EXERCICE 1 A = 2 3 2 21 3 10 1,8 10 B = 4 7 7 8 6 10 3 1) A = 3 7 2 7 21 8 = 3 7 2 21 7 8 = 3 7 2 7 3 7 2 4 = 3 7 3 4 = 3 4 7 4 3 7 12 21 = = -9 4 7 28 28 2 3 10 1,8 10 2) a) B = 4 6 10-1 + (-5) = 9 10 3 = 3 1,8 6 = 9 10-6 (écriture scientifique) = 0,000 009 (écriture décimale) 10² 10-3 10 4 = 0,9 10 2+(-3)-4 = 9 10-1 10-5 EXERCICE 2 On donne C = (2x + 3)² + (x 5)(2x + 3). 1. C = (2x + 3)² + (x 5)(2x + 3) = ((2x)² + 2 2x 3 + 3²) + (x 2x + x 3 5 2x 5 3) = 4x² + 12x + 9 + 2x² + 3x 10x 15 = 6x² + 5x 6 (forme développée). 2. C = (2x + 3)² + (x 5)(2x + 3) = (2x + 3)[(2x + 3) + (x 5)] = (2x + 3)(3x 2).(forme factorisée) 3. L'équation (2x + 3)(3x 2) = 0 est une équation produit nul. Or, si un produit est nul, alors l un de ses facteurs est nul. Donc, 2x + 3 = 0 ou 3x 2 = 0 2x + 3 = 0 2x + 3 3 = 0 3 2x 2 = - 3 2 x = -1,5 3x 2 = 0 3x 2 + 2 = 0 + 2 3x 3 = 2 3 x = 2 3 Vérification : (2 (-1,5) + 3)(3 (-1,5) 2) = (-3 +3)(-4,5 2) = 0 (-6,5) = 0. Donc -1,5 est bien solution de l équation. Vérification : (2 2 3 + 3)(3 2 3 2) = (4 3 +3)(2 2) = 13 3 0 = 0. Donc 2 est bien solution de l équation. 3 Les solutions de l équation (2x + 3)(3x 2) = 0 sont -1,5 et 2 3. 4. Pour x = 2 : C = 6 2² + 5 2 6 = 6 4 + 10 6 = 24 + 4 = 28. Page 1 sur 6
EXERCICE 3 1. Figure en vraie grandeur. 2. Montrer que BC = 8 cm. Le triangle BCD est rectangle en D. Je connais la mesure de [BD], côté adjacent de CBD, et je cherche la mesure de [BC], hypoténuse du triangle. Donc, j utilise la formule du cosinus. côté adjacent à CBD cos CBD = hypoténuse cos (60 ) = 4 D où BC = 3. Calculer CD. = BD BC BC 4 cos (60 ) = 4 = 8. [BC] mesure 8 cm. 0,5 Le triangle BCD est rectangle en B, donc, d après le théorème de Pythagore, on a : BC² = BD² + CD² 8² = 4² + CD² 64 = 16 + CD² d où CD² = 64 16 = 48. 4. Calculer AC. CD = 48 6,9. [CD] mesure 6,9 cm (arrondi au dixième). Le triangle ABC est rectangle en D, donc, d après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC² AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 d où AC = 100 = 10. [AC] mesure 10 cm. 5. valeur de tan BAC Le triangle ABC est rectangle en D, donc tan BAC = 6. Valeur arrondie au dixième de BAC. côté opposé à BAC côté adjacent à BAC = BC BA = 8 6 = 4 3 On utilise la calculatrice : BAC = arctan (4 : 3) 53,1. Page 2 sur 6
EXERCICE 4 1) AB = 5,2 tan 23 2,2 cm (b) 2) IJK = 90-32 = 58 (c) 3) x = arctan 54 89 (c) arrondi au degré 4) a = 180 2 (180 103) = 180 154 = 26 (c) 5) sin y = 3 5 (a) EXERCICE 5 Un confiseur décide de répartir 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets identiques. 1) Nombre maximal de sachets réalisables : On partage les bonbons et les chocolats de la même façon pour obtenir le plus grand nombre de sachets réalisables, donc il faut chercher le PGCD de 301 et 172. J utilise l algorithme d Euclide : 301 = 172 1 + 129 172 = 129 1 + 43 129 = 43 3 + 0. Le PGCD est le dernier reste non nul donc PGCD(301 ; 129) = 43. On peut faire au maximum 43 sachets en partageant tous les bonbons et tous les chocolats. 2) Nombre de bonbons et le nombre de chocolats contenus dans un sachet. 