Equations de Navier-Stokes à densité variable. Olivier Besson. Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel CH-2009 Neuchâtel (Suisse)

Equations de Navier-Stokes à densité variable Olivier Besson Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel CH-2009 Neuchâtel (Suisse) Cours donné durant le semestre d hiver 2004-05 Troisième Cycle Romand de Mathématiques

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Equations de Navier-Stokes à densité variable Olivier Besson Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel CH-2009 Neuchâtel (Suisse)

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Avant-propos Ces notes sont le fruit d un cours donné dans le cadre du Troisième Cycle Romand de Mathématiques durant le semestre d hiver 2004-2005. Le but de ce cours est de présenter une étude de l existence d une solution aux équations de Navier-Stokes incompressibles à densité variable. Celles-ci ont la forme suivante : équation de la conservation de la masse : (1) ρ + div(ρ u) = 0, équation de la conservation de la quantité de mouvement : (2) (ρu) incompressibilité du fluide : + div(ρu u) µ u + p = ρ f, (3) div u = 0. Le premier chapitre est consacré à l établissement de ces équations à partir des lois de la mécanique des milieux continus. Dans le deuxième chapitre on démontre l existence et l unicité de la solution de l équation (1) en utilisant une méthode nouvelle, basée sur la méthode des moindres carrés en espace-temps. Le troisième chapitre est consacré à la preuve de l existence et de l unicité des équations de Navier-Stokes incompressibles linéarisées associées aux équations (2) et (3). Les méthodes utilisées dans ce chapitres sont classiques. Finalement dans le chapitre 4 on démontre l existence d une solution du système couplé (1)-(3) en utilisant une méthode du point fixe. 3

4 Je remercie S. Kane, J. Narski, J. Straubhaar, M. Pick et C. Winkelmann, pour leur relecture attentive de ce document. Olivier Besson Neuchâtel, août 2005.

Table des matières 1 Introduction 7 1.1 Généralités............................ 7 1.2 Dérivation des équations de Navier-Stokes........... 9 1.2.1 Conservation de la masse................. 10 1.2.2 Incompressibilité du fluide................ 10 1.2.3 Conservation de la quantité de mouvement (voir [24]). 11 1.3 Rappels sur les espaces de Sobolev............... 13 2 Lois de conservation 17 2.1 Espaces de Hilbert........................ 18 2.1.1 Espaces de Hilbert.................... 18 2.1.2 Inégalité de Poincaré courbe............... 19 2.2 Théorème de Meyers-Serrin................... 20 2.3 Méthode des moindres carrés................... 22 2.3.1 Formulation faible.................... 22 2.3.2 Existence et unicité de la solution............ 22 2.3.3 Interprétation de la solution............... 24 2.3.4 Relèvement de la condition initiale........... 25 2.4 Principe du maximum...................... 26 2.4.1 Théorème de Stampacchia................ 26 2.4.2 Principe du maximum.................. 28 2.5 Solution renormalisée....................... 29 3 Equations de Navier-Stokes linéarisées 33 3.1 Introduction............................ 33 3.2 Les espaces utilisés........................ 34 3.2.1 A propos de l opérateur grad............... 36 3.2.2 Sur l espace H(div, ).................. 40 5

6 TABLE DES MATIÈRES 3.3 Théorèmes de compacité..................... 44 3.4 Formulation faible et estimations à priori............ 48 3.5 Théorèmes d existence et d unicité................ 53 3.6 Détermination de la pression................... 58 4 Navier-Stokes à densité variable 61 4.1 Introduction............................ 61 4.2 Convergence et existence..................... 62

Chapitre 1 Introduction 1.1 Généralités Le but de ce cours est d étudier l existence de solutions aux équations de Navier-Stokes incompressibles à densité variable. Ces équations apparaissent de façon importante par exemple dans les problèmes de prévision météorologiques : La densité de l air est variable. L écoulement de l air est décrit par les équations de Navier-Stokes. l écoulement est supposé incompressible. C est une approximation pas trop mauvaise pour des faibles vitesses. Cette approximation n est plus valable pour les écoulements rapides (autour d un avion ou dans une turbine à gaz par exemple). Ces équations proviennent de la mécanique classique. Elles font uniquement intervenir la conservation de la masse et la conservation de la quantité de mouvement. Elles ont la forme suivante. Equation de la conservation de la masse : (1.1) ρ + div(ρ u) = 0. Equation de la conservation de la quantité de mouvement : (1.2) (ρu) Incompressibilité du fluide : + div(ρu u) µ u + p = ρ f. (1.3) div u = 0. 7

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Dans ces équations, on a utilisé les notations suivantes. ρ = ρ(x, t) est la densité du fluide, u = u(x, t) est la vitesse du fluide, p = p(x, t) est la pression dans fluide, µ est la viscosité du fluide, f = f(x, t) est la densité de force agissant sur le fluide (par exemple la gravité, la force de Coriolis,... ) De manière plus précise, on se donne un domaine borné R d avec d = 2 ou 3, de frontière suffisamment régulière et on cherche ρ, u et p vérifiant les équations ci-dessus et vérifiant d autre part les conditions aux limites (1.4) u(x, t) = 0 pour (x, t) (0, T ), et les conditions initiales (1.5) u(x, 0) = u 0 (x) pour x, (1.6) ρ(x, 0) = ρ 0 (x) pour x. Remarquons qu à l heure actuelle, l existence d une solution forte aux équations (1.1-1.6) est un problème totalement ouvert. On va démontrer dans ce cours l existence d une solution faible à ces équations. Pour cela on va utiliser une méthode de point fixe associée aux équations (1.1) et (1.2). Pour l équation de Navier-Stokes (1.2), une méthode de Galerkin classique sera utilisée. Par contre pour la conservation de la masse (1.1) on va considérer des solutions au sens des moindres carrés en espace-temps. Cette méthode permet d éviter la technique des solutions renormalisées au sens de [13]. De manière heuristique, on va résoudre le problème de la manière suivante. On se donne u 0 : (0, T ) R d avec div u 0 = 0. Pour n 1 on résout successivement les problèmes suivants : 1. u n 1 étant donné, on cherche ρ n solution de ρ n + div(ρn u n 1 ) = 0 dans (0, T ), ρ n (x, 0) = ρ 0 (x), x. 2. Etant donné u n 1 et ρ n solution de l équation précédente, on cherche u n et p n solution de

1.2. DÉRIVATION DES ÉUATIONS DE NAVIER-STOKES 9 (ρ n u n ) + div(ρ n u n 1 u n ) µ u n + p n = ρ n f dans (0, T ), div u n = 0 dans (0, T ), u n (x, t) = 0 dans (0, T ), u n (x, 0) = u 0 (x), dans. On démontre ensuite que la suite (ρ n, u n ) admet une sous-suite convergente dans un sens à préciser. On vérifie enfin que la limite (ρ, u) est solution des équations (1.1-1.6). Les principales contributions à l étude des équations (1.1-1.6) sont les suivantes. Les travaux de A.V. Kazhikhov qui a été le premier à aborder ce problème dans les années 1975, voir [19]. Les travaux de R. Salvi dans les années 1980, où l auteur donne des améliorations importantes de la théorie, voir [23]. Les travaux de J. Simon dans les années 1990. L auteur généralise les travaux de Kazhikhov au cas de la densité évanescente, voir [26]. Les travaux le P.L. Lions qui généralisent les travaux de Simon, voir [22]. La fin de ce chapitre est consacrée à l établissement des équations de Navier- Stokes à densité variable à partir des équations de la mécanique des milieux continus. Finalement on donne un rappel sur sur les espaces de Sobolev classiques. 1.2 Dérivation des équations de Navier-Stokes Dans cette section on établit les équations de Navier-Stokes incompressibles à densité variable. Ces équations sont uniquement basées sur les équations de la mécanique classique (newtonienne), c est-à-dire de la conservation de la masse et de l équation de Newton. L incompressibilité sera une conséquence de la conservation du volume.

