Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle

7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. 7. Continuité en un point, continuité sur I Définition 7. On dit que la fonction f est continue au point a I si : ε > 0, η > 0 I ]a η, a + η[, f ) f a) < ε. 7.) Dans le cas des fonctions d une variable réelle qui nous occupe, on peut aussi définir les notions de continuité à gauche ou à droite. Définition 7. On dit que la fonction est continue à gauche [resp. à droite ] au point a I si pour tout réel ε > 0 il eiste un réel η > 0 tel que : ε > 0, η > 0 I ]a η, a[, f ) f a) < ε [resp. ε > 0, η > 0 I ]a, a + η[, f ) f a) < ε] Dans le cas où a est l etrémité gauche [resp. droite] de I, on ne s intéresse qu à la continuité à droite [resp. à gauche]. La fonction f est discontinue en a I si, et seulement si, l une des deu situations suivantes se produit : soit f n a pas de limite à gauche ou à droite en a ; soit ces deu limites eistent et l une d elles est distincte de f a). Des définitions, on déduit immédiatement les résultats suivants. Théorème 7. La fonction f est continue [resp. continue à gauche [resp. à droite]] au point a I si, et seulement si, lim f ) = f a) [resp. lim f ) = f a) [resp. lim f ) = f a)]]. a + Théorème 7. Si a est un point intérieur à l intervalle I, alors la fonction f est continue en a si, et seulement si, elle est continue à gauche et à droite en a. Théorème 7.3 Si f est continue en a I, elle est alors bornée dans un voisinage de ce point. a a 699

700 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Le résultat précédent peut être utilisé pour montrer la discontinuité d une fonction en un point. Par eemple la fonction f définie sur R par f 0) = 0 et f ) = pour 0 n est pas ) continue en 0, puisque pour tout réel M > 0, il eiste un entier n tel que f = n > M. n Définition 7.3 On dit que la fonction f est continue sur I si elle est continue en tout point de I. Eercice 7. Montrer que, pour tout entier naturel n, la fonction f : n est continue sur R. Solution 7. Pour n = 0, f est la fonction constante égale à. La continuité d une fonction constante se vérifiant facilement pour ε > 0 donné tout réel η > 0 convient). Pour n, a R, on peut trouver un réel R > 0 tel que a ] R, R[ et pour tout ] R, R[, on a : n a n n = a n k a k nr n a et pour ε > 0 donné, on aura n a n < ε dès que a < η = k=0 ε nr n. Eercice 7. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, la fonction f : n est continue sur R +,. ] [ Solution 7. Pour n, a > 0, on peut trouver un réel R > 0 tel que a R, R et pour ] [ tout R, R, on a : : a = n ) n ) n a n = n a n ) n n n n a n R n k=0 ) ) n k ) k n a n donc : n a n n R n n n a R n a et pour ε > 0 donné, on aura n a n < ε dès que a < η = ε R n n Eercice 7.3 Montrer que la fonction définie sur R par f 0) = 0 et f ) = cos 0, n est pas continue en 0.. ) si Solution 7.3 Pour tout réel η > 0, on peut trouver un entier n tel que = nπ et on a f ) f 0) =, ce qui prouve la discontinuité de f en 0. ] η, η[ Eercice 7.4 Montrer que la fonction caractéristique de Q définie par f ) = si Q et f ) = 0 sinon est discontinue en tout point de R.

Continuité en un point, continuité sur I 70 Solution 7.4 Soit a un nombre rationnel [resp. irrationnel]. Pour tout réel η > 0, on peut trouver un nombre irrationnel [resp. rationnel] dans ]a η, a + η[ et on a f ) f a) =, ce qui prouve la discontinuité de f en a. Eercice 7.5 Montrer que la fonction définie sur R par f ) = si Q et f ) = 0 sinon est continue en 0 et discontinue en tout point de R. Solution 7.5 Soit a un nombre rationnel [resp. irrationnel] non nul. Pour tout réel η > 0, on peut trouver ] un nombre irrationnel [resp. rationnel] dans ]a η, a + η[ [resp. dans ]a η, a + η[ a a, a + a [ ] et on a f ) f a) = a [resp. f ) f a) = > a ] ce qui prouve la discontinuité de f en a. Pour ce qui est de la continuité en 0, il suffit de remarquer que pour tout ε > 0 la condition < η = ε entraîne f ) f 0) = f ) < ε puisque f ) vaut ou 0. Eercice 7.6 Soit n un entier naturel non nul. Étudier la continuité de la fonction a n qui à tout réel appartenant à [0, ] associe la n-ème décimale dans le développement décimal propre si [0, [ et 9 si = pour = on utilise le développement décimal illimité impropre). Solution 7.6 On rappelle que pour [[0, [, on a a n ) = [0 n ] 0 [0 n ]. Pour tout k entier k compris entre 0 et 0 n et 0, k + [, on a a n 0 n n ) = k 0 [0 n ]. De plus avec : 0 [ 0 n ] 0 n < k + on déduit que [ 0 n ] k 0 0n < [ 0 n ] + [ ] k et = [0 n ]. La fonction a n est donc constante et en conséquence continue) sur [ 0 k 0, k + [ [ ] k égale à k 0. Et avec n 0 n 0 ) [ ] [ ] k + k + k a n = k + 0 lim 0 n 0 a n ) = k 0, k+ 0 0 n ) on déduit que a n est discontinue en tout point k + où k est compris entre 0 et 0 n. Sur [ [ 0 n 0 n le dernier intervalle,, on a a 0 n n ) = 9 et a n est continue en. Définition 7.4 Si a est intérieur à I et si la fonction f est discontinue en a avec des limites à droite et à gauche en ce point, on dit alors que f a une discontinuité de première espèce en a. Le cas des fonctions monotones définies sur un intervalle ouvert pour simplifier) est particulièrement intéressant. Théorème 7.4 Si f est une fonction monotone de l intervalle ouvert I dans R, alors f admet une limite à gauche et droite en tout point. Dans le cas où f est croissante, on a pour tout I : f ) = sup f t) f ) f +) = inf f t). a<t< <t<b De plus pour < y dans I, on a f + ) f y ).

