PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES

PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES Itroducto Das le cours sur les probabltés ous avos trodut la oto d uvers U et lu avos attacé ue focto probablté P. Das beaucoup d applcatos pratques la oto d uvers, pour des rasos de commodté, cède sa place à celle de varable aléatore. La focto probablté attacée à la varable aléatore est alors ue applcato des partes de r das [,] (plutôt que des partes de U das [,]). Cette maère de fare courate elève re à l mportace de la oto d uvers qu reste malgré tout, mplctemet, à la base du calcul des probabltés. Cosdéros u uvers des possbles U correspodat à ue certae expérece aléatore. Les élémets de U (appelés ssues : résultats possbles de l expérece) e sot gééralemet pas des ombres. Il est cepedat utle de fare correspodre u ombre à caque élémet de U, e vue de fare esute des calculs. Pour u jet de dé, l semble aturel de fare correspodre à la face obteue par le jet, le ombre de pots qu elle porte, mas ce est pas ue oblgato. S o jette dés, o s téressera par exemple à la somme des pots obteus. Das les stuatos de jeux ou de pars, comme das la ve réelle, les évetualtés se voet affecter d u ombre : aux dverses cartes que l o peut trer d u jeu be battu, o assoce leur valeur coveue : pour ue carte de à, u pot pour u valet, deux pour ue dame, tros pour u ro et quatre pour u as. O déft as ue focto X. Cette focto X permet à so tour de défr des évéemets : as pour le trage d ue carte : X = représete le trage d u valet, X représete le trage de toute carte autre qu u as, X = représete le trage d ue carte de à. Il est très mportat de be predre coscece du ses de ces otatos, relatvemet abtuelles : l est pas fréquet qu o écrve le sge " = " etre ue focto et u ombre! Et pour acever de ous désoreter, l usage est de doer à ue telle focto le om de varable aléatore : quelques auteurs ot be teté de réagr, e utlsat le om d aléa umérque, tellemet ls souffraet de vor ue focto baptsée varable! Mas l usage est le plus fort. Ue varable aléatore X, sur u uvers des possbles U, est ue applcato de U das r : à tout résultat possble de l expérece (à tout élémet de U), la varable aléatore X fat correspodre u ombre. Lorsque U est f (Card U = et * ) ou f déombrable ( Card U = ℵ ), toute applcato de U das r est ue varable aléatore. Lorsque U est o déombrable ( Card U = ℵ ), l exste certaes applcatos de U das r qu e sot pas des varables aléatores. E effet, la défto rgoureuse d ue varable aléatore X mpose que tout tervalle de r sot l mage d u évéemet A de U (A U ou A P(U)) par l applcato X. Cette codto est vérfée pour toute applcato X s U est f ou déombrable, pusque toute parte de U est u évéemet. Ce est plus vra s U est o déombrable. Les applcatos coses ultéreuremet serot des varables aléatores. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

O parle de varable aléatore dscrète lorsque la varable est ue applcato de U das u sous-esemble X(U) dscret de r, le plus souvet ou ue parte de. O parle so de varable aléatore cotue. Pour u ombre réel a doé, l évéemet costtué de toutes les ssues ( U ) de l expérece telles que X() = a est oté [X() = a], ou, e abrégé, X = a. Pour deux ombres réels a et b (a b), l évéemet costtué de toutes les ssues de l expérece telles que a < X() b est oté [a < X() b] ou, e abrégé, a < X b. Cosdéros mateat le cas le plus smple d ue varable aléatore fe, que ous gééralseros das u secod temps à ue varable aléatore fe déombrable, pus cotue. Sot X ue varable aléatore sur u uvers des possbles U à valeurs fes : X(U) = {x, x,..., x }. X(U) devet u esemble probablsé s l o déft la probablté P(X = x ) pour caque x, que l o ote f(x ). Cette focto f, défe par f(x ) = P(X = x ) est appelée dstrbuto (ou lo) de probablté de X. Pusque les f (x) sot des probabltés sur les évéemets {X=x, X=x,..., X=x }, o a par coséquet : ), f( x ) ) f(x = ) ) P( a < X b ) = f(x ), la somme s étedat à tous les dces tels que a < x b. Défto - Exemples. Défto Sot U l uvers assocé à ue expérece aléatore et P(U) l esemble des évéemets. O appelle varable aléatore toute applcato X de U das r telle que X - (I) P(U), pour tout tervalle I de r. X(U) est alors l mage de U. O a X - (I) = { U x I tel que X() = x} U.. Exemples : a) O jette u dé cubque et o s téresse au jeu suvat : s o obtet u uméro 4 o perd F, so o gage F. L applcato X qu à tout trage assoce le ga obteu (ue perte est u ga égatf) est ue varable aléatore (dscrète preat u ombre f de valeurs). O a U = {,,,4,5,}, ( U) = {, } X et s U, o pose s 4 X ( ) =. so b) O jette ue pèce de moae jusqu'à ce que le côté face apparasse et o s téresse au jeu suvat : s o obtet face au ème lacer a gage F. L applcato X qu à tout trage assoce le ga obteu est ue varable aléatore (dscrète preat u ombre f déombrable de valeurs). O a U = *, ( U) = {,4,8,,... } X et X() = =. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

c) O s téresse à la durée de bo foctoemet d u équpemet partculer fabrqué e grade sére das l tervalle [,[. L applcato X qu à u apparel assoce sa durée de bo foctoemet est ue varable aléatore (cotue, par opposto à dscrète, preat u ombre f o déombrable de valeurs). X (U) =, et X ( ) = t où t est le temps de bo foctoemet de U. O a U = *, [ [. Déftos S X est ue varable aléatore défe sur u uvers des possbles U et u réel, o déft les varables aléatores X+, X as : - U, (X+)()=X() +, (X)() = X() - s X(U)={x,x,,x }, alors (X+)(U)={x +, x +,,x +} et (X)(U)={x,,x } - P( X+ = x + ) = P( X=x ) et P( X = x ) = P( X=x ) Lo de probablté. Défto : La lo (ou dstrbuto) de probablté f de la varable aléatore X est la focto f : X( U) [, ] f ( ) = P( X = ) Précédemmet ous travallos das u espace probablsé ( U, P(U), P ), où U est l uvers des possbles, P(U) est l esemble des évéemets et P ue probablté sur P(U). Sot X - ({}) = { U X() = } U ; o ote cet évéemet X - ({}) : X = Mateat ous allos travaller das u autre espace probablsé ( X(U), T, f ) où X(U) est l esemble des ssues possbles (l esemble des ombres attrbués à toutes les ssues possbles de U), T P(r) l esemble des évéemets (oté X =, X ou a X b ), et f ue lo de probablté (desté de probablté das le cas d ue varable aléatore cotue) vérfat les tros proprétés suvates : ), f( x ) (correspodat à P(A), A U) ) = f(x (correspodat à P(U) = ) ) ) P( a < X b ) = f(x ), la somme s étedat à tous les dces tels que a < x b. (correspodat à P(A B) = P(A) + P(B) A B = ) Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