10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION 1.2.1 Conservation de la masse La densité de la masse, notée ρ = ρ(x, t) vérifie les propriétés suivantes. Si O est un volume quelconque de R d, la variation de la masse dans O est donnée ρ par (x, t) dx. Cette variation est compensée par le flux de masse au O bord de O, ce flux est donné par ( ρ u n ) ds, O où u est la vitesse du fluide dans O et n est le vecteur unité normal au bord de O, dirigé vers l extérieur. On utilise ici le fait que les particules de fluide se meuvent le long du flot u dont les trajectoires X sont les solutions de l équation différentielle Ẋ = u(x, t)). On obtient donc O ρ dx = O ( ρ u n ) ds, d où, en utilisant la formule de la divergence ρ + div(ρ u) dx = 0. Comme le volume O est arbitraire on a finalement (1.7) O ρ + div(ρ u) = 0, C est l équation de la conservation de la masse. 1.2.2 Incompressibilité du fluide Soit O t un volume transporté par le flot associé au champ de vecteur u ; c està-dire O t suit les lignes de courant x = x(y, t) avec ẋ(y, t) = u(x(y, t), t) et x(y, 0) = y. On note O 0 le volume initial au temps t = 0, alors O t = {x = x(y, t), y O 0 }. Le volume de O t est donné par V t = dx = O t J(y, t)dy O 0

1.2. DÉRIVATION DES ÉUATIONS DE NAVIER-STOKES 11 où J(y, t) est le jacobien de la transformation y x(y, t). La variation du volume V t est dv dt = J (y, t)dy. O 0 Il est facile de voir que J = J div u. Ainsi le fluide est incompressible (i.e. dv = 0) si et seulement si div u = 0. dt 1.2.3 Conservation de la quantité de mouvement (voir [24]) Pour la vitesse u, ou la quantité de mouvement ρ u, on utilise la même technique. Le principe de la conservation de la quantité de mouvement s exprime par (ρ u) dx = ρ fdx ρ u ( u n ) ds ( σ n ) ds, O O O O où f est la densité de force agissant sur le fluide dans O (gravité, force de Coriolis,... ), σ est le tenseur des contraintes et ( σ n ) est le vecteur des contraintes sur le bord de O. On fait l hypothèse que le tenseur σ est composé de deux termes : un terme correspondant aux effets de compression, un terme correspondant aux effets visqueux, et on écrit σ = p I + τ où p est la fonction pression et τ est le tenseur visqueux. Comme avant, en utilisant la formule de la divergence et en supposant que le volume O est arbitraire on obtient ou en composantes (ρ u i ) + (ρ u) d j=1 + div(ρu u) div τ + p = ρf x j (ρu j u i ) d j=1 τ ij x j + p x i = ρ f i 1 i d.

12 CHAPITRE 1. INTRODUCTION Un postulat de la mécanique des fluides est que le tenseur τ ne dépend que de u, ρ et éventuellement de la température. Nous supposerons pour simplifier que la température est constante. Ainsi τ = τ( u, ρ), en utilisant l hypothèse supplémentaire que τ est linéaire en u, invariant par translations et rotations et que le fluide est isotrope, on peut voir que τ est de la forme τ = λ div u I + 2µ D, où D = 1 ( ) u + u t 2 est le tenseur des déformations, λ et µ sont les coefficients de Lamé. Un fluide vérifiant la relation précédente pour τ est dit newtonien. Dans ce cas et pour un fluide incompressible, l équation de la conservation de la quantité de mouvement devient (1.8) (ρ u) Ce sont les équations de Navier-Stokes. Remarques + div(ρu u) µ u + p = ρf. On a établi les équations de Navier-Stokes incompressibles à densité variable (ρ u) ρ + div(ρ u) = 0, + div(ρu u) µ u + p = ρf, div u = 0. Ces équations peuvent également s écrire ρ (u) ρ + ( u ρ ) = 0, + ρ ( u ) u µ u + p = ρf,

1.3. RAPPELS SUR LES ESPACES DE SOBOLEV 13 En effet on a et (ρ u j ) div u = 0. div(ρu) = ρ div u + ( u ρ ) = ( u ρ ) ρ + div(ρu u) j = u j + ρ u j + (ρu i u j ) x i i ( ) ρ = u j + ( u ρ ) = ρ u j + ρ ( u ) u j. + ρ u j + ρ ( u ) u j 1.3 Rappels sur les espaces de Sobolev Dans tout ce cours, on suppose donné un domaine borné R d avec d = 2 ou 3. La frontière de est supposée suffisamment régulière, par exemple est lipschitzienne et possède la propriété de cône. On note D() l espace des fonctions C () à support compact dans et D () l espace vectoriel des distributions sur. Dans ce paragraphe, on rappelle quelques propriétés des espaces de Sobolev. Pour plus d informations, on peut consulter par exemple les livres de Nečas [21] ou de Adams [1]. On note H 1 () l espace de Sobolev (d ordre 1) défini par H 1 () = { φ L 2 (), φ L 2 () d}, où φ est pris au sens des distributions. L espace H 1 () est un espace de Hilbert pour le produit scalaire ( φ ψ ) H 1 () = φ ψ dx + ( φ ψ ) dx. On note d autre part H 1 0() = { φ H 1 (), φ = 0 sur }

14 CHAPITRE 1. INTRODUCTION où l évaluation de φ sur est prise au sens de la trace de H 1 () sur H 1/2 ( ). La semi-norme ( φ 1, = φ 2 ) 1/2 dx est une norme sur H 1 0() ; elle est équivalente à la norme induite par celle de H 1 (). Ce résultat est une conséquence de l inégalité de Poincaré-Friedrichs : Il existe une constante C = C() telle que pour tout φ H 1 0(), φ L 2 () C φ L 2 () d. Dès maintenant, l espace H 1 0() sera muni de la norme φ 1,, et du produit scalaire associé. Enfin l espace de Hilbert H 1 0() est également caractérisé par le théorème de densité (théorème de Meyers-Serrin) : H 1 0() est l adhérence dans H 1 () de D(). Soit φ H 1 () et notons φ l extension de φ à R d par 0 en dehors de. On a aussi la caractérisation suivante : φ H 1 0() φ H 1 (R d ). Un théorème que nous utiliserons souvent est le Théorème 1 (Théorème de Lax-Milgram) Soit H un espace de Hilbert sur R. Soit d autre part a : H H R une forme bilinéaire continue et vérifiant : il existe α > 0 tel que pour tout u H on ait a(u, u) α u 2 (on dit dans ce cas que a est coercitive sur H). Si l est une forme linéaire continue sur H, le problème : Trouver u H tel que a(u, v) = l(v), pour tout v H, admet une unique solution. La démonstration de ce théorème est basée sur le théorème de représentation de Riesz et sur le théorème des homomorphismes de Banach. Finalement, donnons encore un rappel concernant les espaces de vectoriels à valeur dans un espace de Banach E (voir [30, 27]). Pour p 1 on note L p (0, T ; E) l espace vectoriel des fonctions u : (0, T ) E mesurables au

1.3. RAPPELS SUR LES ESPACES DE SOBOLEV 15 sens de Bochner, qui sont de puissance p-ième intégrable au sens de Bochner. Une fonction u L p (0, T ; E) est caractérisée par T 0 u(t) p E C est un espace de Banach pour la norme dt <. ( T ) 1/p u L p (0,T ;E) = u(t) p E dt. 0 Si H est un espace de Hilbert sur R, l espace L 2 (0, T ; H) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire T ( u v ) L 2 (0,T ;H) = ( u(t) v(t) ) dt. Finalement l espace L (0, T ; E) est l espace des fonctions u : (0, T ) E, Bochner-mesurables et essentiellement bornées ; c est un espace de Banach. 0

16 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2 Lois de conservation Dans ce chapitre on étudie l existence et l unicité de la solution d une loi de conservation linéaire, ayant des coefficients peu réguliers, de la forme ρ (2.1) + div(ρ u) = g dans = (0, T ). On supposera dans ce chapitre que la vitesse advective u vérifie (2.2) u L 2 (0, T ; H 1 0()) d et div u = 0. La fonction ρ vérifie la condition initiale (2.3) ρ(x, 0) = ρ 0 (x). Remarque 1 a) On pourrait remplacer la condition (2.2) par u L () d et div u L () (voir [7]). b) On pourrait également avoir des conditions u 0 sur. Dans ce cas il faut rajouter des conditions aux limites sur ρ sur la partie éclairée par u de. L idée générale utilisée dans ce chapitre est de résoudre le système (2.1), (2.3) à l aide d une méthode des moindre carrés en espace-temps. De manière intuitive, soit J la fonctionnelle définie par ( ) 2 ξ J(ξ) = + div(ξ u) g dx dt. On cherche alors ρ vérifiant ρ = arg min J(ξ). ξ 17