70 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Démonstration. Quitte à remplacer f par f, on peut supposer f croissante. Pour I, l ensemble A = {f t) a < t < } est non vide majoré par f ), il admet donc une borne supérieure µ = sup f t) f ). Par définition de la borne supérieure, pour tout a<t< réel ε > 0, il eiste 0 ]a, [ tel que µ ε < f 0 ) µ et avec la croissance de f, on a : t ] 0, [, µ ε < f 0 ) f t) µ. On a donc ainsi montré que µ = lim t f t) = f ). On procède de même pour l eistence de la limite à droite f + ). Pour < y dans I, on a : f +) = inf f t) = inf f t), f y ) = sup f t) = sup f t), <t<b <t<y a<t<y <t<y ce qui entraîne f + ) f y ). Théorème 7.5 Si f est une fonction monotone d un intervalle ouvert I dans R, alors l ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable. Démonstration. Supposons f croissante et l ensemble D des points de discontinuité de f non vide. Pour tout D, on a f ) < f + ) et on peut trouver un rationnel r ) ]f ), f + )[. De plus pour < y dans I avec f + ) f y ), on déduit que r ) < r y). L application r définit donc une injection de D dans Q, il en résulte que D est dénombrable. En général une fonction monotone f définie sur un intervalle I n est pas nécessairement continue, mais nous verrons plus loin que si de plus f I) est un intervalle, alors elle est continue théorème 8.7). Eemple 7. La fonction f définie sur [0, ] par f 0) = 0 et f ) = [ ] est croissante avec une infinité de points de discontinuité. En fait, on peut montrer le résultat suivant. Théorème 7.6 Si I est un intervalle ouvert, l ensemble des points de discontinuité de première espèce de f est au plus dénombrable. Démonstration. Voir [79], chapitre 4, eercice 7. 7. Définition séquentielle de la continuité en un point Une définition équivalente de la continuité en un point est donnée par le résultat suivant. Théorème 7.7 La fonction f est continue en a I si, et seulement si, pour toute suite n ) n N de points de I qui converge vers a, la suite f n )) n N converge vers f a). Démonstration. Si f est continue en a I, alors pour tout ε > 0 il eiste η > 0 tel que a < η dans I entraîne f ) f a) < ε et si n ) n N est une suite de points de I qui converge vers a, il eiste alors un entier n 0 tel que n a < η pour tout n n 0, ce qui implique f n ) f a) < ε. On a donc bien lim f n) = f a).

Définition séquentielle de la continuité en un point 703 Pour la réciproque, on raisonne par l absurde. Si f n est pas continue en a, il eiste un réel ε > 0 tel que pour tout entier n on peut trouver n I tel que n a < n et f n ) f a) ε. On a donc ainsi une suite n ) n N de points de I qui converge vers a pour laquelle la suite f n )) n N ne converge pas vers f a). En fait on a le résultat plus fin suivant. Eercice 7.7 Montrer que f : I C est continue en a I si, et seulement si, pour toute suite n ) n N de points de I qui converge vers a, la suite f n )) n N est convergente sans préciser que c est vers f a)). Solution 7.7 On sait déjà que si f est continue en a alors pour toute suite n ) n N de points de I qui converge vers a, la suite f n )) n N converge vers f a). Réciproquement supposons que pour toute suite n ) n N de points de I qui converge vers a, la suite f n )) n N soit convergente. Pour montrer que f est continue en a, il suffit de montrer que, dans ces conditions, la suite f n )) n N converge vers f a). Si n ) n N est une suite de points de I qui converge vers a, on définit la suite y n ) n N de points de I par y n = n, y n+ = a, cette suite converge vers a, donc la suite f y n )) n N converge et on a : f a) = lim f y n+) = lim f y n) = lim f n) = lim f n). Le théorème 7.7 est souvent utilisé pour montrer qu une fonction n est pas continue en un point. Eercice 7.8 Montrer que la fonction f définie sur R par f 0) = 0 et f ) = cos ln )) si 0, n est pas continue en 0. Solution 7.8 Si n ) n est la suite définie par n = e nπ pour n, on a la suite f n )) n = cos nπ)) n = ) n ) n est divergente. lim n = 0 et Eercice 7.9 Soit f : ]0, [ R la fonction définie par f ) = 0 si est irrationnel et par f ) = q si = p est rationnel où p, q sont entiers naturels non nuls premiers entre eu. q Montrer que f est continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel de ]0, [. Solution 7.9 Un rationnel r = p q ]0, [ Q est limite de la suite d irrationnels n) n n0 = ) r +, où n 0 est choisi assez grand pour que cette suite soit à valeurs dans ]0, [, et n n n 0 lim f n) = 0 f r) =. La fonction f n est donc pas continue en ce point. q Soit ε > 0. Si a ]0, [ R \ Q) et η > 0 est tel que ]a η, a + η[ ]0, [, on note : E = { ]a η, a + η[ f ) > ε}. Un élément de E est nécessairement rationnel sinon f ) = 0 < ε), il s écrit donc r = p q avec p, q premiers entre eu et f r) = q > ε entraîne que E est vide ou que q < ε et p < q < r est strictement compris entre 0 et ). L ensemble E est donc vide ou ε fini. Pour 0 < η < η assez petit on aura alors E ]a η, a + η [ =, ce qui signifie que 0 f ) ε pour tout ]a η, a + η [. On a donc ainsi montré que f est continue en α.

