MATHEMATIQUES VEDIQUES (Résumé à l fin) Nottion perso : n n1... 0 n n 1... 0 où sont notés les clculs des i. 5 3 14 1 3 14 1 3 153 où les retenues sont reportées à guche Prtition d un nombre en trnche(s) : n n1... 0 n... p p 1... q q 1... r... r 1... 0 prties dont celle de droite à chiffres : 1 158 1 10 1 1 0 180 ; 58 358 6 5806 ; Clcul d un chiffre : 0, 3... 0,6... 3 Le prtge dit norml si les trnches ont un seul chiffre est sous-entendu. 1) Crré d un nombre dont le chiffre des unités est 5 : 5 ( 1) 5 5 5 (+1) 5 5 5 8 5 donc 5 =565. 35² = [ 34 5 ] = 15 5 105 100 100 5 donc ) Produit de deux nombres ynt les mêmes dizines et dont l somme des chiffres des unités est 10 : le cs 1) est un cs prticulier (5+5=10) bc 10 b10 c100 10 ( b c) bc donc b c 100 10 10 bc si b+c=10 b si b+c=10 c bc ( 1) bc vec chiffres à droite (+1) bc 1 10 1 donc 1=00. 434 = [ 45 3 ] = 01 3) Crrés de nombres compris entre 50 et 60 : 5 50 500 100 1005 5 5 5+ ² 5 5 vec chiffres à droite donc 5 3 5 3 5+3 3² donc 53 =80 5² = [ 5+ ² ] = 3481 bc bc 1000 1 bc000 bc, 4) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des : soit c =c-1 lors bc bc '000 1000 bc bc '000 bc ' et b c b c1 b 10c bc b c 1 b 10 c 1
6 5 4 Exemple 1 : 4-1=3, donc 654=653346 6 5 4 6 5 104 Exemple : 46 = 046 = [ 0 4 5-0 -4 10-6 ] = 04554 = 4554 5) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des 1 : b 1 1 b11 10 b10 1100 10 10b b donc b11 b b b b 3 1 1 Exemple 1: donc 311=35 3 3 65 1 1 Exemple : donc 6511=1 (65+=6, 65+6=1) 65 65 Exemple 3 : 411 = [ 4 4+ ] = [ 4 31 ] = [ 4+3 1 ] = 1 4 3 5 4 3 4 3 bcde11 10 10 b10 c10d e 10 1 10 10 b10 c10 d 10e10 10 b10 c10d e 5 4 3 bcde11 10 10 b 10 b c 10 c d 10 d e e bcde11 b b c c d d e e b c d e 1 1 b bc cd d e e 4 8 3 1 1 Exemple : 4 4 8 8 3 3 donc 48311=5683 (+3=1 ; 8++1=18 ; +8+1=16 ; 4++1=1 ; 4+1=5) bc111 10010bc 100 10 1 100001000b100c1000100b10c10010bc bc111 100001000 b 100 bc 10 bc c bc111 b b c b c c b c 1 1 1 b bc bc c 0 3 1 1 1 Exemple 1 : donc 03111=533 0 03 03 3 0 1 4 3 1 1 1 Exemple : donc 0143111=3585 0 01 014 143 43 3 Exemple 3 : 35111 = [ 3 3+ 3++5 +5 5 ] = [ 3 5 10 5 ] = [ 3 5+1 0 5 ] = 3605 6) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont les mêmes : bcddd d bc 111 Exemple : 8 = 08111 = [ 0 0+8 0+8+ 8+ ] = [ 8 1 1 [ ] 8 = [8+1 +1 ] = 8 = 158