18 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION On va démontrer dans ce chapitre que ce problème admet une unique solution dans un espace convenable. On démontrera également que la solution ainsi obtenue est une solution renormalisée au sens de Di Perna et Lions [13]. Dès maintenant nous utiliserons les notations suivantes. Pour u L 2 (0, T ; H 1 0()) d on note (2.4) ũ = (1, u 1, u 2,..., u d ) t L 2 (0, T ; H 1 ()) d+1. D autre part pour toute fonction φ suffisamment régulière sur, on définit ( φ (2.5) φ =, φ,..., φ ) t R d+1, x 1 x d et φ d (2.6) div(ũ φ) = + (φ u i ). x i 2.1 Espaces de Hilbert 2.1.1 Espaces de Hilbert Dès maintenant on supposera que i=1 ρ 0 L 2 (). Pour φ D() = D(R d+1 ), considérons la norme ( φ H(u,) = φ 2 L 2 () + 2 div(ũ φ) + L 2 () φ(x, 0) 2 dx) 1/2. On définit alors l espace H(u, ) comme le complété de D() pour cette norme : H(u, ) = D() H(u,). C est un espace de Hilbert pour le produit scalaire ( φ ψ ) H(u,) = φ ψdx dt + div(ũ φ) div(ũ ψ)dx dt + φ(x, 0) ψ(x, 0)dx. On définit enfin l espace H 0 (u, ) = {ρ H(u, ), ρ(x, 0) = 0}.

2.1. ESPACES DE HILBERT 19 2.1.2 Inégalité de Poincaré courbe On a le Théorème 2 (Inégalité de Poincaré courbe) Soit u L 2 (0, T ; H0()) 1 d, avec div u = 0. la semi-norme sur H(u, ) définie par ( ) 1/2 φ u, = div(ũ φ) 2 dx dt + φ(x, 0) 2 dx est une norme sur H(u, ) qui est équivalente à la norme canonique. Preuve On doit démontrer qu il existe une constante C > 0 telle que φ L 2 C φ u, pour tout φ D(). On a, pour toute fonction ξ suffisamment régulière, div(ũ φ) ξdx dt + div(ũ ξ) φdx dt = φ ξ ( ũ ñ ) dσ, où ñ est le vecteur normal unité au bord de, dirigé vers l extérieur de. Mais = (0, T ) {0} {T } et Ainsi div(ũ φ) ξdx dt + Choisissons ξ = (T t) φ, alors div(ũ φ) φ(t t)dx dt + 0 sur (0, T ) ( ũ ñ ) = 1 sur {0} 1 sur {T }. div(ũ ξ) φdx dt = φ(x, 0) ξ(x, 0) dx + φ(x, T ) ξ(x, T ) dx. ( ) div(ũ φ)(t t) φ φdx dt = T φ(x, 0) 2 dx,

20 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION d où φ 2 dx dt = 2 div(ũ φ) φ(t t)dx dt + T φ(x, 0) 2 dx 2T φ L 2 () div(ũ φ) + T φ(, 0) 2 L 2 L () 2 () 1 ( ) φ 2 L 2 2 () + 4T 2 2 div(ũ φ) + T φ(, 0) 2 L 2 L () 2 () et φ 2 L 2 () 4T 2 div(ũ φ) 2 L 2 () + 2T φ(, 0) 2 L 2 (). Dès maintenant l espace H(u, ) sera muni de la norme ρ u, et du produit scalaire ( ρ η ) 1,u = div(ũ ρ) div(ũ η)dx dt + ρ(x, 0) η(x, 0)dx. Pour étudier le cas où la condition initiale ρ 0 dans l équation (2.3) est nulle, on démontre de la même manière que la semi-norme ( ρ u, = est une norme sur l espace H 0 (u, ). ) 1/2 div(ũ ρ) 2 dx dt 2.2 Théorème de Meyers-Serrin Dans ce paragraphe on démontre le théorème suivant. Théorème 3 (Théorème de Meyers-Serrin) Soit u L 2 (0, T ; H 1 0()) ; si ρ L () avec div(ũ ρ) L 2 (), alors ρ H(u, ). Dans tout cette section, ω ɛ = ω ɛ (x) est une résolution de l identité dans R d et θ ɛ = θ ɛ (t) est une résolution de l identité dans R. Pour la preuve du théorème 3, on aura besoin de la

2.2. THÉORÈME DE MEYERS-SERRIN 21 Proposition 1 (Théorème de commutation) Soit v H 1 (), si φ L () et div(v φ) L 2 () alors lorsque ɛ 0. div(v φ) ω ɛ div(v (φ ω ɛ )) L 2 () 0 Preuve Voir [13] (lemme II.1), [8] (lemme 3.1) ou [2] (Théorème 3.2) pour la preuve de cette proposition qui est assez technique. On peut aussi consulter [17] (lemme 2.5) pour une preuve dans le cas où v est de classe C 1. Preuve du théorème 3 Posons ρ ɛ = ρ ω ɛ θ ɛ, alors ρ ɛ D() ; on a div(ũ ρ) div(ũ ρ ɛ ) = div(ũ ρ) div(ũ ρ) ω ɛ θ ɛ + div(ũ ρ) ω ɛ θ ɛ div(ũ ρ ɛ ). Il est clair que div(ũ ρ) div(ũ ρ) ω ɛ θ ɛ converge vers zéro dans L 2 () lorsque ɛ 0. D autre part Ainsi div(ũ ρ) ω ɛ θ ɛ div(ũ ρ ɛ ) = ρ ω ɛ θ ɛ + div(u ρ) ω ɛ θ ɛ div(ũ ρ) ω ɛ θ ɛ div(ũ ρ ɛ ) L 2 () ρ ɛ div(u ρ ɛ) = div(u ρ) ω ɛ θ ɛ div(u ρ ɛ ) = (div(u ρ) ω ɛ div(u (ρ ω ɛ ))) θ ɛ. et = (div(u ρ) ω ɛ div(u (ρ ω ɛ ))) θ ɛ L 2 () (div(u ρ) ω ɛ div(u (ρ ω ɛ ))) L 2 () (div(u ρ) ω ɛ div(u (ρ ω ɛ ))) 2 L 2 () = Comme T 0 (div(u ρ) ω ɛ div(u (ρ ω ɛ ))) 2 L 2 () dt. (div(u ρ) ω ɛ div(u (ρ ω ɛ ))) L 2 () est majorée par une fonction de carré intégrable et t, on obtient le résultat en utilisant la proposition 1 et le théorème de la convergence dominée de Lebesgue.

22 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION 2.3 Méthode des moindres carrés 2.3.1 Formulation faible On étudie dans cette section une formulation faible des équations (2.1),(2.3) et ρ + div(ρ u) = g dans = (0, T ) ρ(x, 0) = ρ 0 (x), associée à une méthode des moindres carrés en espace-temps. Pour cela, considérons la fonctionnelle convexe ( ) 2 J(ρ) = div(ũ ρ) g dx dt + (ρ(x, 0) ρ 0 ) 2 dx. La dérivée de Gâteau (ou dérivée directionnelle) de J est DJ(ρ)φ = lim (J(ρ + λφ) J(ρ)) λ ( ) = 2 div(ũρ) g div(ũφ) dx dt + 2 λ 0 1 (ρ(x, 0) ρ 0 ) φ(x, 0) dx. Ainsi une condition suffisante pour résoudre le problème ci-dessus est la formulation faible suivante. Trouver ρ H(u, ) tel que, pour tout φ H(u, ), (2.7) div(ũρ) div(ũφ) dx dt + ρ(x, 0) φ dx = g div(ũφ) dx dt + 2.3.2 Existence et unicité de la solution On est maintenant en mesure de démontrer le ρ 0 φ dx.