704 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Eercice 7.0 Soit f : R R une fonction continue telle que f a + b) = f ) pour tout réel, où a, b sont deu constantes réelles avec a =. Montrer que f est nécessairement constante. Solution 7.0 De f a + b) = f ), on déduit que : soit : f a a + b) + b) = f a + b) = f ), f a + b a + ) ) = f ). Par récurrence, on montre alors que pour tout entier n on a : ) n R, f a n + b a k = f ). Le résultat est vrai pour n = et en le supposant vrai au rang n, on a : ) ) ) n n f a a n + b a k + b = f a n + b a k = f ) avec : Comme a =, on peut écrire : k=0 k=0 ) n a a n + b a k + b = a n+ + b k=0 n N, R, f k=0 n a k. k=0 ) a n + b an = f ) a et pour a <, avec la continuité de f, on déduit que pour tout réel on a : ) ) f ) = lim f a n + b an b = f, a a c est-à-dire que f est constante. Pour traiter le cas où a >, on peut remarquer, en faisant le changement de variable t = a + b, que la condition f a + b) = f ) est équivalente à f t) = f a t b ) pour tout a réel t avec a <, ce qui entraîne que f est constante. Une application importante du théorème 7.7 est le résultat de point fie suivant. Théorème 7.8 Si f : I R est telle que f I) I et si la suite n ) n N de points de I définie par la donnée de 0 I et la relation de récurrence n+ = f n ) converge vers un point α I en lequel la fonction f est continue, alors f α) = α, c est-à-dire que α est un point fie de f. Une autre application importante du théorème 7.7 est le principe de prolongement des identités [resp. des inégalités] : si f, g sont deu fonctions continues en tout point d un intervalle I et qui coïncident [resp. telles que f ) g )] en tout point d une partie D dense dans I par eemple les nombres rationnels ou les nombres décimau), alors elle sont égales [resp. f ) g ) pour tout I]. Un eemple d utilisation de ce principe est donné par le résultat suivant.

Prolongement par continuité 705 Eercice 7. Soit f : R R vérifiant l équation fonctionnelle de Cauchy :, y) R, f + y) = f ) + f y) Montrer que si f est continue en un point, elle est alors continue en tout point et on a f ) = f ) pour tout réel. Solution 7. Si f est continue en α, en écrivant, pour tout réel 0, que : f 0 + h) f 0 ) = f h) = f h + α) f α), on déduit que f est continue en 0. On vérifie ensuite facilement que f r) = f ) r pour tout r Q et la densité de Q dans R permet de conclure. 7.3 Prolongement par continuité Si a est un réel adhérent à I et si f a une limite finie en ce point on peut alors prolonger f par continuité en ce point. Précisément on a le résultat suivant. Théorème 7.9 Si a est un réel adhérent à I n appartenant pas à I un point frontière) et si la fonction f a une limite l en a, il eiste alors un unique prolongement de f à I {a} qui est continu en a, ce prolongement est défini par f ) = f ) si I et f a) = l. Démonstration. Il est clair que la fonction f est un prolongement de f continu en a. Réciproquement si g est un tel prolongement, on a g = f sur I et par continuité en a, g a) = lim g ) = lim f ) = l = f a). D où l unicité. a a a a La fonction f définie par le théorème précédent est appelée le prolongement par continuité de f en a. On le note souvent f au lieu de f. ) Eemple 7. La fonction f : sin définie sur R se prolonge par continuité en 0 en posant f 0) = 0. sin ) Eemple 7.3 La fonction f : définie sur R se prolonge par continuité en 0 en posant f 0) =. ) Eemple 7.4 La fonction f : sin définie sur R ne peut pas se prolonger par continuité en 0 du fait qu elle n a pas de limite en ce point. 7.4 Continuité et opérations sur les fonctions Les résultats relatifs à la continuité et les opérations usuelles sur les fonctions sont résumés par le théorème qui suit. Théorème 7.0 Soient f, g deu fonctions définies sur I, à valeurs réelles ou complees et continues en a I. Les fonctions f, f + g, fg, min f, g) et ma f, g) pour f, g à valeurs réelles) sont continues en a.

706 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Démonstration. La continuité de f résulte de : f ) f a) f ) f a) α 0. Pour la somme, la continuité se déduit de l inégalité triangulaire : f + g) ) f + g) a) f ) f a) + g ) g a) α 0. Pour le produit, la continuité se déduit de l inégalité triangulaire et du fait que f ou g) est bornée au voisinage de a : fg) ) fg) a) f ) g ) g a) + g a) f ) f a) M g ) g a) + g a) f ) f a) α 0, où M est un majorant de f au voisinage de a. Enfin la continuité de min f, g) et ma f, g), pour f, g réelles, se déduit de : min f, g) = f + g f g ), ma f, g) = f + g + f g ), f + g est le milieu de l intervalle [min f, g), ma f, g)] et f g est sa longueur). Avec la continuité de la fonction constante égale à et de la fonction en tout point de R, on en déduit la continuité des fonctions polynomiales. Pour les quotients de fonctions continues, on a besoin du résultat suivant. Lemme 7. Si f : I C est continue en a I avec f a) 0, il eiste alors un voisinage V de a dans I tel que f ) 0 pour tout V. Démonstration. Comme f a) 0, on a f a) > 0 et pour ε ]0, f a) [ on peut trouver un réel η > 0 tel que a < η dans I entraîne f ) f a) f ) f a) < ε ce qui implique f ) > f a) ε > 0 pour tout dans ce voisinage. Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, on a le résultat plus précis suivant qui est souvent utilisé. Lemme 7. Si f : I R est continue en a I avec f a) > 0 [resp. f a) < 0], il eiste alors un voisinage V de a dans I tel que f ) > 0 [resp. f ) < 0] pour tout V. Démonstration. Supposons f a) > 0. Pour ε ]0, f a)[ on peut trouver un réel η > 0 tel que a < η dans I entraîne f ) f a) < ε, ce qui implique f ) > f a) ε > 0 pour tout dans ce voisinage. Théorème 7. Si f est continue en a I avec f a) 0, alors la fonction f dans un voisinage de a et est continue en ce point. est définie

