n = 1 (cf. exercice 4 (2)). Dans ce sens, le cas des fonctions scalaires est le cas le plus important. C2.15. Théorème. (1) Sommes et multiples d applications continues sont continues, et la fonction f = 0 est continue ; ainsi l ensemble C(U, R m ) des applications continues f : U R m est un espace vectoriel. (2) La composée g f : U R k de deux applications continues g : U R k et f : U U R m est continue. (3) (pour m = 1 :) Le produit f g (définie par (f g)(x) := f(x) g(x)) de deux fonctions scalaires continues f, g : U R est continue. 7

C2.16. Théorème. (i) Toute application linéaire f : R n R m est continue. (ii) Toute application polynomiale f : R n R m est continue. (iii) Toute application rationnelle f(x) = p(x) q(x) de Rn dans R m est continue (sur son domaine de définition U = {x R n q(x) 0}). Exercices pour le complément 2 1. Normes. Soit V un espace vectoriel sur R. Une norme sur V est une application V R, x x vérifiant les propriétés (N1) et (N2) de la remarque C2.3, et (N3) (inégalité triangulaire) pour tout x, y V, x + y x + y. (1) Montrer que la norme sup est une norme sur R n. (2) Montrer que la norme euclidienne est une norme sur R n. (On pourra commencer par le cas n = 2.) (3) En déduire pour d(x, y) := d eu (x, y) ou d(x, y) := d (x, y) l inégalité triangulaire : d(x, z) d(x, y) + d(y, z). 2. Convexité. Une partie S R n est dite convexe si, pour tout x, y S, le segment [x, y] = {tx + (1 t)y t [0, 1]} appartient entièrement à S. (0) Faire le dessin de quelques parties convexes de R n. (1) Montrer que les boules B r, (x) avec x R n et r > 0 sont convexes. (2) Montrer que les boules B r,eu (x) avec x R n et r > 0 sont convexes. 3. Parties ouvertes. Montrer que les parties U suivantes de R n sont ouvertes : (1) n = 1, et U un intervalle ouvert de R ; (2) les cubes (= boules sup) B r, (y) dans R n ; (3) les boules euclidiennes B r,eu (y) dans R n ; (4) les demi-espaces {x R n x i > 0} pour i {1,..., n} ; (5) montrer que l intersection et la réunion de deux parties ouvertes sont ouvertes ; (6) montrer que la réunion d un nombre quelconque d ouverts est encore ouverte ; (7) montrer : U n =] 1/n, 1/n[ est ouvert dans R pour tout n, mais n N U n ne l est pas. 4. Continuité. (1) Parmi les applications f : R 2 R de l exercice 1 de C1, lesquelles sont continues? Indication : montrer que l application du point (g) n est pas continue en (0, 0) ; pour le montrer, choisir une suite de la forme x (n) = (u n, v n ) qui tend vers (0, 0), et tel que f(u n, v n ) ne tend pas vers 0. 8

(2) Soit f : R 2 R comme dans C1, exercice 1, partie (g). Montrer que les applications partielles R R, x f(x, y) pour y fixé sont toutes continues sur R, et idem pour y f(x, y) pour x fixé ; mais f n est pas continue sur R 2. (3) Soit f : R 2 R comme dans C1, exercice 1, partie (h). Montrer que les applications radiales R R, t f(tx, ty) pour (x, y) R 2 fixé, sont toutes continues ; mais f n est pas continue sur R 2. 5. Le cas complexe. Montrer qu il existe une identification naturelle entre C n et R 2n, et que sous cette identification la norme euclidienne correspond à z := n i=1 z iz i. Montrer que la norme z := max i z i est équivalente à la précédente (au sens du lemme C2.4) ; est-ce qu elle correspond exactement à la norme sup dans R 2n? Formuler des notions de convergence de suites et de continuité dans C n, et dire lesquels parmi les résultats précédents restent valables dans ce cadre. 6. Approche intrinsèque (exercice facultatif). Soit V un R-espace vectoriel de dimension finie n. En fixant une base on peut identifier V avec R n, ainsi les notions de suite convergente, de partie ouverte et de continuité sont définies. Pour que ces notions soient vraiment intrinsèques, il faut voir qu elles ne dépendend pas du choix de la base. (0) Exemple calculatoire. Fixons la base b 1 = (1, 0), b 2 = (1, 1) dans le plan E et identifions E avec R 2 par la bijection R 2 E, (x, y) xb 1 + yb 2. Identifions également les boules B r, (x), resp. B r,eu (x), avec leur image par cette bijection. Dessiner les images dans E de B 1, (0) et de B 1,eu (0). Quelles figures géométriques sont représentées par ces images? Montrer qu on peut emboiter ces figures dans les boules usuelles (par rapport à la base canonique), dans le sens du lemme C2.4. (1) Soit A GL(n, R) (i.e., une matrice inversible). Montrer que l application f : R n R n, x Ax est un homéomorphisme (i.e., bijective, continue, et l inverse f 1 est aussi continue). (2) Conclure que les notions de suite convergente et de continuité sur V ne dépendent pas de la base choisie (bien que la distance et la forme des boules en dépendent). C3 : Exponentielle matricielle et équations différentielles ordinaires Les exponentielles usuelles t ce at sont les solutions de l équation différentielle f = af (a R) avec condition initiale f(0) = c. En plusieurs dimensions, cette équation est remplacée par un système d équations différentielles ordinaires. D abord, quelques définitions de base concernant les courbes : C3.1. Définition. Une courbe [continue] dans V = R n est une application [continue] α : I V, où I R est un intervalle. C3.2. Lemme. Pour une courbe α : I V = R n sont équivalentes : (i) pout tout t I, la limite α (t) := α(t+h) α(t) lim existe dans V ; h 0,h 0 h (ii) chaque composante α i := pr i α : I R est différentiable au sens usuel. On a alors α (t) = ( α 1(t),..., α n(t) ). 9

