Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Chapitre8 : Intégrale curviligne-théorème de Green-Riemann Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Février 2006

suivant Chapitre VIII Intégrale curviligne VIII.1 Abscisse curviligne............................ 3 VIII.2 Circulation d un champ de vecteurs.................. 12 VIII.3 Théorème de Green-Riemann..................... 18 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 2

chapitre section suivante VIII.1 Abscisse curviligne VIII.1.1 Abscisse curviligne-définition.................. 4 VIII.1.2 Longueur d un arc de courbe................... 6 VIII.1.3 Calcul de la masse d un fil.................... 8 VIII.1.4 Vecteur tangent unitaire..................... 10 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 3

section suivant VIII.1.1 Abscisse curviligne-définition Exercices : Exercice A.1.1 Documents : Document B.1.1 Vous connaissez la notion d abscisse sur une droite orientée, on peut généraliser cette notion à une courbe quelconque de la façon suivante. L espace est muni d un repère orthonormé (O, ı, j, k), soit C une courbe sans point double. Notations et hypothèses. C est une courbe paramétrée par (x(t), y(t), z(t)), on note M(t) = (x(t), y(t), z(t)). Elle est orientée dans le sens des t croissants. On choisit une origine Ω sur C, Ω = M(t 0 ). On suppose que les fonctions x, y, z sont dérivables. On peut alors définir l abscisse curviligne de la façon suivante : Définition VIII.1.1. On appelle abscisse curviligne du point M de la courbe C le nombre algébrique s dont la valeur absolue est égale à la longueur de l arc curviligne ΩM et dont le signe est celui du sens de parcours de ΩM (figure VIII.1.1). On démontre, vous pouvez lire la démonstration en document, que s(t 0 ) = 0 s (t) = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 4

section suivant s < 0 M 0 Ω s > 0 Abscisse curvilignedéfinition FIG. VIII.1.1: abscisse curviligne Donc s est la primitive de la fonction x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) qui s annule en t 0. On peut donc écrire s sous la forme : Théorème VIII.1.1. Avec les notations précédentes, l abscisse curviligne s sur C est définie par : s(t) = t t 0 x 2 (u) + y 2 (u) + z 2 (u) du. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 5

précédent section suivant VIII.1.2 Longueur d un arc de courbe Exercices : Exercice A.1.2 A partir de l abscisse curviligne on peut définir la longueur d un arc de courbe M 1 M 2, en effet : Théorème VIII.1.2. Soit C une courbe paramétrée par (x(t), y(t), z(t)), on suppose que x, y, z sont dérivables, alors : t2 longueur de l arc M 1 M 2 = s(t 2 ) s(t 1 ) = x 2 (u) + y 2 (u) + z 2 (u) du. La longueur ne dépend ni de l origine, ni de l orientation choisie sur la courbe. t 1 De plus, si la courbe est dans le plan xoy, z est nulle et on peut appliquer la formule précédente. Théorème VIII.1.3. Soit C une courbe du plan xoy dont l équation polaire est ρ(t), on suppose que ρ est dérivable, alors t2 longueur de l arc M 1 M 2 = ρ 2 (u) + ρ 2 (u) du. t 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 6

précédent section suivant Démonstration - Une paramétrisation de la courbe est : x(t) = ρ(t) cos t, y(t) = ρ(t) sin t. Longueur d un arc de courbe On a donc x (t) = ρ (t) cos t ρ(t) sin t, y (t) = ρ (t) sin t + ρ(t) cos t. D où x 2 (t) + y 2 (t) = ρ 2 (t) + ρ 2 (t), ce qui démontre le résultat. Traiter les exercices de TD A.2.1, et A.2.2. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 7

précédent section suivant VIII.1.3 Calcul de la masse d un fil Exercices : Exercice A.1.3 Documents : Document B.1.2 Les objets comme les fils peuvent être modélisés par des courbes. Si la masse linéique µ (masse par unité de longueur) est constante, alors la masse du fil de longueur l est égale à m = µl. La masse linéique n est pas toujours constante (c est le cas d un fil dont la section ne serait pas constante). Supposons que l on a défini une abscisse curviligne s sur la courbe C, appelons µ(s) la fonction qui définit la masse linéique en fonction de l abscisse curviligne. On cherche à calculer la masse m de la partie de C comprise entre les points A et B d abscisses curvilignes respectives s A et s B. On montre alors que sb m = µ(s) ds. (Voir la démonstration dans le document référencé.) s A Dans la pratique, on ne connaît pas toujours l abscisse curviligne s, mais plutôt une paramétrisation de C (x(t), y(t), z(t)) et la masse linéique est connue en fonction de t, on la note µ(t). Si s(t) est la fonction qui définit l abscisse curviligne en fonction de t, on a la relation µ(s(t)) = µ(t). En effectuant un changement de variables dans le calcul de m, on obtient Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 8

précédent section suivant donc la masse du fil d extrémités A et B : m = tb t A µ(t)s (t) dt. Calcul de la masse d un fil Théorème VIII.1.4. Soit C une courbe d extrémités A et B paramétrée par (x(t), y(t), z(t)), on suppose que x, y, z sont dérivables. On note µ(t) la masse linéique, alors la masse m de C vaut : tb m = µ(t) x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) dt t A Traiter l exercice de TD A.2.3. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 9

précédent section VIII.1.4 Vecteur tangent unitaire Si la courbe C est paramétrée par (x(t), y(t), z(t)), on a vu que lorsque les fonctions sont( dérivables et non toutes ) simultanément nulles, alors le vecteur dx dy dz T = (t), (t), dt dt dt (t) est un vecteur tangent à la courbe en M(t). Si l on a défini une abscisse curviligne s sur C on peut paramétrer C à l aide de s et noter (x (s), y (s), z (s)) les coordonnées en fonction de l abscisse curviligne. On a donc : x (s(t)) = x(t), y (s(t)) = y(t), z (s(t)) = z(t). ( ) Un autre vecteur tangent est donc donné par T dx dy dz = (s), (s), ds ds ds (s). En utilisant les résultats sur les fonctions composées, on obtient : dx dx (t) = dt ds (s)ds dt (t), et des relations similaires pour y et z. On a donc la relation : d où : T = ds dt (t) T, T = ds dt (t) T, Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 10