Propriétés globales des fonctions continues 707 Démonstration. En gardant les notations de la démonstration du lemme 7., on a f ) > f a) ε > 0 pour voisin de a et : f ) f a) = f ) f a) f ) f a) f ) f a) f a) ε) f a) 0. α De ce résultat on déduit la continuité de f en a si f, g sont continues en ce point avec g g a) 0. De la continuité des fonctions polynomiales, on déduit la continuité des fonctions rationnelles en tout point de leur domaine de définition. ] De la continuité des fonctions sin et cos sur R, on déduit la continuité de la fonction tan sur π, π [. Pour la composition des applications, on a le résultat suivant. Théorème 7. Si f : I R est continue en a I, J est un intervalle réel contenant f I) et g : J C est continue en b = f a), alors g f est continue en a. Démonstration. Pour ε > 0 donné, on peut trouver un réel η > 0 tel que y b < η dans l intervalle J entraîne g y) g b) < ε et il eiste η > 0 tel que a < η dans l intervalle I entraîne f ) f a) < η, ce qui implique g f) ) g f) a) < ε pour tout dans I tel que a < η. La continuité de f elle est non nulle avec y y. peut se retrouver en composant la fonction f dans un voisinage de α où Eemple 7.5 Avec les eercices 7. et 7., on déduit la continuité sur R +, de r pour tout rationnel r. 7.5 Propriétés globales des fonctions continues 7.5. Le théorème des valeurs intermédiaires Voir le chapitre 8. 7.5. Continuité uniforme Une notion importante est celle d uniforme continuité. Définition 7.5 On dit que f est uniformément continue sur I si : ε > 0, η > 0, y) I, y η ) f ) f y) ε. Une fonction uniformément continue sur I est évidemment continue en tout point de I, la nuance est, dans le cas de l uniforme continuité, qu un réel η associé à ε ne dépend que de f, I et ε. Eemple 7.6 Une fonction lipschitzienne c est-à-dire telle qu il eiste un réel λ 0 avec f ) f y) λ y pour tous, y dans I) est uniformément continue sur I.

708 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Eercice 7. Montrer que la fonction est uniformément continue sur R +. Solution 7. Ce résultat se déduit de :, y) R + R +, y y. Cette inégalité est triviale pour = y et pour y > 0, y jouent des rôles symétriques), on a : y = y y + < y. On peut utiliser les suites pour traduire l uniforme continuité. Théorème 7.3 Si f : I R est uniformément continue et si u n ) n N et v n ) n N sont deu suites d éléments de I telles que lim u n v n ) = 0, alors lim f u n) f v n )) = 0. Démonstration. Résulte de la définition. Ce résultat peut être utilisé pour montrer qu une fonction n est pas uniformément continue sur I. Eercice 7.3 Montrer que la fonction f : n est pas uniformément continue sur R. Solution 7.3 En considérant les suites u n ) n N et v n ) n N définies par u n = n + et v n = n, on a u n v n =, donc lim u n v n ) = 0 et avec f u n ) f v n ) = n + n + on a lim f u n) f v n )) = 0, donc la fonction f n est pas uniformément continue sur R. Une démonstration directe de cette non uniforme continuité peut se faire comme suit : pour η > 0, = η, y = + η, on a y < η et y = + η 4 >. Eercice 7.4 Montrer que la fonction f : sin ) n est pas uniformément continue sur R. Solution 7.4 En considérant les suites introduites avec l eercice précédent, on a : f u n ) f v n ) = sin n + ) sin n) = cos n + ) ) sin et cette suite est divergente. Les eercices qui précèdent nous montrent qu une fonction continue n est pas nécessairement uniformément continue. Dans le cas où I est un intervalle fermé borné, nous verrons que les notions de continuité et d uniforme continuité sont équivalentes théorème 7.5 Eercice 7.5 Montrer qu une fonction f peut très bien être uniformément continue sur tout intervalle strictement contenu dans I sans être uniformément continue sur I tout entier. Solution 7.5 C est le cas, par eemple, pour la fonction f : sur I = ]0, ]. Elle est lipschitzienne sur tout [a, ] ] où 0 < a <, donc uniformément continue sur ces intervalles. Mais pour tout réel η 0, [, = η, y = + η, on a y < η avec y = 3η > 3.