) Soustrire un nombre d une puissnce de 10 vec décimles (clcul monétire) : 100 b, cd, 0, 01 b, cd donc 1 0 0, 0 0 100 b, cd 10 1 b0,1 c0,0110 d - b, c d - -b, -c 10-d 100 b, cd b, c 10 d 1 0 0, 0 0-5 3, -5-3, - 10- donc 100-53,=46,3 1000,00-15, = [ -1 - -5, - 10- ] = 85,01 8) Multipliction de deux nombres : bcd 10 b10c d donc 100 10 b c d c d bc bd bcd c d bc bd 1 3 5 donc 135=35 3 513 15 354 = [ 34 3+45 5 ] = [ 1 41 35 ] = [ 1+4 1+3 5 ] =1645 100 10 100 10 4 3 10 10 10 10 bcdef b c d e f donc bcdef d e bd f cd be bf ce cf bcdef d e bd f cd be bf ce cf 1 1 bcd c d bc bd b c d e f d e bd f be cd bf ce cf 3 0 donc 1130=3654 13 103 1013 10 1 341 = [ 1 +31 +3+41 3+4 4 ] = [ 1 43 55 36 ] 341 = [ +1 +4 3+5 5+3 6 ] = [ 3 11 8 8 6 ] = [ 3+1 1 8 8 6 ] = 41886 3 3 10 10 10 10 10 10 bcd efgh b c d e f g h 6 5 4 3 bcdefgh10 e10 f be 10 gbf ce 10 hbgcf de 10 bhcgdf 10 chdg dh b c d e f g h h bh ch dh g bg cg dg f bf cf df e be ce de e f+be g+bf+ce h+bg+cf+de bh+cg+df ch+dg dh bcd efgh e f be g bf ce h bg cf de bh cg df ch dg dh 3
1 0 4 3 0 3 013 1003 10043 1040 04 4 donc 10430=6463488 134568 = [ 15 16+5 1+6+35 18++36+45 8+3+46 38+4 48 ] 134568 = [5 16 34 60 61 5 3 ] = [5+1 6+3 4+6 0+6 1+5 +3 ] 134568 = [6 10 6 6 5 ] = [6 +1 0 6 6 5 ] = [6 10 0 6 6 5 ] 134568 = [6+1 0 0 6 6 5 ] = 00665 ) Rcine cubique excte d un nombre cube prfit à 6 chiffres : N N 3 0 0 1 1 8 3 4 64 5 15 6 16 343 8 51 Soit M= mmmmmm 5 4 3 1 0 un cube prfit, M<10 6, 3 M < 3 6 10, 3 M <10 M=X 3 =vec X=10x+y, notons U(n) le chiffre des unités de l entier n f:nu(n 3 ) est une bijection de [0,][0,], soit F=f -1 F est l identité sur {0,1,4,5,6,}, F(8)=, F()=3, F(3)=, F()=8 3 Alors y=f(m 0 ) ; soit E mmm 5 4 3 lors 3 mmm 5 4 3 <(+1) 3 ; (10) 3 mmm 5 4 3 000 mmmmmm 5 4 3 1 0 mmm 5 4 3<(+1) 3 5 4 3 mm( m 1) (+1) 3 mmmmmm 5 4 3 1 0 < mm 5 4 ( m 3 1)000 10 3 (+1) 3 (10) 3 mmmmmm 5 4 3 1 0 <[10(+1)] 3 x= d où 10x+y rcine cubique de M 10) Rcines crrées d un crré prfit à 4 chiffres : Soit M= mmmm 3 1 0 un crré prfit, M<10 4, M <10 ; M=(10x+y)² ; m 0 =0 y=0 ; m 0 =5 y=5 ; m 0 =1 y=1 ou y= ; m 0 =4 y= ou y=8 ; m 0 =6 y=4 ou y=6 ; m 0 = y=3 ou y= ; pour m 0 {1,4,6,} y=y 1 ou y=y N N 0 0 1 1 4 3 4 16 5 5 6 36 4 8 64 81 Soit E mm 3 lors mm 3 <(+1) (10)² mm 3 00 mmmm 3 1 0 mm 3 <(+1) m3m 1(+1) mmmm 3 1 0 m3m 100 10²(+1) Alors x= ; si y=y 1 ou y=y, le choix entre 10x+y 1 et 10x+y comme rcine crrée se fit en fonction de l distnce de M à 100x et 100(x+1) 11) Multipliction ssociée à une bse puissnce de 10 : bse 10 n A n 1... 0 ; 10 n A; B bn 1... b0 ; b10 n B ; X=A-b=B-=10 n -(+b) ; n n A. B 10 10 b X b X X X b b AB. X X b b X X b b donc AB. 10 n X b AB X b vec n chiffres à droite 10 n A; b10 n B ; X=A-b=B-=10 n -(+b) ; Exemple 1 : n=3 ; AB=1010100 ; =-10 ; b=- ; X=101 1010100 1000 10 10 101 0 10100 donc 1010100=1 01 00 Exemple : n= ; AB=5115 ; =5 ; b=-15 ; X=110 ; 5115 100 5 15 515 110 5 10 100 5 105 donc 5118 = 10 5 Exemple 3 Appliction u clcul d un crré : n=3 ; AB=8888 ; =b=1 ; A =88 ; X=6 ; 88² 1000 1 1 11 6 144 6144 donc 88 = 6 144 A 10 n X où =10 n -A et X=A- A A vec n chiffres à droite 8² = [ 8-11 11² ] = [ 8 11 ] = [ 8+1 1 ] = 1 ( chiffres à droite) 4