précédent section or : T (dx ) 2 ( ) dy 2 ( ) dz 2 = dt (t) + dt (t) + dt (t) = ds dt (t). Vecteur tangent unitaire On en déduit donc que T = 1. On peut montrer plus précisément : Proposition VIII.1.1. Soit C une courbe munie d une abscisse curviligne s (donc d une orientation), ( on note x (s), y (s), z) (s) les coordonnées des points de C en fonction de s, alors T dx dy dz = (s), (s), ds ds ds (s) est le vecteur tangent à C en M(s), unitaire et dirigé dans le sens de C. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 11

section précédente chapitre section suivante VIII.2 Circulation d un champ de vecteurs VIII.2.1 Travail d un champ de forces................... 13 VIII.2.2 Circulation d un champ de vecteurs............... 14 VIII.2.3 Champ de vecteurs dérivant d un potentiel........... 16 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 12

section suivant VIII.2.1 Travail d un champ de forces Soit F une force constante et AB un déplacement rectiligne. Alors le travail fourni par la force F pour aller de A à B est égal à T ( F ) = F AB. AB On suppose maintenant que la force n est plus constante et que le déplacement n est plus rectiligne. F est un champ de vecteurs : F P (x, y, z) (M) = Q(x, y, z). R(x, y, z) Le déplacement de A à B se fait le long de la courbe C et on suppose que s est une abscisse curviligne sur C. On montre que le travail du champ de forces F pour aller de A à B le long de C est égal à : T AB ( F ) = sb s A F T ds où T est le vecteur tangent unitaire défini dans le paragraphe précédent, on a donc T AB ( F ) = sb (P (x (s), y (s), z (s)) dx s A ds (s) + Q(x (s), y (s), z (s)) dy ds (s) ) +R(x (s), y (s), z (s)) dz ds (s) ds. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 13

précédent section suivant VIII.2.2 Circulation d un champ de vecteurs Exercices : Exercice A.1.4 Définition VIII.2.1. Soit C une courbe d extrémités A et B, soit s une abscisse curviligne, soit (x (s), y (s), z (s)) les coordonnées des points de C en fonction de s et soit P, Q, R les composantes du champ de vecteurs V. Alors, par définition, la circulation T AB ( V ) du champ de vecteurs V le long du segment curviligne AB est égale à : T AB ( V ) = (P (x (s), y (s), z (s)) dx s A ds (s) + Q(x (s), y (s), z (s)) dy ds (s) ) +R(x (s), y (s), z (s)) dz ds (s) ds sb On peut démontrer que la circulation définie précédemment ne dépend pas du choix de l abscisse curviligne. Par contre T AB ( V ) = T BA ( V ). Souvent dans la pratique on ne connaît pas s mais seulement une paramétrisation de C, (x(t), y(t), z(t)), on effectue alors un changement de variables dans l intégrale qui définit la circulation, on a en effet : ds = ds dx ds (t)dt, (t) = dt dt dt (t)dx (s(t)) et des relations ds similaires pour y et z. On obtient : Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 14

précédent section suivant Proposition VIII.2.1. Si C est une courbe d extrémités A et B, paramétrée par (x(t), y(t), z(t)) et si P, Q, R sont les composantes du champ de vecteurs V, alors la circulation du champ de vecteurs V le long du segment curviligne AB est égale à : Circulation d un champ de vecteurs tb ( P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t) ) dt. t A (VIII.2.1) On peut garder pour la circulation la notation que l on avait introduit pour le travail dans le paragraphe précédent, d autres notations sont couramment utilisées. Notations : T AB ( V ) = AB P dx + Qdy + Rdz = AB V dl. Toutes ces expressions représentent la circulation du champ de vecteurs V le long du segment curviligne AB et se calculent par l intégrale simple VIII.2.1. Traiter l exercice de TD A.2.4. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 15

précédent section VIII.2.3 Champ de vecteurs dérivant d un potentiel Exercices : Exercice A.1.5 Cours : Circulation On suppose que V = grad f, on a donc P = f x, Q = f y, R = f z. La circulation du champ de vecteurs, définie dans le paragraphe référencé, vaut donc : tb t A ( f x (x(t), y(t), z(t))x (t) + f y (x(t), y(t), z(t))y (t) Si l on note ˆf(t) = f(x(t), y(t), z(t)), alors + f z (x(t), y(t), z(t))z (t) ) dt. d ˆf f (t) = dt x (x(t), y(t), z(t))x (t) + f y (x(t), y(t), z(t))y (t) + f z (x(t), y(t), z(t))z (t). T AB ( V ) = tb t A d ˆf dt (t)dt = ˆf(t B ) ˆf(t A ) = f(b) f(a). Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 16

précédent section Donc on peut énoncer le résultat suivant : Théorème VIII.2.1. Si le champ de vecteurs V dérive d un potentiel f alors la circulation de ce champ de vecteurs le long du segment curviligne AB est égale à f(b) f(a). Une conséquence immédiate est : Champ de vecteurs dérivant d un potentiel Proposition VIII.2.2. 1. Si le champ de vecteurs V dérive d un potentiel, la circulation de ce champ de vecteurs le long du segment curviligne AB ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A à B. 2. La circulation d un champ de vecteurs dérivant d un potentiel, le long d une courbe fermée est nulle. Traiter l exercice de TD A.2.5. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 17

section précédente chapitre VIII.3 Théorème de Green-Riemann VIII.3.1 Théorème de Green-Riemann.................. 19 VIII.3.2 Calcul d aires............................ 20 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 18

section suivant VIII.3.1 Théorème de Green-Riemann Exercices : Exercice A.1.6 Documents : Document B.1.3 Théorème VIII.3.1. Soit D une partie de IR 2 limitée par une courbe fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct, notée Γ. Soient deux fonctions P et Q qui admettent des dérivées partielles premières continues sur D, alors on a : [ ] Q P P dx + Qdy = (x, y) (x, y) dxdy (VIII.3.1) x y Γ D Vous pouvez consulter la démonstration de ce théorème dans le document référencé. Traiter les exercices de TD A.2.6 et A.2.7. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 19