Propriétés globales des fonctions continues 709 Eercice 7.6 Soit f : R R une fonction uniformément continue. Montrer qu il eiste deu constantes réelles a, b telles que f ) a + b pour tout réel. En déduire que la fonction n est pas uniformément continue sur R. Solution 7.6 Avec l uniforme continuité de f sur R on peut trouver un réel α > 0 tel que f ) f y) pour tout couple, y) de réels tels que y α. On en déduit alors par récurrence que : n N, [nα, n + ) α], f ) f 0) n +. Le résultat est vrai pour n = 0 et en le supposant acquis pour n 0, on a pour tout [n + ) α, n + ) α] : f ) f 0) f ) f n + ) α) + f n + ) α) f 0) + n + ) = n +. Si est un réel positif ou nul, on peut alors trouver un entier naturel n tel que [nα, n + ) α] et avec n, on déduit que : α f ) f ) f 0) + f 0) n + + f 0) + + f 0) ). α En raisonnant avec la fonction g définie par g ) = f ), on a un résultat analogue pour les réels négatifs. Du fait qu il n est pas possible de trouver des réels a, b tels que a + b pour tout réel positif, on déduit que la fonction n est pas uniformément continue sur R. 7.5.3 Continuité et compacité Théorème 7.4 Toute fonction définie sur un intervalle réel fermé borné I = [a, b] à valeurs réelles et continue est bornée et atteint ses bornes. Démonstration. Soit y n ) n N une suite dans f I) avec y n = f n ) pour tout n N. Le théorème de Bolzano-Weierstrass théorème.) nous dit que de la suite n ) n N dans le segment I on peut etraire une suite ϕn) qui converge vers un réel I. Avec la )n N continuité de f on a alors : lim y ϕn) = lim f ) ϕn) = f ). En conséquence f I) est compact. En particulier f I) est une partie non vide bornée de R et donc admet une borne inférieure et une borne supérieure. Notons : m = inf I f ), M = sup f ). I Il reste à montrer que m et M sont dans f I). Par définition de la borne inférieure m, pour tout entier n > 0 on peut trouver n dans I tel que : m f n ) < m + n.

70 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle De la suite n ) n N ainsi définie dans le segment I on peut etraire une sous-suite ϕn) )n N qui converge vers un réel a I. On a donc pour tout entier n > 0 : m f ϕn) ) < m + ϕ n), avec lim ϕ n) = +. On a donc, avec la continuité de f : f a) = lim f ) ϕn) = m. On procède de manière analogue pour la borne supérieure. Un autre résultat important relatif au fonctions continues sur un segment est le suivant. Théorème 7.5 Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue. Démonstration. Soit f continue sur I = [a, b]. Supposons f non uniformément continue sur I. Il eiste alors un réel ε > 0 et des suites n ) n, y n ) n dans I telles que n y n < n et f n) f y n ) > ε pour tout n. Avec la compacité de I, on peut etraire deu suites ) ϕn) et y n ϕn) qui convergent )n respectivement vers et y dans I. Mais avec n y n < ϕ n), on déduit que y = n ) ) lim ϕn) y ϕn) = 0, soit = y et avec la continuité de f on a alors lim f ϕn) f yϕn) = 0 en contradiction avec f ϕn) ) f yϕn) ) > ε pour tout n. Comme première application de ce résultat, on peut montrer que toute fonction f continue sur un segment [a, b] est limite uniforme d une suite de fonctions continues affines par morceau. De manière plus précise, soit f continue sur [a, b]. Pour tout entier n on définit une subdivision de [a, b] en notant : k = a + k b a 0 k n) n et à cette subdivision on associe la fonction f n définie par : f n ) = f k ) + k f k+ ) f k )) k+ k f n coïncide avec f au k et est affine sur [ k, k+ ]). Cette fonction est affine par morceau et continue sur [a, b]. Lemme 7.3 La suite f n ) n converge uniformément vers f sur [a, b]. Démonstration. La fonction f continue sur le compact [a, b] y est uniformément continue, donc pour ε > 0 donné on peut trouver un réel η > 0 tel que si, y dans [a, b] sont tels que y η alors f ) f y) < ε. Pour tout entier n b a η 0 et n on a alors k+ k = b a n intervalles [ k, k+ ], on obtient pour n b a et tout entier k compris entre η. Sachant qu un réel [a, b] est dans l un des : η f ) f n ) = f ) f k) k f k+ ) f k )) k+ k f ) f k ) + k f k+ ) f k ) k+ k ε + k k+ k ε ε,

Propriétés globales des fonctions continues 7 ce qui prouve la convergence uniforme sur [a, b] de f n ) n vers f. Ce résultat peut être utilisé pour prouver, sans théorie de l intégration, que toute fonction f continue sur un intervalle compact admet une primitive. On vérifie tout d abord qu une fonction affine par morceau et continue sur [a, b] admet une primitive, ce qui n est pas difficile. Si, avec les notations qui précèdent, on désigne pour tout n par F n la primitive de f n nulle en a, on constate que la suite F n) n converge uniformément sur [a, b] vers f et que la suite F n a)) n converge vers 0. On déduit alors que la suite F n ) n converge uniformément sur [a, b] vers une fonction dérivable F et que F = f, c est-à-dire que F est une primitive de f sur [a, b]. On peut alors définir l intégrale d une fonction f continue sur [a, b] par : b a f ) d = F b) F a) où F est une primitive de f sur cet intervalle. Une deuième application est relative au fonctions périodiques. Théorème 7.6 Toute fonction continue sur R périodique de période T > 0 et à valeurs réelles est uniformément continue. Démonstration. Toute fonction f continue sur R périodique de période T est uniformément continue sur le compact J = [ T, T + ]. Donc pour tout ε > 0, on peut trouver un réel η ]0, [ tel que : t, ) J, t η = f t) f ) ε. Pour [ T, T ] et t R tels que t η on a nécessairement t [ T, T + ] η ]0, [) et f t) f ) ε. ) + T Pour t, ) R tels que t η et n Z tel que nt [ T, T ] n = E ) T on a t nt ) nt ) η et : f t) f ) = f t nt ) f nt ) ε. On a donc ainsi prouvé que f est uniformément continue sur R. Une troisième application importante est le résultat suivant de continuité d une fonction définie par une intégrale sur un segment. Théorème 7.7 Soit f une fonction à valeurs réelles définie et continue sur I [a, b], où I est un intervalle réel non réduit à un point et a < b dans R. La fonction ϕ définie sur I par : est continue sur I. I, ϕ ) = b a f, t) dt Démonstration. On se fie un réel 0 dans I et un intervalle [α, β] contenu dans I, contenant 0, avec α < β. La fonction f étant continue sur le compact K = [α, β] [a, b] y est uniformément continue, donc pour tout réel ε > 0 on peut trouver un réel η > 0 tel que f, t) f u, v) < ε pour tous, t) et u, v) dans K tels que, t) u, v) < η. Pour dans I tel que 0 < η, on a, t) 0, t) < η pour tout t [a, b] et : ϕ ) ϕ 0 ) ce qui prouve la continuité de ϕ en 0. b a f, t) f 0, t) dt < b a) ε,

