TS spécialité Cotrôle du mercredi 0 javier 016 (50 miutes) II. (4 poits) Démotrer que pour tout etier relatif, 1 et 1 sot premiers etre eux. Préom : Nom : Note :. / 0 Écrire très lisiblemet, sas rature ; ecadrer les résultats demadés e rouge à la règle. I. (4 poits : 1 ) poits ; ) poits) O cosidère la suite u défiie sur par u! 1. Le but de l exercice est de démotrer que pour tout etier aturel 1, u et u 1 sot premiers etre eux. u u u 1! 1 1 valable pour tout O cosidère les égalités suivates : 1 1 1 et [ etier aturel ; valable pour tout etier aturel 1]? 1 ) Démotrer brièvemet l égalité 1. ) E utilisat le lemme d Euclide, démotrer le résultat demadé.
III. (4 poits : 1 ) 1 poit ; ) 3 poits) O cosidère l équatio 616x 585y 1 Aucue justificatio est demadée. E d icoue, 1 ) Doer sas justifier u couple solutio de E. x y. 1 ) Das cette questio, o veut le recouvrir etièremet par des carrés idetiques les plus grads possibles, leur côté mesurat u ombre etier de cetimètres. Quelle doit être la logueur des côtés de ces carrés? Le couple...;... est u couple solutio de E. Combie faut-il utiliser de carrés? ) Doer sas justifier tous les couples solutios de E. Les couples solutios de E sot tous les couples de la forme... ) Das cette questio, o veut le recouvrir avec des rectagles tous idetiques dot la logueur est égale au double de la largeur (la largeur état mesurée par u ombre etier de cetimètres) e respectat le schéma ci-dessous. 1,14 m 0,96 m Il est demadé de e pas écrire d égalité d esembles. O rappelle qu u couple se ote avec des parethèses. Quelles sot les dimesios possibles de ces rectagles? IV. ( poits) U fleuriste a 135 roses blaches, 10 roses rouges et 90 roses jaues. Il veut préparer le plus grad ombre de bouquets ayat la même compositio (même ombre de roses de chaque sorte). Quelle compositio doit-il choisir pour ses bouquets? Combie e faut-il? VI. (1 poit) Nombre de roses blaches Nombre de roses rouges Nombre de roses jaues U etier relatif x est divisible par 3 et 5. Détermier à l aide d ue propriété u diviseur positif de x différet de 1, 3 et 5. Justifier par ue phrase. Aucue répose o justifiée ou mal justifiée e sera pas prise e dérivatio. V. (5 poits : 1 ) poits ; ) 3 poits) Das tout l exercice, o cosidère u rectagle qui a pour logueur 1,14 m et pour largeur 0,96 m. Répodre sas faire de phrase et sas justifier.