. Exemples : ( repreos les exemples du pot. ) a) Le tableau suvat ous doe la lo de probablté f de X : exemple de calcul : f() = P ( X = ) = P(5) + P() = + = =. b) Ic, = ) = =, où. P( X = Remarque : o peut auss représeter f par u dagramme e bâtos : f()= P ( X = ) c) Lorsque la varable X est cotue, o lu assoce ue desté de probablté f ; das cet exemple f est défe par : t) = f ( t) =,e P( X =, t s t < s t. Focto de répartto Défto : La focto F défe par F(x) = P( X x ) de r das [,] est appelée focto de répartto de la varable aléatore X. Exemples : ( cf. les exemples du pot.. ) a) Ic, s x < F ( x) = s x <. s x Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 4

b) Ic, F( x) = s x < où est la parte etère de y s x = y. s x O a e effet, F (x) = F( ) = P( X ) = P( x = ) = = = (somme des premers termes de la sute géométrque de premer terme = = et de raso ). c) Ic, o a la desté de probablté de X, défe par la focto f : s t < f ( t) =., t,e s t x x,t,t x,x F dt = [- e ] = - e avec ( x) = P( X x) = f ( t) dt =, e s x < O a alors F( x) =, x e s x Das tous les cas, F est ue focto mootoe crossate ( a b F(a) F(b) ) et de plus lm F(x) = et lm F(x) = x x Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 5

Plus gééralemet o a b P( a < X b ) = F ( b) F( a) = f ( t) dt. a Preuve : S a < b, o a : les deux évéemets (X a) et (a < X b) o e dédut : Sot Doc (X b) = (X a) (a < X b) état compatbles P(X b) = P(X a) + P(a < X b) F(b) = F(a) + P(a < X b) P(a < X b) = F(b) F(a) P( a < X b).4 Espérace matématque d ue lo fe Le terme d espérace matématque a été trodut par Pascal à propos des jeux de asard. L espérace matématque peut s terpréter comme le ga moye du joueur ou comme le motat de la mse à egager à caque parte s le jeu est sas fras. C est pourquo o dt qu u jeu est équtable quad E(X) =, où X désge le ga algébrque du joueur (ga perte) L espérace matématque cerce à tradure la tedace cetrale de la lo. Ce om ple de poése est celu sous lequel o désge la moyee podérée des valeurs d ue lo de probablté, les coeffcets de podérato état les probabltés correspodates. Cette moyee où cacue des valeurs x tervet d autat plus que sa probablté est mportate s apparete à u barycetre ou u cetre de gravté e pysque. O peut dre auss que E(X) est l abscsse du cetre de gravté des pots d abscsses x, x,..., x affectés des masses f(x ), f(x ),, f(x )..4. Défto L espérace matématque d ue lo fe f d ue varable aléatore X est le réel E (X ) déft par : µ X = E(X) = x f x ) = x f (x ) + x f (x ) + x f (x ) +... x f (x ) das le cas où X est dscrète ( + et pred u ombre f de valeurs x,( ) avec f(x ) = P( X = x ). remarque : µ X est otée µ s l y a pas de cofuso. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

.4. Iterprétato géométrque E(x) est égale à l are algébrque comprse etre le grapque de la focto de répartto F assocée à X et l axe des ordoées. E effet, pour caque valeur x prse par X, le grapque de F présete u saut de logueur f(x ). Et o peut dre que x f(x ) est l are du rectagle de base [,x ] et de auteur f(x ) lorsque x est postf, et l opposé de cette are lorsque x est égatf. O peut vérfer que l o a : car : [ x - E(X) ] f ( x ) = f(x ) [ x - E(X) ] = f(x ) x - E(X) f(x ) = E(X)- E(X) = Cette relato se tradut géométrquemet par le fat que la drote vertcale x = E(X), les drotes orzotales y = et y =, et la courbe de F défsset deux surfaces d ares A et A égales..4. Remarque L espérace matématque est pas seulemet le résultat d u calcul fat sur ue lo de probablté ; elle a ue sgfcato cocrète, qu a été storquemet comprse avat même que la oto clare de probablté at été formulée avec précso. Ce cocept d espérace matématque se rattace de faço extrêmemet étrote au problème de la décso. Il est aturel de peser que, e face de deux pars dot l ejeu est égal, u sujet ormal cosra le par pour lequel la probablté de ga est la plus grade. Par exemple : s l o m offre de gager Fr., sot e ameat face au jeu de ple ou face, sot e ameat u par le jet d u dé, l est clar que je cosra la pèce. D u autre pot de vue, etre deux pars pour lesquels le asard est égal, je cosra aturellemet celu dot l ejeu est le plus grad : etre deux partes de ple ou face, l ue m offrat Fr. et l autre Fr. e cas de succès, je préférera la premère. La stuato est légèremet plus complexe lorsqu o qutte le domae de ces évéemets extrêmemet smples, pour comparer etre eux deux pars dot, les probabltés de ga, les ejeux e sot égaux. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 7

.4.4 Le par de Pascal Ue dée aturelle cosste à dre qu u par est d autat plus avatageux que, d ue part, sa probablté de ga est plus grade et que, d autre part, l ejeu est plus grad, e sorte qu u moye matématque très smple de représeter l avatage d u par est d e multpler la probablté par l ejeu. L avatage d u par à ple ou face pouvat me rapporter Fr. sera doc doé par le ombre : = 5 Fr. L avatage d u par d ameer le pot au dé pour gager Fr. est de = Fr.. Pascal a très claremet résumé cette oto d avatage das so fameux par : " Pusqu l y a parel asard de ga et de perte, écrt-l, s vous avez qu à gager deux ves pour ue, vous pourrez ecore gager ; mas s l y e avat tros à gager, l faudrat jouer et vous serez mprudet, lorsque vous êtes forcé à jouer, de e pas asarder votre ve pour e gager tros à u jeu où l y a parel asard de perte et de ga." Cette premère parte du rasoemet de Pascal est doc coforme à la premère ypotèse que ous avos magée. Etre deux pars etre lesquels les probabltés sot égales, l est avatageux de cosr celu qu accorde l ejeu le plus élevé. " Mas l y a ue éterté de ve et de boeur. E cela état, quad l y aurat ue fté de asards dot u seul serat pour vous, vous aurez ecore raso de gager u pour avor, et vous agrez de mauvas ses, e état oblgé à jouer, de refuser de jouer ue ve cotre tros à u jeu où d ue fté de asards l y e a pour vous, s l y avat ue fté de ves fmet eureuses à gager." Et sas employer le lagage matématque, Pascal déft avec ue grade clarté l espérace matématque comme le produt que ous avos étudé e écrvat : " Mas l certtude de gager est proportoée à la certtude de ce qu o asarde selo la proporto des asards de ga et de perte. Et de là vet que, s l y a autat de asard d u côté que de l autre, la parte est à jouer égal cotre égal ; et alors la certtude de ce qu o expose est égale à l certtude du ga." Le problème se complque quelque peu s le par a plus ue seule ssue possble mas pluseurs, dot les rapports sot égaux, vore dot ue ssue est u rapport et l autre ue perte. Il vaut meux parer u bœuf qu u œuf! Il est alors préférable de rever à l dée pascalee de l avatage d u par, produt du ga espéré par la probablté de ga, et de gééralser cette oto e magat que le même par pusse provoquer de faço dépedate u certa ombre de gas dstcts : par exemple, ous pouvos cercer la valeur qu l y a leu d attacer au drot de jouer deux partes de dés, la premère pouvat rapporter Fr. avec la probablté, la secode pouvat rapporter Fr. avec la probablté précède,. La valeur attacée à la premère parte est, d après ce qu = Fr. ; la valeur attacée à la secode parte est de = Fr., et l est aturel de cosdérer comme valeur attacée au drot de jouer les deux partes la somme des valeurs partelles, c'est-à-dre : + =. As de proce e proce, parvet-o à dégager la oto d espérace matématque : s u évéemet peut rapporter des ejeux x, x, x,, x, avec des probabltés respectves f(x ), f(x ), f(x ),, f(x ), alors l espérace matématque est : x f(x ) + x f(x )+ x f(x ) + + x f(x ). Nous volà très proce de la défto rgoureuse doée plus aut. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 8