précédent section VIII.3.2 Calcul d aires Exercices : Exercice A.1.7 Exercice A.1.8 Documents : Document B.1.3 Le théorème de Green-Riemann, peut servir au calcul d aires. On a vu dans le chapitre sur les intégrales doubles que le calcul de l aire d un domaine plan D se ramène au calcul de l intégrale double : dx dy. Si on suppose connues les équations explicites D du bord de D sous la forme par exemple : y = φ 1 (x), y = φ 2 (x), on obtient alors aire D = b a (φ 2 (x) φ 1 (x))dx. Quand le bord Γ de D est connu non pas par ses équations explicites, y en fonction de x ou x en fonction de y, mais par des équations paramétriques, on ne sait pas calculer l intégrale double! Le théorème de Green-Riemann est alors utile puisqu il permet de remplacer le calcul d une intégrale double sur D par celui d une intégrale curviligne le long de Γ, ce dernier calcul s effectue facilement quand on connaît une paramétrisation de Γ. Proposition VIII.3.1. Soit D une partie de IR 2 limitée par une courbe fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct, notée Γ, alors on a : aire (D) = 1 x dy y dx. (VIII.3.2) 2 Γ Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 20

précédent section La proposition précédente est à démontrer dans l exercice de TD A.2.8. Calcul d aires On a vu qu un cas particulier de courbes paramétrées dans le plan sont les courbes en polaires. On peut encore utiliser le résultat précédent et on obtient : Proposition VIII.3.2. Soit D une partie de IR 2 limitée par une courbe fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct, notée Γ dont l équation polaire est : ρ(θ), θ [θ 1, θ 2 ], alors on a : aire (D) = 1 2 θ2 θ 1 ρ 2 (θ)dθ. (VIII.3.3) La proposition précédente est à démontrer dans l exercice de TD A.2.9. Traiter l exercice de TD A.2.10. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 21

précédent suivant Annexe A Exercices A.1 Exercices du chapitre VIII....................... 23 A.2 Exercices de TD............................. 32 A.3 Exercices supplémentaires....................... 44 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 22

chapitre section suivante A.1 Exercices du chapitre VIII A.1.1 Ch8-Exercice1........................... 24 A.1.2 Ch8-Exercice2........................... 25 A.1.3 Ch8-Exercice3........................... 26 A.1.4 Ch8-Exercice4........................... 27 A.1.5 Ch8-Exercice5........................... 28 A.1.6 Ch8-Exercice6........................... 29 A.1.7 Ch8-Exercice7........................... 30 A.1.8 Ch8-Exercice8........................... 31 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23

section suivant Exercice A.1.1 Ch8-Exercice1 C est la chaînette d équation y = chx, on oriente la courbe dans le sens des x croissants, on choisit pour origine sur la courbe le point Ω = (0, 1). Déterminer l expression de l abscisse curviligne en fonction de x. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 24

précédent section suivant Exercice A.1.2 Ch8-Exercice2 Calculer la longueur de l arc de chaînette d équation y = chx qui est limité par les points d abscisse x 1 et x 2. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 25

précédent section suivant Exercice A.1.3 Ch8-Exercice3 Calculer la masse d un fil en forme d hélice. Les équations paramétriques sont (x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, z(t) = at, 0 t 2π). La masse linéique est µ(t) = t. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 26

précédent section suivant Exercice A.1.4 Ch8-Exercice4 1. Soit le champ de vecteurs V de composantes (x+z, y 2, x), calculer la circulation de ce champ de vecteurs le long de l arc AB d hélice dont les équations paramétriques sont x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, z(t) = at, A = (R, 0, 0), B = (R, 0, 2πa), (réponse : 2πaR). 2. Soit le champ de vecteurs V 1 de composantes (1, x + 3, 1+y ), calculer la circulation de ce champ de vecteurs le long de l arc AB dont les équations paramétriques sont x(t) = t, y(t) = t 2, z(t) = t 3, A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1), (réponse : 23 3 3π 4 ). Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 27

précédent section suivant Exercice A.1.5 Ch8-Exercice5 1. Montrer que le champ de vecteurs V de composantes (y +z, x+z, x+y) dérive d un potentiel. 2. Calculer ce potentiel. 3. En déduire la circulation de ce champ de vecteurs le long de l arc AB d hélice dont les équations paramétriques sont x(t) = a cos t, y(t) = b sin t, z(t) = ct, A = (a, 0, 0), B = (0, b, c π 2 ). Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 28

précédent section suivant Exercice A.1.6 Ch8-Exercice6 D est le disque de centre O et de rayon R limité par le cercle C. On définit P (x, y) = x + y, Q(x, y) = 2x + y. Vérifier le théorème de Green-Riemann, à savoir : ( ) Q P (x, y) (x, y) dxdy = P dx + Qdy. x y D C Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 29

précédent section suivant Exercice A.1.7 Ch8-Exercice7 On définit C l ellipse d équation x(t) = a cos t, y(t) = b sin t. On appelle D l intérieur de C. Calculer l aire de D en utilisant le théorème de Green-Riemann. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 30

précédent section Exercice A.1.8 Ch8-Exercice8 Utiliser la proposition VIII.3.2 pour calculer l aire du disque D dont le bord C a pour équation polaire : ρ(θ) = R. Vous devez déterminer θ 1 et θ 2 pour que toute la courbe soit parcourue une seule fois dans le sens direct. Solution retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 31

section précédente chapitre section suivante A.2 Exercices de TD A.2.1 TD8-Exercice1........................... 33 A.2.2 TD8-Exercice2........................... 34 A.2.3 TD8-Exercice3........................... 35 A.2.4 TD8-Exercice4........................... 36 A.2.5 TD8-Exercice5........................... 37 A.2.6 TD8-Exercice6........................... 38 A.2.7 TD8-Exercice7........................... 39 A.2.8 TD8-Exercice8........................... 41 A.2.9 TD8-Exercice9........................... 42 A.2.10 TD8-Exercice10.......................... 43 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 32

section suivant Exercice A.2.1 TD8-Exercice1 La cycloïde est la courbe parcourue par un point M fixé sur un cercle de rayon R qui roule sans glisser le long d un axe. On suppose que l axe est Ox, que le point M au départ est à l origine. 1. Montrer que quand le cercle a roulé d un angle t, l abscisse et l ordonnée de M sont x(t) = R(t sint), y(t) = R(1 cost). 2. Tracer la courbe décrite par le point M lorsque t varie de 0 à 2π. 3. Calculer la longueur d une arche de cycloïde. Réponse : 8R. Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Question 3 Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 33