7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle 7.6 Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I Définition 7.6 On dit que la fonction f est dérivable en a I si la fonction τ a f ) f a) définie sur I \ {a} admet une limite finie en a. a : Quand cette limite eiste, elle est unique, on la note f a) et on dit que c est le nombre dérivé de f en a. De manière équivalente, on peut dire que f est dérivable en a si, et seulement si, elle admet un développement limité d ordre en a : f ) = a 0 + a a) + o a) et dans ce cas a 0 = f a), a = f a). De la définition du nombre dérivé on déduit facilement le résultat suivant. Théorème 7.8 Si f est dérivable en a I elle est alors continue en ce point. La réciproque de ce résultat est fausse comme le montre l eemple de la fonction au voisinage de 0. Définition 7.7 On dit que la fonction f est dérivable à gauche [resp. à droite ] en a I si la fonction τ a admet une limite à gauche [resp. à droite] finie en a. Quand cette limite eiste, elle est unique, on la note f g a) [resp. f d a)] et on dit que c est le nombre dérivé à gauche [resp. à droite] de f en a. Là encore des définitions on déduit facilement les résultats suivants. Théorème 7.9 Si f est dérivable à gauche et à droite en a I alors elle est continue en ce point. Théorème 7.0 Si a I, alors f est dérivable en a si, et seulement si, elle dérivable à gauche et à droite en ce point avec f g a) = f d a). Cette valeur commune est alors égale à f a). Définition 7.8 Si D est l ensemble des points I où f : I R ou C) est dérivable, on définit alors la fonction dérivée de f sur D par f ). Cet ensemble D peut être vide et dans ce cas la fonction dérivée n est pas définie. C est le cas par eemple pour la fonction caractéristique de Q qui est discontinue en tout point de R eemple 7.4) et en conséquence ne peut être dérivable. Une fonction peut très bien être continue et nulle part dérivable sur I. Pour construire une telle fonction, on désigne par ϕ la fonction -périodique sur R définie par : Lemme 7.4 Pour tous réels, y on a : [, ], ϕ ) =. ϕ ) ϕ y) y.

Dérivabilité en un point, dérivabilité sur I 73 Démonstration. Avec ϕ ) [0, ] pour tout réel, on déduit que pour, y dans R tels que y, on a ϕ ) ϕ y) y. On suppose donc que y < et comme, y jouent des rôles symétriques, on peut même supposer que 0 < y <. On distingue alors les cas suivants : si, y sont dans [, ], alors : ϕ ) ϕ y) = y y ; si [, ] et y [, ], avec 0 < y < on a nécessairement [0, ] et y [, 0], ce qui donne : { ϕ ) ϕ y) = ϕ ) ϕ y ) = + y y, ϕ y) ϕ ) = ϕ y ) ϕ ) = y y, soit ϕ ) ϕ y) y ; dans le cas général, toujours avec 0 < y <, en notant n la partie entière de +, on a : { n <, n < y n < + n < et avec ce qui précède : ϕ ) ϕ y) = ϕ n) ϕ y n) y. La proposition qui suit nous sera également utile. [ Lemme 7.5 Soit R. Si l intervalle, + [ ne contient pas d entiers, alors : ϕ + ) ϕ ) =. Démonstration. Si n est la partie entière de + à gauche est justifiée par / Z) et comme il n y a pas d entiers dans, alors < n < l inégalité stricte [ n, n + [, on a soit < n < 0 et < n + 0, soit n > 0 et < n + qui donne : ϕ + ) ϕ ) = ϕ n + ) ϕ n) =, ce dans le premier cas et : ϕ + ) ϕ ) = ϕ n + ) ϕ n) = dans le second. On définit la fonction de Van der Waerden par : + ) n 3 R, f ) = ϕ 4 n ). 4 n=0 ) n ) n 3 3 Avec 0 ϕ 4 n ), on déduit que cette série de fonction est uniformément 4 4 convergente et avec la continuité de ϕ que la somme f est continue sur R.