.4.5 Exemples ) Imagos ue lotere pour laquelle ' bllets sot ms e vete. Les lots proms sot : gros lot de ' Fr. lots de Fr. 5 lots de Fr. Be que ce e sot pas dspesable au rasoemet, ous supposeros autorsé le cumul des lots, ce qu faclte le calcul des probabltés, car les dvers trages sot alors dépedats. La probablté p de gager le gros lot est de ' la probablté p de gager u lot de ' Fr. est de La probablté p de gager u lot de Fr. est de ; ' 5 ' Par sute, l espérace matématque attacée à u bllet est : ' p + ' p + p =,5 Fr. Quat au juste prx du bllet, c est le prx auquel l orgasateur de la lotere devrat le vedre pour e fare bééfce, défct, sas ter compte des fras d explotato. Or, quel que sot le résultat des dvers trages, l orgasateur est certa d avor à payer : gros lot de ' Fr. : ' Fr. lots de Fr. : ' Fr. 5 lots de Fr. : 5' Fr. sot 5' Fr.. Comme l ved ' bllets, le juste prx de cacu d eux est précsémet,5 Fr.. ) Das l exemple a) du dé cubque o a c, µ X = E ( X ) = ( ) + =. ) O cosdère l expérece qu cosste à jeter deux dés parfatemet équlbrés. L uvers des possbles U est alors U = {(,),(,),(,),,(5,),(,)} avec Card U =. Les évéemets élémetares sot équprobables. Sot la varable aléatore X défe comme sut : sot = (a,b) ue ssue quelcoque de U, o pose X() = X(a,b) = max (a,b) ; o a alors X(U) = {,,,4,5,}. Sot la lo de probablté f assocée à X, o a f() = P(X=) = P({(,)}) = Sot :. ; ; f() = P(X=) = P({(,),(,),(,)}) = etc Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 9

.4. Téorème Sot X ue varable aléatore et ue costate réelle. O a : a) E(X) = E(X) b) E(X+) = E(X) + preuve : x f(x ) = E(X) + ) f(x ) = {[ x f(x )] + [ f(x ) ] = x f(x ) + f(x ) a) E(X) = ( x ) f(x ) = [ x f(x )] = b) E(X+) = ( x } = E(X) + = E(X) +.5 Espérace matématque d ue lo fe.5. Varables aléatores fes déombrables Tout ce qu a été vu précédemmet das le cas où U est f se gééralse au cas où U est f déombrable ; o aura par exemple : µ X = E(X) = x f ( x ) = x f (x) + x f (x ) + x f (x ) +.... La somme coverge à l f vers E(X), toutes les autres proprétés sot coservées, les sommes deveat des séres. Exemple : Das l exemple b) plus aut du jet d ue pèce de moae o a, E (X ) exste pas car p x = + +... + = + +... + = et doc lm p x =. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

.5. Varables aléatores cotues Défto La gééralsato au cotu est délcate et même dffcle s o e dspose pas d outls matématques adéquats. Les téorèmes du cours du calcul tégral ous sot c écessares. Nous ous coteteros de décrre la costructo par aaloge avec le cas dscret. Sot u uvers U f o déombrable (Card U = ℵ ), dot certaes partes seulemet sot des évéemets et peuvet doc se vor affecter ue probablté. Ue varable aléatore X dot l esemble mage X(U) est u tervalle réel est ue varable aléatore cotue (par opposto à dscrète) s l mage récproque par X de tout tervalle réel I est u évéemet A de U ( A U). L évéemet a X b de U possède alors ue probablté be défe. O déft la lo de probablté de X à l ade d ue focto f, appelée alors desté de probablté de X, telle que P(a X b) = b a Remarques : f ( x) dx. ) S f est doée, la probablté P(a X b) est l are de la surface délmtée par la courbe Γ f, l axe (OI) et les vertcales x=a et x=b : ) Le passage du dscret au cotu trasforme les sommes Σ e tégrales et f(x ) e f(x)dx. As, sot X ue varable aléatore dscrète et f sa dstrbuto : La formule P(x X x ) = f ( x ) est aalogue à P(a X b) = b a f ( x) dx. E utlsat cette aaloge, o admettra les proprétés suvates pour ue varable aléatore X, cotue, de dstrbuto f : ) f(x) (aalogue à f(x ) ) ) f ( x) dx = (aalogue à f ( ) = ) x ) P(a X b) = b f ( x) dx = F(b) F(a). a Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

x 4) F(x) = P(X x) = f ( t) dt (aalogue à f ( x ) ) x x 5) µ X = E(X) = x f (x) dx (aalogue à x f ( x ) ) (l espérace d ue varable aléatore cotue doe l abscsse du cetre de gravté de la surface comprse etre le grapque Γ f de la desté f et l axe des abscsses (OI) : cf. das les tables umérques à la page 9 x A = exemple : A x f(x)dxavec, c, A = f ( x) dx = ) Das l exemple c) plus aut sur la durée de bo foctoemet d u équpemet partculer fabrqué e grade sére, o a µ X = E(X) = ( ) =,x x f x dx xf( x) dx + xf( x) dx = x dx + x,e dx =,xe (à l ade d ue tégrato par parte).,x dx = 5 La lo de Caucy La lo de Caucy est défe par la focto f : y = f(x) = π ( + x ) ; o a be f(x), x r, π π et f ( x) dx = dx = [ arcta(x) ]- = -( ) = π + x π -π mas cette lo a pas d espérace matématque : x E(x) = x f ( x) dx = dx = l( ) + x π + x π qu est ue tégrale dvergete. - Cette lo e sert à re, sauf de cotre-exemple das les cours de probabltés. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