C3.3. Définition. Une courbe α : I V est dite différentiable (de classe C 1 ) si elle satisfait la condition du lemme et si la courbe dérivée α : I V est continue. Si α est de classe C 1, la courbe α est dite de classe C 2, et on pose α = (α ), etc. (Interpétation cinématique: t α(t) est une trajectoire ; t est la variable de temps, α (t) le vecteur-vitesse et α (t) est le vecteur-accélération.) Exemple : α(t) = ( cos(t), sin(t) ) est une courbe de classe C dans R 2. Faire un dessin de la trajectoire, calculer et dessiner les vecteurs vitesse et accélération. Cet exemple est un cas particulier du résultat suivant, qui utilise l exponentielle matricielle, définie dans le cours, thm. 4.9, voir aussi cours, thm. 4.10. C3.4. Théorème. Soit A M(m, m; R) une matrice carrée, et soit v R m. (i) La courbe α : R M(m, m; R), t e ta est différentiable, et on a α (t) = A α(t) (produit de matrices), et α(0) = 1 m. La matrice e ta est inversible pour tout t, et s, t R : α(t + s) = α(t)α(s), (α(t)) 1 = α( t). (ii) La courbe γ v : R R m, t e ta v est différentiable, et γ v(t) = A γ(t) (produit matrice vecteur) et γ v (0) = v. De plus, pour tout t, s R, γ v (t + s) = γ γv(t)(s). L interprétation générale de ce résultat est en termes de courbes intégrales de champs de vecteurs : C3.5. Définition. Soit U V = R n une partie non-vide. Un champ de vecteurs sur U est une application X : U V. Visualisation : on accroche à chaque point u U un vecteur direction (une flêche) d origine u et de direction X(u). C3.6. Définition. Une courbe intégrale d un champ de vecteurs X : U V est une courbe de classe C 1, α : I V, qui suit le champ dans le sens que α I : α (t) = X ( α(t) ). (EDO) Noter que, en utilisant les composantes α i : I R, (EDO) s ćrit i = 1,..., n : α i(t) = X i ( α1 (t),..., α n (t) ). C est un système d équations différentielles ordinaires. C3.7. Problème. Si X est un champ de vecteurs, est-ce que des courbes intégrales existent? Autrement dit, est-ce que le système (EDO) admit des solutions α i, et si oui, sont-elles uniques? Sous certaines conditions sur X, la réponse est positive ( cours de L3 : théorème de Cauchy-Lipschitz). C3.8. Remarque. On peut résumer le théorème C3.4 en disant que tout champ linéaire de vecteurs (i.e., X : v X(v) est une application linéaire, donnée par X(v) = Av), 10

admet des courbes intégrales γ v : I V, avec condition initiale γ v (0) = 0, telles que l intervalle de définition I soit R tout entier. On verra (exercice 1) qu il en est de même pour les champs constants. Plus généralement, en théorie des équations différentielles ordinaires, on considère des champs lisses quelconques X : U V (définis sur une partie ouverte U de V ). Le théorème général de Cauchy-Lipschitz affirme alors que des courbes intégrales existent et sont uniques, mais en général le plus grand intervalle de définition I est plus petit que R. L étude plus détaillée de l ensemble de ces courbes intégrales fait partie de la théorie des EDO et, plus globalement, de la théorie des systèmes dynamiques. Le cas linéaire y joue un rôle important : il sert, localement, comme première approximation du cas général. Exercices pour le complément C3 1. Les champs constants. Soit v V = R n et X(x) = v (champ constant). Calculer et dessiner ses courbes intégrales : résoudre le système (EDO). Montrer que, pour tout u V, il existe une uniqe courbe intégrale γ u telle que γ u (0) = u. Étudier, pour t R fixé, l application φ t : V V, u γ u (t) : quelle est sa nature géométrique? Montrer que, pour t, s R, φ t φ s = φ t+s. 2. Champ défini par une fonction. Soit f : R R une fonction continue. (Exemple: f(x) = x 2.) Dessiner le champ X(x 1, x 2 ) := (1, f(x 1 )) et montrer que le système (EDO) admet une solution. Dessiner quelques courbes intégrales. Soit f : R 2 R une fonction. (Exemple: f(x, y) = x 2 + y 2.) Dessiner le champ X(x 1, x 2 ) := (1, f(x 1, x 2 )). Esquisser graphiquement l allure de quelques courbes intégrales (sans calcul). 3. Orbites (image d une courbe intégrale). Fixons une matrice carrée A. Pour tout vecteur v V = R n, notons O v := {e ta v t R} l orbite de v (= l image de la courbe intégrale γ v ). Montrer que, pour v, w V, seulement les deux cas suivants sont possibles: a) soit, O v = O w ; b) soit, O v O w =. Autrement dit, les orbites O v pour v V forment une partition de V. 4. Calcul d exponentielle : exemples et dessins. Pour les matrices A suivantes, calculer e ta (ici, a > b > 0) : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 a 0 a 0,,,, 0 0 0 a 0 a 0 b ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 a 1 0 1 a b,,, 0 0 0 a 1 0 b a Pour chacune de ces matrices : dessiner le champ de vecteurs R 2 R 2, u Au ainsi que quelques courbes intégrales. 5. Exponentielle et changement de base. (1) Soit A une matrice carrée et T une matrice inversible. En utilisant la série exponentielle, montrer que e T AT 1 = T e A T 1. ( ) 0 1 (2) Soit A =. Calculer e 1 0 ta. (Indication : deux stratégies possibles calcul direct en calculant A 2, A 3,..., ou bien trouver une matrice de passage T telle que A = T AT 1 soit une matrice diagonale.) Tracer les courbes γ v (t) comme dans l exercice précédent. 11