74 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Théorème 7. La fonction f n est dérivable en aucun point de R. Démonstration. [ Soient R et m N \ {0}. L intervalle 4 m, 4m + [ qui est de longueur contient eactement un entier et cet [ entier est dans l un seulement des deu intervalles 4 m [ [, 4m ou 4 m, 4 m + [. On note alors ε m = si le premier intervalle ne contient pas d entier et ε m = si c est le second. En posant h m = ε m 4, on a : m f + h m ) f ) h m = + n=0 ) n 3 ϕ 4 n + h m )) ϕ 4 n ). 4 h m Pour n > m, 4 n h m = ε m 4 n m est un entier pair et ϕ 4 n + 4 n h m ) ϕ 4 n ) = 0. Pour n = m, 4 m h m = ε m et le lemme précédent nous dit que : ϕ 4 m + 4 m h m ) ϕ 4 m ) =. Enfin pour 0 n < m, avec le lemme 7.4 on a : Il en résulte que : f + h m ) f ) h m = m ϕ 4 n + h m )) ϕ 4 n ) 4 n h m. n=0 3 4 ) n ϕ 4 n + h m )) ϕ 4 n ) 3 m h m m n=0 3 n = 3m + et lim f + h m ) f ) m + h m = + avec lim h m = 0, ce qui implique que f ne peut être m + dérivable en. Un autre eemple de telle fonction est donné par la fonction de Weierstrass définie par : R, f ) = + n=0 cos p n ) n, où p 6 est un entier pair. On peut même montrer que cette fonction n est monotone sur aucun intervalle non réduit à un point voir [7]). Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I, sa dérivée f n est pas nécessairement continue comme le montre l eemple de la fonction f définie par f ) = sin ) ) dans R et f 0) = 0. On a f ) = sin cos pour 0 et : ) f ) = sin 0, 0 donc f 0) = 0. Mais f n est pas continue en 0 car la fonction g : cos ) limite en 0 ce qui se déduit de g = ) k pour tout entier k ). kπ ) ) pour 0 n a pas de

Opérations sur les fonctions dérivables 75 Définition 7.9 On dit qu une fonction f est de classe C ou continûment dérivable) sur I si elle est dérivable en tout point de I et si la fonction dérivée f est continue sur cet intervalle. Eercice 7.7 Soit f : [0, ] R continue, dérivable en 0 avec f 0) = 0. Montrer que : lim n f k= ) = f 0) ln ). n + k Solution 7.7 Soient ε > 0 et η > 0 tels que : 0 < < η f ) f 0) < ε. Pour tout entier n > η, on a 0 < < η pour tout entier k compris entre et n et donc : n + k ) f n + k n + k f 0) < n + k ε, ce qui entraîne : n f k= En considérant que : ) n n + k k= ) n + k n f 0) < k= ) ε < ε. n + k lim n k= n + k = lim n n k= + k n = 0 d + = ln ), on aboutit au résultat. Par eemple pour f ) =, on obtient : lim n k= n + k) = 0 et pour f ) = arctan ) : lim n k= ) arctan = ln ). n + k 7.7 Opérations sur les fonctions dérivables Pour toute fonction f et tout point a de I, on note τ a f) la fonction définie sur I \ {a} par f ) f a) τ a f) ) =. a Les résultats importants relatifs au opérations algébriques sur les fonctions dérivables sont résumés avec le théorème qui suit. Théorème 7. Soient f, g deu fonctions de I dans R ou C) dérivables en a I.

76 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle. Pour tous réels λ, µ la fonction λf + µg est dérivable en a avec : λf + µg) a) = λf a) + µg a).. La fonction fg est dérivable en a avec : fg) a) = f a) g a) + f a) g a) formule de Leibniz). 3. Si g a) 0, alors la fonction g ne s annule pas dans un voisinage de a, les fonctions g et f g qui sont définies dans un tel voisinage sont dérivables en a avec : ) a) = g a) g g a), ) f a) = g a) f a) f a) g a). g g a) Démonstration.. Résulte de :. Résulte de : et de la continuité de a. τ a λf + µg) = λτ a f) + µτ a g). τ a fg) ) = f ) τ a g) + g a) τ a f) 3. Si g a) 0, on a g ) 0 pour tout dans un voisinage de a du fait de la continuité de g en ce point. Avec : ) τ a ) = g g ) g a) τ a g) ) pour a, on déduit par passage à la limite quand tend vers a que a) = g a) g g a). La formule de Leibniz permet d obtenir le deuième point. Pour ce qui est de la composition et du passage à l inverse, on a les résultats suivants. Théorème 7.3 Soient I, J deu intervalles réels f : I J une fonction dérivable en a I et g : J R ou C) une fonction dérivable en b = f a). La fonction g f est définie sur I et dérivable en a avec : g f) a) = g f a)) f a). Démonstration. On définit la fonction τ b sur J par : g y) g b) si y b τ b y) = y b g b) si y = b et pour a dans I, on a : g f ) g f a) a = τ b f )) f ) f a) a pour f ) f a) c est clair et pour f ) = f a), les deu membres de cette égalité sont nuls). Faisant tendre vers a on obtient le résultat du fait de la continuité de f en a, de celle de τ b en b et de la définition de f a).

Opérations sur les fonctions dérivables 77 Théorème 7.4 Soit f : I R une fonction continue strictement monotone dérivable en a. La fonction réciproque f est dérivable en f a) si, et seulement si, f a) 0 et dans ce cas on a : f ) f a)) = f a). Démonstration. On rappelle que si f : I R est continue strictement monotone, c est alors un homéomorphisme de I sur f I) théorème 8.9). Si f est dérivable en f a), on a alors : = f f ) a) = f ) f a)) f a) et nécessairement f a) 0. Supposons f a) 0 et notons b = f a). Pour tout y b dans J on a f y) a et : f y) f b) y b f f y)) f a) = f y) a ) et avec la continuité de f, on a : f f y)) f a) lim y b f y) a = f a), ce qui entraîne : f y) f b) lim y b y b = f a). De ce résultat, on déduit les dérivées des fonctions trigonométriques et hyperboliques inverses, à savoir : ], [, arcsin ) = ; ], [, arccos ) = ; R, arctan ) = + ; R, argsh ) = ; + ], + [, argch ) = ; ], [, argth ) =. La fonction arcsin + arccos étant de dérivée nulle sur ], [ est constante et la valeur de cette fonction en = 0, nous donne : ], [, arcsin ) + arccos ) = π. De même en remarquant que la dérivée de la fonction arctan )+arctan sur R et en prenant les valeurs en et, on déduit que : ) R, arctan ) + arctan = π. ) est nulle