Varace - Ecart type. Déftos Après avor tradut la tedace cetrale par l espérace, l est écessare de tradure la dsperso autour de l espérace par les valeurs de la varace et de l écart type. La varace de X, otée var(x) ou X ou V(X), est le réel V(X) = E[(X - µ X ) ] où µ X = E(X). L'écart type de X, oté (X) ou X ou S(X), est le réel S ( X ) = V ( X). La varace et l'écart type sot des dcateurs de dsperso. L'écart type dque commet e moyee les valeurs de la varable sot groupées autour de la moyee (espérace matématque). U fable écart type sgfe que les valeurs sot peu dspersées autour de la moyee. Statstquemet, o observe que 75 % au mmum des observatos sot comprses etre E(X) S(X) et E(X) + S(X). La varace tradut la dsperso de la dstrbuto de la varable aléatore autour de sa valeur moyee. Etat u carré, la dmeso de la varace 'est pas celle de la moyee. C'est pourquo o utlse plus souvet l'écart type qu est la race de la varace. O dt auss que la varace tradut la oto d'certtude. Plus la varace est fable, mos le résultat de l'expérece aléatore est certa. A la lmte, ue varable aléatore de varace ulle codut à des expéreces strctemet detques (.e. le péomèe est complètemet détermste, l 'y a doc plus aucue raso de garder la oto de varable aléatore).. Proprétés ) V(X) = E[(X - µ X ) ] = E(X ) - µ X (téorème de Koeg) preuve : V(X) = E[(X - µ X ) ] = = ( x - µ ) f ( x ) = ( x - µ x + µ x f ( x) -µ X x f ( x ) + µ X f ( x ) = E(X ) - µ X + X (car f ( ) = ) x X X ) f ( x ) µ X = E(X ) - µ X. ) V(X) = E[(X - µ X ) ], par défto ; ) S est ue costate, o motre que V(X+) = V(X) et S(X+) = S(X) preuve : V(X+)= [ x + - E( x + ) ] [ x + - E( x) ] f ( x f ( x ) = [ x - E( x) ] f ( x ) = V(X) ) = et V(X) = V(X) et S(X) = S(X) preuve : V(X) = [ x - E( x) ] [ x - E( x) ] f ( x f ( x [ x - E( x) ] f ( x [ x - E( x) ] f ( x ) = ) = ) = ) = V(X) Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

4) Varable aléatore cetrée et rédute Sot X ue varable aléatore d espérace µ et d écart-type. S l o déft la varable aléatore Y = X - µ, appelée varable cetrée, alors E(Y ) = preuve : E(Y)= µ Y = E ( - µ ) X = E(X) - µ = (cf. tms.4.-) ; S l o déft la varable aléatore Y = X, appelée varable rédute, alors S(Y ) =, preuve : X V(Y ) = V( ) = V(X)= = ; et doc l écart-type =, X µ S l o déft la varable aléatore Y =, appelée varable cetrée-rédute, alors µ Y = E(Y) = E ( - µ ) et doc Y =. X µ X = et V(Y) = V( )= V( X µ ) = V(X) = = Cette varable Y, otée parfos Y = X*, s appelle la varable cetrée-rédute assocée à X. O a as "ormalsé" la varable X par u cagemet d orge et d écelle de maère à obter ue varable d espérace et d écart-type.. Exemples Repreos les exemples du. a) O avat µ X =, d où V(X) = E(X )- = ( ) + () b) Pusque E ( X ) 'exste pas, V(X) et S(X) o plus. = et S ( X ) =. c) O avat µ X = E(X) = 5, d où V ( X ) = E(X )- µ X = t f ( t) dt 5 (à l'ade d'ue tégrato par partes) = 5' et S ( X ) = 5. Calculos la probablté pour que la durée de bo foctoemet d u équpemet partculer fabrqué e grade sére sot comprse etre E(X) S(X) et E(X) + S(X) : P( X ) = F() = f ( t) dt =, e,t dt =,t - [- e ] = - e +,85 Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 4

d) O jette ue pèce de moae ue seule fos. Sot X la varable aléatore dquat le ombre de faces qu se présetet. O a : x f(x ) x f(x ) [ x - E ( X ) ] [ x - E ( X ) ] f(x )( x - E ( X ) ) total : E ( X ) = 4 4 8 8 V ( X ) = 4 D où E ( X ) =, V ( X ) = et S ( X ) =. 4 e) O jette u dé. Sot X la varable aléatore dquat le ombre de pots sorts lors du jet. O a : x f(x ) x f(x ) (x ) (x ) f(x ) 4 5 total : 4 5 E ( X ) = 7 = =,5 4 9 5 4 9 5 9 E ( X ) = D où E ( X ) = =,5, V X ( ) = ( X ) -[ E( X )] = - =,9 9 49 4 5 E et S ( X ) =,7. 5 Calculos la probablté que le ombre de pots sot comprs etre E(X) S(X) et E(X) + S(X) : 4 c'est-à-dre P(,79 X 5,) = P({,,4,5}) =,7. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 5

f) U arrêt de tramway est desserv toutes les mutes. Sot X la varable aléatore dquat le temps d attete (e mutes) jusqu au passage du proca covo lorsqu o se red à cet arrêt sas ter compte de l orare. Il est rasoable d admette que X admet pour desté de probablté la focto f suvate : f ( x) = s x < ou s x > s x x 4 O a par exemple : P( x ) = dx = = =,4 Calculos l espérace : E(X) = x f(x) dx = x f(x) dx + x f(x) dx + x f(x) dx = + x x dx + = = = 5 l attete dure e moyee 5 mutes (logque c). x x Calculos la varace V(X) = x f(x) dx 5 = dx = - 5 = - 5 8,. D où l écart-type = S ( X ) = V( X ) 8,,887. Calculos le probablté que l attete dure etre E(X) S(X) et E(X) + S(X), x c'est-à-dre etre, et 7,887 : P(, x 7,887 ) = dx =,577.,, g) U exemple smple : magos ue fcelle, dot ue logueur est délmtée etre deux mâcores, qu o écarte avec ue force crossate, jusqu à ce qu elle casse. L ypotèse est fate que la fcelle est suffsammet omogèe pour qu l exste aucu pot e lequel la rupture sot plus probable qu e u autre. La dstace X du pot de rupture à la mâcore de gauce fgure ue varable aléatore cotue, qu peut predre toutes les valeurs etre et. Mas quelle valeur attrbuer à la probablté de rupture e l u de ces pots, par exemple le mleu? Aucue o valeur ulle e covet : e effet, pusqu l y a ue fté de pots de rupture possbles, la somme des probabltés as attacées serat fe, et o égale à. O résout cette dffculté e parlat d ue desté de probablté f, la probablté de vor la rupture se produre sur u pett segmet de logueur s état alors égale au produt de s par cette desté. Il e s agt pas là d ue abstracto révolutoare : o aurat eu exactemet la même dffculté s o avat prétedu détermer la masse d u pot de la fcelle ; aucue valeur autre que aurat pu cover, alors qu o admettra voloters que la masse d u fragmet de fcelle est proportoelle à sa logueur, et plus précsémet, égale au produt de sa logueur par sa desté. La desté de probablté est d alleurs facle à calculer : la rupture état certae, la probablté attacée à la logueur, qu est égale au produt f de la logueur par la desté f, est égale à. 7.887 La desté f est doc égale à l verse de la logueur : f =. O peut d alleurs auss d téresser à la probablté de vor la rupture se produt à ue dstace de la mâcore gauce féreure à ue logueur doée x. Cet évéemet est justemet symbolsé par l écrture X < x, et sa probablté est f x. La focto F telle que F(x) = P( X < x ) s appelle focto de répartto de la varable X ; das otre exemple, c est ue focto très smple, la focto léare défe sur l tervalle [,] par : F(x) = f x. O peut remarquer que f est la dérvée de F ou, ce qu est peut-être plus facle à terpréter, que F(x) peut s écrre : F (x) = x 7,887 f(t) dt. La lo de probablté d ue varable aléatore cotue est doc doée sot par sa desté, sot par sa focto de répartto. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