précédent section suivant Exercice A.2.2 TD8-Exercice2 La cardioïde est la courbe parcourue par un point M fixé sur un cercle mobile de rayon R qui roule sans glisser à l extérieur d un cercle fixe de rayon R. On suppose que le cercle fixe est centré en (R, 0), que M(0) = (4R, 0). On peut montrer que l équation polaire de cette courbe est : ρ(t) = 2R(1 + cost) t est l angle dont a roulé le cercle. Lorsque t a varié de 2π on a décrit toute la courbe, on est revenu au point de départ. La courbe a pour allure : y O x Calculer la longueur de la cardioïde. Réponse : 16R. Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 34

précédent section suivant Exercice A.2.3 TD8-Exercice3 C est la chaînette d équation y = chx, on oriente la courbe dans le sens des x croissants, on choisit pour origine le point Ω = (0, 1), on note s l abscisse curviligne, on suppose que la masse linéique vaut µ(s) = s. Calculer la masse du segment de courbe limité par les points d abscisses x 1 et x 2 (on suppose x 1 < x 2 ). Bien vérifier que la masse obtenue est positive! Réponse : si 0 x 1 < x 2 m = 1 2 (sh2 x 2 sh 2 x 1 ) si x 1 0 x 2 m = 1 2 (sh2 x 2 + sh 2 x 1 ). si x 1 < x 2 0 m = 1 2 (sh2 x 1 sh 2 x 2 ) Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 35

précédent section suivant Exercice A.2.4 TD8-Exercice4 1. On définit les points A(1, 0), B(0, 1), calculer la circulation du champ de vecteurs V de composantes (y, x+1) le long des courbes suivantes (on précisera l orientation choisie). C 1 est le triangle OAB, (réponse : 1). C 2 est le bord du quart de disque OAB, (réponse : π 2 ). 2. Calculer la circulation du champ de vecteurs V le long des courbes définies de la façon suivante (dans chacun des cas faire une figure sur laquelle on représentera la courbe et l orientation choisie). A, B, C sont les points de coordonnées respectives A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6), C 1 est le triangle ABC, V a pour composantes (xy, 0, x) ; (réponse : 27 2 ). C 2 est le bord de la surface S définie par : S = {(x, y, z) IR 3, x 2 + y 2 = R 2, h 1 < z < h 2, y > 0}, V a pour composantes ( y, z, x) ; (réponse : 2R(h 2 h 1 )). Question 1 Aide 1 Aide 2 Question 2 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 36

précédent section suivant Exercice A.2.5 TD8-Exercice5 1. A quelle condition sur α le champ de vecteurs de composantes (xy, z + αx 2, y) dérive-t-il d un potentiel? 2. Calculer alors de 2 façons différentes la circulation de ce champ de vecteurs le long du segment OA où A est le point de coordonnées (1, 1, 1), (réponse : 3 2 ). Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 37

précédent section suivant Exercice A.2.6 TD8-Exercice6 Reprendre l exercice A.2.4 On définit les points A(1, 0), B(0, 1),le champ de vecteurs V de composantes (y, x + 1) et les courbes suivantes : C 1 est le triangle OAB. C 2 est le bord du quart de disque OAB. Calculer la circulation du champ de vecteurs V le long des courbes C 1, C 2, en utilisant le théorème de Green Riemann. Quelle est l orientation choisie? Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 38

précédent section suivant Exercice A.2.7 TD8-Exercice7 1. On définit P (x, y) = 2y, Q(x, y) = x. On définit D = {(x, y) IR 2, 0 < x < 1, x 2 < y < x}, on note C le bord de D orienté dans le sens trigonométrique direct. (a) Faire une figure représentant D. (b) Calculer P dx + Qdy. (réponse : 1 3 ) C [ ] Q P (c) Calculer (x, y) (x, y) dxdy. x y D 2. On définit P (x, y) = yx 2, Q(x, y) = xy 2. On définit D = {(x, y) IR 2, x 2 + y 2 2y < 0}, on note C le bord de D orienté dans le sens trigonométrique direct. (a) Faire une figure représentant D. (b) Calculer P dx + Qdy. C [ ] Q P (c) Calculer (x, y) (x, y) dxdy. x y D Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 39

précédent section suivant Question 1a Aide 1 Question 1b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 1c Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2a Aide 1 Question 2b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 2c Aide 1 Aide 2 Aide 3 Exercice A.2.7 TD8-Exercice7 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 40

précédent section suivant Exercice A.2.8 TD8-Exercice8 Démontrer la proposition suivante : Soit D une partie de IR 2 limitée par une courbe fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct, notée Γ, alors on a : aire (D) = 1 xdy ydx (A.2.1) 2 Γ Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 41

précédent section suivant Exercice A.2.9 TD8-Exercice9 Démontrer la proposition suivante : Soit D une partie de IR 2 limitée par une courbe fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct, notée Γ dont l équation polaire est : ρ(θ), θ [θ 1, θ 2 ], alors on a : aire (D) = 1 2 θ2 θ 1 ρ 2 (θ)dθ. (A.2.2) Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 42

précédent section Exercice A.2.10 TD8-Exercice10 Faire une figure et calculer l aire du domaines D dont le bord C a pour équation polaire : ρ(θ) = 1 + cos θ Vous devez déterminer θ 1 et θ 2 pour que toute la courbe soit parcourue une seule fois dans le sens direct.(réponse : l aire vaut 3π 2 ) Aide 1 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 43

section précédente chapitre A.3 Exercices supplémentaires A.3.1 Sup-Exercice1........................... 45 A.3.2 Sup-Exercice2........................... 46 A.3.3 Sup-Exercice3........................... 47 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 44

section suivant Exercice A.3.1 Sup-Exercice1 1. (a) On définit le point A(1, 0), calculer la circulation du champ de vecteurs V de composantes (y, x + 1) le long des courbes suivantes (on précisera l orientation choisie). C 1 est le cercle de centre A de rayon 2, (réponse : 8π). C 2 est l arc de C 1 situé dans le demi plan x 2, (réponse : 8π 3 ). C 3 est l arc de C 1 situé dans la portion de plan x < 1, 1 < y < 1, (réponse : 4π 3 ). (b) Etait-il possible de calculer les circulations précédentes en utilisant le théorème de Green Riemann? 2. Calculer la circulation du champ de vecteurs V le long des courbes définies de la façon suivante (dans chacun des cas faire une figure sur laquelle on représentera la courbe et l orientation choisie). C 1 a pour équations (z = x 2 + y 2, x 2 + 1 2 y2 = 1), V a pour composantes (1, x, 1) ; (réponse : π 2). C 2 a pour équations {z = 1, y = 1 + x 2, 0 < x < 1}, V a pour composantes (x 2 y, y 2 z, z 2 x) ; (réponse : 43 15 ). C 3 est le segment de droite qui joint les points de coordonnées (1, 2, 3) et (1, 1, 2), V a pour composantes (y + z, x + z, x + y) ; (réponse : 12). Sommaire Concepts Question 1a Aide 1 Aide 2 Question 1b Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Exemples Exercices Documents 45