2.3. MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 23 Théorème 4 (Existence et unicité) Soient u L 2 (0, T ; H0()) 1 avec div u = 0 et ρ 0 L 2 (). Alors pour tout g L 2 (), le problème (2.7) : div(ũρ) div(ũφ) dx dt + ρ(x, 0) φ dx = g div(ũφ) dx dt + ρ 0 φ dx pour tout φ H(u, ), admet une unique solution ρ H(u, ). Preuve La forme bilinéaire a = a(ρ, φ) définie par a(ρ, φ) = div(ũρ) div(ũφ) dx dt + ρ(x, 0) φ(x, 0) dx est continue et coercitive sur H(u, ), car a(ρ, φ) = ( ρ φ ) 1,u. D autre part la forme linéaire l = l(φ) définie par l(φ) = g div(ũφ) dx dt + ρ 0 φ dx est continue sur H(u, ). Donc, par le théorème de Lax-Milgram, le problème (2.7) admet une unique solution dans H(u, ). Définition 1 La solution ρ du problème (2.7) est appelée solution au sens des moindres carrés, ou solution STILS (pour Space Time Integrated Least Squares), des équations (2.1), (2.3), voir aussi [3, 4, 5]. Remarque 2 Lorsque ρ 0 = 0 dans l équation (2.3), le problème (2.7) devient : Trouver ρ H 0 (u, ) tel que, pour tout φ H 0 (u, ), (2.8) div(ũρ) div(ũφ) dx dt = g div(ũφ) dx dt. Comme la semi-norme ( ρ u, = ) 1/2 div(ũ ρ) 2 dx dt est une norme sur l espace H 0 (u, ), le problème (2.8) admet une unique solution dans H 0 (u, ).

24 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION 2.3.3 Interprétation de la solution Donnons maintenant une interprétation de la solution de (2.7). Comme div u = 0 on a ( ) div(ũ ρ) = ũ ρ. Ainsi 0 = = = ( div(ũρ) g ) div(ũφ) dx dt + (( ) ) ( ) ũ ρ g ũ φ + ( ) ( ) ũ ρ ũ φ dx dt + (ρ(x, 0) ρ 0 ) φ(x, 0) dx, (ρ(x, 0) ρ 0 ) φ(x, 0) dx (ρ(x, 0) ρ 0 ) φ(x, 0) dx ( ) g ũ φ ) dx dt d où 0 = = ( (ũ ũ) ρ ) ( ) φ dx dt g ũ φ ) dx dt + (ρ(x, 0) ρ 0 ) φ(x, 0) dx ( (ũ ũ) ρ ) gũ φ dx dt + (ρ(x, 0) ρ 0 ) φ(x, 0) dx. Donc formellement (2.9) 0 = div(ũ ũ) ρ ( gũ)φ dx dt + (ũ ũ) ρ ) gũ ñ φ dσ + (ρ(x, 0) ρ 0 ) φ(x, 0) dx. En choisissant φ D() on obtient que ρ est solution de (2.10) div ((ũ ũ) ρ ) = div(ũ g)

2.3. MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 25 dans D (). Ainsi intuitivement on a remplacé la loi de conservation ρ + div(ρ u) = g dans par une équation de diffusion anisotrope ( div (ũ ũ) ρ ) = div(ũ g) dans. Remarquons que la matrice ũ ũ est de rang 1, et donc cette dernière équation n est pas elliptique. 2.3.4 Relèvement de la condition initiale On a vu que pour tout g L 2 () et tout ρ 0 L 2 () le problème ρ + div(ρ u) = g dans, ρ(x, 0) = ρ 0 (x). admet une unique solution au sens des moindres carrés. A partir de ce résultat, montrons qu on peut toujours supposer que ρ 0 = 0, quitte à modifier le second membre g. En effet soit ρ H(u, ) la solution de div(ũρ) div(ũφ) dx dt + ρ(x, 0) φ dx = g div(ũφ) dx dt + ρ 0 φ dx et η H(u, ) celle de div(ũη) div(ũφ) dx dt + η(x, 0) φ dx = ρ 0 φ dx, pour tout φ H(u, ). Alors ξ = ρ η est la solution de div(ũξ) div(ũψ) ( div(ũη)) dx dt = g div(ũψ) dx dt pour tout ψ H 0 (u, ). On s est donc ramené à un problème avec des conditions initiales homogènes.

26 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION 2.4 Principe du maximum Ce paragraphe est consacré à l établissement d un principe du maximum pour la solution au sens des moindres carrés de l équation avec la condition initiale ρ + div(ρ u) = g dans, ρ(x, 0) = ρ 0 (x). Pour cela on aura besoin du théorème à la Stampacchia [28]. 2.4.1 Théorème de Stampacchia Théorème 5 Soit ρ H(u, ) et pour tout λ R soit K λ = {(x, t) ; ρ(x, t) = λ}. Alors div(ũ ρ Kλ ) = 0. Pour la preuve de ce théorème, on utilisera le Lemme 1 Si ρ H(u, ), alors ρ H(u, ) et div(ũ ρ ) = sgn(ρ) div(ũρ), avec +1 si ρ(x, t) > 0 sgn(ρ(x, t)) = 0 si ρ(x, t) = 0 1 si ρ(x, t) < 0. Preuve du lemme 1 Pour ɛ > 0, soit f ɛ (t) = t 2 + ɛ, alors f ɛ (ρ) H(u, ) et div(ũf ɛ (ρ)) = f ɛ(ρ) div(ũρ) ρ = div(ũρ). ρ2 + ɛ On a f ɛ (ρ) 2 dx dt = ɛt + ρ 2 dx dt ɛ 0 ρ L 2 ()

2.4. PRINCIPE DU MAXIMUM 27 et ( f ɛ(ρ) div(ũρ) ) 2 dx dt = ɛ 0 ρ 2 ρ 2 + ɛ div(ũρ) 2 dx dt div(ũρ) 2 dx dt. Ainsi l ensemble {f ɛ (ρ)} ɛ>0 est borné dans H(u, ) et il existe une suite ɛ n 0, telle que f ɛn (ρ) n η dans H(u, ). Comme f ɛn (ρ) H(u,) ρ H(u,) si n et f ɛ (t) t si ɛ 0, on en déduit η = ρ H(u, ). Soit φ D() alors f ɛ(ρ) div(ũρ) φ dx dt = div(ũf ɛ (ρ)) φ dx dt Mais ɛ 0 div(ũ ρ ) φ dx dt. f ɛ(ρ) div(ũρ) φ sgn(ρ) div(ũρ) φ pp, et f ɛ(ρ) div(ũρ) φ div(ũρ) φ on obtient le résultat. Preuve du théorème 5 On peut supposer que λ = 0 ; c est alors une conséquence du lemme 1. En effet, lorsque ρ > 0, on a ρ = ρ et div(ũ ρ) = div(ũ ρ ) = sgn(ρ) div(ũ ρ). Si ρ = 0, alors sgn(ρ) = 0 et div(ũ ρ ) = 0. Soit maintenant ρ H(u, ), alors ρ = ρ + ρ, avec ρ + = 1 ( ρ + ρ), 2 et ρ = 1 ( ρ ρ). 2 D autre part (2.11) {(x, t), t.q. ρ(x, t) = 0} = { (x, t), t.q. ρ + (x, t) = 0 } { (x, t), t.q. ρ (x, t) = 0 }.

28 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION Comme ρ + et ρ sont deux fonctions positives, on a div(ũ ρ + ) = 0 sur { (x, t), t.q. ρ + (x, t) = 0 }, et d où div(ũ ρ ) = 0 sur { (x, t), t.q. ρ (x, t) = 0 }, div(ũ ρ) = 0 sur {(x, t), t.q. ρ(x, t) = 0}. 2.4.2 Principe du maximum On est maintenant en mesure de démontrer le théorème suivant. Théorème 6 (Principe du maximum) Soit ρ H(u, ) la solution au sens de moindres carrés de Si ρ 0 L (), alors ρ + div(ρ u) = 0 dans, ρ(, 0) = ρ 0 dans. ess inf ρ 0 ρ ess sup ρ 0. Preuve La solution ρ vérifie, pour tout φ H(u, ), div(ũ ρ) div(ũ φ) dx dt + ρ(x, 0)φ(x, 0) dx = Soit M = ess sup ρ 0 et posons ρ 0 φ(x, 0) dx. φ = (ρ M) + H(u, ), 1 = { (x, t), ρ M > 0 }, 1 = {(x, 0), x 1 }. A l aide du théorème 5 de Stampacchia et du lemme 1, on a div(ũ ρ) div(ũ (ρ M)) dx dt + ρ(ρ M) dx = ρ 0 (ρ M) dx, 1 1 1 comme div u = 0, on obtient div(ũ (ρ M)) 2 dx dt + (ρ M) 2 dx = (ρ 0 M)(ρ M) dx 0 1 1 1 car ρ 0 M. Ainsi 1 est de mesure nulle et donc ρ M. On démontre de même que ρ ess inf ρ 0.