La lo de probablté présetée das cet exemple est appelée lo uforme sur l tervalle [,]. La desté est doc ulle e deors de l tervalle [,], égale à f sur [,] ; quat à la focto de répartto, elle est ulle sur ]-,], égale à f x de ],], et égale à sur ],[. O aura l espérace matématque : µ X = E(X) = x f ( x) dx = et la varace et l écart-type : x f dx = f x = f = (car f =) E(X ) = x f dx = f x = f = d où V(X) = E(X ) [E(X)] = - 4 = et S(X) = V ( X ) = = = =,9 de plus P(E(X) S(X) X E(X) + S(X) ) = P( X + ) + = P( X ) = P(, X,789 ),789,789 + = dx [ ] - f = f x = f = f =,58( car f = ),, Les exemples qu précèdet motret que pour de ombreuses varables aléatores la probablté que la varable s écarte de sa moyee d au plus u écart-type est à peu près égale à,7. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 7

.4 Iégalté de Beaymé-Tcébycev La sgfcato cocrète de l écart-type (ou de la varace) e termes de probabltés est be magée par l égalté de Beaymé-Tcébycev. Sot u ombre réel postf o ul, o peut démotrer que la probablté de l esemble des valeurs de la varable aléatore qu sot à l extéreur de l tervalle [ E(X) -, E(X) + ] est féreure à : P( X E(X) ) ou ce qu est équvalet : P( E(X) - X E(X) + ) = P( X E(X) ) -. Démostrato : (das le cas dscret) Sot X ue varable aléatore dscrète à valeurs postves : f(x ),. O a E(X) = x f x ) = x f (x ) + x f (x ) + x f (x ) +... x f (x ). ( + Sot a u ombre postf tel que < x - < a x. O a les égaltés : E(X) x f (x ) +... + x f (x ) a [ f (x ) +... + f (x ) ]. Or la somme [ f (x ) +... + f (x ) ] est égale à la probablté de l évéemet ( X a ). E ( X ) O e dédut que : P( X a ) ( appelée égalté de Marov ) ; a elle est ecore vrae s x < a, car alors P( X a ) = et E(X) >. Posos a = ( > ) et remplaços X par le carré de la varable cetrée [X E(X)] : [ X E( X )] l égalté de Marov devet : P( [X E(X)] ) E ), pusque l espérace de la varable [X E(X)] est la varace de X, cette égalté est équvalete à celle-c : P( X E(X) ) Autre formulato équvalete de l égalté de Beaymé-Tcébycev : (e posat = t) Sot X ue varable aléatore d espérace µ et d écart-type, Pour tout ombre postf t, o a: P( X µ t ) t As, la probablté de l évéemet (E(X) - X E(X) + ) (t=) sera supéreure à,75. Il faut be vor qu l s agt d u résultat gééral, valable pour mporte quelle varable aléatore. Mas das la pratque, o costate très souvet qu ue be plus grade probablté est attacée à u tel évéemet. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 8

Exemples : ) Repreos l exemple c) de. : O avat µ = E(X) = 5 et = S(X) = 5 ; d où P(E(X) - X E(X) + ) = P( X 5 ) = F(5) = 5 5,t 5 - [- e ] = -e +,95,t f ( t) dt =, e dt = ( ). ) Das l exemple f) précédet : o avat µ = E(X) = 5 et = S(X) =,887 ; d où P(E(X) - X E(X) + ) = P( X,774) = ( ). ) Das l exemple précédet de la fcelle o a : P(E(X) S(X) X E(X) + S(X) ) = P( = P( + X 4 Exemples de dstrbutos X + ) ) = P(-,8 X,8 ) = P( X ) =. 4. Los dscrètes 4.. Lo de Beroull Défto O cosdère ue expérece ayat que deux résultats possbles, par exemple succès et écec (ou présece et absece d ue certae caractérstque). O trodut la varable aléatore X qu assoce la valeur à l écec (ou à l absece de la caractérstque) et la valeur au succès (ou à la présece de la caractérstque). Cette varable aléatore est appelée varable de Beroull. Dstrbuto de X Appelos p la probablté de l évéemet succès : P({succès})= P(X=) = p P({écec})= P(X=) = p = q f()= P ( X = ) p q Espérace de X µ X = E(X) = x P(X = x ) = P(X=)+ P(X=)= p + q = p Varace de X X = V(X)= E[(X - µ X ) ] = E(X ) - µ X = [ P(X=) + P(X=)] p = p - p = p(-p)= pq. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 9

4.. Lo bomale B(, p ) Défto Soet les épreuves fos répétées et dépedates d ue même expérece de Beroull. Caque expérece a que deux résultats possbles : succès ou écec. Comme précédemmet, appelos p la probablté de l évéemet élémetare succès et q= p celle de l évéemet écec. A cette expérece multple o assoce ue varable aléatore X qu mesure le ombre de succès obteus. Dstrbuto de X Remarques a) La probablté de avor aucu succès au cours de épreuves successves (=)est q ; la probablté d avor au mos u succès est doc - q ( u succès ou plus ). b) Les C,otés auss, s appellet coeffcets du bôme, car ls terveet das Espérace de X S X sut la lo bomale B(,p) alors E( X ) = p, V ( X ) = pq et S ( X ) = pq. O ote P(X=) = b( ;,p) = p. = Preuve : La varable X d ue lo bômale B(,p) est la somme de varables X de Beroull ; par u téorème o préseté, l espérace de la somme est égale à la somme des espéraces : d où E(X) = E( X ) = p. Autre démostrato : E(X) = P X = ) = C p ( p) = ( - ; = La probablté d avor succès lors de épreuves successves est - - P(X= pour essas)= C p (- p) = C p q le développemet du bôme de Newto : ( a + b) = a b -. = c) E applquat la formule du bôme, o motre que la somme des probabltés pour toutes - les valeurs de X est égale à : p q = [ p + q] = [ p + (- p) ] = [ ] =.!! ( = C )! or C = = =, ;!( - )! ( -)!( - )! ( - )!( - )! - = = - - d où E(X)= C p ( p) = p C p ( p) p p = [ C p ( p) + C p ( p) +... + C p ( p) ] - [ p + ( p) ] = p = p ( formule du bome = ) Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

de plus, comme les varables de Beroull sot dépedates, la varace de la lo B(,p) est égale à la somme des varaces de Beroull (téorème o préseté): V(X) = V ( X ) = pq. Autre démostrato : Par le téorème de Koeg o a : V(X) = E(X ) E(X) = ( ) = p E(X) ; - calculos le ombre A = ( ) p = ( ) C p q (*) : = =, ( ) C = ( -)!!(- = )!! ( - )!( - )! (- )! = ( -) ( = (- ) C - )!( - )! O obtet e reportat das (*) - - - - A = ( ) C p q = ( ) C p q = ( ) p C p q = = = - - - - [ C p q + C p q +... + C p q ] = ( ) p [ p + q] = ( ) [ ] - ( ) p - p doc A = (-) p (**); de plus : = A = = ( ) p = ( ) p car les termes correspodat à = et = sot uls ; = A= ( ) p = ( p p ) = p - p = p E(X) = p p = = = = = = ; d où = ( ) p = A + p = ( -)p + p ; et as : V(X) = E(X ) E(X) = ( ) = p E(X) = (-)p + p (p) = p -p +p- p =p - p = p(-p)=pq. O obtet be e déftve : V(X) = pq Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