précédent section suivant Exercice A.3.2 Sup-Exercice2 On définit P (x, y) = ax + by, Q(x, y) = cx 2 où a, b, c sont 3 constantes. On définit D = {(x, y) IR 2, y x, 0 y 2x + 6}, on note C le bord de D orienté dans le sens trigonométrique direct. 1. Faire une figure. 2. Calculer P dx + Qdy. C [ ] Q P 3. Calculer (x, y) (x, y) dxdy. x y D Question 1 Aide 1 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 46

précédent section Exercice A.3.3 Sup-Exercice3 1. On définit C l astroïde d équation x(t) = a cos 3 t, y(t) = a sin 3 t. On appelle D l intérieur de C. (a) Faire un figure représentant C et D. (b) Calculer l aire de D en utilisant le théorème de Green-Riemann. (c) Etait-il possible de calculer l aire de D en utilisant une intégrale double? 2. On définit D = {(x, y) IR 2, x 2 + y 2 1, y 1 2 }, on note C le bord de D orienté dans le sens trigonométrique ditect. (a) Faire un figure représentant C et D. (b) A l aide de résultats connus sur les aires de triangles et de secteurs de disques, donner l aire de D. (réponse π 3 3 4 ) (c) Calculer l aire de D en utilisant le théorème de Green-Riemann. (d) Calculer l aire de D en utilisant une intégrale double. Question 1a Aide 1 Question 1b Aide 1 Question 1c Aide 1 Question 2a Aide 1 Question 2b Aide 1 Aide 2 Question 2c Aide 1 Aide 2 Question 2d Aide 1 Aide 2 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 47

précédent Annexe B Documents B.1 Documents du chapitre VIII...................... 49 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 48

chapitre B.1 Documents du chapitre VIII B.1.1 Calcul de l abscisse curviligne.................. 50 B.1.2 Calcul de la masse d un fil.................... 53 B.1.3 Démonstration du théorème de Green-Riemann........ 55 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 49

section suivant Document B.1.1 Calcul de l abscisse curviligne On appelle abscisse curviligne du point M de la courbe C le nombre algébrique s dont la valeur absolue est égale à la longueur de l arc curviligne ΩM et dont le signe est celui du sens de parcours de ΩM On utilise les notations et hypothèses On va déterminer maintenant l expression de s(t). On sait déjà par définition que s(t 0 ) = 0 puisque Ω est choisi comme origine. Pour continuer on se ramène aux longueurs que l on sait calculer, c est à dire les longueurs de segments de droites. On fait l hypothèse naturelle suivante, si M(t) et M(t+h) sont 2 points de la courbe, si on note d h la distance de M(t) à M(t + h) et l h la longueur du segment curviligne M(t)M(t + h) alors ces deux infiniment petits sont équivalents, l h c est à dire que lim = 1. Voir figure B.1.1 h 0 d h M(t + h) d h M(t) l h FIG. B.1.1: On suppose que la courbe est orientée dans le sens des t croissants et que h est strictement positif. On a alors : l h = s(t + h) s(t) Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 50

section suivant d où : l h d h = = d h = (x(t + h) x(t)) 2 + (y(t + h) y(t)) 2 + (z(t + h) z(t)) 2, s(t + h) s(t) (x(t + h) x(t)) 2 + (y(t + h) y(t)) 2 + (z(t + h) z(t)) 2 s(t + h) s(t) h (x(t + h) x(t)) 2 + (y(t + h) y(t)) 2 + (z(t + h) z(t)) 2 Document B.1.1 Calcul de l abscisse curviligne = = h s(t + h) s(t) h (x(t + h) x(t)) 2 (y(t + h) y(t))2 + + h 2 h 2 (z(t + h) z(t))2 h 2 s(t + h) s(t) h ((x(t ) + h) x(t)) 2 ( ) (y(t + h) y(t)) 2 ( (z(t + h) z(t)) + + ) 2 h On obtient la même expression quand h est négatif. On choisit donc maintenant h de signe quelconque et on fait tendre h vers zéro, on obtient donc en utilisant les résultats sur les limites : l h lim = h 0 d h ( lim h 0 (x(t + h) x(t)) h h s(t + h) s(t) lim h 0 h ) 2 +... + ( lim h 0 h ) (z(t + h) z(t)) 2 h Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 51

section suivant l h lim = h 0 d h s (t) x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) En appliquant l hypothèse naturelle énoncée précédemment, cette limite vaut 1, donc on obtient : s (t) = x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t). Document B.1.1 Calcul de l abscisse curviligne On a donc : s(t) = t t 0 x 2 (u) + y 2 (u) + z 2 (u)du. retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 52

précédent section suivant Document B.1.2 Calcul de la masse d un fil C est une courbe munie d une abscisse curviligne s, appelons µ(s) la fonction qui définit la masse linéique en fonction de l abscisse curviligne. On cherche à calculer la masse m de la partie de C comprise entre les points A et B d abscisses curvilignes respectives s A et s B. On suppose s B > s A (sinon on échange A et B). On discrétise le segment curviligne AB, soit N un entier, on pose s = s B s A N, s i = s A + i s, par hypothèse s > 0. On note M i le point d abscisse curviligne s i, on a bien sûr M 0 = A, M N = B. Voir figure B.1.2 N 1 On note m i la masse du segment curviligne M i M i+1, on peut écrire m = m i. Si s est faible on peut supposer que la masse linéique varie peu sur le segment curviligne M i M i+1, donc la masse du segment curviligne M i M i+1 est peu différente de µ(s i ) s. Pour être plus précis, on a : N 1 m = lim µ(s i ) s = s 0 i=0 sb s A µ(s)ds. On retrouve en effet la définition de l intégrale simple de Riemann. On remarque que la masse m est positive puisque la fonction µ est positive et que i=0 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 53

précédent section suivant B M M N-1 N Document B.1.2 Calcul de la masse d un fil A M 0 M 1 M 2 s FIG. B.1.2: discrétisation de la courbe s A < s B. Plus généralement si s A et s B sont quelconques, on a : m = sb s A µ(s)ds. retour au cours Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 54