2.5. SOLUTION RENORMALISÉE 29 2.5 Solution renormalisée Le but de cette section est de démontrer que toute solution au sens des moindres carrés de ρ + div(ρ u) = g dans, avec la condition initiale ρ(x, 0) = ρ 0 (x) dans est une solution renormalisée au sens de [13]. Donnons tout d abord quelques résultats complémentaires concernant l opérateur A : H 0 = H 0 (u, ) L 2 () φ Aφ = div(ũ φ). Pour cela rappelons que l espace H 0 est muni du produit scalaire ( φ ψ ) 1,u = Aφ Aψ dx dt, et la norme induite est équivalente à la norme usuelle sur cet espace. Théorème 7 (Inégalités Inf-Sup) a) Avec les hypothèses du cours, il existe une constante C > 0 telle que div(ũ φ) ψ dx dt C. inf φ H 0, φ 1 sup ψ L 2 (), ψ 1 b) Pour tout ψ L 2 (), ψ 0, sup φ H 0, φ 1 div(ũ φ) ψ dx dt > 0. Preuve a) C est une conséquence immédiate de l inégalité de Poincaré courbe (théorème 2) avec C = 1. b) Soit ψ L 2 (), et supposons que l inégalité soit fausse. Alors pour tout φ D() avec φ(x, 0) = 0, on a div(ũ φ) ψ dx dt = 0.

30 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION Comme, pour tout φ D(), div(ũ ψ), φ = div(ũ φ) ψ dx dt, On obtient que div(ũ ψ) = 0 dans D () et donc dans L 2 (). Ainsi pour tout φ D() avec φ(, 0) = 0, on obtient 0 = div(ũ ψ) φ dx dt = div(ũ φ) ψ dx dt + φ(x, T ) ψ(x, T ) dx C est-à-dire φ(x, T ) ψ(x, T ) dx = 0, pour tout φ D() avec φ(, 0) = 0. Ainsi en utilisant le théorème 4 d existence et d unicité, appliqué au champ de vecteur ũ, on obtient ψ = 0. Théorème 8 (Solution faible) Soit u L 2 (0, T ; H 1 0()) avec div u = 0, et soit ρ la solution de A ρ = div(ũ ρ) = g ρ(, 0) = 0 dans dans au sens des moindres carrés, avec g L 2 (). Alors ρ est une solution faible au sens suivant : ( ) div(ũ ρ) g ψ dx dt = 0, pour tout ψ L 2 (). Preuve La solution au sens des moindres carrés de Aρ = g est A (A ρ g) = 0. Par l inégalité Inf-Sup précédente (théorème 7, partie b)), on a Ker A = {0}, car ψ Ker A φ A ψ dx dt = 0 φ H(u, ) A φ ψ dx dt = 0 φ H(u, ) ψ = 0

2.5. SOLUTION RENORMALISÉE 31 et donc ρ est une solution faible de Aρ = g. Définition 2 (Solution renormalisée) [13] Soit u L 2 (0, T ; H 1 0()) avec div u = 0, et soit ρ 0 L (). On dit que ρ L () est une solution renormalisée de ρ + div(ρ u) = 0 dans, ρ(x, 0) = ρ 0 (x) dans, si pour tout β C 1 (R) avec β(0) = 0, la fonction β(ρ) est une solution au sens des distributions de β(ρ) avec la condition initiale On a donc β(ρ) + div(β(ρ) u) = 0 dans, β(ρ)(x, 0) = β(ρ 0 )(x) dans. + div(β(ρ) u), φ = 0 φ D(). Comme β(ρ) L (), pour tout φ D(), avec φ(x, T ) = 0, on a div(ũ β(ρ)) φ dx dt + div(ũ φ) β(ρ) dx dt = β(ρ) φ dx, ce qui permet de donner un sens à la condition initiale. Théorème 9 (Solution renormalisée) Soit u L 2 (0, T ; H 1 0()) avec div u = 0, et soit ρ 0 L (). La solution au sens des moindres carrés de ρ est une solution renormalisée. + div(ρ u) = 0 dans, ρ(, 0) = ρ 0 dans,

32 CHAPITRE 2. LOIS DE CONSERVATION Preuve Par le principe du maximum (théorème 6), on sait que la solution de l équation est dans L (). Soit η l extension de ρ 0 obtenue précédemment et posons ξ = ρ η. Alors ξ est la solution au sens des moindres carrés de div(ũ ξ) = div(ũ η) = g, avec ξ(, 0) = 0. Du théorème 8, on déduit que ( div(ũ ξ) g ) ψ dx dt = 0 pour tout ψ L 2 (). Donc div(ũ ξ) = g dans L 2 (), ainsi div(ũ ρ) = 0 dans L 2 () et ρ(, 0) = ρ 0 dans. Comme ρ L (), on en déduit, pour tout β C 1 (R), ( ) ( ) div(ũ β(ρ)) = ũ β(ρ) = β (ρ) ũ ρ = β (ρ) div(ũ ρ) = 0 et β(ρ)(, 0) = β(ρ 0 ).

Chapitre 3 Equations de Navier-Stokes linéarisées 3.1 Introduction Soit un domaine borné dans R d, de frontière suffisamment régulière (par exemple est lipschitzienne, avec la propriété de cône). Pour T > 0 on pose = (0, T ). On se donne de a : R d avec a L (0, T ; H 1 0() d ) L 2 (0, T ; L 2 () d ) et div a = 0. On se donne de plus ρ : R avec ρ L (), ρ ρ min > 0 solution au sens des moindres carrés de (3.1) ρ + div(ρ a) = 0 dans. La fonction ρ vérifie la condition initiale (3.2) ρ(, 0) = ρ 0 dans, avec ρ 0 L () et ρ 0 ρ min. Le but de ce chapitre est d étudier l existence et l unicité de la solution des équations de Navier-Stokes incompressibles linéarisées : (3.3) (ρ u) + div(ρa u) µ u + p = ρ f dans, 33

34 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES (3.4) div u = 0 dans, avec les conditions aux limites (3.5) u = 0 sur (0, T ), et les conditions initiales (3.6) u(, 0) = u 0 dans. Comme on l a déjà vu, l équation (3.3) s écrit, grâce à (3.1), (3.7) ρ u + ρ ( a ) u µ u + p = ρ f dans. Dans ce chapitre on s intéresse à des solutions faibles des équations (3.7),(3.4) avec les conditions aux limites (3.5) et les conditions initiales (3.6), faisant intervenir des espaces de Sobolev appropriés. Avant d étudier ces équations, on va étudier ces espaces. 3.2 Les espaces utilisés Comme avant, soit un domaine borné dans R d, de frontière suffisamment régulière. On pose V = { u D() d, div u = 0 }, V = { u H 1 0() d, div u = 0 }, H l adhérence de V dans L 2 () d. Le but de cette section est de caractériser ces espaces et d étudier quelques propriétés associées. Ce paragraphe est essentiellement tiré de [16] et de [29]. Théorème 10 (Lemme de Petree) Soient E 0, E 1, E 2 trois espaces de Banach, A 1 L(E 0, E 1 ), A 2 L(E 0, E 2 ), deux opérateurs linéaires continus, avec A 2 compact. On suppose qu il existe une constante M > 0 telle que, pour tout x E 0, Alors x E0 M ( A 1 x E1 + A 2 x E2 ).