Exemples ) E 975, l est é e Susse 75'57 efats dot 8'9 garços. La probablté de assace d u garço est as,557. O prélève au asard efats parm ceux-c. Combe de garços peuto s attedre à trouver das cet écatllo (o admettra comme très mprobable u écart supéreur à écart-types par rapport à l espérace)? O a c = et p =,557 et q =,4847 ; d où E(X) = 55,7 et S ( X ) = pq 5,8. Le ombre de garços de l écatllo sera comprs fort probablemet etre 47 et 5. ) O jette fos ue pèce be équlbrée ; o suppose que face est u succès. O a doc p = q =. O a ue lo bomale B(, et et ). Sot : b(,, )= - C (- ) = C = =,55 = b(,, b(,, )= C = =,975 = b(5,, b(,, )= C = 5 =,475 = b(4 ;, et b(,, )= C = =,5 L espérace est E(X) = p = = et l écart-type est S ( X ) = pq = =,5 ) ) ) Dstrbuto B(, ) Focto de répartto de B(, ) Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

4.. Lo de Posso Le calcul de P(X=) = b( ;,p) est log et fastdeux et les tables umérques abtuelles e doet que quelques valeurs partculères pour des valeurs de pettes. Il est doc souatable de dsposer d approxmatos plus maables, la lo de Posso est l ue de ces approxmatos. Elle repose sur u résultat matématque que ous admettros sas démostrato : Cec suggère de défr ue varable aléatore qu predrat pour valeurs tous les ombres eters (pusque augmete défmet, aucue lmtato tervet désormas sur les valeurs de ), λ λ la probablté de la valeur état : P(X=)= e.! Ue telle varable est appelée varable de Posso, λ est le paramètre. Ue lo de Posso comportat u seul paramètre, l est plus facle et mos ecombrat d e préseter ue table umérque. Ue telle lo tervet das des expéreces aléatores dot les résultats futurs sot dépedats des résultats passés. De par la faço dot ous l avos trodute, la lo de Posso apparaît comme ue approxmato de la lo bomale pour des grades valeurs de et des pettes valeurs de p : c est pourquo elle est parfos appelée lo des pettes probabltés. Voc quelques exemples : Probablté, das ue page d u lvre, de trouver coqulles ; probablté, das ue pette uté de temps, de vor se préseter à u gucet clets ; probablté pour u bloc d mmeubles d ue vlle bombardée de recevor obus au cours d u rad. Pour ous fare ue dée de la qualté de l approxmato d u varable aléatore bomale par ue varable de Posso, ous allos mager qu o jette au asard et dépedammet 4 gras de blés sur u écquer (qu comporte 4 cases), et ous examos la varable aléatore qu exprme le ombre de gras tombat sur ue case détermée. Le succès, pour u gra détermé, est de tomber sur la case cose,et l a ue probablté p= 4. Il s agt d ue varable bomale avec =4. Avec la lo bomale : P(X=) = C 4 p Lorsque augmete défmet et que, smultaémet, p ted vers e sorte que le produt p at ue lmte fe λ, -! - λ λ alors P(X=) = b( ;,p) = C p (- p) = p q a pour lmte e.!( - )!! (- p) 4- = 4!! (4 - )! 4 4 e avec la lo de Posso (λ = p =) : P(X=) =.! Le calcul umérque est plus qu ue affare de mace ; e voc le résultat. Le tableau est lmté à =, car, pour toute valeur supéreure, la probablté calculée par l ue ou l autre formule est féreure à, 4, s be que l approxmato doée, avec tros cffres sgfcatfs après la vrgule, est ulle. Valeur de bomale Posso,5,8,7.8,85,84,, 4,5,5 5,,,, 4- Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

Espérace et varace de la lo de Posso λ λ Nous avos vu précédemmet que λ λ λ λ λ+ λ = e ; doc e = e = e = e = ; =! =! =! ce qu est évdet pusque cette somme est la somme de toutes les probabltés des dverses valeurs possbles d ue varable aléatore. Cela permet u calcul très smple de l espérace matématque : E(X) = = e λ λ = λ! = e λ λ = λ = λ ( )! As l espérace d ue lo de Posso de paramètre λ est égale à λ. Ce résultat est surpreat pusque os los bomales avaet toutes pour espéraces p, et que la lmte de p lorsque ted vers l f est égale à λ. Quat à la varace, elle se calcule par u procédé detque, qu la trouve sas surprse égale à la lmte de pq, c'est-à-dre ecore au paramètre λ. Exemple U certa vacc provoque cez u dvdu sur 8 ue réacto dagereuse. Quelle probablté y a-t-l, e vaccat persoes qu l y at a) tros réactos dagereuses? b) plus de deux réactos dagereuses? Sot Z la varable aléatore dquat le ombre total de réactos dagereuses. O a ue dstrbuto bomale avec p = 8, = et λ = p =,75 ; a) -! 799,75 e P(Z=) = C p (- p) =! 997! 8 8!,7 (valeur exacte doée par la lo bomale est : P(Z=) =,78) O vot que le calcul est grademet faclté par le recours à la lo de Posso. b) P(Z>) = P(Z ) = P(Z=) P(Z=) P(Z=),79 (valeur exacte doée par la lo bomale est : P(Z>) =,7 ). 4. Los cotues 4.. Lo expoetelle Cette lo s trodut très aturellemet das u certa ombre de problèmes d attete. Imagos u évéemet assez rare pour que la lo de Posso lu sot applcable : l exemple classque est celu des arrvées des clets à u gucet pedat de brefs tervalles de temps successfs, par exemple les traces de secodes. Notos µ le ombre moye d arrvées par uté de temps, e sorte que µt sot le ombre moye d arrvées das u tervalle de temps de durée t. La probablté pour que le ombre de clets arrvés x λ -λ das cet tervalle sot x est : P(x) = e où le paramètre λ est précsémet µt. x! Cette formule doe e partculer la probablté pour qu aucu clet e se présete das cet tervalle -λ -µt de temps : l sufft d y fare x = : P() = e = e. Mas cette probablté est doc celle pour que le temps d attete du guceter dépasse t. S τ est ce -µt -µt temps d attete : P (τ > t) = e et doc pour l évéemet cotrare : P (τ t) = - e. As ous avos obteu la focto de répartto du temps d attete : cette lo de probablté est coue sous le om de lo expoetelle. Lorsque les arrvées d u péomèe dscotu sot possoees (c'est-à-dre qu elles suvet la lo de Posso), la durée d attete etre deux arrvées successves sut ue lo expoetelle. Le ombre µ est le paramètre : 997,75 Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 4

desté focto de répartto O vot l térêt d u tel résultat : l permet, par exemple, de régler le ombre de gucets e sorte que la probablté pour que la durée d attete dépasse ue valeur cose sot suffsammet fable. Le calcul de l espérace matématque et de la varace d ue lo expoetelle est u pett exercce de calcul tégral : (e posat x = µ t ) (par partes) - t -x x x E(X) = µ e dt = x e dx = [ xe - e ] µ t µ E(X -µ t -x x x x ) = µ t e dt = = [ - ] x e dx x e xe e = µ ( e posat x = µ t ) (par partes deux fos) V(X) = E(X )-E(X) = - =. µ µ µ 4.. Lo ormale de Laplace-Gauss µ µ = µ µ Défto D autres foctos ot été costrutes pour des approxmatos de la lo bomale pour des grades valeurs de. Cette recerce est facltée s l o travalle pour caque valeur de sur la lo bomale cetrée rédute : - cetrée (c'est-à-dre, rappelos-le, que l o a retracé à toutes les valeurs de la sére leur espérace matématque). Sur le grapque, cela évte que, au fur et à mesure que devet plus grad, les dagrammes e s éloget vers la drote, pusque l espérace matématque d ue lo bomale est égale à p ; - rédute (c'est-à-dre que l o a dvsé toutes les valeurs de la varable aléatore par leur écart-type). Sur le grapque, cela évte que, au fur et à mesure que devet plus grad, les dagrammes e s écraset sur l axe (OI), pusque la varace d ue lo bomale est égale à p(-p). Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 5