Coseil que j aurais dû doer à l oral : Préseter chaque lettre utilisée. Soit d u diviseur positif commu à
Corrigé du cotrôle du 0-1-016 II. Démotrer que pour tout etier relatif, 1 et 1 sot premiers etre eux. I. O cosidère la suite u défiie sur par u! 1. Le but de l exercice est de démotrer que pour tout etier aturel 1, u et u 1 sot premiers etre eux. u u u 1! 1 1 valable pour tout O cosidère les égalités suivates : 1 1 1 et [ etier aturel ; valable pour tout etier aturel 1]? 1 ) Démotrer brièvemet l égalité 1. ) E utilisat le lemme d Euclide, démotrer le résultat demadé. 1 ) 1 1! 1 1 1! 1 1 u 1! 1 1u u 1 u u e méthode : u u u 1 1! 1 u 1! 1 1 u 1 u 1 1 1 u 1 1 1 1 u 1 1 ) Le lemme d Euclide appliqué à l égalité 1 doe PGCD u ; u PGCD u ; 1. Le lemme d Euclide appliqué à l égalité doe PGCD u ; PGCD ; 1 Or PGCD ;1 1 et PGCD u ; PGCD u ; O e déduit que u u PGCD 1 ; 1... O e déduit que pour tout etier aturel 1, u et u 1 sot premiers etre eux. O écrit : 1 1 1 1 1 O utilise esuite le lemme d Euclide. Le lemme d Euclide appliqué à l égalité 1 doe PGCD 1 ; 1 PGCD 1;. Le lemme d Euclide appliqué à l égalité doe PGCD 1; PGCD ;1 Or PGCD ;1 1. O e déduit que Aisi, o peut affirmer 1 e méthode : O écrit ue égalité de Bezout. PGCD 1 ; 1 1. et 1 O a : 1 1 1 1. Doc d après le théorème de Bezout, 1 3 e méthode : Soit d u diviseur commu à 1 sot premiers etre eux. et 1 et 1. O travaille esuite avec des combiaisos liéaires. III. O cosidère l équatio 616x 585y 1. sot premiers etre eux. E d icoue, 1 ) Doer sas justifier u couple solutio de E. Le couple 181 ; 190 x y. est u couple solutio de E. ) Doer sas justifier tous les couples solutios de E. Les couples solutios de E sot tous les couples de la forme 181 585 k ; 616k 190 avec k.
IV. Quelles sot les dimesios possibles de ces rectagles? U fleuriste a 135 roses blaches, 10 roses rouges et 90 roses jaues. Il veut préparer le plus grad ombre de bouquets ayat la même compositio (même ombre de roses de chaque sorte). Quelle compositio doit-il choisir pour ses bouquets? Justificatio : 3 cm (largeur) et 6 cm (logueur) Nombre de roses blaches Nombre de roses rouges Nombre de roses jaues O calcule PGCD 135 ;10 ; 90. 9 8 6 0 15 ; 9 (car 15 divise 90) PGCD 135 ;10 ; 90 PGCD PGCD 135 ;10 ; 90 PGCD 135 ;10 ; 9 PGCD 0 PGCD 135 ;10 ; 90 15 O ote x la largeur e cetimètres. E réfléchissat u peu (et e faisat des schémas), o observe que x doit diviser 114 et 96. Autremet dit x 114 et x 96 doc x 57 et x 48. Or le PGCD de 57 et de 48 est égal à 3. Doc pour avoir u rectagle de dimesios maximales, x doit être égal à 3. Combie e faut-il? Le plus simple est de calculer l aire du grad rectagle : 11496 10944 cm et l aire de chaque petit rectagle : 3 6 18 cm. 608 V. Das tout l exercice, o cosidère u rectagle qui a pour logueur 1,14 m et pour largeur 0,96 m. Répodre sas faire de phrase et sas justifier. 1 ) Das cette questio, o veut le recouvrir etièremet par des carrés idetiques les plus grads possibles, leur côté mesurat u ombre etier de cetimètres. Quelle doit être la logueur des côtés de ces carrés? Combie faut-il utiliser de carrés? 6 cm 304 ) Das cette questio, o veut le recouvrir avec des rectagles tous idetiques dot la logueur est égale au double de la largeur (la largeur état mesurée par u ombre etier de cetimètres) e respectat le schéma ci-dessous. 0,96 m 1,14 m O calcule : 10944 608. 18 VI. U etier relatif x est divisible par 3 et 5. Détermier à l aide d ue propriété u diviseur positif de x différet de 1, 3 et 5. Justifier par ue phrase. Aucue répose o justifiée ou mal justifiée e sera pas prise e dérivatio. 3 x et 5 x Or 3 et 5 sot des ombres premiers etre eux. Doc 3 5 x soit 15 x. [Si u ombre est divisible par deux etiers premiers etre eux, alors il est divisible par leur produit.] e méthode : x est u multiple de 3 et de 5 doc c est u multiple de leur PPCM. Or PPCM 3 ; 5 15. Doc x est u multiple de 15. Autremet dit, x est divisible par 15.