Exemple 4 : 856 = [ 85-4 154 ] = 81500 Exemple 5 : qund on ne connît ps bien les tbles de multipliction u delà de 5 Multiplier pr 8; n=1 ; AB=8 ; =3 ; b= ; X=5 ; 8 10 3 3 5 656 =10-A donc A=10-; b=10-b donc B=10-b ; AB=(10-)(10-b)=100-10-10b+b AB=10(10--b)+b ; 10--b est le chiffre des dizines ; b est le chiffre des unités Clcul de 8 : =1 cr =10-1 ; b= cr 8=10- ; lors Le chiffre des dizines est 10-1-= et le chiffre des unités est 1= Le résultt est donc 8=. 1) Multipliction ssociée à une bse multiple ou sous multiple d une puissnce de 10 : Bse : W=m10 n A n 1... 0 ; W A; B bn 1... b0 ; bw B ; X=A-b=B-=W-(+b) ; A. B W W b X b X X X b b A. B X X b b XW b Xm10 n b donc A. B mx10 n b AB mx b vec n chiffres à droite ; Si W est sous- multiple de 10 n 10 n, W on remplce m pr 1 d d d où X AB b d vec n chiffres à droite. 3 10 Exemple 1 : AB=4548 ; W 50 ; =5 ; b= ; X=43 ; 4 50 5 43 40 3 3 3 4548 5 10 10 60 10 10 60 50 10 6060 4 4 4 4 4 donc 4548 = 60 60 Exemple : AB=118 ; W 10 ; =1 ; b=11 ; X=188 ; 118 00 111 111 188 11 3611 donc 118 = 3 611 Exemple 3 : Appliction u clcul d un crré ; W=10 ; A=B=01 ; =b=-1 ; A =01 ; X=0 ; 01² 011 11 0 1 40401 donc 01 = 40 401 A 10 n mx donc A ma vec n chiffres à droite 3 10 Exemple 4 : Appliction u clcul d un crré ; W 500 A=B=50 ; =b= ; A =501 ; X=504 ; 50 504 50² 4 5 45004 donc 50 = 5004 X A 10 n A donc A d d vec n chiffres à droite Exemple 5 : 31305 = [ (31+5)3 15 ] = [ 313 60 ] = 5160 b 13) Division pr d un entier à chiffres : Q10b Q ; >0 b10b b mod ; soit r< tel que r+b (mod ) posons =+1 b Si +b< lors, b... Si +b lors b 1 Si +b< lors,... 10 n b b 1, (mod )... Si +b= lors 1 r r r 1 r b 10b b Q r n 1 1 10 10 0 10 110 5
Si +b lors r r r 1 r b 10b b Q r Q 10 10 10 1 10 1 n ',... 1 1 10 1 1 1 n 1 1 0 b 10 b b Si +b= lors 1 Exemple 1 : 15 1,6... cr =1 et +b=1+5=6 Exemple : 38 4,... cr =3, +1=3+1=4 et +b=3+8=11 (mod ) Exemple 3 : 54 5 1 6 6 Exemple 4 : 6 1, 6..., 4... ; 6 6, 6... 6, 8... 14) /b pour des entiers de [0,11] : 1 n 1 1 0,... cr 10 1 n 1 n0 10 110 n 1 1 0,... cr 10 1 n 11 n010 n0 110 11 S=1485 ; 1 n 1 1 0, S... développement périodique de période 6 ; S Sk 6 n1 10 vec 6 1 10 k S 6 6 110 10 1. 