(3) Résoudre le système différentiel f (t) = f(t) + 2g(t) } g (t) = 2f(t) + 3g(t) 6. EDO linéaires à coefficients constants. On cherche à résoudre l équation différentielle f (n) = a 0 f + a 1 f +... + a n 1 f (n 1) (où a i R). Montrer que, en posant f 1 := f, f 2 := f 1, etc., ce système est équivalent à n équations de degré 1, qu on écrira sous forme matricielle. Pour résoudre cette équation, on peut chercher des solutions de la forme e λx. Trouver une condition nécessaire pour le scalaire λ. Exemple : résoudre f 6f + 11f 6f = 0. Parfois, il existe aussi des solutions de la forme xe λx. Exemple : résoudre f 2f + f = 0 Distinguer aussi des solutions réelles et complexes. Exemple : résoudre 2f 5f + 6f 2f = 0 7. Lien entre matrices orthogonales et matrices antisymétriques. Montrer que, pour toute matrice A, on a (e A ) t = e At où A t est la matrice transposée. En déduire : (a) si A est symétrique (A t = A), alors e A l est aussi ; (b) si A est antisymétrique (A t = A), alors B = e A est une matrice orthogonale (i.e., B t = B 1 ). C4 : Brève introduction aux équations différentielles aux dérivées partielles Les EDO concernent des fonctions d une variable réelle, et les équations différentielles aux dérivées partielles (EDP) concernent des fonctions de plusieurs variables : f = f(x 1,..., f n ). C est un très vaste sujet, et nous donnons ici seulement quelques notions de base pour permettre au lecteur de commencer à se faire une idée de la nature mathématique de ces questions. Les EDP les plus importantes proviennent de la physique. Nous supposons que le lecteur a déjà utilisé de façon naïve des dérivées partielles : par exemple, pour une fonction f(t, x, y), on les note t f, x f, y f, et 2 xf = x ( x f) pour une dérivée partielle seconde, ou aussi parfois f t, f x, f y, resp. f xx, etc. Voici une liste de quelques EDP fondamentales : 12

Exemple 1 : l équation de la chaleur. La distribution de la chaleur sur un bâton (coordonnée x) au temps t obéit à l équation de la chaleur (où C > 0 est une constante) (EqCh1) t f(x, t) = C 2 xf(x, t). Si, au lieu d un bâton (une dimension) on prend une plaque (deux dimensions ; coordonnées x, y), cette équation devient (EqCh2) t f(x, y, t) = C ( 2 xf(x, y, t) + 2 yf(x, y, t) ) ou encore pour un corps en trois dimensions spatiales (EqCh3) t f(x, y, z, t) = C ( 2 xf(x, y, z, t) + 2 yf(x, y, z, t) + 2 zf(x, y, z, t) ). Pour que la solution soit bien déterminée, il faut préscrire une distribution de température au temps t = 0 : f(x, 0) = h(x), resp. f(x, y, 0) = h(x, y), avec h une fonction donnée (condition initiale). Si les bouts du bâton (de coordonnées x = 0 et x = l > 0) sont maintenus à température donnée, on a une condition de bord supplémentaire, comme par exemple f(0, t) = 0, f(l, t) = 0 ( bouts frigofiées ). Exemple 2 : l équation des ondes, resp. de la corde vibrante. C est l EDP (EqOn1) 2 t f(x, t) = C 2 xf(x, t), avec une constante C > 0, qui décrit la vibration d une corde (coordonnée x) en fonction du temps t, resp. d une membrane (coordonnées x, y), resp. des phénomènes d onde (coordonnées x, y, z) : (EqOn2) 2 t f(x, y, z, t) = C ( 2 xf(x, y, z, t) + 2 yf(x, y, z, t) + 2 zf(x, y, z, t) ). Comme dans l exemple précédent, la physique motive d imposer des conditions initiales et des conditions de bord. Exemple 3 : l équation du potentiel. Pour une fonction de trois variables f(x, y, z), c est l équation (EqPot) 2 xf(x, y, z) + 2 yf(x, y, z) + 2 zf(x, y, z) = 0. On l abrègre souvent sous la forme f = 0, et une fonction telle que f = 0, est dite harmonique. Exemple 4 : l équation de transport. C est l EDP, avec une fonction d une variable réelle v(x), (EqTrp) v(x) x f(x, t) + t f(x, t) = 0. Exemple 5 : les équations de Cauchy-Riemann. C est un système de deux EDP pour une fonction R 2 R 2, (x, y) (f(x, y), g(x, y)) : (EqsCR) y f(x, y) = x g(x, y), x f(x, y) = y g(x, y). 13