3.2. LES ESPACES UTILISÉS 35 1) dim ker A 1 <, l image de A 1, im A 1, est fermée dans E 1 et A 1 : E 0 / ker A 1 im A 1 est un isomorphisme. 2) Soit F un espace de Banach et T L(E 0, F ), avec T x = 0 pour tout x ker A 1. Alors il existe une constante C > 0 telle que, pour tout x E 0, T x F C T A 1 x E1. 3) Soit G un espace d Banach, T L(E 0, G), tel que T x 0 pour tout x ker A 1, x 0. Alors il existe C > 0 tel que, pour tout x E 0, x E0 C ( A 1 x E1 + T x G ). Preuve 1) Pour tout x ker A 1, on a x E0 M A 2 x E2 M A 2 x E0, donc sur ker A 1, la norme x E0 est équivalente à la norme A 2 x E2 ( x E0 A 2 x E2. Comme A 2 est compact, la boule unité de im A 2 dans E 2 est relativement compacte, donc ker A 1 est de dimension finie. Soit ẋ la norme sur E 0 / ker A 1. Comme ker A 1 est de dimension finie, il existe x E 0 tel que ẋ = x E0. Pour terminer la preuve de 1), il suffit de voir que A 1 : E 0 / ker A 1 im A 1 admet un inverse continu. Sinon, il existe ẋ n E 0 / ker A 1, ẋ n = 1, et A 1 ẋ n E1 0, si n. Ainsi x n = 1, A 1 x n E1 0, si n. Comme A 2 est compact, on peut extraire de x n une sous-suite, encore notée x n, telle que A 2 x n converge. Ainsi, en utilisant l hypothèse du théorème, on déduit que x n converge vers x dans E 0, car A 1 x n 0. On a de plus que x ker A 1 et donc ẋ n 0, ce qui contredit x n = 1. 2) Comme T ker A1 = 0, on a T x = T ẋ = T A 1 1 A 1 x x E 0, donc T x F T A 1 1 A 1 x = C T A 1 x.

36 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES 3) Par l absurde. On suppose qu il existe x n E 0, x n = 1, avec A 1 x n E1 + T x n G 0 si n. Comme A 2 est compact, on peut supposer que A 2 x n converge dans E 2 et donc x n est de Cauchy dans E 0. Elle converge donc vers x, avec A 1 x E1 = T x G = 0. Mais par hypothèse T x 0 pour tout x ker A 1, donc x = 0, ce qui contredit x n = 1 pour tout n. 3.2.1 A propos de l opérateur grad Notons L 2 0() = L 2 ()/R = { } φ L 2 (), φ dx = 0. Théorème 11 (Théorème de Nečas) Sous les hypothèses ci-dessus on a 1) Si p D () vérifie p x i L 2 (), 1 i d, alors p L 2 0() et p L 2 0 () C() p L 2 () d. 2) Si p D () vérifie p x i H 1 (), 1 i d, alors p L 2 0() et p L 2 0 () C() p H 1 () d. La preuve de ce théorème est délicate et se trouve dans [20], page 108. Une preuve (assez longue) plus simple se trouve aussi dans [14], lorsque le domaine est assez régulier (de classe C 1 ). Corollaire 1 Sous les hypothèses précédentes on a : 1) l image de grad : L 2 () H 1 () d est fermée, 2) ṗ L 2 ()/R grad p H 1 () d. Preuve On applique le lemme de Petree (théorème 10) au cas E 0 = L 2 (), E 1 = H 1 () d, E 2 = H 1 () d,

3.2. LES ESPACES UTILISÉS 37 avec A 1 = grad et A 2 est l injection canonique de L 2 () dans H 1 () qui est compacte à cause du théorème de Rellich et par le fait que A 2 est le dual de l injection de H 1 0() dans L 2 (). Par le lemme de Petree, l image de grad dans H 1 () d est fermée, ce qui démontre 1). La deuxième propriété est une conséquence immédiate du théorème de Nečas 11. La proposition suivante est une première version du théorème de de Rham. Proposition 2 Soit f H 1 () d vérifiant < f, v >= 0 pour tout v V. Alors il existe un unique p L 2 0() tel que f = grad p. Preuve Par le corollaire 1, l opérateur grad : L 2 () H 1 () d est d image fermée. C est le dual de l opérateur div : H 1 0() d L 2 (). Par le théorème de l image fermée ([30], théorème page 205), on obtient où im grad = (ker div) = V V = { f H 1 () d, < f, φ >= 0 φ V } est l anihilateur de V ; il est souvent noté V, mais nous utiliserons cette notation dans une autre situation. Ainsi il existe p L 2 () tel que f = grad p. Comme est connexe, p est unique à une constante près. Définition 3 On note ( ) 1 L(H 1 (), H 1 0()) l opérateur défini par φ = ( ) 1 f si et seulement si φ est la solution faible de φ = f dans, φ = 0 sur, c est-à-dire ( φ ψ ) =< f, ψ > ψ H 1 0(). Proposition 3 L orthogonal V de V dans H 1 0() d est égal à V = { ( ) 1 grad p, p L 2 0() }.

38 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES Preuve Soit u = ( ) 1 grad p, alors pour tout v V (3.8) ( u v ) H 1 0 () = ( u v ) dx =< u, v >= d < grad p, v >= ( p div v ) = 0, donc u V. Réciproquement, soit u V et soit l la forme linéaire l(v) = ( u v ) dx pour tout v H0() 1 d. Par hypothèse, l H 1 () d et l(v) = 0 pour tout v V. Par la proposition 2, il existe donc un unique p L 2 0() tel que l = grad p, i.e. ( u v ) =< grad p, v >, c est-à-dire u = ( ) 1 grad p. On a donc démontré 1. grad est un isomorphisme de L 2 0() sur V, 2. div est un isomorphisme de V sur L 2 0(). On est maintenant en mesure de démontrer une version plus précise du théorème de de Rham. Théorème 12 (Théorème de de Rham) Soit f H 1 () d vérifiant < f, v >= 0 v V alors in existe un unique p L 2 0() tel que f = grad p. Preuve Soit m une suite de domaines vérifiant m, = m m, m m+1. Soit u m H 1 0() d, avec u m = 0 hors de m, div u m = 0, et soit (ω ɛ ) une résolution de l identité. Posons u m,ɛ = u m ω ɛ, alors u m,ɛ V et u m,ɛ u m lorsque ɛ 0. Ainsi < f, u m >= lim ɛ 0 < f, u m,ɛ >= 0 par hypothèse. Par la proposition 2, il existe un unique p m L 2 0() tel que f = grad p m sur m. On peut choisir p m+1 = p m sur m, car p m+1 = p m sur m. On a donc f = grad p dans L 2 loc (). Finalement si p L2 loc () et p H 1 () d, alors par le corollaire 1, p L 2 0().

3.2. LES ESPACES UTILISÉS 39 Corollaire 2 L espace V est dense dans V. Preuve Soit f H 1 () d tel que < f, v >= 0 pour tout v V. Par le théorème 12, il existe un unique p L 2 0() tel que f = grad p. Pour v V, on a d autre part < f, v >=< grad p, v >= ( p div v ) L 2 () = 0, ainsi f = 0, ce qui démontre le corollaire. Donnons encore une preuve directe du corollaire 2. Proposition 4 Soit u V, pour tout ɛ > 0 il existe u ɛ u u ɛ V ɛ. V tel que Preuve Pour tout δ > 0 suffisamment petit, soit δ le domaine défini par δ = {x, d(x, ) > δ}. On considère le problème de Stokes suivant : trouver v δ : δ R d et p δ : δ R tels que (3.9) (3.10) (3.11) v δ + p δ = u dans δ, div v δ = 0 dans δ, v δ = 0 sur δ. Comme v V, on a v H 1 () d. La formulation faible associée au problème ci-dessus est : trouver v δ V ( δ ) tel que (3.12) ( v δ δ φ ) dx = ( u φ ) dx, δ pour tout φ V ( δ ). Par le théorème de Lax-Milgram, le problème (3.12) admet une unique solution. Pour trouver la pression p δ, on utilise le théorème de de Rham (théorème 12), appliqué à la forme linéaire f δ = v δ u H 1 () d On a donc v δ H 1 0() d et div v δ = 0. On pose alors u δ = v δ ω j, avec 1/j < δ/2, et où (ω j ) est une résolution de l identité. Alors u δ V et u δ u V est aussi petit qu on veut si δ est suffisamment petit.