1 Sk développement périodique de période 6 dont l période est décrite pr S. Sk est un développement périodique dont l période est ussi décrite pr S mis dont les deux premiers chiffres à droite de l virgule viennent de 0,14 vec éventuellement une retenue, soit 14 si <4 et 14+1 si 4, les chiffres suivnts étnt dns cycle 1485 (14=8 et 8=56, 56+1=5) en utilisnt un prtge d un cycle de S de type 4 ; 0, 14 S'... si <4 ; 0, 14 1 S'... si 4 ; les chiffres suivnts formnt S sont les 4 qui suivent 14 (+1) dns 14851485 0,... ; 5 0, 5 5... 0,4545... 11 ; Clcul de 5 : 145+1=1 donc 5 =0,1485 ; Clcul de 3 : 143=4 donc 3 =0,4851 6
Nottion perso :...... n n1 0 n n1 0 RESUME ou n n1... 0 n... p p 1... q q 1... r... r 1... 0 1) Crré d un nombre dont le chiffre des unités est 5 : 5 ( 1) 5 ) Produit de deux nombres ynt les mêmes dizines et dont l somme des chiffres des unités est 10 : le cs 1) est un cs prticulier (5+5=10) bc ( 1) bc vec chiffres à droite si b+c=10 3) Crrés de nombres compris entre 50 et 60 : 5 5 vec chiffres à droite 4) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des : bc b c 1 b 10 c 5) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont des 1 : b11 b b bcde11 b b c c d d e e bc111 10000 1000 b 100 b c 10 b c c bc111 b bc b c c b c 1 1 1 b bc bc c 6) Multipliction pr un nombre dont les chiffres sont les mêmes : bcddd d bc 111 ; ) Soustrire un nombre d une puissnce de 10 vec décimles (clcul monétire) : 100 b, cd b, c 10 d 8) Multipliction de deux nombres : bcd c d bc bd bcdef d e bd f cd be bf ce cf bcd efgh e f be g bf ce h bg cf de bh cg df ch dg dh ) Rcine cubique excte d un nombre cube prfit à 6 chiffres : 10) Rcines crrées d un crré prfit à 4 chiffres : 11) Multipliction ssociée à une bse puissnce de 10 : bse 10 n AB X b vec n chiffres à droite 10 n A; b10 n B ; X=A-b=B-=10 n -(+b) ; A A vec n chiffres à droite où =10n -A Exemple : Multiplier pr 8; n=1 ; AB=8 ; =3 ; b= ; X=5 ; 8 10 3 3 5 6 56 qund on ne connît ps bien les tbles de multipliction u delà de 5 1) Multipliction ssociée à une bse sous-multiple ou multiple d une puissnce de 10 : 10 n W W ; W A; bw B ; X=A-b=B-=W-(+b) ; AB b d d vec n chiffres à droite W=m10 n ; W A; b W B ; X=A-b=B-=W-(+b) ; AB mx b vec n chiffres à droite
10 n A W ; W A; X=A-=W- A d d vec n chiffres à droite W=m10 n ; W A; X=A-=W- ; A m A vec n chiffres à droite 13) Division pr d un entier à chiffres : b b b Si +b< lors, b... Si +b lors 1, b(mod )... Si +b= lors 1 14) /b pour des entiers de [0,11] : 0,... ; 0,... 11 S=1485 ; 1 0, S... développement périodique de période 6. 0, 14 S'... si <4 ; 0, 14 1 S'... si 4 ; S est constitué des 4 chiffres suivnt les premiers dns 1485 ou 14851485 (14=8 et 8=56, 56+1=5) 8