précédent section Document B.1.3 Démonstration du théorème de Green-Riemann Soit D une partie de IR 2 limitée par une courbe fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct, notée Γ. Soient deux fonctions P et Q qui admettent des dérivées partielles premières continues sur D, alors on a : [ ] Q P P dx + Qdy = (x, y) (x, y) dxdy (B.1.1) x y Γ Démonstration. Sous les hypothèses précédentes, on peut écrire que : D = { (x, y) IR 2 /a x b, φ 2 (x) y φ 1 (x) } D On note A(a, φ 1 (a)) et B(b, φ 1 (b)). On a φ 1 (a) = φ 2 (a), φ 1 (b) = φ 2 (b). Voir figure B.1.3. Les points de la frontière Γ de D vérifient l une ou l autre des équations y = φ 1 (x) ou y = φ 2 (x) et la courbe Γ peut donc être paramétrée en deux morceaux qui se rejoignent en A et B : { x = t Γ 1 : t : b a y = φ 1 (t) et { x = t Γ 2 : y = φ 2 (t) t : a b Le parcours de Γ dans le sens direct correspond alors bien au parcours de Γ 1 puis de Γ 2 avec les paramétrages indiqués ci-dessus. Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 55

précédent section y A Γ 1 B sens direct Document B.1.3 Démonstration du théorème de Green- Riemann D Γ 2 O a b x FIG. B.1.3: allure de D Calculons l intégrale double : D P (x, y)dxdy = y = b a b a [ φ1 (x) φ 2 (x) ] P (x, y)dy dx y (P (x, φ 1 (x)) P (x, φ 2 (x))) dx Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 56

précédent section Γ = b a P (x, φ 1 (x))dx b a P (x, φ 2 (x))dx Calculons P (x, y)dx, on écrit cette circulation comme la somme de la circulation sur Γ 1 et sur Γ 2, on utilise la paramétrisation de ces 2 courbes pour calculer ces circulations. P (x, y)dx = Γ P (x, y)dx + Γ 1 P (x, y)dx Γ 2 = = a b b a P (t, φ 1 (t))dt + P (t, φ 2 (t))dt b a b a P (t, φ 2 (t))dt P (t, φ 1 (t))dt On en déduit donc : P (x, y)dxdy = P (x, y)dx D y Γ De manière analogue, en écrivant la définition de D sous la forme : D = { (x, y) IR 2 /c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y) } on montrerait que : D Q (x, y)dxdy = + Q(x, y)dy x Γ Des relations B.1.2 et B.1.3, on tire la conclusion. (B.1.2) (B.1.3) Document B.1.3 Démonstration du théorème de Green- Riemann Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 57

précédent section retour au cours Document B.1.3 Démonstration du théorème de Green- Riemann Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 58

Index des concepts Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné. A Abscisse curviligne-définition............ 4 Aire..................................... 20 C Champ de vecteurs dérivant d un potentiel 16 Circulation..........................14, 16 G Green-Riemann.........................19 L Longueur................................ 6 M Masse.................................... 8 T Travail..................................13 V Vecteur tangent unitaire............... 10 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 59

Solution de l exercice A.1.1 Une paramétrisation de C est On a donc s(t) = On peut bien sûr remplacer t par x. t x = t y = cht. t 1 + sh 2 udu = chudu = sht. 0 0

l = x2 x 1 Solution de l exercice A.1.2 x2 1 + sh 2 (u)du = chudu = shx 2 shx 1. x 1

m = Solution de l exercice A.1.3 2π 0 t R 2 + a 2 dt = 2π2 R 2 + a 2.

Solution de l exercice A.1.4 Revoir les calculs d intégrales, puis appliquer la proposition VIII.2.1. 1. 2. T AB ( V ) = 2π 0 = ar (R cos t + at)( R sin t) + R 2 sin 2 t(r cos t) + ar cos tdt 2π 0 t sin tdt = ar [t cos t] 2π 0 ar 2π = 2πaR. T AB ( V ) = 1 0 0 cos tdt 1 + (t + 3)2t + 1 1 + t 2 3t2 dt = 1 + 2 3 + 3 + 3 3 arctan 1 = 23 3 3π 4.

Solution de l exercice A.1.5 1. Le rotationnel est nul, donc on calcule un potentiel. 2. d où f x (x, y, z) = y + z f(x, y, z) = yx + zx + f 1(y, z), f y (x, y, z) = x + z = x + f 1 y (y, z) f 1(y, z) = zy + f 2 (z), f z (x, y, z) = x + y = x + y + f 2(z) f 2 (z) = C, f(x, y, z) = yx + zx + zy + C. 3. T AB ( V ) = f(b) f(a) = bc π 2. On aurait pu calculer la circulation directement en utilisant la proposition VIII.2.1, vérifier que l on obtient le même résultat.

Solution de l exercice A.1.6 donc Une paramétrisation de C est, bien sûr, On a donc : C P dx + Qdy = D 2π 0 Q P (x, y) (x, y) = 1, x y ( ) Q P (x, y) (x, y) dxdy = aire D = πr 2. x y x = R cos t, y = R sin t, t : 0 2π. ((R cos t + R sin t)( R sin t) + (2R cos t + R sin t)r cos t) dt = πr 2.

C Solution de l exercice A.1.7 xdy ydx = 2π 0 ab(cos 2 t + sin 2 t)dt = 2πab. L aire vaut donc πab. On retrouve bien sûr l aire du disque dans le cas a = b.

Solution de l exercice A.1.8 D est bien sûr un disque de centre O et de rayon R. Pour décrire tout le cercle C il faut que θ varie de 0 à 2π. On retrouve l aire bien connue du disque πr 2.

Aide 1, Question 1, Exercice A.2.1 Le cercle roule sans glisser donc la longueur OH est égale à la longueur HM comme indiqué sur la figure. y Μ t R O H x

Aide 2, Question 1, Exercice A.2.1 Exprimer les longueurs P M et NP en fonction du rayon R et de l angle t, voir figure. y Μ R t P N O x On applique ensuite x = OH P M, y = R NP.

Aide 1, Question 2, Exercice A.2.1 On trace le tableau de variation.