Exemple Voc les dagrammes de la varable bomale dscrète Z = B(, z -z z - z de lo P(Z=z) = B(z ;, ) =! Cz = = B(z) 5 5 5 z! ( - z)! 5 5 d espérace µ = E(Z) = p = et d écart-type = S(Z) = p ( p) = =,55 5 5 5 Z µ et de la varable cetrée et rédute X = Z* = défe par la lo f (x) = B(z ;, ) avec z = x+µ. Alors que la varable Z peut predre les valeurs z = ( =,,,,) avec les probabltés B(z ;, 5 5 ) 5 Z µ ), la varable (cetrée et rédute) X = z correspodate predra les valeurs x = avec les probabltés respectves f (x ).,55 Z µ Voc le tableau des valeurs des deux los de dstrbutos des varables Z et X = : z 4 5 7 8 9 B(z),,,,4,,,5,5,,4, x -,87 -, -,58 -,9 -,9 -,45,45,9,9,58 f (x),,,,,7,,89,,87,,9 Sur les dagrammes c-dessous, o dstgue la dstrbuto e cloce des B(z ;, ) avec ue espérace de et u écart-type de,55 et celle des f (x) qu est "ormalsée" avec ue espérace de et u écart-type de : 5 B(z ;, ) 5 f (x) Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

Exemple Voc les dagrammes de la varable bomale dscrète Z = B(, de lo P(Z=z) = B(z ;, ) = B(z) 5 d espérace µ = E(Z) = p = et d écart-type = S(Z) = p ( p),9 Z et de la varable cetrée et rédute X = Z* = défe par,9 la lo f (x) =,9 B(z ;, ) avec z =,9 x+ et x = z 5, 9 z 4 5 7 8 9 B(z),,,,,,,5,5,5,7,7 x -5,479-5, -4,5-4, -,5 -,9 -,74 -,8 -,8 -,7 -,9 f (x),,,,,,,,,78,55,5 z 4 5 7 8 9 B(z),,8,,4,75,5,,,, x -,457,457,9,7,8,8,74,9,5 f (x),5,94,,7,,77,7,,, ) 5 B(z ;, ) 5 f (x) E comparat les grapques de B(z ;, ) et de B(z ;, ), o costate u étalemet de la cloce 5 5 (e largeur, plus grad) et u déplacemet vers la drote du sommet (µ plus grad) mas auss ue dmuto des ordoées (probabltés plus pettes car plus ombreuses). Pour la varable X = Z * de los f (x) et f (x), o costate par cotre que la cloce a sesblemet les mêmes formes et dsposto. Seuls les bâtoets sot plus ombreux (plus serrés). O presset doc que la dstrbuto X ted vers ue lmte lorsque ted vers l f, c'est-à-dre qu l exste ue focto g cotue et dérvable qu est e quelque sorte l eveloppe des bâtoets lorsque ted vers l f. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 7

C est Laplace qu, le premer, a cercé à ajuster ue courbe à ces dagrammes as réduts ; l a d abord pesé à utlser ue focto de type expoetel d équato y = a -x, qu, pour les valeurs postves de x, présete u aspect comparable à os dagrammes de los bomales : a -x Pour obter ue lo symétrque, l faut assocer la même valeur de y à deux valeurs opposées de x, autremet dt, utlser ue valeur absolue. La focto d équato y = a - x das laquelle l e reste plus qu à détermer y, par exemple e calculat l écart-type, a été appelée "premère focto de Laplace" : a - x -x Laplace lu-même l a rapdemet abadoée pour ue focto de la forme y = ba qu fourt ue approxmato be melleure. Le téorème de Laplace-De Movre démotre d alleurs par le calcul que cette formule fourt la melleure approxmato possble de la lo bomale cetrée rédute, et l o sat calculer les valeurs a et b. Eocé du téorème de Laplace-De Movre : Sot F la focto de répartto d ue v.a bomale X cetrée rédute, de paramètres et p. Pour tout ombre x, la sute des ombres F (x) ted vers g(x) = e π x lorsque ted vers l f ; plus précsémet, s a et b sot deux eters, alors la probablté P( a X b ) = B ( z;, p) est égale approxmatvemet à π b-µ a-µ e x b- µ a - µ dx = Φ - Φ b z= a x La formule obteue : y = g(x) = e doe la desté g de la lo lmte ; celle-c est d u usage s π fréquet qu o l appelle lo ormale, otée N(,), car d espérace et d écart-type. O utlse auss le terme " lo gaussee" ou lo de Laplace-Gauss. La formule c-dessus est raremet utlsée e tat que telle ; elle est e effet smple d apparece, mas les calculs umérques restet malasés (l est mpossble de calculer ue prmtve de cette focto). Il exste des tables umérques doat des valeurs approcées de y. Par u cagemet d orge et d écelle, o éted cette présetato au cas gééral, obteat pour focto de desté, otée N(µ,). Le paramètre µ peut être quelcoque mas est postf. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 8

O obtet ue lo de Laplace-Gauss N(µ,) d espérace µ et d écart-type e fasat subr au grapque de la lo ormale N(,) les trasformatos successves suvates : ) o multple les abscsses par (affté) : o remplace x par t ; ) o ajoute µ aux abscsses (traslato) : o remplace t par z - µ ; ) o multple les ordoées par (affté) : la focto g est multplée par. La desté de probablté f(z) de cette lo N(µ,) est as doée par f(z) = g(x) où x = t = o obtet : f(z) = ( z µ ) - π e z µ, S l o remplace z par x, cela doe : f (µ,) (x) = ( x µ ) - π e O remarquera que par les trasformatos précédetes l are totale sous le grapque a pas varé. Les trasformatos précédetes, effectuées e ses verse, permettet de passer d ue varable aléatore Z suvat la lo ormale N(µ,) à la varable X = Z * Z µ = qu sut la lo ormale N(,) : z µ P(Z z ) = P( X+µ z ) = P( X ). µ E posat z = z *, o peut écrre P(Z z ) = P( Z * * z ) = Φ( z * ) où Φ est la focto de * z Φ * * répartto de la lo g : P ( X z ) = g( x) dx = (z ). Exemple : Calculos P(Z ) pour ue varable aléatore Z suvat ue lo N(,) : * O a = Z * Z et s Z = alors Z = =,5 d où P(Z ) = P(Z *,5 ) = Φ(,5) =,9. C est l ue des los les plus mportates. Ue telle lo tervet das des expéreces aléatores possédat de ombreuses causes dépedates dot les effets s ajoutet, sas que l u d eux sot domat. Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores 9