301 : 43 = 7 172 : 43 = 4. Chaque sachet contient 7 bonbons et 4 chocolats. 3) Prix d un chocolat. Notons c le prix d un chocolat : 7 0,10 + 4 c = 1,30 4c = 1,30 0,70 4c = 0,60 c = 0,60 : 4 c = 0,15 Un chocolat coûte 0,15. EXERCICE 6 1) Voir l ANNEXE. 2) a) Probabilité de tirer 2 boules vertes : P(V ; V) = 2 5 4 5 = 8 25 b) P(R ; R) = 3 5 1 5 = 3 25 < P(V ; V). On a plus de chances de tirer 2 boules vertes. 3) Probabilité de tirer 2 boules de couleurs différentes. p = P(V ;R ou R ;V) = P(V ; R) + P(R ; V) (événements incompatibles) = 2 5 1 5 + 3 5 4 5 = 2 25 + 12 25 = 14 25. 4) Probabilité de tirer 2 boules de la même couleur. p = P(R ;R ou V ;V) = P(RR) + P(VV) (événements incompatibles) = 3 25 + 8 25 = 11 25. ou : Les événements «tirer 2 boules de couleurs différentes» et «tirer 2 boules de couleurs différentes» sont des événements contraires donc p = 1 14 25 = 11 25 Page 3 sur 6
EXERCICE 7 Cette courbe représente une fonction h pour des valeurs comprises entre 6 et 10. Par lecture graphique : 1) L image de 1 par h est 3.. 2) h(-1) = 1 3) Les antécédents de 0 par h sont 3 et 8. 4) Il y a 4 solutions de l équation h(x) = 2 car la courbe représentative de h coupe la droite d équation y = 2 en 4 points. EXERCICE 8 On considère le programme de calcul ci-dessous : choisir un nombre de départ ajouter 8 multiplier la somme par le nombre de départ Ajouter 16 au résultat écrire le résultat obtenu. 1. a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 36. b) Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on? Page 4 sur 6
2. L évaluation de cette question tiendra compte des observations et des étapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie. a) Amel prétend que, pour n importe quel nombre entier de départ, le résultat du programme de calcul est le carré d un nombre entier. A-t-elle raison? Appliquons le programme de calcul à un nombre entier n : (n + 8) n +16. En développant, on obtient : n² +8n + 16. En factorisant, on obtient : (n + 4) 2 qui est bien le carré d un nombre entier. Amel a raison. b) Déterminer le(s) nombre(s) qui permet(tent) d obtenir 25 lorsque l on applique ce programme de calcul. On résout l équation (n + 4)² = 25. Les nombres qui ont pour carré 25 sont -5 et 5 d où : n + 4 = -5 n + 4 = 5, n = -9 n = 1 Vérification : Les nombres 1 et -9 permettent d obtenir le nombre 25. EXERCICE 9 Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Une salle de spectacle a la forme ci-contre : Les sièges sont disposés dans quatre zones : deux quarts de disques et deux trapèzes, séparées par des allées ayant une largeur de 2 m. On peut placer en moyenne 1,8 sièges par m 2 dans la zone des sièges. Calculer le nombre de places disponibles dans ce théâtre. Aire d'un trapèze : petite base = (16 2) 2 = 14 2 = 7 m grande base = 13 m. hauteur = 10 m. (7 + 13) 10 Aire = = 200 = 100 m². 2 2 Aire d'un quart de disque : Rayon = 13 m Aire = π 13² 4 = 42,25π m² Aire totale : 2 100 + 2 42,25π = 200 + 84,5π 465,5 m². Nombre de places possibles : 465,5 1,8 837,8. Le théâtre dispose de 837 places Page 5 sur 6
ANNEXE EXERCICE 6 Boite B1 Boite B2 Issue Page 6 sur 6