Aide 2, Question 2, Exercice A.2.1 On obtient la courbe suivante : y O x

Aide 1, Question 3, Exercice A.2.1 2π l = R = R 0 2π = R 2 = 2R = 2R = 4R = 8R. 0 2π 0 2π 0 2π 0 (1 cos t) 2 + sin 2 tdt (2 2 cos t)dt (1 cos t)dt sin 2 t 2 dt sin t 2 dt [ cos t 2 ] 2π 0

Aide 1, Exercice A.2.2 2π l = 2R = 2R 0 2π = 2R 2 0 2π (1 + cos t) 2 + sin 2 tdt (2 + 2 cos t)dt 0 2π (1 + cos t)dt = 2R 2 2 cos 2 t 0 2 dt 2π = 4R cos t 0 2 dt ( π = 4R cos t 2π 2 dt cos t ) 2 dt 0 = 8R + 8R = 16R. π

m = Aide 1, Exercice A.2.3 s2 Il faut donc distinguer plusieurs cas pour traiter s. s 1 s2 µ(s)ds = s ds. s 1

Aide 2, Exercice A.2.3 s = shx, voir l exercice A.1.1. Il faut donc distinguer 3 cas (pourquoi?) 1. 2. 3. x 1 < x 2 0, x 1 < 0 < x 2, 0 x 1 < x 2.

Aide 3, Exercice A.2.3 1. 2. x 1 < x 2 0 s 1 < s 2 0 sur l intervalle [s 1, s 2 ], s = s. x 1 < 0 < x 2 s 1 < 0 < s 2 s n a pas un signe constant sur l intervalle [s 1, s 2 ], on a 3. sur l intervalle [s 1, s 2 ], s = s. s2 0 s ds = sds + s 1 s 1 s2 0 x 1 < x 2 0 s 1 < s 2 0 sds.

Aide 4, Exercice A.2.3 1. 2. 3. x 1 < x 2 0 m = 1 2 (sh2 x 1 sh 2 x 2 ), x 1 < 0 < x 2 m = 1 2 (sh2 x 1 + sh 2 x 2 ), 0 x 1 < x 2 m = 1 2 (sh2 x 2 sh 2 x 1 ).

Aide 1, Question 1, Exercice A.2.4 Il faut commencer par représenter et paramétrer les courbes

Aide 2, Question 1, Exercice A.2.4 1. C 1 : { x = t OA : y = 0 t : 0 1 { x = t AB : t : 1 0 y = 1 t { x = 0 BO : t : 1 0 y = t 2. C 2 : { x = t OA : y = 0 t : 0 1 { x = cos t AB : t : 0 π y = sin t 2 { x = 0 BO : t : 1 0 y = t

Aide 1, Question 2, Exercice A.2.4 Il faut commencer par représenter et paramétrer les courbes : z C D A x B y FIG. B.1.4: courbe C 2

Aide 2, Question 2, Exercice A.2.4 1. C 1 : AB : BC : CA : 2. C 2 : AB : BC : CD : DA : x = t y = 3 t z = 0 x = 0 y = t z = 6 2t x = t y = 0 z = 6 2t x = R cos t y = R sin t z = h 1 x = R y = 0 z = t t : 3 0 t : 3 0 t : 0 3 t : 0 π t : h 1 h 2 x = R cos t y = R sin t t : π 0 z = h 2 x = R y = 0 z = t t : h 2 h 1

Aide 1, Question 1, Exercice A.2.5 On calcule le rotationnel, il est nul à condition que α = 1 2.

Aide 1, Question 2, Exercice A.2.5 Calculer le potentiel, puis la différence de potentiel ; ou paramétrer le segment de droite et calculer la circulation directement.

Aide 2, Question 2, Exercice A.2.5 On a la circulation vaut 3 2. f(x, y, z) = yx2 2 + yz + C,

Aide 1, Exercice A.2.6 Q P (x, y) (x, y) = 2, x y donc les circulations respectives le long des courbes C 1, C 2 valent 2 aired 1, 2 aired 2, si D 1, D 2 sont les domaines limités par les courbes fermées C 1, C 2. Ces aires se calculent très facilement puisqu il s agit d un triangle ou d un quart de disque.

Aide 1, Question 1a, Exercice A.2.7 y A O x

Aide 1, Question 1b, Exercice A.2.7 Il faut paramétrer C, donc il faut paramétrer OA puis AO.

Aide 2, Question 1b, Exercice A.2.7 { Pour OA x = t : y = t 2 { t : 0 1. Pour AO x = t 2 : y = t t : 1 0. Utiliser la proposition VIII.2.1 pour en déduire P dx + Qdy, OA AO P dx + Qdy.

Aide 3, Question 1b, Exercice A.2.7 OA AO P dx + Qdy = P dx + Qdy = 1 0 0 1 4t 2 dt 5t 2 dt

Aide 4, Question 1b, Exercice A.2.7 Après calculs on obtient : C P dx + Qdy = 1 3

Aide 1, Question 1c, Exercice A.2.7 Exprimer l intégrale double sur D à l aide d intégrales simples, aidez-vous de la figure. Calculez Q P (x, y) (x, y) x y

Aide 2, Question 1c, Exercice A.2.7 d où D Q P (x, y) (x, y) = 1, x y [ ] Q P (x, y) (x, y) dxdy = aire D x y

Aide 3, Question 1c, Exercice A.2.7 D où le résultat. aire D = D dxdy = 1 x 0 x 2 dydx = 1 3

Aide 1, Question 2a, Exercice A.2.7 D est le disque de centre (0, 1) et de rayon 1.

Aide 1, Question 2b, Exercice A.2.7 Il faut paramétrer C, C est un cercle.

Aide 2, Question 2b, Exercice A.2.7 { x = cos t t : 0 2π. y = 1 + sin t Utiliser la proposition VIII.2.1 pour en déduire C P dx + Qdy.

C Aide 3, Question 2b, Exercice A.2.7 P dx + Qdy = 2π 0 cos 2 t + 3 sin t cos 2 t + 2 sin 2 t cos 2 tdt

Aide 4, Question 2b, Exercice A.2.7 L intégrale entre 0 et 2π de sin t cos 2 t est nulle, faire le changement de variable u = cos t pour s en convaincre. On linéarise les autres termes : 2 sin 2 t cos 2 t = 1 cos 4t, cos 2 t = 4 cos 2t + 1. 2 On n oublie pas que l intégrale d un sinus ou d un cosinus sur sa période est nulle, on obtient finalement : C P dx + Qdy = 2π 0 3 4 = 3π 2

Aide 1, Question 2c, Exercice A.2.7 Exprimer l intégrale double sur D à l aide d un changement de variables. Calculez Q P (x, y) (x, y) x y

Aide 2, Question 2c, Exercice A.2.7 Q P (x, y) x y (x, y) = x2 + y 2, On peut utiliser les coordonnées polaires r et θ centrées en O, cela simplifie la fonction à intégrer. On peut également utiliser les coordonnées polaires ρ et t centrées en (0, 1), cela simplifie le domaine d intégration.