Calcul différentiel dans R n Nous donnons les définitions et les faits fondamentaux concernant les dérivées partielles, puis proposons l étude de quelques propriétés des exemples précédentes sous forme d exercice. On abrègre V := R n, et soit toujours f : U R m définie sur une partie ouverte non-vide U V. Pour étudier f près d un point x U, on s intéresse au taux de variation dans une direction v V. Si v est l un des vecteurs e 1,..., e n de la base canonique, cela donne les dérivées partielles usuelles, mais il n y a aucune raison de se restreindre aux directions parallèles aux axes : C4.1. Définition. Soit x U et v V. La dérivée directionnelle d une fonction f : V U R m en direction de v, et au point x U, est la limite, si elle existe, v f(x) = d f(x + tv) f(x) f(x + tv) = lim. dt t=0 t 0 t (C est le taux de variation de f au point x en direction de v.) On dit que f est de classe C 1 si, pour tout v V et tout x U, la limite v f(x) existe et si pour tout v la fonction v f : U R m, x v f(x) est continue. La dérivée partielle de f par rapport à la i-ième variable est la dérivée directionnelle en direction du vecteur e i de la base canonique ; on a les notations suivantes f (x) := i f(x) := ei f(x) = d f(x + te i ). x i dt t=0 On la calcule en gélant les variables x j pour j i et en dérivant ensuite par rapport à x i de la façon usuelle. Si n = 3, et si les variables s appellent, par exemple, (x, y, t), on écrit aussi x f ou 1 f ou f x pour la dérivée partielle par rapport à la première variable (x ici), etc. Remarque. On se ramène facilement au cas m = 1 car les limites se calculent composante par composante (Lemme C2.6) ; ainsi si f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)), alors i f(x) = ( i f 1 (x),..., i f m (x) ). C4.2. Lemme. Si f et g sont de classe C 1, alors f + g et λf (pour λ R) le sont aussi, et on a les règles de calcul v (f + g) = v f + v g, v (λf) = λ v f. Si m = 1, le produit f g est aussi C 1, et on a la règle de Leibniz v (f g) = g v f + f v g. C4.3. Théorème. Pour une application f : U R m sont équivalents : (i) f est de classe C 1 ; (ii) pour i = 1,..., n, les dérivées partielles i f existent sur U et y sont continues. 14

Dans ce cas, pour tout x U, l application dite la différentielle de f au point x f (x) ou : Df(x) : V R m, v v f(x) est une application linéaire, i.e., pour tout v, w V = R n et r R, on a (1) v+w f(x) = v f(x) + w f(x), (2) rv f(x) = r v f(x). Corollaire : en écrivant v = n i=1 v ie i, il s ensuit que v f(x) = n v i i f(x). i=1 Autrement dit, la matrice Jf(x) décrivant Df(x) par rapport à la base canonique, dite la matrice jacobienne, est donnée par (J) Jf(x) = ( j f i ) i=1,...,m j=1,...n Si n = m = 1, c est une matrice 1 1, qui s identifie au nombre réel f (x). Remarque (cf. cours Analyse 2). La différentielle donne une première approximation de f près du point x : il existe un développement limité f(x + h) = f(x) + Df(x)h + o(h), où o(h) o(h) est un terme tel que lim = 0. h 0 h C4.4. Exemple. (0) Une fonction constante f est C 1 avec différentielle Df(x) = 0. (1) Soit f(x) = n i=1 a ix i = Ax une fonction linéaire, où A = ( ) a 1... a n est la matriceligne décrivant f. Alors f est de classe C 1, et sa différentielle est Df(x)v = v f(x) = lim t 0 A(x + tv) Ax t. = lim t 0 Ax + tav Ax t = Av. C est linéaire en v, et la fonction x f (x) = Df(x) est constante, ou encore: Jf(x) = A. (2) Soit f(x) = n i,j=1 b ijx i x j = x t Bx avec B = (b ij ) i,j=1,...,n une fonction quadratique (revoir C1, ex. 1 (a) (d), cf. aussi C1 ex 4.) On peut supposer que b ij = b ji. Par un calcul similaire à celui de (1), on montre que f est C 1 et Df(x)v = x t Bv + v t Bx = 2x t Bv. C est linéaire en v, et la fonction f (x) = Df(x) est de degré 1, ou encore: Jf(x) = 2x t B. (3) En prenant sommes et produits, il s ensuit que toute fonction polynomiale est C 1. C4.5. Théorème (composée). Si f : U R m et g : U R k sont de classe C 1 et si f(u) U R m, alors g f est de classe C 1, et (g f) (x) = g (f(x)) f (x), ce qui s écrit aussi D(g f)(x) = Dg(f(x)) Df(x) (où le point signifie la composée de deux applications linéaires), ou encore J(g f)(x) = Jg(f(x)) Jf(x) (où le point signifie le produit de deux matrices). En utilisant la formule (J) et celle du produit de matrices, cela s écrit aussi j (g f) i (x) = m k g i (f(x)) j f k (x). (J ) k=1 15

Quand f est bijective, on écrit souvent y(x) := f(x), et on interprète x y(x) comme un changement de variables. La formule (J ) décrit alors le passage aux nouveaux coordonnées. C4.6. Définition. On dit que f est de classe C 2 si elle est C 1 et, pour tout v V, v f est à son tour de classe C 1. Dans ce cas, les dérivées partielles mixtes u ( v f) existent pour tout u et v. Ainsi de suite, on définit les classes C k et C. Notation : pour U R n, C (U, R m ) := {f : U R m f de classe C }. C4.7. Théorème ( Théorème de Schwarz ). Si f est de classe C 2, alors pour tout u, v R n et x U, on a v u f(x) = u v f(x). En particulier, pour i, j = 1,..., n, on a égalité des dérivées partielles mixtes ( f)(x) = x i x j ( f)(x). x j x i Attention : le théorème devient faux si les dérivées secondes existent mais ne sont plus continues (voir la feuille de TD hors série, ex. 8 (a) pour un contre-exemple). Remarque. Les théorèmes C4.3, C4.5 et C4.7 sont les résultats fondamentaux pour le calcul différentiel en plusieurs variables. On les admet ici ; la preuve sera donnée en cours Analyse 2 (voir aussi le livre Calcul différentiel topologique élémentaire, Calvage et Mounet 2011, cf. lien ici, pour une présentation de cette matière au niveau L2). C4.8. Notations et définition. On écrit 2 f(x) = x 2 i x i ( x i f)(x), et vf 2 := v ( v f), etc. Si α = (α 1,..., α n ) N n est un multi-index, on écrit α f := α x α f := α 1 1 αn n f. Le degré de dérivation dans l expression α f est α = α 1 +... + α n. On appelle opérateur (linéaire) toute application linéaire Φ qui à une fonction f associe une autre fonction Φ(f). Par exemple, v : C (U) C (U), f v f est un opérateur linéaire. On dit que deux opérateurs Φ et Ψ commutent si Φ Ψ = Ψ Φ. Ainsi le lemme de Schwarz dit que les opérateurs v et u commutent, pour tout u, v R n. Un opérateur différentiel linéaire est un opérateur donné par une somme finie de la forme Df(x) := α N n a α (x) α f(x) où x a α (x) sont des fonctions (supposées différentiables). Une EDP linéaire est une équation de la forme Df = u, où D est un opérateur différentiel linéaire, et u est une fonction donnée. Si u = 0, l équation est dite homogène. Son degré ou ordre est celui du plus haut terme, i.e., le plus grand α tel que a α n est pas identiquement nulle. C4.7 Exemples. Pour simplifier, supposons que n = 2. (1) D = := 2 1 + 2 2 (opérateur laplacien), Df = 0 est l équation du potentiel (2) D = 2 1 C 2 2 (C > 0, opérateur d alembertien), Df = 0 est l équation des ondes 16