40 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES 3.2.2 Sur l espace H(div, ) Dans ce paragraphe on donne quelques propriétés de l espace H(div, ) = { v L 2 () d, div v L 2 () } muni du produit scalaire ( u v ) H(div,) = ( u v ) dx + div u div v dx. C est clairement un espace de Hilbert. On note d autre part H 0 (div, ) l adhérence de D() d dans H(div, ) : H 0 (div, ) = D() dh(div,). Théorème 13 D() d est dense dans H(div, ). Preuve Soit l H(div, ) (le dual de H(div, )) et supposons que l(v) = 0 pour tout v D() d et montrons que l = 0. Comme H(div, ) est un espace de Hilbert, il existe un unique u H(div, ) tel que l(v) = ( v u ) H(div,) pour tout v H(div, ) ; c est-à-dire, pour tout v H(div, ), l(v) = ( u v ) dx + div u div v dx. Notons u l extension de u par zéro hors de et div u l extension de div u par 0 hors de. Comme l = 0 sur D() d, on a, pour tout v D(R) d, ( u v ) dx + div u div v dx = 0, R d IR d donc u = grad div u au sens des distributions sur R d. Comme u L 2 (R d ), on en déduit que div u H 1 (R d ), et donc div u H 1 0(). Soit ψ n D() avec ψ n div u dans H 1 0(), alors pour tout v H(div, ), ( ψ n v ) L 2 () d ( div u v ) L 2 () d = ( div u div v ) L 2 () et ( ψ n div v ) L 2 () ( div u div v ) L 2 ().

3.2. LES ESPACES UTILISÉS 41 Ainsi ) l(v) = lim (( ψ n v ) n L 2 () + ( ψ d n div v ) L 2 () = 0. On a donc démontré que l = 0. Théorème 14 (Trace normale) L application γ n : v ( v n ), définie sur D() d, s étend par continuité en une application linéaire, encore notée γ n de H(div, ) dans H 1/2 ( ). Preuve Pour φ D() et v D() d, on a ( v φ ) L 2 () d + ( φ div v ) L 2 () = φ ( v n ) ds. Comme D() est dense dans H 1 (), cette égalité est encore vraie pour φ H 1 () et v D() d. Ainsi, pour tout v D() d, φ ( v n ) ds ( v φ ) dx + div v φ dx v L 2 () d φ L 2 () d + div v L 2 () φ L 2 () v H(div,) φ H 1 (). Soit µ H 1/2 ( ), il existe un unique φ H 1 () avec φ φ H 1 () = µ H 1/2 (). Donc pour tout v D()d, µ ( v n ) ds v H(div,) µ H 1/2 ( ), c est-à-dire ( v n ) H 1/2 ( ) v H(div,). = µ et Ainsi, l application linéaire γ n : v ( v n ), définie sur v D() d, s étend par continuité à H(div, ) et on a γ n L(H(div,),H 1/2 ( )) 1.

42 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES Corollaire 3 On a im γ n = H 1/2 ( ) et γ n L(H(div,),H 1/2 ( )) = 1. Preuve Soit µ H 1/2 ( ) et soit φ H 1 () l unique solution faible de φ + φ = 0 dans φ n = µ sur, c est-à-dire, pour tout ψ H 1 (), ( φ ψ ) dx + φ ψ dx =< µ, ψ >. Posons v = grad φ, alors v H(div, ), car div v = φ et ( v n ) = µ. De plus φ 2 H 1 () = φ 2 dx + φ 2 dx =< µ, φ > µ H 1/2 ( ) φ H 1 (), donc v H(div,) µ H 1/2 ( ) = ( v n ) H 1/2 ( ). Théorème 15 L espace H 0 (div, ) est caractérisé par H 0 (div, ) = ker γ n = {v H(div, ), ( v n ) = 0}. Preuve Soit l (ker γ n ) et soit u ker γ n avec l(v) = ( u v ) dx + div u div v dx, pour tout v ker γ n. Si l(v) = 0 pour tout v D() d, alors comme avant, u = grad div u dans D (), et donc div u H 1 (). Par la formule de Green (3.13) ( v φ ) dx + div v φ dx =< ( v n ), φ >,

3.2. LES ESPACES UTILISÉS 43 pour tout v H(div, ) et tout φ H 1 (), on a, en choisissant φ = div u et donc u = grad φ, l(v) = ( u v ) dx + div u div v dx = ( φ v ) dx + φ div v dx = < ( v n ), φ > = 0, pour tout v ker γ n. On a donc démontré : ker γ n H 0 (div, ). Réciproquement, si v H 0 (div, ), alors v = lim m v m avec v m D() d. Comme ( v m n ) = 0 sur, on a ( v n ) = 0 et donc v ker γ n. On est maintenant en mesure de caractériser l espace H qu on avait défini comme l adhérence de V dans L 2 () d. Théorème 16 Si H est l orthogonal de H dans L 2 () d, alors (3.14) H = { v L 2 () d, v = grad p, p H 1 () }. (3.15) H = { v L 2 () d, div v = 0, γ n (v) = ( v n ) = 0 sur } = {v H 0 (div, ), div v = 0}. Preuve a) Montrons (3.14). Si v L 2 () d avec v = grad p, alors pour tout u V, on a ( v u ) L 2 () d = ( grad p u ) L 2 () d = ( p div u ) = 0. Ainsi v H. Réciproquement, si v H, alors ( v u ) L 2 () = 0 pour tout u V. Donc d par le théorème 12 de de Rham, v = grad p, avec p D (), et par le théorème 11 de Nečas, p H 1 (). b) Montrons (3.15). Pour simplifier, notons K = {v H 0 (div; ); div v = 0}. i) Soit v m V avec v m v dans H. On a donc v m v dans D (), et comme div v m = 0, div v = 0 ; ainsi v H(div; ) et div v = 0. Comme v m v dans H(div; ), on a γ n v m γ n v, i.e. γ n v = 0. On a donc démontré que H K. ii) Réciproquement, Soit u K, avec u H. Par la partie a), on a u = grad p avec p H 1 (). Ainsi

44 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES 0 = div u = p dans et 0 = γ n u = ( u n ) = ( grad p n ) = p n. D où p est constant et u est nulle. 3.3 Théorèmes de compacité Le but de ce paragraphe est de rappeler et de démontrer quelques résultats de compacité. Théorème 17 (Théorème de Rellich) L injection de H 1 0() dans L 2 () est compacte. Preuve Voir par exemple [1]. En conséquence l injection de V dans H est compacte. En effet si v m v dans V, alors pour 1 i d, v m,i v i dans H 1 0() et donc v m,i v i dans L 2 (), ainsi v m v dans V. Lemme 2 Soient E 0 E E 1 trois espaces de Banach, avec injections continues. On suppose que l injection de E 0 dans E est compacte. Alors pour tout λ > 0, il existe c R tel que pour tout x E 0 x E λ x E0 + c x E1. Preuve Pour tout n, soit U n = { x E, x E < λ + n x E1 }, alors Un est ouvert dans E et E = n U n. Comme l injection de E 0 dans E est compacte, l image de la boule unité B de E 0 dans E 1 est relativement compacte. Comme la suite U n est croissante, il existe N tel que B U N. Ainsi pour tout x E 0, avec x E0 1, on obtient x E λ x E0 + N x E1. Soit B un espace de Banach et soit f : [0, T ] B. Pour h > 0 on note τ h f l application définie par τ h f(t) = f(t + h) ; elle est définie de [ h, T h] à valeur dans B. On a le théorème de compacité suivant (à la Ascoli)

3.3. THÉORÈMES DE COMPACITÉ 45 Théorème 18 (Théorème de compacité de Simon) [25] Soit 1 p < et soit F L p (0, T ; B). Alors F est relativement compact dans L p (0, T ; B) { si et seulement si } t2 (a) l ensemble f(t) dt; f F est relativement compact dans B (0 < t 1 t 1 < t 2 < T ). (b) τ h f f L p (0,T h;b) converge vers 0 sur F, lorsque h 0. Preuve [25] (I) Si F est relativement compact dans L p (0, T ; B), montrons que les assertions (a) et (b) sont vérifiées. Comme f t 2 t 1 f(t) dt est continue sur L p (0, T ; B) dans B, (a) est trivialement vérifiée. Soit ɛ > 0 donné. Comme F est relativement compact dans L p (0, T ; B), il existe f 1,..., f n L p (0, T ; B) telles que, pour tout f F, il existe f i avec f f i L p (0,T ;B) ɛ. Comme C(0, T ; B) est dense dans L p (0, T ; B), on peut choisir f i C(0, T ; B). Ainsi il existe h i > 0 tel que pour tout h h i on a τ h f i f i L p (0,T h;b) ɛ. Posons δ = min i h i, alors pour tout h δ, et donc τ h f f = τ h (f f i ) (f f i ) + τ h f i f i, τ h f f 3ɛ. (II) Réciproquement si F vérifie (a) et (b), montrons que F est relativement compact dans L p (0, T ; B). (i) Pour f F et a > 0, posons M a f(t) = 1 a a+t t f(s) ds, alors M a f C(0, T a; B) et pour 0 t 1 t 2 T a, M a f(t 2 ) M a f(t 1 ) B = 1 a+t1 a (f(s + t 2 t 1 ) f(s)) ds t 1 = 1 a+t1 a (τ t2 t 1 f f) ds, t 1 B B