Remarques a) La desté est maxmale au pot x = µ. Abusvemet, o a eve de dre que la valeur la plus probable d ue varable aléatore ormale N(µ,) est égale à l espérace matématque ; c est be sûr u abus, pusque la probablté d ue valeur détermée est ulle. Ce qu o peut dre, c est que de tous les petts tervalles de même logueur, c est celu qu est cetré sur l espérace matématque qu a la plus grade probablté. b) La courbe est symétrque par rapport à la drote vertcale x = µ (x = pour la lo ormale cetrée rédute N(,). Cela a ue coséquece mportate pour ue table de valeurs umérques de la desté : l sufft de doer ue table pour les valeurs postves de x. c) Dès que l o s éloge de, les valeurs de la desté deveet très pettes. Le tableau c-après doe quelques valeurs : x 4 desté f(x),899,4,54,44, Ue représetato grapque courate aura doc ue graduato e abscsses qu e va guère audelà de l tervalle [-,]. Proprétés S X sut la lo ormale N(µ,) alors E (X ) = µ, V( X) =, S (X ) = et µ la varable aléatore X = X * sut la lo ormale cetrée rédute N(,). O peut doc rameer l étude de mporte quelle lo ormale à celle-c : x f (,) (x) = e π u O a alors P( X u) = f ( x) dx = Φ( u) avec f ( x) = x e π qu correspod à l are suvate : Les valeurs usuelles de Φ(u) (pour u ) sot doées das la table du formulare (page 9) et o a P( X u) = Φ( u) = Φ( u), P( u < X u) = Φ( u) Φ( u) et P ( u < X u) = Φ( u). Φ(u) Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

Quelques exemples de valeurs pour la lo N(,) : P( X < ) =,87 P( X < ) =,9545 P( X < ) =,997 Ou, e reveat au cas gééral de la lo N(µ,) : P( X -µ < ) =,87 P( X -µ < ) =,9545 P( X -µ < ) =,997 Exemple Ue etreprse de trasport a u parc de 5 camos. O désge par X la varable aléatore qu à caque camo assoce la dstace qu l a parcourue das la jourée (e m). X sut la lo ormale N(,4). * O cosdère alors la varable X = X qu sut la lo ormale N(,). 4 S o veut la probablté qu u camo cos au asard parcoure das la jourée etre et m o procède de la maère suvate : X 5 5 X X Y. Or, 5, 7. 4 4 4 7 7 7 5 * 5 5 Doc P( X ) = P X = Φ Φ(,7). 7 7 7 Les deux premers cffres (,7) ous doe la lge de la table alors que le trosème () ous dque la coloe. O obtet doc P ( X ),7 =, 5. Espérace et varace x x L espérace est be doée par E(X) = x e dx = e = ; π π x ( par partes) x x La varace sera : x e dx = x e + e dx = + =, π π π - d où l écart-type est be S(X) =. - Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

Approxmato de la dstrbuto bomale par la lo ormale N(,) et par la lo de Posso Das la pratque, o approce la lo bomale sot par la lo ormal N(,), sot par la lo de Posso. Voc à ttre de comparaso les probabltés foures par les los bomale (exacte), de Posso (approcée) et ormale (approcée) das le cas d u évéemet de probablté p =, répété = fos. O a E(X) = p = et S(X) = = p ( p),48. z Bomale Posso Normale,5,54,49,77,77,75,794,77,555,8,845,477 5,,9,48 8,85,8,94 O vot que la cocordace etre les los bomale et de Posso est excellete alors que la lo ormale doe c de mauvases approxmatos du fat que p est féreur à 5. L approxmato d ue lo bomale par la lo ormale est correcte au cetème près dès que p et (-p) dépasse 5. E résumé : La règle d approxmato pour détermer ue probablté das le cas d ue lo bomale par la lo ormale cetrée rédute (cf. tables page 9) est la suvate : Doées : - ue lo bomale de paramètres et p ; - ue valeur x dot o recerce la probablté. Calculs : - espérace matématque E(X) = p ; - écart-type S(X) = = p( p) ; - écart rédut z correspodat à la valeur de x étudée : dfférece x p écart x p écart rédut z = x p - cosultato de la table pour ue approxmato de π e - dvso par de l approxmato obteue. -z Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores

Applcatos umérques : Cercos ue approxmato de la probablté B(x ;,p) de la valeur x=84 das u lo bomale B(,p) de paramètres = 4 et p =, : - espérace matématque : E(X) = p = 4, = 8 - écart-type = p( p) = 8 84 8 - écart rédut correspodat à la valeur de x observée : =,5 8 - lecture de la table :,5 Nous adoptos doc pour valeur approcée de la probablté B(x ;,p) le ombre 8,5,4. O peut comparer cette approxmato avec la valeur " exacte " de 4 84 4! 84 B(84 ;4 ;,) = C 84 (,) (,8) = (,) (,8),4. 84! ()! Mas, s agssat de grades valeurs de, o s téresse souvet, o à la probablté d ue valeur x détermée, mas à la somme des probabltés correspodat aux valeurs de x comprses etre tel et tel ombre. Das l exemple précédet, o pourrat s terroger sur la probablté des valeurs comprses etre 78 et 9. Be sûr, o pourrat toujours calculer, avec les formules d approxmato c-dessus, les valeurs approcées correspodat à 78, 79, 8,,9. Le calcul serat be trop log, sas parler de l covéet qu l y a à ajouter etre elles tat de valeurs approcées : quelle précso obtet-o as pour la somme? Das la pratque, o dspose d ue formule ecore plus facle à utlser ; ous avos vu que la somme des probabltés correspodat aux valeurs de l écart rédut z comprs etre deux ombres a et b peut être approcée par l are lmtée par la courbe e cloce et l axe des abscsses (OI) etre les pots d abscsses a et b : Exemple : Doées : - ue lo bomale de paramètre et p ; - deux ombres a et b ; o recerce la somme des probabltés des valeurs comprses etre a et b. Calculs : - espérace matématque de la lo : µ = p ; - écart-type = p( p) ; - valeurs cetrées rédutes correspodat à cacu des ombres a et b : a - µ b - µ + z a = et zb = - cosultato de la table : s z est postf, lecture drecte Φ(z) s z est égatf, Φ(z) = - Φ(-z). Exemple : O suppose que la durée de ve des ampoules de projecteurs fabrquées par ue mace automatque est ue varable aléatore bomale X d espérace matématque 5 eures, et d écart-type eures ; quelle est la probablté qu ue ampoule at ue durée de ve qu dépasse 54 eures? Quelle est la probablté qu ue ampoule at ue durée de ve féreure à 47 eures? 54-5 47-5 Calculos les durées cetrées rédutes : z 54 = = et z47 = = -,5 ; o lt das la table Φ() =,977 et doc la probablté recercée est P(X > 54) = - Φ() =,8 et de même Φ(-,5) = - Φ(,5) = -,9 =,8 = P(X < 47). Perre Fracebourg Probabltés Varables aléatores