(3) D = 2 1 C 2 (C > 0, opérateur de la chaleur), Df = 0 est l équation de la chaleur (4) D = a 1 (x) 1 + 2 : on appelle Df = 0 l équation de transport. Toutes ces exemples sont des équations homogènes. L ensemble des solutions {f Df = 0} est alors un espace vectoriel, qui peut être très grand. Dans un contexte physique, la solution doit souvent satisfaire à des conditions de bord ou de valeurs initiales, ce qui rend en général la solution unique. Nous revenons maintenant sur les examples donnés en début de chapitre. Il n est pas question ici de les traîter systématiquement : chaque exemple mériterait au moins un chapitre à part. Nous allons revenir sur quelques exemples quand nous aurons à notre disposition quelques outils importants, dont la théorie des séries et transformations de Fourier. Exercices pour le complément C4 1. L équation de la chaleur. Considérons l équation de la chaleur unidimensionnelle Df(x, t) = 0 avec D := 1 2 C 2 = t C 2 avec C > 0 (on posera c := C), ie., x 2 (EqCh1) f(x, t) = 2 c2 f(x, t). t x2 (A) Une solution fondamentale : noyau de la chaleur. Calculer, pour t > 0, les dérivées partielles de la fonction f(x, t) = 1 Ct e x2 4Ct, (dit le noyau de la chaleur) et vérifier qu il s agit d une solution de (EqCh1). Étudier cette fonction : étudier, pour t > 0 fixé, la fonction x f(x, t) (maximums, points d inflexion...), et dessiner, pour plusieurs valeurs de t fixées, les graphes dans un même schéma. Si on fixe x R, la limite lim t 0 f(x, t), existe-t-elle? Peut-on définir une fonction f(0, x)? (B) Séparation des variables. On cherche d autres solutions de la forme particulière (S) f(x, t) = X(x)T (t) avec deux fonctions d une seule variable, X(x) et T (t), supposées non-nulles. En supposant f de cette forme, calculer les dérivées partielles, remplacer dans (EqCh1) et regrouper les termes en x d un coté et les termes en t de l autre coté. Conclure qu il existe une constante λ R telle que X = λx, T = CλT. En distinguant les cas λ > 0, λ = 0, λ < 0, donner les solutions possibles, et vérifier qu on obtient en effet ainsi une infinité de solutions de (EqCh1). Est-ce que la solution décrite dans la partie (A) se trouve parmi ces solutions? (C) Condition de bord. On impose maintenant la condition de bord f(0, t) = 0 = f(l, t) pour un l > 0 fixé (l = la longueur du bâton : les bouts du bâton sont maintenus à température constante 0). En supposant f(x, t) de la forme X(x)T (t) comme ci-dessus, montrer que, si λ 0, seulement la solution triviale X = 0 peut satisfaire cette condition de bord. 17

Supposons donc λ > 0 et écrivons λ = k 2. Montrer qu alors, pour tout n N, les solutions possibles de la forme X(x)T (t) sont précisément celles de la forme f n (x, t) = a n e λ2 n t sin( nπ l x), avec λ n = cnπ l, a n R. (D) Superposition. Montrer que l opérateur de la chaleur D est linéaire (par rapport à f), et en déduire que, si f et g sont solutions de l équation de la chaleur, alors toute combinaison linéaire λf + µg l est aussi. De plus, si f et g satisfont la condition de bord (C), il en est de même pour λf + µg. Conclure que toute somme de la forme f(x, t) := N a n e λ2 n t sin( nπ l x) est également une solution de (EqCh1) avec conditions de bord. n=1 (E) Condition initiale. Si f est comme dans la partie précédente, calculer f(x, 0). En déduire une solution satisfaisante à la condition initiale u(x) = sin(π x l ). Problème : étant donnée une fonction u(x) quelconque telle que u(0) = 0 = u(l), peuton trouver N et des coefficients a 1,..., a N tels que f vérifie la condition initiale f(x, 0) = u(x)? Ou au moins, tels que cette condition soit approximativement vérifiée, avec une précision aussi grande que l on veut? Réponse : voir la théorie des séries de Fourier. 2. L équation de la chaleur deuxdimensionnelle. Considérons l équation de la chaleur deuxdimensionnelle (EqCh2) t f(x, y, t) = c2( 2 2 f(x, y, t) + x2 y f(x, y, t)). 2 Procéder selon les étapes (A) (D) de l exercice précédent. Pour les conditions de bord, on considérera une plaque rectangulaire {(x, y) 0 x l 1, 0 y l 2 }, dont les bords sont maintenus à température constante (zéro, par exemple). 3. L équation du potentiel sur un rectangle. On cherche les fonctions f(x, y) tels que f = 0 sur une partie U R 2 à préciser plus tard. [Physique: on peut penser à des solutions de (EqCh2) qui sont stationnaires, i.e., qui ne dépendent pas du temps t. Intuitivement, ces solutions devaient se mettre en place si on attend très longtemps : après un temps d attente infini, la distribution de la temperature ne devait plus bouger, elle serait donc stationnaire.] (A) Séparation des variables. Cherchons des solutions de la forme f(x, y) = u(x)v(y). Suivant la même démarche comme dans les exercices précédents, en déduire des EDO satisfaites par u(x) et v(y) ; les résoudre. (B) Condition de bord. Supposons que U R 2 est un rectangle et que f(x) = 0 si x appartient au bord du rectangle. Lequelles parmi les solutions du point (A) satisfont cette question? Même question si U est une bande ( rectangle de longueur infinie ) ; Même question si U est un demi-plan (p.ex., le demi-plan {(x, y) y 0}). 18