Aide 3, Question 2c, Exercice A.2.7 On obtient avec les coordonnées polaires centrées en O : D x 2 + y 2 dxdy = π 2 sin θ 0 0 On obtient avec les coordonnées polaires centrées en (0, 1) : D x 2 + y 2 dxdy = 1 2π 0 0 Bien sûr on obtient le même résultat dans les 2 cas : 3π 2 r 2 rdrdθ ρ + ρ 3 + 2ρ 2 sin tdtdρ

Aide 1, Exercice A.2.8 Appliquer Green-Riemann avec P (x, y) = y, Q(x, y) = x

Aide 2, Exercice A.2.8 Calculer Q P (x, y) (x, y). x y

Aide 3, Exercice A.2.8 D 2dxdy = 2 aire D.

Aide 1, Exercice A.2.9 Une paramétrisation possible de la courbe est x(θ) = ρ(θ) cos θ, y(θ) = ρ(θ) sin θ. Calculer x(θ)y (θ) y(θ)x (θ).

Aide 2, Exercice A.2.9 On obtient x(θ)y (θ) y(θ)x (θ) = ρ 2 (θ), on utilise la proposition VIII.2.1, on a donc Γ xdy ydx = θ2 θ 1 ρ 2 (θ)dθ.

Aide 1, Exercice A.2.10 C est une cardioïde,voir l exercice. Elle est décrite entièrement quand θ varie de 0 à 2π. On calcule ρ 2 (θ), on linéarise pour calculer l intégrale.

Aide 1, Question 1a, Exercice A.3.1 Il faut commencer par représenter et paramétrer les courbes

Aide 2, Question 1a, Exercice A.3.1 { x = 1 + 2 cos t 1. C 1 : y = 2 sin t { x = 1 + 2 cos t 2. C 2 : y = 2 sin t { x = 1 + 2 cos t 3. C 3 : y = 2 sin t t : 0 2π t : π 3 π 3 t : 5π 6 7π 6

Aide 1, Question 1b, Exercice A.3.1 donc la circulation le long de la courbe C 1 vaut Q P (x, y) (x, y) = 2, x y 2 aired 1 si D 1 est le domaine limité par la courbe fermée C 1. Cette aires se calcule très facilement puisqu il s agit d un disque. Par contre C 2 et C 3 ne sont pas fermées, il n est donc pas possible d utiliser le théorème de Green- Riemann.

Aide 1, Question 2, Exercice A.3.1 Il faut commencer par représenter et paramétrer les courbes : FIG. B.1.5: courbe C 1 z 1 A B x y FIG. B.1.6: courbe C 2

Aide 2, Question 2, Exercice A.3.1 1. C 1 : 2. C 2 : 3. C 3 : x = cos t y = 2 sin t z = cos 2 t + 2 sin 2 t x = t y = 1 + t 2 z = 1 x = 1 y = 2 3t z = 3 t t : 0 1 t : 0 1 t : 0 2π

Aide 1, Question 1, Exercice A.3.2 y B O A x

Aide 1, Question 2, Exercice A.3.2 Il faut paramétrer C, donc il faut paramétrer OA puis AB, puis BO.

Aide 2, Question 2, Exercice A.3.2 { x = t Pour OA : y = 0 { x = t t : 0 3. Pour AB : y = 2t + 6 Utiliser la proposition VIII.2.1 pour en déduire { x = t t : 3 2. Pour BO : t : 2 0. y = t P dx + Qdy, P dx + Qdy, P dx + Qdy.. OA AB BO

AB Aide 3, Question 2, Exercice A.3.2 OA P dx + Qdy = 2 3 0 atdt, P dx + Qdy = at + b( 2t + 6) 2ct 2 dt, 3 0 P dx + Qdy = at + bt + ct 2 dt. BO En déduire que le résultat ne dépend pas de a. 2

Aide 4, Question 2, Exercice A.3.2 Après calculs on obtient : 3 0 atdt + C 2 3 atdt + 0 2 atdt = 0 P dx + Qdy = 3b + 10c. 0 atdt = 0

Aide 1, Question 3, Exercice A.3.2 Exprimer l intégrale double sur D à l aide d intégrales simples, aidez-vous de la figure. y B O A x Calculez Q P (x, y) (x, y) x y

Aide 2, Question 3, Exercice A.3.2 d où D Q P (x, y) (x, y) = 2cx b, x y [ ] Q P (x, y) (x, y) dxdy = b aire D + 2c xdxdy x y D

Aide 3, Question 3, Exercice A.3.2 aire D = 3, D où le résultat. D xdxdy = 2 y 2 +3 0 y xdxdy = 5

Aide 1, Question 1a, Exercice A.3.3 y x

Aide 1, Question 1b, Exercice A.3.3 Après linéarisation. C xdy ydx = 2π 0 a cos 2 t sin 2 tdt = 3a2 π 8

Aide 1, Question 1c, Exercice A.3.3 On ne connaît pas l équation explicite de l astroïde.

Aide 1, Question 2a, Exercice A.3.3 y B A x

Aide 1, Question 2b, Exercice A.3.3 L angle (OA, OB) vaut 2π 3, que vaut l aire du secteur de disque OAB. Que vaut l aire du triangle OAB?

Aide 2, Question 2b, Exercice A.3.3 aire D = π 3 3 4.

Aide 1, Question 2c, Exercice A.3.3 On paramètre le segment BA, puis l arc de cercle AB.

Aide 2, Question 2c, Exercice A.3.3 xdy ydx = BA xdy ydx = AB 3 2 3 2 5π 6 π 6 1 2 dt = 3 2 dt = 2π 3

Aide 1, Question 2d, Exercice A.3.3 aire D = 3 2 3 2 1 x 2 1 2 dydx

Aide 2, Question 2d, Exercice A.3.3 Pour calculer l intégrale de 1 x 2, penser au changement de variable x = sin t