78 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Eercice 7.8 Étudier la dérivabilité de la fonction f définie sur R par : { cos π f ) = ) si 0 0 si = 0. { } Solution 7.8 Il est clair que f est de classe C sur R \ k + k Z. Avec : f ) 0, 0 on déduit que f est dérivable en 0 avec f 0) = 0. Soit k = p un entier naturel pair et k = k +. Pour π ] kπ, π [ π + kπ, on a cos > 0 ) et pour π ] π [ π + kπ, k + ) π, cos < 0, de sorte que : ) si et si k + < < k pour k 0, ou > pour k = 0, alors : f ) f k ) k = k + < < k +, alors : f ) f k ) k π cos ) k π cos = ) k + k + k π cos = π )) = k π cos = π. )) = k La fonction f est donc dérivable à droite et à gauche en p avec : f g p ) = π, f d p ) = π. On vérifie de même que f est dérivable à droite et à gauche en p+, pour tout entier naturel p, avec : f g p+ ) = π, f d p+ ) = π. Ces dérivées à droite et à gauche étant distinctes, on en déduit que f n est pas dérivable en k pour tout k N. Avec la parité de la fonction f, on déduit que ce résultat est encore valable pour tout k Z. 7.8 Etrémums et dérivation Théorème 7.5 Soient I un intervalle réel d intérieur non vide, f une fonction à valeurs réelles définie sur I dérivable en un point a intérieur à I. Si f admet un etremum local en a alors f a) = 0. Démonstration. On suppose que la fonction f admet un maimum local en a. Le point a étant intérieur à I, la fonction ϕ : t f a + t) est définie sur un voisinage ouvert de 0 et en écrivant que : f f a + t) f a) a) = lim t 0 t t>0 f a) = lim t 0 t<0 f a + t) f a) t 0, 0,

Le théorème de Darbou 79 on déduit que f a) = 0. Deu conséquences importantes de ce théorème sont le théorème de Rolle et le théorème de Darbou théorème 7.7). La démonstration du théorème précédent contient plus précisément le résultat suivant. Théorème 7.6 Si I est un intervalle réel d intérieur non vide, f une fonction à valeurs réelles définie sur I dérivable à gauche et à droite en un point a intérieur à I et qui admet un maimum [resp. minimum] local en ce point, alors f g a) 0 et f d a) 0 [resp. f g a) 0 et f d a) 0]. La réciproque de ce théorème est fausse comme le montre l eemple de la fonction 3 au voisinage de 0. 7.9 Le théorème de Darbou On a vu que si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors sa dérivée f n est pas nécessairement continue et pourtant cette dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Théorème 7.7 Darbou) Si f est une fonction à valeurs réelles définie et dérivable sur un intervalle I, alors sa fonction dérivée f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. Démonstration. Soient a < b dans I. Si f a) = f b) il n y a alors rien à montrer. On suppose donc que f a) < f b) et on se donne λ ]f a), f b)[. On définit la fonction ϕ : [a, b] R par : [a, b], ϕ ) = f ) λ. Cette fonction est continue sur le compact [a, b], elle est donc minorée et atteint sa borne inférieure, c est-à-dire qu il eiste c [a, b] tel que ϕ c) = ϕ ). Si c = a [resp. c = b], inf [a,b] ϕ ) ϕ a) ϕ b) ϕ ) alors 0 [resp. 0] pour tout ]a, b[ et en passant à limite quand a b tend vers a [resp. vers b] par valeurs supérieures [resp. inférieures], on déduit que ϕ a) 0 [resp. ϕ b) 0] ce qui est en contradiction avec ϕ a) = f a) λ < 0 < ϕ b) = f b) λ. On a donc c ]a, b[ et ϕ c) = 0, soit f c) = λ. Le théorème de Darbou nous montre qu une fonction peut très bien vérifier la propriété des valeurs intermédiaires sans être continue. Par eemple la fonction f définie par f ) = ) sin prolongée par continuité en 0 est dérivable sur R de dérivée f vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires et non continue en 0. Corollaire 7. Il eiste des fonctions définies sur un intervalle réel qui n admettent pas de primitive. Démonstration. Si f admet une primitive F sur I, elle doit vérifier la propriété des valeurs intermédiaires. Une fonction ne vérifiant pas cette propriété, par eemple une fonction en escaliers, n admet donc pas de primitive sur I. En fait, on peut vérifier directement qu une fonction en escalier n admet pas de primitives. Eercice 7.9 Montrer que la fonction f définie sur I = [0, ] par f ) = 0 si [0, ] et f ) = si ], ] n admet pas de primitives sur I.

70 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Solution 7.9 Si F est une primitive de f sur I, on a alors F ) = 0 sur [0, ] et F ) = sur ], ], ce qui donne F ) = α sur [0, ] et F ) = +β sur ], ], où α, β sont des constantes réelles. Avec la continuité de F en, on déduit que α = + β et F est définie par F ) = + β sur [0, ] et F ) = +β sur ], ]. Mais une telle fonction ne peut être dérivable en, puisque : F ) F ) F ) F ) lim = 0 lim + =. Du théorème de Darbou et du théorème 8.7, on déduit le résultat suivant. Théorème 7.8 Une fonction convee et dérivable de I dans R est continûment dérivable. Démonstration. Si f est convee et dérivable de I dans R, sa dérivée f est croissante. Cette dérivée vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires, on déduit du théorème 8.7 qu elle est continue.