4. Équation de la corde vibrante. Considérons l équation de la corde vibrante Df(x, t) = 0 avec D := 1 2 C 2 2 = 2 C 2 avec C > 0 (on posera c := C), ie., t 2 x 2 (EqOn1) 2 f(x, t) = 2 c2 f(x, t). t2 x2 (A) Changement de variable. Vérifier de façon directe : f(x, t) = h(x ct) + g(x + ct) avec h, g de fonctions C 1 d une variable, est solution de (EqOn1). Montrer que toute solution sur R 2 est obtenue de cette façon : résoudre d abord l EDP (1) x y u(x, y) = 0 et montrer que la solution générale est de la forme u(x, y) = H(x)+G(y) avec des fonctions H et G définies sur R. Ensuite, montrer par le changement de variables ξ := x ct et τ = x + ct, que (EqOn1) se ramène à (1) ; conclure. (Remarque : cette solution n est utile que s il n y a pas de condition de bord ( onde libre ).) (B) Séparation des variables. On cherche des solutions de la forme particulière (S) f(x, t) = X(x)T (t) avec deux fonctions d une seule variable, X(x) et T (t), supposées non-nulles. Comme ci-dessus, montrer qu il existe une constante λ R telle que X = λx, T = λct. En distinguant les cas λ > 0, λ = 0, λ < 0, donner les solutions possibles, et vérifier qu on obtient en effet ainsi une infinité de solutions de (EqOn1). (C) Condition de bord. On impose maintenant la condition de bord f(0, t) = 0 = f(l, t) pour un l > 0 fixé (l = la longueur de la corde : les bouts de la corde sont fixés, donc amplitude 0). En supposant f(x, t) de la forme X(x)T (t) comme ci-dessus, montrer que, si λ 0, seulement la solution triviale X = 0 peut satisfaire cette condition de bord. Supposons donc λ < 0 et écrivons λ = k 2. Montrer qu alors, pour tout n N, les solutions possibles sont précisément de la forme, pour n N, f n (x, t) = sin( nπ l x)( a n sin( cnπ l t) + b n cos( cnπ l t)) avec a n, b n R. Pour n = 1, c est le son fondamental ou la fréquence fondamentale, et les harmoniques d un son musical sont des fréquences multiples entiers de cette première harmonique. (D) Superposition. Montrer que l opérateur d Alembertien D est linéaire (par rapport à f), et en déduire que, si f et g sont solutions de l équation de la corde vibrante, alors toute combinaison linéaire λf + µg l est aussi. De plus, si f et g satisfont la condition de bord (C), il en est de même pour λf + µg. Conclure que toute somme de la forme f(x, t) := N a n e λ2 n t sin( nπ l x) n=1 est également une solution de (Eq) avec conditions de bord. 19

(E) Condition initiale. Si f est comme dans la partie précédente, calculer f(x, 0). Problème : étant donnée une fonction u(x) telle que u(0) = 0 = u(l), peut-on trouver N et des coefficients a 1,..., a N tels que f vérifie la condition initiale f(x, 0) = u(x)? Réponse : voir la théorie des séries de Fourier. 5. L équation du potentiel sur un disque. Soit R > 0. On cherche les fonctions f(x, y) tels que f = 0 et f(x, y) = u 0 (x, y) si x 2 + y 2 = R 2 (condition de bord sur le cercle de rayon R: distribution de charge donnée par une fonction u 0 sur ce cercle). (A) Coordonnées polaires. Pour (x, y) (0, 0), posons x = r cos φ, y = r sin φ et F (r, φ) := f(x, y) avec r > 0 et φ [0, 2π[. La condition de bord s écrit alors F (R, φ) = U 0 (φ) avec une fonction U 0 : [0, 2π] R telle que U 0 (0) = U 0 (2π). Admettons le résultat suivant ( Laplacien en coordonnées polaires ) : ( f)(r cos φ, r sin φ) = ( 2 r F + 1 r rf + 1 r 2 2 φf )(r, φ). Facultatif : démontrer cette formule (on a besoin de le règle de composition pour différentier des fonctions de plusieurs variables ; cf. cours Analyse 2 ). (B) Séparation des variables. Cherchons des solutions de la forme F (r, φ) = R(r)Φ(φ). Suivant la même démarche comme dans les exercices précédents, en déduire des EDO satisfaites par R(r) et Φ(φ) ; résoudre d abord celle pour Φ (ne retenir que des solutions telles que Φ(0) = Φ(2π)), puis celle pour R (ne retenir que des solutions telles que lim r 0 R(r) existe dans R). Conclure qu on obtient ainsi les solutions, pour n N, F n (r, φ) = (a n cos(nφ) + b n sin(nφ))r n. 6. Problème : Equation de la membrane vibrante. Par un passage aux coordonnées polaires, puis une séparation des variables, traîter l équation de la membrane vibrante 2 t f(x, y, t) = C( 2 xf(x, y, t) + 2 yf(x, y, t)) avec condition de bord f(x, y, t) = 0 sur le cercle x 2 + y 2 = 1 et conditions initiales f(x, y, 0) = u(x, y), t f(x, y, 0) = v(x, y). (Indication : suivant le modèle de l exercice précédent : séparation, en coordonnées polaires, des 3 variables r, φ, t ; l EDO pour r est maintenant plus difficile à résoudre : au lieu des fonctions r n, obtient comme solutions des fonctions de Bessel.) 7. Fonctions holomorphes et équations de CR. Soit F : C C une fonction holomorphe (= C-différentiable). En écrivant F (x+iy) = f(x, y)+ig(x, y), et en prenant des limites en direction des deux axes, montrer que (f, g) : R 2 R 2 satisfait les équations de Cauchy-Riemann (EqsCR). Facultatif. Montrer que la réciproque est vraie aussi. 8. Équations de Cauchy-Riemann et fonctions harmoniques. Montrer que si (f, g) : R 2 R 2 est C 2 et satisfait les équations de Cauchy-Riemann (EqsCR), alors f et g sont harmoniques : f = 0 et g = 0. (Indication : utiliser le lemme de Schwarz.) 9. Polynômes harmoniques. Soit f(x, y) un polynôme homogène de deux variables de la forme f(x, y) = k n=0 a n,k n x n y k n. Supposons que f est harmonique : f = 0. En déduire une relation de récurrence pour les coefficients a n,k n et montrer que f(x) est la partie réelle d un polynôme de la forme F (x + iy) = λ(x + iy) k avec λ C. 20