46 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES donc M a f(t 2 ) M a f(t 1 ) B 1 a τ t 2 t 1 f f L 1 (0,T t 2 +t 1 ;B). Comme, par (b), τ h f f L p (0,T h;b) 0 si h 0, l ensemble M af = {M a f, f F } est équicontinu dans C(0, T a; B). D autre part la propriété (a) montre que pour tout t (0, T a) et pour t 1 = t et t 2 = t + a, l ensemble M a F (t) est relativement compact dans B. Donc par le théorème d Ascoli, M a F est relativement compact dans C(0, T a; B) et donc dans L p (0, T a; B). (ii) On a M a f(t) f(t) = 1 a a 0 (τ h f(t) f(t)) dh, donc M a f f L p (0,T a;b) sup τ h f f L p (0,T a;b). 0 h a Par la propriété (b), pour tout T 1 < T, F est la limite uniforme de M a F dans L p (0, T 1 ; B) lorsque a 0. Comme par (i), M a F est relativement compact dans L p (0, T 1 ; B), on en déduit que pour tout T 1 < T F est relativement compact dans L p (0, T 1 ; B). (iii) On démontre de la même manière, en remplaçant la moyenne à droite M a f par la moyenne à gauche que µ a f = 1 a t t a f(s) ds, F est relativement compact dans L p (T 1, T ; B). En choisissant T 1 = T/2, on obtient finalement que F est relativement compact dans L p (0, T ; B). Revenons au cas E 0 E E 1, espaces de Banach, avec injections continues et l injection de E 0 dans E est compacte. Lemme 3 Avec les hypothèses précédentes, soit 1 p <. Si F est une partie bornée dans L p (0, T ; E 0 ) et relativement compacte dans L p (0, T ; E 1 ), alors F est relativement compacte dans L p (0, T ; E).

3.3. THÉORÈMES DE COMPACITÉ 47 Preuve Posons M = sup f F f L p (0,T ;E 0 ) et soit ɛ > 0 fixé. Comme F est relativement compact dans L p (0, T ; E 1 ), il existe f 1,..., f n F tels que pour tout f F, il existe f i avec f f i L p (0,T ;E 1 ) ɛ. Par le lemme 2, pour tout µ > 0 il existe une constante c telle que donc f(t) f i (t) E µ f(t) f i (t) E0 + c f(t) f i (t) E1, f(t) f i (t) p E 2p 1 ( µ p f(t) f i (t) p E 0 + c p f(t) f i (t) p E 1 ). Ainsi pour tout λ > 0 si µ = 2 p/(p 1) λ, il existe une constante C telle que f f i L p (0,T ;E) λ f f i L p (0,T ;E 0 ) + C f f i L p (0,T ;E 1 ). Soit δ > 0 donné, pour on a λ = δ 4M et ɛ = δ 2C f f i L p (0,T ;E) δ et donc F est relativement compact dans L p (0, T ; E). Théorème 19 Avec les hypothèses précédentes, soit F L p (0, T ; E 0 ) une partie bornée vérifiant τ h f f L p (0,T h;e 1 ) h 0 0 uniformément dans F. Alors F est relativement compact dans L p (0, T ; E). Preuve Par le théorème 18, F est relativement compact dans L p (0, T ; E 1 ), et par le lemme 3 précédent on en déduit que F est relativement compact dans L p (0, T ; E). Théorème 20 (Théorème de compacité de Aubin-Simon) Soient E 0 E E 1 des espaces de Banach, avec injections continues ; on suppose de plus que l injection de E 0 dans E est compacte. Soient 1 p < et F L p (0, T ; E 0 ) une partie bornée. On suppose de plus que df dt = { f = df dt, f F est bornée dans L 1 (0, T ; E 1 ). Alors F est relativement compacte dans L p (0, T ; E). }

48 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES Preuve Soit f F, alors f L p (0, T ; E 0 ) et f L 1 (0, T ; E 1 ). Si g = f, alors c est-à-dire donc f(t) t tout t (0, T h), 0 g(t) d dt ( d f(t) dt t 0 t 0 g(s) ds = 0, ) f (s) ds = 0, f (s) ds = b = cst E 1 et f C(0, T ; E 1 ). D autre part, pour Ainsi (τ h f f)(t) = f(t + h) f(t) = t+h t f (s) ds. τ h f f L 1 (0,T h;e 1 ) = = T h 0 T h 0 t T h t+h 0 t τ h f f E1 dt t+h f (s) ds E1 dt f (s) E1 ds dt h (T h) M. On obtient alors le résultat par le théorème 19 précédent. 3.4 Formulation faible et estimations à priori Dans ce paragraphe, on établit une formulation faible de l équation (3.16) (ρ u) + div(ρa u) µ u + p = ρ f dans, (3.17) div u = 0 dans, avec les conditions aux limites (3.18) u = 0 sur (0, T ),

3.4. FORMULATION FAIBLE ET ESTIMATIONS À PRIORI 49 et les conditions initiales (3.19) u(, 0) = u 0 dans. Puis on donne des estimations à priori pour une solution de cette formulation faible. Supposons que le système d équations ci-dessus admette une solution classique (par exemple u C 2 () d, p C 1 ()), et soit v V, alors ( ) (ρ u) v dx + ( div(ρa u) v ) dx µ ( u v ) dx + ( p v ) dx = ( ρ f v ) dx. En utilisant la formule de Green φ ψ dx + x i φ ψ dx = φ ψ n i ds x i on obtient ( ) (ρ u) v dx + ( div(ρa u) v ) dx+ µ ( u v ) dx µ ( u n v ) ds p div v dx + p ( v n ) ds = ( ρ f v ) dx, c est-à-dire ( ) (ρ u) v dx + On fera de plus les hypothèses suivantes. ( div(ρa u) v ) dx+ µ ( u v ) dx = ( ρ f v ) dx. La fonction ρ L () est la solution au sens des moindres carrés de ρ + div(a ρ) = 0 avec a L 2 (0, T ; V ) L (0, T ; H), ρ(x, 0) = ρ 0 (x) ρ min > 0, et donc ρ ρ min.

50 CHAPITRE 3. EUATIONS DE NAVIER-STOKES LINÉARISÉES Une formulation faible des équations (3.16)-(3.19) est la suivante. On se donne a, µ > 0, ρ 0 et ρ avec les hypothèses ci-dessus. On cherche u L 2 (0, T ; V ) L (0, T ; H) tel que pour tout v V (3.20) ( ) (ρ u) v dx + ( div(ρa u) v ) dx+ µ ( u v ) dx = ( ρ f v ) dx, avec la condition initiale u(0) = u 0 H. Remarquons que l équation (3.20) a un sens dans D (0, T ). Théorème 21 (Estimations à priori) On suppose que l équation (3.20) admet une solution au moins. Alors il existe une constante C, dépendant de et de µ telle que u L 2 (0,T ;V ) C ( ) ρ 0 u 0 L 2 () + ρ f d L 2 (), d ρmin u L (0,T ;H) C ( ρ 0 u 0 L 2 () d + ρ f L 2 () d ). Preuve Choisissons v = u(t) dans l équation (3.20), alors ( ) (ρ u) u dx + mais un calcul facile montre ( ) (ρ u) u ( div(ρa u) u ) dx+ µ ( u u ) dx = = 1 2 (ρ u 2 ) + 1 2 ρ u 2 ( ρ f u ) dx, et ( div(ρa u) u ) = 1 2 div(ρa) u 2 + 1 2 div(ρa u 2 ).