C5 : Compléments sur l analyse de Fourier L analyse de Fourier se décline en deux versions : (A) une version discrète : la théorie des séries de Fourier ; (B) une version continue : la théorie de la transformée de Fourier. Le cours Analyse 3 comprend une introduction succinte au sujet (A). Le sujet (B) est tout aussi important de plus, il fournit une excellente occasion de mettre en œuvre les intégrales impropres. Commençons par revoir (A) : C5.1. Séries de Fourier : résumé. La théorie a pour objet la relation entre deux objets duaux l un de l autre : d une part, les fonctions périodiques f : R C, et d autre part, les coefficients de Fourier (c k ) k Z. Etant donnée f, on trouve les c k par la formule c k (f) = 1 L L 0 f(t)e 2πikt L Etant donnée les coefficients (c k ) k Z, on obtient f comme série f(t) := lim N N k= N dt. c k e 2πikt L. Sous certaines conditions sur f, resp. sur les c k, ces deux constructions sont réciproques l une de l autre. Ainsi, pour des bonnes fonctions (classe C 1, par exemple), on a une formule d inversion (I) f(x) = k= c k (f)e 2πikt L. Cette correspondance entre fonctions périodiques f et coefficients (c k ) k Z a des relations remarquables avec les opérations usuelles sur les fonctions : par exemple, elle met en relation le produit usuel avec le produit de convolution et la différentiation avec la multiplication par 2πik ; finalement, cette correspondance est une isométrie dans le sens qu elle vérifie l égalité de Parseval. D un point de vue un peu plus abstrait, les fonctions périodiques doivent être vues commes de fonctions f : S 1 C, définies sur le cercle S 1, et les coefficients de Fourier comme une fonction c : Z C, k c k définie sur les entiers Z. On remarque que (S 1, ) et (Z, +) sont des groupes. Dans la théorie de la transformée de Fourier, la paire de groupes duaux (S 1, ; Z, +) sera remplacée par la paire de groupes duaux (R+; R, +) : C5.2. Définition. L intégrale de Fourier d une fonction f : R C est définie par Ff(y) := f(y) := f(x)e 2πixy dx pour y R tel que cette intégrale impropre existe. Si c est le cas pour tout y R, la fonction Ff := ˆf : R C, y ˆf(y) s appelle la transformée de Fourier de f. Dans la suite, on expliquera quelques faits fondamentaux sur la transformée de Fourier : on a un analogue de la formule d inversion (I), à savoir, pour des bonnes fonctions f : ˆf( x) = f(x), i.e. : f(x) = 21 ˆf(y)e 2πiyx dy, (I )

et la transformée de Fourier a des liens intéressants avec les opérations usuelles sur les fonctions. Il y a aussi un analogue de l égalité de Parsevel, qui s appelle la formule de Plancherel. C5.3. Remarque. A part la transformation de Fourier, il existe de nombreuses autres transformations intégrales, par exemple, en TD on regardera aussi Lf(s) := f(t)e st dt, la transformation de Laplace d une fonction f : R + C. La forme 0 générale d une transformation intégrale est (T f)(y) := f(x)k(x, y) dx J où K : I J C est une fonction noyau, i.e., une fonction de deux variables (x, y) I J, où I et J sont deux intervalles. Si les intégrales (propres ou impropres) existent, il est clair qu on a T (f + g) = T f + T g et T (λf) = λt f, i.e., T est un opérateur linéaire, définie sur un espace de fonctions. Noter que la formule pour (T f)(y) est un analogue continu de la formule produit matrice vecteur (Av) i = a ij v j j=1,...,k (i correspond à y, j à x, v à f, K(x, y) à a ij et la somme à l intégrale). Pour que T soit vraiment identifié comme opérateur, il faut aussi spécifier l espace vectoriel de départ V et son espace d arrivée W. Commençons par décrire quelques espaces de fonctions : C5.4. Définition. (1) Une fonction f : R C est dite à décroissance modérée s il existe une constante A R + telle que, pour tout x R, on a f(x) < A 1. On note M(R) 1+x 2 l ensemble des fonctions continues à morceaux qui sont à décroissance modérée. (2) L espace de Schwartz S(R) est l ensemble des fonctions f : R C de classe C telles que f, ainsi que toutes les dérivées f (k), sont à décroissance rapide, i.e., pour tout k, n N, il existe une constante C R + telle que, pour tout x R, f (k) (x)x n < C. (3) Finalement, on note Cc (R) l ensemble des fonctions C à support compact, i.e., les f : R C de classe C telles qu il existe N N de sorte que f(x) = 0 si x > N. Alors, on a les inclusions (R) S(R) M(R), C c et chacune des inclusions est stricte (la gaussienne f(x) = e x2 appartient à S(R), mais pas à Cc (R) ; la fonction f(x) = 1 appartient à M(R), mais pas à S(R)). De plus, 1+x 2 l espace Cc (R) contient beaucoup de fonctions (feuille 1 de TD). C5.5. Lemme. Soit f M(R). Alors sa transformée de Fourier ˆf existe. C5.6. Exemples. (1) Soit f(x) = 1 [ a,a] pour a > 0 la fonction porte. Alors f M(R), et sa transformée de Fourier est le sinus cardinal ˆf(y) = sin(2πay). πy (2) La fonction f λ (x) := e λ x pour λ > 0 est continue et à décroissance rapide. Par un calcul direct on trouve que 2λ ˆf λ (y) = λ 2 + 4π 2 y. 2 22

Remarque : pour λ >> 1, le graphe de la fonction f λ est localisée près de l origine, et celui de ˆf λ est très large ; pour λ << 1, on a une situation réciproque. Ceci est une manifestation de la relation d incertitude entre temps et fréquence : on ne peut pas localiser simultanément les descriptions temporelles et fréquencielles. C5.7.Théorème (règles de calcul). Pour tout f M(R), (1) τ a f(y) = e 2πiay ˆf(y) où (τa f)(x) = f(x + a) est la translatée de f par a ; (2) τ a ˆf est la transformée de la fonction x e 2πixa f(x) ; (3) la transformée de x f(rx) pour r > 0 est r 1 ˆf(r 1 y) ; (4) ˆf est (im)paire si f est (im)paire ; (5) Posons f (x) := f( x). Alors on a f = ˆf. En particulier, si f( x) = f(x), alors ˆf est réelle. (6) Si f S(R), alors f (y) = 2πiy ˆf(y). (7) Si f S(R), alors f est de classe C, et alors d dy ˆf(y) est la transformée de la fonction x 2πixf(x). (8) Si f, g S(R), alors la convolution de f et de g (f g)(x) := f(t)g(x t) dt existe, et on a f g = ˆf ĝ, f g = ˆf ĝ. Exercice. Montrer que la convolution est bilinéaire, commutative et associative. C5.8. Théorème-Exemple. Soit f(x) = e πx2 la gaussienne. Alors on a ˆf = f. Le calcul de cette intégrale de Fourier est un grand classique d analyse : d abord, on montre que I := e πt2 dt = 1 (par exemple, en écrivant I 2 comme une intégrale sur R 2, puis en passant en coordonnées polaires). Ensuite, en utilisant les règles (6) et (7) du théorème, on montre que ˆf est solution de la même équation différentielle que f, à savoir f (x) = 2πxf(x). On conclut par unicité de la solution, en connaissant la valeur I = ˆf(0) = f(0). C5.9. Corollaire. Pour r > 0, soit K r (x) := 1 r e πx2 r. Alors K r (y) = e πry2. C5.10. Théorème. Le famille (K r ) r>0 est un bon noyau, i.e., elle vérifie : (a) K r(x)dx = 1 ; (b) il existe une constante M telle que K r(x) dx < M ; (c) pour tout δ > 0, on a lim r 0 ( δ K r(x) dx + δ K r (x) dx ) = 0. 23

Il s ensuit que, pour toute fonction f S(R), et si r n 0, on a convergence uniforme f K rn f (n ). Les propriétés (a), (b), (c) signifient que la masse de K r se concentre à l origine pour r 0. On dit aussi que K rn tend vers la distribution de Dirac, et que celle-ci est l élément neutre pour la convolution. C5.11. Lemme. Par f, g := f(t)g(t) dt on définit un produit scalaire sur S(R). On note f 2 := f, f la norme euclidienne correspondant à ce produit scalaire. C5.12. Théorème fondamental. Soit f, g S(R). Alors (1) formule de multiplication : f(x)ĝ(x) dx = ˆf(x)g(x) dx (2) formule d inversion : f(x) = ˆf(y)e 2πiyx dy (3) L application transformée de Fourier F : S(R) S(R), f ˆf est une bijection telle que (F F)f(x) = f( x). (4) formule de Plancherel : ˆf 2 = f 2, i.e., f(x) 2 dx = ˆf(y) 2 dy. Autrement dit, l application F : S(R) S(R) est une isométrie. La preuve de (1) est une application directe du théorème de Fubini ; celle de (2) utilise (1) avec f = K r, en faisant tendre r vers 0 ; (3) est une conséquence directe de (2), et finalement (4) s ensuit de (1) et (2) en utilisant C5.6 (5). C5.14. Remarque. La partie (4) implique que f, g = ˆf, ĝ. Ceci, ainsi que la formule d inversion, reste vrai sous des hypothèses plus générales (par exemple, que f ainsi que ˆf soient dans M(R)). Pour conclure. La transformation de Fourier prend sa véritable place dans la théorie des distributions, crée par le mathématicien Laurent Schwartz, cf. http://fr. wikipedia.org/wiki/laurent_schwartz (cf. aussi son autobiographie Un mathématicien aux prises avec le siècle ). Par exemple, cela donnera un sens rigoureux à la phrase la distribution δ 0 est l élément neutre pour la convolution, et sa transformée de Fourier est la fonction constante égale à 1. 24